O “Curso Online de Introdução à Álgebra Linear” foi concebido com o
intuito de apresentar, de modo direto e objetivo, a fundamentação teórica
necessária à resolução de todas as questões propostas pela Banca Fundação
Cesgranrio em seus concursos, bem como apresentar, através de questões de
vestibulares e/ou de bancas diversas, assuntos passíveis de serem cobrados
em futuros concursos (organizados pela Banca Fundação Cesgranrio).
Abaixo, segue um exemplo de como o DSc®, seja em seus cursos
presenciais ou onlines, orienta seus alunos (as) e corpo docente. Alcançar a
aprovação em concursos de ponta, ou seja, que oferecem cargos com salários
acima da média do mercado de trabalho privado e em instituições de destaque
no cenário nacional, requer
i)
ii)
entender a matéria através de materiais e/ou aulas centradas nos
tópicos cobrados nos concursos e nas bancas de interesse;
resolver as questões dos concursos anteriores.
Para otimizar o tempo de estudo dos nossos alunos, o “Curso Online de
Introdução à Álgebra Linear” apresenta uma série de exemplos (total de 118!)
e uma série de questões com soluções ricamente comentadas (total de 43!).
Acreditar no seu potencial é preciso, mas não há milagres: sem
orientação competente e material direcionado, percorrerá um longo caminho
até a aprovação! Otimize o seu tempo: venha
para o DSc®.
(Trechos extraídos do “Curso Online de Introdução à Álgebra Linear”)
1) Introdução
Seja um quadro retangular de números como segue:
A=
Tal quadro é chamado matriz. Pode-se denotá-lo por A = (aij), i = 1, ...,
m, j = 1, ..., n, ou simplesmente pelo símbolo A = (aij). As m ênuplas horizontais
(a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1, am2, ..., amn)
são as linhas da matriz, e as n ênuplas verticais
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são as colunas. Note que o elemento aij, chamado elemento – ij ou
componente – ij, pertence à i-ésima linha e a j-ésima coluna. Uma matriz com
m linhas e n colunas é chamada matriz m por n, ou matriz m x n; o par de
números (m, n) é sua dimensão.
Nota) Quando m = n temos uma matriz chamada de quadrada.
Exemplo 1.1) Matriz (quadrada) 2 x 2:
Nota) Um escalar é um único número (real), o qual pode ser representado por
uma matriz 1 x 1.
Exemplo 1.2) Matrizes 1x1 (escalares):
(3)1x1, (-12)1x1 e (-13)1x1.
Uma matriz formada por m linhas e uma única coluna é chamada de
matriz coluna ou vetor coluna.
Exemplo 1.3) Matriz (coluna) 3x1
Uma matriz formada por uma única linha e por n colunas é chamada de
matriz linha ou vetor linha.
Exemplo 1.4) Matriz (linha) 1 x 3
(...)
A transposta de uma matriz Am x n, indicada por A’ AT ou AT, é uma matriz n x
m obtida da troca das linhas pelas colunas de A, ou seja, a i-ésima linha de A
torna-se a i-ésima coluna da matriz AT.
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Exemplo 1.8) Matriz Transposta
Quando uma matriz é igual a sua transposta é chamada de matriz
simétrica.
Exemplo 1.9) Matriz simétrica
(...)
2) Operações com matrizes
2.3) Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes A = (aik)mxn e B = (bkj)nxp; a matriz produto AB, ou
AxB, nesta ordem, é dada por
AB = [cij]mxp,
onde cij =
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Exemplo 2.4) Sejam as matrizes
e B2x2 =
(BA)2x3 =
. Então
.
Note que o produto AB não é definido, pois a matriz A tem 3 colunas e a matriz
B, 2.
Exemplo 2.5) Sejam as matrizes
e
. Então
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Notemos que as matrizes AB e BA existem, mas possuem dimensões distintas.
(...)
Exercícios
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8) Eletrobras (2010) - Economista
As matrizes B e sua transposta B’ foram multiplicadas, conforme a expressão
matricial abaixo.
O valor de x é
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 3
Resp.: O elemento de ordem (2,1) da matriz BB’, 10, é obtido a partir da
multiplicação da 2ª linha de B pela 1ª coluna de B’:
Nota) Alcançaríamos idêntico resultado se utilizássemos o elemento de ordem
(1,2) da matriz produto.
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