UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS
EM ENGENHARIA
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,
por
Lucas Máximo Alves
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
LUCAS MÁXIMOALVES
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
2
LUCAS MÁXIMOALVES
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações
Diferenciais,
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas
para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS
EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A
ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de
Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de
Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de
Engenharia Civil/Departamento de Matemática da
Universidade Federal do Paraná
Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi
Orientador: Prof. Dr.
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
3
Dedicatória
Dedico,
4
Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades
que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.
5
Epígrafe
“Não é possível provar uma verdade a partir
de uma mentira, mas é possível provar uma
mentira a partir de uma verdade” (citado por
Mauricio Gobbi em Março de 2007)
6
Sumário
Lista de Figuras ........................................................................................................................16
Lista de Tabelas ........................................................................................................................18
Lista de Siglas...........................................................................................................................19
Lista de Símbolos .....................................................................................................................20
Resumo ...................................................................................................................................21
Abstract ...................................................................................................................................22
Capítulo – I ...............................................................................................................................23
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23
1. 1 – Apresentação do curso.................................................................................................... 23
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos ................................................. 24
Capítulo – II..............................................................................................................................26
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26
2. 1 – Introdução....................................................................................................................... 26
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações........................................................................... 27
2. 3 – Exemplos e Aplicações................................................................................................... 28
2. 4 – Exercícios e Problemas................................................................................................... 29
Capítulo – III ............................................................................................................................30
MATRIZES .............................................................................................................................30
3. 1 – Introdução....................................................................................................................... 30
3. 2 – Definição de uma Matriz ................................................................................................ 31
3.2.1 - Matriz Linha.................................................................................................................. 32
3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................ 32
3.2.3 - Diagonal Principal......................................................................................................... 33
3.2.4 - Diagonal Secundária ..................................................................................................... 33
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes ...................................................................................... 34
3.3.1– Igualdade de Matrizes.................................................................................................... 34
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes............................................................................... 35
3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes .................................................. 36
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes......................................................... 37
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes .............................................................................. 38
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes.................................... 40
3.8.1 - Definição ....................................................................................................................... 40
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz......................................................... 40
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz .......................................................................... 40
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz.................................................................. 41
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes ................................................................................... 42
3.8.6 – Matriz Inversa............................................................................................................... 43
3. 9 – Tipos de Matrizes ........................................................................................................... 45
3.9.1 – Matriz Simétrica ........................................................................................................... 45
3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica................................................................................................... 45
3.9.3 – Matriz Real ................................................................................................................... 45
3.9.4– Matriz Complexa ........................................................................................................... 45
3.9.5 – Matriz Imaginária Pura................................................................................................. 46
3.9.6 – Matriz Hermitiana......................................................................................................... 46
3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana ................................................................................................ 46
7
3.9.8 – Matriz Normal .............................................................................................................. 46
3.9.9 – Matriz Ortogonal .......................................................................................................... 46
3.9.10 – Matriz Unitária ........................................................................................................... 46
3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................ 47
3.9.12 – Matriz Diagonal.......................................................................................................... 47
3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................ 47
3.9.14 – Matriz Transposta ....................................................................................................... 47
3.9.15 – Matriz Elementar ........................................................................................................ 47
3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado ..................................................................................... 47
3.9.17 – Matriz Associada ........................................................................................................ 48
3.9.18 – Matriz Idempotente..................................................................................................... 48
3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores ............................................ 49
3. 11 – Álgebra dos Comutadores ............................................................................................ 50
3. 12 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 52
3. 13 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 53
Capítulo – IV ............................................................................................................................54
ESPAÇO VETORIAL LINEAR .............................................................................................54
4. 1 – Objetivos do Capítulo..................................................................................................... 54
4. 2 – Introdução....................................................................................................................... 54
4. 3 – Definição de Espaço Vetorial ......................................................................................... 56
I) Definição da Operação de Adição de Vetores ...................................................................... 56
II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores......................................................... 57
III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores........................................................... 57
IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores ......................................................... 58
V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores ........................................................ 59
4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial................................................................................... 60
4.4.1 – Geradores...................................................................................................................... 60
4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................ 61
4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear............................................................................. 61
4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial. ............................................................................. 62
4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial ....................................................................................... 63
4.6.1 - Corolário – 1 ................................................................................................................. 63
4.6.2 – Mudança de Base.......................................................................................................... 64
4.6.3 – Transformações de Coordenadas.................................................................................. 67
4. 7 – Espaço Euclidiano .......................................................................................................... 69
4.7.1 – Produto Escalar............................................................................................................. 69
4.7.2 – Ortogonalidade ............................................................................................................. 69
Teorema 1.1 .............................................................................................................................70
Prova
...................................................................................................................................70
Teorema 1.2 .............................................................................................................................70
4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz .............................................................................. 71
4. 8 – Bases Recíprocas ............................................................................................................ 72
4.8.1 – Observação importante ................................................................................................. 73
4. 9 – Bases Ortonormais.......................................................................................................... 75
4. 10 –
................................................................................................................................ 76
4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt........................................................... 77
4. 12 – Operadores Lineares .................................................................................................... 80
4.12.1 - Definição ..................................................................................................................... 80
8
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores....................................................................................... 89
4. 14 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 96
4. 15 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 97
Capítulo – V .............................................................................................................................98
ESPAÇO TENSORIAL LINEAR ...........................................................................................98
5. 1 –Introdução........................................................................................................................ 98
5. 2 – Definição de Tensores .................................................................................................... 99
5.2.1 - Formas Funcionais Lineares.......................................................................................... 99
5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ...................................................................................... 101
5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas ..................................................................... 102
5. 5 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 103
5. 6 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 104
Capítulo – VI ..........................................................................................................................105
ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES .................................................................................105
6. 1 –Introdução...................................................................................................................... 105
6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear ...................... 106
6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de
Funções .............................................................................................................................. 108
6.2.2 – Notação de Dirac ........................................................................................................ 109
6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções........................................................................... 110
6. 3 –Transformações de Coordenadas................................................................................... 111
6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções .................................................................. 112
6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares......................................... 113
6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções ............................................................................. 113
6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções .............................................................. 116
6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções ............................. 117
6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções ................................................. 117
6. 6 – Mudança de Base para funções .................................................................................... 121
6. 7 – Transformação de Funções........................................................................................... 122
6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt .......................................................... 123
6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores ...................................................................................... 124
6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores ............................................................. 126
6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes. ........... 128
6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2 ........................................................................... 129
6. 12 – Serie de Funções Ortogonais ...................................................................................... 130
6. 13 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 131
6. 14 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 132
Capítulo – VII.........................................................................................................................133
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..133
7. 1 – Introdução..................................................................................................................... 133
7. 2 – Funções Pares e Ímpares .............................................................................................. 134
7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares..................................................................... 135
7.2.2 - Teorema....................................................................................................................... 135
7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares: ........................................................................... 136
7. 3 – Funções Periódicas ....................................................................................................... 137
7.3.1 – Teorema de Bloch....................................................................................................... 137
7. 4 – Cálculo em RN .............................................................................................................. 138
7.4.1 - Conectividade.............................................................................................................. 138
7.4.2 - Pontos Limítrofes ........................................................................................................ 138
9
7.4.3 - Derivadas Parciais ....................................................................................................... 138
7.4.4 - Exemplo ...................................................................................................................... 139
7.4.5 – Série de Taylor no RN ................................................................................................. 139
7. 5 – Funções Implícitas........................................................................................................ 141
7.4.1 –Teorema da Função Implicita ...................................................................................... 141
7.4.2 - Caso Multivariado ....................................................................................................... 143
Análogo para n dimensões...................................................................................................... 145
Ex. Sistema de Coordenadas Polares...................................................................................... 147
Solução .............................................................................................................................. 147
7.4.3 – Teorema dos Extremos ............................................................................................... 150
7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ........................................................... 151
7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt............................................................................... 151
7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange .................................................................. 152
7.5.3 – Exemplo...................................................................................................................... 154
7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz ................................................................................... 155
7.6.1 - Exemplos..................................................................................................................... 158
7. 8 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 159
7. 9 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 160
Capítulo – VIII .......................................................................................................................161
CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161
8. 1 - Introdução ..................................................................................................................... 161
8. 2 –Diferenciação de funções escalares ............................................................................... 162
8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais ............................................................ 163
8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco
.............................................................................. 164
8.3.2 - Cálculo da variação da Função R ao longo de um comprimento de arco ................. 165
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais......................................................... 167
8.4.1 – Integral de linha de funções escalares ........................................................................ 167
8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais ......................................................................... 168
8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco .............................................................................. 171
8.4.4 - Cálculo de Área........................................................................................................... 172
8.4.5 - Cálculo de Volume...................................................................................................... 173
8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais ................................................. 174
8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares ............................................................... 174
8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais ................................................................. 175
8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco .............................................................................. 178
8.5.4 - Cálculo de Área........................................................................................................... 179
8.5.5 - Cálculo de Volume...................................................................................................... 180
8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais..................................................... 181
8.6.1 – Integral de volume de funções escalares .................................................................... 181
8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais ..................................................................... 182
8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco .............................................................................. 185
8.6.4 - Cálculo de Área........................................................................................................... 186
8.6.5 - Cálculo de Volume...................................................................................................... 187
8. 7 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 188
8. 8 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 189
Capítulo – IX ..........................................................................................................................190
TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190
9. 1 - Introdução ..................................................................................................................... 190
9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial .................................................................. 191
10
9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente ............................................................... 193
9.3.1 – Derivada Direcional.................................................................................................... 193
9.3.1 - Interpretação do Gradiente .......................................................................................... 195
9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície ......................................................... 198
9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial............................................................ 200
9.2.1 - Interpretação do Divergente ........................................................................................ 203
9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial ............................................................ 204
9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss .......................................................................... 205
9.5.1 - Em 1D ......................................................................................................................... 205
9.5.2 - Aplicação..................................................................................................................... 205
9. 6 – Identidades de Green .................................................................................................... 208
9. 7 – Teorema de Stokes........................................................................................................ 209
9. 8 – Teorema de Green ........................................................................................................ 211
9. 9 – Campos Irrotacionais.................................................................................................... 212
9. 10 – Teorema Equivalentes ................................................................................................ 213
9. 11 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 214
9. 12 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 215
Capítulo – X ...........................................................................................................................216
SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS ..........................216
10. 1 -Introdução .................................................................................................................... 216
10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de Funções................................... 217
10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais .................................. 218
10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais............................................................................. 218
10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais..................................................................................... 219
10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais ...................................................................... 220
10. 4 - Série e Transformada de Potência............................................................................... 221
10. 5 - Série e Transformada de Laplace ................................................................................ 222
10. 6 - Série e Transformada de Gauss................................................................................... 223
10. 7 - Série e Transformada de Fourier................................................................................. 224
10.7.1 - Série de Fourier ......................................................................................................... 224
10.7.2 – Integral de Fourier .................................................................................................... 226
10.7.3 – Transformada de Fourier .......................................................................................... 228
10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier ............................................................... 231
10. 8 - Exemplos e Aplicações ............................................................................................... 232
10.8.1 - Exemplo – 1 ............................................................................................................. 232
10.8.2 - Exemplo – 2 .............................................................................................................. 233
Solução .............................................................................................................................. 233
10.8.3 - Exemplo – 3 .............................................................................................................. 236
10.8.4 - Exemplo - 4 ............................................................................................................... 238
10. 9 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 241
10. 9 - Exercícios e Problemas ............................................................................................... 242
Capítulo – XI ..........................................................................................................................243
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................243
11. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 243
11. 2 - Introdução ................................................................................................................... 243
11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação ..................................................... 244
11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais......................................................................... 244
11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais.................................................................. 245
11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais .................................................................... 249
11
11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções........................................................................ 249
11.4.2 - Exemplos................................................................................................................... 250
11.4.3 – O Problema de Valor Inicial..................................................................................... 251
11. 5 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 253
11. 6 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 254
Capítulo – XII.........................................................................................................................255
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES ...............................................255
12. 1 – Introdução................................................................................................................... 255
12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ................................................................ 256
12.2.1 - Exemplos................................................................................................................... 257
12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas ........... 258
12.3.1 - Teorema..................................................................................................................... 259
12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis............... 260
12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes ............................. 261
12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente
Constantes .............................................................................................................................. 263
12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares .................................. 265
12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico......................................... 271
12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral ........................................................ 272
12.5.5 – Teorema Estratégico ................................................................................................. 274
12. 6 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente VariáveisErro! Indicador não
definido.
12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente
Variáveis .............................................................................................................................. 308
12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem ................................................ 285
12.7.1 – Problema Geométrico ............................................................................................... 285
12.7.2 – Problema Químico.................................................................................................... 286
12.7.3 – Problemas Físicos ..................................................................................................... 287
12. 8 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem....................... 290
12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS) .............................................................. 290
Solução .............................................................................................................................. 292
12.8.2 – MHS com Movimento Vertical ................................................................................ 301
12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado ................................................................................. 304
12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples..................................................................... 305
12.8.5 – Circuito Elétrico RLC............................................................................................... 306
12. 9 - Método das Funções de Green .................................................................................... 309
12. 10 - Equações de Sturm-Liouville .................................................................................... 310
12.10.1 - Teorema - 1 ............................................................................................................. 311
Prova
.............................................................................................................................. 311
Teorema - 2............................................................................................................................. 314
12. 11 - Método de Taylor ...................................................................................................... 315
12.11.1 – Equação Diferencial de Euler ................................................................................. 316
12. 12 - Método de Frobëniüs................................................................................................. 321
12.12.1 - Teorema de Fucks ................................................................................................... 322
12. 13 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações
Diferenciais............................................................................................................................. 323
12.13.1 - Função de Hipergeométrica .................................................................................... 323
12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange ....................................................... 324
12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre ....................................................... 325
12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre ........................................................ 326
12
12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite ......................................................... 327
12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss............................................................. 328
12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace......................................................... 329
12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel ............................................................ 330
12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel ..................................................... 336
12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel ............................................................ 338
12. 14 – Exemplos e Aplicações............................................................................................. 339
12. 15 - Exercícios e Problemas ............................................................................................. 340
Capítulo – XIII .......................................................................................................................341
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.....................341
13. 1 - Introdução ................................................................................................................... 341
13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ........................ 342
13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações
Diferenciais............................................................................................................................. 343
13.3.1 - O Pêndulo Simples ................................................................................................... 343
13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra.................................................................................... 348
13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas ................................................................. 353
13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)...................................................................................... 356
13.4.1 - Teorema..................................................................................................................... 357
Prova:
.............................................................................................................................. 357
13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas..................... 358
13. 6 - Diagonalização ............................................................................................................ 360
13.6.1 - Teorema..................................................................................................................... 361
Prova
.............................................................................................................................. 361
13.6.2 – Exemplo: Cinética Química...................................................................................... 363
13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico .................................................................................... 365
13. 7 - Formas Quadráticas..................................................................................................... 367
13.7.1 – Exemplo:................................................................................................................... 368
13.7.2 – Definição .................................................................................................................. 369
13.7.3 – Teorema .................................................................................................................... 369
13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem) ....................................................................................... 369
13. 8 – Exemplo e Aplicações ................................................................................................ 371
13. 9 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 372
Capítulo – XIV .......................................................................................................................373
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS....................................................................373
NÃO-LINEARES..................................................................................................................373
14. 1 - Introdução ................................................................................................................... 373
14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares .......................................................................... 374
14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem........................................... 375
14.3.1 - Caso - 1 ..................................................................................................................... 375
14.3.2 - Caso - 2 ..................................................................................................................... 376
14.3.3 - Caso - 3 ..................................................................................................................... 377
14.3.4 - Caso – 4..................................................................................................................... 378
14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem ............................................................. 379
14. 5 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 385
14. 6 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 386
Capítulo – XV.........................................................................................................................387
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................387
13
ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES ........................................................................................387
15. 1 - Introdução ................................................................................................................... 387
15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares...................................... 388
15. 3 - Exemplos e Aplicações ............................................................................................... 389
15. 4 - Exercícios e Problemas ............................................................................................... 390
Capítulo – XVI .......................................................................................................................391
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES ......................................................391
16. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 391
16. 2 - Introdução ................................................................................................................... 391
16. 3 - Equações Diferenciais Parciais ................................................................................... 392
16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis ........................................ 393
Exemplo .............................................................................................................................. 393
16. 4 - Equação de Difusão..................................................................................................... 395
i) Caso 1D .............................................................................................................................. 395
ii) Caso 2D e 3D ..................................................................................................................... 396
Exemplo .............................................................................................................................. 400
Exemplo .............................................................................................................................. 402
16. 5 - Equação de Onda......................................................................................................... 405
i) Caso 1D .............................................................................................................................. 405
Exemplo .............................................................................................................................. 410
ii) Caso 2D e 3D ..................................................................................................................... 412
Solução de D’Alambert .......................................................................................................... 412
16. 6 - Exemplos e Aplicações ............................................................................................... 415
Solução: .............................................................................................................................. 415
Exemplo .............................................................................................................................. 415
16. 6 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 416
Capítulo – XVII......................................................................................................................417
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES .............................417
17. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 417
17. 2 - Introdução ................................................................................................................... 417
17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares .................................................. 418
17. 4 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 419
17. 5 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 420
Capítulo – XVIII.....................................................................................................................421
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES ............................................421
18. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 421
18. 2 - Introdução ................................................................................................................... 421
18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares............................................................. 422
18. 4 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 423
18. 5 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 424
Capítulo – XIX .......................................................................................................................425
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES ...................425
19. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 425
19. 2 - Introdução ................................................................................................................... 425
19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares .......................................... 426
19. 4 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 427
19. 5 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 428
Capítulo – XX.........................................................................................................................429
14
TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES ..........................................................................429
20. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 429
20. 2 - Introdução ................................................................................................................... 429
20. 3 - Teoria Geral das Distribuições.................................................................................... 430
20. 4 – Exemplos e Aplicações............................................................................................... 431
20. 5 – Exercícios e Problemas............................................................................................... 432
Referências Bibliográficas......................................................................................................433
Apêndices ...............................................................................................................................434
A. 1 – Estudo de Somatórios .................................................................................................. 434
A. 2 – Estudo de Produtórios.................................................................................................. 435
A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios..................................................... 436
Anexos .................................................................................................................................437
An. 1 – Título do seu primeiro Anexo.................................................................................... 437
15
Lista de Figuras
Figura - 4. 1. .............................................................................................................................77
Figura - 4. 2. .............................................................................................................................77
Figura - 4. 3. .............................................................................................................................77
Figura - 4. 4. .............................................................................................................................78
Figura - 4. 5. .............................................................................................................................82
Figura - 4. 6. .............................................................................................................................91
Figura - 7. 1 ............................................................................................................................134
Figura - 7. 2 ............................................................................................................................134
Figura - 7. 3 ............................................................................................................................137
Figura - 7. 4 ............................................................................................................................138
Figura - 7. 5 ............................................................................................................................147
Figura - 8. 1 ............................................................................................................................163
Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo
de temperaturas u....................................................................................................................191
Figura - 9. 2. ...........................................................................................................................194
Figura - 9. 3. ...........................................................................................................................195
Figura - 9. 4. ...........................................................................................................................196
Figura - 9. 5. ...........................................................................................................................197
Figura - 9. 6. Superfície z f x, y em um sistema de coordenadas cartesianas. ...............198
Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo
de velocidades v . ...................................................................................................................200
Figura - 9. 8. ...........................................................................................................................202
Figura - 9. 9. ...........................................................................................................................202
Figura - 9. 10 ..........................................................................................................................210
Figura - 10. 1 ..........................................................................................................................232
Figura - 10. 2 ..........................................................................................................................233
Figura - 10. 3 ..........................................................................................................................236
Figura - 10. 4 ..........................................................................................................................238
Figura - 10. 5 ..........................................................................................................................238
Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso. .........245
Figura - 11. 2 ..........................................................................................................................287
Figura - 11. 3. Oscilador Harmônico simples.........................................................................291
Figura - 11. 4 ..........................................................................................................................306
Figura - 11. 5 ............................................................................. Erro! Indicador não definido.
Figura - 11. 6 ..........................................................................................................................395
Figura - 11. 7 ..........................................................................................................................401
Figura - 11. 8 ..........................................................................................................................402
Figura - 11. 9 ..........................................................................................................................405
Figura - 11. 10 ........................................................................................................................412
Figura - 12. 1. ............................................................................ Erro! Indicador não definido.
Figura - 12. 2. .........................................................................................................................344
Figura - 12. 3. .........................................................................................................................345
Figura - 12. 4. .........................................................................................................................350
Figura - 12. 5. .........................................................................................................................352
16
Figura - 12. 6. .........................................................................................................................353
Figura - 12. 7. .........................................................................................................................356
Figura - 12. 8. .........................................................................................................................365
Figura - 12. 9. .........................................................................................................................369
17
Lista de Tabelas
18
Lista de Siglas
19
Lista de Símbolos
20
Resumo
21
Abstract
22
23
Capítulo – I
INTRODUÇÃO
1. 1 – Apresentação do curso
A matemática é uma ciência abrangente e pode ser unificada em uma visão
estruturada dependendo de sua utilização em outras áreas da ciência. Os capítulos deste texto
seguem a seqüência mais conveniente para o estudo dos tópicos importantes para um curso de
matemática voltado para aplicações em Física e Engenharia. Ele corresponde a um curso de
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais para ser utilizado em
Física e em Engenharia de uma forma geral. Ele é resultado das anotações de aulas de várias
disciplinas de matemática como, por exemplo, daquelas de um curso de Bacharelado em
Física, realizado no Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo durante o
período de 1980 a 1990. Entre outras anotações de aulas, constam também aquelas de um
curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos para a Engenharia, realizado na
Universidade Federal do Paraná durante o período de 2006 a 2009.
O curso de Álgebra Linear envolve vetores, matrizes, tensores e funções. Estas
abordagens são isomorfas e poderiam ser incluídas em uma única Teoria de Grupos
Matemáticos para estudantes mais avançados sobre o assunto, assim como o cálculo também
poderia envolver o estudo geral de Cálculo de Variedades Matemáticas. Por outro lado, nós
apresentamos aqui a cada capítulo o desenvolvimento sistemático de cada parte da álgebra
linear com suas conseqüentes generalizações como um forma de produzir a fixação dos
conceitos a cada vez que eles são reutilizados em uma sistematização matemática mais
abrangente partindo da álgebra e do calculo vetorial até a álgebra e o calculo de tensores.
24
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos
Uma álgebra é definida a partir de uma operação fundamental e de propriedades
básicas concernentes a esta operação dentro de um conjunto previamente estipulado,
conforme mostra-se abaixo:
Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no
nosso caso tanto pode ser vetores como funções.
: ket (vetor ou função)
(1. 1)
No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso
de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.
Seja E um conjunto de ket’s e seja K um campo de escalares do espaço algébrico
linear, onde está definida uma operação de adição, ou seja, E é aditivo, isto é, existe uma
operação E x E E tal que:
, E E E
(1. 2)
Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:
i) um elemento simétrico E /
0
E
(1. 3)
ii) Definição do produto interno do espaço algébrico
( , ) E E E
( , ) E E
( , ) E E
(onde
T
T
, E
,
(1. 4)
K
* é o complexo conjugado de para vetores formados por números complexos e
no caso particular para números reais temos
* ) com qualquer um dos elementos de
E.
iii) um elemento neutro da operação fundamental, 0 E /
0
e
0 0 E
25
(1. 5)
0
iv) um elemento inverso
0 0
e
1
1 1
E
e um elemento unitário, 1 E /
e
1 1 E
(1. 6)
Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as
seguintes condições estiverem satisfeitas em que esteja definida uma operação entre os
elementos de K e os elementos de E (chamada de multiplicação por um escalar)
( , ) K E E
(1. 7)
O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são
só números complexos ou só números reais.
26
Capítulo – II
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a origem da problemática de um sistema de equações e
os métodos de solução mais importantes. Veremos suas características principais e
propriedades. Estaremos interessados no final deste texto em utilizar os conhecimentos
adquiridos neste capítulo na resolução de um sistema de equações diferenciais. No final
introduziremos o conceito de matrizes que será a deixa para uma abordagem mais completa
no capítulo seguinte.
2. 1 – Introdução
Um sistema algébrico nasce como uma extensão natural de uma equação algébrica
onde o número de variáveis envolvidas cresce de um para dois, três, etc. Neste sentido nasce
também o conceito intuitivo de matrizes que será visto no capítulo seguinte. A maneira de se
estudar os sistemas algébricos pode ser feito de diversas formas. Pode-se definir inicialmente
o que seja uma matriz de números e inserir este conceito dentro do sistema de equações, ou
pode-se começar com a noção de sistema de equações e extrair o conceito de matriz. Nós
optaremos pela segunda forma por acharmos mais intuitivo e seguro para o aprendizado em
linha ascendente de raciocínio e dificuldade, sem dá pulos nem quedas na linha de raciocínio
lógico.
27
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações
Define-se um sistema algébrico de equações como sendo o conjunto de equações
com várias variáveis do tipo:
a11 x1 a12 x2 .... a1m xm b1
a21 x1 a 22 x2 .... a2 m xm b2
:
an x1 an 2 x2 .... anm xm bn
(2. 1)
O qual pode ser colocado na forma de matriz como:
a11
a
21
:
a n1
a12
a 22
:
an 2
.. a1m x1 b1
.. a 2 m x2 b2
:
: : :
.. anm xm bn
28
(2. 2)
2. 3 – Exemplos e Aplicações
29
2. 4 – Exercícios e Problemas
30
Capítulo – III
MATRIZES
RESUMO
Neste capítulo veremos a teoria elementar de matrizes, sua aplicação na álgebra
linear e em problemas práticos que envolvem sistemas de equações lineares. Veremos a
propriedades e os tipos de matrizes e os teoremas fundamentais da álgebra das matrizes.
3. 1 – Introdução
O conceito de matriz pode ser extraído de várias formas: a partir de sistemas de
equações ou a partir de uma extensão de vetores sob o ponto de vista do estudo genérico de
tensores. No que diz respeito a este capítulo não interessa muito qual é a sua origem, o que
nos importa é conhecer suas operações e propriedades fundamentais para daí ser utilizados em
estudos posteriores.
31
3. 2 – Definição de uma Matriz
A representação matricial de números ou operações decorre de sistemas
algébricos (múltiplas operações) lineares.
Uma matriz é um conjunto de números, indexados em linhas e colunas e dispostos
em uma tabela retangular da seguinte forma:
a11 a12
a
a 22
21
A= :
:
:
:
a n1 an 2
.. a1m
.. a 2 m
:
:
.. :
.. anm nxm
(3. 1)
As matrizes são usadas para representar múltiplas operações lineares da álgebra.
O arranjo horizontal do tipo ai1
ai 2 .. ain da matriz A, chamamos de linha
a1 j
a
2j
de A e ao arranjo na vertical como chamamos de colunas de A. Os elementos aij são os
:
anj
elementos da matriz que ocorrem na i’ésima linha e na j’ésima coluna simultaneamente.
A dimensão da matriz é dada por n x m, onde n é o número de linhas da matriz e
m é o número de colunas.
Quando n = m dizemos que a matriz é quadrada, ou seja:
a11
a
Matriz A = 21
:
a n1
a12
a 22
:
an 2
.. a1n
.. a 2 n
:
:
.. a nn nxn
(3. 2)
e se n é diferente de m (m n) dizemos que a matriz é retangular. De um modo geral, uma
matriz genuina A, do tipo n x m, onde os elementos aij , podem ser representados da
seguinte maneira:
32
a11 a12
a
a 22
21
Matriz A = :
:
:
:
a n1 an 2
.. a1m
.. a 2 m
:
:
.. :
.. anm nxm
(3. 3)
A partir desta úlimas duas definições podemos ter:
3.2.1 - Matriz Linha
Chamamos de matriz linha a uma matriz que possui apenas uma única linha.
Neste caso m = 1.
Matriz Linha A = ai1
ai 2 .. ain 1xn
(3. 4)
3.2.2 - Matriz Coluna
Chamamos de matriz coluna a uma matriz que possui apenas uma única coluna.
Nest caso n = 1.
a1 j
a
2j
Matriz Coluna A =
:
a nj nx1
(3. 5)
A operação que transforma uma linha “k” qualquer de uma matriz em uma coluna
correspondente ao mesmo índice de linha “k” chama-se “transposição”. Logo a matriz
transposta de A, ou seja, AT é dada por:
a11
a
T
A 12
:
a1n
a21 .. an1
a22 .. an 2
:
:
:
a2 n .. ann nxn
33
(3. 6)
3.2.3 - Diagonal Principal
Chamamos de diagonal principal de uma matriz A qualquer, ao conjunto
ordenado de elementos da matriz A, cujos índices “i”são iguais aos índices “j”, ou seja:
Diagonal Principal de A = a11
a 22 ... a nn
(3. 7)
Onde j = 1, 2, 3, ....n. ou seja:
{aij A/ i = j = a11
a 22 ... a nn
(3. 8)
Vemos, portanto, que a operação de transposição aplicada a uma matriz A
qualquer não altera os elementos da diagonal principal da matriz transposta em relação a
matriz original. Para a definição de uma diagonal principal a matriz tem de ser quadrada.
