UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
AMÉRICO CAMPOS FILHO
2014
SUMÁRIO
1 – Introdução.............................................................................................................................
1.1 – Generalidades ...................................................................................................................
1.2 – Classificação das lajes quanto à relação entre os lados ....................................................
1.3 – Vinculação ........................................................................................................................
1.4 – Vãos efetivos de lajes .......................................................................................................
1.5 – Cargas nas lajes .................................................................................................................
1.6 – Determinação da espessura das lajes ................................................................................
1.7 – Cálculo das solicitações.....................................................................................................
1.8 – Dimensionamento das armaduras .....................................................................................
2 – Lajes armadas em uma só direção .......................................................................................
2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão ..........................
2.2 – Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão ..............
2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão ................
3 – Lajes armadas em duas direções ..........................................................................................
3.1 – Solicitações conforme o regime elástico ..........................................................................
3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico ................................................................
3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras ............................................................
3.4 – Reações de apoio ..............................................................................................
3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais .............................................................
3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais ...........................
1
1
1
2
5
6
7
12
13
16
21
22
22
27
27
27
32
33
35
37
4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado ...................... 42
Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 43
1 - Introdução
1.1 - Generalidades
As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantemente
por cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes de
concreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões,
comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigas
são representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. As
lajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nas
estruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L.
1.2 - Classificação das lajes quanto à relação entre os lados
As lajes retangulares são classificadas como:
 lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o
menor vão é maior que 2.

lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário.
laje armada em uma só direção
laje armada em duas direções
1 < b/a < 2
a
a
b/a > 2
b
b
onde, a é o vão menor e b é o vão maior
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1
Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresenta
exceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas
(as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será
também armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados.
livre
livre
livre
livre
engaste
apoio
livre
engaste
livre
engaste
engaste
apoio
livre
apoio
livre
livre
1.3 - Vinculação
As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação:
 apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de
alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras.

livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado.
 engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente
daquele lado (laje adjacente).
Exemplo:
B
engaste
apoio
CORTE A-A:
A
A
apoio
CORTE B-B:
livre
B
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2
Observações sobre a continuidade das bordas das lajes:
Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessura
mais do que 2 cm inferior.
< 2 cm
engaste
engaste
> 2 cm
engaste
apoio
Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado;
toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres).
apoio
apoio
apoio
apoio
exceção: laje em balanço
apoio
engaste
Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado e
engastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste for
superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado.
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3
4,00
2,00
L1
h=10
L2
h=8
4,00
6,50
4,00
Exemplo:
4,00
L4
h=8
L5
h=8
1,50
2,50
2,00
L3
h=11
lajes rebaixadas
L2
L3
6,50
4,00
4,00
L1
L6
h=12
4,00
2,00
L5
4,00
2,00
4,00
L6
1,50
2,50
2,50
L4
4,00
Observação:
Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas as
espessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que são
adjacentes a outras lajes não rebaixadas. Somente após a primeira hipótese de vinculação é
que será possível determinar as espessuras das lajes e refazer a vinculação, quando a
espessura for maior que 2 cm.
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4
1.4 - Vãos efetivos de lajes
Conforme o item 14.7.2.2 da NBR6118:2014, quando os apoios puderem ser
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser
calculado pela seguinte expressão:
ef = 0 + a1 + a2
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h),
conforme a figura abaixo.
Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centro
do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre
acrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio.
h
t
mín(t/2 ; 0,3h)
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5
1.5 - Cargas nas lajes
Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído:
p (kN/m2), onde:
p=g+q
onde:
g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento,
reboco, etc.);
q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das pessoas, móveis,
equipamentos, etc.).
Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações
são indicados na NBR6120:1980.
Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são:
- peso específico do concreto armado = 25 kN/m3
- peso específico do concreto simples = 24 kN/m3
- enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3
- reboco (1cm) = 0,2 kN/m2
- revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2
- revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2
- forro falso = 0,5 kN/m2
- carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2
- carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m2
- carga variável em corredores, escadas em edifícios:
não residenciais = 3,0 kN/m2
residenciais = 2,5 kN/m2
- sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica.
- carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura
do corrimão (horizontal)
Exemplos:
* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar: peso próprio - 0,10 x 25
revestimento (tacos)
reboco
q (carga variável)
= 2,5 kN/m2
= 0,7 kN/m2
= 0,2 kN/m2
= 1,5 kN/m2
4,9 kN/m2
* laje de uma área de serviço, rebaixada de peso próprio - 0,08 x 25
20cm, com 15 cm de enchimento; espessura de 8 enchimento - 0,15 x 14
cm:
revestimento (cerâmico)
reboco
q (carga variável)
= 2,0 kN/m2
= 2,1 kN/m2
= 0,85kN/m2
= 0,2 kN/m2
= 2,0 kN/m2
7,15kN/m2
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6
Além da carga superficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes a
paredes de alvenaria executadas sobre a laje.
A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m 3- tijolos
furados; 18kN/m3 - tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura.
Exemplo:
p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m
1.6 - Determinação da espessura das lajes
Conforme o item 13.2.4.1 (NBR 6118:2014), nas lajes maciças de concreto armado
devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura:
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a
serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de acordo
com o indicado na tabela abaixo.
Tabela - Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço
h
cm
> 19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
n
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
Onde:
n = 1,95 – 0,05 h;
h é a altura da laje em cm.
NOTA: O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando do seu dimensionamento.
As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite de
serviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento para
determinar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargas
uniformemente distribuídas:
(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo;
(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente
e variável;
(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase
permanente de serviço:
pd,ser =  gi,k +  2j qj,k
(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível
determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, Ieq, pode ser estimado da
seguinte forma:
se ma  mr  Ieq = Ic
se ma > mr  Ieq = 0,30 Ic
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7
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
ma é o momento fletor na seção crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas
ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação quase
permanente de serviço;
mr é o momento de fissuração da laje, calculado por:
mr = 0,25 fctm b h2
onde o valor de fctm é obtido das seguintes expressões:
- para concretos de classes até C50:
fctm = 0,3 fck2/3
- para concretos de classes de C55 até C90:
fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)
onde fctm e fck são expressos em MPa.
A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do
concreto:
Ecs = i . Eci
sendo:
f ck
 1,0
80
e onde, Eci é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas
expressões:
i  0 ,8  0 ,2
Eci = E . 5600 fck1/2, para fck de 20 MPa a 50 MPa
Eci = 21,5.103 . E (fck/10 + 1,25)1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa
sendo:
E = 1,2 para basalto e diabásio
E = 1,0 para granito e gnaisse
E = 0,9 para calcário
E = 0,7 para arenito
onde, Eci e fck são dados em MPa.
A expressão para cálculo da flecha imediata é a seguinte:
pd,ser  4
f(t  0)  
Ecs Ieq
onde:
 – é um coeficiente que depende da vinculação e da relação entre os vãos da laje
(tabelas seguintes);
 - é o vão menor da laje.
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8
Tabela – Valores de  para lajes armadas em uma direção
1,30

