caderno do
ensino médio
2ª- SÉRIE
volume 3 – 2009
matemática
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 3 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-361-5
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja,
Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson
José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
12
Situação de Aprendizagem 1 – Probabilidade e proporcionalidade: no início
era o jogo... 12
Situação de Aprendizagem 2 – Análise combinatória: raciocínios aditivo e
multiplicativo 23
Situação de Aprendizagem 3 – Probabilidades e raciocínio combinatório
Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidades e raciocínio combinatório:
o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal 43
Orientações para Recuperação
50
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a
compreensão do tema 52
Considerações finais
53
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
54
36
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor,
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA dO CAdERnO
Análise combinatória e probabilidades
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Médio
Série:
2a
Volume:
3
temas e conteúdos:
Probabilidades – aplicações do cálculo
proporcional
Raciocínio combinatório: princípios aditivo
e multiplicativo
Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal
7
ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo
disciplinar de cada bimestre não se afastam, de
maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à forma de abordá-los, sugerida ao longo dos
Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a
contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemáticas,
bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica,
o tema correspondente a uma das unidades
pode ser estendido para mais de uma semana,
enquanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do
bimestre e, muitas vezes, uma delas contribui
para a compreensão das outras. Insistimos, no
entanto, no fato de que somente o professor,
8
em sua circunstância particular, levando em
consideração seu interesse e o dos alunos
pelos temas apresentados, pode determinar
adequadamente quanto tempo dedicar a cada
uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma
de abordagem sugerida, instrumentalizando o
professor para sua ação na sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e
podem ser exploradas pelo professor com mais
ou menos intensidade, segundo seu interesse e
de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é a de que
a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas que foram oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais de apoio
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem ainda o Caderno algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
Os conteúdos pertinentes à análise combinatória e ao cálculo de probabilidades,
selecionados para serem desenvolvidos no
3o bimestre da 2a série do Ensino Médio, costumam trazer desconforto não apenas aos
estudantes, mas também aos professores. Parece difícil justificar esse fenômeno se pensarmos
que o conjunto de ferramentas matemáticas
necessárias para a resolução de praticamente
100% dos problemas é composto apenas das
quatro operações com números naturais e de
uma das principais ideias da fração: a da comparação entre a parte e o todo.
O tratamento tradicional do tema parte
da classificação dos problemas em grupos
– permutação, arranjos, combinações – de
acordo com determinado critério, na tentativa de facilitar a resolução a partir da
aplicação de algumas fórmulas de cálculo.
Se, por um lado, tal formalização permite
agilizar a resolução de situações-padrão, por
outro, dificulta o enfrentamento de situações-problema reais, com contextos e dificuldades inéditas. Dessa forma, um curso de
Matemática que priorize a resolução de problemas como principal metodologia de aprendizado não pode se basear unicamente na
classificação das situações em grupos determinados, sob pena de limitar por demais
as estratégias de raciocínio que o estudante pode e deve mobilizar ao se confrontar
com uma dificuldade real. Assim, como será
explicitado nas Situações de Aprendizagem
apresentadas para o tratamento do tema,
propomos que a classificação e o formalismo
tradicional sejam, inicialmente, relegados a
um segundo plano e, apenas ao final, sejam,
conforme a vontade do professor, realizados
nos moldes conhecidos.
O raciocínio combinatório e o cálculo de
probabilidades são conceitos apresentados
aos alunos desde as séries iniciais do segundo ciclo do Ensino Fundamental, etapa em
que tais conceitos não costumam gerar qualquer dificuldade além das habituais para esse
segmento de ensino. Dessa maneira, trata-se
agora, no Ensino Médio, de partir dos conhecimentos e das habilidades anteriormente
construídos e promover os aprofundamentos
necessários. Com base nessa hipótese, propomos que a apresentação dos conteúdos do
bimestre inicie-se com as probabilidades desprovidas de cálculo combinatório.
Apresentar o cálculo de probabilidades sem
a exigência de raciocínio combinatório significa
priorizar o fato de que podemos expressar a
chance de ocorrência de um evento por intermédio de uma razão entre dois valores, a parte
e o todo. O numerador dessa razão coincide
com o número de resultados esperados para o
experimento, enquanto o denominador coincide com o número de resultados possíveis,
todos eles considerados igualmente prováveis.
Em uma classe de 40 alunos, se qualquer um
tem uma chance em quarenta de ser sorteado, e todos sabem disso, precisamos apenas
formalizar essa condição, que expressamos na
língua materna por intermédio de uma fração,
1
, por uma porcentagem (2,5%), e também
40
por um número real maior que 0 e menor
9
que 1, nesse caso, 0,025. Nada disso, de fato,
acarreta maiores dificuldades, visto se tratar de
conhecimento que se incorporou ao senso comum. Cremos, portanto, que os alunos trazem
na 2a série do Ensino Médio o terreno preparado
para o estudo formalizado das probabilidades,
desde que os casos a eles apresentados não envolvam, inicialmente, raciocínio combinatório.
Diante dessas premissas, propomos a Situação
de Aprendizagem 1 – Probabilidade e proporcionalidade: no início era o jogo..., na qual
exploramos a noção teórica de probabilidade
por intermédio de jogos pedagógicos, conforme
a descrição apresentada mais adiante.
Uma adição de n parcelas iguais a p pode
ser representada pelo produto n . p. Muitas são
as situações-problema que são resolvidas por
intermédio de uma adição desse tipo. Outras
adições, não formadas por parcelas iguais, também podem ser expressas por intermédio de
um produto, como é o caso, por exemplo, de
5 + 4 + 3 + 2 + 1 que é igual a (6 . 5) ÷ 2 ou 15.
Expressões desse tipo também podem explicitar a solução de uma situação-problema, nesse caso, por exemplo, o cálculo de número de
grupos diferentes de duas pessoas formados a
partir de 6 indivíduos. Problemas envolvendo
raciocínio combinatório são, na maioria das
vezes, resolvidos por intermédio de uma adição ou de uma multiplicação, embora quase
sempre a escolha pela multiplicação seja a
mais aconselhável, já que envolve raciocínio
mais elaborado e eficiente. Perceber a existência das duas possibilidades apontadas para
resolver um problema de análise combinatória e as vantagens de uma sobre a outra é, em
suma, o objetivo principal da Situação de
Aprendizagem 2 – Análise combinatória:
10
raciocínios aditivo e multiplicativo, na qual
apresentamos e discutimos alguns encaminhamentos possíveis para um trabalho pedagógico nessa perspectiva.
A solução de situações-problema envolvendo simultaneamente raciocínio combinatório e cálculo de probabilidades costuma
acarretar dificuldades maiores do que aquelas
em que se aplicam esses conteúdos de maneira independente. Dentre as diversas justificativas possíveis, podemos enunciar o fato de que
as características conjuntas desses conteúdos
impedem que os problemas sejam facilmente
agrupados em tipos-padrão, de maneira que
resolver um deles sempre passe pela mobilização da estratégia de raciocínio que o associa
a algum anteriormente resolvido e compreendido, como ocorre, mais facilmente, com
problemas de outros grupos de conteúdos matemáticos. Essa impossibilidade de padronização exige, mais do que em outros casos, que
os alunos mobilizem diversas estratégias de
raciocínio. Cabe, portanto, ao professor estimular a resolução de diversos problemas de
análise combinatória e probabilidades com o
foco voltado para o tipo de raciocínio exigido,
em vez da clássica separação em problemas típicos, baseada no tipo de operação matemática
envolvida. Na Situação de Aprendizagem 3 –
Probabilidades e raciocínio combinatório,
apresentamos uma possibilidade de abordagem desse tipo de problema com base no
raciocínio que considera unicamente dois
aspectos: a independência de dois ou mais
eventos para os quais se quer calcular a probabilidade e as diferentes possibilidades de
ordenação para sua ocorrência simultânea.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Um cálculo de probabilidades sempre está
associado a um “sim” e a um “não”, ou a um
“sucesso” e a um “fracasso”, sem, todavia,
que esses aspectos sejam expressos por probabilidades iguais. Em outras palavras, nem
sempre há 50% de chance para o “sim” e 50%
para o “não”, como no caso da face observada no lançamento de uma moeda em que
o “sim” pode ser coroa e o “não” pode ser
cara. Para o comprador de um número de uma
rifa, em um total de 200, o “sim” é 0,5% e o
“não” é 99,5%. O que ocorre com o cálculo
de probabilidades de eventos que se repetem
n vezes sob as mesmas condições, isto é, situações em que “sim” ou “não” são esperados
cada um, mais de uma vez, como no caso do
lançamento de quatro dados com o objetivo de se conseguir duas vezes o número seis
na face superior? A resolução desse tipo de
problema pode ser associada ao desenvolvimento de um binômio do tipo [(sim) + (não)]n,
de modo que, assim procedendo, estamos
atribuindo significado real à busca do termo
geral do Binômio de Newton, bem como aos
elementos das linhas do Triângulo de Pascal.
Na Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidades e raciocínio combinatório: o binômio de
newton e o triângulo de Pascal, apresentamos
uma proposta em que reforçamos a importância dos problemas de probabilidades que envolvem distribuição binomial como elemento
fundamental para a compreensão dos demais
casos.
O bimestre, com base nas considerações
anteriores, pode ser organizado nas seguintes
oito unidades, correspondendo, aproximadamente, a oito semanas:
Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 2a série do Ensino Médio
Unidade 1 – Probabilidades em situações que não exigem raciocínio combinatório – reunião e interseção de eventos; probabilidade condicional.
Unidade 2 – Combinatória: raciocínios aditivo e multiplicativo.
Unidade 3 – Combinatória: agrupamentos ordenados – Arranjos simples.
Unidade 4 – Combinatória: agrupamentos não ordenados – Combinações.
Unidades 5 e 6 – Probabilidades em situações que exigem aplicação do raciocínio combinatório.
Unidades 7 e 8 – Distribuição binomial de probabilidades: o Binômio de Newton e o Triângulo
de Pascal.
11
SitUAÇõES dE APREndizAgEM
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 1
PROBABIlIDADE E PROPORCIONAlIDADE:
NO INíCIO ERA O jOgO...
A origem organizada do estudo das probabilidades remonta à correspondência trocada
entre os matemáticos Blaise Pascal e Pierre de
Fermat, que viveram no século XVII, na qual
discutiam as chances associadas aos jogos de
azar, notadamente aos jogos envolvendo baralhos. Pode-se afirmar que, por muitos anos
anteriores ao século XIX, o cálculo das probabilidades foi utilizado apenas para prever as
chances de determinada aposta sair vencedora em algum jogo. As descobertas da Física,
notadamente da Mecânica Quântica, conduziram o estudo das probabilidades a um novo
patamar, no qual algumas ocorrências, no
mundo do muito pequeno, podem apenas ser
previstas com determinada margem de segurança. Todavia, apesar das inúmeras aplicações
atuais do cálculo de probabilidades nos mais diversos ramos do conhecimento, como na Economia e na Medicina, não há exagero em associá-lo
diretamente aos eventos de um jogo de azar, se
queremos, de fato, respeitar suas origens.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: probabilidade simples, sem necessidade de raciocínio combinatório.
Competências e habilidades: interpretar informações fornecidas por intermédio de diferentes
linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma situação-problema.
Estratégias: proposição de jogos pedagógicos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
A proposta da Situação de Aprendizagem 1
parte das seguintes premissas:
f o desenvolvimento da teoria sobre o cálculo de probabilidades esteve diretamente
associado aos jogos de azar;
12
f quando os eventos para os quais se deseja
calcular a probabilidade de ocorrência não
envolvem raciocínio combinatório, a fração
que expressa a probabilidade pode ser entendida como uma razão entre a parte e o todo,
ideia essa com a qual os alunos convivem
desde os primeiros anos do segundo ciclo do
Ensino Fundamental;
Matemática – 2ª- série – Volume 3
f a probabilidade de ocorrência de dois ou
mais eventos pode ser calculada, em vários casos, pela multiplicação das probabilidades de ocorrência de cada um dos
eventos;
f convém desvincular, inicialmente, os conceitos associados ao cálculo das probabilidades daqueles associados aos problemas
de contagem envolvendo raciocínio combinatório;
f o cálculo das probabilidades associadas à
ocorrência de eventos em jogos pedagógicos é quase intuitivamente realizado por
crianças e adolescentes, tratando-se, dessa
maneira, de processo de formalização de
conhecimentos pré-adquiridos, com vistas
à posterior extrapolação.
Para contemplar essas premissas, propomos, nesta Situação de Aprendizagem, duas
atividades com características bem diferentes.
A primeira delas consiste em uma reconstituição “infiel” de um momento da história, em
que um determinado problema tomou a atenção dos matemáticos, e a segunda atividade é
de fato um jogo pedagógico, descrito adiante,
que não exige fundamentação teórica anterior
por parte dos alunos e que, de certa forma,
prepara o terreno para a formalização conceitual necessária, nesse caso, posterior à realização do jogo.
Sugerimos ao professor que utilize uma
semana de seu curso para a discussão do
cálculo de probabilidades que não exigem
raciocínio combinatório. Não é aconselhável,
nesse momento, que os alunos se dediquem
à resolução de problemas com maior grau
de dificuldade do que os tipos que compõem
esta Situação de Aprendizagem.
Atividade 1 – Uma narrativa e um
problema de probabilidades
Um dos problemas apresentados e discutidos na correspondência entre os matemáticos do século XVII foi o “problema do
jogo interrompido”, no qual se questionava
sobre a divisão justa de um prêmio, no caso
de um determinado jogo não chegar ao fim.