3.2.4 - Diagonal Secundária
Chamamos de diagonal secundária ao conjunto ordenado de elementos, cuja soma
dos índices i + j = n + 1, ou seja:
Diagonal Secundária de A = a n1
an 12
an 23 ... a1n
(3. 9)
onde j = 1, 2, 3, ....n.
Para matrizes formadas por números complexos podemos definir uma operação
com matrizes chamada de “conjugação” representada pelo símbolo asterisco (), onde vale a
relação A* = -A para número complexos puros ficando o caso particular A* = A para os
número reais.
complexo conjugado de um número
34
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes
Definimos o espaço K mn ao espaço de toda matriz do tipo n x m. Seja A uma
matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j representam as linhas e as
colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo matricial.
3.3.1– Igualdade de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B Kmxn dizemos que A = B se e somente todo
elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de A for correspondentemente igual ao
elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de B, ou seja:
A = B aij = bij
35
(3. 10)
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes
Chamamos de operações simétricas em matrizes, as operações cuja inversa é a
própria operação aplicada inicialmente a uma matriz.
Seja A uma matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j
representam as linhas e as colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo
matricial.
1) Operação de Transposição
AT (Matriz Transposta) (Aij)T = Aji
(3. 11)
2) Operação de Conjugação
A* (Matriz Complexa Conjugada) (Aij)* = A*iji
(3. 12)
Nesta operação troca-se os números imaginários puros dos elementos da matriz de i por i .
Sendo o complexo conjugado de um número Real igual ao próprio número, a* a a R
3) Operação de Aadjunção
A+ (Matriz Adjunta) (Aij)+ = A*ji
(3. 13)
Esta operação é a operaçào composta pela conjugação e transposição.
Prova-se que:
(AT)* = (A*)T
(3. 14)
((Aij) T)* = (Aji)*= A*ji
(3. 15)
((Aij)*)T = (A*ji)T = A*ij
(3. 16)
Da seguinte forma:
e
4) Operação de Paridade (ou Reflexão)
A (Matriz Imagem de A) (Aij) = -Aij
(3. 17)
5) Operação de Inversão
A-1 (Matriz Inversa de A) (Aij)-1 ≠ A-1ij
(3. 18)
A operação de inversão so vale para matrizes não-singulares quadradas. E (Aij)-1 = A-1ij
somente para matrizes diagonais.
36
3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes
37
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes
Sejam A e B duas matrizes pertencente a Kmxn, tal que:
i) Operação de Adição
Sejam duas Matrizes A e B Knxm, define-se a operação de Adição de Matrizes
como sendo dada por uma matriz S Knxm tal que:
S = (A + B) = A + B
(3. 19)
ou em notação indicial, como:
Sij = A B ij Aij Bij
(3. 20)
ii) Operação de Produto Escalar de Matrizes
Sejam duas Matrizes A e B define-se a operação de Produto Escalar de Matrizes
como:
A.B = (A.B)
(3. 21)
Aij .Bij Ail Blj
(3. 22)
ou em notação indicial, como:
iii) Operação de Produto Diádico de Matrizes
Sejam duas Matrizes A e B define-se um Produto Diádico de Matrizes a operação:
AB = (AB)
(3. 23)
AB ij Aij Bij Bij Aij BAij
(3. 24)
ou em notação indicial, como:
iv) Multiplicação por um escalar
Seja uma Matriz A define-se a operação de multiplicação de um escalar, por
uma Matriz como:
(A) =.A
(3. 25)
. Aij Aij
(3. 26)
ou em notação indicial, como:
38
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes
As operações com matrizes determinam um espaço vetorial linear pois satisfazem
ao conjunto de condições estabelecidas por um espaço vetorial. O espaço de matrizes satisfaz
as seguintes propriedades algébricas, para toda Matriz A,B Knxm:
i) Comutativa
A+B=B+A
(3. 27)
A B ij Aij Bij Bij Aij ( B A)ij
(3. 28)
A + (B + C) = (A + B) + C
(3. 29)
Aij B C ij Aij Bij Cij A B ij Cij
(3. 30)
Prova
ii) Associativa
Prova
iii) uma matriz 0 EMatrizes /
A + 0 = A A EMatrizes
(3. 31)
A 0ij Aij 0 Aij
(3. 32)
Prova
iv) uma matriz -A EMatrizes /
A + (-A) = 0 A EMatrizes
(3. 33)
Aij ( A) ij A Aij (0) ij
(3. 34)
Prova
v) Distribuitiva do escalar
(A + B) = A + B
(3. 35)
A B ij Aij Bij Aij Bij
(3. 36)
vi) Distribuitiva da Matriz com escalar
39
( + )A = A + A
(3. 37)
Aij Aij Aij
(3. 38)
Prova
vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz
A(B + C) F = ABF + ACF
(3. 39)
Prova
Aij B C ij Fij Aij Bij Cij Fij
(3. 40)
Aij Bij Fij Cij Fij Aij Bij Fij Aij Cij Fij
viii) Associativa do produto de matrizes
(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C
(3. 41)
AB ij Cij Ail Blk Cij Ail Blk Ckj Ail Blk Ckj Ail BC lj
(3. 42)
Prova
ix)
(3. 43)
x) Transposição do produto de matrizes
A.B = (B.A)T = B T .AT
(3. 44)
Prova
Aij .Bij Ail Blj B jl Ali B ji . A ji Bij . Aij
T
(3. 45)
xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT
40
(3. 46)
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das
Matrizes
3.8.1 - Definição
Chamamos de Operações Singulares de matrizes as operações as quais só podem
ser definidas para a representação matricial de quantidades.
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz
O traço de uma matriz é definido como”
n
tr[ A ]nxn A ii Aii
(3. 47)
i 1
Onde n é a ordem da matriz.
a11
a
A Aij 21
:
a n1
a12
a22
:
an 2
..
a1n
.. a2 n
:
:
.. ann
(3. 48)
Com as seguintes propriedades.
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz
i) O traço da soma é igual a soma dos traços
tr[ A B] tr[ A] tr[B]
(3. 49)
tr[ A B]ij Aij Bii tr[ A ]ij tr[B]ij
(3. 50)
Prova
ii) O produto de um escalar pelo traço de uma matriz é igual ao traço da matriz multiplicada
pelo escalar
tr[A B] tr[ A] tr[B]
Prova
41
(3. 51)
tr[A B]ij Aii Bii tr[ A]ij tr[B]ij
(3. 52)
iii) O traço de AB é igual ao traço de BA
tr[ AB] tr[BA ]
(3. 53)
tr[ AB]ij Aii Bkk Bkk Aii tr[BA ]ij
(3. 54)
Prova
iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta
tr[ A ] tr[ A ]T
(3. 55)
Prova
T
tr[ A ] Aii Aii tr[ A ]T
(3. 56)
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz
Definição:
Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos
diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada produto
tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo
conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar.
A cada matriz associamos um determinante A ou detA que é um dos
invariantes de A.
O determinante de uma matriz é definido como:
n
det[A] a1 j det[ Amenor ]1 j
j 1
Conforme o esquema abaixo:
42
(3. 57)
a11
a
A Aij 21
:
a n1
a2n
:
a nn
a12 .. a1n
a 22
:
..
:
an 2
(3. 58)
usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor] iterativamente
para as matrizes menores temos:
n 1
n
det[A] a1 j a1 j det[ Amenor ]1 j
j 1
(3. 59)
j 1
Ou iterando sucessivamente temos:
n
n 1
n2
2
det[A ] a1 j a1 j a1 j .... a1 j .a nn
j 1
j 1
j 1
(3. 60)
j 1
Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é retangular
A é sempre nulo.
Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular.
Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as
maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras
possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os
determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r. Se a matriz for de
ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n.
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes
i)
det[AB] det[A ] det[B] det[BA ]
ii)
43
(3. 61)
det[A 1 A ] det[A 1 ] det[A] det[I ] 1
det[A 1 ]
(3. 62)
1
det[A]
iii)
(3. 63)
iv)
(3. 64)
v)
(3. 65)
3.8.6 – Matriz Inversa
Define-se uma Matriz Inversa de A aquela Matriz cujo produto resulta na Matriz
identidade:
A 1 A I
(3. 66)
1 0 .. 0
0 1 .. 0
I ij
: : : :
0 0 .. 1
(3. 67)
Onde
A matriz inversa pode ser calculada a partir da matriz A como sendo:
1
A
CofatorAij T
det A
(3. 68)
onde
CofatorAij (1) i j . det[A ]menor
para i = 1, 2, 3,...,n e j = 1, 2, 3...n.
44
(3. 69)
111 a
12
CofatorAij a21 a22
:
:
a n1
a2 n
:
a nn
.. a1n
..
:
an 2
(3. 70)
Substituindo (3. 60) em (3. 69) temos:
CofatorAij (1)
i j
n 1
n2
. a1 j
i , j 1
2
a1 j .... a1 j .ann
i , j 1
(3. 71)
i , j 1
Substituindo (3. 60) e (3. 71) em (3. 68) temos:
(1)
1
A
n
i j
n 1
n2
2
. a j1 a j1.... a j1.a nn
i , j 1
n 1
i , j 1
n2
i , j 1
2
(3. 72)
a1 j a1 j a1 j .... a1 j .ann
j 1
j 1
j 1
j 1
Observe que o determinante é a soma de todos os produtos possíveis entre dois elementos da
matriz.
45
3. 9 – Tipos de Matrizes
As matrizes são originárias de problemas matemáticos expressos em termos de
sistema algébrico de equações, ou podem ser surgir a partir da descrição de campos tensoriais.
Dependendo do tipo de problema, este origina a partir do seu sistema de equações uma matriz
característica desse problema, como as matrizes de Markov, por exemplo, cuja soma de suas
linha e colunas e sempre igual a unidade. Propriedades específcas como estas são
responsáveis pela definição de diferentes tipos de matrizes, conforme veremos abaixo:
3.9.1 – Matriz Simétrica
Uma matriz é dita simétrica se:
A AT
(3. 73)
3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica
Por outro lado, uma matriz é dita anti-simétrica se:
A AT
(3. 74)
3.9.3 – Matriz Real
Uma matriz é dita ser Real se os números que formam essa matriz forem reais.
Neste caso:
(3. 75)
A* A
3.9.4– Matriz Complexa
Uma matriz é dita ser Complexa se os números que formam essa matriz forem
complexos. Neste caso:
(3. 76)
A* A
46
3.9.5 – Matriz Imaginária Pura
Por outro lado uma Matriz é dita se imaginária pura se:
(3. 77)
A* A
3.9.6 – Matriz Hermitiana
Uma matriz é dita ser Hermitiana se:
AT A
(3. 78)
3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana
Por outro lado, uma matriz é dita ser anti-hemitiana se:
AT A
(3. 79)
3.9.8 – Matriz Normal
Uma matriz é dita ser normal se:
(3. 80)
3.9.9 – Matriz Ortogonal
Uma matriz é dita ser Ortogonal se:
A T A 1
(3. 81)
3.9.10 – Matriz Unitária
Uma matriz é dita ser unitária se:
A T A 1
(3. 82)
47
3.9.11 – Matriz Identidade
Uma matriz é dita ser identidade se:
[A]ij ij
(3. 83)
3.9.12 – Matriz Diagonal
Uma matriz é dita ser diagonal se:
A i ij , i 0
(3. 84)
3.9.13 – Matriz Adjunta
Uma matriz é dita ser adjunta:
A adj CofatorAij
T
(3. 85)
3.9.14 – Matriz Transposta
Uma matriz é dita ser transposta:
A
A T Aij
T
ji
(3. 86)
3.9.15 – Matriz Elementar
Uma matriz é dita ser Elementar se:
Eij ik jk
(3. 87)
3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado
Uma matriz é dita ser complexo conjugado ser:
(3. 88)
48
3.9.17 – Matriz Associada
Uma matriz é dita ser associada se:
(3. 89)
3.9.18 – Matriz Idempotente
Uma matriz é dita ser idempotente se:
An A
(3. 90)
49
3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores
Algumas vezes é necessário subdividir matrizes em submatrizes ou blocos de tal
forma a simplificar cerats relações algébricas de trabalho. Como mpor exemplo se nós
subdivimirmos as matrizes A e B da seguinte forma:
a11 a12
a21 a22
A a31 a32
a
a42
41
a51 a52
a13
a23
a14
a24
a33
a43
a53
a34
a44
a54
a15
a25
A11
a35
A21
a45
a55
A12
A22
(3. 91)
b15
b25
B11
b35
B21
b45
b55
B12
B22
(3. 92)
E
b11
b21
B b31
b
41
b51
b12 b13
b22 b23
b14
b24
b32 b33 b34
b42 b43 b44
b52 b53 b54
Então A e B tem a forma de matrizes blocos 2 x 2 cujos elementos Aij, Bij são eles mesmos
matrizes. Nós podemos facilmente ver que o correto produto AB resulta se as matrizes blocos
são multiplicados de acordo com as regras usuais do produto de matrizes, ou seja:
A
AB 11
A21
A12 B11
A22 B21
B12 A11B11 A12 B21
B22 A21B11 A22 B21
A11 B12 A12 B22
A21 B12 A22 B22
(3. 93)
Observe que todos os produtos matriciais na última matriz fazem sentido. Isto será verdade se
a divisão original de colunas na primeira matriz é a mesma que a divisão de linhas da segunda
matriz. Então vemos que a divisão acima não é adequada para trabalhar o produto de BA em
termos do bloco de matrizes 2 x 2. Existe uma subdivisão diferente de B na qual permitirá
trabalhar ambos os produtos AB e BA?.
50
3. 11 – Álgebra dos Comutadores
Define-se como comutador a seguinte operação entre dois quaisquer operadores
lineares A e B.
[ A, B] AB BA
(3. 94)
com esta notação as seguintes regras elementares são satisfeitas.
1)
[ A, B] [B, A] 0
(3. 95)
[ A, A ] 0
(3. 96)
[ A, B C] [ A, B] [ A, C]
(3. 97)
[ A B, C] [ A, C] [B, C]
(3. 98)
[ A, BC] [ A, B]C B[ A, C]
(3. 99)
Prova:
2)
Prova:
3)
Prova:
4)
Prova:
5)
Prova:
51
6)
[ AB, C] [ A, C]B A[B, C]
(3. 100)
[ A,[B, C]] [C,[ A, B]] [B,[C, A]]
(3. 101)
[[A, B], C] [[C, A], B] [[B, C]A]
(3. 102)
[ A, B n ] nB n1[ A, B]
(3. 103)
Prova:
7)
Prova:
8)
Prova:
9)
Prova:
52
3. 12 – Exemplos e Aplicações
53
3. 13 – Exercícios e Problemas
54
Capítulo – IV
ESPAÇO VETORIAL LINEAR
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de espaço vetorial linear e suas propriedades,
o conceito de base de vetores, transformação de coordenadas, base recíproca, base
ortonormal, angulos de Euler. Apresentaremos também o problema de auto-valores e autovetores.
4. 1 – Objetivos do Capítulo
4. 2 – Introdução
Um vetor pode ser representado algebricamente por uma matriz linha ou por uma
matriz coluna.
(v1, v2, v3, ....vn, ) v1 v2 ... vn
Ou
55
(4. 1)
v1
v 2
:
v n
(4. 2)
56
4. 3 – Definição de Espaço Vetorial
Seja E um conjunto de vetores e seja K um corpo de escalares onde está
definida uma operação de adição:
, w E E w E
( , w) E E T w K
(4. 3)
(onde * é o complexo conjugado de para vetores formados por números complexos e no
caso particular para números reais temos
* ) com qualquer um dos elementos de E, e
que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada de
multiplicação por um escalar)
( , w) K E E
(4. 4)
Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as
seguintes condições estiverem satisfeitas.
I) Definição da Operação de Adição de Vetores
, w E E w E
(4. 5)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
I.i) Comutativa
w w E
(4. 6)
( w u ) ( w) u ( u ) w E
(4. 7)
I.ii) Associativa
I.iii) Elemento Neutro da adição
uma vetor 0 E /
0 E
I.iv) Elemento Simétrico
(4. 8)
uma vetor - E /
( ) 0 E
57
(4. 9)
II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores
( , w) K E E
(4. 10)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades:
II.i) Comutativa do Escalar
(4. 11)
II.ii) Associativa de Escalar com Escalar
( ) E
(4. 12)
II.iii) Elemento Neutro do Escalar
1( )
(4. 13)
( w) w , w E
(4. 14)
II.iv) Distribuitiva do Escalar
II.v) Distribuitiva do Vetor com Escalar
( ) E
(4. 15)
II.vi) Elemento Nulo do Escalar
0( ) 0
(4. 16)
III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores
( , w) E E T w K
(4. 17)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
III.i) Comutativa do produto
w w E
(4. 18)
III.ii) Associativa do Produto de Vetores
u ( .w) u ( w. ) ??
III.iii) Elemento Neutro do Produto
58
(4. 19)
um vetor 1 1 E /
1 . . 1 E
(4. 20)
III.iv) Elemento Inverso
1
uma vetor v
E/
. 1 1 E
III.v) Elemento Nulo
(4. 21)
um vetor 0 E /
0. 0 e 0. 0 E
(4. 22)
III.vi) Transposição do produto de vetores
AB = (BA)T = B T AT
(4. 23)
III.vii) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT
(4. 24)
O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são
só números complexos ou só números reais.
IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores
, w E E w W E
(4. 25)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
IV.i) Anticomutativa
w w
(4. 26)
IV.ii) Associativa
(4. 27)
IV.iii) Elemento Neutro
(4. 28)
59
IV.iii) Elemento Nulo
0
(4. 29)
V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores
, w E E w W E
60
(4. 30)
4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial
Aqui, nós iniciaremos uma seqüência de idéias estreitamente relacionadas; tais
como, geradores, dependência linear, base, expansão e dimensão. Os conceitos, as definições
e os teoremas são válidos para qualquer espaço vetorial, mas nossos exemplos ilustrativos são
restritos ao espaço n-dimensional Rn, sendo este o caso de maior interesse nos capítulos 9-12.
4.4.1 – Geradores
Se u1, u2, ..., são vetores em um espaço vetorial S, então a série de todas as
combinações lineares destes vetores, isto é, todos os vetores dado pela seguinte forma:
u 1u1 2 u 2 3u3 .... n u n
(4. 31)
1 , 2 ,...., n são escalares é chamado de geradores de u1 , u 2 , u3 ...., u n e denotado
como geradores de u1 , u 2 , u3 ...., u n .
A série u1 , u 2 , u3 ...., u n é chamada de série geratriz dos geradores
u1 , u2 , u3 ...., un .
onde
61
4. 5 – Dependência Linear
A definição da dependência ou independência linear de uma série de vetores é
essencialmente idêntica a definição de dependência ou independência linear de funções
somente com a palavra “funções” mudada para “vetores”.
4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear
Definição:
Uma série de vetores
v1 , v2 ,...., vn
é dita ser linearmente dependente se no
mínimo um deles puder ser expresso como combinação linear dos outros. Se nenhum dos
vetores puder ser assim expresso, então a série é dita ser linearmente independente.
Teorema (Teste para Dependência/Independência Linear):
Seja E um K-espaço vetorial. Diz-se que uma série finita de vetores,
v1 , v2 ,...., vn E
escalares,
e linearmente dependente (L.D.) sobre K, se e somente se existirem
1 , 2 ,...., n K , não todos nulos, tais que:
1v1 2v2 3v3 .... n vn 0
(4. 32)
Observa-se que essa relação é sempre válida se os ’s para i = 1, 2, 3, ...., n são
todos iguais a zero. Se, nesse caso, todos os ’s são nulos, então diz-se que a série de vetores
é linearmente independente (L.I.).
Prova:
62
4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial.
Diz-se que um K-espaço vetorial tem dimensão n se este satisfizer ois pincipios
básicos:
i) Existem uma réplica de n vetores linearmente independentes (principio de
ortogonalidade).
ii) (n +1) vetores do conjunto acima são sempre linearmente dependentes
(princípio de completeza).
63
4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial
Qualquer conjunto de n-vetores linearmente independentes entre si satisfazendo as
condições acima forma uma base para o K-espaço vetorial de dimensão n.
4.6.1 - Corolário – 1
Qualquer vetor do espaço pode ser representado como combinação linear dos
vetores da base.
Suponhamos
um
conjunto
de
n
vetores
eˆ1 , eˆ2 ,...., eˆn E linearmente
independentes formando uma base para o espaço vetorial E de dimensão n. Logo podemos
expressar qualquer vetor v do espaço em termos dos vetores desta base êi
v x1eˆ1 x2 eˆ2 x3 eˆ3 .... xn eˆn
(4. 33)
Chamamos a n’upla ( x1 , x2 ,....xn ) de coordenadas do vetor v na base êi
v xi eˆk
(4. 34)
Suponhamos ainda outro conjunto de n vetores linearmente independentes
eˆ'1 , eˆ'2 ,...., eˆ'n E , formando outra base para o espaço vetorial E. Logo, novamente o vetor
ˆ i da seguinte forma:
v do espaço E também pode ser expresso em termos da base e'
v x'1 eˆ'1 x'2 eˆ'2 x'3 eˆ'3 .... x'n eˆ'n
(4. 35)
Novamente a n’upla ( x '1 , x' 2 ,....x ' n ) são as coordenadas do vetor v na base
ˆ j (1)
e'
ˆj
A partir do Corolário – 1 pode-se concluir que também os vetores da base e'
podem ser expressos em termos da base êi .
1
base ou sistema de coordenadas
64
4.6.2 – Mudança de Base
ˆ j expressam-se me termos dos vetores da
De forma geral os vetores da base e'
base êi da seguinte forma:
a) eˆi eˆ' j
eˆ'1 11eˆ1 21eˆ2 31eˆ3 .... n1eˆn
eˆ' 2 12 eˆ1 22 eˆ2 23eˆ3 .... n 2 eˆn
eˆ'3 13eˆ1 23eˆ2 33eˆ3 .... n 3 eˆn
(4. 36)
:
eˆ' n 1n eˆ1 2 n eˆ2 3n eˆ3 .... nn eˆn
Escrevendo em termos de somatório temos:
n
eˆ' j kj eˆk
k 1
(4. 37)
j 1,2,3,...n
Os n2 coeficientes
kj formam os elementos da matriz de transformação de
ˆ j ). Normalmente se representa a matriz formada
coordenadas da base ( êi ) para a base ( e'
pelos elementos kj da seguinte forma:
γ [ kj ]
(4. 38)
(ver Teoria de Matrizes)
É claro que podemos fazer exatamente o oposto ou seja, expressar os vetores da base
(eˆi ) em termos da base (eˆ' j ) . Portanto,
a) eˆ' j eˆi
eˆ1 11eˆ'1 21eˆ'2 31eˆ'3 .... n1eˆ'n
eˆ2 12 eˆ'1 22 eˆ'2 32 eˆ'3 .... n 2 eˆ'n
eˆ3 13eˆ'1 23eˆ' 2 33eˆ'3 .... n 3 eˆ'n
:
eˆn 1n eˆ'1 2 n eˆ'2 3n eˆ'3 .... nn eˆ'n
Escrevendo em termos de somatório temos:
65
(4. 39)
n
eˆi ri eˆ' r
(4. 40)
r 1
i 1,2,3,...n
Novamente os n2 coeficientes
ri formam os elementos da matriz de
ˆ j ) para a base ( êi ). Da mesma forma se representa
transformação de coordenadas da base ( e'
a matriz formada pelos elementos
ri da seguinte forma:
β [ ri ]
(4. 41)
(ver Teoria de Matrizes a definição de Matriz Inversa)
Para se encontrar a relação entre as matrizes γ e β devemos escrever a expressão
(4. 37) da seguinte forma:
n
n
eˆi ri eˆ'r ri kr eˆk
r 1
r 1
k 1
como o
n
(4. 42)
ri não possui índices inclusos na somatória em k, podemos passá-lo para dentro
desta somatório sem alterar o resultado, sem nenhum problema.
n
n
n
ˆei ri eˆ'r ri kr eˆk
r 1
r 1 k 1
(4. 43)
Agora podemos trocar a ordem da somatório e então teremos:
n
n
n
eˆi ri eˆ'r ri kr eˆk
r 1
k 1 r 1
(4. 44)
Vemos que para os valores de êi e êk coincidirem a fim de que a igualdade acima
seja válida é preciso que i seja igual a k logo:
n
1 se i k
ri kr 0 se i k
r 1
que corresponde ao Delta de Kröenecker, com i, k 1,2,3,...., n . Logo
66
(4. 45)
n
ri kr ik
(4. 46)
r 1
Portanto
n
eˆi ik eˆk
k 1
i 1,2,3..., n
67
(4. 47)
4.6.3 – Transformações de Coordenadas
Consideraremos agora um vetor v expresso em termos dos vetores de duas bases
eˆi e eˆ ' j da seguinte forma:
a) xi x ' j
n
v xi eˆi
(4. 48)
n
v x 'i eˆ 'i
(4. 49)
i 1
e
i 1
Substituindo a expressão ( ) em ( ) temos:
n
n
n
v xi eˆi xi ri eˆ 'r
i 1
i 1
r 1
(4. 50)
Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro
desta somatória sem alterar o resultado final.
n
n
n
v xi eˆi xi ri eˆ 'r
i 1
i 1 r 1
(4. 51)
Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:
n n
v xi ri eˆ 'r
r 1 i 1
(4. 52)
Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo j = r temos:
n
x ' j xi ji
(4. 53)
i 1
68
b) x ' j xi
Da mesma forma podemos fazer substituindo a expressão ( ) em ( ):
n
n
n
v x ' j eˆ ' j x ' j ki eˆk
j 1
j 1
r 1
(4. 54)
Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro
desta somatória sem alterar o resultado final.
n
n
n
v x ' j eˆ ' j x ' j kj eˆk
j 1
(4. 55)
j 1 k 1
Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:
n n
v x ' j kj eˆr
k 1 j 1
(4. 56)
Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo i = k temos:
n
xi x ' j ij
(4. 57)
j 1
Comparando ( ) com ( ) e ( ) com ( ) vemos que as coordenadas (ou componentes)
x’j transformam-se diferentemente dos vetores de base eˆ ' j e da mesma forma vemos que as
coordenadas (ou componentes) xi transformam-se diferentemente dos vetores da base eˆi .
Componentes que se transformam como x’j ou xi são chamadas de componentes
contravariantes do vetor v em relação aos vetores da base eˆi e eˆ ' j respectivamente.
69
4. 7 – Espaço Euclidiano
Vamos definir aqui importantes noções de produto interno (produto escalar) e de
ortogonalidade
4.7.1 – Produto Escalar
Seja E um espaço vetorial real.
Sejam x, y elementos de E.
Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y x, y , qualquer função
definida em E E com valores em satisfazendo as seguintes propriedades:
P1)
x, y y , x
(4. 58)
x y, z x, z y, z , x, y, z E
(4. 59)
, x, y E
(4. 60)
P2)
P3)
x , y x, y ,
P4)
x, x 0, x, x 0 se e somente se x 0
(4. 61)
Uma espaço vetorial real, E, onde está definido um produto escalar é chamado
ëspaço euclidiano real”.
4.7.2 – Ortogonalidade
Definição: Em um espaço euclidiano real, diremos que x é ortogonal a y, em
símbolos, x y se e somente se
x, y 0
(4. 62)
x, 0 0, x 0 x
(4. 63)
Obs:
70
Teorema 1.1
Os vetores v1 , v2 ,..., vm tais que:
a)
vi 0, i 1, 2,....m
(4. 64)
v , v 0 para i j
(4. 65)
b)
i
j
São linearmente independentes.
Dito de outro modo: os vetores não nulos v1 , v2 ,..., vm , dois a dois ortogonais, são
sempre linearmente independentes.
Prova
Teorema 1.2
71
4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz
72
4. 8 – Bases Recíprocas
Vamos agora introduzir um conceito básico por meio do qual o problema de
determinar analiticamente os coeficientes (“componentes”) da expansão de um vetor
arbitrário v em termos de uma base ( êi ) tem uma solução simples e elegante. Trata-se do
conceito de base recíproca de uma base dada.
1 2 3
Duas bases ( e1 , e2 , e3 ) e ( e , e , e ) são recíprocas se:
ei .e k ik
(4. 66)
1
Esta condição implica dizer que e é perpendicular a e2 e a e3 , etc, etc. Além disso, de (4.
66) e da definição de produto escalar segue-se que:
ei . e k . cos(ei , e k ) 1
(4. 67)
k
Daí concluímos que cos(ei , e ) 0 , i, k = 1,2, 3, ... e que portanto
(ei , e k )
2
(4. 68)
1 2 3
É fácil construir explicitamente a base recíproca ( e , e , e ) da base ( e1 , e2 , e3 ). Com efeito,
1
como e deve ser perpendicular a e2 e e3 , conclui mos que
e 1 me2 e3
(4. 69)
pela definição de produto vetorial. Multiplicando (4. 69) escalarmente por e1 , e usando (4.