0,53

0,26

12,5

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9
Tabela – Valores de  para lajes armadas em duas direções
a/b
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,99
0,85
0,71
0,59
0,48
0,40
0,25
0,23
0,21
0,18
0,15
0,13
0,46
0,41
0,36
0,30
0,25
0,21
0,83
0,63
0,48
0,35
0,26
0,19
0,25
0,25
0,24
0,23
0,21
0,19
0,91
0,73
0,58
0,46
0,35
0,28
0,48
0,44
0,41
0,36
0,31
0,28
0,24
0,24
0,23
0,20
0,18
0,16
0,44
0,38
0,32
0,25
0,20
0,16
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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10
(e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do
concreto:
f(t=) = (1+f) f(t=0)
Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança,
tomando-se t= e t0=1 mês, tem-se:
 f    (t  )  (t 0  1mês)  2 - 0,68  1,32
(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a
flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a
espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura
corrente para a laje.
Exemplo de determinação de espessura de uma laje:
A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento de
tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje será
executada para um concreto C20 e o agregado graúdo será de granito.
b=5m
a=4m
-
arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo);
-
calcula-se a carga permanente, que atua na laje:
peso próprio - 0,08 x 25
revestimento (tacos)
reboco
= 2,0 kN/m2
= 0,7 kN/m2
= 0,2 kN/m2
g = 2,9 kN/m2
-
a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m2;
-
a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de:
pd,ser =  gi,k +  2j qj,k = 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m2
-
o módulo de elasticidade secante do concreto é de:
f ck
20
 0 ,8  0 ,2
 0 ,85  1,0
i  0 ,8  0 ,2
80
80
Ecs = i . E 5600 fck1/2 = 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa
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11
-
o valor médio da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa
-
o momento de fissuração:
mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m
-
o momento de serviço:
ma = 0,039 pd,ser 2 = 0,039 x 3,35 x 42 = 2,09 kN.m/m
como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.
-
o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto:
Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4
-
a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, =0,30):
4
p 4
0,000335x4 00
f(t  0)   d,ser  0,30
 0,283 cm
2128,7x426 7
E cs Ieq
-
a flecha de longa duração é dada por:
f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm
-
a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis
em elementos estruturais), é:
fadm = /250 = 400/250 = 1,60 cm
Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a
espessura de 8 cm.
1.7 - Cálculo das solicitações
As lajes podem ser calculadas como placas em regime elástico ou em regime
rígido-plástico. Considerar o concreto armado um material elástico é uma boa aproximação
para o comportamento das lajes submetidas a cargas de serviço (verificação de estados
limites de serviço). Considerar o concreto armado um material rígido-plástico é uma boa
aproximação para o comportamento das lajes na ruptura (verificação de estados limites
últimos).
Para garantir condições apropriadas de dutilidade, quando as solicitações forem
determinadas no estado limite último através do regime rígido-plástico, a posição da linha
neutra deve ficar limitada em:
x d  0 ,25 se f ck  50 MPa
x d  0 ,15 se f ck  50 MPa
No estado limite último, para lajes retangulares, deve ser adotada uma razão
mínima de 1,5:1 entre momentos de borda e momentos no vão.
Em lajes de estruturas de edifícios correntes, as cargas atuantes são relativamente
baixas e não é necessária a verificação das tensões devidas às forças cortantes e nem o
dimensionamento de armadura transversal.
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12
1.8 – Dimensionamento das armaduras
O dimensionamento das armaduras das lajes deve ser feito para uma seção
retangular de largura b = 100 cm e altura útil d = h – c – 0,5cm.
Conforme a classe de agressividade ambiental, que a laje se encontra exposta, o
cobrimento da armadura é dado pela tabela seguinte:
classe de agressividade ambiental
cobrimento nominal (mm)
I
20
II
25
III
35
IV
45
Para a face superior das lajes, que serão revestidas com argamassa de contrapiso,
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e
outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por um cobrimento
nominal de 15 mm, não podendo ser inferior ao diâmetro das barras de armadura.
O dimensionamento da armadura à flexão simples deve ser feito pelas seguintes
expressões (armadura simples):
x
d


1 


As 
1
2 md
2
c f cd b d




c  f cd b x
f yd
onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a:
λ = 0,8 para fck ≤ 50 MPa; ou
λ = 0,8 – (fck - 50)/400 para fck > 50 MPa
e αc é definido como:
- para concretos de classes até C50: αc = 0,85
- para concretos de classes de C55 até C90: αc = 0,85 [1,0 - (fck - 50) / 200]
Esta armadura deve atender os valores mínimos indicados na tabela abaixo.
Tabela - Valores mínimos para armaduras em lajes de concreto armado
Armadura
Valores mínimos
para armaduras
Armaduras
negativas
Armaduras
negativas de bordas
sem continuidade

s min

s 0,67min
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Armaduras
positivas de lajes
armadas nas duas
direções