Como dividir com justiça, por exemplo, um
prêmio X entre dois competidores A e b que
disputam uma partida interrompida quando
o placar apontava 2 × 0 para o competidor A,
se de acordo com a regra inicial, levaria o
prêmio total o competidor que vencesse primeiro 3 partidas? Quanto de X deve, nesse
caso, caber a cada jogador? A fica com tudo?
1
b fica com de X e A com 2 de X?
3
3
Para introduzir o cálculo das probabilidades, o professor pode propor a seus
alunos, durante uma aula de 50 minutos,
situação semelhante à histórica, aproveitando o momento para compor uma narrativa
interessante sobre o tema. Nesse sentido, o
professor poderá contar aos alunos sobre
um amigo que presenciou uma partida de
tênis programada para cinco sets, em que o
vencedor ganharia 40 pontos no ranking da
confederação. Um dos jogadores precisaria
vencer primeiro três sets para ganhar o jogo.
Entretanto, relatou o amigo, a partida foi
interrompida pela chuva no momento em
que terminava o terceiro set, com o placar
apontando dois sets para o jogador A e um
13
set para o jogador b. Para piorar a situação, o tal jogo estava sendo disputado no
último dia possível daquele ano, por volta
de 30 de dezembro. O que fazer se um ou
outro jogador pudesse vir a se consagrar
o número 1 do mundo dependendo do número de pontos que conseguisse naquele último
jogo do ano? Os organizadores do torneio
se reuniram às pressas e decidiram que os
40 pontos seriam divididos entre os dois jogadores proporcionalmente à probabilidade
que cada um teria de sair vencedor, caso a
partida chegasse ao final.
Feito o relato, o professor propõe que os
alunos opinem sobre o destino dos 40 pontos
e, depois de algum tempo, apresenta a seguinte solução:
1o set
2o set
3o set
4o set (não ocorreu)
A vence:
(1 × 0)
b vence:
(1 × 1)
A vence:
(2 × 1)
50% de chance de A
vencer; o jogo acaba em
3 × 1
50% de b vencer; o jogo
empata em 2 × 2 e
continua
A análise da tabela mostra que as chances
de A vencer são iguais a 75%, sendo 50% de
chance no quarto set e 25% no quinto set. já
o jogador b tem apenas 25% de chance de ganhar a partida no quinto set. Assim, os 40 pontos devem ser divididos: 30 pontos para A e
10 pontos para b, respeitando-se, dessa forma,
a probabilidade de vitória de cada jogador.
No Caderno do Aluno, há uma proposta
de leitura e análise de texto em que se discutem alguns aspectos com o objetivo de facilitar o desenvolvimento dessa atividade.
14
5o set (não ocorreu)
Se A vencer, 3 × 2.
Chance de 50% de 50%,
ou 25% para A
Se b vencer, 2 × 3.
Chance de 50% de 50%,
ou 25% para b
Ao final da discussão sobre esse “acontecimento”, o professor pode propor que os
alunos reflitam sobre uma situação semelhante de um jogo programado para “melhor
de 7”, isto é, um jogo que termina quando
um dos participantes ganha primeiro quatro
rodadas. Nesse caso, supondo dois participantes, A e b, qual será a probabilidade de
vitória para cada um deles se o jogo for interrompido quando o placar apontar:
a) 3 × 1 a favor de A?
Observe a tabela a seguir:
Matemática – 2ª- série – Volume 3
5o set
(não ocorreu)
1o set
2o set
3o set
4o set
A vence
(1× 0)
A vence
(2× 0)
B vence
(2× 1)
A vence
(3× 1)
6o set
(não ocorreu)
7o set
(não ocorreu)
50% de chance
de A vencer
(4× 1)
Acaba o jogo
50% de chance
de B vencer
(3× 2)
25% de chance
de A vencer
(4× 2) Acaba o
jogo
25% de chance
de B vencer
(3× 3)
Pela análise da tabela, A tem:
50% + 25% + 12,5% de chance de vencer,
isto é, 87,5% de chance.
b) 2 × 1 a favor de A?
Representando a resolução de outra maneira,
partindo do resultado até o momento, 2× 1
para A em três sets disputados:
12,5% de chance
de A vencer
12,5% de chance
de B vencer
A observação do esquema indica que as
chances de A vencer são:
25% + 2 . (12,5%) + 3 . (6,25%) = 68,75%
As chances de B são:
100% – 68,75% = 31,25% ou, pela adição
das chances representadas no esquema,
12,5% + 3 . (6,25%) = 31,25%
Atividade 2 – lançando dois dados: um
jogo e alguns cálculos de probabilidade
4×1
3×1
4×2
4×3
3×2
3×3
3×4
4×2
4×3
3×2
3×3
3×4
2×2
3×3
4×3
2×3
2×4
3×4
Nesta Situação de Aprendizagem, que deve
abranger duas aulas consecutivas, propomos
aproveitar a casualidade envolvida no lançamento de dois dados para motivar o estudo de
alguns casos de probabilidade, por intermédio
de um jogo pedagógico.
1
de
6
chance de ocorrência em um lançamento.
lançando-se dois dados, são 36 as possibilidades de ocorrência de resultados nas duas
Cada face de um dado comum tem
15
faces (dois lançamentos sucessivos ou dois
dados diferentes); assim, cada par de faces tem
1
probabilidade de ocorrência de
. Há uma
36
grande variedade de problemas associados ao
lançamento de dados que podem ser explorados pelo professor para introduzir a definição
teórica de que a probabilidade, em situações
em que todas as ocorrências são igualmente
prováveis, é a razão entre a parte e o todo, ou
entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral:

n (E ) 

P ( E ) =
n ( S ) 

No caso de dois dados diferentes, como no
jogo sugerido a seguir, o número de elementos
do espaço amostral é sempre igual a 36. Esse
fato deve estimular o professor a postergar para
o final do jogo qualquer teorização, visto que
os alunos conseguem calcular a probabilidade
apenas a partir do raciocínio proporcional que
trazem dos anos anteriores. No entanto, tal
formalização precisa ser realizada a fim de que
outros casos, além do lançamento de dados, possam ser analisados na sequência dos estudos.
Descrição do jogo e instruções para a
aplicação
1) Material do jogo (para cada grupo de
4 alunos).
f Dois dados; um deles com as faces contendo os números ímpares pintados de azul, e
os pares de vermelho; e o outro com as faces
contendo os números pares pintados de azul,
e os ímpares de vermelho.
f Duas fichas de acompanhamento, uma para
cada dupla de alunos, semelhante ao modelo
seguinte, que poderá ser reproduzido pelos
alunos em seu caderno.
Ficha de acompanhamento
Rodada
Apostas
Probabilidade
Resultado
débito/Crédito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
total ...................................
16
Matemática – 2ª- série – Volume 3
f Um tabuleiro, semelhante ao modelo seguinte, que pode ser produzido pelos alunos ou disponibilizado pelo professor.
AnEXO – nível 2
Número par e
outro ímpar
JOgO báSiCO – nível 1
Números
iguais nos dois
dados
Números pares Número primo
nos 2 dados
nos dois dados
1
2
3
4
5
6
1
Q1
Q2
Q2
Q1
Números cujo
produto é par
Números cuja
soma é 6
2
Q3
Números cuja
soma é 5
Números que
estão em Q1
3
Q4
Número par
em um dado
Números cuja
soma é maior
que 8
4
VERMElhO
Número 6 em
um dos dados
Números cujo
produto é
ímpar
5
VERdE
Um número
é o dobro do
outro
Números primos entre si
6
AzUl
Q3
2) instruções para o jogo – nível 1
A classe deve estar dividida em grupos de
quatro alunos cada. A competição, em cada
grupo, ocorrerá na forma de dupla contra
dupla.
Cada dupla recebe uma ficha de acompanhamento para o registro das apostas. Neste
nível, as duplas podem apostar apenas nos
Q4
eventos relacionados no tabuleiro na parte
“jogo Básico”.
Antes que algum participante lance os dados, cada dupla escolhe um evento, apenas
um, registra sua aposta na ficha de acompanhamento e, o mais importante, registra a probabilidade de ocorrência do evento escolhido.
Veja o exemplo a seguir:
17
Rodada
Aposta
Probabilidade
1
2 . Q2
9 1
=
36 4
Aposta de 2
fichas em Q2.
Resultado
débito/Crédito
Há 9 resultados possíveis em Q2 entre o
total de 36 resultados possíveis.
Não tendo sido sorteado o evento escolhido, a dupla perde as fichas apostadas. Em
caso de acerto, a probabilidade determina o
número de fichas a serem recebidas. Veja os
exemplos:
Feitos os registros, são lançados os dados
e observados os resultados das faces superiores. O passo seguinte é o cálculo do crédito
ou do débito, dependendo, respectivamente,
de ter ocorrido ou não o evento escolhido.
Exemplo de derrota
Rodada
Aposta
Probabilidade
Resultado
débito/Crédito
1
2 . Q2
9 1
=
36 4
(2; 5)
–2
O par (2; 5) pertence a Q1.
Portanto, o evento selecionado
não ocorreu.
A dupla perde as 2
fichas que apostou.
Exemplo de vitória
Rodada
Aposta
Probabilidade
Resultado
débito/Crédito
1
2 . Q2
9 1
=
36 4
(1; 3)
+8
O par (1; 3) pertence a Q2.
Portanto, ocorreu o evento
selecionado.
18
A dupla ganha 8 fichas no total,
pois apostou 2 e a probabilidade
foi de 1 para 4. Isto é, para cada
ficha apostada obtêm-se 4 fichas.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Outro exemplo de vitória
Rodada
Aposta
Probabilidade
Resultado
débito/Crédito
1
2 . Q2
9 1
=
36 4
(1; 3)
+8
2
3 . (verde)
8 2
=
36 9
(6; 3)
+ 13,5
O par (6; 3) está associado a
uma quadrícula de cor verde do
tabuleiro. Portanto, ocorreu o
evento selecionado.
As fichas obtidas por uma dupla, em cada
rodada, precisam ser validadas pela dupla oponente, que somente o fará no caso de julgar correto o cálculo da probabilidade. Não é permitido
à dupla escolher mais de uma vez cada evento.
Após um determinado número de rodadas,
combinado previamente pelas duplas, ou um
prazo estabelecido pelo professor, contam-se
as fichas. A dupla com maior número de fichas
é a vencedora.
3) instruções para o jogo – nível 2
Repetem-se as instruções do nível 1, levando-se em conta, nessa fase, os eventos do Anexo
– nível 2, que ampliam a diversidade dos cálculos das probabilidades. Nesse nível é permitido
que as duplas criem eventos além daqueles do
tabuleiro, como “pares da linha superior do tabuleiro” ou “apenas números azuis”.
A dupla ganha 13,5 fichas no total,
pois apostou 3, e a probabilidade
foi de 2 para 9. Isto é, para cada 2
fichas apostadas obtêm-se 9 fichas.
Vale repetir que após a realização dos
dois jogos, será importante que o professor formalize a definição teórica de probabilidade em situações simples em que os
eventos constituintes básicos ocorrem com
chances iguais, como a razão entre o número de elementos do evento e o número de
elementos do espaço amostral. Além disso,
o professor poderá propor aos alunos alguns exercícios sobre o tema, envolvendo
outros contextos que não o dos jogos, com
duplo objetivo. Por um lado, fixar o conceito que acabam de vivenciar no jogo e, por
outro, preparar o terreno para a apresentação de problemas que exijam raciocínio
combinatório.
Problema 1 – Observe a tabela com as quantidades de peças de formatos e cores diferentes
que foram colocadas em uma caixa.
19
triangulares
Circulares
Retangulares
total
brancas
12
10
6
28
Pretas
15
11
7
33
Amarelas
8
9
2
19
total
35
30
15
80
Sorteando uma das peças dessa caixa, qual
é a probabilidade de que ocorra uma peça:
a) triangular?
35
= 43,75%
80
19
= 23,75%
80
f) não circular e não preta?
28
= 35%
80
b) amarela retangular?
2
= 2,5%
80
Problema 2 – Os 200 alunos das seis classes da 2a série do Ensino Médio de uma escola
fizeram um teste na aula de Educação Física e
foram classificados em quatro níveis, de acordo
com a resistência física maior ou menor. Alunos
de nível 4 são mais resistentes do que alunos de
nível 3, que, por sua vez, são mais resistentes
que alunos de nível 2 e assim por diante. Os
resultados desse teste estão representados na
tabela seguinte:
c) não circular?
50
= 62,5%
80
d) não preta?
47
= 58,75%
80
20
e) circular não preta?
2ª- A
2ª- b
2ª- C
2ª- d
2ª- E
2ª- F
nível 1
12
14
12
11
13
12
nível 2
9
8
11
10
10
9
nível 3
10
8
7
7
6
9
nível 4
3
2
3
4
5
5
total de alunos
34
32
33
32
34
35
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Um dos alunos da 2a série dessa escola
será sorteado. Qual é a probabilidade de o
aluno sorteado:
a) estudar na 2 D?
Podemos organizar os dados em uma
tabela:
Idade
Meninos
Meninas
Total
Acima de 16 anos
(40%)
66
(20%)
27
93
16 anos ou menos
(60%)
99
(80%)
108
207
Total
(55%)
165
(45%)
135
300
a
32
= 16%
200
b) não estudar na 2a A nem na 2a B?
134
= 67 %
200
c) ter conseguido nível 3 no teste?
47
= 23,5%
200
d) ter conseguido nível abaixo de 3 no teste?