66) vem:
1 e1 e 1 me1 e2 e3 mv
(4. 70)
De onde tiramos
m
1
v
(4. 71)
e
73
v e1 e2 e3
(4. 72)
Mas v 0 porque ( e1 , e2 , e3 ) é base. Levando (4. 72) e (4. 71) em (4. 69) obtemos:
1 e2 e3
e
v
(4. 73)
e2 e3
1
e
e1 e2 e3
(4. 74)
e3 e1
2 e3 e1
e
v
e1 e2 e3
(4. 75)
e1 e2
3 e1 e2
e
v
e1 e2 e3
(4. 76)
Ou
E de modo análogo temos:
E
1 2 3
Do mesmo modo, a base recíproca de e , e , e é:
e j ek
e j ek
ei
1 2 3
v'
e e e
(4. 77)
Onde i, j, k ~ permutações cíclicas de 1,2,3.
i
Vê-se assim que a relação “recíproca de ...” é simétrica: A afirmação “ (e ) é
i
recíproca de ( e j )” implica que “( e j ) é recíproca de (e ) ”. A cada base ( ei ) está associada, e
s
de modo único, a base recíproca (e ) . Elas são simultaneamente utilizadas na definição das
“componentes” de um vetor, como veremos em seguida.
4.8.1 – Observação importante
(i) No caso de bases ortonormais vê-se facilmente que a base coincide com a sua
recíproca: a recíproca de ( iˆ, ˆj , kˆ ) é exatamente ( iˆ, ˆj , kˆ ), ou então:
74
iˆ k iˆk , k = 1, 2, 3, ...
(4. 78)
(ii) Como vv' 1 (Mostre!), então devemos ter simultaneamente
ou v > 0 e v’< 0 (bases orientadas positivamente)
(4. 79)
ou v < 0 e v’< 0 (bases orientadas negativamente)
(4. 80)
Vejamos agora como o problema de determinação dos coeficientes da expansão
de um vetor numa dada base se resolve utilizando a base recíproca.
Seja v um vetor e seja ( e1 , e2 , e3 ) uma base. Representamos v por meio da
seguinte expressão:
v v1e1 v 2 e2 v 3e3 v k ek
75
(4. 81)
4. 9 – Bases Ortonormais
Vamos agora estudar as bases ortonormais, que constituem um caso particular das
bases de vetores mas de grande utilidade prática.
Suponhamos que a base escolhida para representar os vetores do espaço seja
ortonormal, isto é, a base ( eˆ1 , eˆ2 ,...., eˆn E ) satisfaz:
eˆi .eˆ j ij
(4. 82)
Como sabemos, as bases ortonormais são auto-recíprocas, isto é, coincidem com a base
recíproca
76
4. 10 –
ˆk e
Sejam dois sistemas de coordenadas descritos pelos vetores unidades êi e e'
que a relação entre eles seja:
n
eˆi Aki eˆk
k 1
77
(4. 83)
4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt
Sejam f1 , f 2 ,... f n , n vetores linearmente independentes formando uma base
para um espaço vetorial de dimensão n. Considere que os ângulos formados pelos vetores
entre si são diferentes de 90º graus, ou seja, esta base não é ortogonal.
Figura - 4. 1.
Queremos encontrar os vetores f j que ortogonalizam esta base, ou seja,
Figura - 4. 2.
T
f j . f i // 0
(4. 84)
Sabemos pela definição de produto escalar de dois vetores que:
T
f j . f i f j f i cos
onde é o ângulo formado pelos vetores. Logo podemos expressar:
Figura - 4. 3.
78
(4. 85)
f j f j // iˆ f j ˆj
(4. 86)
f j f j cos iˆ f j sen ˆj
(4. 87)
f j f j sen ˆj
(4. 88)
Ou
Portanto,
Mas podemos escrever a projeção do vetor f j na direção de f i da seguinte
forma:
f j // f j cos iˆ
(4. 89)
Da equação ( ) temos que
T
f j . fi
f j //
iˆ
fi
(4. 90)
E a direção do versor î é dada por:
f
iˆ i
fi
(4. 91)
Logo
T
f j . fi
f j //
fi
f
(4. 92)
f j f j f j //
(4. 93)
i
fi
E f j perpendicular pode ser escrito como
Figura - 4. 4.
79
T
f j . fi
f j f j 2 fi
fi
(4. 94)
Realizando esta operação dois a dois para os n vetores da base com i j teremos a
ortogonalização desejada, chamada de processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt
Mas sabemos que f i
2
T
fi . fi
logo podemos escrever a relação geral para o
processo de ortogonalização de Gram-Schimidt da seguinte forma:
T
f j . fi
f j f j T fi
fi . fi
(4. 95)
Para i j. Escolhendo uma base ortonormal onde:
f1
eˆ1
f1
(4. 96)
Temos que:
T
f j . fi
eˆ j f j T f i
fi . fi
Para j 2,3....n
80
(4. 97)
4. 12 – Operadores Lineares
4.12.1 - Definição
Agora nós consideraremos uma função vetorial linear de um vetor, ou seja,
chamamos de Operador Linear, (2), a toda regra que associa univocamente todo e qualquer
vetor de um Espaço Vetorial E a um outro vetor w também do mesmo espaço vetorial da
seguinte forma linear:
E e (v ) w E
(4. 98)
u , E e ( u v ) (u ) (v ) E
(4. 99)
Ou ainda sendo
Se considerarmos um vetor arbitrário v dado por:
n
i i
(4. 100)
i 1
Então, genericamente, a seguinte condição de linearidade será satisfeita:
n n
w (v ) i i ( i i )
i 1
i 1
(4. 101)
Que por sua vez é igual á:
n n
w (v ) i i i ( i )
i 1
i 1
n
w (v ) i wi
(4. 102)
i 1
Os operadores lineares possuem ainda as seguintes propriedades:
Seja A e B dois operadores lineares quaisquer de Espaço Vetorial E:
i)
(A + B) = A + B
ii)
2
Onde pode ser também uma função vetorial linear
81
(4. 103)
(AB) = A(B )
(4. 104)
(A) =(A )
(4. 105)
iii)
iv) Em geral AB BA, mas no caso de serem iguais, dizemos que A e B comutam entre si.
v) O operador nulo e o operador identidade tem significado óbvio, notadamente:
0 = 0 e 1 =
(4. 106)
Para todo e qualquer vetor do espaço, E.
vi) Dois operadores A e B são ditos iguais se e somente se
A = B
(4. 107)
Para todo e qualquer do Espaço vetorial E.
vii) Se existir um operador tal que:
A.B = 1
(4. 108)
Dizemos que B = A-1, ou seja, que o operador B é o inverso do operador A. Portanto, se:
A = w
(4. 109)
A-1 w =
(4. 110)
Então
Pois
A-1A = A-1 w
1 = A-1 w
(4. 111)
A-1 w =
Operadores os quais não possuem inversos são ditos singulares. Vejamos o
exemplo abaixo:
Considere o espaço tridimensional dos vetores posição
e, um convencional
sistema de coordenadas cartesiano x,y,z conforme mostra a Figura - 4. 5.
82
Figura - 4. 5.
Nós definimos o operador projeção Pxy tal que Pxy( ) é a projeção vetor
no
plano xy. O qual possui as mesmas coordenadas x e y do vetor , mas possui a coordenada z
nula. De fato, o espaço dos vetores Pxy( ) é bidimensional, ou seja, diferente do espaço
vetorial dos vetores . Portanto, fica claro que o operador Pxy( ) não possui um inverso, ou
seja, é singular.
x
1 0 0 x
y
0 1 0 y
0 P ( v ) 0 0 0 P z v
xy
xy
(4. 112)
, do espaço vetorial E se transforma linearmente
,pela propriedade (ii) e (iii), em outro vetor, w , também do espaço vetorial E, através de um
Portanto, se qualquer vetor,
operador linear qualquer. Então, os vetores da base também se transformarão linearmente
pelo mesmo operador, em um outro vetor da base, da seguinte forma:
e j f j
(4. 113)
Onde e j e f j E (Espaço Vetorial). Mas qualquer vetor do espaço pode ser escrito em
termos dos vetores da base. Logo, f j pode ser escrito em termos dos ei ’s da seguinte forma:
n
f j Aij ei
(4. 114)
i 1
j 1,2,3,...., n
Igualando as expressões (4. 113) e (4. 114) temos:
83
n
(e j ) Aij ei
(4. 115)
i 1
j 1,2,3,...., n
Onde os Aij é então a i’ésima componente do vetor f j . E os n2 coeficientes Aij formam os
elementos da matriz do operador linear . Representado da seguinte forma:
( ) A [ Aij ]
(4. 116)
f j Aei
(4. 117)
[ f j ] [ Aij ][ei ]
(4. 118)
Logo
Ou ainda
Portanto, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de transformação.
Agora se considerarmos um vetor v qualquer (arbitrário), e chamarmos de :
(v ) w
(4. 119)
Com v e w E , onde v expresso em termos dos vetores da base vale:
n
v xi ei
(4. 120)
i 1
Logo
n
(v ) xi ei w
i 1
(4. 121)
Que pelas propriedades (4. 98) e (4. 101) de operadores lineares temos:
n
(v ) xi ei
(4. 122)
i 1
Mas
ei f i
(4. 123)
84
Da relação ( ) reesulta:
n
n
w (v ) xi ei xi f i
i 1
(4. 124)
i 1
Mas da relação ( ) temos que:
n
n
w xi Aki ek
i 1
(4. 125)
k 1
como as componentes xi não possui índice incluso na somatório em k, logo podemos passá-la
para dentro desta somatória, sem alterar o resultado, logo:
n n
w xi Aki ek
(4. 126)
i 1 k 1
Trocando a ordem da somatória, ficamos com:
n n
w xi Aki ek
(4. 127)
k 1 i 1
Sabemos que se expressarmos o vetor w em termos dos vetores da base teremos:
n
w y k ek
(4. 128)
k 1
comparando ( ) com ( ) concluimos que:
n
y k xi Aki
(4. 129)
i 1
Então podemos descrever as relações acima de outra forma, dizendo que o vetor
w está associado com o vetor v por um operador linear A operando em v da seguinte
forma:
w Av
(4. 130)
Então os números Aki são os componentes do operador linear A no sistema de
coordenadas ei . Especificamente da relação ( ) vemos que Aij é a i’ésima componente do
vetor Ae j . Analogamente concluímos comparando as relações ( ) e ( ) que:
85
[ w] [ Aij ][v ]
(4. 131)
na base ei
Apenas com os vetores, é que os operadores lineares frequentemente têm um
significado físico o qual não depende de um sistema de coordenadas específico, e pode ser
descrito sem referência a um sistema de coordenadas específico.
Para operadores que mudam o vetor v para outro vetor do espaço vetorial, como
é o caso do operador projeção, P, exemplificado anteriormente, a única mudança requerida na
análise acima é expressar
(e j ) em termos da base f i no espaço , tal que a relação ( ) fica:
m
(e j ) Aij f i
(4. 132)
i 1
Então os componentes Aij do operador A refere-se a duas bases e j e f i , e além
do mais está claro que os dois espaços podem ter número diferente de dimensões e, por isso
não existe um operador inverso (A-1)
Voltando novamente a expressão ( ) nós podemos achar a lei de transformação
para as componentes do operador linear, ou seja escrever a matriz de transformação linear em
uma outra base da seguinte forma:
w Av
(4. 133)
[ w] [ Aij ][v ]
(4. 134)
Mas de ( ) temos que:
ou seja, em relação as coordenadas de w e v temos: de ( ) que:
[ y k ] [ Aki ][ xi ]
(4. 135)
mas em relação a um outro sistema de coordenadas temos:
n
v x 'i e 'i
(4. 136)
i 1
e
86
n
w y 'i e 'i
(4. 137)
i 1
Mas
w (v )
(4. 138)
Que vale
n n
w x'i e 'i x'i (e 'i )
i 1
i 1
(4. 139)
Pelas propriedades ( ) e ( ) de operadores lineares e da mesma forma:
(e 'i ) f 'i
(4. 140)
Mas como novamente os f i ’s podem ser expressos em termos dos vetores desta nova base
temos:
n
f ' j A'ki e 'k
(4. 141)
k 1
Portanto, igualando ( ) com ( ) temos:
n
(e ' j ) A' ki e 'k
(4. 142)
k 1
i 1,2,3,4...n
onde o A’ki é então a k’ésima componente do vetor f i . E os n2 coeficientes A’ki formam os
elementos da matriz do operador linear na nova base e'i . Representando-se em forma de
matrizes temos:
( ) A [ A'ki ]
(4. 143)
f 'i Ae 'k
(4. 144)
onde
Ou ainda
87
[ f 'i ] [ A'ki ][e 'k ]
(4. 145)
Voltando a expressão ( ) temos:
n
n
w ( v ) x ' i ( e ' k ) x ' i f 'i
k 1
(4. 146)
k 1
Ou seja
n
n
n
w (v ) x'i f 'i x'i A'ki e 'k
i 1
i 1
(4. 147)
k 1
Como os componentes x'i não possui índice incluso na somatória em k podemos passá-lo
para dentro desta somatória em k, sem alterar o resultado, logo:
n n
w x'i A'ki e 'k
(4. 148)
i 1 k 1
trocando a ordem das somatórios temos:
n n
w x'i A'ki e 'k
(4. 149)
k 1 i 1
comparando agora a expressão ( ) concluímos que:
n n
n
w y 'i e 'k x'i A'ki e ' k
k 1
(4. 150)
i 1 k 1
Ou seja
n
y 'i x'i A'ki
(4. 151)
k 1
Como os vetores v e w e o operador não depende do sistema de coordenadas novamente
vale:
w Av
(4. 152)
Sendo que os números A’ki são os componentes do operador linear A no sistema de
coordenadas e'i . Especificamente da relação ( ) vemos que A’ki é a k’ésima componente do
vetor Ae 'i . Da mesma forma temos:
88
[ w] [ A'ij ][v ]
(4. 153)
[ w] [ ij ][ w' ]
(4. 154)
[v ] [ ij ][v ' ]
(4. 155)
xi [ ij ][ x' j ]
(4. 156)
y k [ kj ][ y 'k ]
(4. 157)
[ kj ] y k [ Aki ][ kj ][ x' j ]
(4. 158)
na base e'i . Nós sabemos que:
e
ou seja
e
Substituindo em ( ) temos:
Multiplicando ambos os lados por [ ij ]
1
temos:
[ kj ]1[ kj ] y k [ kj ]1[ Aki ][ kj ][ x' j ]
(4. 159)
[1] y k [ kj ]1[ Aki ][ kj ][ x' j ]
(4. 160)
y k [ kj ]1[ Aki ][ kj ][ x' j ]
(4. 161)
[ A'ki ] [ kj ]1[ Aki ][ kj ]
(4. 162)
e
Logo
Portanto
89
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores
Escolhamos um base ortonormal
eˆi
para expandir os vetores do espaço E3.
Consideremos um operador linear A definido em E3. A matriz do operador A na base
escolhida é a matriz A, de elementos A i . Quando um operador linear A () atua
j
, o vetor resultante A é em geral é diferente de . Contudo, podem
existir certos vetores (não nulos) para o qual A é apenas multiplicado por uma
sobre um vetor
constante, . Isto é:
A
(4. 163)
Tal vetor v 0 é chamado de um auto-vetor do operador A , e o número (real ou
complexo) é chamado de um auto-valor correspondente ao auto-vetor . O auto-vetor é dito
“pertencer” ao auto-valor. Num dado sistema de coordenadas, a componente i’ésima da
equação (4. 163) é:
n
Aij x j xi
(4. 164)
j 1
para i = 1,2 ,...n. Ou na notação matricial:
Ax x
(4. 165)
O problema de achar os auto-valores para o qual o sistema linear de equações
tem uma solução não-trivial é algo muito importante.
Se A é a matriz do operador A
a11
a
A 21
:
a n1
a12
a 22
:
an 2
.. a1n
.. a2 n
:
:
.. ann nxn
(4. 166)
Podemos montar o sistema de equações da seguinte forma:
Designando por I, como de hábito, a matriz identidade 3 x 3 (que correponde ao
operador identidade I), multiplicamos ambos os lados da equação (4. 165) pela matriz
identidade:
90
AIx Ix
(4. 167)
Ax Ix 0
(4. 168)
( A I ) x 0
(4. 169)
e
Logo
Representando o vetor v por meio de uma matriz coluna temos:
v1
v v 2 0
v 3
(4. 170)
A equação ( ) se escreve, usando as matrizes A e I.
A11
1
A2
A31
A12
A13 v1
A23 v 2 0
A33 v 3
A22
A32
(4. 171)
Esta é uma equação matricial que corresponde a um sistema de 3 equações algébricas lineares
1
2
homogêneas para as componentes v , v , v
3
do autovetor
v . A condição necessária e
suficiente para se determinar os auto-valores diferentes da solução trivial (isto é v 0 ) é
preciso que o determinante D da matriz ( A I ) seja igual a zero. Desta forma
chegamos a equação característica ou equação secular que fornece os valores de .
D det( A I ) 0
(4. 172)
Se a matriz A é n x n, haverá n raízes , não necessariamente todas distintas.
O determinante D , como função de , é um polinômio de 3º grau,
denominado polinômio característico do operador A, e tem a forma:
D 3 C 2 2 C1 D0
Onde
91
(4. 173)
1 d
C D
1,2 e D0 det A
!
d
0
(4. 174)
A equação D 0 tem, no máximo, 3 raízes. Mas as raízes de D 0 são os valores
para os quais ( ) é valida e portanto para que ( ) ou ( ) seja válida; isto quer dizer que os
autovalores de A são as raízes da equação D 0 . Podemos então afirmar.
i) Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico ou da equação
D det( A I ) 0
(4. 175)
ii) O operador A tem, no máximo, 3 autovalores (que podem ser reais ou complexos).
Uma vez conhecidos os autovaores
1 , 2 , 3 , a equação ( ) fornece os
autovetores v1 , v2 , v3 correspondentes. Observe que o sistema ( ) sendo homogêneo, só
obteremos as soluções vi i 1,2,3 a menos de normalização; isto quer dizer que ( ) dará
soluçào única para vi i 1,2,3 se impusermos que vi 1; i 1,2,3 .
Pode acontecer que existe mais de um autovetor correspondendo ao autovalor ,
neste caso dizemos que o autovalor é degenerado.
Examinado D 0 dado na equação ( ) observamos que:
lim D ; lim D
(4. 176)
Os limites de ( ) nos permitem concluir que , que é uma função contínua de por ser um
polinômio, deve se anular pelo menos uma vez.
Figura - 4. 6.
92
Isto quer dizer que:
iii) No espaço de dimensão 3, todo operador linear tem pelo menos um autovalor (o mesmo
resultado vale para todos os espaços de dimensão impar)
Quando D0 det A 0 é positivo, então podemos concluir que D terá
pelo menos um zero positivo, ou seja:
iv) Quando det A 0 , o operador linear  tem pelo menos um auto-valor positivo.
Vamos agora especializar nosso estado de autovalores e autovetores para o caso
de operadores ortogonais, isto é, operadores cujas matrizes sào ortogonais. Como já sabemos,
os operadores ortogonais conservam a ortonormalidade do vetores eˆ1 , eˆ2 ,...., eˆn E . Isto
quer dizer que o módulo dos vetores, bem como o produto escalar de 2 vetores são invariantes
por transformações ortogonais. De fato sendo ortogonal, o operador  satisfaz a relação:
Aˆ Aˆ T 1̂
(4. 177)
Aˆ 1 Aˆ T
(4. 178)
ou
O que significa, que dada uma base ortonormal qualquer eˆ1 , eˆ2 ,...., eˆn E , a matriz A do
operador  satisfaz relações idênticas as relações (4. 177) e (4. 178): ou
AA T 1
(4. 179)
A 1 A T
(4. 180)
ou
A partir da equação decorre que
det AA T det 1 1
(4. 181)
Mas como
det AA T det A det A T 1
e como também
93
(4. 182)
det A det A T
(4. 183)
“Um determinante não se altera trocando linhas por colunas”, então comcluimos que:
2
det A 1
(4. 184)
det A 1
(4. 185)
Ou
O caso de det A 1 corresponde ás rotações propriamente ditas “próprias”. Por exemplo,
o determinante da matrizes das equações ( ), ( ), ( ), ( ) e ( ) é sempre igual a +1.
O caso det A = -1 corresponde às rotações ditas “impróprias” ou inversões. Por
exemplo a transformação iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ é feita por uma matriz ortogonal da seguinte
forma:
Chamando eˆ'1 eˆ' 2 eˆ'3 a nova base, temos:
eˆ'1 1.iˆ 0. ˆj 0.kˆ
eˆ' 0.iˆ 1. ˆj 0.kˆ
2
(4. 186)
eˆ'3 1.iˆ 0. ˆj 1.kˆ
Que implica na seguinte matriz de transformação:
1 0 0
A 0 1 0
0 0 1
(4. 187)
Cujo determinante é -1. Não existe nenhuma rotação própria que leve iˆ ˆj kˆ em iˆ ˆj kˆ
Seja agora calcular o produto escalar de imagens do operador Â, isto é, calcular o
produto Âu.Âv; representando Âu e Âv como fizemos em ( )
j
Au u i Ai eˆ j
k
Av v i Ai eˆk
temos:
94
(4. 188)
j
m
Au .Av u i Ai eˆ j .v k Ak eˆm
(4. 189)
j
m
u i v k Ai Ak eˆ j .eˆm
Usando agora a ortonormalidade da base eˆ1 , eˆ2 , eˆ3 , tal como expressaa em ( ) teremos,
usando também ( ):
j
m
Au.Av u i v k Ai Ak jm
m
m
u i v k Ai Ak
(4. 190)
m m
u v
Au.Av u .v
Em palavras isso quer dizer que o operador ortogonal  conserva o produto escalar de
vetores.
A equação ( ) vale também quando u v . Neste caso teremos:
2 2
Au v
(4. 191)
que quer dizer que o produto ortogonal  conserva o módulo de vetores. Esta propriedade dos
operadores ortogonais acarreta outra de muita importância:
Os autovalores de operadores ortogonais têm módulo 1. De fato, consideremos a
equação de autovalor/autovetor para o operador ortogonal Â:
Âu u
(4. 192)
Tomando o módulo de ambos os membros de ( ) e usando, vem
Âu u . u u
(4. 193)
1 ou 1
(4. 194)
ou seja:
Então concluimos:
v) Todo autovalor de um operador ortogonal é +1 ou -1.
Isto é bastante intuitivo, porquanto uma rotação própria não muda nem a direção
nem o sentido e nem o módulo do versor a do eixo: Âa a , já uma rotação imprópria
apenas inverte o sentido de a :
95
Âa a
(4. 195)
No caso de rotação próprias o determinante de  é +1, e portanto detA>0.
Levando em conta esta observação e conbinando as propriedades ( ) e ( ) Concluimos que:
vi) O auto valor real de todo operador ortogonal, de determinante positivo (“rotação própria”),
é sempre +1.
96
4. 14 – Exemplos e Aplicações
97
4. 15 – Exercícios e Problemas
98
Capítulo – V
ESPAÇO TENSORIAL LINEAR
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição geral de tensores do qual decorrem os
escalares os vetores e as matrizes, como também as suas propriedades e aplicações ao cálculo
de funções.
5. 1 –Introdução
99
5. 2 – Definição de Tensores
Os tensores são uma generalização dos escalares, dos vetores e das matrizes. Eles
são formas funcionais lineares que seguem a regras bem definidas de operações lineares. Eles
podem ser classificados quanto ao sua ordem como tensores de ordem zero, um, dois, etc.
5.2.1 - Formas Funcionais Lineares
Consideremos o espaço vetorial E, de dimensão 3, no qual está definido um
produto escalar (espaço euclidiano). Chama-se funcional em forma linear em E qualquer
aplicação linear do espaço vetorial E no conjunto R dos números reais. Indicaremos os
funcionais lineares pelo símbolo F
(1)
() ; assim:
F (1) () : E R
u F (1) (u ) : numero real
A linearidade de F
(1)
(5. 1)
() significa:
F (1) (u v ) F (1) (u ) F (1) (v )
(5. 2)
Da equação (5. 2) reduz-se facilmente que:
F (1) (0) 0
(5. 3)
Um exemplo de funcional linear sobre o espaço E é proporcionada pelo produto
escalar dos vetores de E com um vetor fixo a . Assim ao vetor a está associado o funcional
linear F a
(1)
() a ( ) tal que:
(1)
F a (u ) a.u , u E
É fácil ver que F a
(1)
(5. 4)
() é linear; com efeito:
(1)
(1)
(1)
Fa (u v ) a.u v a.u a.v Fa Fa (v )
(5. 5)
Por este exemplo fica então demonstrado que a todo vetor a está associado um
funcional linear sobre E, definido por (5. 4). Gostaríamos de saber se a recíproca é verdadeira,
isto é, se todo funcional linear F a
(1)
(1)
( ) é da forma F a () a ( ) para um a
100
conveniente. Para isso vamos introduzir uma base ( e1 , e2 , e3 ) em E e fazer uso da linearidade
() . Dado um vetor u E qualquer, ele se representa por u u i ei , de
(1)
modo que a imagem de u por F () é dada por:
do funcional F a
(1)
F (1) (u ) F (1) (u i ei ) u i F (1) (ei )
Pela equação (5. 6) vê-se claramente que para definir F
reais F
(1)
(5. 6)
(1)
() é necessário dar os 3 números
(ei ) , i 1,2,3... . Introduzimos, então, por definição os 3 números reais
ai , i 1,2,3,... por meio de
F (1) (ei ) ai , i 1,2,3...
(5. 7)
Introduzindo-se ( ) em ( ) obtemos:
F (1) (u ) F (1) (u i ei ) u i ai
O funcional F
(1)
(5. 8)
() fica, então, definido, na base ( e1 , e2 , e3 ) pelos 3 números ai definidos
em ( ). Vamos agora ver o que acontece se mudarmos de base.
1 j
Seja então (e '1 , e ' 2 , e '3 ) uma outra base de E, dada por e 'i [ A ]i e j
u u i e 'i , com u i [ A 1 ]im u m
101
(5. 9)
5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções
(5. 10)
102
5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas
103
5. 5 – Exemplos e Aplicações
104
5. 6 – Exercícios e Problemas
105
Capítulo – VI
ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES
RESUMO
Neste será visto a analogia entre o espaço vetorial linear e o espaço de funções
mais apropriadamente o espaço funcional linear. Veremos as propriedades e aplicações desta
teoria matemática.
6. 1 –Introdução
106
6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço
Funcional Linear
Chamamos de espaço algébrico linear de funções, sobre um campo C, a uma série
de elementos 1, 2, 3, .. com uma estrutura algébrica isomorfa ao espaço vetorial.
Considerando dois vetores P e Q , onde
P P ( p1 , p2 , p3 )
(6. 1)
Q Q(q1 , q 2 , q3 )
(6. 2)
E
P e Q são ortogonais quando
P.Q p1q1 p2 q 2 p3 q3 0
(6. 3)
3
P.Q pi qi 0
(6. 4)
ou
i 1
Se os vetores forem n-dimensionais
n
P.Q pi qi 0
(6. 5)
i 1
Façamos agora uma analogia, através da correspondência abaixo:
a) ao índice
(6. 6)
ix
b) ao somatório
i
dx
(6. 7)
c) às coordenadas
pi (ou qi ) uma função f(x) (ou g(x)).
107
(6. 8)
Portanto, a cada vetor pi corresponde uma função f (x ) de modo geral,
complexa. Esta correspondência implica que as operações de um espaço vetorial podem ser
extendidas ao espaço das funções f(x).
Sejam f, g, e h, funções neste espaço. As operações se aplicam ao mesmo:
a) Comutatividade
f gg f
(6. 9)
( f g) h f (g f )
(6. 10)
b) Associatividade
c) Distribuitividade da soma
(a g ) f af gf
(6. 11)
d) Associatividade do produto
(ak ) f a (kf )
(6. 12)
0f 0
(6. 13)
1f f
(6. 14)
e) Elemento nulo
f) Elemento Neutro
Também, a partir destes postulados podem definido, como em álgebra vetorial:
a) a independência linear das funções
b) produto escalar
c) magnitude de um elemento e distância entre f e g.
Tal espaço de funções complexas obtido por esta analogia é chamado espaço
Hilbert. Neste espaço, a condição de ortogonalidade será, portanto,
f * ( x, y,...) g ( x, y,...)d 0
Onde d dxdy...
108
(6. 15)
6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no
Espaço de Funções
109
6.2.2 – Notação de Dirac
Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no
nosso caso tanto pode ser vetores como funções.
: ket (vetor ou função)
(6. 16)
No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso
de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.
Seja E um conjunto de ket’s e seja C um campo de escalares do espaço algébrico
linear, onde E é aditivo, isto é, existe uma operação E x E E tal que:
, ExE E
Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:
110
(6. 17)
6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções
i) Comutativa
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
(6. 18)
f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x)
(6. 19)
ii) Associativa
iii) uma matriz 0 EMatrizes /
f(x) + 0 = f(x) f(x) EFunções
(6. 20)
iv) uma matriz -A EMatrizes /
f(x) + (-f(x)) = 0 f(x) EFunções
(6. 21)
v) Distribuitiva do escalar
( f(x) + g(x)) = f(x) + g(x)
(6. 22)
vi) Distribuitiva da Matriz com escalar
( + ) f(x) = f(x) + f(x)
(6. 23)
vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz
f(x)[g(x) + h(x)]j(x) = f(x)g(x) j(x) + f(x)h(x) j(x)
(6. 24)
viii) Associativa do produto de matrizes
[f(x)g(x)]h(x) = f(x)[g(x) h(x)] = f(x)g(x) h(x)
(6. 25)
ix)
(6. 26)
x) Transposição do produto de matrizes
AB = (BA)T = B T AT
(6. 27)
xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT
111
(6. 28)
6. 3 –Transformações de Coordenadas
112
6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções
Duas funções são ditas ortogonais em um intervalo [a,b] se:
b
n ( x)m ( x)dx nm
(6. 29)
a
(6. 30)
113
6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares
Os operadores no espaço de funções são a base para o estudo das equações
diferenciais.