s 0,67min
Armadura positiva
(principal) de lajes
armadas em uma
direção

s min
Armadura de
distribuição nas
lajes armadas em
uma direção
s/s  20 % da
armadura principal
s  0,5 min
s/s  0,9cm2/m
13
A armadura mínima deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um
momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de
0,15%:
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup
onde:
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais
tracionada;
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração, conforme o item 8.2.5 da
NBR6118:2014:
fctk,sup = 1,3 fctm
- para concretos de classes até C50:
fctm = 0,3 fck2/3
- para concretos de classes de C55 até C90:
fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)
onde fctm e fck são expressos em MPa.
Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas
as taxas mínimas de armadura da abaixo.
Tabela - Taxas mínimas de armadura de flexão
Valores de mín 1) (As,mín/Ac)
Forma da
seção
Retangular
%
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
0,150
0,150
0,150
0,164
0,179
0,194
0,208
0,211
0,219
0,226
0,233
0,239
0,245
0,251
0,256
Os valores de mín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam
diferentes, mín deve ser recalculado.
1)
A NBR-6118:2014 (item 20.1) apresenta, ainda, as seguintes prescrições gerais
relativas às armaduras das lajes:
 As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que durante a execução
seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem.
 Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.
 As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no
máximo igual a 2h ou 20 cm.
 Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, toda a armadura positiva deve ser
levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser
prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.
 A armadura de distribuição, nas lajes armadas em uma só direção, deve ser igual ou
superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre
barras de no máximo 33 cm.
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14
Recomendam-se os seguintes critérios para a escolha da bitola e do espaçamento
das armaduras das lajes:
- para a armadura negativa (colocada junto à face superior da laje):
diâmetro mínimo:  5
espaçamento: entre 15 e 20cm
- para a armadura positiva (colocada na face inferior da laje):
diâmetro mínimo:  4,2
espaçamento: entre 10 e 15cm
Tabela – Áreas de armadura por unidade de comprimento (cm2/m),
para diferentes bitolas e espaçamentos
10cm 11cm 12cm 13cm 14cm 15cm 16cm 17cm 18cm 19cm 20cm 21cm 22cm 23cm 24cm 25cm
4,2
1,39
1,26
1,16
1,07
0,99
0,93
0,87
0,82
0,77
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
0,58
0,56
4,6
1,66
1,51
1,38
1,28
1,19
1,11
1,04
0,98
0,92
0,87
0,83
0,79
0,75
0,72
0,69
0,66

1,96
1,78
1,63
1,51
1,40
1,31
1,23
1,15
1,09
1,03
0,98
0,93
0,89
0,85
0,82
0,78
5,5
2,38
2,16
1,98
1,83
1,70
1,59
1,49
1,40
1,32
1,25
1,19
1,13
1,08
1,03
0,99
0,95
6
2,83
2,57
2,36
2,18
2,02
1,89
1,77
1,66
1,57
1,49
1,42
1,35
1,29
1,23
1,18
1,13

3,12
2,84
2,60
2,40
2,23
2,08
1,95
1,84
1,73
1,64
1,56
1,49
1,42
1,36
1,30
1,25
4
3,22
2,93
2,68
2,48
2,30
2,15
2,01
1,89
1,79
1,69
1,61
1,53
1,46
1,40
1,34
1,29

3,85
3,50
3,21
2,96
2,75
2,57
2,41
2,26
2,14
2,03
1,93
1,83
1,75
1,67
1,60
1,54

5,03
4,57
4,19
3,87
3,59
3,35
3,14
2,96
2,79
2,65
2,52
2,40
2,29
2,19
2,10
2,01

7,09
6,45
5,91
5,45
5,06
4,73
4,43
4,17
3,94
3,73
3,55
3,38
3,22
3,08
2,95
2,84
10
7,85
7,14
6,54
6,04
5,61
5,23
4,91
4,62
4,36
4,13
3,93
3,74
3,57
3,41
3,27
3,14
12,5 12,27 11,15 10,23
9,44
8,76
8,18
7,67
7,22
6,82
6,46
6,14
5,84
5,58
5,33
5,11
4,91
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15
2 - Lajes armadas em uma só direção
As lajes armadas em uma só direção são dimensionadas como se fossem vigas. A
vinculação é definida segundo o vão menor “a”.
Nas lajes armadas em uma só direção, podem ocorrer os seguintes esquemas
estruturais:
vinculação
regime elástico
regime rígido-plástico
p
mV = p2/8
mV = p2/8
r = p/2
r = p/2
mE = -p2/8
mV = 9p2/128
mE = -p2/8,88
mV = p2/13,32
rE = p/2 + |ME|/
rA = p/2 - |ME|/
rE = p/2 + |ME|/
rA = p/2 - |ME|/
mE = -p2/12
mV = p2/24
mE = -3p2/40
mV = p2/20
r = p/2
r = p/2
mE = -p2/2
mE = -p2/2
r = p
r = p

p

p

p

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16
Exemplo:
* Seja uma laje em balanço, com vão efetivo de 1,50m, correspondente a uma sacada, que
está rebaixada de 20cm, e recebe um enchimento de 15cm além do revestimento cerâmico
e um reboco de 1cm. Considerar concreto C20 (agregado graúdo de granito) e aço CA-50.
QV
p
1m
QH

São três os carregamentos atuantes sobre a laje em balanço:
(a) carga permanente uniformemente distribuída:
peso próprio:
enchimento – 0,15m x 14 kN/m3:
revestimento cerâmico:
reboco:
h x 25 kN/m3
2,1 kN/m2
0,85kN/m2
0,2 kN/m2
g = 3,15kN/m2 + h x 25kN/m3
(b) carga variável uniformemente distribuída: q = 1,5 kN/m2
(c) carga variável linear na borda livre da laje:
QV = 2 kN/m
QH = 0,8 kN/m
Para o projeto desta laje, devem ser consideradas combinações últimas e de serviço:
- combinações últimas:
m
n


Fd   g  FGi, k   q  FQ1,k    0j FQj,k 
i 1
j 2


- combinação quase-permanente de serviço:
m
n
i 1
j1
Fd   FGi,k    2j FQj,k
Conforme a norma brasileira, g = q = f = 1,4 e, para edifícios residenciais, =0,5
e =0,3.
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17
Para a determinação da espessura da laje, é necessária a verificação do estado limite
de deformações excessivas. Arbitra-se, inicialmente, que a espessura da laje é de 10 cm.
- as cargas de serviço são:
pd,ser = g + 0,3 q = 0,10m x 25kN/m3 + 3,15kN/m2 + 0,3 x 1,5kN/m2 = 6,10kN/m2
PdV,ser = 0,3 x 2kN/m = 0,6 kN/m
PdH,ser = 0,3 x 0,8 kN/m = 0,24 kN/m
- o módulo de elasticidade secante do concreto é de:
f ck
20
 0 ,8  0 ,2
 0 ,85  1,0
i  0 ,8  0 ,2
80
80
Ecs = i . E 5600 fck1/2 = 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa
- o valor médio da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa
- o momento de fissuração:
mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 102 = 559 kN.cm/m = 5,59 kN.m/m
- o momento de serviço:
p d,ser 2
6,10 x 1,52
 PdV,ser   PdH,ser (1m)
 0,6 x 1,5  0,24 x 1  8 ,00 kN.m/m
ma 
2
2
como ma>mr , a seção está fissurada e deve-se considerar Ieq = 0,30 Ic.
- o valor correspondente ao momento de inércia equivalente da seção:
Ieq = 0,30 Ic = 0,30 b h3/12 = 0,30 x 100 x 103/12 = 2500 cm4
- a flecha de curta duração é dada por:
4
1  p d,ser  P dV,ser  3 P dH,ser (1m)  2 
f(t  0) 