131
= 65,5%
200
Problema 3 – Em relação à tabela apresentada no problema anterior, se for sorteado um
aluno da 2a série C e outro da 2a série E, de
qual dessas classes é mais provável ocorrer um
aluno com nível superior a 2 no teste?
A probabilidade de que um aluno da 2a C tenha
10
nível superior a 2 é
, enquanto a probabili33
dade correspondente para um aluno da 2a E é
igual a 11 . Assim, é maior a chance de sortear
34
na 2a E um aluno com nível superior a 2.
Problema 4 – Dos 300 alunos de uma escola,
45% são meninas, sendo que apenas 20% delas
têm idade acima de 16 anos. Dentre os meninos,
40% têm idade acima de 16 anos. Sorteando um
dos alunos dessa escola, qual é a probabilidade
de que seja sorteado um menino com idade igual
ou menor que 16 anos?
Há nessa escola 99 meninos com idade menor ou igual a 16 anos. Assim, a probabilida99
= 33%.
de procurada é
300
Problema 5 – Em relação aos dados do problema anterior, considere agora o caso do sorteio de uma pessoa que, se sabe de antemão,
terá idade acima de 16 anos. Nessa condição, qual é a probabilidade de que seja sorteada
uma menina?
Trata-se de um problema envolvendo o
cálculo de uma probabilidade condicional.
Cabe ao professor chamar a atenção dos
alunos para o fato de que o conhecimento
prévio de uma condição – ter idade acima
de 16 anos – determina um novo espaço
amostral. Para o cálculo da probabilidade
desejada, devemos considerar o sorteio de
uma menina dentre as pessoas com idade
superior a 16 anos.
Quantidade de pessoas com idade superior a
16 anos: 93.
Meninas com idade superior a 16 anos: 27.
P(menina com idade superior a 16 anos) =
27
≅ 29% .
=
93
21
Sugerimos que o professor aborde outros
problemas envolvendo probabilidade condicional, mantendo inicialmente o contexto dos
dois últimos problemas, como:
Por fim, o professor poderá solicitar que
seus alunos criem problemas, enunciando-os
corretamente, para serem trocados, resolvidos
e corrigidos por eles mesmos.
f Qual é a probabilidade de sortear um
menino e ele ter 16 anos ou menos de
idade?
Considerações sobre a avaliação
99
165
f Sorteada uma pessoa, verifica-se que tem
idade superior a 16 anos. Qual é a probabilidade de ser um menino?
66
93
Em seguida, o professor poderá recuperar
o contexto dos Problemas 1 e 2, elaborando
outros problemas envolvendo probabilidade
condicional, como estes:
f (No Problema 1) – Sorteando uma das peças retangulares, qual é a probabilidade de
ela ser amarela?
2
15
f (No Problema 2) – Um aluno foi sorteado
e sabe-se que ele está no nível 2. Qual é a
probabilidade de que ele estude na 2a C?
11
57
22
Os objetivos traçados inicialmente para
esta Situação de Aprendizagem consistem no reconhecimento da probabilidade
enquanto o resultado de uma relação entre quantidade de resultados esperados e
quantidade de resultados possíveis, isto é,
em uma relação do tipo parte-todo, representada por um número racional escrito na
forma de uma razão, de um decimal ou de
uma porcentagem.
A aprendizagem dos alunos nessa etapa
pode ser avaliada a partir de situações-problema semelhantes àquelas propostas na Situação de Aprendizagem (Problemas 1 a 5),
que envolvem não apenas a escrita de uma
razão, mas também a leitura e a compreensão de condições expressas por intermédio
de enunciados mais elaborados ou por intermédio de dados registrados em tabelas
de dupla entrada. Busca-se, dessa maneira,
avaliar competências relacionadas à leitura
e à escrita, utilizando-se, para tanto, contextos relativos à realização de experimentos
aleatórios.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 2
ANálISE COMBINATóRIA: RACIOCíNIOS ADITIVO E
MUlTIPlICATIVO
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: casos de agrupamento.
Competências e habilidades: identificar em diferentes agrupamentos a necessidade ou não
da ordenação entre seus elementos; interpretar informações fornecidas por intermédio de
diferentes linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma
situação-problema.
Estratégias: resolução de situações-problema exemplares.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
A análise combinatória trata dos problemas que envolvem a contagem de casos
em situações de agrupamentos de determinado número de elementos, como calcular,
por exemplo, quantos grupos diferentes de
3 pessoas podem ser formados a partir de 6 indivíduos disponíveis; quantos gabaritos diferentes podem ser feitos em uma prova do tipo
teste com 10 questões e 5 alternativas cada,
ou quantas filas diferentes podem ser formadas permutando a ordem entre 7 pessoas. Há
infinitas possibilidades de agrupamentos, dependendo das condições a serem respeitadas
pelos elementos do grupo formado.
A infinidade de problemas envolvendo
agrupamentos se contrapõe aos pouquíssimos
recursos algébricos e aritméticos necessários
para sua resolução. De fato, 100% desses casos são resolvidos por intermédio de uma ou
mais operações elementares entre números
naturais: adição, subtração, multiplicação e
divisão. Elas exigem a mobilização de estratégias de raciocínio semelhantes, quase sempre envolvendo uma das principais ideias da
operação de multiplicação, a saber, o raciocínio combinatório. Para calcular, por exemplo,
quantos conjuntos de saia e blusa uma menina pode formar se ela dispõe de 4 saias e de
5 blusas, imaginamos que cada saia pode combinar-se com 5 blusas diferentes. Como são
4 saias, fazemos 4 . 5 = 20. Quando, no Ensino Fundamental, as crianças deparam com
problemas dessa natureza, são convidadas a
representar a solução por meio de uma árvore de possibilidades, que, de certa forma,
faz transparecer a estratégia de raciocínio
que mobilizam.
23
Blusa 1
Blusa 2
Saia 1 ou 2
ou 3 ou 4
Blusa 3
Blusa 4
Blusa 5
No Ensino Médio, no entanto, muitos cursos
abandonam a ideia da representação da solução
por meio das árvores e passam a priorizar a classificação dos problemas em alguns tipos – permutações, arranjos e combinações – que, segundo essa opção didática, podem ser resolvidos a
partir da aplicação de fórmulas matemáticas.
Consideramos que o ensino de análise
combinatória e probabilidades a partir desse
enfoque deixa de favorecer a diversidade de
estratégias de resolução e, consequentemente,
de percursos de aprendizagem uma vez que
a representação da solução do problema
por intermédio de desenhos e/ou diagramas e/ou tabelas é um dos comportamentos
heurísticos reconhecidos como um dos mais
importantes a serem mobilizados pelos estudantes quando enfrentam situações que são
de fato problemas. Representar por desenhos
a solução de um problema de Física ou de
Química é algo tão corriqueiro que alunos e
professores quase não se dão conta de que o
estão fazendo todo o tempo.
24
Em Matemática, excetuando-se em alguns
casos a geometria, poucos são os momentos
em que os alunos são exigidos a mobilizar
tais estratégias de raciocínio, sendo mais
comum aplicar em novas situações os modelos anteriormente utilizados e que trazem
à lembrança naquele momento. Se o resultado dessa busca por “problemas análogos
anteriormente resolvidos” costuma dar bons
resultados em vários tópicos de conteúdos
matemáticos, é bastante inócuo para a resolução de problemas de análise combinatória,
uma vez que, como citado anteriormente, a
diversidade de critérios de agrupamento é tão
grande que muitas vezes é impossível associar uma situação-problema atual a alguma
categoria anteriormente construída.
Com base nessas premissas, consideramos
fundamental que os alunos encarem cada situação-problema desse conteúdo como se a estivessem fazendo pela primeira vez, de maneira que
explicitem o raciocínio que adotam por intermédio de desenhos, diagramas, etc. Nesse contexto,
a representação das árvores de possibilidades é
prioridade, se não em 100% dos problemas, mas
sempre que sentirem uma nova dificuldade.
No Caderno do Aluno são propostos alguns problemas e exercícios para que os alunos possam utilizar diversos procedimentos e
registros, sobretudo os diagramas de árvores
para favorecer a consolidação de noções envolvidas na contagem e/ou cálculo de números de agrupamentos solicitados.
A adoção da representação das resoluções por
intermédio das árvores ilustra os dois principais
tipos de raciocínio envolvidos na totalidade dos
Matemática – 2ª- série – Volume 3
CAbO, CAOb, CbAO CbOA,
CObA e COAb
problemas de análise combinatória: o raciocínio
aditivo e o raciocínio multiplicativo. Consideremos o exemplo clássico da contagem do número
de anagramas (agrupamentos formados pelas
mesmas letras em diferentes ordens), de uma
palavra sem letras repetidas.
Em seguida, imagina que o mesmo número
de anagramas, 6 nesse caso, seria obtido para
qualquer uma das demais 3 letras no início.
Daí, pode-se fazer 6 + 6 + 6 + 6 ou, já em uma
primeira aproximação ao raciocínio multiplicativo, fazer 4 . 6 = 24 anagramas.
CAbO
A contagem individual dos casos é, de fato, o
embrião do raciocínio aditivo, semelhante ao que
um estudante realiza no processo de contagem
que denominamos vulgarmente de “mais um”,
em que ele adiciona uma unidade a um numeral
com o objetivo de obter o próximo. Nessa situação, o aluno escreve todos os anagramas começando por uma das letras, C, por exemplo.
letra 1
É importante respeitar resoluções que utilizam prioritariamente o raciocínio aditivo, valorizando-as e, ao mesmo tempo, apresentar
outra possibilidade que considera o raciocínio
multiplicativo com a representação da árvore
de possibilidades.
letra 2
letra 3
letra 4
B
O
O
B
A
O
O
A
A
B
B
A
A
C
B
O
3
.
2
.
1
25
Em resumo, julgamos importante valorizar resoluções que mobilizam apenas raciocínio aditivo e, partindo delas, extrapolar para
resoluções que mobilizem o raciocínio multiplicativo. Nessa condição, a árvore de possibilidades é importante recurso a ser adotado
durante o tempo que o professor e cada aluno
julgarem necessário.
A Situação de Aprendizagem 2, que ora
propomos, parte dos princípios apontados
anteriormente a respeito da importância da
representação das resoluções com a utilização
da árvore de possibilidades e, ainda, sobre a
ineficácia da aplicação de fórmulas de cálculo para um grande número de problemas de
agrupamentos. Assim, o que apresentamos
nesta Situação de Aprendizagem é uma possibilidade de abordagem da análise combinatória que considera essas premissas, e que
pode priorizar a principal metodologia para
o tratamento de conteúdos matemáticos: a da
resolução de problemas.
O principal critério adotado para a apresentação dos conceitos será, nesta proposta, o
fato de que há agrupamentos em que a ordem
entre os elementos deve ser respeitada, e há
agrupamentos em que a ordem dos elementos
pode ser alterada, sem que isso conduza a um
novo agrupamento. Classicamente, esses dois
tipos correspondem, respectivamente, aos casos de arranjos e de combinações simples. Não
julgamos importante que os alunos conheçam,
de início, essa nomenclatura, mas que, em algum momento, a critério do professor, isso
lhes seja apresentado.
26
Com base nesse critério, os dois primeiros
tipos de problemas a serem apresentados aos
alunos envolvem os modelos dos anagramas
sem e com letras repetidas.
Atividade 1 – Formação de filas sem e com
elementos repetidos
A apresentação de problemas da categoria
que denominamos “formação de filas”, ou
seja, problemas que envolvem agrupamentos
ordenados de elementos, tem duplo objetivo.
Por um lado, reforçar a mobilização do raciocínio multiplicativo e, por outro, apresentar o
número fatorial (n!) como o fator que nos dá a
quantidade das diferentes ordenações em um
agrupamento de n elementos. Para atingir esses objetivos, propomos que o professor apresente e discuta com seus alunos os seguintes
problemas, utilizando a árvore de possibilidades quando julgar necessário.
Problema 1 – Quantos anagramas diferentes
podemos formar com as letras das palavras:
a) BIA
b) NICO
c) lUCIA
d) CAMIlO
a) 3 . 2 . 1 = 6
b) 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
d) 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
A apresentação de palavras com número
crescente de letras estimula a indução de que
o número de ordens de um agrupamento de n
elementos é n!.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Problema 2 – Sete pessoas formarão ao
acaso uma fila indiana. Em quantas ordenações diferentes poderá ser formada a fila?
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7! = 5 040 ordenações.
repetidos. Assim, por exemplo, no caso da
palavra BANANA, o número de anagramas
pode ser generalizado para a divisão entre 6!,
correspondendo ao total de anagramas no
caso de 6 letras não repetidas, dividido por
Nesse momento, será possível generalizar
2! devido à troca, que não deve ser contada,
que o número de ordenações em uma fila de
entre os “2Ns”, e ainda por 3! devido à tro-
n elementos é n!. Sugerimos que o professor,
ca, que não deve ser contada, entre os “3As”.
nesse mesmo exercício, proponha problemas
Discutidos esse e outros exemplos envolven-
com algumas características especiais de alguns
do anagramas que o professor julgar neces-
elementos, como, que Fulano ocupe sempre o
sário, propomos que o contexto seja alterado
primeiro lugar, que Fulano e Beltrano sempre
para a contagem de ordenações possíveis en-
estejam juntos, etc. Em seguida, feitas as gene-
volvendo pessoas em filas, como sugerido no
ralizações pertinentes, o caminho estará aberto
próximo exercício.
para que sejam discutidos os casos de ordenações contendo elementos repetidos, conforme
propostas nos exercícios seguintes.