6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções
Seja uma função
transformada em outra
(x) . Submetida a operações matemáticas, ela pode ser
(x) . As operações abaixo são comuns:
1)
( x) k ( x)
(6. 31)
( x) x ( x)
(6. 32)
d ( x)
dx
(6. 33)
2)
3)
( x)
4)
x
( x) ( x)dx
(6. 34)
0
Temos, acima, 1) multiplicação por um número k qualquer, 2) por x, 3)
diferenciação e 4) operação de integração. A classe das operações que transformam uma
função na outra é chamada operador. Nos exemplos acima, o operador é, multiplicação por
um número, diferenciação, integração entre 0 e x, etc.
As operações podem ser indicadas como se segue:
( x) A ( x)
(6. 35)
onde A é um operador
O nosso interesse é nos operadores diferenciais do tipo
A ao ( x) a1 ( x)
d
d2
a2 ( x) 2 ...
dx
dx
114
(6. 36)
Não se deve confundir o operador com uma equação. O operador acima traduz
uma instrução de como devemos manipular
(x) , o operando. É comum simplificar a
notação e omitir o operando. Assim, a operação sucessiva com o operador A é:
AA (x) ou A 2 ( x)
2
onde AA A , omitindo
(6. 37)
(x) .
Os operadores que nos interessam são lineares, isto é, tais que:
A1 ( x) 2 ( x) A1 ( x) A 2 ( x)
(6. 38)
Sejam A e B dois operadores lineares. De um modo geral
AB ( x) BA ( x)
(6. 39)
Isto é, os operadores não comutam relativamente a multiplicação.
Exemplo:
Sejam os dois operadores:
i) Multiplicação por x:
A x
(6. 40)
d
dx
(6. 41)
ii) Derivada em relação a x:
B
Onde
ABf ( x) x
d
f ( x)
dx
(6. 42)
E
BAf ( x) Bxf ( x)
d
xf ( x)
dx
d
f ( x) x
f ( x)
dx
Observe que AB BA.
Um exemplo de operador não-linear é:
iii) Elevar uma função ao quadrado.
115
(6. 43)
A f (x) 2
(6. 44)
Seja aplicar o operador a
1 ( x) 2 ( x)
(6. 45)
Temos:
2
2
A1 ( x) 2 ( x) 1 ( x) 21 ( x) 2 ( x) 2 ( x)
(6. 46)
E
2
2
A1 ( x) A 2 ( x) 1 ( x) 2 ( x)
(6. 47)
Isto é não-linear, porque:
A1 ( x) 2 ( x) A1 ( x) A 2 ( x)
(6. 48)
Se a multiplicação for do tipo AnAm do próprio operador elevado a potências n e m,
An Am Am An 0
isto é, a operação é comutativa.
116
(6. 49)
6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções
117
6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções
A um operador podemos associar uma matriz. Seja H um operador Hermitiano
que gera auto-funções,
i (x)
H i ( x) i ( x)
(6. 50)
Suponhamos as auto-funções ortogonais e tomemos outros operadores L e N que
atuam sobre as mesmas variáveis que H. Definamos as matrizes:
Lij i * ( x)L j ( x)d
(6. 51)
N ij i * ( x)N j ( x)d
(6. 52)
e
As equações que contêm L e N são válidas para as matrizes Lij e Nij interpretadas
matricialmente.
Ex:
1) Soma de operadores
(L N ) L N
(6. 53)
( L N ) ij Lij N ij
(6. 54)
2)
6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções
Seja a multiplicação de operadores
( LN ) ij i *L( N j )d
(6. 55)
N j C sis
(6. 56)
Mas
s
Ou
i *N j d s i *C sjs d Cij
118
(6. 57)
E
(6. 58)
E
( LN ) ij i *L( N sjs )d
s
N sj i *Ls d
(6. 59)
s
Lsj N sj
s
Concluímos que o produto de operadores LN pode ser representado pela matriz
(LN)ij.
Tomemos agora a equação de auto-valores
H
(6. 60)
Sabemos que ao operador H podemos associar uma matriz H ij
i *H j d .
Mostremos que a auto função pode ser associada a um auto-valor de Hij. O operador H
possui um conjunto completo de auto-funções i de modo que uma função pode ser escrita
como:
(6. 61)
Onde i são os coeficientes de expansão. Logo
H
(6. 62)
ou
(6. 63)
Ou
i Hi ii
i
i
Premultiplicando por k* e integrando temos:
119
(6. 64)
i k Hi d i ki d
i
(6. 65)
i
E tomando os i ortonormais, temos:
i H ki i ki
i
(6. 66)
i
Mas
H ki ( H ) k
i
(6. 67)
i ki k
i
Isto é:
( H ) k k
(6. 68)
É uma equação matricial onde i são componentes de um auto-vetor. Concluímos que a
equação H é convertida na equação matricial.
( H ) k k
Onde os
(6. 69)
k são as componentes de um vetor.
Para obter os
i basta observar que
e
k *d i i k * i d i i ki
(6. 70)
k k *d
(6. 71)
Ou
Uma conclusão interessante que se obtém e resulta se tomarmos
j isto é,
como auto-função das auto-funções do conjugado associado ao próprio operador H.
H i j j
Isto é, tomando-se
120
(6. 72)
i ij
(6. 73)
na expansão
(6. 74)
Temos, como acima
i *H j d j i * j d
(6. 75)
Ou
H ij j ij
(6. 76)
Concluindo: quando na equação matricial equivalente a equação de auto-valores H
se tomarmos como auto-função uma das auto-funções do operador H, a matriz que representa
H é diagonal.
121
6. 6 – Mudança de Base para funções
De forma geral as funções da base
i (x) expressa-se em termos das funções da
base hi (x ) da seguinte forma:
n
i ( x) ij h j ( x)
(6. 77)
j 1
E
n
h j ( x) ji i ( x)
(6. 78)
i 1
Para encontrar a relação entre os coeficientes funcionais ij e ji devemos:
n
n
i ( x) ij ji i ( x)
j 1
i 1
122
(6. 79)
6. 7 – Transformação de Funções
123
6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
124
6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores
Consideremos um operador A aplicado a uma função
(x) . A (x) é a função
obtida pela transformação e que, geralmente, nada tem de comum com
importante, entretanto, em que A (x ) é múltiplo de
(x) ,
A ( x) k ( x)
onde k = constante. Neste caso
(x) . Há casos
(6. 80)
(x) e chamada de auto-função e k de auto-valor do
operador A.
Exemplo: Tomemos e
mx
A ( x)
como auto-função e seja A d / dx :
d mx
e me mx
dx
(6. 81)
Logo, m = auto valor do operador A d / dx . No caso geral
A ( x) k ( x)
(6. 82)
É uma equação diferencial que deve ser resolvida. Haverá, evidentemente, um número infinito
de soluções. Deste conjunto somente nos interessam aquelas que satisfazem certas
características físicas, compatíveis com o problema físico que é estudado. Exemplifiquemos:
Seja
d2
A 2
dx
(6. 83)
d2
A ( x) 2 ( x) k ( x)
dx
(6. 84)
Logo
As soluções são
( x) C1e
kx
Estabeleçamos agora a condição de que
C2 e
kx
(6. 85)
(x) nunca pode ser infinita: basta tomar k negativo,
2
por exemplo, k , onde é uma constante real. Temos,
125
1 ( x) C1e ix C2 e ix
Que são soluções trigonométricas. Se
(6. 86)
(0) 0 ,
( x) C sin(x)
E
se
também
(l ) 0 , os auto-valores
(6. 87)
2 3
, , ,... . As auto-funções
l l l
correspondentes são,
2
3
sin( x), sin( x), sin( x),..., etc
l
l
l
(6. 88)
Os problemas da Mecânica Quântica são similares a estes. Partimos de uma
equação de auto-valores achamos sua solução e os auto-valores, tendo em conta certas
características das soluções (auto-funções).
O exemplo visto mostra ainda que
A ( x) 2 ( x)
(6. 89)
Representa
2
(6. 90)
2
(6. 91)
2
(6. 92)
A1 ( x) 1 1 ( x)
e
A 2 ( x) 2 2 ( x)
ou
A n ( x) n n ( x)
A solução do nosso problema resulta em n auto-funções que nos fornecem n autovalores. É importante observar que os auto-valores são discretos,
1 , 2 ,..., n e cada auto-
função está associada a um auto-valor. Há, muitas vezes, caso em que um único autovalor está
associado a várias auto-funções, sendo estas, neste caso, linearmente independentes. Um autovalor deste tipo é chamado de degenerado.
126
6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores
Já vimos que é necessário que as auto-funções satisfaçam a certas condições de
contorno a fim de que tenhamos soluções com auto-valores discretos.
Seja
(x) uma auto-função. A restrição mais importante que ela deve sofrer, a
fim de representar uma solução fisicamente aceitável é ter um quadrado integrável:
n ( x) * n ( x)dx valor
finito
(6. 93)
Tomemos
* ( x) porque as funções podem ser complexas. Suponhamos agora
que todas as funções que nos interessam sejam quadraticamente integráveis e tomemos duas
delas u(x) e v(x) e um operador A. Aceitemos que a integral
u * Avdx
existe e definamos
A* como operador obtido de A pela transformação i i . Um operador Hermitiano
quando.
u ( x) * Av( x)dx [ A * u ( x)*]vdx
Seja por exemplo o operador A
u ( x) *
(6. 94)
d
dx
d
d
v( x)dx [ u ( x)*]vdx
dx
dx
(6. 95)
De fato integrando o primeiro membro por partes temos:
d
d
u ( x) * dx v( x)dx u * v v dx u( x) * dx
(6. 96)
Mas u* e v* são quadraticamente integráveis e são nulos nos limites. Logo
d
d
u ( x) * dx v( x)dx [ dx u ( x)*]vdx
Conclusão: A
(6. 97)
d
d
não é Hermitiano, Entretanto, o operador A i
, como é fácil
dx
dx
mostrar é Hermitiano.
d2
Seja agora, o importante operador A
.
dx 2
127
Temos:
d 2 v( x)
dv
dv du * ( x)
u ( x) * dx 2 dx u * dx dx dx dx
d 2u * ( x)
d 2 u * ( x)
du * ( x)
v ( x )
2
v( x)dx dx 2 v( x)dx
dx
dx
(6. 98)
d2
Conclusão: A
é Hermitiano,
dx 2
Qual o interesse em operadores Hermitianos?
É fácil ver: Seja uma auto-função e seu auto valor, onde:
A ( x) ( x)
(6. 99)
O complexo conjugado desta operação é:
A * * ( x) * * ( x)
Multiplicando a primeira equação à esquerda por
(6. 100)
* e a segunda a esquerda por e
integrando temos:
* ( x) A ( x) * ( x) ( x)dx
A * * ( x) ( x) * * ( x) ( x)dx
(6. 101)
Se A é um operador Hermitiano, os primeiros membros são iguais. Logo,
*
(6. 102)
Isto é, os auto-valores são reais.
A extensão do resultado acima é imediato para funções de várias variáveis.
( x, , y , z )
Não oferece dificuldade.
128
(6. 103)
6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores
diferentes.
129
6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2
130
6. 12 – Serie de Funções Ortogonais
Seja
n (x) numa série de funções linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
f ( x) ao a11 ( x) a 22 ( x) ... a nn ( x) ...
(6. 104)
ou
ak k ( x)
f ( x)
(6. 105)
k
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por
f ( x)l dx l
l e integra-se desde zero até infinito,
akk dx
(6. 106)
k
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
ak lk dx
f ( x)l dx r
Como as funções
(6. 107)
l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:
f ( x)l dx
ak kl
(6. 108)
k
Logo para l = k temos:
ak
f ( x)l dx
131
(6. 109)
6. 13 – Exemplos e Aplicações
132
6. 14 – Exercícios e Problemas
133
Capítulo – VII
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de
7. 1 – Introdução
134
7. 2 – Funções Pares e Ímpares
Uma função é dita par se:
f ( x) f ( x)
(7. 1)
Exemplos:
f ( x) x 2
g ( x) cos x
(7. 2)
Figura - 7. 1
Uma função é dita ímpar se:
f ( x) f ( x)
(7. 3)
Exemplos:
f ( x) x 3
g ( x) sen x
Figura - 7. 2
135
(7. 4)
7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares
As operações de multiplicação de funções fornecem:
Uma função é dita par se:
f par ( x).g par ( x) h par
f ímpar ( x).g ímpar ( x) h par
f par ( x).g ímpar ( x) hímpar
(7. 5)
f ímpar ( x).g par ( x) hímpar
7.2.2 - Teorema
Toda função f(x) pode ser escrita como uma combinação linear de uma função par
e uma fução ímpar.
f ( x) f par ( x) f ímpar ( x)
(7. 6)
Onde
f par ( x)
f ( x ) f ( x)
2
(7. 7)
f ímpar ( x)
f ( x) f ( x )
2
(7. 8)
E
Logo
f ( x)
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
2
2
136
(7. 9)
7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares:
Seja as integrais:
A
A
f ( x)dx 2 f ( x)dx
A
se
f par
(7. 10)
0
E
A
f ( x)dx 0
se
f ímpar
A
137
(7. 11)
7. 3 – Funções Periódicas
Uma função é dita periódica se:
f ( x) f ( x nT ) n Z
(7. 12)
Considere a seguinte fução periódica descontínua
Figura - 7. 3
Esta função possui infinitos períodos e o menor período fundamental é 2a.
7.3.1 – Teorema de Bloch
138
7. 4 – Cálculo em RN
Sejam
os
vetores
de
coordenadas
x x1 , x2 ,..., xn N
e
y y1 , y2 ,..., yn N , define-se uma distância entre os pontos P e Q associados a esses
vetores neste espaço N como o valor dado por:
d x, y
xi yi xi yi
(7. 13)
7.4.1 - Conectividade
Dois conjuntos A e B são conexos se ...
Figura - 7. 4
7.4.2 - Pontos Limítrofes
x S é um ponto limítrofe de S se toda vizinhança de x contém pontos y S
7.4.3 - Derivadas Parciais
Seja uma função f x1 , x2 ,..., xn N , cujas derivadas parciais de f existem
f f 2 f
2 f
,
,
,
, e são contínuas em alguma vizinhança de xo então a função
xi x j xi x j x j xi
composta,
F t f x1 t , x2 t ,..., xn t
Possui derivada dada por:
139
(7. 14)
dF t f dxi
dt
xi dt
(7. 15)
Isso é diferente da versão mais comum e incorreta:
df t f dxi
dt
xi dt
(7. 16)
7.4.4 - Exemplo
Seja f x, y, u , v uma função onde f x, y, u x, y , v x, y f x, y então:
f f x f y f u f v
dx x x
y x u x v x
0
f f f u f v
dx x
u
x
v
x
(7. 17)
0 ( Não sempre!)
Uma forma mais correta de se escrever seria
F x, y f x, y , u x , y , v x , y
(7. 18)
e
F f x f y f u f v
dx x x
y x u x v x
0
(7. 19)
F f f u f v
dx x u x v x
7.4.5 – Série de Taylor no RN
Seja f x1 , x2 ,..., xn N a expansão em Série de Taylor desta função é dada
por:
140
f
1
2 f
f x f xo
xi xoi
xi xoi x j xoj
2! i j xi x j
i xi
3 f
xi xoi x j xoj xk xok ....
i
j
k xi x j xk
141
(7. 20)
7. 5 – Funções Implícitas
Seja a função de duas variáveis f(x,y) = 0 , como o exemplo abaixo da equação de
uma elipse:
x2 4 y2 4 0
Cujos eixos principais são a
(7. 21)
4 2 e b 1 1 , observe que y é uma função implícita
de x.
y 1 ( x / 2) 2
(7. 22)
7.4.1 –Teorema da Função Implicita
Seja f(x,y) = 0 satisfeita no ponto (xo, yo), [f(xo,yo) = 0] e f(x,y) = 0 uma função de
classe C1 (contínua de 1ª derivada contínua) na vizinhança de (xo,yo). Se f / y x
o , yo
0
então f(x,y) = 0 implica na existência de uma função em y = y(x) em uma vizinhança de
(xo,yo) tal que y(xo) = yo.
Ex. 1:
f ( x, y ) x 2 4 y 2 4 0
(7. 23)
Note que ( xo , y o ) (1, 3 / 2) satisfaz:
fx
f ( x, y )
f ( x, y )
2x
x
x 1,
20
(7. 24)
4 3 0
(7. 25)
3/2
E
fy
f ( x, y )
f ( x, y )
8y
y
y 1,
3/2
Logo existe y(x) no ponto ( xo , y o ) (1, 3 / 2) e em sua vizinhança.
Ex. 2:
142
f ( x, y ) ( y 2 x )e y x 2 1 0
(7. 26)
Note que ( xo , y o ) (1,2) satisfaz:
fx
f ( x, y )
f ( x, y )
2
2e y 2 x
2e 2 0
x
x 1, 2
(7. 27)
f ( x, y )
f ( x, y )
(1 y 2 x)e y
e 2 0
y
y 1, 2
(7. 28)
E
fy
Logo existe y(x) no ponto ( xo , y o ) (1,2) e em sua vizinhança.
Vamos tentar obter y(x):
f ( x, y ) 0
(7. 29)
Em torno de ( xo , y o ) por meio da Série de Taylor de y:
y ( x) y ( xo ) y ' ( xo )( x xo )
1
1
y ' ' ( xo )( x xo ) 2 y ' ' ' ( xo )( x xo ) 3 ...
2
6
(7. 30)
e
y ( x) y o
y ' ( xo ) ?
y ' ' ( xo ) ?
(7. 31)
...
Onde
df ( x, y ( x))
f x f y y' 0
dx
(7. 32)
E
y'
f x ( x, y ( x))
f y ( x, y ( x))
E
143
(7. 33)
y' '
f x ( x, y ( x))
f y ( x, y ( x))
(7. 34)
Logo
( y '2)e y ( y 2 x)e y y '2 x 0
(7. 35)
Então
2 2 xe y
y'
y 2x 1
;
y ' ' ....
(7. 36)
Portanto,
y ( x) 2 2,271( x 1) 0,479( x 1) 2 ...
(7. 37)
y sen x
f ( x, y ) y sen x 0
(7. 38)
Ex. 3:
(Dica: trabalhar com a função inversa)
7.4.2 - Caso Multivariado
Seja a função f ( x, y, u , v ) 0 e g ( x, y , u , v) 0 existem u ( x, y ) e v ( x, y ) ??
onde:
f ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) 0
g ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) 0
(7. 39)
Expandindo em Série de Taylor temos:
u ( x, y ) u ( xo , yo ) u x ( xo , yo )( x xo ) u y ( xo , yo )( y yo ) ...
v( x, y ) v( xo , yo ) v x ( xo , yo )( x xo ) v y ( xo , yo )( y yo ) ...
E
144
(7. 40)
f
f x fuu x fv vx 0
x
g
g x guu x gvvx 0
x
(7. 41)
E
fuu x fv vx f x
gu u x gv vx g x
(7. 42)
Logo
f x fv
g x gv
ux
fu gu
fv gv
(7. 43)
Idem para v x , u y , v y
fu
g
vx u
fu
fv
fx
gx
gu
gv
(7. 44)
E
uy
fy
fv
gy
gv
fu
gu
fv
gv
(7. 45)
e
vy
fu
fy
gu
gy
fu
gu
fv
gv
145
(7. 46)
Análogo para n dimensões.
Sejam
as
funções
f1 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0 ,
f 2 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0 , .... f n ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0 , ou seja:
f1 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0
f 2 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0
:
f 3 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) 0
(7. 47)
ou
f i ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u2 ,...un ) 0
(7. 48)
ui ui x j
(7. 49)
e
Expandindo em Série de Taylor de ordem 1, temos:
ui x j ui xoj
ui
x j xoj ...
x j
(7. 50)
(7. 51)
Sendo
Fi x j f i x j , uk x j 0
e
Fi x j
x j
f i f i uk
0
x j uk x j
(7. 52)
O resultado será:
fi uk
f
i
uk x j
x j
(7. 53)
uk
; k 1,..., n
x j
(7. 54)
fixe j, logo existirão soluções
Se
146
fi
0
uk
(7. 55)
Este é o Jacobiano da transformação das variáveis. Logo a condição de existência das funções
implícitas é:
f1 , f 2 ,..., f n
fi
uk
u1 , u2 ,..., un
(7. 56)
Ou seja:
f1
u
1
f 2
det u1
:
f n
u1
f1
u2
f 2
u2
:
f n
u2
f1
un
f 2
..
un 0
..
:
f n
..
un
..
(7. 57)
Podemos mostrar que:
u1 , u2 ,..., un x1 , x2 ,..., xn
x1 , x2 ,..., xn u1 , u2 ,..., un
1
(7. 58)
e
f1 ( x , u ) 0
:
fn ( x, u ) 0
(7. 59)
u ( x) 0
(7. 60)
e
Como resolver x em função de x? Desenvolvendo a Série de Taylor localmente
(linearização localmente).
147
Ex. Sistema de Coordenadas Polares
Sejam as coordenadas curvilineas
x(r , ) r cos
y (r , ) rsen
(7. 61)
Onde
1/ 2
r x2 y2
x
arctan
y
(7. 62)
Figura - 7. 5
Calcule:
2T 2T
0
x 2 y 2
(7. 63)
Em coordenadas polares.
Solução
Fazendo
f1 x, y, r , x r cos 0
f 2 x, y, r , x rsen 0
(7. 64)
Vamos calcular r r x, y ; x, y , logo:
f1
r
f 2
r
f1
cos
f1 rsen
rsen
r
r cos
Existe a função se r 0 .
148
(7. 65)
dT T x T y
dr x r y r
T
T
cos
sen
x
y
(7. 66)
dT T x T y
d x y
T
T
rsen
r cos
x
y
(7. 67)
Tr sen
T r cos
r cos Tr sen T
T
Tx
cos sen
x
r
rsen cos
(7. 68)
Tr -cos
T rsen
rsen Tr cos T
T
Ty
cos sen
y
r
rsen cos
(7. 69)
e
Logo
e
Logo
Tx
T
T
sen T
cos
x
r r
r
(7. 70)
Ty
T
T cos T
sen
y
r
r
(7. 71)
e
Então,
2T 2T
0
x 2 y 2
é o mesmo que:
149
(7. 72)
T T
0
x x y y
(7. 73)
T
sen
T
sen T
cos
cos
x x
r r
r
r r
r
(7. 74)
T
cos
T cos T
sen
sen
y y
r
r
r
r
(7. 75)
então
e
ou
T
x x
2T
2
cos
2
r
cos sen T
r
r
cos sen T cos sen
r
r
r2
2
sen T
2
r r
2
sen
2
r
T
2T sen cos T
2
r2
(7. 76)
e
T
y y
2
2 T
=sen
2
r
cos sen T sen cos T
r
r
r2
cos sen T cos 2 T cos 2
2
2
r
r
r r
r
2T sen cos T
2
r2
(7. 77)
Portanto, a equação de Laplace, fica:
2T
T
y y
T
y y
2T
= 2
r
1 T
r r
150
2
1 T
2 2
r
(7. 78)
7.4.3 – Teorema dos Extremos
Seja f ( x1 , x 2 ,...xn ) 0 e
f
f
f
...
0 em X , f é de classe C2,
x1 x2
xn
na vizinhança de X .
Seja
f x1x1
fx x
A 21
:
f xn x1
f x1 x2
..
f x2 x2
..
:
..
..
f xn x2
f x1xn
f x2 x1
:
f xn xn
(7. 79)
Supor det A 0 . Se A é positiva (ou negativa) definida, então X , é um mínimo (ou
máximo) local.
151
7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo
Os problemas de cálculo de máximo e mínimo de funções envolve aplicações a
otimização (função obejetiva não-linear)e achar as funções que maximizam certos funcionais
correspondem a uma parte do cálculo variacional.
7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt
Sejam as funções
f ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) extremo
g1 ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) c1
:
g k ( x1 , x2 ,...xn , u1 , u 2 ,...u n ) ck
(7. 80)
Para facilitar o estudo vamos fazer para o caso n = 3, k=1, onde:
f ( x, y, z ) extremo
g ( x, y , z ) c
(7. 81)
A diferencial de f é dada por:
df
f
f
f
dx dy dz
x
y
z
(7. 82)
E
f ( x, y, z ( x, y ) extremo
(7. 83)
Logo
df
f
f
dx dy 0
x
y
(7. 84)
Ou
df f x dx f y dy f z dz 0
(7. 85)
dg g x dx g y dy g z dz 0
(7. 86)
E
152
7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange
Para maximizar ou minimar f x1 , x2 ,.., xn sem ou com restrições do tipo.
g j x1 ,..., xn 0
Para j 1,..., m temos que no último caso
(7. 87)
f
0 não vale mais. Embora exista ainda
xi
algum
f
0
xi
(7. 88)
Mas ainda posso dizer com certeza que:
df
f
dxi 0
xi
(7. 89)
E para as restrições g temos que g j x1 ,..., xn 0 e então posso escrever:
g j
xi
0
(7. 90)
Logo posso postular a existência de uma sequência
1 , 1 ,...n coeficientes tal
que:
j
g j
xi
0
(7. 91)
Então, redefino a função f escrevendo:
F x1 ,..., xn , 1 ,..., n f j g j
(7. 92)
que pode ser uma transformada de Legendre, tal que:
g j
F f
j
0
xi xi
xi
F
g j x1 , x2 ,..., xn 0
i
153
(7. 93)
logo
g j
f
j
dxi 0
xi
xi
(7. 94)
Para g j x1 ,..., xn 0 e i 1,..., n , e j 1,..., n .
Fazendo
df dg ( f x g x )dx ( f y g y )dy ( f z g z )dz 0
(7. 95)
Logo
f x g x 0
f y g y 0
f z g z 0
(7. 96)
g c
Com
f * ( f g )
(7. 97)
Minimizar f * ( x, y , z , ) e usar g c
Usando o resultado acima e o Teorema das Funções Ímplicitas deve ser possível
provar que:
df j dg j
154
(7. 98)
7.5.3 – Exemplo
f xyz extremo
xy xz yz c
(7. 99)
Logo
f * ( f g )
f * xyz ( xy xz yz )
(7. 100)
Obtemos quatro equações:
yz ( y z ) 0
xz ( x z ) 0
xy ( x y ) 0
(7. 101)
xy xz yz c
Onde
c 2 ( x y z ) 0
x y z c / 2
155
(7. 102)
7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz
Como diferenciar uma função cujos extremos da integral dependem do tempo, ou
seja:
b(t )
I (t )
f ( x, t )dA I (t ) F (a(t ), b(t ), t ) ,
(7. 103)
a (t )
Vejamos primeiro o caso particular:
b(t )
I (t )
f ( x)dx ,
(7.104)
a (t )
Logo
d t
d
I (t ) f ( x)dx [ F (t ) F ( a)] f (t ) ,
dt a
dt
(7.105)
Este corresponde ao teorema fundamental do Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a função I (t ) , onde
I (t ) F (a (t ), b(t ), t ) ,
(7.106)
d
d
d
d
I (t )
f ( x, t )dx I (t ) F (a (t ), b(t ), t ) ,
dt
dt a (t )
dt
dt
(7.107)
Queremos calcular:
b(t )
Logo
F
F
I(t )
a (t )
b(t )
a
b
b
F
t
a
,
(7.108)
a e b mantidos
cons tan tes
Ou
b
I (t ) F a (t ) F b(t ) f ( x, t )dx ,
a
b
t a
a e b mantidos
cons tan tes
156
(7.109)
Calculando
F b
a
f ( x, t )dx f ( x, t )dx
a a a
a b
,
(7.110)
[ F (a (t ), t ) F (b(t ), t )] f (a, t )
a
E
F b
b
f ( x, t )dx f ( x, t )dx
b b a
a a
,
(7.111)
[ F (b(t ), t ) F (a (t ), t )] f (b, t )
b
E
F b
b
f ( x, t )dx f ( x, t )dx
t a a
t a
b
,
f ( x, t )dx [ F (b(t ), t ) F (a(t ), t )]
t
t
a
(7.112)
Portanto, I ' (t ) é dado por:
I ' (t )
b (t )
b (t )
b
d
f
(
x
,
t
)
dA
f
(
x
,
t
)
dx
a
(
t
)
f
(
x
,
t
)
dx
b(t )
dt a(t )
a a(t )
b
a
,
b
(7.113)
f ( x, t )dx
t a
ou
b (t )
b (t )
d
I ' (t )
f ( x, t ) dA
f ( x, t )dx [ F ( a (t ), t ) F (b(t ), t )]a (t )
dt a ( t )
t
a
a (t )
[ F (b(t ), t ) F (a (t ), t )]b(t ) [ F (b(t ), t ) F ( a (t ), t )]
b
t
,
ou
157
(7.114)
b(t )
b(t )
d
I ' (t )
f ( x, t )dA
f ( x, t )dx f (b(t ), t )b(t ) f ( a (t ), t ) a (t )
(7.115)
dt a (t )
t
a (t )
,
158
7.6.1 - Exemplos
159
7. 8 – Exemplos e Aplicações
160
7. 9 – Exercícios e Problemas
161
Capítulo – VIII
CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de
.