3/100
2/100
E cs I eq  8/100

f(t  0) 
 0,00061x 150 4 0,006x 150 3 0,0024x100x 150 2 
1



  0 ,90 cm
2128,7 x 2500 
8/100
3/100
2/100

- a flecha de longa duração é dada por:
f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,90 = 2,09cm
- conforme a norma, quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado
deve ser o dobro do comprimento do balanço; a flecha admissível, para a situação de
aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), será então:
fadm = /250 = (2x150)/250 = 1,20 cm
Desta forma, como a flecha provável é maior do que a flecha admissível, torna-se
necessário o aumento da espessura da laje, com verificações sucessivas do estado limite de
deformações excessivas. Estas verificações estão resumidas na tabela abaixo.
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18
Tabela – Verificação do estado limite de deformações excessivas
h
(cm)
pd,ser
mr
ma
(kN/m2) (kN.m/m) (kN.m/m)
Ieq
(cm4)
f(t=0)
(cm)
10
6,10
5,59
8,00
2500
0,90
f(t=)
(cm)
2,09
11
6,35
6,69
8,28
3328
0,70
1,63
12
6,60
7,96
8,57
4320
0,56
1,29
13
6,85
9,34
8,85
18308
0,12
0,27
Assim, a menor espessura da laje, que atende o estado limite de deformações
excessivas é de h=13cm. Para esta espessura, a flecha provável de 0,27 cm é inferior a
flecha admissível de 1,20 cm.
Para o dimensionamento da armadura, no estado limite último, devem se
consideradas duas combinações últimas de carga: a primeira tem a carga variável
distribuída como ação variável principal e a segunda tem o carregamento linear da borda
livre da laje como ação variável principal.
- a carga distribuída q é a ação variável principal:
g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2
p = 6,40 + 1,50 = 7,90 kN/m2
PV = 0,5 x 2,0 = 1,0 kN/m
PH = 0,5 x 0,8 = 0,4 kN/m
p 2
7,90 x 1,52
m    P V   P H (1m) 
1,0 x 1,5  0,4 x 110,79 kN.m/m
2
2
- o carregamento linear de borda (QV, QH) é a ação variável principal:
g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2
p = 6,40 + 0,5 x 1,50 = 7,15 kN/m2
PV = 2,0 kN/m
PH = 0,8 kN/m
p 2
7,15 x 1,52
m    P V   P H (1m) 
 2,0 x 1,5  0,8 x111,84 kN.m/m
2
2
O esforço normal n=PH é pequeno, frente ao momento fletor, e pode ser desprezado
para o dimensionamento da armadura. Deste modo, a armadura deve ser calculada para o
momento de 11,84 kN.m/m. Conforme a NBR6118:2014, no dimensionamento das lajes
em balanço, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente
adicional γn = 1,95 – 0,05 h = 1,30, considerando que a espessura da laje é de 13 cm.
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19
- dimensionamento à flexão simples:
m = 1184 kN.cm/m
fck = 20 MPa
b = 100 cm
h = 13 cm
d = h – c – 0,5cm = 13 – 1,5 – 0,5 = 11 cm
x
d


1 


AS 
1
 11 
2 x 1,30 x1,4x1184 


  2 ,19 cm
1

1

2
2
0,85x2/1,4 x100x11 
c f cd b d  0 ,8 
(x/d = 2,19/11 = 0,20 < 0,25 OK.)
2  n md
c  f cd b x 0 ,85 x 0 ,8 x 2 / 1,4 x100 x 2 ,19
2

 4 ,89 cm /m
50 / 1,15
f yd
- armadura mínima:
ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 13 = 1,95 cm2/m < AS
 armadura adotada: 10 c/16 cm
- armadura de distribuição:
 ASprinc 4 ,89
2
 5  5  0 ,98 cm / m

2
ASmín 1,95


 0 ,98 cm / m
ASdistr 
2
 2
2
0
,
9 cm / m


ASdistr   4,2 c/14cm ou  5 c/20cm
 10 c/16 cm
 4,2 c/14 cm
ou
5 c/20 cm
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20
2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão
A nova versão da NBR6118:2014 não traz recomendações específicas para o
cálculo de lajes armadas em uma só direção submetidas a cargas lineares. Por esta razão,
recomenda-se, ainda, o emprego das recomendações constantes na versão anterior da
norma.
a
45o
45o
h
b=a+h
Conforme a NBR6118:1980, as cargas se distribuem a 45o até o plano médio da laje
e se pode calcular a laje armada em uma só direção como uma viga de largura bw, onde:
bw = b + 
sendo  dado por:
(a) para momentos fletores positivos:
2. a1.   a1   b 

. 1  



(b) para momentos fletores negativos:
a . 2.   a1   b 
 1
. 1  



(c) para momentos fletores em lajes de balanço:
 b
  1,5. a1. 1  
 
onde a1 é a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda.
Para se adotar estes valores de bw, deve-se cumprir que:
B
(I) bw  B

(II) bw  2 C
(III)
A Sdistr 
b  A Sprinc
 1  0,8

s
bw 
s

bw
C
Esta armadura de distribuição deverá se estender sobre toda a largura bw, acrescida de um
comprimento de 50  para cada lado de bw (comprimento de ancoragem).
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21
p

