(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Este texto estuda um grupo de problemas, conhecido como “problemas de
otimização”, em tais problemas, quando possuem soluções, é sempre possível encontrar
uma função onde uma vez determinado o valor mínimo ou máximo absoluto da função,
também chamados de valores ótimos, obtém-se a solução do problema. Os problemas de
otimização deste texto são exemplos simples de um grupo tratado na vasta área de
Matemática Aplicada chamada de Programação Matemática, esta área é subdividida em
outros ramos, como por exemplo: Programação Linear, Programação Quadrática,
Programação Inteira, etc.
Os exemplos seguintes ilustram problemas de otimização e procedimentos usados
para resolver tais problemas.
Exemplo Resolvido 1. Encontrar o número Solução. Seja x um número arbitrário,
positivo que somado com o inverso do seu então 1 x 2 é o inverso do seu quadrado.
quadrado, dê o menor valor possível.
Assim, o problema fica resolvido,
encontrando o valor de x que minimiza a função definida por
S(x) = x + 12 .
x
Como S′(x) = 1 −
x = 0, mas apenas
3
2
2
x3
, tem-se S′ ( x) = 0 para x = 3 2 e S′ ( x) não existe para
é valor crítico de S, pois 0 não pertence ao domínio de S.
S′ ( x) < 0 para 0 < x < 3 2 e S′ ( x) > 0 para x > 3 2 , S é decrescente no
intervalo 0, 3 2  e crescente no intervalo  3 2, +∞ , logo S tem valor mínimo


3
absoluto em x = 2 , portanto este é o número procurado.
Sendo
(
)
Exemplo Proposto 1. Mostrar que 2 é o número positivo que somado com o dobro do
seu inverso é o menor valor possível.
Exemplo Resolvido 2. Se numa indústria
forem produzidas de 200 a 230 unidades
de uma peça, haverá um rendimento semanal
de $540,00 por cada unidade. Entretanto se
forem produzidas mais de 230 peças, o
rendimento semanal em cada peça será reduzido em $2,00 por cada peça a mais. Determinar o maior rendimento semanal da
indústria.
Solução. Considere x a quantidade de
peças produzidas semanalmente e R o
rendimento semanal da indústria. Logo, se
200 ≤ x ≤ 230 então
R(x) = 540x
e se x > 230 o rendimento de cada peça
será 540 − 2( x − 230), isto é,
2 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
R ( x) = [540 − 2( x − 230) ]x = 1000x − 2 x 2
pois
200 ≤ x ≤ 500
x ≥ 200
1000 x − 2 x ≥ 0. Assim, resumindo tem-se
Observe que
se x > 230.
pela formulação do problema e
2
540x se 200 ≤ x ≤ 230