8. 1 - Introdução
(8. 1)
(8. 2)
162
8. 2 –Diferenciação de funções escalares
163
8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais
Vamos calcular a derivada de uma função vetorial R , que depende das funções
coordenadas x (t ), y (t ), z (t ) , da seguinte forma:
R R[ x(t ), y (t ), z (t )]
(8. 3)
onde
dR
R[ x' (t ), y ' (t ), z ' (t )]
dt
(8. 4)
dR
R[t t ] R[t ]
lim
dt t 0
t
(8. 5)
ou
conforme mostra a Figura - 8. 1.
Figura - 8. 1
dR R dx(t ) ˆ R dy (t ) ˆ R dz (t ) ˆ
i
j
k
dt x dt
y dt
z dt
164
(8. 6)
8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco
O módulo do comprimento de arco ds é dado por:
ds dr dr .dr
(8. 7)
dr dx(t )iˆ dy (t ) ˆj dz (t )kˆ
(8. 8)
ds dx(t ).dx(t )iˆ.iˆ dy(t ).dy (t ) ˆj. ˆj dz (t ).dz (t )kˆ.kˆ
(8. 9)
ds dx(t ) 2 dy (t ) 2 dz (t ) 2
(8. 10)
E
logo
Ou
Escrevendo em termos da projeção sobre um dos eixos temos:
2
2
dy dz
ds 1 dx
dx dx
(8. 11)
Sendo f ( x ) y ( x ) e g ( x ) z ( x ) temos:
ds 1 f ' ( x) 2 g ' ( x) 2 dx
(8. 12)
Portanto a integral do comprimento do arco é:
x
s ( x) ds 1 f ' ( x) 2 g ' ( x) 2 dx
x0
165
(8. 13)
8.3.2 - Cálculo da variação da Função R ao longo de um comprimento de arco
Seja a variação de R dada ao longo se um arco de comprimento s , cujo
módulo desta variação é dada por:
S R R.R
(8. 14)
dS dR dR.dR
(8. 15)
Tomando o limite temos:
Logo
R
R
R
dR
dx(t )iˆ
dy (t ) ˆj
dz (t )kˆ
x
y
z
(8. 16)
dR R.ds
(8. 17)
dR
R.sˆ
ds
(8. 18)
E
Onde podemos escrever:
Ou notação vetorial:
R
dR
x
R
y
dx(t )
R
dy (t )
z
dz (t )
(8. 19)
logo
2
2
2
R
ˆ ˆ R
ˆ ˆ R
ˆˆ
dR.dR dx(t ) i .i dy (t ) j. j dz (t ) k .k
x
y
z
(8. 20)
Então
2
2
2
R
R
R
dR.dR dx(t ) dy (t ) dz (t )
x
y
z
Portanto,
166
(8. 21)
2
2
2
R
R
R
dS dx(t ) dy (t ) dz (t )
x
y
z
167
(8. 22)
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais
8.4.1 – Integral de linha de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um caminho, cuja integral é
dada por:
I1 f ( x)ds
(8. 23)
C
B
Observe a diferença entre esta integral e a integral sob a curva f(x) dada por: I
f ( x)dx .
A
Observe ainda que para f ( x ) 1 retornamos a integral do comprimento de arco.
x
s ( x) ds 1 f ' ( x) 2 dx
(8. 24)
x0
Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:
I 2 f ( x, y )ds
(8. 25)
C
E
I 3 f ( x, y, z )ds
C
168
(8. 26)
8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F que varia ao longo de um caminho, cuja
integral é dada por:
I1 F ( x).dR
(8. 27)
C
Observe que se a função F depende de da direção iˆ podemos escrever:
F ( x) F ( x)iˆ
(8. 28)
Como R Riˆ a integral se reduz a:
I1 F ( x).dR
(8. 29)
C
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
Se por outro lado a direção da função vetorial F for ŝ , diferente da direção, r̂ da
função posição R sobre a linha a qual está sendo integrada temos:
I1 F ( x) sˆ.dRrˆ
(8. 30)
C
Logo teremos:
I1 F ( x)( sˆ.rˆ)dR F ( x) cosdR
C
C
169
(8. 31)
Caso 2D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 2 F ( x, y ).dR
(8. 32)
C
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y ) Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj
(8. 33)
R( x, y ) Rx ( x, y )iˆ R y ( x, y ) ˆj
(8. 34)
I 2 [ Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj ].[ dRx ( x, y )iˆ dR y ( x, y ) ˆj ]
(8. 35)
E
Teremos:
C
Ficamos com duas integrais independentes:
I 2 Fx ( x, y )dRx ( x, y )iˆ.iˆ Fy ( x, y )dR y ( x, y ) ˆj. ˆj
C
(8. 36)
C
Ou
I 2 i Fx ( x, y )dRx ( x, y )
C
I 2 j Fy ( x, y )dR y ( x, y )
C
170
(8. 37)
Caso 3D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 3 F ( x, y, z ).dR
(8. 38)
C
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y, z ) Fx ( x, y, z )iˆ Fy ( x, y, z ) ˆj Fz ( x, y, z )kˆ
(8. 39)
R( x, y ) Rx ( x, y )iˆ R y ( x, y ) ˆj Rz ( x, y )kˆ
(8. 40)
E
Teremos:
I 3 [ Fx ( x, y )iˆ F y ( x, y ) ˆj Fz ( x, y )kˆ].[dR x ( x, y )iˆ dR y ( x, y ) ˆj dR z ( x, y ) kˆ
C
(8. 41)
Ficamos com três integrais independentes:
I 3 Fx ( x, y ) dR x ( x, y )iˆ.iˆ Fy ( x, y ) dR y ( x, y ) ˆj. ˆj Fz ( x, y )dR z ( x, y )kˆ.kˆ
C
C
C
(8. 42)
Ou
I 3 i Fx ( x, y, z )dRx ( x, y, z )
C
I 3 j Fy ( x, y, z )dR y ( x, y, z )
C
I 3 k Fz ( x, y, z )dR y ( x, y, z )
C
171
(8. 43)
8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco
dS Ru du
172
(8. 44)
8.4.4 - Cálculo de Área
dA Ru Rv dudv
173
(8. 45)
8.4.5 - Cálculo de Volume
dV Rw .Ru Rv dudvdw
174
(8. 46)
8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais
8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de uma superfície, cuja integral é
dada por:
I1 f ( x)dA
(8. 47)
S
xB y B
Observe que esta integral corresponde ao volume sob .......... dada por: I
f ( x)dxdy .
xA y A
Observe ainda que para f ( x, y ) 1 retornamos a integral do comprimento de arco.
A( x, y ) dA
(8. 48)
S
Se a função f depender de vária variáveis (x, y, z) por exemplo, temos as seguintes integrais:
I 2 f ( x, y )dA
(8. 49)
S
E
I 3 f ( x, y, z )dA
S
175
(8. 50)
8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F que varia ao longo de uma superfície,
cuja integral é dada por:
I1 F ( x).dA
(8. 51)
S
Observe que se a função F depende de da direção iˆ podemos escrever:
F ( x) F ( x)iˆ
(8. 52)
Como A Aiˆ a integral se reduz a:
I1 F ( x).dA
(8. 53)
S
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
Se por outro lado a direção da função vetorial F for ŝ , diferente da direção, n̂
da função área A sobre a superfície a qual está sendo integrada temos:
I1 F ( x) sˆ.dArˆ
(8. 54)
S
Logo teremos:
I1 F ( x)( sˆ.rˆ)dA F ( x) cosdA
S
S
176
(8. 55)
Caso 2D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 2 F ( x, y ).dA
(8. 56)
S
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y ) Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj
(8. 57)
A( x, y ) Ax ( x, y )iˆ Ay ( x, y ) ˆj
(8. 58)
I 2 [ Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj ].[dAx ( x, y )iˆ dAy ( x, y ) ˆj ]
(8. 59)
E
Teremos:
C
Ficamos com duas integrais independentes:
I 2 Fx ( x, y )dAx ( x, y )iˆ.iˆ Fy ( x, y )dAy ( x, y ) ˆj. ˆj
S
(8. 60)
S
Ou
I 2 i Fx ( x, y )dAx ( x, y )
S
I 2 j Fy ( x, y )dAy ( x, y )
S
177
(8. 61)
Caso 3D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 3 F ( x, y, z ).dA
(8. 62)
S
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y, z ) Fx ( x, y, z )iˆ Fy ( x, y, z ) ˆj Fz ( x, y, z )kˆ
(8. 63)
A( x, y ) Ax ( x, y )iˆ Ay ( x, y ) ˆj Az ( x, y )kˆ
(8. 64)
E
Teremos:
I 3 [ Fx ( x, y )iˆ F y ( x, y ) ˆj Fz ( x, y ) kˆ].[ dAx ( x, y )iˆ dA y ( x, y ) ˆj dAz ( x, y ) kˆ]
C
(8. 65)
Ficamos com três integrais independentes:
I 3 Fx ( x, y ) dAx ( x, y )iˆ.iˆ Fy ( x, y )dA y ( x, y ) ˆj. ˆj Fz ( x, y ) dAz ( x, y ) kˆ.kˆ
C
C
C
(8. 66)
Ou
I 3 i Fx ( x, y, z )dAx ( x, y, z )
C
I 3 j Fy ( x, y, z )dAy ( x, y, z )
C
I 3 k Fz ( x, y, z )dAy ( x, y, z )
C
178
(8. 67)
8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco
dS Ru du
179
(8. 68)
8.5.4 - Cálculo de Área
dA Ru Rv dudv
180
(8. 69)
8.5.5 - Cálculo de Volume
dV Rw .Ru Rv dudvdw
181
(8. 70)
8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais
8.6.1 – Integral de volume de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um volume, cuja integral é
dada por:
I1 f ( x)dV
(8. 71)
B
Observe que esta integral corresponde a um hipervolume sob o volume f(x) dada por:
xB y B z B
I
f ( x)dxdydz .
Observe ainda que para f ( x, y ) 1 retornamos a integral do
xA y A z A
comprimento de arco.
V ( x, y, z ) dV
(8. 72)
B
Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:
I 2 f ( x, y )dV
(8. 73)
B
E
I 3 f ( x, y, z )dV
B
182
(8. 74)
8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F que varia ao longo de um volume, cuja
integral é dada por:
I1 F ( x)dV
(8. 75)
B
Observe que se a função F depende de da direção iˆ podemos escrever:
F ( x) F ( x)iˆ
(8. 76)
I1 F ( x)iˆdV
(8. 77)
logo a integral se reduz a:
B
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
183
Caso 2D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 2 F ( x, y ).dV
(8. 78)
B
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y ) Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj
(8. 79)
V V ( x, y , z )
(8. 80)
I 2 [ Fx ( x, y )iˆ Fy ( x, y ) ˆj ].dV
(8. 81)
E
Teremos:
B
Ficamos com duas integrais independentes:
I 2 Fx ( x, y )iˆdV Fy ( x, y ) ˆjdV
B
(8. 82)
B
Ou
I 2 i Fx ( x, y )iˆdV
S
I 2 j Fy ( x, y ) ˆjdV
S
184
(8. 83)
Caso 3D
Se a função F depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
I 3 F ( x, y, z ).dV
(8. 84)
B
Observe que a se função F varia diferentemente nas direções iˆ e ˆj temos:
F ( x, y, z ) Fx ( x, y, z )iˆ Fy ( x, y, z ) ˆj Fz ( x, y, z )kˆ
(8. 85)
V V ( x, y , z )
(8. 86)
I 3 [ Fx ( x, y )iˆ F y ( x, y ) ˆj Fz ( x, y ) kˆ ]dV
(8. 87)
E
Teremos:
B
Ficamos com três integrais independentes:
I 3 Fx ( x, y )iˆdV . Fy ( x, y ) ˆjdV Fz ( x, y )kˆdV
C
C
C
(8. 88)
Ou
I 3 i Fx ( x, y, z )iˆdV
B
I 3 j Fy ( x, y, z ) ˆjdV
B
I 3 k Fz ( x, y, z )kˆdV
B
185
(8. 89)
8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco
dS Ru du
186
(8. 90)
8.6.4 - Cálculo de Área
dA Ru Rv dudv
187
(8. 91)
8.6.5 - Cálculo de Volume
dV Rw .Ru Rv dudvdw
188
(8. 92)
8. 7 – Exemplos e Aplicações
189
8. 8 – Exercícios e Problemas
190
Capítulo – IX
TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL
E TENSORIAL DE FUNÇÕES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de .
9. 1 - Introdução
(9. 1)
(9. 2)
191
9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial
Seja u x, y, z um campo escalar definido em uma região R. A natureza física de
u pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que u seja um campo de
temperaturas de um meio material, conforme mostra Figura - 9. 1.
Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de
temperaturas u.
Focando nossa atenção sobre um ponto particular P x, y, z no meio, vamos
introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 1, e
vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática
ao invés de um volume de presença física e este é introduzido para efeito de cálculos, de tal
forma que mantenhamos a trilha de alguma quantidade de interesse, tal como massa, carga
elétrica, ou calor, por exemplo.
Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle
B, como sendo:
ˆ
I nudA
(9. 3)
S
onde n̂ é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,
conforme mostrado na Figura - 9. 1.
O vetor integral I representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o
vetor normal n̂ como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I de uma integral de fluxo
de volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor
campo de velocidades v x, y, z , t possui um campo de densidade escalar x, y, z , t
192
associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou
seja:
d
ˆ
I
undA
dt S
(9. 4)
Vamos agora dividir o vetor integral I , por unidade de volume. Finalmente, nós
vamos encolher B para o ponto P e obter o vetor integral I por unidade de volume no ponto
P. Este resultado é chamado de gradiente de u no ponto P é definido como:
1
ˆ
nudA
B 0 V
S
grad u P lim
(9. 5)
onde B 0 significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão
linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( B 0 ).
Observe que grad u P é um vetor em cada ponto P desde que n̂ , é vetor e dA e
v são escalares. Então, grad u é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo
escalar u.
Observe que (9. 5) fornece uma definição do grad u intrínseca ou invariante
independente do sistema de coordenadas de referência.
.......
Pegar texto da apostila de Mecânica dos Fluidos
193
9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente
Nós vimos na secção anterior a operação do operador nabla ou “del” sobre
um campo vetorial v . Podemos imaginar qual seria o efeito do operador nabla sobre um
campo escalar u . Para isso nós devemos introduzir neste ponto o conceito da tão chamada
derivada direcional de um campo escalar u x, y, z porque esta nos ajudará a entender a
definição do gradiente de u .
9.3.1 – Derivada Direcional
Considere
uma
curva-C
no
espaço,
dada
pelas
funções
coordenadas
x x s , y y s e z z s , ] as quais são parametrizada pela distância s, da seguinte
forma:
x( s ); y ( s ); z ( s )
curva
u ( x, y, z )
(9. 6)
onde s é o comprimento de arco ao longo de C a partir de algum ponto de referência sobre C,
e nós desejamos computar a taxa de variação du / ds ao longo de C. Pela regra de derivação
da cadeia nós temos:
du
u dx u dy u dz
x s , y s , z s
ds
x ds y ds z ds
(9. 7)
cuja fórmula permanece porque nós temos suposto que u x, y, z seja de classe C1. Isto é, a
regra de derivação da cadeia, é essencialmente um fórmula de interpolação, onde du / ds é
computada como uma combinação linear das taxas de variação de u / x, u / y e u / z nas
direções coordenadas ortogonais. Para tal interpolação ser válida, nós seguramente
necessitamos de que as três derivadas parciais sejam contínuas no ponto em questão e isto é
porque nós supomos u x, y, z sendo de classe C1. De fato, tipicamente os campos escalares
que aparecem nas aplicações são realmente de classe C 1, talvez com rupturas e um ou mais
pontos isolados.
Continuando, observe que o lado direito de (9. 7) é um produto escalar do tipo:
du u ˆ u ˆ u ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ
i
j k . i
j k
ds x
y
z ds
ds
ds
194
(9. 8)
Podemos reescrever como:
du u ˆ u ˆ u ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ
i
j k . i
j k
ds x
y
z ds
ds
ds
(9. 9)
O primeiro vetor no lado direito é u , e o segundo é dR / ds , onde
R s x s iˆ y s ˆj z s kˆ
(9. 10)
é o vator posição a partir da origem para o ponto P x s , y s , z s sobre C. Observe
que dR / ds é um vetor tangente a C em P, e este é um vetor unitário porque,
dR
R
lim
s 0 s
ds
(9. 11)
logo
R
dR
R
R
lim
lim
lim
1
s
0
s
0
s 0 s
ds
s
s
(9. 12)
dado pela definição de comprimento de arco conforme mostra a Figura - 9. 2.
Figura - 9. 2.
Logo
du
dR
u.
ds
ds
(9. 13)
Se s for o comprimento ds dR , logo
195
dR
sˆ
ds
(9. 14)
Se nós denotarmos que o vetor tangente unitário dR / ds como ŝ a equação (9. 13) torna-se
du
dR
u.
u.sˆ
ds
ds
(9. 15)
observe que o gradiente de u é um vetor e a derivada direcional é um escalar.
Portanto,
du
u.sˆ
ds
(9. 16)
Desta forma, o gradiente de um campo escalar, é definido como sendo o
operador nabla aplicado a esse campo escalar da seguinte forma:
grad
(9. 17)
9.3.1 - Interpretação do Gradiente
Considere qualquer ponto P na região através da qual um campo escalar u de
classe C1 é definido. Suponha que u 0 em P e que existe em u constante (superfície de
u constante) através de P e o plano tangente T conforme mostra a
Figura - 9. 3.
Por exemplo, u é um campo de temperatura então S é uma “superfície isoterma”. Se ŝ em P,
é escolhido como qualquer vetor no plano tangente T, então seguramente du/ds deve ser zero.
Desde que:
196
du
u.sˆ 0
ds
(9. 18)
Para todo ŝ em P no plano tangente, e ambos u e ŝ são não nulos, segue-se que u é
normal ao plano tangente T e portanto também à superfície S em P.
Se dizemos que ŝ está no plano tangente nós sabemos que u é normal a S,
então para buscarmos a informação adicional sobre u parece lógico fazer ŝ está ao longo
da linha normal em P, e dizer que esta está na direção do aumento de u, por definição. Então
escrevendo du / dn e n̂ para du / ds e ŝ , respectivamente (9. 18) fornecerá:
du
u.nˆ
dn
u cos
(9. 19)
du
u
dn
(9. 20)
onde 0 , logo
tal que a magnitude do gradiente de u , ou seja, u é a derivada direcional de u ao longo
da linha normal a S na direção do aumento de u.
Em resumo nós podemos dizer isto sobre o gradiente de u, ou u , de um campo
escalar u x, y, z no ponto P:
Ssua direção é normal a superfície de u = constante através de P, na direção do
aumento de u, e sua magnitude é igual a derivada direcional du / dn naquela direção.
Suponhamos um campo de temperatura, u,
Figura - 9. 4.
197
Seja a derivada direcional na direção s, dada por:
du
u.sˆ
ds
(9. 21)
du
u nˆ.sˆ
ds
(9. 22)
du
u cos
ds
(9. 23)
Podemos reescrever:
Logo
Tomemos uma direção s, perpendicular ao gradiente, logo
du
u.sˆ 0 u sˆ
ds
(9. 24)
E a derivada de u na direção normal é dada:
du
u.nˆ u
dn
(9. 25)
du
u cos
ds
(9. 26)
Portanto,
Figura - 9. 5.
198
9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície
Seja uma superfície z f x, y , conforme mostra a Figura - 9. 6
Figura - 9. 6. Superfície
z f x, y em um sistema de coordenadas cartesianas.
Deseja-se calcular a direção do vetor normal nˆ nx , n y , nz erpendicular a
superfície no ponto P xo , yo , zo .
Para isso fazemos:
F x, y , z z f x , y 0
(9. 27)
Aplicando o gradiente da função F x, y, z obtemos:
F x , y , z
F ˆ F ˆ F ˆ
i
j
k
x
y
z
(9. 28)
f ˆ f ˆ z ˆ
i
j k
x
y
z
(9. 29)
Logo
F x , y , z
O vetor normal a superfície é dado por:
f f
f f
z z ˆˆ
F x, y, z iiˆˆ ˆˆ
jj kk
x x
z z
y y
f f f f z z
F x, y, z 1 1 1
x x y y z z
ou
199
(9. 30)
2
2
2
2
f f z
F x, y , z
x y z
2
(9. 31)
f f
F x, y, z 12
x y
Portanto, o vetor normal n̂ ’é dado por:
f ˆ f ˆ z ˆ
x i y j z k
nˆ x, y, z
2
2
f f
2
1
x
y
(9. 32)
Esta equação calcula os vetores normais a superfície f x, y em qualquer ponto. Portanto,
para o ponto particular P xo , yo , zo , basta substituir as coordenadas do ponto, da seguinte
forma:
f
f
ˆj kˆ
iˆ
x x x
y y yo
o
nˆ xo , yo , zo
2
2
f
f
12
x x xo y y y
o
200
(9. 33)
9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial
Seja v x, y, z um campo vetorial definido em uma região R. A natureza física de
v pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que v seja um campo de
velocidades de um fluido, conforme mostra Figura - 9. 7.
Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de
velocidades v .
Focando nossa atenção sobre um ponto particular P x, y, z no fluxo, vamos
introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 7, e
vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática
ao invés de um volume de presença física e este é normalmente introduzido para efeito de
cálculos, de tal forma que mantenhamos a trilha do fluxo de alguma quantidade de interesse,
tal como massa, carga elétrica, ou calor, por exemplo.
Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle
B, como sendo:
I nˆ.vdA
(9. 34)
S
onde n̂ é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,
conforme mostrado na Figura - 9. 7.
A integral I representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o vetor
normal n̂ como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I de uma integral de fluxo de
volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor
campo de velocidades v x, y, z , t possui um campo de densidade escalar x, y, z , t
associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou
seja:
201
I
d
ˆ
v .ndA
dt S
(9. 35)
Vamos agora dividir a integral do fluxo por unidade de volume V de B para obter
o fluxo líquido por unidade de volume. Finalmente, nós vamos encolher B para o ponto P e
obter o vetor integral I por unidade de volume no ponto P. Este resultado é chamado de
divergente de v no ponto P é definido como:
1
ˆ
div v P lim v .ndA
B 0 V
S
(9. 36)
onde B 0 significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão
linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( B 0 ).
Observe que div v P é um vetor em cada ponto P desde que n̂ , é vetor e dA e v
são escalares. Então, div v é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo
vetorial v .
Observe que (9. 5) fornece uma definição do div v intrínseca ou invariante
independente do sistema de coordenadas de referência.
202
Considere a seguinte integral de superfície
I nˆ.v dA
(9. 37)
S
Conforme mostra a Figura - 9. 8
Figura - 9. 8.
Definimos o divergente de um campo vetorial como sendo:
1
div v ( P ) lim nˆ.v dA
B 0 V
S
(9. 38)
onde B é uma região do volume V e S é a superfície que cobre o volume.
Figura - 9. 9.
O operador nabla é definido em coordenadas cartesianas como:
, ,
x y z
(9. 39)
v y v z
v
.v x
x
y
z
(9. 40)
logo
203
9.2.1 - Interpretação do Divergente
O divergente representa a conservação do volume, pois no caso de deformações
define-se a incompressibilidade como sendo dada por:
.v 0
(9. 41)
No caso de materiais sólidos a conservação do volume implica em um módulo de Poisson =
0.5.
0 rarefeito
.v 0 incompressível
0 comprimido
204
(9. 42)
9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial
O rotacional de um campo vetorial é definido como:
iˆ
rotv v
x
v x
ˆj
y
vy
kˆ
z
v z
(9. 43)
Ou
v y v x v z v y v x ˆ
v
iˆ
k
v z
ˆj
y
z
z
x
y
x
205
(9. 44)
9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss
O teorema da divergência estabelece que:
ˆ
div
v
dV
n
.
v
dA
V
(9. 45)
S
e
1
div v ( P ) lim nˆ.v dA
B 0 V
S
(9. 46)
dv
div v x
dx
(9. 47)
9.5.1 - Em 1D
e
b
dv x
div v dV dx dx v x (b) v x (a)
a
(9. 48)
9.5.2 - Aplicação
Considere um fluido dentro de um “volume de controle”
onde
dm dV
(9. 49)
m dm dV
(9. 50)
e
m
V
Logo
206
dm d
dV
dt dt
V
(9. 51)
d
dV nˆ.v dA
dt V
S
(9. 52)
Logo
e
t dV nˆ.v dA .v dV
(9. 53)
dV
.
v
dV
t
V
V
(9. 54)
.v dV 0
(9. 55)
V
S
V
Logo
Então,
t
V
Como o volume de controle é arbitrário temos:
.v 0
t
(9. 56)
Ou
v. .v 0
t
(9. 57)
d
dt
Logo
v. .v 0
t
d
dt
207
(9. 58)
d
.v 0
dt
(9. 59)
d
v. 0
dt t
(9. 60)
E
Logo
.v 0
(9. 61)
Para um fluido incompressível temos:
.v 0
(9. 62)
208
9. 6 – Identidades de Green
Considere os escalares u e v onde uv é um campo vetorial. Usando o Teorema
da Divergência de Gauss.
.uv dV nˆ.uv dA
V
(9. 63)
S
onde
v
.uv u 2 v u v .nˆ u
n
(9. 64)
i) Para uv temos:
v
dA
n
(9. 65)
u
.
v
u
v
u
dV
v
ndA
(9. 66)
.uv u
2
v dV u
V
S
A 1ª Identidade de Green.
ii) Para vu temos:
2
V
S
Subtraindo (9. 65) de (9. 66) temos:
u
V
2
v
u
v v 2u dV v u dA
n
n
S
A 2ª Identidade de Green.
209
(9. 67)
9. 7 – Teorema de Stokes
Considere a seguinte Integral de Linha:
I v .dR 0
(9. 68)
C
Onde
I v .dR v .dR
ida
(9. 69)
volta
O Teorema de Stokes estabelece que:
ˆ
n
.
rot
v
dA
v
.dR
S
(9. 70)
C
e
ˆ
n
.
v
dA
v
.dR
S
(9. 71)
C
Prova para o Caso 2D
Aplicando o Teorema da Divergência 2D.
ˆ .Vds
.
V
dA
N
S
(9. 72)
C
para
V x V y
x y dA N xVx N yV y ds
S
C
(9. 73)
Vx ,V y v y , v y
(9. 74)
Definindo
e
210
v y v x
x y dA v x , v y . N y , N x ds
S
C
(9. 75)
Figura - 9. 10
logo
v y v x
x y dA v . ds
S
C
(9. 76)
Portanto,
ˆ
v
.
n
dA
v
.dR
S
(9. 77)
C
O Teorema da Divergência é para superfície fechada enquando o Teorema de Stokes é para a
Superfície Aberta.
211
9. 8 – Teorema de Green
Considere o Teorema de Stokes:
ˆ
v
.
n
dA
v
.dR
S
(9. 78)
C
O Teorema de Green é deduzido a partir do Teorema de Stokes supondo:
v P ( x, y )iˆ Q( x, y ) ˆj
(9. 79)
Q P
x y dA Pdx Qdy
S
C
(9. 80)
logo
212
9. 9 – Campos Irrotacionais
213
9. 10 – Teorema Equivalentes
214
9. 11 – Exemplos e Aplicações
215
9. 12 – Exercícios e Problemas
216
Capítulo – X
SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS
TRANSFORMADAS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de seqüência e série de funções,
como uma forma de expressar uma determinada função em uma base de funções ortogonais
de dimensão infinita denominado de espaço de Hilbert .
10. 1 -Introdução
O espaço de funções é isomorfo (possui a mesma forma) do espaço vetorial.
Logo, qualquer função pode ser escrita em termos de uma base de funções. Normalmente uma
base de funções possui infinitos termos a qual define uma seqüência de funções que quando
utilizadas para expressar uma função particular nesta base dá origem a uma série chamada de
Serie de funções.
Dentre a série de funções que pode ser utilizadas como uma base para expressar
uma função particular tem: a Série de Potências, a Série de Laplace, e a Série de Fourier.
Cada uma delas pode gerar o que chamamos de transformadas, quando expressamos os
coeficientes destas séries em termos da função particular original.
217
10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de
Funções
218
10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções
Ortogonais
10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais
Seja a seguinte sequência
n o ,1 ,...,n ,...
(10. 1)
n n (x)
(10. 2)
onde
uma seqüência de funções definidas em [a,b]. Esta sequência é dita ortogonal se
para todo n e
n 0
n ,m 0 para todo n m .