Problema 3 – Quantos anagramas podem
ser formados com as letras das palavras:
a) ANA
b) CASA
c) CABANA
d) BANANA
a) (3 . 2 . 1) ÷ 2 = 3
b) (4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2 = 12
c) (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 6 = 120
d) [(6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2] ÷ 6 =
= (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 12 = 60
O professor deverá discutir com seus alu-
Problema 4 – Sete pessoas, sendo três meninas e quatro meninos, formarão uma fila. Desconsiderando a individualidade e considerando
apenas o sexo dessas pessoas, quantas ordenações diferentes poderá ter a fila formada?
Considerando a individualidade teremos 7!
ordenações diferentes para filas formadas.
No entanto, considerando a fila formada
apenas por homens (H) e mulheres (M),
teremos um caso semelhante ao do cálculo
do total de anagramas de uma palavra de
7 letras com algumas repetidas, do tipo
HHHHMMM, cujo total é o resultado
da divisão de 7! pelo produto entre 4! e
3!. Assim o total de ordenações possíveis
7!
= 35 .
é
4! 3!
nos que o fatorial pode ser usado para generalizar a contagem das ordens e também para
A compreensão desse tipo de exercício é
descontar a troca de ordem entre elementos
fundamental para que, no futuro, o cálculo das
27
combinações de n elementos tomados p a cada
vez possa ser apresentado sem sobressaltos.
Assim, antes de evoluir nos conceitos, sugerimos que o professor apresente a seus alunos
mais alguns problemas desse tipo, como os
que se seguem.
Problema 5 – Um jogo de futebol entre
duas equipes, A e B, terminou empatado em
3 × 3. Alguém que não assistiu ao jogo pretende descobrir a ordem em que ocorreram
os gols. Será que A começou ganhando e B
empatou? Será que B fez 3 × 0 e depois A tentou reverter a situação? Enfim, como foram
saindo os gols nessa partida? Quantas ordenações possíveis existem para os gols que
ocorreram nessa partida?
Trata-se de um problema semelhante aos
anteriores, em que devem ser contadas todas
as ordenações diferentes de uma sequência
do tipo AAABBB. O resultado pode assim
6!
ser obtido:
= 20.
3! 3!
Problema 6 – Aplicando a propriedade distributiva e desenvolvendo o binômio (A + B)5,
isto é, fazendo (A + B).(A + B).(A + B).(A + B).
(A + B), aparecerá um termo igual a A5 e um
termo igual a B5. No entanto, aparecerão
vários termos com parte literal igual a A3B2,
decorrentes da multiplicação entre 3 “As” de
28
qualquer dos 5 binômios por 2 “Bs”, também
de qualquer dos 5 binômios. Quantos termos
iguais com parte literal igual a A3B2 aparecerão?
Temos de considerar todas as trocas de ordem
entre os elementos de um agrupamento do
tipo AAABB, o que pode ser obtido por:
5!
= 10 .
3! 2!
Atividade 2 – Formação de grupos com
elementos de uma ou mais categorias
Estamos considerando “grupo de elementos” o tipo de agrupamento em que a troca
de ordem entre seus elementos não conduz à
formação de um agrupamento diferente. Em
outras palavras, um grupo, nessa definição, é
uma combinação de n elementos, tomados p a
cada vez. Assim, distinguimos os dois grupos
básicos de agrupamentos a partir do critério
de serem ou não ordenáveis. Uma fila é um
conjunto ordenado, enquanto um grupo normalmente não é. Estudado o caso do cálculo
da quantidade de ordenações diferentes em
uma fila com a introdução do fatorial, trataremos agora de analisar o caso da formação
dos grupos não ordenáveis, partindo do cálculo da quantidade de grupos ordenáveis. Um
problema clássico pode nos ajudar a pensar
sobre o assunto: Quantos grupos diferentes de
3 pessoas podem ser formados a partir de um
grupo de 7 pessoas?
Matemática – 2ª- série – Volume 3
1º- lugar
2º- lugar
3º- lugar
3
4
2
5
6
7
2
4
3
5
6
7
2
3
1
4
5
6
7
2
3
5
4
6
7
2
3
6
4
5
7
2
3
7
4
5
6
29
Para resolver esse problema, partimos do
cálculo já conhecido dos alunos do número
de filas de 3 elementos (conjuntos ordenáveis) que poderiam ser construídas a partir de
7 elementos disponíveis. Para tanto, representamos a resolução pela árvore seguinte, em
que os elementos são identificáveis pelos algarismos de 1 a 7.
30
cada agrupamento. Assim procedendo, estaremos, ainda sem maiores formalizações algébricas, induzindo o raciocínio dos alunos para a
relação entre os arranjos simples e as combinaA n ,p
. Esta questão será esções, isto é, C n,p =
p!
pecialmente contemplada nos Problemas 7 e 8
desta Situação de Aprendizagem.
Espera-se que, nesse estágio, os alunos compreendam que o trecho da árvore apresenta
6 . 5 = 30 ordenações possíveis, todas iniciadas
pelo elemento (1), e que outras tantas seriam
obtidas se a ordenação começasse por qualquer dos demais 6 elementos. Assim, o total de
ordenações, nesse caso, é igual a 7 . 6 . 5 = 210.
Com base nesses argumentos, apresentamos sugestões de algumas situações-problema
para o professor trabalhar com seus alunos.
Calculada a quantidade de ordenações,
as questões que se propõem são: Quantas
dessas ordenações são formadas pelos mesmos 3 elementos? Considerando uma dessas
ordenações, como (1), (2) e (3), quantas
outras contêm esses mesmos elementos? Para
responder, retomamos os problemas anteriormente resolvidos, mostrando que haverá
3! = 6 ordenações possíveis. Portanto, quaisquer 3 elementos que considerarmos dentre 7,
permitirão 3! = 6 ordenações possíveis. Assim,
se temos 7 . 6 . 5 conjuntos ordenáveis, temos
(7 . 6 . 5) ÷ 3! conjuntos não ordenáveis, e a resposta do problema é 210 ÷ 6 = 35 grupos diferentes de 3 pessoas.
a) Quantos agrupamentos ordenáveis diferentes (filas) de 5 pessoas podem ser formados
com essas 5 pessoas?
De acordo com a linha de raciocínio exposta, trata-se de abordar os problemas envolvendo
as combinações segundo a lógica de primeiro
calcular o número de arranjos – conjuntos ordenados – para em seguida descontar do valor
obtido a troca de ordem entre os elementos de
Considerando um conjunto ordenável de
elementos, teríamos 5 . 4 = 20 agrupamentos.
Descontando a não ordenação implícita na
formação de um grupo de pessoas, fazemos
5⋅4
= 10 grupos.
2
Problema 1 – Cinco pessoas, Arnaldo,
Benedito, Carla, Débora e Eliane, estão juntas
em uma sala.
5! = 120 agrupamentos.
b) Quantos agrupamentos não ordenáveis diferentes (grupos) de 5 pessoas podem ser
formados com essas 5 pessoas?
Apenas 1 grupo, que pode ser entendido
como o resultado obtido da divisão de 5!, da
contagem da ordenação, por 5!, do desconto
da não ordenação.
c) Quantos grupos diferentes de 2 pessoas
podem ser formados com as pessoas presentes na sala?
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Convém discutir com os alunos o fato de
que questões como essa, do item c, podem ser
resolvidas também pela mobilização do raciocínio aditivo, muito embora essa não seja a
forma mais recomendável. Nesse caso, o processo seria este:
3
1
A
B
C
D
E
2
4
f Conjuntos ordenáveis de 2 bolas brancas:
4 . 3 = 12
f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas brancas: 4 . 3 ÷ 2 = 6
f Conjuntos ordenáveis de 2 bolas pretas:
6 . 5 = 30
f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas pretas:
6 . 5 ÷ 2 = 15
f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas brancas
e 2 bolas pretas: 6 . 15 = 90 conjuntos.
4 + 3 + 2 + 1 = 10
lembrando que a soma dos termos de
uma progressão aritmética, semelhante à obtida pela aplicação do raciocínio aditivo nes( a + a n ) ⋅ n,
te caso, pode ser calculada por 1
2
podemos mostrar aos alunos que a adição
4 + 3 + 2 + 1 = 5 . 4 é igual à expressão obtida
2
pela aplicação do raciocínio multiplicativo.
Problema 2 – Há 10 bolas em uma caixa,
todas iguais com exceção da cor, sendo 4 bolas
brancas e 6 bolas pretas. Quantos conjuntos
de 4 bolas podem ser formados sendo:
a) todas brancas?
Apenas 1, que pode ser entendido como o
resultado da divisão de 4! por 4!.
Nesse tipo de problema, em que mais de
uma categoria está presente no grupo (homem/mulher, bola branca/bola preta, etc.)
é importante calcular a quantidade de agrupamentos de cada categoria para, depois,
mostrar aos alunos que a quantidade total,
envolvendo todas as categorias, pode ser obtida pelo produto das quantidades parciais.
Nesses casos, para eliminar dúvidas, sugerimos que o professor recorra novamente à árvore. No caso anterior, dos grupos de 4 bolas,
sendo 2 brancas e 2 pretas, depois de calculada
a quantidade de grupos de cada cor, poderia
ser feita a seguinte árvore:
grupos de
bolas brancas
grupos de
bolas pretas
P1
P2
b) 2 brancas e 2 pretas?
Podemos calcular, de forma independente, o
número de grupos contendo 2 bolas brancas e
o número de grupos contendo 2 bolas pretas,
para, ao final, multiplicá-los.
P3
B1
P4
.
.
.
P15
31
Notamos pela árvore simplificada que o
grupo B1 de bolas brancas pode ser associado
a qualquer 1 dos 15 grupos diferentes de bolas pretas. Assim, como são 6 grupos de bolas
brancas, teremos 6 . 15 = 90 grupos no total.
Dentre a extensa série de situações-problema que o professor pode utilizar para completar a aprendizagem, sugerimos os seguintes
problemas, que podem ser preferencialmente
resolvidos apenas com a mobilização dos raciocínios aditivo ou multiplicativo em detrimento do uso de fórmulas ou algoritmos:
Problema 3 – Sobre a prateleira de um laboratório repousam 8 substâncias diferentes.
Quantas misturas diferentes com iguais quantidades de 2 dessas substâncias podem ser
feitas se:
a) não houver qualquer restrição?
Um time de basquete é, claramente, um
agrupamento não ordenável. Como temos
duas categorias envolvidas, atletas da
equipe A e atletas da equipe B, trata-se
de calcular individualmente a quantidade
de grupos formados a partir de cada equipe
para, no final, multiplicá-los e obter a
quantidade total.
Grupos de 2 atletas obtidos a partir dos 12
da equipe A: 12 . 11 ÷ 2 = 66 grupos.
Trata-se de formar um conjunto não ordenado
de dois elementos a partir de 8 disponíveis, o
que pode ser calculado da seguinte maneira:
8 . 7 ÷ 2 = 28 misturas diferentes.
Grupos de 3 atletas obtidos a partir dos 10
da equipe B: 10 . 9 . 8 ÷ 3! = 120 grupos.
b) entre elas há 3 substâncias que não podem
ser misturadas duas a duas por formarem
composto que exala gás tóxico?
Problema 5 – A partir de um conjunto de
15 bolas iguais, a não ser pela cor, sendo 8 brancas,
4 pretas e 3 amarelas, serão formados grupos de
3 bolas. De quantas maneiras diferentes poderão
ser formados esses grupos se não são desejáveis
grupos contendo bolas de uma única cor?
Podemos calcular o total de grupos de 2
elementos, como no item anterior, e dele
retirar o número de agrupamentos não
ordenados de 2 elementos que podem
ser formados a partir das 3 substâncias
“perigosas”: 3 . 2 ÷ 2 = 3 grupos. Assim, a
resposta procurada é 28 – 3 = 25 misturas
diferentes.
32
Problema 4 – Uma seleção de basquete com
5 jogadores será formada considerando-se
atletas de apenas duas equipes: A e b. Da equipe A, que possui 12 atletas, serão selecionados
2, enquanto a equipe b, que possui 10 atletas, cederá 3 para a seleção. Se todos os atletas
têm igual potencial de jogo, quantas seleções
diferentes poderão ser formadas?
Grupos de 5 atletas, sendo 2 de A e 3 de B:
66 . 120 = 7 920 grupos.
Podemos calcular, inicialmente, a quantidade
de grupos indesejáveis, isto é, formados
apenas por bolas pretas, apenas por bolas
brancas ou apenas por bolas amarelas.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Em seguida, calculamos o total de grupos
de 3 bolas obtidos a partir das 15 bolas
disponíveis. Por fim, subtraímos do total de
grupos a quantidade de grupos indesejáveis.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas brancas:
8 . 7 . 6 ÷ 3! = 56 grupos.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas pretas:
4 . 3 . 2 ÷ 3! = 4 grupos.
Grupos não ordenáveis de 3 bolas amarelas:
3 . 2 . 1 ÷ 3! = 1 grupo.
Total de grupos indesejáveis: 56 + 4 + 1 =
= 61 grupos.
Total de grupos de 3 bolas obtidos a partir
do total de 15 bolas: 15 . 14 . 13 ÷ 3! = 455
grupos.
Total de grupos de 3 bolas de 2 ou 3 cores:
455 – 61 = 394 grupos.
Problema 6 – Na classe de luiza e Roberta
estudam, contando com elas, 34 alunos. De
quantas maneiras diferentes podem ser formados grupos de trabalho de 4 alunos se
Roberta e luiza não podem participar juntas
de um mesmo grupo?