P
2.2 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão
Para o dimensionamento de lajes armadas em uma só direção, submetidas a cargas
lineares na direção perpendicular ao vão, deve-se determinar a solução do problema
específico, utilizando o método das rótulas plásticas (regime rígido-plástico).
2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão
2,80m
p
Seja uma laje armada em uma só direção, que recebe uma parede de 12 cm de
espessura e 2,60 m de altura (alvenaria com 13kN/m3 de peso específico). Considerar o
concreto C20 (agregado graúdo de granito) e o aço CA-50.
bw
Arbitra-se, inicialmente, que h = hmín = 8 cm.
- cálculo da largura de influência da parede (vão):
 280
140 cm
a1  
2 2
b = a + h = 12 + 8 = 20 cm
bw = b + 
V 
2.a 1 .  a 1  
.1 


b  2x140(280  140) 
20 

1 
  130 cm

280
280 

bw,V = 20 + 130 = 150 cm
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22
- composição de cargas:
peso próprio – 0,08m x 25kN/m3:
revestimento (tacos):
reboco:
parede: 0,12mx2,60mx13kN/m3/1,50m:
2,0 kN/m2
0,7 kN/m2
0,2 kN/m2
2,7 kN/m2
g = 5,6 kN/m2
carga variável:
q = 1,5 kN/m2
- carga de serviço:
pd,ser = g + 2 q = 5,6 + 0,3x1,5 = 6,05kN/m2
- momentos da seção crítica e de fissuração:
ma 
9 pd,ser  2
128

9 x 6,05 x 2,82
 3,34 kN.m/m (elástico)
128
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa
mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m
como ma<mr , a seção não está fissurada e deve-se considerar-se Ieq = Ic.
- flecha imediata:
Ecs = i x E x 5600 fck1/2 = 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa
Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4
f(t  0)  0,53
pd,ser 4
Ecs Ieq
 0,53
4
0,000605 x 280
 0,217 cm
2128,7 x 4267
- flecha provável:
f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,217 = 0,503cm
- flecha admissível:
fadm = /250 = 280/250 = 1,12 cm
Assim, como a flecha provável é menor do que a flecha admissível, a espessura
adotada é suficiente.
Conforme as exigências da NBR6118:2014, relativas aos cobrimentos das
armaduras, admitir-se-á como altura útil da laje, no vão, d=5,5cm e, no engaste, d=6cm.
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23
- largura de influência da parede:
 280
140 cm
a1  
2 2
b = a + h = 12 + 8 = 20 cm
bw = b + 
V 
2.a 1 .  a 1  
.1 


E 
a 1 .2  a 1  
b  140(2x280  140) 
20 
.1   
1 
  195 cm


280
280 


b  2x140(280  140) 
20 

1 
  130 cm

280
280 

bw,V = 20 + 130 = 150 cm
bw,E = 20 + 195 = 215 cm
- Trecho fora da faixa de largura bw:
peso próprio – 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2
revestimento (tacos)
= 0,7 kN/m2
reboco
= 0,2 kN/m2
q
= 1,5 kN/m2
4,40 kN/m2
2
2
2
2
p
p
4,40x 2,80
4,40x2,80

 2,59 kN.m/m ; mE  

  3,88 kN.m/m
mV 
13,32
13,32
8,88
8,88
x
d


1 


AS 
m
d
(kN.m/m) (cm)
1
2 md
2
c f cd b d




c  f cd b x
f yd
x
(cm)
x/d<0,25
AS
(cm2)
ASmín
(cm2)
vão
2,59
5,5
0,716
0,130
1,60
1,20
5c/12
engaste
3,88
6,0
0,998
0,166
2,23
1,20
c/14
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24
 armadura de distribuição (no vão):
 A Sprinc 1,60

 0,32 cm 2 / m

5
 5
 A Smín 1,20

 0,60 cm 2 / m
A Sdistr  
2
 2
0,9 cm 2 / m


adotado: 0,9 cm2/m  5 c/21
- Trecho de largura bw, onde atua a carga de parede, além da carga superficial de 4,4
kN/m2.
* no vão:
bw = 150 cm
p = 0,12m x 2,6m x 13kN/m3 = 4,06 kN/m
p’= 4,06 kN/m/1,50m = 2,71 kN/m2
mV 
p
(4,40 2,71)x2,80

 4,18 kN.m/m
13,32
13,32
2
2
b = 100 cm; d = 5,5 cm
x
AS 
d


1 


1
2 md
2
c f cd b d

  1,200 cm (x/d = 0,218<0,25)


c  f cd b x
2
2
 2,68 cm /m  ASmín  1,20 cm /m  6,3 c/11
f yd

b 
 0,8x20 
2
A Sdistr  1  0,8
  2,39 cm /m
 A Sprinc  2,68 1 
b
150


w

2,39 cm2/m - 0,93 cm2/m = 1,46 cm2/m ( c/21)
* no engaste:
bw = 215 cm
p = 4,06 kN/m
p’= 4,06 kN/m/2,15m = 1,89 kN/m2
mE  
p
(4,401,89)x2,80

  5,55 kN.m/m
8,88
8,88
2
2
b = 100 cm; d = 6,0 cm
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25

1 


1
2 md
2
c f cd b d

  1,479 cm (x/d = 0,247<0,25)


c  f cd b x
2
2
 3,30 cm /m  ASmín  1,20 cm /m   c/15
f yd
- armadura negativa:
6,3 c/14
215 cm
- armadura positiva:
 c/14
AS 
d