Usamos também a notação
n m para significar n ,m 0 . No caso
n 1 para todo n a sequência é dita ortonormal.
Dada uma sequência ortogonal
n
n resulta que a seqüência n , onde
n ( x)
,
n ( x)
(10. 3)
é ortonormal.
Exemplos:
A seqüência
n ( x) 1, cos nx , s en nx
E l x l,
L
L n1, 2,...
l 0 , é ortogonal
219
(10. 4)
10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais
Seja a seguinte série
n , n n ( x),
a xb
(10. 5)
uma seqüência de funções ortogonais.
Seja f(x) definida em [a,b]. A Série de Fourier de f(x) relativamente à seqüência
ortogonal
n é por definição a série
cnn ( x)
(10. 6)
n 0
onde
cn
f ,n
n ( x)
2
,
(10. 7)
Os cn são chamados os coeficientes de Fourier de f(x) relativamente à sequência
n . Usaremos a notação
f ( x) ~ cnn ( x)
n 0
220
(10. 8)
10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais
Seja
n (x) numa série de funções linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
f ( x) ao a11 ( x) a 22 ( x) ... a nn ( x) ...
(6. 110)
ou
ak k ( x)
f ( x)
(6. 111)
k
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por
f ( x)l dx l
l e integra-se desde zero até infinito,
akk dx
(6. 112)
k
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
ak lk dx
f ( x)l dx r
Como as funções
(6. 113)
l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:
f ( x)l dx
ak kl
(6. 114)
k
Logo para l = k temos:
ak
f ( x)l dx
221
(6. 115)
10. 4 - Série e Transformada de Potência
numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
Seja x
n
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
f ( x) ao a1 x a2 x 2 ... an x n ...
(10. 9)
ou
f ( x) an x n
(10. 10)
n 0
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por x
m
e integra’-se desde zero até infinito,
m
f ( x) x dx x m ai x n dx
0
0
(10. 11)
i 0
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
f ( x) x m dx
0
Como as funções x
m
m 0
0
am x m x n dx
(10. 12)
n
e x são ortogonais exceto para o caso de i = n, temos:
f ( x) x
m
dx am nm
(10. 13)
i 0
0
Logo para n = m temos:
an f ( x) x n dx
0
222
(10. 14)
10. 5 - Série e Transformada de Laplace
numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
Seja e
st
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
f (t ) ao a1e t a 2 e 2t ... an e nt ...
(10. 15)
ou
f (t ) a s e st
(10. 16)
s 0
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por e
rt
e integra’-se desde zero até infinito,
rt
f (t )e dt e rt a s e st dt
0
0
(10. 17)
s 0
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
0
Como as funções e
rt
s 0
0
f (t )e rt dt a s e rt e st dt
ee
st
(10. 18)
são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:
f (t )e
rt
dt a s sr
(10. 19)
s 0
0
Logo para r = s temos:
a s f (t )e st dt
0
223
(10. 20)
10. 6 - Série e Transformada de Gauss
k kx 2
Seja x e
numa série de polinômios linearmente independentes formando
uma base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo
podemos expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das
funções da base, ou seja:
2
2
2
f ( x) ao a1 xe x a2 x 2 e 2 x ... an ex n e nx ...
(10. 21)
ou
f ( x) ak x k e kx
2
(10. 22)
k 0
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
i ix 2
Multiplica-se a série em ( ) por x e
i ix 2
f ( x) x e
i ix 2
dx x e
0
e integra’-se desde zero até infinito,
2
ak x k e kx dx
(10. 23)
k 0
0
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
i ix 2
f ( x) x e
k 0
0
i ix 2
Como as funções x e
2
2
dx a k x i e ix x k e kx dx
k kx 2
e x e
0
0
são ortogonais exceto para o caso de i = k, temos:
i ix 2
f ( x) x e
(10. 24)
dx ak ik
(10. 25)
k 0
Logo para i = k temos:
2
ak f ( x) x k e kx dk
0
224
(10. 26)
10. 7 - Série e Transformada de Fourier
10.7.1 - Série de Fourier
numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
Seja e
ikx
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
f ( x) ao a1e ix a2 e i 2 x ... a n e inx ...
(10. 27)
ou
f ( x)
ak e ikx
(10. 28)
k
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por e
f ( x)e irx dx e irx
irx
e integra-se desde zero até infinito,
ak e ikx dx
(10. 29)
k
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
f ( x )e
irx
Como as funções e
irx
ee
ikx
dx
r
ak e irx e ikx dx
(10. 30)
são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:
225
f ( x )e
irx
ak kr
dx
(10. 31)
k
Logo para r = k temos:
ak
f ( x )e
ikx
dx
226
(10. 32)
10.7.2 – Integral de Fourier
A Série de Fourier se aplica a Funções Periódicas. Contudo, quando uma função
não é periódica como a função gaussiana, por exemplo, como podemos expressar essa função
em termos de senos e cossenos?
A resposta a essa pergunta está em se considerar um período infinito da seguinte
forma:
Seja a Série:
n
f ( x) a n cos
L
n 0
n
x bn sen
L
x
(10. 33)
O conjunto de frequências na série é dado pela freqüência angular:
n
L
(10. 34)
Para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6..são:
2 3 4
0, , , , ,....
L L L L
(10. 35)
O espectro de freqüência.
Vejamos o que ocorre quando aumentamos L:
n
0,1,2,3,4,....
L
n
L 2 :
0,0.5,1.0,1.5,2.0,....
L
:
n
L 10 :
0,0.1,0.2,0.3,0.4....
L
L :
(10. 36)
ou seja, quando L , o espectro vai sendo preenchido, tornando-se uma variável
contínua. A soma no índice n passa a ser uma integral em
n
, logo
L
f ( x) a n cosx bn sen x d
0
e d / L , onde
227
(10. 37)
1
a ( ) f ( x) cosx dx
1
b( ) f ( x) sen x dx
228
(10. 38)
10.7.3 – Transformada de Fourier
Considere a seguinte integral de Fourier:
f ( x) a n cosx bn sen x d
(10. 39)
0
e d / L , onde
1
a ( ) f ( x) cosx dx
1
b( ) f ( x) sen x dx
(10. 40)
Seja
1
f ( x) f ( ) cos cosx d d
0
1 1
f ( ) sen x d sen x d
0
(10. 41)
Ou
1
f ( x) f ( )cos cosx sen sen x d d
0
(10. 42)
Ou ainda
1
f ( x) f ( )cos cosx sen sen x d d
0
(10. 43)
1
f ( x) f ( ) cos ( x) d d
0
(10. 44)
Logo
Usando a representação eponenecial temos:
229
1
1
f ( x) f ( ) e i ( x ) e i ( x ) d d
0
2
(10. 45)
(10. 46)
Ou
1
f ( x)
2
f ( )e
i ( x )
e i ( x ) d d
0
Ou ainda
1
f ( x)
2
Trocando
f ( )e
i ( x )
0
1
d d
2
f ( )e
i ( x )
d d
(10. 47)
0
por por:
1
f ( x)
2
f ( )e
i ( x )
1
d (d )
2
0
f ( )e
i ( x )
d d
0
(10. 48)
Invertendo os limites de integração temos:
1
f ( x)
2
0
f ( )e
i ( x )
1
d d
2
f ( )e
i ( x )
d d
(10. 49)
0
Logo
1
f ( x)
2
f ( )e
i ( x )
d d
(10. 50)
Separando temos:
1
f ( x)
2
1
2
ix
i
f
(
)
e
d
e d
(10. 51)
Chamando de
1
fˆ ( )
2
f ( )e
i
Portanto,
230
d
(10. 52)
1
2
f ( x)
Voltando de
fˆ ( )e
ix
d
(10. 53)
ix
d
(10. 54)
x temos:
A Transformada de Fourier Direta
1
f ( x)
2
fˆ ( )e
E a Transformada de Fourier Inversa
1
fˆ ( )
2
f ( x )e
i
dx
(10. 55)
Seja uma função f(x) a qual associamos uma outra função F(k). Definimos a
Transformada de Fourier de uma função f(x) como sendo a função F(k), dada por:
1
F (k )
2
f ( x )e
ikx
dx
(10. 56)
Onde
f ( x) dx
(10. 57)
E a transformação inversa de
1
f ( x)
2
F ( k )e
ikx
231
dx
(10. 58)
10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier
232
10. 8 - Exemplos e Aplicações
10.8.1 - Exemplo – 1
Considere a viga de uma ponte com cargas descontínuas conforme mostra a
Figura - 10. 1
Figura - 10. 1
Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?
233
10.8.2 - Exemplo – 2
Considere um oscilador harmônico forçado com uma função F(t) na forma de uma
onda retangular, conforme mostra a Figura - 10. 2
Figura - 10. 2
A equação diferencial do problema é:
mx cx kx F (t )
(10. 59)
onde m = 1; c = 0,04; k = 15.
x 0.04 x 15 x F (t )
(10. 60)
Solução
Considerando a função F(t) na forma de Série de Fourier temos:
n
F (t ) ao a n cos
t
L
n 1
(10. 61)
Para L temos:
F (t ) ao a n cosnt
(10. 62)
n 1
Onde
1
ao
2
x
F (t )dt
e
234
(10. 63)
1a 1
1
ao dt
0 2a
2
(10. 64)
1
ao
2
E
1
2a 1
an F (t ) cosnt dt cosnt dt
0 2a
1 sen na
an
a
n
(10. 65)
Portanto,
1
sen na
F (t )
cosnt
2 n1 na
(10. 66)
Portanto, a solução x é do tipo:
x xh x p1 x p 2 ... x pN
(10. 67)
xh 0.04 x h 15 xh 0
(10. 68)
x h ~ e t
(10. 69)
2 0,04 15 0
(10. 70)
Onde:
Onde
e
Com
1
0,04
0,042 60
2
e
235
(10. 71)
a bi
1
a bi
(10. 72)
xh e at A cos(bt ) B sen(bt )
(10. 73)
Onde
Para o forçante:
F (t ) cosnt
(10. 74)
temos:
x 0.04 x 15 x
1 sen na
cosnt
a
n
(10. 75)
e
x p B1 cos(nt ) B2 sen(nt )
cuja solução geral é:
236
(10. 76)
10.8.3 - Exemplo – 3
Considere a viga infinita de fundação elástica com cargas descontínuas conforme
mostra a
Figura - 10. 1,
Figura - 10. 3
Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?
cuja equação é:
EIu
''''
Força Interna
p ( x)
Força Externa
(10. 77)
Para
p ( x) w( x) ku ( x)
(10. 78)
EIu ( x)' ' ' ' ku ( x) w( x)
(10. 79)
wo 2 wo sen n / 2 n
w( x)
n cos a x
2
n1
(10. 80)
torna-se:
Onde
Com período T 4a
Supondo
n
u ( x) ao an cos
x
2a
n 1
Substituindo na Equação Diferencial temos:
237
(10. 81)
4
n
n
n wo
EIao EI a n
x kao k an cos
x
cos
2a
2a
2a 2
n 1
n 1
2 wo sen n / 2 n
n cos a x
n1
(10. 82)
Examinado os coeficientes temos:
kao
wo
2
(10. 83)
n 4
2 wo sen n / 2
EI
k
an
2
a
n
Logo
wo
2k
1
2 w sen n / 2
an o
n
n 4
k
EI
2a
ao
(10. 84)
Portanto,
u ( x)
wo 2 wo 4
sen n / 2
n
cos
a
2k n 1 n 4
2a
n EI
k
2a
x
(10. 85)
Ou
wo 32wo a 4
sen n / 2
n
u ( x)
cos
x
4
4
2k
2a
n1 n EI n 16wo a k
(10. 86)
Ou aproximadamente:
wo
32wo a 4
u ( x)
2k EI 4 16wo a 4 k
238
n
cos
2a x
(10. 87)
10.8.4 - Exemplo - 4
Considere uma carga de intensidade wo que atua sobre uma viga, conforme mostra
a
Figura - 10. 4.
Figura - 10. 4
cuja deformação e dada pela equação:
EIu ( x)' ' ' ' ku ( x) w( x)
(10. 88)
wo ; x 1
w( x)
0; x 1
(10. 89)
Onde
Ou usando a função de Heaviside, H ( x xo ) :
w( x) wo H ( x 1) H ( x 1)
Figura - 10. 5
239
(10. 90)
A função w(x) pode ser escrita em termoa da integral de Fourier como:
1
w( x) a( ) cos(x) b( ) sen(x)d
0
(10. 91)
onde b( ) 0 logo
1
w( x) a ( ) cos(x)d
0
(10. 92)
E
1 1
a ( ) wo cos(x)dx
1
2 wo 1
2 w sen( )
cos(x)dx o
0
(10. 93)
logo
1 2 wo sen( )
w( x)
cos(x)d
0
(10. 94)
Ou
2 w sen( )
w( x) 2o
cos(x)d
0
(10. 95)
sabemos que u(x) deve ser par, logo:
1
u ( x) A( ) cos(x)d
0
(10. 96)
1
u ' ' ' ' ( x) A( ) 4 cos(x) d
0
(10. 97)
E
logo
240
1
1
EI A( ) 4 cos(x) d k A( ) cos(x)d
0
0
2 w sen( )
2o
cos(x)d
0
(10. 98)
Portanto,
1
2 w sen( )
EIA( ) 4 kA( ) o
cos(x)d 0
0
(10. 99)
x , então:
2 w sen( )
EIA( ) 4 kA( ) o
0
(10. 100)
2 w sen( )
A( ) o
4
EI k
(10. 101)
Logo:
Portanto a solução da Equação Diferencial é:
2 wo sen( )
u ( x) 2
cos(
x
)
d
4
0 EI k
241
(10. 102)
10. 9 – Exemplos e Aplicações
242
10. 10 - Exercícios e Problemas
243
Capítulo – XI
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
11. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
11. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
244
11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação
11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma relação que envolve uma função incógnita e suas
derivadas ou diferenciais dessa função
Exemplos:
1)
y (t ) f (t )
(11. 1)
y(t ) y (t ) 0
(11. 2)
y(t ) ( sent ) y(t ) 5ty (t ) 0
(11. 3)
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
0
x 2
t 2
(11. 4)
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
(11. 5)
2)
3)
4)
5)
245
11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais
i) Quanto as Variáveis Independentes
a) Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) – A função incógnita depende apenas de uma
variável independente: y = f(x).
b) Equação Diferencial Parcial (E.D.P.) – A função incógnita depende de duas ou mais
variáveis independentes: y = f(x, y, z, t).
Exemplo:
EI
d 4u
dx 4
q
(11. 6)
Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso.
ii) Quanto a Ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que aparece
na equação. Por exemplo, a equação diferencial em (11. 6) é de quarta ordem.
Exemplos:
1) u u ( x ) ou u u (t )
EDO de 1ª Ordem
(11. 7)
u' 1 u
EDO de 2ª Ordem
246
u ' '4u x
(11. 8)
mu cu Ru f (t )
(11. 9)
EDO de 2ª Ordem
iii) Quanto ao Grau
O grau de uma equação diferencial é a potência a que se acha elevada a derivada
de ordem mais alta.
Exemplos:
EDO de 1ª Ordem e do 2º Grau
(u ' ) 2 u '2u x 2
(11. 10)
2) u = u(x, y, z)
EDP de 2ª Ordem e 1º Grau
2u
x 2
2u
y 2
2u
z 2
0
(11. 11)
ou
2u 0
(11. 12)
onde o operador 2 é chamado de Laplaciano.
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
iv) Quanto aos Coeficientes das Derivadas
a) Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes.
247
(11. 13)
b) Quase-Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes e/ou das variáveis
dependentes, mas não de suas derivadas.
c) Não-Lineares – Os coeficientes dependem das derivadas das variáveis dependentes
Exemplos:
Linear:
a( x)
df
b( x ) f c ( x ) 0
dx
(11. 14)
f ( x)
df
b( x ) f c ( x ) 0
dx
(11. 15)
Quase-Linear:
Não-Linear:
f 2 f f 2 f
2 2 d ( x, y ) 0
x y
y x
(11. 16)
OBS: Uma equação linear é sempre do primeiro grau, uma equação do primeiro grau não e
necessariamente linear.
v) Quanto ao Tipo
Serão consideradas equações diferenciais parciais de 2ª ordem (são as que mais
aparecem na prática).
Seja a forma geral de uma E.D.P. de 2ª ordem com duas variáveis independentes.
a
2u
x 2
2h
2u
2u
u
u
b 2 2f
2g
eu 0
xy
x
y
y
(11. 17)
onde a, h, f, g, e e podem ser constantes ou funções das variáveis x e y.
Por analogia com a forma de uma secção cônica geral:
ax2 + 2hxy +by2 + 2fx +2gy + e = 0
248
(11. 18)
que representa uma elipse quando (a.b – h2 > 0), uma parábola quando (a.b – h2 = 0), uma
hipérbole quando (a.b – h2 < 0). Uma classificação semelhante é adotada para as E.D.P.
Exemplos:
1) Equação de onda unidimensional
2u
x
2
1 2u
2
c t
2
0
(11. 19)
Esta equação de onda é do tipo hiperbólica porque: a = 1; h = 0; b = -1/c2 logo a.b – h2 = 1/c2 < 0
2) Equação de Difusão (condução do calor)
2u
x 2
1 u
0
t
(11. 20)
Esta equação de difusão é do tipo parabólica porque: a = 1; h = 0; b = 0 logo a.b – h2 = 0
3) Equação de Laplace
2u
x 2
2u
y 2
0
(11. 21)
Esta equação de laplace é do tipo elíptica porque: a = 1; h = 0; b = 1 logo a.b – h2 = 1 > 0
Uma vez que se sabe reconhecer e classificar uma equação diferencial, vamos ao
capítulo seguinte onde daremos início ao primeiro método numérico de solução baseado na
própria definição de derivada, chamado de Método das Diferenças Finitas.
249
11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais
11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções
Seja f : [ a, b] R contínua, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo a
função:
t
F (t ) f ( )d , a t b
(11. 22)
a
é diferenciável em (a,b) e F’(t) = f(t) para todo t (a,b).
Logo F(t) é uma solução da equação diferencial ordinária de 1ª ordem
y (t ) f (t ) a t b
(11. 23)
e ainda F(a) = 0. Neste caso dizemos que F(t) é uma solução do Problema de valor Inicial.
y (t ) f (t )
at b
y
(
a
)
0
(11. 24)
Logo o P.V.I., neste caso, tem solução, mas surge a pergunta:
Será que F(t) é a única solução deste P.V.I.?
Neste caso a resposta é positiva, pois se G(t) fosse uma outra solução teríamos
que:
d ( F G )(t )
G (t ) f (t ) F (t )
0 ( F G )(t ) constante
dt
(11. 25)
mas
( F G )(a ) F (a ) G (a ) 0 0 0
G (t ) F (t ) para todo t (a, b)
250
(11. 26)
11.4.2 - Exemplos
i) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
y y 1/ 2
y (0) 0
(11. 27)
não tem unicidade de soluções, pois
y1 (t ) 0
(11. 28)
y 3 y 2 / 3
y 2 (t )
y (0) 0
(11. 29)
é solução e
Também é solução (verifique). Portanto temos duas soluções
ii) Vemos ainda que o P.V.I.
y 3 y 2 / 3
y (0) 0
(11. 30)
também não tem unicidade de soluções, pois y (t ) 0 é solução e observamos que qualquer
c R a função yc : R R dada por:
(t c) 3 , t c
yc (t )
, t c
0
também é solução, e portanto temos infinitas soluções.
251
(11. 31)
11.4.3 – O Problema de Valor Inicial
Dado o problema de valor inicial
y f (t , y )
y (t 0 ) y0
(11. 32)
onde f é uma função definida em um aberto A do R2, surgem as seguintes questões:
1. Como sabemos que um P.V.I. tem de fato uma solução sem exibi-la
explicitamente?
2. Como sabemos que existe somente uma solução de um P.V.I.? Talvez existam,
duas, três ou mesmo infinitas soluções.
3. Qual a utilidade de determinados se um P.V.I. têm uma única solução se não
somos capazes de exibi-la?
Para esta última questão, podemos dizer que o fato de sabermos que o P.V.I. têm
uma única solução é muito importante, pois a partir disto podemos usar técnicas
computacionais para obter aproximações da solução y(t).
Para responder a primeira questão usaremos o Método de Picard. Para isto
observemos que y(t) é solução do P.V.I se e somente se
t
y (t ) y0 f ( s, y ( s ))ds
(11. 33)
t0
Consideremos, agora, a sequência y n (t ) , dada da seguinte forma:
y 0 (t ) y 0
t
y1 (t ) y0 f ( s, y0 ( s ))ds
t0
t
y 2 (t ) y0 f ( s, y1 ( s ))ds
t0
:
t
y n (t ) y0 f ( s, y n 1 ( s ))ds
t0
252
(11. 34)
As funções yn (t ) são chamadas de iteradas de Picard. Pode-se mostrar que
y n (t ) y (t ) , quando n , para t num intervalo conveniente. Esse processo é
conhecido por Método de Picard.
Observação: As soluções de Equações Diferenciais, em geral, podem não existir
para todo t real, como por exemplo:
y (t ) tg t
4
(11. 35)
É solução do P.V.I.
y (t ) 1 y 2 (t ),
y ( 0) 1
(11. 36)
3
,
4 4
E está definida somente em
3
, , então
4 4
De fato: se t
y (t ) sec 2 t 1 tg 2 t 1 y 2 (t )
4
4
y (0) tg 1
4
(11. 37)
Por este fato não podemos esperar que as iteradas de Picard convirjam para todo t.
253
11. 5 – Exemplos e Aplicações
254
11. 6 – Exercícios e Problemas
255
Capítulo – XII
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
12. 1 – Introdução
256
12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares
(12. 1)
(12. 2)
Ás relações que envolvem funções incógnitas e suas derivadas damos o nome de
equações diferenciais.
Quando as funções incógnitas dependem apenas de uma única variável, as
equações diferenciais recebem o nome de equações diferenciais ordinárias (E. D. O.).
Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função incógnita
depende apenas de uma variável.
Por exemplo, a equação de Newton, para o movimento de um oscilador
unidimensional amortecido, é a seguinte equação diferencial ordinária:
m
d 2x
dx
kx
2
dt
dt
(12. 3)
Em (12. 3) a função incógnita é a posição x(t ) do oscilador, e a variável independente é o
tempo, t.
Quando a função incógnita depende de mais de uma variável, à equação
diferencial dá-se o nome de equação diferencial a derivadas parciais.
Se a função incógnita depender de mais de uma variável, temos uma equação a
derivadas parciais (E. D. P.), é o caso da equação (4).
Por exemplo,
2V x, y, z
2V 2V 2V
0
x 2 y 2 z 2
(12. 4)
Esta equação diferencial a derivadas parciais é a equação de Laplace para a função potencial
V x, y, z do campo eletrostático (ou gravitacional), que é função das 3 variáveis x, y, z que
determina a posição no espaço 3-dimensional.
257
12.2.1 - Exemplos
As equações (1), (2), (3) e (5) acima são E.D.O.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função
incógnita.
y ' axy b( x)
(12. 5)
Os termos y’e y são de primeira ordem.
Portanto, (1) é uma equação de primeira ordem, (2) é de segunda ordem e (3) é de
terceira ordem.
Uma solução de uma equação diferencial é uma função que juntamente com suas
derivadas, satisfaz a equação dada. Por exemplo, a função
y(t) = sen(t)
(12. 6)
é uma solução da E.D.O. de segunda ordem
y(t ) y (t ) 0
(12. 7)
d 2 [ sen(t )]
sen(t ) 0
dt 2
d [cos(t )]
sen(t ) 0
dt
sen(t ) sen(t ) 0
(12. 8)
Pois,
Verifique que a função y (t ) ce
kt
é solução da E.D.O. de primeira ordem
y ky e que y (t ) ct é a solução da E.D.O. de segunda ordem y 0 .
258
12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias
Lineares e Homogêneas
i) Se x1(t) é solução, então y1 = Cx1(t) também é solução para qualquer constante C.
y1 o 2 y1 0 Cx1 o 2Cx1 C x1 o 2 x1 0
(12. 9)
x1 o 2 x1 0
(12. 10)
e
ii) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então x1(t) + x2(t) também é solução da equação:
x1 o 2 x1 0
x2 o 2 x2 0
(12. 11)
2
( x1 x2 ) o ( x1 x2 ) 0
Como
x x1 x2
x x1 x2
(12. 12)
Temos:
x o 2 x 0
259
(12. 13)
12.3.1 - Teorema
A solução geral de uma equação não-homogênea é igual a solução geral da
homogênea associada a uma solução particular da não-homogênea.
Prova
Seja a equação diferencial dada por:
y a (t ) y b(t ) y c(t )
(12. 14)
A equação homogênea associada é:
yh a (t ) y h b(t ) y h 0
(12. 15)
onde yh é a solução geral da homogênea.
A equação particular associada é dada por:
y p a (t ) y p b(t ) y p c(t )
(12. 16)
Onde yp é a solução particular da não-homogênea.
Somando as equações ( ) e ( ) temos:
yh y p a (t )( y h y p ) b(t )( y h y p ) c(t )
(12. 17)
Logo a solução geral é dada por:
y g yh y p
Satisfazendo ( ).
260
(12. 18)
12. 4 Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes
Constantes e Variáveis
Equações Diferenciais Lineares são aquelas que não apresentam termo de
potência maior ou igual a dois.
Equações Diferencias Lineares Homogêneas, são aquelas equações que não
apresentam termo independente.
As equações que estudaremos no MHS apresentam-se na forma de equações
diferenciais homogêneas
a ( x) y ' 'b( x) y 0
(12. 19)
Trataremos também das equações diferenciais lineares não homogêneas, porém em geral com
uma mudança de variável ela poderá ser transformada em uma equação homogênea.
A equação não homogênea é da forma:
a ( x) y ' 'b( x) y c( x)
261
(12. 20)
12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente
Constantes
Neste caso vamos estudar somente as equações diferenciais ordinárias. Na
verdade o nosso estudo estará limitado a uma classe restrita de equações diferenciais
ordinárias: as equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes (E.D.O.L.C.C.).
Isto quer dizer que as equações que vamos estudar são da forma:
dny
d n1 y
dy
an n a n1 n1 ... a1
ao y g ( x )
dx
dx
dx
(12. 21)
A função incógnita y(x) depende de uma única variável independente x. Todos os
termos são lineares (i. e. do 1ª grau) em y(x) e nas derivadas, donde a denominação de linear.
Os coeficientes ao , a1 , a2 ,...a n são todos constantes (números reais). No 2º
membro de (12. 21) a função y(x) é uma função dada da variável independente x. Quando y(x)
0 a equação diferencial diz-se homogênea. A derivada de ordem mais alta que aparece em
(12. 21) é n (supondo an 0): dizemos então que a equação (12. 21) é de ordem n. Damos a
seguir alguns exemplos:
dy
2y x
dx
(12. 22)
E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não-homogênea (“N-H”)
d3y
dy
2 y 0
3
dx
dx
(12. 23)
E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem homogênea (“H”)
d2y
dy
k
my sen( x)
2
dx
dx
(12. 24)
E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem não-homogênea (“N-H”)
Esta limitação a equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes é
decorrência da grande dificuldade que cerca a solução de equações diferenciais. Ainda hoje
não existe uma teoria geral para a solução de equações diferenciais ordinárias não-lineares.
Esta teoria existe, no entanto, para as equações lineares.
262
Por outro lado, quando os coeficientes da equação diferencial ordinária forem
todos constantes, será possível empregar métodos algébricos elementares para resolvê-las, o
que não se dá quando os coeficientes da E.D.O.L. forem funções da variável independente.
263
12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com
Coeficiente Constantes
Vamos a partir de agora adotar uma notação que será de utilidade no nosso
estudo. Introduzimos o operador:
D
d
dx
(12. 25)
para representar a “operação” de tomar a derivada de uma função.
Assim
Dy
dy
dx
(12. 26)
As potências inteiras n de D são derivadas de ordem n:
d2y
dx 2
d3y
D 3 D.D.D ; D3 y D.Dy x 3
dx
dny
D n D.D...D ; D n y D.D... y x n
dx
D 2 D.D
; D 2 y D.Dy x
(12. 27)
A E.D.O. L. C. C. N. H. de ordem n será emitir, em termos de D, doseguinte
modo:
an D n y an 1 D n 1 y ... a1 D1 y a0 D 0 y g x
an D n y an 1 D n 1 y ... a1 D y a0
y g x
(12. 28)
que também pode ser escrita deste modo:
an D n an 1 D n 1 ... a1 D a0 y x g x
(12. 29)
Usando uma propriedade elementar da distribuição das derivadas.
O método que vamos desenvolver vai concentrar-se no “polinômio” em D que
aparece no 1º membro da equação (12. 29). Designando-o pó Pn D .