Podemos calcular a quantidade total de
grupos de 4 alunos formados a partir dos
34 disponíveis, para em seguida calcular a
quantidade de grupos de 4 alunos em que
Luiza e Roberta participam juntas. Por fim,
subtraímos um resultado do outro para obter
o resultado desejado.
Grupos não ordenáveis de 4 alunos:
34 . 33 . 32 . 31 ÷ 4! = 46 376 grupos.
Grupos não ordenáveis de 4 alunos, divididos em dois subgrupos de 2 alunos: um com
Luiza e Roberta e outro com 2 dos demais
32 alunos: (1 . 1) . (32 . 31 ÷ 2!) = 496 grupos.
Resultado procurado: 46 376 – 496 = 45 880
maneiras diferentes.
Problema 7 – Dispomos de 8 pessoas para
formar grupos de trabalho. De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado
se dele participar(em):
a) apenas uma das 8 pessoas?
Com apenas 1 elemento no grupo poderemos
formar 8 grupos diferentes.
b) duas das 8 pessoas?
Com duas pessoas por grupo, teremos a
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8.7
= 28.
2!
c) três das 8 pessoas?
Com três pessoas por grupo, teremos a
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8.7.6
= 56 .
3!
d) quatro das 8 pessoas?
Com quatro pessoas por grupo, teremos a
seguinte quantidade de maneiras diferentes:
8.7.6.5
= 70 .
4!
33
Durante a resolução, o professor poderá
mostrar aos alunos, em cada momento, a relação entre o número de grupos ordenáveis e o de
não ordenáveis. Por exemplo, no caso de serem
formados grupos de 5 pessoas a partir das 8 disponíveis, teremos:
Com base nessa estratégia será possível
induzir que o número de agrupamentos diferentes de p elementos formados a partir de n
disponíveis é igual a:
f
grupos ordenáveis de 5 pessoas:
8.7.6.5.4
f
grupos não ordenáveis de 5 pessoas:
n!
quando os agrupamentos forem
n
( − p )!
ordenáveis.
n!
quando os agrupamentos fo( n − p ) !⋅ p !
rem não ordenáveis.
8 . 7. 6 . 5 . 4
5!
Outro aspecto importante a ser explorado
Além disso, poderá mostrar como exprimir
nesse problema é o fato de que 0! = 1, o que
cada resultado utilizando apenas números em
poderá ser feito analisando-se o caso da for-
fatorial, acrescentando fatores ao numerador
mação de grupos com n elementos, isto é, o
e ao denominador de cada fração.
caso em que n = p.
grupos ordenáveis de 5 pessoas:
8 . 7 . 6 . 5 . 4 . (3 . 2 . 1) ÷ (3 . 2 . 1) =
8!
3!
grupos não ordenáveis de 5 pessoas:
)=
8 . 7 . 6 . 5 . 4 . ( 3 . 2 .1
)
5 ! . ( 3 . 2 .1
8!
5 ! . 3 !
Poderá, então, pedir que escrevam cada
uma das frações obtidas nos itens de b a d, utilizando apenas números em fatorial.
)
)
b) 8 . 7 = 8 . 7 . ( 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 8 !
2!
6 ! .2!
2 !. ( 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1
)
8 . 7 . 6 . (5 . 4 . 3 . 2 .1
8!
c) 8 . 7 . 6 =
=
3!
3!. 5 !
3 !. (5 . 4 . 3 . 2 .1
)
d) 8 . 7 . 6 . 5 8 . 7 . 6 . 5 . ( 4 . 3 . 2 .1)
8!
=
=
4!
4 !. 4 !
4 !. ( 4 . 3 . 2 .1)
34
O enunciado do problema a seguir não fornece o valor n, que corresponde ao número
total de pessoas, tal como acontece nos exemplos anteriores que estão em destaque nesta
página, trata-se de um recurso para a utilização do fatorial neste processo, caso o professor julgue necessário.
Problema 8 – Em uma sala há n pessoas,
com as quais formaremos grupos, ordenáveis
ou não. De quantas maneiras diferentes poderemos formar o grupo se ele tiver:
a) apenas 1 elemento?
Serão n maneiras diferentes de formar grupo
com 1 único elemento.
b) 2 elementos?
Grupos ordenáveis de 2 elementos, dispondo
de n: n . (n _ 1)
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa
n .( n − 1)
condição:
2!
c) 3 elementos?
e)
Grupos ordenáveis de 3 elementos, dispondo
de n: n . (n – 1) . (n – 2)
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa
condição:
)
n .( n − 1 .( n − 2
)
3!
d) 4 elementos?
Grupos ordenáveis de 4 elementos, dispondo
de n:n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3)
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa
n. ( n − 1 . (n − 2 . ( n − 3
condição:
4!
)
)
)
e) p elementos, p < n?
Grupos ordenáveis de p elementos,
dispondo de n:
n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3) ...[n _ (p _ 1)]
Quantidade de grupos não ordenáveis nessa
condição:
n. ( n − 1 . ( n − 2 . ( n − 3 … ⎣⎡n − ( p − 1 ⎦⎤
)
)
)
)
p!
Caberá ao professor durante a resolução
de cada item, de forma semelhante ao proposto no problema anterior, acompanhar as
resoluções dos alunos e, simultaneamente,
solicitar que escrevam cada resposta utilizando apenas números em fatorial. Esperam-se,
nesse caso, as seguintes expressões para o
caso dos grupos não ordenáveis, isto é, para
as combinações:
a)
n!
( n − 1) !1!
c)
b)
n!
( n − 2 )! 2 !
n!
( n − 3) ! 3 !
d)
n!
n
−
( 4 )! 4 !
n!
( n − p )! p !
Considerações sobre a avaliação
A partir da metodologia adotada para abordar os conteúdos básicos da análise combinatória e da probabilidade, espera-se que ao final
desta etapa do trabalho previsto para a 2a série
do Ensino Médio, os alunos sejam capazes de
aplicar o raciocínio multiplicativo à resolução de
situações-problema envolvendo agrupamentos.
Nesse sentido, enfatizamos que o estímulo à
clássica categorização dos problemas em tipos
– permutações, arranjos e combinações – e, consequentemente, o uso de fórmulas matemáticas,
não deve ser tomado como preocupação central nesse momento da resolução de problemas.
O principal é que, ao enfrentar situações-problema
envolvendo análise combinatória, os alunos sejam
inicialmente estimulados a mobilizar as mais diferentes estratégias de raciocínio para que, a seu
tempo, escolham aquelas que consideram eficientes e apropriadas a cada nova situação.
As estratégias didáticas propostas para
esta Situação de Aprendizagem, ao priorizar o raciocínio combinatório em detrimento da formalização precoce, propiciam a
diversidade de etapas de avaliação. Uma dessas
etapas pode ser realizada em duplas ou trios
de alunos, uma vez que a comparação entre
diferentes estratégias de raciocínio permitindo
compreender a situação-problema sob o ponto
35
de vista mais amplo, estimulando-se tanto a
escolha de estratégias mais eficientes, quanto
a recuperação de estratégias anteriormente
mobilizadas em situações semelhantes.
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 3
PROBABIlIDADES E RACIOCíNIO COMBINATóRIO
Uma vez discutidos o cálculo de probabilidades de ocorrência de eventos que dispensam o raciocínio combinatório, e também os
casos de formação de grupos ordenáveis e
não ordenáveis, esta Situação de Aprendizagem trata de apresentar aos alunos o cálculo
de probabilidades de eventos que exigem a
mobilização do raciocínio combinatório.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: probabilidades condicionais; reunião e/ou inserção de probabilidade;
probabilidade de eventos mutuamente exclusivos; probabilidades de eventos independentes.
Competências e habilidades: interpretar informações contidas em enunciados de situações-problema, com o objetivo de caracterizar a necessidade de mobilizar raciocínio combinatório; identificar as semelhanças e as diferenças entre os diversos casos de probabilidade,
no que diz respeito à ordenação ou não dos elementos que compõem os eventos.
Estratégias: resolução de problemas exemplares contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Os casos mais comuns de probabilidade envolvendo raciocínio combinatório estão associados à formação de grupos não ordenáveis,
sendo esse o principal aspecto que merece atenção no desenvolvimento metodológico que ora
será proposto. Para exemplificar, consideremos
a situação-problema em que 2 pessoas serão
sorteadas de um grupo formado por 8 pessoas,
sendo 3 homens e 5 mulheres. Nessa situação,
não são poucos os alunos que efetuam os seguintes cálculos:
f Probabilidade de ocorrência de 2 homens:
3 2 6
⋅ =
8 7 56
36
f Probabilidade de ocorrência de 2 mulheres:
5 4 20
⋅ =
8 7 56
f Probabilidade de ocorrência de 1 pessoa de
cada sexo:
3 5 15
⋅ =
8 7 56
A simples soma dos três resultados obti41
dos,
, revela que algum elemento não foi
56
considerado nos cálculos realizados, visto
a soma das três probabilidades não igualar 100%. O que está faltando? O que é mais
provável ocorrer numa situação como essa:
duas pessoas de mesmo sexo ou pessoas de
sexos diferentes?
Matemática – 2ª- série – Volume 3
A intuição dos alunos, em concordância
com a nossa, confirma que é mais provável
ocorrer pessoas de sexos diferentes, embora
os resultados não estejam corroborando essa
intuição. Tal constatação pode ser o pontapé
inicial para a discussão sobre o fato de estarmos diante de um problema que exige não ordenação. Nesse caso, avaliamos que o valor da
probabilidade calculada de ocorrência de uma
15
pessoa de cada sexo,
, deve ser multiplica56
da por 2, pois, afinal, podemos ter como resultado do sorteio “um homem e uma mulher”
ou “uma mulher e um homem”. Assim, a pro30
babilidade, nesse caso, é igual a
, e a soma
56
56
= 100%.
de todos os casos é igual a
56
Ainda no contexto desse problema, como
poderíamos calcular a probabilidade de sortear
3 pessoas e ocorrerem 2 homens e 1 mulher?
A estratégia de cálculo que pretendemos valorizar nesta Situação de Aprendizagem consiste
em estabelecer uma ordem para os resultados sorteados e, em seguida, contar todas as
sequências possíveis de resultados iguais a este.
Para tanto, precisaremos do raciocínio combinatório abordado anteriormente.
f Probabilidade de ocorrer “Homem-Homem-Mulher”, nessa ordem:
3 2 5 5
⋅ ⋅ =
8 7 6 56
f Cada agrupamento com dois homens e uma
3!
mulher pode ser associado a
sequências,
2!
que diferem pela ordem de seus elementos.
f Probabilidade de 2 homens e 1 mulher, em
3 2 5 3! 5
15
qualquer ordem: ⋅ ⋅
⋅3 =
8 7 6 2 ! 56
56
Tradicionalmente esse tipo de problema é resolvido utilizando-se a fórmula
das combinações:
f Número de elementos do espaço amostral =
8!
= 56
= n(S) = C8,3 =
5 !3 !
f Número de elementos do evento desejado =
3! 5 !
⋅
= 3 5 15
= n(E) = C3,2 . C5,1 =
1! 2 ! 4 !1!
f Probabilidade procurada =
n (E )
n (S )
=
15
56
No entanto, o primeiro procedimento, que
exige refletir sobre a ordenação ou não dos resultados do sorteio, atribui significados conceituais ao cálculo das probabilidades que o
segundo procedimento, usando equações, não
consegue atribuir. Além disso, a procura de
soluções com base no primeiro procedimento
acarretará aos alunos maior desenvoltura ao
enfrentarem novas situações, em contextos diferentes daqueles que normalmente permeiam
as listas de exercícios de probabilidades. Não
se trata, entretanto, de vetar completamente
a apresentação das fórmulas de cálculo das
combinações, mas sim de retardá-las até o
momento em que o professor avalie que os
alunos construíram o conhecimento acerca da
aplicação do raciocínio combinatório ao cálculo de probabilidades.
Com base nessas premissas, propomos
que o professor apresente à turma alguns
problemas típicos, e que na discussão sobre
o “como resolver”, chame a atenção dos alunos para a questão da ordenação dos sorteios
e para a importância dos fatoriais nessas situações. Apresentamos, em seguida, algumas
37
dessas situações-problema, acompanhadas de
resolução e eventuais comentários que julgamos importante salientar.
São propostas, a seguir, seis situações-problema com a finalidade de articular probabilidades e análise combinatória. No Caderno do
Aluno são apresentados dez problemas, com a
finalidade de oferecer mais situações para que o
aluno consolide as noções aqui desenvolvidas.
Problema 1 – Sorteando 4 alunos de uma
classe com 15 meninos e 13 meninas, qual é a
probabilidade de que sejam sorteados 2 meninos e 2 meninas?
Supomos uma ordem para o sorteio, como
esta:
P(Menino, Menino, Menina, Menina) =
=
15 14 13 12
⋅
⋅
⋅
28 27 26 25
Em seguida, consideramos todas as diferentes
ordenações dos 4 elementos, introduzindo no
4!
.
cálculo anterior o fator
2! 2!
Assim, temos:
P(2 meninos e 2 meninas) =
15 14 13 12 4 !
2
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ou 40%
28 27 26 25 2 ! 2 ! 5
Problema 2 – No jogo de loteria oficial
Mega-Sena, um apostador escolhe no mínimo
6 dezenas dentre 60. São sorteadas 6 dezenas e
o ganhador do prêmio maior deve ter escolhido todas as sorteadas. Qual é a probabilidade
de ganho do prêmio maior para um apostador
que escolheu 8 dezenas?
Supondo que o apostador acertou todas as
dezenas, como pede o enunciado da questão,
não será necessário considerar a troca de
38
ordem dos sorteios, uma vez que há apenas
uma categoria envolvida: acertos.