 c/15
x
150 cm
5 c/12
 c/11
5 c/12
5 c/21
 c/21
213 cm
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26
3 - Lajes armadas em duas direções
3.1 – Solicitações conforme o regime elástico
Para a verificação de estados limites de serviço, deve-se considerar os momentos
fletores determinados pelo regime elástico. No caso das lajes armadas em duas direções,
estes valores podem ser calculados pela expressão:
m =  p 2
onde  é o vão menor da laje e p é a carga superficial atuante na laje. O valor de  deve ser
retirado de uma tabela, em função da relação entre os vãos e da vinculação da laje.
3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico
Para o dimensionamento da armadura das lajes, no estado limite último, devem ser
empregados os momentos fletores determinados considerando-se o regime rígido-plástico.
O método que utiliza este regime para o cálculo dos momentos das lajes é conhecido por
método das linhas de ruptura.
Conforme este método, em uma laje retangular, engastada nas quatro bordas, vão
aparecer momentos fletores negativos nos engastes, dados por:
m’ = - i . m
onde i é o grau de engastamento e m é o momento do vão.
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27
Tabela – Valores de  para lajes armadas em duas direções (regime elástico)
a/b
0,5
b
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
ma
0,099 0,086 0,073 0,061 0,051 0,042
mb
0,032 0,037 0,040 0,042 0,043 0,042
ma
mb
ma’
mb’
ma
mb
ma’
mb’
0,041
0,010
0,084
0,058
0,057
0,016
0,119
0,082
ma
0,084 0,065 0,049 0,037 0,027 0,020
mb
0,036 0,038 0,039 0,037 0,034 0,031
mb’
0,119 0,111 0,102 0,091 0,080 0,070
ma
0,042 0,041 0,039 0,037 0,034 0,031
mb
0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,020
ma’
0,084 0,083 0,082 0,078 0,074 0,070
ma
0,091 0,075 0,060 0,048 0,037 0,030
mb
0,034 0,038 0,040 0,039 0,038 0,036
mb’
0,122 0,117 0,110 0,102 0,093 0,084
ma
0,060 0,056 0,051 0,046 0,040 0,036
mb
0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,030
ma’
0,122 0,116 0,109 0,101 0,093 0,084
ma
mb
ma’
mb’
ma
mb
ma’
mb’
0,042
0,009
0,085
0,056
0,055
0,018
0,114
0,082
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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0,038
0,013
0,080
0,058
0,052
0,020
0,111
0,082
0,040
0,012
0,083
0,057
0,048
0,023
0,102
0,081
0,034
0,017
0,074
0,058
0,045
0,024
0,101
0,080
0,037
0,015
0,079
0,058
0,040
0,025
0,091
0,078
0,029
0,018
0,067
0,057
0,039
0,026
0,091
0,078
0,033
0,018
0,074
0,058
0,033
0,027
0,088
0,074
0,025
0,020
0,059
0,055
0,033
0,027
0,080
0,074
0,029
0,019
0,068
0,057
0,026
0,026
0,066
0,068
0,021
0,021
0,052
0,052
0,027
0,027
0,070
0,070
0,026
0,021
0,062
0,055
0,021
0,026
0,055
0,062
28
Chamando-se de 1, 2, 3, 4 os lados da laje, começando a numeração sempre por
uma borda de menor comprimento, os graus de engastamento serão i1, i2, i3 e i4, com
valores:
 entre 0,7 e 2,0, para as bordas engastadas (a NBR6118 recomenda que i  1,5);
 igual a 0, para as bordas apoiadas.
Sendo:
ma: o momento correspondente à armadura Asa, paralela ao vão “a”
mb: o momento correspondente à armadura Asb, paralela ao vão “b”
Os momentos negativos vão ser:
m1’ = - i1 . mb
m2 ’ = - i2 . ma
m3’ = - i3 . mb
m4 ’ = - i4 . ma
(a) cargas uniformemente distribuídas:
(a.1) lajes isótropas:
As lajes com 0,8 a/b 1 são consideradas lajes isótropas, isto é, ma = mb = m e
Asa = Asb. O momento no vão será calculado por:
m
p a r br
 a b 
8 1  r  r 
 br a r 
onde, p é a carga superficial e ar e br são os vãos reduzidos, que dependem dos graus de
engastamento i1, i2, i3, i4.
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29
ar 
br 
2a
1 i2  1 i4
2b
1  i1  1  i 3
(a.2) lajes ortótropas:
As lajes com 0,5  a/b < 0,8 são consideradas lajes ortótropas, ou seja, ma  mb e
Asa  Asb.
O coeficiente de ortotropia é definido por:

mb
ma
e pode ser calculado por
1,7

12 i 2 i 4  a 
. 
12  i1  i 3  b 
A laje ortótropa é calculada pelas mesmas fórmulas da isótropa, considerando-se
b
que o lado maior b tem um comprimento
.

Assim,
br
b*r 

m
p a r b*r
 a b* 
8 1  *r  r 
 br a r 
com
ar 
br 
2a
1 i2  1 i4
2b
1  i1  1  i 3
com ma = m e mb =  m .
Os momentos nos engastes serão:
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30
m1’ = - i1 . mb
m2 ’ = - i2 . ma
m3’ = - i3 . mb
m4 ’ = - i4 . ma
(b) cargas lineares:
O formulário do método das linhas de ruptura, para lajes submetidas a cargas
lineares, paralelas aos vãos “a” e “b”, sendo as cargas superficiais predominantes, é o
seguinte:

pa
p. b

ar 
br 
*
1

.
p*  p 1    2 
pb
p. a
2a
1 i2  1 i4
1    2
2b
.
1  3
1  i1  1  i 3
m
p* a r b*r
*

a
b 
8 1  *r  r 


 br a r 
com ma = m e mb =  m .
Este formulário foi obtido para a pior situação de posição da parede e com um
comprimento ao longo de toda laje. Pode-se usar este mesmo formulário em outras
situações a favor da segurança.
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31
3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras
Após a determinação dos momentos nos vãos ma e mb e dos momentos nos engastes
m1’, m2’, m3’ e m4’, o dimensionamento das armaduras é feito da seguinte maneira:
(a) laje isótropa:
dados: b = 100 cm; d = h – c – 0,5cm; m=ma=mb
calcular: AS = ASa = ASb
(b) laje ortótropa:
dados: b = 100 cm; da = h – c – 0,5cm; m=ma
calcular: AS = ASa
dados: b = 100 cm; db = h – c – 1cm; m=mb
calcular: AS = ASb
Neste cálculo, admite-se que da difere de db de um  (~5mm). Nas lajes isótropas,
usa-se um d único para se ter ASa = ASb. Sempre a armadura do menor vão deve ser
colocada por baixo da armadura do vão maior.
db
da
Conforme a NBR6118, quando houver predominância de cargas permanentes, as
lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos
momentos de continuidade (negativos) de forma aproximada. A compatibilização pode ser
realizada mediante alteração dos graus de engastamento, em procedimento iterativo, até a
obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do
maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes
sobre uma borda comum.
Desta forma, as lajes são calculadas separadamente, mas devem ter uma armadura
única de continuidade ao longo da borda comum que foi considerada engastada. Para isto,
deve-se dimensionar a armadura para o maior entre os dois momentos de engastamento e a
menor das alturas úteis. Estas armaduras devem se estender para cada lado do eixo do
apoio de um comprimento igual a 1/4 do maior dos vãos menores das duas lajes
consideradas.
Nos apoios de borda de piso, onde a laje termina, deve ser colocada uma armadura
de contorno correspondente a uma taxa de 0,67 mín, não menor do que 5 c/20 cm (1
cm2/m), com uma extensão igual a 1/5 do vão menor da laje.
A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na laje
adjacente, de um comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da laje
em balanço ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções,
também na face inferior (para limitar as aberturas de fissuras devidas à retração do
concreto e dilatação térmica).
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32
3.4 - Reações de apoio
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares, com carga
uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou
trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada.
De maneira aproximada, essas reações podem ser consideradas uniformemente distribuídas
sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por
retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:



45o entre dois apoios do mesmo tipo;
60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Empregando-se este último critério, os valores das reações podem ser determinados
com o auxílio da tabela da página seguinte (Vigas continuas, pórticos y placas – J. Hahn,
Editora Gustavo Gili - Barcelona – 1966).
Seja, por exemplo, a laje da figura abaixo, com a=2,5m e b=5,0m, submetida a uma
carga de 5,0 kN/m2.
b
30o
45o
a
30o
45o
b/a = 5,0/2,5 = 2,0
da tabela: vae = 0,159; var = 0,091; vbe = 0,476; vbr = 0,274
carga total da laje: 5,0 kN/m2 x 2,5 m x 5,0 m = 62,5 kN
reação na borda “a”, apoiada: 62,5 kN x 0,091 / 2,5 m = 2,28 kN/m
reação na borda “a”, engastada: 62,5 kN x 0,159 / 2,5 m = 3,98 kN/m
reação na borda “b”, apoiada: 62,5 kN x 0,274 / 5,0 m = 3,43 kN/m
reação na borda “b”, engastada: 62,5 kN x 0,476 / 5,0 m = 5,95 kN/m
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33
Tabela – Reações de apoio em lajes armadas em duas direções
b/a
b
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,80
2,00
va
250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125
vb
250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375
va
183 175 167 160 153 147 141 136 131 126
a
b
22
118 115 102 092
vbe 402 412 422 431 440 447 455 461 468 474 479 484 488 504 517
a
vbr 232 238 244 249 254 259 263 267 270 274 277 280 282 292 299
b
vae 402 388 378 366 355 342 331 320 310 300 289 280 272 241 217
var 232 226 218 212 205 198 191 184 179 173 167 161 156 139 125
a
vb
183 193 202 211 220 230 239 248 256 264 272 280 286 310 329
va
144 137 131 125 120 115 111 107 103 099 096 093 090 080 072
vb
356 363 369 375 380 385 389 393 397 401 404 407 410 420 428
va
356 349 341 334 327 320 312 304 297 290 283 275 267 241 217
vb
144 151 159 166 173 180 188 196 203 210 217 225 233 259 283
b
a
b
a
b
vae 317 302 288 276 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159
var 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 091
a
vbe 317 332 347 359 371 381 391 400 408 416 424 431 437 459 476
vbr 183 191 198 205 212 218 224 229 234 239 243 247 250 263 274
b
vae 250 237 227 217 208 200 192 185 179 173 166 161 156 138 125
var 144 137 131 125 120 114 110 107 103 099 096 093 090 080 071
a
b
vb
303 313 321 329 336 343 349 354 359 364 369 373 377 391 402
va
304 294 284 274 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159
vbe 250 263 275 288 301 314 327 339 350 360 370 378 387 416 437
a
vbr 142 149 157 164 171 178 185 191 196 202 208 214 217 232 245
b
va
250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125
vb
250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375
a
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34
3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais
Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um
dormitório, que apresenta revestimento de tacos de madeira na face superior e reboco de 1
cm de espessura na face inferior. A laje será executada com concreto C20 e aço CA-50.
b=5m
Foi verificado previamente (página
10), que uma espessura de h = 8 cm é
suficiente para esta laje atender o estado
limite de serviço de deformações excessivas.
a=4m
- composição de cargas:
peso próprio - 0,08 x 25
revestimento (tacos)
reboco
q
= 2,0 kN/m2
= 0,7 kN/m2
= 0,2 kN/m2
= 1,5 kN/m2
p = 4,4 kN/m2
- cálculo das solicitações:
a/b = 4/5 = 0,8  laje isótropa
i1 = i2 = 1,5
e
i3 = i4 = 0
ar 
2a
2x4

 3,10 m
1  i2  1  i4
1  1,5  1  0
br 
2b
2x5

 3,87 m
1  i1  1  i 3
1  1,5  1  0
m
p a r br
4,4 x 3,10 x 3,87

 2,16 kN.m/m
 a r br 
 3,10 3,87 

8 1    8 1 

 3,87 3,10 
 br a r 
ma = mb = 2,16 kN.m/m; m1’ = m2’ = -1,5 m = 3,24 kN.m/m
- armadura positiva:
ma = mb = 2,16 kN.m/m
d = h –c – 0,5 cm
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35
para classe de agressividade I  c = 2 cm
d = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm
x
d


1 


1
AS 
 5,5 

2 md
2 x 1,4x216

1  1 
  0,591cm
2 
2 

b
d
0
,
8
f
0,85x2/1,4
x100x5,5
c cd



(x/d = 0,107<0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2/1,4x100x0 ,591
2

 1,32 cm /m
50/1,15
f yd
ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS
 armadura adotada:  c/14 cm
- armadura negativa:
m1’ = m2’ = -3,24 kN.m/m
(supondo que os momentos de engastamento das lajes adjacentes sejam menores que os
3,24 kN.m/m)
d = h –c – 0,5 cm
c = 1,5 cm
d = 8 – 1,5 –0,5 = 6,0 cm
x
d


1 


1
AS 
 6,0 

2 md
2 x 1,4x324


  0,823 cm
1

1

2
2
0,85x2/1,4 x100x6,0 
c f cd b d  0 ,8 
(x/d = 0,137 < 0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2 /1,4x100x0 ,823
2