Pn D an D n an 1 D n1 ... a1 D a0
(12. 30)
(onde, sem perda de generalidade supomos an 1 ), podemos também escrever (12. 29) na
forma mais sintética:
264
Pn D y x g x
(12. 31)
Pelo teorema fundamental da álgebra (Teorema de Gauss) o polinômio Pn D , imaginamos D
como uma variável algébrica, sempre poderá ser expresso na forma:
Pn D D r1 D r2 ... D rn
(12. 32)
Onde r1 , r2 ,..., rn são as raízes (reais ou complexas) da equação:
Pn Dx an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 0
(12. 33)
Usando este fato reescrevemos a equação (12. 31) numa forma muito útil”
Pn D D r1 D r2 ... D rn y x g x
265
(12. 34)
12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares
Antes de introduzir o conceito de solução geral de uma E.D.O. vamos examinar
alguns casos elementares por meio dos quais ganharemos intuição sobre a natureza geral das
soluções das equações diferenciais ordinárias. Vamos examinar as equações:
Dn y x 0
; n 1, 2,3,...," H "
(12. 35)
e
D n y x g x ; n 1, 2,3,...," NH "
(12. 36)
i) Comecemos pelo caso n 1 da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 1ª ordem
homogênea mais simples possível:
Dy x 0
(12. 37)
A solução desta equação é uma função que, substituída na equação, a satisfaz identicamente.
Assim vê-se, sem dificuldade, que a solução desta equação é uma função cosntante.
y x A
(12. 38)
onde A é uma constante arbitrária. É a solução mais geral possível. Mas é claro que soluções
particulares podem ser obtidas dando à constante arbitrária A valores particulares, por
exemplo, A = 0, A = 1, A = 2, etc. A representação geométrica da solução (14. 12) é uma
família infinitas de retas paralelas ao eixo Ox :
Figura - 12. 1.
266
Em resumo, a solução mais geral da equação (12. 37), que é uma E.D.O.L. de 1ª ordem “H”, é
a função dada em (14. 12); esta solução (mais) geral representa uma família de curvas (retas)
a um parâmetro, ilustrada na Figura - 12. 1. Qualquer reta particular dessa família representa
uma solução particular de (12. 37)
ii) Passemos agora ao caso n 2 da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 2ª ordem
homogênea muito simples:
D2 y x 0
(12. 39)
É evidente que a solução (14. 12) serve. Mas integrando (14. 13) membro a membro obtemos
sucessivamente:
1ª Integração
2
D y x dx 0 Dy x A
(12. 40)
1
2ª Integração
Dy x dx A dx y x A x A
1
1
2
(12. 41)
De modo que a solução mais geral de (14. 13)
y x A1 x A2
(12. 42)
Em que comparece agora duas constantes arbitrárias A1 , A2 . Qualquer função obtida de (12.
42) dando a A1 e a A2 valores particulares quaisquer será também solução, isto é, satisfará
(12. 39) identicamente. Exemplos de imediata verificação são as seguintes soluções
particulares de (12. 39):
y x 1
; A1 0 ; A2 1
y x x 1 ; A1 1 ; A2 0
(12. 43)
y x 3x 2 ; A1 3 ; A2 2
etc.
A solução geral ( ) pode ser representado graficamente. Obtivemos ainda uma
família infinita de retas, mas a 2 parâmetros: A1 indicando o coeficiente angular variável e A2
O ponto de corte do eixo Oy também variável. Por exemplo:
267
Figura - 12. 2.
A Figura – 11. representa a “sub-familia” A2 0 , constituída por todas as retas
que passam pela origem, com coeficiente angular arbitrário. Na Figura – 11. esta representada
outra sub-familia, a de todas as retas que passam pelo ponto
1; 0 .
A família toda,
representada por ( ) será a superposição de todas as sub-familias particulares obtidas fazendose A1 e A2 em ( ) assumirem, separadamente, todos os valores reais. É fácil ver que se
obtivermos assim a família de todas as retas do plano Oxy . Em resumo, a equação ( ), E.D.O.
de 2ª ordem, admita a função ( ) como solução geral, e esta solução geral representa uma
família de curvas do plano (retas) a 2 parâmetros.
Consideremos agora o caso n 3 da equação ( ). Trata-se agora de uma
E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem, homogênea, a mais simples possível.
D3 y x 0
(12. 44)
Pelo mesmo procedimento obtemos sem dificuldade a seguinte
y x A1 A2 x A3 x 2
(12. 45)
que depende de 3 cosntantes arbitrárias. A função ( ), substituída em ( ) a satisfaz
identicamente. Qualquer outra função particular obtida dando qualquer uma das consatntes
A1 , A2 , A3 em valor particular será também uma solução particular. Por exemplo, verifica-se
facilmente que as funções:
268
y x x2
; A3 1 ; A2 0 ; A1 0
y x 1
; A3 0 ; A2 0 ; A1 1
(12. 46)
y x A x x 2 ; A3 1 ; A2 1 ; A1 1
Todas satisfazem a equação ( ). São soluções particulares.
A representação geométrica da solução geral ( ) é uma complicada família de
parábolas a 3 parâmetros. Qualquer curva desta família é uma solução particular de ( ). Em
resumo, aqui também podemos dizer que a solução mais geral de ( ) que é uma E.D.O.L.C.C.
de 3ª ordem “H”, é a função dada em ( ), que representa uma família de curvas planas
(parábola) a 3 parâmetros.
De um modo geral, a equação:
Dn y x 0
(12. 47)
que é o caso mais simples de E.D.O.L.C.C. de ordem n homogênea (“H”), tem como solução
geral a função:
y x A1 A2 x A3 x 2 ... An x n1
(12. 48)
que é uma função de x e de n constantes arbitrárias A1 , A2 , A3 , An . A sua representação
geométrica é um família, a n parâmetros, de curvas planas de ordem n-1.
Passemos agora a estudar as equações
não-homog6eneas ( ), tomando
sucessivamente n 1, 2,3,... . O caso n 1 corresponde a seguinte E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem
“N-H”,
Dy x g x
(12. 49)
A função g x é uma função dada, conhecida, da variável independente x. Esta equação se
ïntegra” facilmente, integrando-a membro a membro:
Dy x dx g x dx A
(12. 50)
y x A g x dx
(12. 51)
ou seja
Estqa é a solução geral. Qualquer valor particular que se de à constante arbitrária A produzirá
uma solução particular. A representação geométrica de ( ) é uma família a um parâmetro de
269
curvas planas cuja natureza depende da função g(x). Por exemplo, se g x 1 , será uma
família de retas; se g x x , uma família de parábolas, etc. Observe-se que a solução ( ) é a
soma de duas funções:
yGH x A e yPNH x g x dx
(12. 52)
de modo que y x de ( ) é também dada por:
y x yGH x yPNH x
(12. 53)
yGH x A
(12. 54)
yPNH x g x dx
(12. 55)
Onde, mais uma vez
e
Reconhecemos em ( ), yGH x A , a solução geral da equação ( ), ou seja, da equação
homogênea que se obtém de ( ) fazendo-se g x 0 . A esta equação homogênea damos o
nome de equação (diferencial) homogênea associada à equação não homogênea dada.
A solução yPNH x em ( ) é uma solução particular de ( ), obtida fazendo-se
A 0 em ( ).
O caso n 2 produz a seguinte E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem N-H:
D2 y x g x
(12. 56)
Integrando membro a membro sucessivamente duas vezes obtemos:
y x A1 A2 x
g x dx dx
(12. 57)
É uma função da variável independente de x e de suas constantes arbitrárias A1 , A2 e que
satisfaz identicamente a equação (
) homogênea ( ) (que se obtém de ( ) fazendo-se
g x 0 ), associada de ( ); e a função ( ) é uma solução particular de ( ), obtida de ( )
fazendo-se A1 A2 0 .
Não há nenhuma dificulade em generalizar os resultados obtidos. A solução geral
de:
270
Dn y x g x
(12. 58)
y x yGH x yPNH x
(12. 59)
yGH x A1 A2 x A3 x 2 ... An x n 1
(12. 60)
é a função
em que
É a solução geral da equação homogênea associada a ( ) e
yPNH x dx dx... dx g x dx
(12. 61)
n vezes
é uma solução particular da equação ( ).
Em resumo:
i) A equação homogênea
D n y ( x) 0
(12. 62)
Tem como solução geral a função:
yGH x A1 A2 x A3 x 2 ... An x n 1
(12. 63)
ii)A equação não-homogênea
D n y ( x) g ( x)
(12. 64)
Tem como solução geral a função:
yGNH x yGH x yPNH x
(12. 65)
onde yGH x : Solução geral da homogênea associada; yPNH x : Solução particular da nãohomogênea.
Estes resultados foram obtidos a partir de uma classe simples de equações. Mas
eles podem ser generalizados, e é o que faremos em seguida.
271
12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico
Os resultados que obtivemos no parágrafo 11.6. , ao estudarmos equações
diferenciais particularmente simples, são na verdade bem gerais, e valem para equações
lineares em geral. Chama-se solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n
(linear ou não) uma função y x; A1 , A2 ,..., An dependente da variável x e de n constantes
arbitrárias de integração independentes que satisfaça identicamente a equação diferencial. O
número de constantes arbitrárias é igual à ordem da equação diferencial. As constantes que
aparecem na solução geral são independentes e seu número é inevitável. Assim, por exemplo,
a função:
y x A1e x A2 e x
(12. 66)
é solução geral mda equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogênea.
D
2
1 y x 0
(12. 67)
A solução
y x A1e x A2 A3 e x
(12. 68)
contém 3 constantes, mas duas delas A2 , A3 aparecem na combinação A2 A3 e podem,
portanto, ser substituídas por uma única constante arbitrária C A2 A3 , dando a solução a
forma ( ).
Uma solução particular é obtida dando às constantes A1 , A2 ,..., An valores
particulares. Assim por exemplo, a equação ( ) admite como soluções particulares as seguintes
funções:
y x ex
y x e
x
; A1 1 ; A2 0
; A1 0 ; A2 1
y x e x e x ; A1 1 ; A2 1
é fácil verificar que estas funções satisfazem ( ).
272
(12. 69)
12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral
Dada por sua vez, uma função dependendo de x e de um número n de constantes
arbitrárias independentes, podemos determinar qual a equação diferencial ordinária de ordem
n que admite a função dada como solução geral. Vamos dar exemplos dessa técnica.
Suponhamos que fosse dada a função ( ), e que quiséssemos determinar qual a E.D.O. que
admite ( ) por solução geral. A idéia é eliminar as constantes arbitrárias em termos de
y x , Dy x , D 2 y x , etc. Assim:
y x A1e x A2e x
Dy x A1e x A2e x
2
x
D y x A1e A2 e
(12. 70)
x
Comparando ( ) e ( ) concluímos que:
D2 y x y x
(12. 71)
ou
D
2
1 y x 0
(12. 72)
Que é justamente ( ). Outro exemplo:
Dada a função:
y x A1e x A2e 2 x
(12. 73)
Determinar a E.D.O. que admite y x de ( ) como solução geral. Derivando, obtemos:
Dy x A1e x 2 A2e 2 x
(12. 74)
D 2 y x A1e x 4 A2 e2 x
(12. 75)
e
Eliminando A1e x e A2e 2 x pelas equações ( ), obtemos:
A1e x D 2 y 2 Dy
A2 e2 x
1 2
D y 2 Dy
2
Substituindo em ( ) obtemos:
273
(12. 76)
y x D 2 y 2 Dy
1 2
D y 2 Dy
2
(12. 77)
que depois de simplificada se transforma em:
D
3
3D 2 y x 0
(12. 78)
que é a equação procurada. Nos exemplo dados as equações obtidas foram lineares mas nem
sempre isso acontece (ver Lista de Exercícios).
Vamos agora demonstrar um teorema que ocupa um lugar central no método que
vamos desenvolver para resolver E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer. O teorema vale para
uma equação linear qualquer, com coeficientes variáveis.
274
12.5.5 – Teorema Estratégico
A solução geral yGNH x da equação diferencial ordinária linear não-homogênea
Pn D y x g x
(12. 79)
yGNH x yGH x yPNH x
(12. 80)
se escreve como uma soma:
na qual yGH x é a solução geral da equação homogênea
Pn D y x 0
(12. 81)
e yPNH x é uma solução particular de ( ) satisfazendo:
Pn D yPNH x g x
(12. 82)
Prova:
A demonstração é trivial, e se faz primeiro observando que yGNH x dada em ( )
satisfaz a equação ( ). De fato:
Pn D yGNH x Pn D yGH x yPNH x Pn D yGH x Pn D y PNH x
(12. 83)
Mas usando ( ) e ( ), obtemos:
Pn D yGNH x 0 g x g x
(12. 84)
Em seguida observa-se que yGNH x depende de n constantes arbitrárias por intermédio de
yGH x , que é por hipótese a solução geral de uma E.D.O. de ordem n homogênea ( ), e que
portanto depende de n constantes arbitrárias. Então yGNH x definida em ( ) satisfaz todas os
requisitos de solução geral. Q.E.D.
A partir deste teorema fica definida a nossa estratégia para resolver uma
E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer.
Pn D y x g x
275
(12. 85)
i) Determina-se a solução geral da equação homogênea associada, yGH x :
Pn D yGH x 0
(12. 86)
ii) Determina-se uma solução particular da equação dada (N-H) yPNH x :
Pn D yPNH x g x
(12. 87)
iii) Define-se a solução geral yGNH x da equação dada (N-H) pela soma:
yGNH x yGH x yPNH x
276
(12. 88)
12.5.5 – Condições Iniciais
Nos problemas práticos, em cuja solução y x estamos interessados, e que
satisfaz uma equação do tipo:
Pn D y x g x
(12. 89)
Não há, em geral, lugar para constantes arbitrárias. Estamos interessados numa
solução sem ambigüidade; as constantes arbitrárias devem ser eliminadas. Em geral essa
eliminação se faz utilizando condições prévias do problema, e às quais a solução procurada
deve satisfazer. São as chamadas condições iniciais.
Num problema com condições iniciais são dados os valores da função e das suas
(n-1) primeiras derivadas num valor particular x0 (às vezes x0 0 ) da variável independente,
isto é, são dados os valores:
y x0 y0
y ' x0 y1
(12. 90)
..................
y ( n 1) x0 yn1
Dada então uma solução geral de ( ) na forma:
yGNH x x, A1 , A2 ,..., An
(12. 91)
Substituímos nos primeiros membros de ( ) y x por x, A1 , A2 ,..., An de ( ), e obtemos um
sistema de n equações algébricas a n incógnitas A1 , A2 ,..., An . A solução (quando existe)
fornece
A1 A1 y0 , y1 , y2 ,..., yn1 ,
A2 A2 y0 , y1 , y2 ,..., yn 1 , etc., e então a solução
particular (específica) do problema em estudo é:
y x y x, y0 , y1 , y2 ,..., yn 1
(12. 92)
Onde já não há mais nenhuma constante arbitrária, e que satisfaz ( ) identicamente. Nos
problemas de Mecânica, onde a função incógnita é a posição r t de uma partícula, e a
variável independente é o tempo t, a equação de movimento é a equação de Newton, que é
uma E.D.O. de 2ª ordem. As duas constantes arbitrárias da solução geral são eliminadas
dando-se as “condições iniciais” do problema: a posição inicial r 0 e a velocidade inicial
r 0 .
277
12.5.5 – Propriedade do Operador D k
No parágrafo 4, equação ( ) fizemos a observação segundo a qual o operador
Pn D , que comparece no 1º memebro da E.D.O.L.C.C. mais geral ( ), poderia ser fatorado
na forma:
Pn D D r1 D r2 ... D rn
(12. 93)
onde r1 , r2 ,..., rn são raízes (reais ou complexas) da equação característica
Pn x 0 ou x n an 1 x n1 .... a1 x a0 0
(12. 94)
associada ao operador Pn D . Somos, assim levados a estudar os operadores D k e seus
produtos D k D k ' ...
Por definição:
D k y x
dy
k. y x
dx
(12. 95)
O produto D k1 D k2 é definido por:
D k1 D k2 y x D k1 D k2 y x D k1 Dy k2 y
D 2 k1 k2 D k1k2 y x
(12. 96)
onde usou a propriedade evidente
D ky x
d
dy
ky x k
kDy
dx
dx
Desenvolvendo formalmente o produto
k cte
D k1 D k2
(12. 97)
(isto é, como se D não fosse
operador, mas um número) obtemos:
D k1 D k2 D 2 k1 k2 D k1k2 D k2 D k1
(12. 98)
Obtendo o resultado
D k1 D k2 D k2 D k1
k1 , k2 cte .
278
(12. 99)
Toda função f x pode ser considerada como um operador no espaço das
funções com que estamos lidando (i. e. o espaço das funções continuamente diferenciáveis até
ordem n): é o operador que a toda função y x associa a função f x y x :
f x : y x f x .y x
(12. 100)
Podemos combinar os operadores D e f x para formar novos operadores. Por exemplo:
D f x ; Df x ; f x D
(12. 101)
O primeiro, D f x , é definido assim:
D f x y x D y x f x y x ; y x
(12. 102)
O operador f x D não apresenta dificuldades:
f x Dy x f x .
dy
; y x
dx
(12. 103)
Mas o operador Df x deve ser examinando com cuidado. Há que se distinguir a derivada
D f x do Df x resultante do produto dos operadores D e f x . Para evitar
ambiguidades convencionaremos:
df
i) D f x é a derivada de f x :
dx
ii) Df x é o operador definido por:
d
f x y x ; y x
Df x : y x Df x y x
dx
(12. 104)
Por exemplo:
D x
d
x 1
dx
(12. 105)
e
Dx : operador : y x Dx y x
d
dy
xy x y x x
dx
dx
ou seja:
279
(12. 106)
Dx y x 1 xD y x
; y x
(12. 107)
Esta relação entre funções é equivalente à relação entre operadores
(12. 108)
Dx 1 xD
Um caso de particular importância para o nosso estudo é aquele em que f x é a função
exponencial.
Consideremos, então, o operador De kx . Aplicado a uma função y x qualquer do
espaço dá:
De y x e D k y x ; y x
kx
kx
(12. 109)
A relação entre operadores, equivalente a ( ) é:
De kx e kx D k ; k cte
(12. 110)
Vamos considerar alguns Exemplos:
i) Simplificar o operador
D 1 e x
usando ( ), teremos, por definição, usando a
distribuitividade:
D 1 e x e x D 1 e x e x D
ii) Considere a equação
D k y x g x .
(12. 111)
Para aplicar ( ), multipliquemos ambos os
memebros por ekx :
ekx D k y x e kx g x
(12. 112)
Usando ( ), vem:
D e kx y x ekx g x
(12. 113)
Esta equação já é nossa conhecida (of. equação ( )), e a sua solução geral é:
ekx y x A e kx g x dx
que simplificada dá:
280
(12. 114)
y x Ae kx e kx ekx g x dx
(12. 115)
Uma questão de grande interesse é a possibilidade de se definir o operador inverso
D k
1
do operador D k . Enquanto “inverso” ele tem a propriedade :
1
D k D k 1
Mas nós não sabemos ainda o efeito de D k
D k
1
1
(12. 116)
sobre um função qualquer y x :
y x ?
(12. 117)
Se nós soubéssemos o resultado da operação do 1º memebro de ( ), então poderíamos
encontrar uma solução particular da equação:
D k y x g x
De fato, aplicando D k
1
(12. 118)
a ambos os membros de ( ), obteríamos:
1
D k D k y x D k
1
g x
(12. 119)
E usando ( ) vem:
1
y x D k g x
(12. 120)
que é obviamente uma solução particular de ( ).
Ajuntando a ( ) a função yGH x , a solução geral da equação homogênea
D k yGH x 0
(12. 121)
Então teremos a solução geral de ( )
1
yGNH x yGH x D k g x
(12. 122)
No próximo parágrafo, utilizando a solução geral da E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não1
homogênea que vamos estabelecer, vamos poder definir D k .
281
12. 6 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente
Constantes de 1ª Ordem N-H:
Consideremos a equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem, com
coeficientes constantes, não-homogênea:
D k y x g x
(12. 123)
No 2º membro de ( ), a função g x é uma função dada de x , e no 1º membro k é uma
constante real dada:
12.6.1 – Definição do Operador D k
1
Vamos aplicar a ( ) a propriedade ( ). Multipliquemos ambos os memebros de ( )
por ekx :
ekx D k y x e kx g x
(12. 124)
D ekx y x e kx g x
(12. 125)
ekx y x A e kx g x dx
(12. 126)
Usando ( ), vem:
Integrando ( ), obtemos:
onde A é uma constante arbitrária. Explicitando y x , obtemos finalmente:
y x Ae kx e kx e kx g x dx
(12. 127)
Esta é a solução geral de ( ): satisfaz a equação e depende de uma constante arbitrária (a
equação ( ) é de 1ª ordem).
Tal como está escrita, a solução geral ( ) é a soma de dois termos. O primeiro
deles é Ae kx , que reconhecemos ser a solução geral yGH x da equação homog6enea
associada a ( ):
D k y x 0
e
282
(12. 128)
yGH x Ae kx
(12. 129)
Pelo “Teorema Eestratégico”, o termo que resta em ( ) é uma solução particular yPNH x da
equação ( ). De fato, aplicando D k à função:
yPNH x e kx ekx g x dx
(12. 130)
obtemos:
D k yPNH x D k e kx ekx g x dx
e kx D ekx g x dx e kx e kx g x
(12. 131)
ou seja:
D k yPNH x g x
(12. 132)
O que demonstra a nossa afirmação:
Em resumo, a solução geral yGNH x da equaçào ( ) é escrita como:
yGNH x yGH x yPNH x
(12. 133)
yGH x Ae kx
(12. 134)
yPNH x e kx ekx g x dx
(12. 135)
onde:
e
Comparanado ( ), ( ) com ( ) concluímos quadraticamente:
D k
1
g x e kx e kx g x dx
Esta será a definição do inverso D k
1
(12. 136)
do operador D k que vamos adotar nesse curso.
283
12.6.2 – Exemplos
(i) Determinar uma solução particular da equação D k y x x . Aplicando D k
1
a
ambos os membros, obtemos:
1
yPNH x D k x
(12. 137)
Usando ( ) obtemos (fazendo k =1):
D k
1
x e x e x xdx
(12. 138)
A integral e x xdx é elementar, e o resultado é:
x
x
e xdx e x 1
(12. 139)
OBS: Não é necessária a mconstante de integração na integral indefinida porque estamos
querendo uma solução particular.
Juntando os resultados obtemos a solução particular procurada:
yPNH x e x e x x 1 x 1
(12. 140)
D 1 . x 1 D 1 . x D 1 . 1 1 x 0 1 x
(12. 141)
Verificando:
ii) Determinar uma solução particular da equação D 2 y x e x
1
Usando a mesma técnica, aplicamos a ambos os membros o operador D 2 :
1
D 2 . D 2 y x y x D 2
1
e x
e2 x e 2 x e x dx e x
(12. 142)
Então a solução particular pedida é:
yPNH x e x
(12. 143)
D 2 e x e x 2e x e x
(12. 144)
Verificando:
iii) Determinar a solução geral da equação
284
dy
y sen x
dx
(12. 145)
D 1 y sen x
(12. 146)
Na “notação D” escrevemos:
Pelo “teorema estratégico”, a solução geral desta equação é a soma da solução qual da
equação homogênea associada:
D 1 y 0
(12. 147)
Com uma solução particular da equação dada (NH), que sabemos que é:
1
yPNH x D 1 sen x
(12. 148)
A solução geral da equação homogênea
D 1 y 0
(12. 149)
yGH x Ae x
(12. 150)
é:
A solução particular yPNH x é:
1
yPNH x D 1 sen x e x e x sen x dx
(12. 151)
Pela tabela de integrais achamos:
e
x
sen x dx
1
sen x cos x e x
2
(12. 152)
1
sen x cos x
2
(12. 153)
Então a solução geral procurada é:
yGNH x Ae x
A verificação fica por conta do laborioso estudante.
285
12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem
Vamos agora apresentar alguns problemas a partir dos quais surgem as equações
diferenciais.
12.7.1 – Problema Geométrico
Determine uma curva que seja definida pela condição de ter em todos os pontos
(x,y) a inclinação
dy
igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.
dx
Se y y (x ) é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos
resolver a equação diferencial.
dy
2( x y )
dx
286
(12. 154)
12.7.2 – Problema Químico
100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose
numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar
foi transformado após t minutos.
Se q é o número de gramas convertido em t minutos e k é a constante de
proporcionalidade, então, a equação deste problema é dada por:
dq
k (100 q )
dt
Sabendo q(0) = 100.
287
(12. 155)
12.7.3 – Problemas Físicos
Considere o Circuito Elétrico RL mostrado na
Figura - 12. 3
onde R é a resistência elétrica do circuito, I é a intensidade de corrente elétrica, L é a
indutância, E a força eletromotriz.
Sabe-se que a queda de potencial através da risitência R é VR = RI e através da
indutância L é VL L
dI
. Segue da Lei de Kirchoff, isto é, a queda total de potencial no
dt
circuito deve ser contrabalanceada pela força eletromotriz aplicada, e que a corrente num
instante t qualquer, é dada pela equação diferencial.
L
dI
RI E
dt
Que é uma equação linear de 1ª ordem.
288
(12. 156)
12. 8 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente
Constantes de 2ª Ordem N-H:
O próximo caso em ordem de crescente complexidade é o das equações
diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes, de 2ª ordem, que pode ser pasta
na forma geral:
P2 D y x D 2 aD b y x G x
(12. 157)
D r1 D r2 y x G x
(12. 158)
ou
em que G x é uma função conhecida da variável independente x , e as constantes r1 , r2 são
as raízes da equação característica, equação ( ):
P2 x y x 2 ax b 0
(12. 159)
Sendo a equação característica, equação ( ), uma equação alg’’ebrica do 2º grau com
coeficientes reais, três situações podem ocorrer:
(i) As raízes r1 , r2 são reais e distintas a 2 4b 0 ;
(ii) As raízes r1 , r2 são reais e iguais a 2 4b 0 ;
(iii) As raízes r1 , r2 são complexas a 2 4b 0 ;
Vamos, em seguida, estuda cada situação separadamente, pois o carácter da
solução geral da equação ( ) depende essenciamente da natureza das raízes da equação
característica.
(i) Raízes reais e distintas
A equação diferencial a ser resolvida é:
D
2
(12. 160)
x 2 ax b 0
(12. 161)
a 2 4b 0
(12. 162)
aD b y x G x
A equação carcterística, equação ( ). é:
na qual
289
Isto quer dizer que a equação característica admite duas raízes reais e distintas r1 , r2 dadas
por:
r1
1
a a 2 4b
2
(12. 163)
r2
1
a a 2 4b
2
(12. 164)
e
Podemos, então, “fatorar”o operador D 2 aD b na forma:
D 2 aD b D r1 D r2
(12. 165)
De modo que a equação ( ) toma a forma ( ), ou seja:
D r1 D r2 y x G x
(12. 166)
De acordo com o “Teorema Estratégico, a solução geral y x GNH da equação ( ) se escreve na
forma:
y x GNH y x GH y x PNH
(12. 167)
na qual y x GH é a solução geral da equação homogênea associada a ( ), isto é:
D r1 D r2 y x GH
0
e y x PNH é uma solução particular da equação ( ):
A solução geral da equação
290
(12. 168)
12. 9 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de
2ª Ordem
12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS)
Seja um corpo de massa m ligado horizontalmente a uma mola presa a uma parede
vertical, cujo sistema está deslocado da sua posição de equilíbrio e sujeito a uma força
restauradora do tipo F = -kx, conforme mostara a Figura - 12. 4.
291
Figura - 12. 4. Oscilador Harmônico simples.
A partir da 2ª Lei de Newton nós temos a seguinte equação de movimento dada
por:
(12. 169)
ma kx
Como a dv / dt temos:
m
dv
kx
dt
(12. 170)
Ou ainda v dx / dt temos:
d 2x
m 2 kx
dt
(12. 171)
Considere o movimento Harmônico Simples de um sistema massa mola.
Fazendo
dx
x
dt
(12. 172)
d 2x
x
dt 2
(12. 173)
e
Temos:
292
mx kx 0
(12. 174)
k
x0
m
(12. 175)
Dividindo tudo por m temos:
x
chamando de
o
k
m
(12. 176)
Temos:
x o 2 x 0
(12. 177)
Esta é uma Equação Diferencial Linear Homogênea,
Solução
Considere a seguinte equação diferencial dos osciladores harmômicos
d 2x
2
o x f ( x, t )
2
dt
Esta é uma equação geral com f(x,t) qualquer.