P(6 acertos em 6 sorteios tendo escolhido
8 dezenas) =
=
8 7 6 5 4 3
≅ 0, 000056 %
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
60 59 58 57 56 55
6 sorteios
Problema 3 – Qual é a probabilidade de o
apostador descrito no enunciado do problema
anterior acertar 4 das 6 dezenas sorteadas?
Fixaremos uma ordem para os resultados do
sorteio. Calcularemos a probabilidade dessa
ordenação e, em seguida, introduziremos
o fator que considera a troca de ordem. A
ordem fixada será esta: Acerto, Acerto,
Acerto, Acerto, Erro, Erro.
P(A,A,A,A,E,E) =
=
8 7 6 5 52 51 6 !
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅≅ 0,012%
≅ 0 ,18%
60 59 58 57 56 55 4 ! 2 !
É preciso atentar para os dois últimos fatores
dessa multiplicação, que correspondem à chance
de erros. Nesse caso, devemos lembrar que são
60 dezenas no total e que o apostador escolheu
8 delas. Assim, há 52 dezenas não escolhidas e
que poderão ser sorteadas no caso de o apostador
não ter sucesso em suas escolhas.
O fator que considera todas as ordenações
possíveis entre os 6 elementos AAAAEE
6!
. Assim, a probabilidade de
é este:
4! 2!
4 acertos, portanto de 2 erros, em 6 sorteios
consecutivos é esta:
P(4 acertos e 2 erros em 6 sorteios) =
8 7 6 5 52 51 6 !
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
≅ 0 ,18%
=
60 59 58 57 56 55 4 ! 2 !
6 sorteios
Matemática – 2ª- série – Volume 3
Uma possibilidade interessante de trabalho com probabilidades, e a questão da não
ordenação, consiste em analisar as chances em
alguns jogos oficiais de loterias. Nos últimos
problemas analisamos apenas dois desses casos, mas há outros que também mereceriam
nossa atenção. Podemos, nesse sentido, pedir
que os alunos consigam volantes de alguns
jogos, normalmente expostos em casas lotéricas, pois neles estão registradas algumas das
chances nos sorteios. Realizando seus próprios cálculos, com a ajuda de uma calculadora, os alunos poderão conferir a correção das
probabilidades registradas nos volantes. Não
é objetivo de um trabalho pedagógico desse
tipo, de forma alguma, estimular a prática
em jogos de loterias. Pelo contrário, a correta
orientação do trabalho por parte do professor
poderá servir para ressaltar alguns aspectos
que visam desestimular tais práticas.
O primeiro aspecto importante, de natureza estritamente matemática, diz respeito, por
um lado, às pouquíssimas chances de vitória
em jogos com prêmios elevados e, no sentido
inverso, as “boas” chances em jogos de prêmios bem reduzidos. Esse aspecto serve para
constatar o fato de que em todo jogo de azar,
de qualquer natureza, a relação entre a probabilidade de vitória e o montante do prêmio
ao ganhador é sempre inversa. Isto é, quanto maiores as chances, menores os prêmios e
vice-versa.
Outro aspecto envolvido nos jogos de loterias diz respeito ao fato de que esses jogos são
mais um elemento que promove a concentração de renda, já tão mal distribuída, em nosso
país. Afinal, não são arrecadados pequenos
valores de uma grande parcela da população
para, ao final, destinar todo o montante auferido a apenas uma ou duas pessoas?
Por fim, esse tipo de trabalho permite
discutir o destino das quantias arrecadadas
semanalmente. O apostador, na maior parte
das vezes, desconhece o fato de que mais da
metade dos valores arrecadados não cai nas
mãos de algum ganhador, e que a prestação
de contas sobre o destino dessa parte que não
volta não está acessível ao cidadão comum.
Se, de fato, por trás da criação de um jogo
de loteria existe a intenção de utilizar parte
da arrecadação em projetos sociais, de melhoria das condições da população menos favorecida, parece lógico que a prestação de contas
sobre o uso desse dinheiro seja o mais transparente possível.
Problema 4 – Em um determinado jogo
lotérico, um apostador pode escolher de 5 a
10 dezenas de um total de 50. São sorteadas
5 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve
acertar todas elas. Se uma aposta em 5 dezenas custa R$ 2,00, quanto deve custar uma
aposta em 10 dezenas?
O preço de uma aposta é relacionado à
probabilidade de essa aposta ser sorteada, de
maneira que quanto maior a probabilidade,
maior também o valor a ser pago. No caso
de uma aposta em 5 números, a probabilidade
de que todos sejam sorteados é:
P(acerto de 5 dezenas tendo apostado em
5 dezenas) =
5 4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅
⋅
50 49 48 47 46
39
No caso de uma aposta em 10 dezenas, a
probabilidade de que 5 delas sejam sorteadas é:
P(acerto em 5 dezenas tendo apostado em
10 9 8 7 6
⋅ ⋅ ⋅
⋅
50 49 48 47 46
A pergunta que resume a questão é esta:
quantas vezes a segunda probabilidade é
maior do que a primeira? Podemos obter
a resposta dividindo os dois resultados
anteriores.
10) =
1010 99 88 77 66 55 44 33 22 11
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ÷ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 252.
5050 4949 4848 4747 4646 5050 4949 4848 4747 4646
Portanto, se a aposta em 5 dezenas custa
R$ 2,00, a aposta em 10 dezenas deve custar
252 vezes mais, isto é, R$ 504,00.
Problema 5 – Em uma caixa há 20 bolas
que diferem apenas pela cor. Dessas bolas,
1 são verdes, 2 são amarelas e o grupo restante
5
4
é formado apenas por bolas da cor rosa. Serão
realizados três sorteios com reposição de uma
bola a cada vez. Nessa condição, uma mesma
bola pode ser sorteada mais de uma vez. Qual
é a chance de serem sorteadas:
a) bolas de uma única cor?
1
2
As frações 4 e 5 determinam as proporções
na caixa de bolas, respectivamente, das
cores verde e amarela. A proporção de bolas
cor-de-rosa é:
 1 2  7 
1 –  +  = 
 4 5   20 
3
Essas frações correspondem, portanto, à
probabilidade de cada cor em um sorteio. No
caso de sorteios de bolas de uma única cor,
40
podemos ter bolas verdes, bolas amarelas
ou bolas cor-de-rosa. Assim, trata-se de
calcular a chance de cada cor e apenas somar
os três resultados, visto não haver qualquer
interseção entre eles.
 1
P(3 verdes) =  4 
3
 2
P(3 amarelas) =  
 5
 7 
P(3 rosa) =  
 20 
3
3
3
 1  2
P(3 bolas de única cor) =   +  
 4  5
3
7
+ 
 20 
3
Vale ressaltar dois aspectos da resolução
desse problema. Em primeiro lugar, o fato
de que não foi necessário considerar a não
ordenação do conjunto, visto que cada um
deles é formado por elementos de mesma
categoria: todos são verdes, ou todos são
amarelos, ou todos são rosa. Em segundo
lugar, é preciso notar que nos sorteios “com
reposição” a probabilidade de ocorrência de
cada evento é constante, visto não se alterarem as condições entre um sorteio e outro.
b) apenas bolas verdes ou amarelas?
O fato de que apenas bolas verdes ou amarelas sejam sorteadas implica que não
sejam sorteadas bolas cor-de-rosa. Há duas
maneiras aparentemente diferentes de resolver
esse problema. Analisemos cada uma delas.
Primeira maneira: podemos analisar as
possibilidades de que sejam sorteadas 3 bolas
divididas entre verdes (V) e amarelas (A).
Matemática – 2ª- série – Volume 3
São estes os casos e suas probabilidades:
3
 1
P(VVV) =  
 4
2
 1  2 3!
P(VVA) =   ⋅   ⋅
 4  5 2!
segunda maneira. Com essa ação o professor
estará preparando o terreno para a discussão
proposta na Situação de Aprendizagem 4,
acerca da probabilidade binomial.
(Atenção ao fator de não ordenação.)
2
 1  2 3!
P(VAA) =   ⋅   ⋅
 4  5 2!
 2
P(AAA) =  
 5
3
A probabilidade procurada é a soma desses
casos. Assim:
P(não cor-de-rosa) =
=
Segunda maneira: visto que as bolas
cor-de-rosa não podem ser sorteadas,
podemos adicionar a probabilidade de
bolas de cor verde com a de bolas de cor
amarela, para ter a probabilidade desejada
em cada sorteio.
 1 2
P(não rosa em cada sorteio) = + 
 4 5
P(não rosa em 3 sorteios consecutivos com
 1 2
reposição) =  + 
 4 5
Chamamos a atenção do professor para o
fato de que as duas respostas são idênticas e
Problema 6 – lucia e jair estão, com outras 8 pessoas, esperando o sorteio de 4 pessoas
para a formação de um grupo de trabalho. Qual
é a probabilidade de jair e lucia não fazerem
parte, os dois, do grupo sorteado?
Podemos resolver esse problema de duas
maneiras.
Primeira maneira: calculamos a probabilidade de que Jair e Lucia façam parte do grupo
sorteado e, em seguida, consideramos o complemento para 100% do valor obtido.
P(Jair, Lucia e outras duas pessoas) =
 1   1  8  7  4!
2
=
=   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅
 10   9   8   7  2 ! 15
Devemos observar o fator contendo os
fatoriais, que considera a não ordenação da
sequência (Jair, Lucia, Pessoa, Pessoa). Se
a probabilidade de os dois serem sorteados
2
, a probabilidade de que
15
não sejam sorteados juntos é 13 .
15
juntos é igual a
Segunda maneira: vamos analisar os casos
possíveis, que são estes: apenas Jair sem Lucia,
apenas Lucia sem Jair, nem Lucia nem Jair.
que, talvez, valha a pena mostrar aos alunos
que a adição apresentada na primeira maneira de resolver o problema coincide com o
1 é a chance de jair; 8 corresponde à chance
10
9
desenvolvimento do binômio que representa a
das 8 pessoas, excluídos jair e lucia.
41
P(apenas Jair sem Lucia) =
 1   8  7   6 4!
=   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅
 10   9   8   7  3 !
P(apenas Lucia sem Jair) =
 1   8  7   6 4!
=   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅
 10   9   8   7  3 !
P(nem Lucia nem Jair) =
 8   7   6  5
=   ⋅  ⋅  ⋅ 
 10   9   8   7 
A probabilidade desejada é o resultado da adição desses três casos, isto é:
cada situação como se fosse a primeira vez.
Visto que o objetivo principal no estudo
das probabilidades é o estímulo ao raciocínio proporcional e multiplicativo, este
deve ser o principal aspecto a ser avaliado
da aprendizagem dos alunos. Praticamente, essa valorização do raciocínio do aluno
configura-se em dois aspectos. O primeiro
aspecto diz respeito à constituição das avaliações, e o segundo, à forma como elas são
corrigidas.
As questões de uma prova, que pretende
 alunos
 tema
 1   8   7   6  4 !  1   8   avaliar
7   6 o conhecimento
4 !  8   7dos
6   5no
4
4
5 13
⋅ semelhan=
+
+
=
⋅   ⋅ +  não
⋅  podem
⋅  ser
P =   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ +   ⋅   ⋅  “probabilidades”,





 10   9   8   7  3 !  10   9   8   7  3 !  10   9   8   7  15 15 15 15
tes às situações-problema trabalhadas em
 5de
 aula.
 8   7   6  4 !  1   8   7   6  4 !  8   7   6 sala
4 Tal
4 semelhança,
5 13 se indesejável
⋅
⋅
⋅
=
+
+
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅

 9   8   7  3 !  10   9   8   7  3 !  10   9   8 noque
refere
conceitos
7  se15
15aos15
15 matemáticos,
deve ser evitada no que diz respeito à con 8  7   6 4!  8   7   6  5 4
4
5 13 textualização das situações-problema. Nessa
 9  ⋅  8  ⋅  7  ⋅ 3 ! +  10  ⋅  9  ⋅  8  ⋅  7  = 15 + 15 + 15 = 15
situação, os alunos enfrentam situações-problema para as quais não formaram padrões
  7   6  5 4
4
5 13
anteriores de resolução, assim, são avaliados
+
=
=
+
⋅
⋅
⋅
0   9   8   7  15 15 15 15
no que diz respeito, de fato, à mobilização
de estratégias de raciocínio.
Confirmamos então, que a probabilidade
13
O segundo aspecto importante a consideprocurada é igual a
.
15
rar no caso das avaliações individuais refere-se
Considerações sobre a avaliação
Situações-problema que exigem, conjuntamente, cálculo de probabilidades e raciocínio combinatório costumam ser um dos
temas de maior dificuldade para alunos de
Ensino Médio. De fato, a impossibilidade
de tipificação dos problemas exige enfrentar
42
à maneira como elas são corrigidas. Uma vez
que não se estará exigindo dos alunos que repitam padrões preestabelecidos, mas sim que
registrem o raciocínio que utilizam a cada instante. Dessa forma, o professor precisará estar
atento para valorizar registros de raciocínios
interessantes, mesmo que não conduzam à resolução esperada do problema.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 4
PROBABIlIDADES E RACIOCíNIO COMBINATóRIO:
O BINôMIO DE NEwTON E O TRIâNgUlO DE PASCAl
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: expansão binomial de probabilidades; o Triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais.
Competências e habilidades: interpretar o resultado da probabilidade de ocorrência de um
evento em n repetições de um mesmo experimento; relacionar o cálculo da probabilidade de
n repetições de um evento, mantendo-se as condições, com o desenvolvimento de um binômio de expoente n.
