Capı́tulo 6
Matrizes
Edmilson Marmo Moreira
Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI
Programa de Pós-graduação em Ciência e Tecnologia da Computação - POSCOMP
“Somente o homem que se interessa por tudo é que poderá considerar-se um
verdadeiro sucesso”.
Henry Ford
1
Considerações Iniciais
Nesta nota será estudado o tema“matrizes e suas operações algébricas”. Essas matrizes
podem ser vistas como tabelas retangulares de elementos, em que cada entrada depende
de dois ı́ndices. As matrizes são estruturas muito úteis, pois têm aplicação em diversos
tópicos da matemática e da computação.
2
Conceitos Básicos
Definição 2.1 (Matriz) Uma matriz de tipo m × n (lê-se: m por n), onde m, nge1, é
uma tabela formada por M · n elementos dispostos em m linhas e n colunas; se n = 1, a
matriz é dita matriz-coluna; se m = 1, matriz-linha; se m = n, matriz quadrada
de ordem n.
os elementos da matriz podem ser números reais ou complexos, polinômios, vetores,
funções, matrizes, etc. Neste texto só serão consideradas matrizes formadas por números
reais.
Exemplos:
"
1. Matriz tipo 2 × 3: M =
2
1 0
√
2 −1 3
#
1
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 2
"
2. Matriz-coluna 2 × 1: M =
3. Matriz-linha 1 × 2: [
1
3
2
3
#
4]


2 1
0


4. Matriz quadrada de 3a ordem: M =  1 5 −3 
0 −1 9
Uma matriz é sempre representada por uma letra maiúscula. Por sua vez, cada elemento da matriz é representado por uma letra minúscula, geralmente a mesma que foi
notada a matriz, com dois ı́ndices. Assim, a1,2 é a notação de um elemento da primeira
linha e segunda coluna; a3,1 é a notação de um elemento da terceira linha e primeira
coluna; e assim por diante.
Ao conjunto de elementos ai, j de uma matriz A tal que i = j dá-se o nome de
diagonal principal. Por sua vez, os elementos de A tal que i + j = n + 1, sendo n a
ordem da matriz, é chamada diagonal secundária.
Além dos 3 tipos de matrizes descritas na Definição 2.1, existem diversos nomes para
caracterizar determinadas matrizes. As principais são:
Matriz diagonal : é toda matriz quadrada que satisfaz a condição ai,j = 0, se i 6= j. Os
elementos não nulos estão na diagonal principal.
Matriz escalar : é toda matriz diagonal na qual são iguais todos os elementos da diagonal principal.
Matriz identidade ou matriz unidade : é a matriz escalar na qual são iguais à unidade todos os elementos da diagonal principal:
(
ai,j =
1 se i = j
0 se i 6= j
A matriz identidade é representada por In , sendo n a ordem da matriz.
Matriz triangular superior : é uma matriz quadrada na qual todos os elementos,
abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, ai,j = 0 ∀i > j.
Matriz triangular inferior : é uma matriz quadrada na qual todos os elementos, acima
da diagonal principal são nulos, isto é, ai,j = 0 ∀i < j.
Matriz simétrica : é uma matriz quadrada onde ai,j = aj,i .
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 3
Matriz transposta : A matriz B é transposta de A, notada por B = A0 ou B = At , se
A = [ai,j ]m×n e A0 = At = B = [bi,j ]n×m e ainda bi,j = aj,i . Isto é, há uma troca de
linhas por colunas; portanto, há uma inversão na ordem da matriz dada em relação
a sua transposta.
É interessante observar que para uma matriz A ser simétrica deve-se ter A = At , ou
seja, a transposta de uma matriz é a própria matriz.
3
Operações com Matrizes
3.1
Adição de matrizes
Definição 3.1 (Adição) Dadas as matrizes A = [ai,j ]m×n , B = [bi,j ]m×n e C = [ci,j ]m×n ,
a matriz C = A + B se ci,j = ai,j + bi,j , ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} e ∀j ∈ {1, 2, . . . , m}
Pela definição 3.1, só é possı́vel somar matrizes de mesma ordem, resultando a matrizsoma que é a da mesma ordem das matrizes parcelas.
Exemplo:
"
•
1 2
3 4
#
"
+
−1 3
5 6
#
"
=
0 5
8 10
#
A operação de adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
Comutativa : A + B = B + A
Associativa : (A + B) + C = A + (B + C)
Matriz oposta : Dada a matriz A = [ai , j]m×n chama-se oposta de A, a matriz −A tal
que A + (−A) = 0, sendo O a matriz nula.
Diferença de matrizes : dadas duas matrizes A = [ai , j]m×n e B = [bi , j]m×n a diferena
A − B é a matriz soma de A com a oposta de B.
3.2
Multiplicação de um escalar por matriz
Definição 3.2 (Multiplicação de um escalar) Seja A = [ai,j ]m×n e k um escalar (número real ou complexo) então k · A é a matriz B = [bi,j ]m×n tal que bi,j = k · ai,j .
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 4
Exemplo:

 

2 3
4 6

 

• 2 ·  −1 0  =  −2 0 
1 5
2 10
A seguir as seguintes propriedades da operação de um escalar por matriz:
Distributividade : k · (A + B) = k · A + k · B
Distributividade em relação a adição de escalares : (k + m)A = k · A + m · A
Associativa do produto de escalares por matriz : k(m · A) = (k · m)A
3.3
Multiplicação de matrizes
Definição 3.3 (Multiplicação) Dada duas matrizes: A = [ai,j ]m×n e B = [bi,j ]n×p , o
produto A · B = C é tal que C = [ci,j ]m×p ou
Cj,k = aa,1 ·b1,k +aa,2 ·b2,k +· · ·+aa,n ·b2,n =
n
X
ai,j ·bj,k ∀i ∈ {1, 2, . . . , m} e ∀k ∈ {1, 2, . . . , p}
j=1
É importante observar que somente é possı́vel efetuar o produto de duas matrizes se
o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Além disso,
a ordem da matriz resultante é definida pelo número de linhas da primeira matriz e o
número de colunas da segunda matriz.
Exemplos:
"
1. Efetuar A · B, sendo A =
2 4
1 3
#
"
eB=
1
5
#
Solução:
"
A×B =
2 4
1 3
# "
·
1
5
#
"
=
"
2. Efetuar A · B, sendo A =
Solução:
C1,1 = 2 · 1 + 4 · 5
C2,1 = 1 · 1 + 3 · 5
2 3 1
0 2 3
#

#
"
=

3 0


e B =  1 −1 
0 2
22
16
#
=C
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 5
"
A×B =
"
2 3 1
0 2 3
#