 1,84 cm /m
50/1,15
f yd
ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS
 armadura adotada:  c/15 cm
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36
 5 c/20
0,8
- detalhamento:
1,00
5,00
4,00
1,00
1,00
1,00
 6 c/15
1,00
 5 c/14
4,00
 5 c/14
2,85
 6 c/15
1,00
3,00
1,40
3.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais
Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a um
banheiro, que apresenta revestimento cerâmico e forro falso. A laje está submetida a uma
carga linear, referente a uma parede de 14 cm de espessura e 2,60 m de altura (peso
específico 13 kN/m3), além da carga superficial. A laje será executada com concreto C20 e
aço CA-50.
3,70
pa
b/a = 3,70/2,50 = 1,48  laje armada em
duas direções
2,50
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37
- determinação da espessura da laje:
Na falta de um procedimento mais preciso para a determinação da flecha em uma
laje armada em duas direções, submetida a carga linear, pode-se considerar, na verificação
do estado limite de deformações excessivas, a carga como uniformemente distribuída.
- composição de cargas:
peso próprio - 0,08 x 25
revestimento cerâmico
forro falso
parede: 0,14x2,60x13/3,70
= 2,0 kN/m2
= 0,85kN/m2
= 0,5 kN/m2
= 1,28kN/m2
g = 4,63 kN/m2
carga variável
q = 1,5 kN/m2
- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente:
pd,ser =  gi,k +  2j qj,k = 4,63 + 0,3 x 1,5 = 5,08 kN/m2
- momento na seção crítica e de fissuração:
a/b = 2,50/3,70 = 0,68  0,7
ma = 0,040 pd,ser 2 = 0,040 x 5,08 x 2,502 = 1,27 kN.m/m (elástico)
fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa
mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m
Ecs = i x E x 5600 fck1/2 = 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa
como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic.
Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4
- flecha imediata:
f(t  0)  
pd,ser  4
E cs Ieq
 0,32
4
0,000508x2 50
 0,070 cm
2128,7x426 7
- flecha provável:
f(t=) = (1+f) f(t=0) = 2,32 x 0,070 = 0,162 cm
- flecha admissível:
fadm = /250 = 250/250 = 1,0 cm
Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje a
espessura de 8 cm.
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38
- dimensionamento das armaduras:
- composição de cargas:


superficial:
peso próprio - 0,08 x 25
revestimento cerâmico
forro falso
q
= 2,0 kN/m2
= 0,85 kN/m2
= 0,5 kN/m2
= 1,5 kN/m2
p = 4,85 kN/m2
linear:
p a  0,14 m x 2,6 m x 13 kN/m3  4,73 kN/m
- cálculo das solicitações:

pa
4,73

 0,264
p . b 4,85 x 3,70
p
  b 0
p .a
p*  p 1    2  4,85(1  0,264  0)  6,13 kN/m
2
a/b = 2,50/3,70 = 0,68 < 0,8  laje ortótropa
i1 = i3 = i4 = 1,5
12 i 2 i 4

12  i1  i3
ar 
br 
*
1

1    2
1  3
m
e
1,7
i2 = 0
1,7
12  0 1,5  2,50 
a

  0,599
  
12 1,5 1,5  3,70 
b
2a
2 x 2,50

1,94 m
1  i2  1  i4
1  2,5
2b
1

1  i1  1  i3
0,599
1  0,264  0
1 0
2 x 3,70
 3,40 m
2,5  2,5
*
6,13 x 1,94 x 3,40
p a r b*r

1,52 kN.m/m
*
 a r b r   1,94 3,40 


8 1  *   8 1
3,40
1,94


a
b
r
r


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39
- armadura positiva:
ma = m = 1,52 kN.m/m
d = h –c – 0,5 cm = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm
x
d


1 


1
AS 
 5,5 

2 md
2 x 1,4x152

1  1 
  0,411cm
2 
2 

b
d
0
,
8
f
0,85x2/1,4
x100x5,5
c cd



(x/d = 0,075<0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2/1,4x100x0 ,411
2

 0,92 cm /m
50/1,15
f yd
ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS
 armadura adotada:  c/15 cm
mb =  m = 0,599 x 1,52 = 0,91 kN.m/m
d = h –c – 1 cm = 8 – 2 –1 = 5,0 cm
x
d


1 


1
AS 
 5,0 

2 md
2 x 1,4x91


  0,268cm
1

1

2
2
0,85x2/1,4 x100x5,0 
c f cd b d  0 ,8 
(x/d = 0,054<0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2 /1,4x100x0 ,268
2

 0,60 cm /m
50/1,15
f yd
ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m > AS
 armadura adotada:  c/16 cm
- armadura negativa:
(supondo que os momentos de engastamento sejam maiores que os das lajes adjacentes)
m4’ = - 1,5ma = -2,28 kN.m/m
d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm
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40
x
d


1 


1
 6,0 

2 md
2 x 1,4x228

1  1 
  0,569 cm
2 
2 

0,85x2/1,4 x100x6,0 
c f cd b d  0 ,8 
(x/d = 0,0948<0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2 /1,4x100x0 ,569
2

 1,27 cm /m
50/1,15
f yd
AS 
ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS
 armadura adotada:  c/15 cm
m1’ = m3’ =- 1,5mb = -1,37 kN.m/m
d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm
x
d


1 


1
 6,0 

2 md
2 x 1,4x137


  0,337 cm
1

1

2
2
0,85x2/1,4 x100x6,0 
c f cd b d  0 ,8 
(x/d = 0,0562<0,25 OK.)
c  f cd b x 0,85x0,8x2 /1,4x100x0 ,337
2

 0,75 cm /m
50/1,15
f yd
AS 
ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m > AS
0,65
0,50
0,65
0,65
0,65
 5 c/16
0,65
3,70
 5c/20
 5 c/15
3,70
 4,2 c/15
0,65
 4,2 c/16
 5 c/16
 armadura adotada:  c/16 cm
2,50
2,50
armadura positiva
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armadura negativa
41
4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado
As figuras abaixo apresentam as telas de utilização do programa de cálculo de lajes
maciças para os exemplos analisados nos itens 2.3 e 3.5.
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42
ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)
Tabela 1 – Características das barras
Diâmetro
Área
(mm)
(cm2)
6,3
0,312
8,0
0,503
10,0
0,785
12,5
1,227
16,0
2,011
20,0
3,142
22,0
3,801
25,0
4,909
32,0
8,042
40,0
12,566
Tabela 2 – Características dos fios
Diâmetro
Área
(mm)
(cm2)
2,4
0,045
3,4
0,091
3,8
0,113
4,2
0,139
4,6
0,166
5,0
0,196
5,5
0,238
6,0
0,283
6,4
0,322
7,0
0,385
8,0
0,503
9,5
0,709
10,0
0,785
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