Estratégias: resolução de problemas exemplares contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Se um evento é repetido n vezes nas mesmas condições e de modo independente, e
queremos a probabilidade da ocorrência
do resultado esperado em p dessas n vezes,
estamos diante de um caso binomial, isto é,
um caso em que devemos considerar, a cada
repetição do experimento, apenas duas possibilidades, sucesso ou fracasso. Daí o termo
binômio, que tem como um dos exemplos
mais comuns o lançamento de uma moeda
certo número de vezes.
Se uma moeda comum é lançada, temos
1
para cada uma de suas
a probabilidade
2
faces, cara ou coroa. lançando-se, por exemplo, 8 vezes uma moeda, o cálculo da probabilidade de ocorrência de 3 caras nos três
primeiros lançamentos e de 5 coroas nos outros
5 pode ser escrito da seguinte forma:
P(3 caras e 5 coroas, nessa ordem) =
 1   1   1   1   1   1   1   1   1
=   .  .  .  .  .  .  .  =  
 2   2   2   2   2   2   2   2   2
8
14243 144424443
3 caras
5 coroas
Se nesse problema a ordenação dos
eventos não for definida, isto é, se forem
esperadas 3 caras e 5 coroas em qualquer
ordem, então precisaremos incluir no cálculo o fator que conta a quantidade de permutações entre caras e coroas. Com base
no raciocínio combinatório discutido nas
Situações de Aprendizagem anteriores,
podemos escrever:
P(3 caras e 5 coroas, em qualquer ordem) =
 1   1   1   1   1   1   1   1  8!
           2   2   2  5 ! 3!
8!  1 
5 ! 3!  2 
8
=  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅ 5 ! 3! = 5 ! 3! ⋅  2 
43
O experimento “lançamento de moedas” é
um problema particular em que a probabilidade
de “sucesso” é igual à de “fracasso”, 50% para
cada um. O lançamento sucessivo de um dado,
por exemplo, pode ser diferente. Vamos supor
o caso em que um dado é lançado seis vezes, e é
desejado que a face 4 esteja voltada para cima
ao final de dois desses lançamentos. Supondo
que o esperado ocorra nos dois primeiros lançamentos, teremos a seguinte probabilidade:
P(face 4 apenas nos dois primeiros lançamentos) =
22
44
1
1
5
5
5
5
1
5
=  1⋅ ⋅ 1⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5=== 1 ⋅ ⋅ 5
66 66 66 66 66 66 66 66
Para contar as diferentes ordens possíveis
entre os resultados desejados e não desejados,
devemos introduzir os fatoriais.
P(face 4 duas vezes, em quaisquer dos
1
6 lançamentos) =  
6
44
2
4
6!
5
⋅  .
 6  2!4!
ter o resultado esperado em nenhuma das
vezes, em uma das vezes, em duas, até, no máximo, em todas as vezes. Em cada um desses casos
a probabilidade pode ser assim calculada:
P(nenhum resultado esperado em 5 lança2
mentos) =  
3
5
P(1 resultado esperado em 5 lançamentos) =
4
 1   2  5!
=  ⋅  ⋅
 3   3  1! 4 !
P(2 resultados esperados em 5 lançamentos) =
2
3
 1  2 
5!
=   ⋅  ⋅
 3   3  2 ! 3!
P(3 resultados esperados em 5 lançamentos) =
 1
=  
 3
3
2
 2
5!
⋅  ⋅
 3  3! 2 !
P(4 resultados esperados em 5 lançamentos) =
4
 1   2  5!
=  3  ⋅  3  ⋅ 4 !1!
Os casos de probabilidade desse tipo, binomial, são importantes para que se entenda a
necessidade dos fatoriais, mas também para
que se compreenda um importante significado
associado ao desenvolvimento de um binômio
do tipo (a + b)n.
Consideremos, por exemplo, o caso de
5 lançamentos de um dado com o objetivo
de verificar em quantas dessas vezes a face
voltada para cima contém um número
maior do que 4, isto é, contém 5 ou 6. A proba-
A soma de todas essas probabilidades deve
ser igual a 100%, visto que aí estão todos os
casos possíveis.
5
4
 2   1   2  5!
+
100% =   +   ⋅   ⋅
3
 3   3  1! 4 !
bilidade de que isso ocorra em um lançamento
2 1
é = , e de que isso não ocorra em um lança6 3
mento é 2 . Em 5 lançamentos poderemos
3
 1  2 
5!  1 
+
+   ⋅  ⋅
 3   3  2 ! 3 !  3 
4
5
 1   2  5!
 1
+  3  ⋅  3  ⋅ 4 !1! +  3 
P(5 resultados esperados em 5 lançamentos) =
 1
= 
 3
5
2
3
3
2
 2
5!
⋅  ⋅
+
 3  3! 2 !
Matemática – 2ª- série – Volume 3
2 1
Ocorre que a adição  +  das duas pro3 3
babilidades envolvidas também é igual a 1 ou
100%. Assim, vamos igualar:
5
 1   2  5!
 2 1   2
 +  =  3  +   ⋅   ⋅ ! ! +
3 3 1 4
3 3
5
2
3
4
 1
 1  2 
5!
+   ⋅  ⋅
+  
 3   3  2 ! 3!  3 
4
 1   2  5!
 1
+  ⋅ ⋅
+ 
 3
 3   3  4 !1!
3
2
 2
5!
⋅  ⋅
+
 3  3! 2 !
5
Dessa maneira, temos à esquerda da igualdade um binômio do tipo (a + b)n e, à direita,
seu desenvolvimento, de forma que cada termo desse desenvolvimento corresponde à probabilidade de ocorrência de um determinado
número de resultados esperados e de não esperados em n repetições de determinado evento,
sempre nas mesmas condições.
Propomos que o professor apresente o desenvolvimento do Binômio de Newton por intermédio das probabilidades, em vez de, como
é mais comum, fazê-lo algebricamente. Dessa
maneira, os coeficientes binomiais, da forma
⎛ n⎞
n!
⎜⎝ p ⎟⎠ = p ! n − p ! , passam a significar a quan(
)
tidade de ordenações possíveis entre o número
de resultados esperados (p) e o de não esperados (n – p), e podem, assim, ser apresentados
sem sobressaltos. Para cumprir esse objetivo,
o professor poderá retomar o exemplo discutido há pouco sobre o lançamento do dado,
pedindo que os alunos calculem todas as possibilidades envolvidas, ou então propor outra
situação-problema, como esta, por exemplo:
Estatisticamente, 1 em cada 10 televisores
de determinada marca apresenta problemas de
funcionamento. Uma loja de eletrodomésticos
acaba de comprar 6 desses televisores para
revender. Supondo que todos sejam vendidos,
qual é a probabilidade de a loja receber reclamações de:
a) nenhum comprador?
b) apenas de 1 comprador?
c) apenas de 2 compradores?
d) de 3 compradores?
e) de 4 compradores?
f) de 5 compradores?
g) de todos os compradores?
A probabilidade de “sucesso”, nesse caso,
pode ser a de o televisor apresentar proble1
, enquanto a probabilidade de
ma, ou seja,
10
“fracasso” é a de o televisor não apresentar
9
. Dessa maneira, a resoproblema, isto é,
10
lução esperada dos alunos deve apresentar os
seguintes resultados:
9
a)  
 10 
6
5
⎛6⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 1⎞
b) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝10⎠
6
9
c) ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝10⎠
4
⎛ 6⎞ ⎛ 9 ⎞
d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝10⎠
3
⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 10⎠
⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 10⎠
2
3
45
6  9 
e)   ⋅  
 4   10 
2
 1 
⋅ 
 10 
6
9
1
f)   ⋅   ⋅  
 5   10   10 
 1 
g)  
 10 
de eventos e do cálculo de probabilidades.
Consideremos, por exemplo, o caso de 5 sorteios, com reposição, de uma bola dentre 20,
em que 4 são vermelhas. A chance de sair uma
4 1
vermelha em cada sorteio é
= . Para
20 5
3 vermelhas (V) e 2 não vermelhas (NV), nes-
4
5
6
sa ordem, temos a seguinte probabilidade:
Depois de comentar alguns problemas
desse tipo, o professor poderá generalizar a
expressão do termo geral do binômio, sem
todavia amarrá-la diretamente à resolução dos
problemas.
 n
 Binômio: (a + b)n  Termo geral: Tk+1 =   a n−k⋅b k
 k
Outro aspecto que merece destaque, a
partir do tipo de abordagem metodológica
sugerida, é o estudo das propriedades do
Triângulo de Pascal.
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
Duas propriedades importantes, da soma
dos elementos de uma linha e dos complementares em cada linha, tornam-se explícitas
quando pensadas sob o prisma da ordenação
46
 1
P(V,V,V, NV, NV) =  
 5
3
 4
⋅ 
 5
2
No caso de a frequência dos eventos se inverter, isto é, para ocorrer 2 vermelhas (V) e
3 não vermelhas (NV), nessa ordem, teremos:
1
P(V, V, NV, NV, NV) =  
5
2
4
⋅ 
5
3
Todavia, em um caso ou noutro, considerando todas as ordens possíveis entre os
5 resultados dos sorteios, precisaremos incluir no cálculo o fator 5 ! . Assim, fica claro
2 !3 !
5  5
que   e   são coeficientes binomiais que
 2 3
calculam a mesma coisa, ou seja, a quantidade
de ordenações possíveis entre 5 elementos,
sendo 3 de um tipo e 2 do outro.
O clássico problema do nascimento de n
crianças pode ser analisado para que os alunos
relacionem o raciocínio combinatório aos binômios e ao Triângulo de Pascal. Analisemos,
por exemplo, o nascimento de 6 crianças. Aplicando o raciocínio combinatório nesse caso,
calculamos a quantidade de sequências diferentes para o sexo, homem (H) ou mulher (M),
das 6 crianças.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
1ª- criança
2ª- criança
aplicado a qualquer outra linha do Triângulo
de Pascal, de forma que é possível induzir que a
soma dos elementos da linha n é igual a 2n.
Homem
Homem
Mulher
Homem
Mulher
Mulher
A árvore acima, referente às 22 = 4 possibilidades no nascimento de 2 crianças, serve
para mostrar que, no caso de 6 crianças, serão
26 = 64 sequências diferentes.
6
1 1
O desenvolvimento do binômio  + 
2 2
fornece, em cada termo, a probabilidade de
uma determinada sequência de sexos. O terceiro termo, por exemplo, é
6 1
 4 ⋅ 2 
   
2
4
 1  15
⋅  =
 2  64
e corresponde à chance de nascimento de 2
homens e 4 mulheres, ou de 4 homens e 2 mulheres. Outros termos desse binômio também
terão denominador igual a 64, que é o total
de sequências possíveis do nascimento das
6 crianças. Os numeradores das probabilidades, ou dos termos do binômio, serão os
termos da linha 6 do Triângulo de Pascal
(1 6 15 20 15 6 1). Assim, se a soma das
probabilidades de todos os casos possíveis
deve ser igual a 100%, fica claro que a soma
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 deve ser igual
a 64, ou 26. O mesmo raciocínio pode ser
A abordagem metodológica sugerida
nesta Situação de Aprendizagem, conforme as descrições anteriores, está calcada
totalmente na resolução de problemas e no
estabelecimento de conclusões a partir de
induções. Nessa medida, é preciso que o professor adote uma rotina de aula em que
proponha problemas especialmente escolhidos aos seus alunos, que destine tempo para
que reflitam sobre os possíveis procedimentos
de resolução e que, explorando o raciocínio
que mobilizam em cada caso, estabeleça, em
conjunto com a classe, as necessárias generalizações. Para auxiliar o professor nessa
tarefa, propomos a seguinte lista de situações-problema.
Problema 1 – O que é mais provável: duas
caras no lançamento de 4 moedas ou uma face
6 no lançamento de dois dados?
Chamamos P1 a probabilidade de 2 caras,
portanto 2 coroas, no lançamento de 4 moedas,
e de P2 a probabilidade de apenas uma face 6
no lançamento de dois dados.
2
2
4!
3
 1  1
P1 =   ⋅   ⋅
= = 37 ,5%
 2  2 2 ! 2 ! 8
1 5
5
P2 = ⋅ ⋅ 2 =
≅ 27 ,8%
6 6
18
Portanto, P1 > P2.
Problema 2 – Uma prova é formada por 10
testes com 5 alternativas cada um, sendo correta
apenas uma delas. Qual é a probabilidade de um
aluno acertar, “chutando”, 4 testes nessa prova?
47
Em cada teste a chance de acerto é igual a
1
4
e a chance de erro é de . Para acertar,
5
5
“chutando”, 4 testes, e portanto errar
6 testes, a chance é:
4
6
 1  4
6!
12 288
=
≅ 0 , 66%
%
P=   ⋅  ⋅
 5   5  4 ! 2 ! 1 953 125
Problema 3 – Quatro prêmios iguais serão
sorteados entre os 20 alunos de uma classe,
sendo possível a qualquer aluno ser sorteado
mais de uma vez. Qual é a probabilidade de
Haroldo ser sorteado apenas no 2o sorteio?
A chance de Haroldo ser sorteado é igual a
19
1
, e de não ser sorteado é de . Como ele
20
20
será sorteado apenas na segunda vez, não
há necessidade, nesse caso, de considerar
a não ordenação. Assim, a probabilidade
procurada é:
 19   1   19   19  19 3
P =   ⋅   ⋅   ⋅   = 4 ≅ 4 , 3%
 20   20   20   20  20
É recomendável, nesse problema, chamar a
atenção dos alunos para o fato de que no caso
de Haroldo poder ser sorteado uma vez em
qualquer dos sorteios, deve ser introduzido no
cálculo anterior o fator 4 ou 4 ! , que resulta
3 !1!
na probabilidade aproximada de 17,2%.