R ( x) = 
1000x − 2 x 2 se 230 < x ≤ 500,
logo R′ ( x) = 0 para x = 250 e R′ ( x) não existe para x = 230, ou seja, estes são os
valores críticos de R em [200,500]. Como
R(200) = 108000, R (230) = 124200, R (250) = 125000 e R (500) = 0,
o maior rendimento semanal para a indústria é de $125.000,00 e é atingido quando forem
produzidas 250 peças.
Exemplo Proposto 2. Numa excursão, cada pessoa pagará $800,00 se forem no máximo
30 pessoas. Entretanto, se forem mais de 30 pessoas, será reduzido $10,00 do valor por
cada pessoa excedente. Provar que deverão ir 55 pessoas na excursão, para que haja lucro
máximo.
É comum haver na relação em que aparece a variável que deverá ser minimizada
ou maximizada, mais de duas variáveis; neste caso, usando outras relações que também são
dadas pelo problema, é mais conveniente explicitar a variável (que deverá ser minimizada
ou maximizada) como função de uma única variável, através da eliminação das variáveis
excedentes. Por exemplo, se num problema aparece uma relação envolvendo as variáveis
x, y e z, onde y deverá ser minimizada ou maximizada, então o problema terá que
fornecer outra relação envolvendo apenas x e z, a fim de dar meios para colocar y como
função apenas de x ou somente de z.
Exemplo Resolvido 3. Achar os pontos Solução. Para resolver o problema, deve-se
sobre a curva y = x 2 mais próximos do encontrar o ponto ( x, y) sobre a curva, tal
que a distância
ponto (0, 2).
Y
2
y=x
2
d
d = x 2 + (y − 2)2
(x,y)
de
O
função apenas de y, assim
X
(0,2)
a
2
( x, y )
Substituindo x = y,
seja mínima.
acha-se
d
como
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 3
d(y) = y + (y − 2) 2 .
Tem-se
d′(y) =
logo d ′ ( y) = 0 para
2y − 3
2 y + (y − 2)2
,
y = 32 , como d é derivável, este é seu único valor crítico. Sendo
d ′ ( y) < 0 para y < 32
e d ′ ( y) > 0 para y > 32 , d tem mínimo local em
também é mínimo absoluto. Portanto, como y = 32 corresponde a x = ±
(−
3, 3
2 2
)e(
3, 3
2 2
)
3,
2
3
2
que
os pontos
estão mais próximos de (0,2) do que qualquer outro ponto sobre a
curva y = x 2 .
Observe que, considerando D( y) = [d ( y)] , o valor que minimiza d é o mesmo
que minimiza D e os cálculos usando a função D são mais simples. Veja o exercício 31
do exercitando do tópico 1 desta aula.
2
Exemplo Proposto 3. Mostrar que a origem é o ponto da curva y = x 3 mais próximo do
ponto (0,1).
Exemplo Resolvido 4. Determinar as Solução. Considere o círculo com centro na
dimensões do retângulo de maior área, que
origem. Se ( x, y) está sobre a
pode ser inscrito no círculo de raio igual a
circunferência de centro em (0,0) e raio
3.
3, então 2x e 2y são as dimensões de
Y
um retângulo inscrito no círculo, logo sua
área é
(x,y)
O
A = 4 xy.
X
Como x2 + y2 = 9, esta relação em x e y
permite expressar a área do retângulo em função apenas de x ou de y. Substituindo y,
obtém-se
A(x) = 4x 9 − x2.
Sendo
2
A′ (x) = 36 − 8x ,
9 − x2
4 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
tem-se
A ′ ( x) = 0
x = ± 3 22
para
e
A′ (x)
não existe se
x ≤ −3 ou x ≥ 3.
Observe que 0 < x < 3, a fim de que A ( x) seja a área de algum retângulo inscrito no
3 2
é
2
x = 3 22
círculo, assim
Substituindo
o único valor crítico de A, o qual dá o máximo absoluto de A.
na equação
x 2 + y 2 = 9, encontra-se
y = 3 2 2 . Portanto, o
retângulo procurado é um quadrado de lados iguais a 3 2.
Exemplo Proposto 4. Provar que o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito
num círculo de raio 3, é eqüilátero de lados iguais a 3 3.
Exemplo Resolvido 5. Um muro com m
metros de altura é paralelo a uma parede e
está à distância d metros da mesma. Se um
refletor deve ser colocado no solo, a fim de
atingir a parede com um raio luminoso;
encontrar o ponto em que o refletor deve ser
colocado, para que o raio luminoso tenha o
menor comprimento possível e o
comprimento do raio.
Solução. Sejam
x
à distância do
refletor até a parede e y a altura em que o
raio luminoso atinge a parede. Então, o
comprimento c do raio luminoso é
c = x2 + y2 .
Como o triângulo de lados x − d e m é
semelhante ao triângulo de lados x e y,
tem-se
x −d = x.
m
y
c
y
Substituindo
m
d
x-d
x
y
desta última relação em
c = x 2 + y 2 , acha-se c como função só
de x, isto é,
 mx 2
c(x) = x 2 + 
.
 x − d 
Seja C( x) = [c( x)]
2
(veja observação após a solução do exemplo 3 – pág. 231),
então
2x  (x − d)3 − m 2 d 

,
C′ (x) =
3
(x − d)
3
logo C′ ( x) = 0 para x = 0 e x = d + dm 2 e C′ ( x) não existe para x = d. Como o
problema exige que x > d , d + 3 dm 2 é o único valor crítico de C, no qual C tem o seu
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5
valor mínimo absoluto. Portanto, c tem mínimo absoluto em
d + 3 dm 2 , isto é, o
refletor deve ser posto a 3 dm 2 metros do muro, para que o raio luminoso tenha o menor
comprimento possível que é de
(
)

3
c d + dm 2 = 1 + 3

( md )
2

3
m 2 + m d 2 m metros.

