Disciplina: Cálculo II
Semestre – 2010.1
Professora: Edmary Barreto
“ Respondeu Jesus: Em verdade, em verdade te digo:
quem não nascer da água e do Espírito não pode entrar
no reino de Deus.” Jo 3:5
Momento, Massa e Centro de Massa de uma Barra ou Faixa Fina ao longo do
Eixo x com Função Densidade d ( x ) .
b
Momento em torno da origem:
M 0 = ò xd ( x ) dx
a
Massa:
M=
b
ò d ( x)dx
a
b
M
Centro de massa: x = 0 =
M
ò xd ( x )dx
a
b
ò d ( x)dx
a
Exemplo 1: Faixas e Barras de Densidade Constante
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina ou barra de densidade
constante situa-se no meio do caminho entre um extremo e outro.
Re sp. x =
a+b
2
Exemplo 2: Barra de Densidade Variável
Uma barra de 10m de comprimento fica mais espessa da esquerda para a direita, de
xö
æ
d ( x ) = ç 1 + ÷ kg / m
è
10 ø
modo que sua densidade, em vez de ser constante, é
. Determine o
centro de massa da barra.
Re s. x =
50
m
9
MASSAS DISTRIBUÍDAS EM UMA REGIÃO PLANA
~
Momento em torno do eixo
x:
M x = ò ydm
Momento em torno do eixo
y:
M y = ò xdm
~
Massa:
M=
ò dm
Centro de massa: x =
My
M
y=
Mx
M
Exemplo 3: Placa de Densidade Constante
d =3
Uma placa triangular tem uma densidade constante de
a) o momento My da placa em torno do eixo y.
b) a massa M da placa.
c) a abscissa do centro de massa (c.m.) da placa.
Re s. a ) M y = 2 g. cm b) M = 3g c) x =
g
cm 2 . Determine:
2
cm.
3
Exemplo 4: Placa de Densidade Constante
Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante d que cobre
2
a região limitada superiormente pela parábola y = 4 - x e interiormente pelo eixo x.
æ 8ö
Re s. ( x , y ) = ç 0, ÷
è 5ø
Exemplo 5: Placa de Densidade variável
Determine o centro de massa da placa do exemplo 4 se a densidade no ponto (x, y)
2
for d = 2 x , duas vezes o quadrado da distância do ponto para o eixo y.
Re s.
( x, y) = æçè 0, 87 ö÷ø
Exemplo 6: Fio de Densidade Constante
Determine o centro de massa de um fio de densidade constante d com formato de
semicírculo com raio a.
2
Re s. y = a
p