Problema 4 – O controle de qualidade de
uma empresa fabricante de pneus aponta que
é igual a 0,2% a probabilidade de que uma
determinada máquina envolvida no processo
apresente problemas durante a fabricação do
48
produto, implicando a ida para o mercado de
um pneu defeituoso. Alberto vai a uma loja para
trocar os 4 pneus de seu carro por novos, fabricados pela empresa descrita anteriormente.
Qual é a chance de o automóvel de Alberto sair
da loja rodando com dois pneus defeituosos?
Se a chance de o pneu apresentar defeito é
igual a 0,2%, a chance de não apresentar
defeito é igual a 99,8%. A probabilidade
de que existam 2 defeituosos em 4 pneus
comprados é:
P = (0,2 %)2.(99,8 %)2.
4!
≅ 0,0024%
2! 2!
Problema 5 – Um “dado” especial tem o
formato de um tetraedro regular com uma
figura diferente em cada uma de suas faces.
Em uma delas, há um palhaço. Se lançarmos
4 vezes esse dado, quais são as probabilidades
de a face com o palhaço ficar voltada para baixo: nenhuma, uma, duas, três ou quatro vezes?
Calcule cada uma delas independentemente e
mostre que a soma de todas é igual a 100%.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
1
de chance de estar
4
voltada para baixo em cada lançamento.
A face com o palhaço tem
3
P(palhaço nenhuma vez) =
4
4
5
3
P(palhaço apenas uma vez) =
1
3
⋅
⋅4
4
4
P(palhaço apenas duas vezes) =
2
por exemplo, a probabilidade de que cara
apareça em 5 dos 8 lançamentos é:
P(5 caras em 8 lançamentos) =
2
 1  3
=   ⋅  ⋅6
 4  4
3
 1   1   8  56
=   ⋅  ⋅  =
 2   2   5  256
Dividindo por 256 cada um dos termos da
linha 8 do Triângulo de Pascal, teremos
todas as probabilidades possíveis para esse
experimento. Assim, o gráfico representativo
da situação pode ser este:
P(palhaço em três lançamentos) =
80
3
 1  3
=   ⋅  ⋅4
 4  4
75
4
 1
P(palhaço nos 4 lançamentos) =  
 4
A soma de todas essas probabilidades pode
ser assim indicada:
2
2
(P. 256)
70
3
4
4
3
+
3
1
3
⋅
⋅4+
4
4
4
 1  3
 1  3
 1
+   ⋅  ⋅6 +   ⋅  ⋅4 +   =
 4  4
 4  4
 4
4
 3 1
=  +  = 14 = 100 %.
 4 4
Problema 6 – Utilize um gráfico de barras
para representar todas as probabilidades envolvidas em 8 lançamentos seguidos de uma
moeda, com a observação da ocorrência do
evento cara na face superior.
As frequências do número de caras, que
poderão ser observadas em 8 lançamentos
de uma moeda, coincidem com os números
da linha 8 do Triângulo de Pascal. Assim,
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
número de caras
A análise desse gráfico pode mostrar a
complementaridade dos coeficientes bino-
n  n 
miais, isto é, que   = 
 . Além disso,
p  n−p
podemos, em uma aproximação, apresentar
a ideia da curva Normal, que será discutida,
na 3a série do Ensino Médio, com maiores
detalhes.
49
Considerações sobre a avaliação
Reforçamos aqui os comentários da
Situação de Aprendizagem anterior acerca dos
problemas que exigem, conjuntamente, cálculo
de probabilidades e raciocínio combinatório,
como é o caso dos problemas que envolvem
distribuição binomial. O importante, nesses
casos, será valorizar o raciocínio que os alunos
registram nas resoluções dos problemas,
minimizando a exatidão da resposta final.
Salientamos ainda que a importância
de utilizar diferentes instrumentos de avaliação torna-se ainda maior no estudo de
assuntos como “probabilidades”, em que
a ausência de padrões exclusivos estimula
o uso de múltiplas formas de raciocínio.
Assim, sugerimos que avaliações em grupo
venham a ser utilizadas na composição do
quadro geral, bem como avaliações de trabalhos e de criação de problemas por parte
dos alunos.
ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO
Caso os objetivos propostos na Situação
de Aprendizagem 1 não tenham sido plenamente atingidos, sugerimos que as atividades
de recuperação contemplem:
f retomada da ideia de razão entre grandezas de mesma natureza, ou de naturezas
diferentes, em contextos próximos do cotidiano dos alunos, como na questão das
escalas dos mapas, ou na velocidade média
de um automóvel, ou no preço pago por
m2 de terreno, ou da quantidade de pisos
vitrificados necessários para cobrir determinada área, etc.;
f aplicação de um novo conjunto de situações-problema contextualizadas;
f solicitação para que os alunos elaborem situações-problema envolvendo o cálculo de probabilidades com base em contextos livres ou
determinados pelo professor. Essas situações
50
poderão ser trocadas entre os alunos para que
um resolva o problema proposto pelo colega
e, ao final, as resoluções possam ser avaliadas
pelo criador.
De qualquer maneira, não há motivos para
esgotar por completo o estudo dos casos de
probabilidade neste momento, visto que serão
retomados adiante no curso, com a inclusão
do raciocínio combinatório.
O processo de recuperação de alunos que,
porventura, não tenham atingido plenamente
os objetivos traçados na Situação de Aprendizagem 2 deve levar em conta a maneira com
que eles lidam com situações-problema: inicialmente, eles enfrentam problemas de análise
combinatória com a representação explícita da
situação, por intermédio de árvores de possibilidades ou de aplicação de raciocínio aditivo.
À medida que incorporam a necessidade de
aplicação do raciocínio multiplicativo e o dominam, os alunos passam a evitar a representação
Matemática – 2ª- série – Volume 3
e a contagem, recorrendo a isso apenas em situações novas com maior grau de dificuldade.
Alunos com maiores dificuldades na aplicação do raciocínio multiplicativo podem ter
sido estimulados precocemente a não representar de forma explícita a resolução dos problemas. O professor deve estar atento a essa
possibilidade para, durante a recuperação,
estimular os alunos a representarem a resolução com mais cuidado. Consideremos, por
exemplo, uma situação-problema clássica, a
fim de analisar os diferentes encaminhamentos para cada tipo de aluno:
Cinco carros de cores diferentes chegam a
um pedágio. Apenas três desses carros passarão pelo pedágio antes de começar a chover. De
quantas maneiras diferentes eles podem formar
uma fila para transpor o pedágio antes de começar a chover se:
a) a fila for formada ao acaso?
b) se o carro amarelo não ficar em primeiro
lugar da fila?
Um aluno que tenha criado desenvoltura
na resolução desse tipo de problema, provavelmente fará a multiplicação 5 . 4 . 3 para resolver
o item a, e 4 . 4 . 3 para resolver o item b. Esse
aluno, de certo, não precisará passar por recuperação, visto já ter construído o conhecimento necessário.
Alunos que apresentam como resposta
3 . 5 demonstram não ter construído completamente o conhecimento exigido. Sabem
eles que a resolução do problema exige uma
multiplicação e a escrevem com os primeiros numerais que identificam no enunciado.
Nesses casos, é fundamental recomendar que
“montem” a árvore de possibilidades, pois
será essa a maneira que encontrarão para
tornar concreto seu raciocínio. Dessa forma,
caberá ao professor, a partir dos resultados
nas avaliações que tiver proposto no período,
identificar os alunos que deverão merecer especial atenção no processo de recuperação e,
nesses casos, a reprodução simples de listas
de exercícios-modelo não trará os resultados
desejados.
O mesmo se aplica à recuperação de alunos que porventura não tenham atingido
plenamente os objetivos das Situações de
Aprendizagem 3 e 4. Será interessante reforçar que eles detenham sua atenção sobre a
representação explícita do problema, desenhando árvores e/ou diagramas, impedindo,
dessa forma, que venham a formalizar precocemente algum tipo de procedimento algébrico ou aritmético.
Para atender a esse objetivo, o professor
poderá preparar listas de situações-problema
contextualizadas, conforme os modelos apresentados em todas as Situações de Aprendizagem aqui comentadas, mas também considerar,
acima de tudo, que a tentativa de resolução
desses problemas pelos alunos deve ser acompanhada pela orientação, bastante enfática, de
que priorizem o caminho da representação explícita da solução com a montagem das árvores
de possibilidades.
51
RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E
DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
Em princípio, qualquer livro didático de conteúdos do Ensino Médio apresenta uma série
de situações-problema envolvendo o cálculo de
probabilidades. De posse de alguns desses livros,
caberá ao professor selecionar problemas que
julgar mais interessante para a complementação
dos trabalhos realizados com seus alunos. Sugerimos, nesse sentido, que o professor priorize
problemas com enunciados mais elaborados, a
fim de exigir leitura e compreensão de condições, elaboração de estratégias de abordagem
do problema, métodos de resolução e, por fim,
validação dos resultados obtidos.
Por se tratar de conteúdo totalmente calcado na resolução de problemas, vale, para
52
a análise combinatória, a máxima “quanto
mais, melhor”, ou seja, quanto maior for o
rol de problemas apresentados aos alunos,
maior será a capacidade de relacionarem
novas situações a outra anteriormente enfrentada. Assim, sugerimos que o professor
explore ao máximo as situações-pro blema
do livro didático adotado e também de outros que porventura possua.
No site do projeto Rived (Rede Interativa Virtual de Educação) disponível em
<http://www.rived.mec.gov.br>, da Secretaria
de Educação à Distância do MEC, podem ser
encontrados jogos pedagógicos especialmente
produzidos para a aprendizagem de conceitos
de probabilidade.
Matemática – 2ª- série – Volume 3
COnSidERAÇõES FinAiS
Os conteúdos/temas abordados no 3o bimestre da 2a série, que foram contemplados nas
propostas das Situações de Aprendizagem aqui
descritas, fazem parte do bloco denominado
Tratamento da Informação. Compõem ainda
esse bloco os conteúdos de Estatística, abordados em mais de um bimestre de estudo do Ensino Fundamental e no 4o bimestre da 3a série
do Ensino Médio.
Em outros bimestres de outros anos do Ensino Médio detectam-se, explicitamente, conceitos que mantêm relações de proximidade
com os conceitos analisados nas Situações de
Aprendizagem deste Caderno. No 1o bimestre
da 1a série, por exemplo, o estudo das sequências e das progressões aritméticas e geométricas
apresenta regularidades que também são detectadas nas aplicações de análise combinatória e de probabilidade, notadamente o fato
de que esses conteúdos são praticamente os
únicos do Ensino Médio desenvolvidos sobre
domínio natural.
A proximidade da probabilidade com a
estatística deverá ser mais claramente notada na 3a série, quando a definição formal de
probabilidade, como a relação entre número
de casos esperados e casos totais, ganhar a
devida ampliação com o estudo da lei dos
grandes números. Nesse momento, os alunos
tomarão contato com a definição frequentista de probabilidade, essa sim, de extrema importância para a Estatística.
Consideramos ainda que alguns problemas
propostos nas Situações de Aprendizagem
apresentavam dados em tabelas de dupla entrada, que são o embrião do estudo das matrizes, conteúdo apresentado aos alunos no
2o bimestre da 2a série.
Analisando os demais tópicos de planejamento, de outros bimestres, o professor, atento às
ligações conceituais pertinentes a cada momento,
poderá estimular seus alunos na construção individual da rede de significados matemáticos.
Apresentamos, a seguir, a grade curricular
com os conteúdos de Matemática de todas as
séries do Ensino Médio, destacando com um
sombreado os conteúdos de outros bimestres e
de outras séries diretamente relacionados com
os conteúdos do 3o bimestre.
53
COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
dO EnSinO MédiO
54
1a série
2a série
3a série
NÚMEROS E SEQUÊNCIAS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas,
progressões geométricas; ocorrências
em diferentes contextos; noções de
Matemática Financeira.
TRIgONOMETRIA
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica:
seno, cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e
fenômenos periódicos.
- Equações e inequações
trigonométricas.
- Adição de arcos.
gEOMETRIA ANAlíTICA
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, retas paralelas e
perpendiculares, distância de ponto a
reta; problemas lineares.
- Circunferências e cônicas:
propriedades, equações, aplicações em
diferentes contextos.
FUNçõES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função de 1o grau, função de 2o
grau; significado e ocorrência em
diferentes contextos.
MATRIzES, DETERMINANTES E
SISTEMAS lINEARES
- Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
EQUAçõES AlgÉBRICAS,
POlINôMIOS E NÚMEROS
COMPlEXOS
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes e raízes
de uma equação polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x – k e redução no grau de uma
equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
FUNçõES EXPONENCIAl E
lOgARíTMICA
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- logaritmos: definição, propriedades,
significado em diferentes contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
ANálISE COMBINATóRIA E
PROBABIlIDADE
- Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e
permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
ESTUDO DAS FUNçõES
- Panorama das funções já estudadas:
principais propriedades.
- gráficos: funções trigonométricas,
exponencial, logarítmica e
polinomiais.
- gráficos: análise de sinal,
crescimento, decrescimento, taxas de
variação.
- Composição: translações, reflexões,
inversões.
gEOMETRIA –
TRIgONOMETRIA
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
gEOMETRIA MÉTRICA
ESPACIAl
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
ESTATíSTICA
- Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central: média,
mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio médio e
desvio padrão.
- Elementos de amostragem.