3 0


·  1 −1  =
0 2
C1,1 = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · 0 C1,2 = 2 · 0 + 3 · (−1) + 1 · 2
C2,1 = 0 · 3 + 2 · 1 + 3 · 0 C2,2 = 0 · 0 + 2 · (−1) + 3 · 2
#
"
=
9 −1
2 4
#
=C
As propriedades desta operação são:
Associativa : (A · B) · C = A · (B · C)
Distributiva à esquerda e à direita em relação à soma : A·(B+C) = A·B = A·C
ou (A + B) · C = A · C + B · C
Produto da matriz identidade : A · I = I · A = A
Associativa tomando-se o produto de escalar K por duas matrizes : (k·A·B) =
A(k · B) = k(A · B)
Produto da matriz nula por uma matriz A : A · 0 = 0 · A = 0
A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, necessariamente não se tem a
igualdade de A · B e B · A. Quando A e B são tais que A · B = B · A, diz-se que A e
B comutam. A condição necessária para A e B comutarem é que sejam quadrada e de
mesma ordem.
Exemplo:
"
1. Obter todas as matrizes que comutam com A =
#
1 2
.
0 −1
Solução:
A matriz B que comuta com
"
#
"
a c
a
B=
, logo B =
b d
b
"
a
Efetuando os produtos:
b
A será de 2a ordem, portanto:
# "
# "
# "
#
c
1 2
1 2
a c
·
=
·
d
0 −1
0 −1
b d
# "
#
2a − c
a + 2b c + 2d
=
2b − c
−b
−d
Pela igualdade de matrizes tem-se:
a = a + 2b =⇒ b = 0
2a − c = c + 2d =⇒ a = c + d
b = −b =⇒ b = 0
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 6
2b − d = −d =⇒ b = 0
Donde b = 0, a = c + d, c e d são valores arbitrários quaisquer. Logo a matriz ficará:
"
#
c+d c
B=
0
d
Desta forma, tem-se uma infinidade de matrizes B que comutam com A, desde que
satisfaçam as condições encontradas.
A implicação AB = 0 =⇒ A = 0 ∨ B = 0 não é válida para matrizes, isto é, é possı́vel
encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.
Exemplo:
"
• Obter todas as matrizes que comutam com
4
2 0
0 0
# "
·
0 0
0 −5
#
"
=
0 0
0 0
#
Determinantes
A toda matriz quadrada A de ordem n, pode-se associar um número real, denominado
determinante de A. Denota-se o terminante de uma matriz quadrada por det A ou
colocando uma barra vertical de cada lado da matriz.
Exemplo:
"
• Se A =
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
#
a
1,1 a1,2
então det A = a2,1 a2,2
.
Em uma matriz A de 1a ordem, o det A é o próprio elemento da matriz. Já uma
matriz A de 2a ordem, o det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal secundária.
O determinante de uma matriz A de 3a ordem pode ser obtido através da Regra de
Sarrus que consiste em:
• repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas ou abaixo da matriz as duas
primeiras linhas;
• efetuar o produto dos três elementos da diagonal principal e dos elementos das linhas
paralelas à esta diagonal, somando estes produtos;
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 7
• efetuar o produto dos três elementos da diagonal secundária e das linhas paralelas
a esta diagonal, invertendo os sinais e adicionar todos os produtos obtidos.
Em outras palavras,
det A = a1,1 ·a2,2 ·a3,3 +a1,2 ·a2,3 ·a3,1 +a1,3 ·a2,1 ·a3,2 −a1,3 ·a2,2 ·a3,1 −a1,1 ·a2,3 ·a3,2 −a1,2 ·a2,1 ·a3,3
Os determinantes possuem as seguintes propriedades:
• Um determinante é nulo se possui:
1. duas filas paralelas proporcionais;
Exemplo:
a k·a = akb − bka = 0
b k·b 2. duas filas paralelas iguais:
Exemplo:
a a = ab − ab = 0
b b 3. uma fila nula:
Exemplo:
a a =0
0 0 4. uma fila combinação linear das outras duas:
Exemplo:
a1 b1 ka1 + b1
a2 b2 ka2 + b2
a3 b3 ka3 + b3
=0
• Um determinante não se altera quando se somado aos elementos de uma determinada
fila, a combinação linear dos elementos das filas paralelas à fila tomada.
Exemplo:
a1 b 1 c 1
a2 b 2 c 2
a3 b 3 c 3
a1 b1 a1 + kb1 + c1
= a2 b2 a2 + kb2 + c2
a3 b3 a3 + kb3 + c3
• Se for trocada de posição duas filas paralelas consecutivas o determinante troca o
sinal.
Exemplo:
a b 1 1 = a1 · b 2 − a2 · b 1
a2 b 2 Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 8
trocando, respectivamente, a primeira e a segunda colunas:
b a 1 1 = b 1 · a2 − a1 · b 2
b 2 a2 • Se for multiplicada uma fila de um determinante por uma constante, o determinante
fica multiplicado por esta constante.
Exemplo:
ka kb a b 1
1 1 1 = ka1 · b2 − kb1 · a2 = k(a1 b2 − b1 a2 ) = k a2 b 2 a2 b 2 • Um determinante que possui uma fila cujos elementos se decompõem numa soma é
igual a soma de tantos determinantes quanto são as parcelas.
Exemplo:
a1 b1 c1 + d1
a2 b2 c2 + d2
a3 b 3 c 3 + d 3
a1 b1 c1 a1 b1 d1 =
+
a2 b2 c2 a2 b2 d2 a3 b3 c3 a3 b3 d3 • O determinante de uma matriz quadrada é igual ao de sua transposta.
• O determinante de um produto de matriz é o produto dos determinantes das matrizes:
det (A · B) = det A · det B
5
Determinante de ordem qualquer
Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Ao elemento ai,j pode-se associar uma
nova matriz obtida pela supressão da linha e da coluna de A que se cruzam em ai,j . Essa
sub-matriz terá ordem n − 1 e seu determinante denotado por Di,j .
Exemplo:


a1 b 1 c 1


• Seja uma matriz de 3a ordem: A =  a2 b2 c2 
a3 b 3 c 3
a sub-matriz correspondente a1 é, suprimindo-se a primeira linha e primeira coluna,
"
#
b2 c 2
b2 c 2 e seu determinante D1,1 = b3 c 3 b3 c 3
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 9
Definição 5.1 (Cofator) Denomina-se cofator de um elemento ao produto do determinante de sua sub-matriz pela potência:
(−1)i+j
A partir da definição de cofator (Definição 5.1), pode-se caracterizar o determinante
de uma matriz quadrada de qualquer ordem.
Definição 5.2 (Determinante de uma matriz de ordem n) O determinante de uma
matriz A de ordem n é definido por:
1. Se n = 1 então A = [a1,1 ] e det A = a1,1
2. Se n ≥ 2 então:
a
1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
an,1 an,2 . . . an,n
n
X
= a1,1 D1,1 + a1,2 D1,2 + . . . + a1,n D1,n =
a1,j D1,j
j=1
O determinante de uma matriz de ordem n 6= 2 é a soma dos produtos dos elementos
da 1a linha (como podereia ser qualquer outra linha ou coluna) pelos respectivos
cofatores.
Exemplo:
5 2
• A=
3 4
6
= 5D1,1 + 2D1,2 = 5 · (−1)1+1 · 4 + 2 · (−1)1+2 · 3 = 20 − 6 = 14
Matriz Inversa
Definição 6.1 (Matriz inversa) Uma matriz quadrada A de ordem n se diz inversı́vel
se existe uma matriz B tal que A · B = B · A = In . A matriz B se diz inversa de A e se
indica por A−1
Uma matriz inversı́vel também é dita não singular e uma matriz não inversı́vel é
chamada singular.
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 10
Se A é inversı́vel, então a sua inversa é única. Com efeito se B e B 0 são inversas de
A, tem-se:
B = B · In = B(A · B 0 ) = (B · A)B 0 = In · B 0 = B 0
Definição 6.2 Se A é inversı́vel, então sua inversa é inversı́vel e (A−1 )−1 = A. Se A e
B são inversı́veis, o produto é inversı́vel e (A · B)−1 = B −1 A−1
Demonstração:
A primeira parte é imediata. Deve-se observar, na segunda parte, que a inversa do
produto é igual ao produto das inversas na ordem contrária. Para provar, seja C = A · B
e D = B −1 · A−1 . Então
C · D = (A · B)(B −1 · A−1 ) = A(B · B −1 )A−1 = A · I · A−1 = A · A−1 = I
Da mesma forma D · C = I. Portanto, D é a inversa de C.
A seguir serão apresentadas duas definições que caracterizam matrizes utilizadas no
cálculo da matriz inversa.
Definição 6.3 (Matriz dos cofatores) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, denominase matriz dos cofatores de A, denotada por Cn , a matriz quadrada de ordem n, cujos
elementos são os respectivos cofatores dos elementos da matriz A.
Definição 6.4 (Matriz adjunta) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, denominase matriz adjunta da matriz A, denotada por adj A, a transposta da matriz dos cofatores
de A.
A matriz adjunta possui a seguinte propriedade:
A · adj A = Adj A · A = det A · In .
Se A é matriz quadrada de ordem n e se det A 6= 0, pode-se escrever a propriedade
anterior da seguinte forma:
A · (adj A ·
representando-se adj A ·
1
det A
1
1
) = (Adj A ·
) · A = det A · In .
det A
det A
= B, tem-se A · B = B · A = In .
Desta forma, esta proposição proporciona um método simples para o cálculo da matriz
inversa.
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 11
Uma matriz quadrada A de ordem n admite inversa se:
1. det A 6= 0
2. A · A−1 = A−1 · A = In
Em resumo, para calcular a inversar de uma matriz A de ordem n deve-se seguir o
seguinte procedimento:
1. Calcular o determinante de A (verifica-se, então, que somente matriz quadrada
possui inversa). O determinante deverá ser diferente de zero.
2. Calcular a matriz dos cofatores.
3. Calcular a matriz adjunta.
4. Efetuar o produto do inverso do determinante de A pela matriz adjunta de A, que
já é a inversa de A.
Exemplo:
"
• Inverter a matriz A =
1 2
3 4
#
1. Cálculo do
de A:
determinante
1 2 det A = = 4 − 6 = −2
3 4 2. Cálculo da matriz dos cofatores:
"
C=
c1,1 c1,2
c2,1 c2,2
#
c1,1 = (−1)1+1 |4| = 4
c1,2 = (−1)1+2 |3| = −3
c2,1 = (−1)2+1 |2| = −2 c2,2 = (−1)2+2 |1| = 1
"
C=
4 −3
−2 1
#
3. Cálculo da matriz ajunta de A:
"
adj A = C 0 =
4 −2
−3 1
#
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 12
4. Efetuar o produto:
A−1
1
det A
· adj A, que é a matriz inversa de A:
1
1
=
· adj A =
·
det A
−2
"
#
4 −2
−3 1
"
=
#
−2
1
3
2
−1
2
• Para verificar se o resultado está correto, basta multiplicar a matriz A pela sua
inversa, lembrando que o resultado deverá ser a matriz identidade.
"
A·A
7
−1
=
1 2
3 4
# "
·
#
−2
1
3
2
−1
2
"
=
1 0
0 1
#
Exercı́cios
(
1. Dar todos os elementos da matriz A = [ai , j]3×3 tal que ai,j =
i + 2j se i = j
0
se i 6= j
Classifique esta matriz.
2. Determine x e y sabendo-se que:
"
x2 2x
y y2
#
"
=
9 6
2 4
#
3. Efetuar a operação A + B − C, sendo:





3 4
0 −1
2 3






A =  4 −1  B =  2 0  C =  0 −1 
2 1
3 1
0 2

4. Dadas as matrizes:


 


1
1
2
 
 


A =  2 , B =  0 e C =  0 
3
2
−3
Calcular a matriz X tal que 2X + A − B = C
5. Determinar a matriz X tal que AX = B sendo:
"
A=
1 2
0 3
#
"
eB=
2
0
#
"
6. Achar as matrizes que comutam com a matriz diagonal: A =
1 0
0 2
#
Matemática Discreta - Notas de Aula - Capı́tulo 06 - 13
7. Dizer porque os determinantes das seguintes matrizes são nulos:






3 2 1
2 3 0
a b c






A =  5 6 7 B =  4 5 0 C =  a b c 
6 4 2
6 7 0
a2 b 2 c 2
"
8. Calcular a inversa da matriz: A =
2 4
4 10
#
9. Tomando-se uma matriz A de 2a ordem, verificar que:
(A0 )−1 = (A−1 )0




1 0 2
−11 2
2




10. Mostre que A =  2 −1 3  e B =  −4 0
1  são inversas.
4 1 8
6 −1 −1
Referências
ANDRADE, H. G. Apostila de Álgebra. Varginha, 1996. 100 p.
CAROLI, A. de; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M. O. Matrizes, vetores, geometria
analı́tica: teoria e exercı́cios. São Paulo: Nobel, 1984. 167 p.
GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos Para a Ciência da Computação. 5a.. ed.
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientı́ficos Editora S.A. 597 p.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto
Alegre: Bookman, 2004. 511 p.