Exemplo Proposto 5. Um fio de comprimento C vai ser cortado em duas partes, uma será
dobrada na forma de circunferência e a outra na forma de triângulo eqüilátero. Mostrar que
a circunferência deverá ter
3πC
9 + 3π
de comprimento e o triângulo
9C
9 + 3π
de perímetro,
para que a soma das áreas das figuras seja menor possível.
EXERCITANDO
1. Encontre o número negativo que somado com o seu inverso, seja o maior valor possível.
2. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível com 4 cm de perímetro.
3. Encontre os dois números cuja soma seja igual a 12 e o produto seja maior possível.
4. Seja R a região limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 4. Determine as dimensões
do triângulo com base paralela ao eixo X, de maior área possível e que pode ser inscrito
na região R.
5. Encontre os pontos da curva dada, mais próximos do ponto indicado:
(a) xy = 1, A ( 2,2);
(b) y 2 − x 2 = 1, A (0,4).
6. Mostre que a elipse de maior área circunscrita num retângulo de base e altura iguais a 4
e 2, respectivamente, tem semi-eixos iguais a 2 2 e 2 . Sugestão: use que a área
da elipse de semi-eixos a e b é igual a πab.
7. Ache as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num
semicírculo de raio igual a 2. Resolver o problema trocando o semicírculo por uma
semi-elipse de semi-eixos a e b.
8. Determine o triângulo isóscele de maior área inscrito num círculo de raio igual a 3.
Resolver o problema trocando o círculo por uma elipse de semi-eixos a e b, sendo o
lado do triângulo, diferente dos outros dois, paralelo a um dos eixos da elipse.
9. Considere uma reta contendo (11
, ) e interceptando os semi-eixos positivos. Ache a reta
6 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
de forma que a área do triângulo determinado pela reta e os eixos coordenados seja
mínima. Mostre que essa é a reta contendo (1,1) que está à distância máxima da
origem.
10. Um texto vai ser impresso numa folha de papel retangular com a cm 2 , as margens
inferior e superior terão b cm e as margens laterais c cm. Ache as dimensões da
folha de papel, para que a área a ser impressa seja maior possível.
11. Um retângulo está inscrito num triângulo de base b e altura h. Se esse retângulo é o
de maior área possível e tem um lado sobre a base do triângulo, determine suas
dimensões, quando o triângulo é:
(a) Eqüilátero
(b) Retângulo;
(c) Qualquer.
12. Um terreno retangular vai ser murado pelo seu proprietário e um de seus vizinhos vai
pagar um dos lados. Se as despesas são de $8,00 por metro para o lado paralelo ao do
vizinho e $5,00 por metro para os lados restantes, ache as dimensões do terreno de
maior área possível que pode ser murado pelo proprietário com $800,00.
13. Uma janela terá a forma retangular encimada por uma semi-elipse. Se p e h são o
perímetro da parte retangular e a altura máxima da janela, respectivamente, determine
as dimensões do retângulo e o semi-eixo vertical da semi-elipse, para que penetre o
máximo de luz pela janela.
14. Uma pessoa encontra-se numa embarcação a 8 km do local mais próximo de uma
praia e ele deseja chegar a um lugar da praia distante 208 km de onde se encontra.
Se a embarcação desenvolve 6 km h e a pessoa pode andar 8 km h, determine onde
ela deve desembarcar na praia para chegar ao menor tempo possível.
15. Considere um fio na forma de Y suspenso nos pontos A e B, se a distância de A até
B é de d metros e a extremidade inferior do fio está h metros da reta contendo A e
B, determine o fio de menor comprimento possível.
16. Quais são as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa de menor área possível e que
tenha volume igual a V.
17. Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser
inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente.
18. Encontre as dimensões do cilindro circular reto de área máxima, que pode ser inscrito
numa esfera de raio igual a r.
19. Determine as dimensões do cone de máximo volume, que pode ser inscrito numa esfera
de raio igual a r.
20. A resistência de uma viga, cuja seção transversal será retangular, devera variar na razão
direta da raiz quadrada da largura pela altura. Se a viga deverá ser serrada de um
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7
tronco de árvore cilíndrico, ache as dimensões da seção transversal da viga mais
resistente possível.
21. Uma indústria deseja fazer embalagens na forma de caixa:
(a) Se as partes laterais e o fundo serão feitos com uma lâmina quadrada de 30 cm de
lados, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, ache o
comprimento do lado do quadrado que deve ser cortado, para que seja obtido uma
embalagem de maior volume possível;
(b) Se as caixas terão tampa e serão feitas da mesma forma e com a mesma lâmina de
(a), só que cortando retângulos iguais em cada canto, encontre as dimensões do
retângulo que deve ser cortado, para que seja obtida uma embalagem de maior
volume possível;
(c) Se as caixas não terão tampa e serão feitas com uma lâmina quadrada, cortando
quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, determine o comprimento dos
lados da lâmina e do quadrado a ser cortado, para que seja obtida uma caixa de
volume igual a V com o menor custo possível;
(d) Se as caixas terão tampa e serão confeccionadas com uma lâmina quadrada,
cortando retângulos iguais nos cantos, determine o comprimento dos lados da
lâmina e as dimensões do retângulo a ser cortado, para que seja obtida uma caixa
de volume igual a V com o menor custo possível.
22. Uma viga deverá passar horizontalmente por dois corredores que se encontram em
ângulos retos e de larguras iguais aos valores a e b. Mostre que a maior viga deve
ter comprimento igual a a 1 + (b / a )2 3 + b 1 + (a / b )2 3 .
23. Uma viga de comprimento igual a c é arrastada por uma extremidade ao longo de um
corredor de largura a e que se encontra com outro corredor perpendicularmente.
Determine a menor largura do outro corredor para que a viga possa passar.
24. (Lei da Refração de Snell). Suponha que um raio de luz vai do ponto A ao ponto B,
onde A e B estão em meios diferentes, e v A e v B são as velocidades da luz nos
dois meios. Se M é o ponto onde o raio de luz muda de meios, mostre que a luz
percorre o caminho de A até B, no menor tempo possível se v B sen α = v A sen β,
onde α está subtendido pelo raio de luz e a vertical por M no meio onde se
encontra o ponto A e β está compreendido entre o raio de luz e a vertical por M no
meio onde se encontra o ponto B. Mostre ainda a lei da reflexão, isto é, o ângulo de
incidência do raio luminoso é igual ao ângulo de reflexão.
RESPOSTAS (Exercícios Ímpares)
1. − 1; 3. 6 e 6;
7. 2 2 e
2,e
(
)
5. (a) ( −1,−1) se x < 0 e (11
, ) se x > 0, (b) ± 3 ,2 ;
2a e b ;
2
9. x + y = 2; 11. (a) b e h , (b) b e h , (c) b e h ;
2
2
2
2
2
2
8 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
13. As dimensões do retângulo são
p
p
e
− πh
+ πh , e o semi-eixo da elipse é
4 2(4 − π)
4 2(4 − π)
p h(8 − π)
− +
;
4 2(4 − π)
d m e a parte de baixo h − d m;
3
2 3
17. O raio é 2r e a altura é h ; 19. O raio é 2 2r e a altura é 4r ;
3
3
3
3
15. As partes iguais têm
21. (a) 5 cm,
(b) 5 cm e 10 cm,
(c) os lados da lâmina são 2 3 2V e os lados do
V , (d) os lados da lâmina são
4
3
retângulo são 23 V e 23 V + 3V ;
9
9 2 2
quadrado são
23.
3 2
c
(
3
)
c2 3 − a 2 3 + 3 a .
43 V + 23 3V,
9
as dimensões do