Nós podemos considerar que como:
293
(12. 178)
x
d dx
dt dt
(12. 179)
dx
dt
(12. 180)
Nós podemos chamar:
v
Onde sempre vale:
d 2 x dv dv dx
dt 2 dt dx dt
(12. 181)
d 2 x dv dv
v
dt 2 dt dx
(12. 182)
dv
2 x f ( x, t )
dx
(12. 183)
Logo de (12. 180) temos:
Usando ( ) em ( ) passamos a:
v
Multiplicando tudo por dx temos:
vdv 2 xdx f ( x, t )dx
(12. 184)
v2
2 xdx f ( x, t )dx C1
2
(12. 185)
v 2 f ( x, t )dx 2 xdx C1
(12. 186)
E
Logo
e
v f ( x, t )dx 2 xdx C1
mas de ( ) temos que:
294
1/ 2
(12. 187)
1/ 2
dx
f ( x, t )dx 2 xdx C1
dt
(12. 188)
Colocando só de um lado os termos em x e do outro os termos em t temos:
dx
f ( x, t )dx
2
xdx C1
1/ 2
dt
(12. 189)
Integrando os dois lados temos:
dx
f ( x, t )dx
xdx C1
1/ 2
t t o
(12. 190)
t t o
(12. 191)
constante temos:
i) Para o caso de
2
dx
f ( x, t )dx
xdx C1
1/ 2
2
e
dx
2 2
f ( x, t )dx
ii) Para o caso de
x
C1
2
1/ 2
t t o
(12. 192)
constante e f ( x, t ) f (t ) independente de x temos:
dx
2 2
x
f
(
t
)
dx
C
1
2
1/ 2
t t o
(12. 193)
e
f (t ) x
dx
2 2
x
C
2
1/ 2
t t o
E
295
(12. 194)
dx
2 2
2 f (t ) x x
C
2
1/ 2
t t o
(12. 195)
E
2
dx
2 f (t ) x
2 2
x C
1/ 2
t t o
(12. 196)
Mas podemos escrever:
2 f (t ) x 2 x 2 C
f 2 (t )
f 2 (t )
2 2
2
f
(
t
)
x
x
C
2
2
(12. 197)
E
2
f 2 (t )
f (t )
2 f (t ) x x C
ix
C
2
i
2 2
(12. 198)
Substiutindo ( ) em ( ) temos:
2
dx
2
f (t )
f (t )
ix
C
2
i
2
1/ 2
t t o
(12. 199)
Chamando de:
u
f (t )
ix du idx
i
(12. 200)
Logo ( ) passa a ser:
2
du
t t o
1/ 2
2
i
f (t )
2
C
u
2
Chamando de:
296
(12. 201)
u
f (t )
f (t ) 2
tan du
sec d
(12. 202)
Então
f (t ) 2
sec d
2
t t o
i f (t ) tan 2 1 C 1 / 2
(12. 203)
E
2
sec 2 d
t t o
i sec 2 C 1/ 2
(12. 204)
Considerando C = 0 temos:
2 sec 2 d
t t o
i sec
(12. 205)
2
secd t t o
i
(12. 206)
E
Multiplivcando e divindindo ( ) por
2 sec sec tan
d t t o
i sec tan
(12. 207)
2 sec 2 sec tan
d t t o
i sec tan
(12. 208)
v sec tan dv sec tan sec 2
(12. 209)
e
Chamando de:
Então ( ) passa a ser:
297
2 dv
t t o
i v
(12. 210)
2 v
ln t t o
i vo
(12. 211)
v
i
ln
t t o
v
2
o
(12. 212)
Portanto,
Ou
Exponenciando tudo temos:
v vo e
i
t to
2
(12. 213)
Substituindo v de ( ) temos:
sec tan vo e
i
t to
2
(12. 214)
E de ( ) temos que:
sec 1 tan 2 1
2u 2
f (t ) 2
(12. 215)
Logo ( ) fica:
2u 2
u
1
v
e
o
f (t )
f (t ) 2
i
t to
2
(12. 216)
Mas de ( ) nós temos que:
u
f (t ) ix
i 2 x
i
f (t ) f (t )i
f (t )
f (t )
Quadrando temos:
298
(12. 217)
2
2u 2
i 2 x
2 2 x 4 x 2
i
1
f (t )
f (t )
f (t )
f (t ) 2
(12. 218)
Logo ( ) fica sendo:
i
t to
2 2 x 4 x 2
i 2 x
1 1
i
vo e 2
f (t )
f (t )
f (t )
(12. 219)
i
t to
2 2 x 4 x 2
i 2 x
i
vo e 2
f (t )
f (t )
f (t )
(12. 220)
E
Reescrevendo ( 0 temos:
i
t to
2 2 x 4 x 2
i 2 x
i
vo e 2
f (t )
f (t )
f (t )
(12. 221)
Quadrando os dois lados temos:
2
i
i 2 x 2 t to
2 2 x 4 x 2 i 2 x
2 i
vo e
i
vo e
f (t )
f (t )
f (t )
f (t )
2i t to
(12. 222)
Logo
i
i 2 x 2 t t o
2 2 x 4 x 2
2 x 4 x2
1 2
2 i
vo e
vo e
2
f (t )
f (t )
f (t ) f (t )
f (t )
2i t to
(12. 223)
E
i
i
t to
t to
2i 2 x
vo e 2
1 2ivo e 2
vo e
f (t )
Portanto,
299
2i t to
(12. 224)
f (t )
x
2
2i vo e
i
t t o
2
2ivo
e
i
t to
2
2
2i vo e
f (t )
i
t to
2
2i t to
vo e
2
2i vo e
f (t )
i
t t o
2
(12. 225)
E
if (t )
x
e
2 2 vo
i
t to
2
f (t ) f (t )e 2i t to
2
e
2i 2
i
t to
2
(12. 226)
E
x
if (t )
e
2 2 vo
i
t to
2
1
i t to 2
2
f (t ) f (t )e
2
2i 2
(12. 227)
Logo
i t to
i
2
t
t
o
f (t ) i
e
x 2
e 2
1
2i
2vo
(12. 228)
i
i t to
f (t ) i 2 t to i
2
x 2
e
e
1
2
2vo
(12. 229)
E
Chamando de:
i
A
e
2vo
i
B e
2
i
to
2
i
to
2
Nós ficamos com:
300
(12. 230)
i
i
t
f (t ) 2 t
2
x 2 Ae
Be
1
(12. 231)
Ou no caso geral temos que:
i
i
t
t
f (t )
2
x 2 Ae
Be 2 1
(12. 232)
onde:
A
2E
m
(12. 233)
e
v o A 2 x 2
301
(12. 234)
12.8.2 – MHS com Movimento Vertical
Um corpo de massa m sob a ação da gravidade em um meio que oferece
resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posição do corpo num
instante t.
Seja x = x(t) a posição do corpo no instante t. Consideremos o sentido positivo do
movimento, isto é, para baixo. As forças que atuam sobre o corpo de massa m são: O peso P
= mg devido a gravidade (no sentido do movimento) e F k
dx
devido a resistência do
dt
meio (no sentido contrário ao movimento).
Segue da 2ª Lei de Newton (F = ma) que a equação de movimento é dada por:
dx 2
dx
m 2 mg k
dt
dt
(12. 235)
Conhecendo-se x (0) x0 e x (0) 0 , determinamos a posição do corpo em qualquer
instante.
302
Considere o oscilador harmônico na posição vertical sujeito a ação do campo
gravitacional na direção das oscilações, onde:
y a
(12. 236)
my mg ky
(12. 237)
E
ou
y g
k
y
m
(12. 238)
Logo
k
yg 0
m
(12. 239)
y o 2 y g 0
(12. 240)
y
ou
Calculando o ponto de energia mínima temos:
dV
kyo mg 0
dy
mg
yo
k
(12. 241)
Logo
Vmin
1 m2 g 2 m2 g 2
1 2 m2
k 2
g
2
k
2
k
k
(12. 242)
Fazendo-se uma mudança de variáveis para transformar a Equação Diferencial NãoHomogênea em uma Equação Diferencial Homogênea.
h y yo
h y
h y
(12. 243)
Logo
303
k
yg 0
m
(12. 244)
k
mg
y
0
m
k
(12. 245)
k
y yo 0
m
(12. 246)
k
h h 0
m
(12. 247)
2
h o h 0
(12. 248)
y
e
y
Portanto,
y
logo
ou
Podemos enunciar o seguinte teorema com base nos dois exemplos anteriores.
304
12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado
Considere o seguinte oscilador harmônico forçado
mx Fo cos( wt ) kx
(12. 249)
Chamando de
o 2
k
m
(12. 250)
logo
x o 2 x
Fo
cos(wt )
m
305
(12. 251)
12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples
O pêndulo simples consiste em uma massa m presa a um fio de comprimento l e
massa desprezível com uma extremidade presa a um ponto fixo. Quando deslocado de um
ângulo de sua posição de equilíbrio e solto, inicia-se um movimento pendular (este
movimento é peródico e oscilatório).
Considere as forças que atuam em um corpo de massa m suspenso por um fino fio
(ou haste) inextensível de comprimento l e massa desprezível, sujeito a uma tensão T em
oposição a força vertical, P = mg, devido a ação da gravidade. Se é o deslocameto angular
do fio a partir de vertical, a 2ª Lei de Newton nos fornece as equações:
my mg T cos
mx T sen
(12. 252)
Eliminando-se T e lembrando que:
x l sen
(12. 253)
y l cos
Obtemos a equação do pêndulo:
g
sen 0
l
Que é uma equação diferencial de 2ª ordem.
306
(12. 254)
12.8.5 – Circuito Elétrico RLC
Dado o circuito
Figura - 12. 5
onde R, I, L e E é definido de forma idêntica ao problema anterior acima e C é a capacitância.
Sabe-se que a queda de potencial através da capacitância C é VC
Q
, onde Q é a carga na
C
capacitância. Pela lei de Kirchoff temos:
L
dI
Q
RI E
dt
C
(12. 255)
Mas
I
dQ
dt
(12. 256)
Então
d 2Q
dQ Q
L 2 R
E
dt C
dt
que é uma equação linear de 2ª ordem.
307
(12. 257)
12. 10 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente
Variáveis
308
12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com
Coeficiente Variáveis
309
12. 11 - Método das Funções de Green
310
12. 12 - Equações de Sturm-Liouville
Um problema de Sturm-Liouville é caracterizado por uma equação diferencial do
tipo:
d
d
p ( x ) x s ( x ) x r ( x ) x 0
dx
dx
(12. 258)
O operador de Sturm-Liouville é portanto definido como:
L
d
d
p ( x) s ( x)
dx
dx
(12. 259)
onde
L x r ( x ) x
(12. 260)
e são os auto-valores e x as auto-funções.
Considerando,
1 2 3 ...n ...
(12. 261)
Chamamos de espectro de L .
O operador de Sturm-Liouville é um operador auto-adjunto o que implica que
seus auto-valores são reais, ou seja as grandezas a eles relacionados são observáveis. Pois
considera-se que números imaginários puros são grandezas não-observáveis.
311
12.10.1 - Teorema - 1
Considere x uma família livre de funções formando por um conjunto de
auto-funções ortogonais, onde
x , x A
'
'
(12. 262)
Então
x r x ' x
(12. 263)
'
(12. 264)
Se
Prova
Consideremos duas funções quaisquer onde vale:
i) m x
L m x m r ( x ) m x
(12. 265)
L n x n r ( x) n x
(12. 266)
e
ii) n x
Multiplicando a primeira equação por n x e a segunda equação por m x e subtraindo as
equações resultantes
n x L m x m x L n x n x m r ( x) m x m x n r ( x) n x
(12. 267)
e integrando em um intervalo de a; b temos:
b
b
n x L m x m x L n x dx n x m r ( x) m x m x n r ( x) n x dx
a
a
(12. 268)
ou
b
b
n x L m x m x L n x dx m r ( x) n x m x n r ( x) m x n x dx
a
a
312
(12. 269)
ou ainda
b
b
x L x x L x dx
n
m
m
n
m
a
n r ( x) n x m x dx
a
(12. 270)
Como as funções são ortogonais entre si podemos escrever a partir de ( ) que:
b
b
x L x x L x dx
n
m
m
n
m
n r ( x) nm dx
a
(12. 271)
a
Integrando o lado esquerdo por partes temos:
b
x L x x L x dx
n
m
m
n
a
b
b
d x
d x d m x
n x p x m
p x n
dx a a
dx
dx
(12. 272)
b
b
d x
d x d n x
m x p x n
p x m
dx a a
dx
dx
Substituindo ( ) em ( ) temos:
b
b
d m x
d x d m x
n x p x
p x n
dx a a
dx
dx
b
b
b
d n x
d m x d n x
m x p x
p x
m n r ( x) nm dx
dx a a
dx
dx
a
(12. 273)
Escolhendo as condições de contorno:
1) DIRICHLET (homogênea)
n a n b 0 n
(12. 274)
Então:
b
0 m n r ( x) nm dx
a
logo
313
(12. 275)
n x r x n x
(12. 276)
2) NEUMANN (homogênea)
d n a
dx
d n b
dx
0 n
(12. 277)
Então:
b
0 m n r ( x) nm dx
(12. 278)
a
logo
n x r x n x
(12. 279)
3) MISTA (não-homogênea)
d n a
0
dx
d n b
n b
0
dx
n a
n
(12. 280)
Então:
b
0 m n r ( x) nm dx
(12. 281)
a
logo
n x r x n x
(12. 282)
4) COMPLETA= DIRICHLET + NEUMANN (homogênea)
n a n b
d n a d n b
n
dx
dx
p a p b
Então:
314
(12. 283)
b
0 m n r ( x) nm dx
(12. 284)
a
logo
n x r x n x
(12. 285)
Teorema - 2
Se um conjunto de funções n x são ortogonais entre si e são conjunto
completo. Logo as funções n x ' s formam uma base n x de um espaço funcional
(espaço vetorial de funções)
315
12. 13 - Método de Taylor
Suponhamos uma equação diferencial do tipo:
A x y '' x B x y ' x Cy x 0
(12. 286)
onde A x , B x são polinômios.
Chamando de:
p x
B x
A x
e q x
C
A x
(12. 287)
teremos:
y '' x p x y ' x q x y x 0
(12. 288)
Se o novo polinômio p x não apresenta singularidade de 1ª ordem (pólo de 1ª ordem) e
q x não apresenta pólo de 2ª ordem então esta equação diferencial pode ser resolvida por
expansão em série de potências ou melhor dizendo em Série de Taylor, da seguinte forma:
y x an x xo
n 0
316
n
(12. 289)
12.11.1 – Equação Diferencial de Euler
Suponhamos que a equação diferencial que satisfaz as condições acima seja uma
equação do tipo:
x xo
2
y '' x po x xo y ' x qo y x 0
(12. 290)
chamada de equação de Euler.
Nós podemos analisar os limites de:
2
lim x xo p x e lim x xo q x
x xo
(12. 291)
x xo
vemos que neste caso temos:
lim po po e lim qo qo
x xo
(12. 292)
x xo
os polinômios são analíticos em x xo pois os limites são finitos e bem determinados.
Resolvendo a equação diferencial por Série de Taylor temos:
y x an x xo
n
(12. 293)
n 0
onde as derivadas são:
y ' x nan x xo
n 1
(12. 294)
n0
e
y '' x n n 1 an x xo
n2
(12. 295)
n 0
Substituindo ( ), ( ) e ( ) na equação ( ) temos;
2
x xo n n 1 an x xo
n2
n0
po x xo nan x xo
n0
n 1
n
qo an x xo 0
n0
(12. 296)
reescrevendo temos:
n n 1 a x x
n
n 0
o
n
n
n
po nan x xo qo an x xo 0
n 0
n0
317
(12. 297)
Para que a soma destes termos seja nula é preciso que a soma dos coeficientes
correspondentes de cada potência de x também seja nula, logo:
n n 1 a
n 0
n
n
po nan qo an x xo 0
(12. 298)
logo
n n 1 an po nan qo an 0
(12. 299)
n n 1 po n qo 0
(12. 300)
ou ainda
logo teremos uma equação indicial que será válida para toda equação do tipo Euler.
n 2 1 po n qo 0
(12. 301)
Resolvendo esta equação indicial temos:
n
1 po
1 po
2
4.1.qo
(12. 302)
2
teremos três casos a considerar:
Quando as raízes da equação acima forem:
1) n1 n2 teremos:
1 po
2
(12. 303)
4.1.qo 0
logo
n
y1 x C1 x xo 1 e y2 x C2 x xo
n2
(12. 304)
Com
F n n n1 n n2 0
(12. 305)
Portanto, o Wronskiano de y1 , y2 será:
r r2
W y1 , y2 r2 r1 x xo 1
0
Pois r1 r2 , portanto, y1 x e y2 x são L. I. logo a solução geral será:
318
(12. 306)
n
y x C1 x xo 1 C2 x xo
n2
(12. 307)
2) n1 n2 teremos:
1 po
2
(12. 308)
4.1.qo 0
logo
y1 x C1 x xo e y2 x C2 x x xo
(12. 309)
com
2
F n n n1 n n2 n 0
(12. 310)
onde C2 x é calculado pelo método da variaçào das constantes ou Método de Abel. Onde
x
C x
0
1
y1 x
2
p x dx
e
dx
(12. 311)
como
p x
po
x xo
(12. 312)
então:
x
po
dx po ln x xo
x
x
o
0
p x dx
(12. 313)
logo
x
C x
0
po
1
y1 x
2
e
po ln x xo
x xo
dx
2
x xo
dx
(12. 314)
e
C x x xo
po 2
dx
(12. 315)
mas
1 po
2
4.1.qo 0
e
319
(12. 316)
1 po
(12. 317)
2
logo
po 2
1 po 1
(12. 318)
2
Então
C x
dx
ln x xo
x xo
(12. 319)
Portanto,
y2 x ln x xo x xo
(12. 320)
Portanto, a solução geral será:
y1 x C1 x xo C2 ln x xo x xo
(12. 321)
3) n1 n2 * (raízes complexas) teremos:
1 po
2
(12. 322)
4.1.qo 0
logo
y1 x C1 x xo
i
e y2 x C2 x x xo
i
(12. 323)
com
2
(12. 324)
i
(12. 325)
F n n n1 n n2 n i
Portanto a solução geral será:
y x C1 x xo
i
C2 x x xo
Ou ainda
i
i
y x x xo C1 x xo C2 x x xo
Ou
320
(12. 326)
i log x xo
i log x xo
y x x xo C1e
C2 x e
(12. 327)
Usando a fórmula de Euler temos:
y x x xo C1 C2 cos log x xo i C1 C2 sen log x xo
(12. 328)
Ou
y x x xo A cos log x xo iB sen log x xo
321
(12. 329)
12. 14 - Método de Frobëniüs
Agora vamos estudar um método mais geral para solução de equações diferenciais
do tipo:
A x y '' x B x y ' x C x y x 0
(12. 330)
onde A x , B x e C x são polinômios.
Chamando de:
p x
B x
A x
e q x
C x
A x
(12. 331)
teremos:
y '' x p x y ' x q x y x 0
322
(12. 332)
12.12.1 - Teorema de Fucks
Nesta equação diferencial onde o polinômio p x pode apresentar no máximo
uma singularidade simples (pólo de 1ª ordem) e o polinômio q x pode apresentar no
máximo um pólo de 2ª ordem para que seja solúvel pelo “Método de Frobenuis”
A equação diferencial pode ser resolvida por expansão em série de potências do
tipo:
y x x xo
r
a x x
n
n
o
(12. 333)
n0
Que é chamado de Método de Frobenius desde que encontramos os limites:
2
lim x xo p x e lim x xo q x
x xo
x xo
(12. 334)
com valores finitos
Portanto, se xo é ponto singular regular usa-se o método de Frobenius. Mas se
por outro lado, p xo e q xo são finitos, logo xo é ponto ordinário então emprega-se o
Método de Taylor. Conclui-se, portanto, que este método é uma extensão de resolução por
Série de Taylor. Ou seja, o Método de Frobenius coloca apenas explicitamente a singularidade
sob a forma de potência e faz uma expansão em série em torno dela. Portanto, vale os
seguintes casos:
1) y x é analítica em um ponto x xo e é diferente de zero. Portanto, r 0 , recaindo no
Método de Taylor.
2) y x é analítica em um ponto x xo e possui zero de ordem m. Portanto, r m (inteiro
positivo).
3) y x possui pólo de ordem m em um ponto x xo . Portanto, r m (inteiro negativo).
4) y x possui ponto de ramificação em um ponto x xo . Portanto, r é racional ou
irracional.
323
12. 15 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são
Soluções de Equações Diferenciais
12.13.1 - Função de Hipergeométrica
Em muitos problemas de Física encontramos equações diferenciais que foram
estudadas por, Bessel, Legendre, Laguerre, Hermite, as quais podem ser escritas de forma
genérica numa única equação diferencial chamada de Equação Diferencial Hipergeométrica,
da seguinte forma:
x (1 x) y '' x 1 x y ' x y ( x) 0
(12. 335)
da qual as outras equações poderão ser deduzidas bastando apenas escolher convenientemente
os valores para as constantes, , e . Vejamos:
A equação de Bessel aparece quando trabalhamos em coordenadas cilíndricas, e
pode ser escrita a partir da Equação Hipergeométrica bastando apenas escolher:
324
12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange
325
12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre
326
12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre
327
12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite
328
12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss
329
12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace
330
12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel
A equação diferencial de Bessel aparece quando expressamos alguns problemas
da Física (Onda, Difusão, etc) na forma de equações diferenciais em coordenadas cilíndricas.
O termo das equações diferenciais responsáveis pelo aparecimento da chamda “Equação
Diferncial de Bessel”em coordenadas cilíndricas é o Laplaciano (2).
Em coordenadas cilíndricas:
1 1 2 2
r
r r r r 2 2 z 2
2
(12. 336)
Desnvolvendo o termo dependente de r:
2 1 1 2 2
2
r r r 2 2 z 2
r
2
(12. 337)
Multiplicando tudo por r2 temos:
2
2 2
2
2
r r
r
r
2
r 2
z 2
r
2
2
(12. 338)
Como na maioria das equações diferenciais temos termos proporcionais a função
(3) então aparecerá para a coordenada r a seguinte equação:
2
r
r
r 2 v2 0
2
r
r
2
(12. 339)
Chamada de “Equação de Bessel”.
Para resolvê-la basta aplicar o “Método de Frobenius”, ou seja, tentar uma solução
do tipo:
(r ) r s an r n
n 0
(12. 340)
Fazendo as derivadas temos:
3
As equações diferenciais que aparecem na Física algumas delas podem ser reduzidas a equação Helmholtz
2 k 2
331
(r )
n s an r n s 1
r
n0
(12. 341)
2 (r )
n s 1n s a n r n s 2
2
r
n 0
(12. 342)
e
Substituindo na equação diferencial
r 2 n s 1n s a n r n s 2 r n s a n r n s 1 r 2 v 2
n 0
n 0
a r
n s
n
0
n 0
(12. 343)
Reescrevendo temos:
n s 1n s an r n s n s a n r n s a n r n s 2 v 2 a n r n s 0
n0
n0
n0
n 0
(12. 344)
Expandindo os dois primeiros termos, das duas primeiras séries e da última:
s 1sa o r s s( s 1)a1r s 1 n s 1n s a n r n s sa o r s ( s 1)a1r s1
n2
n s a n r
n s
... a n r n s 2 v 2 a o r s v 2 a1 r s 1 v 2 a n r n s 0
n 2
n0
(12. 345)
n 0
Fazendo n = m + 2, ou seja, m = n – 2 temos:
s 1sao r s s(s 1)a1r s 1 m 2 s 1m 2 s a m 2 r m 2 s
m 0
s
sa o r ( s 1)a1 r
s 1
m 2 s a m 2 r m 2 s ...
m 0
(12. 346)
a n r n s 2 v 2 a o r s v 2 a1 r s 1 v 2 a m 2 r m 2 s 0
n0
m 0
Como m é um índice de soma, podemos retornar ao índice n, ficando com:
s 1sao r s s( s 1)a1r s 1 n 2 s 1n 2 s an2 r n2 s
n0
s
sao r ( s 1)a1r
s 1
n 2 s a n 2 r n 2 s ...
n0
a n r n s 2 v 2 ao r s v 2 a1r s 1 v 2 a n 2 r n 2 s 0
n 0
n0
332
(12. 347)
Como as funções potenciais são ortogonais (Linearmente Independentes) a soma de cada
potência deve ser nula, portanto:
s 1s s v a 0 s v a 0 (n 0)
s(s 1) (s 1) v a 0 (s 1) v a 0
n 1 s n 2 s n 2 s v a a 0
2
2
2
o
o
2
2
2
1
1
(n 1)
n
( n 2)
2
n2
(12. 348)
Logo, cancelando os coeficientes ao e a1 e reescrevendo temos:
s2 v2
( n 0)
s 2 2s 1 v 2 0 (n 1)
(12. 349)
n 2 s n 1 s 1 v 2 an2 an 0
( n 2)
ou
s2 v2
( n 0)
s 2 2s 1 v 2 0 (n 1)
n 2 s
2
(12. 350)
v 2 an2 a n 0
Como ao pode ser escolhido arbitráriamente igual a unidade, ao = 1, e as raízes
serão:
s1 v
s 2 v
p /( n 0)
(12. 351)
Logo, da segunda equação termos que para a1=0,
s 2 2s 1 v 2 0 (n 1)
2 4 4.1.(1 v 2 )
s
2
2 4 4(1 v 2 )
s
2
(12. 352)
2 4v 2
s
2
s 1 v 2
s 1 v
Vejamos agora os coeficientes das outras potências de r onde teremos uma
fórmula de recorrência para para os an’s da solução da equação diferencial:
333
an2
an
n 2 s 2 v 2
(12. 353)
Pela fórmula de recorrência concluímos que para todos os índices ímpares os an
serão nulos, porque dependem de a1 que foi escolhido igual a zero. Portanto, só termos os na
com índices pares. Logo, fazendo n = 2m, podemos escrever:
a 2 m 2
a2m
2m 2 s 2 v 2
(12. 354)
i) Tomando em primeiro lugar a raiz s1 v temos:
a 2 m 2
a2m
2m 2 v 2 v 2
(12. 355)
Ou ainda
a 2 m 2
a2m
2m 2 v v 2m 2 v v
(12. 356)
a2m
2m 2 2v 2m 2
(12. 357)
a2m
2 m 1 v m 1
(12. 358)
Logo
a2 m 2
ou
a2 m 2
2
Desenvolvendo temos:
a2 m 2
1
1
1
...
2
2
2 m 1 v m 1 2 m v m 2 m 1 v m 1
2
1
2
2 1 v
(12. 359)
Logo podemos escrever:
a2 m 2
1m
2 2 m m 1 v !m 1!
Portanto a solução para s1 v é:
334
(12. 360)
(r ) r
v
1n
2 2n n 1 v !n 1!r 2n
n 0
(12. 361)
ii) Tomando em primeiro lugar a raiz s1 v temos:
a 2 m 2
a2m
2m 2 v 2 v 2
(12. 362)
Ou ainda
a2 m 2
a2m
2m 2 v v 2m 2 v v
(12. 363)
a2m
2m 2 2v 2m 2
(12. 364)
a2m
2 m 1 v m 1
(12. 365)
Logo
a2 m 2
ou
a2 m 2
2
Desenvolvendo temos:
a2 m 2
1
1
1
...
2
2
2 m 1 v m 1 2 m v m 2 m 1 v m 1
2
1
2 2 1 v
(12. 366)
Logo podemos escrever:
m
1
a2 m 2 2 m
2 m 1 v !m 1!
(12. 367)
Portanto a solução para s1 v é:
1n
r 2n
2n
n0 2 n 1 v !n 1!
(r ) r v
Concluindo a solução geral da equação diferencial de Bessel é:
335
(12. 368)
(r ) C1v (r ) C 2 v (r )
(12. 369)
No caos de v Z temos que representar o termo n 1 v ! Pela função Gama. Isto pode
ser feito porque ao é arbitrário e pode ser escolhido como:
ao
1
(v 1)
(12. 370)
Logo a solução será:
v (r ) r
v
1n
2 2n n 1! n 1 v r 2n
n 0
336
(12. 371)
12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel
A fórmula de Rodrigues para a função de Bessel é dada por:
J n 1 ( x)
n
J n ( x ) J ' n ( x)
x
(12. 372)
Logo
i) Para n = 0 temos:
J 1 ( x) J '0 ( x )
(12. 373)
ii) Para n =1 temos:
J 2 ( x)
1
J 1 ( x) J '1 ( x)
x
(12. 374)
Usando ( ) em ( ) temos:
1
J 2 ( x) J 0 ( x) J ' '0 ( x)
x
1 d
d d
J 2 ( x)
J 0 ( x) J 0 ( x )
x dx
dx dx
(12. 375)
1 d d d
J 2 ( x)
J 0 ( x )
x dx dx dx
Vamos calcular o seguinte produto de operadores:
1 d 1 d 1 d 1 d 1 d d
x dx x dx x dx x dx x dx dx
1 1 d 1 d d
2
x x dx x dx dx
(12. 376)
Se multiplicarmos tudo por x2 temos:
2
1 d 1 d x 1 d 1 d d
x2
x dx x dx x x 2 dx x dx dx
1 d d d
x dx dx dx
Portanto,
337
(12. 377)
1 d 1 d
2
J 2 ( x) 1 x 2
J o ( x)
x dx x dx
2
d
J 2 ( x) 1 x
J o ( x)
x dx
2
2 1
(12. 378)
Por indução temos:
n 1
n
d
J n ( x) 1 x
J o ( x)
x dx
n
338
(12. 379)
12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel
Partindo da equação ( ) e somando J n1 ( x ) dos dois lados desta equação temos:
J n 1 ( x) J n 1 ( x)
n
J n ( x) J ' n ( x) J n 1 ( x)
x
(12. 380)
n
J n ( x ) J ' n ( x)
x
(12. 381)
Como
J n 1 ( x)
339
12. 16 – Exemplos e Aplicações
340
12. 17 - Exercícios e Problemas
341
Capítulo – XIII
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
13. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
342
13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias
Lineares
343
13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de
Sistemas de Equações Diferenciais
Vamos a partir de agora resolver alguns problemas de equações diferenciais
importantes, utilizando o método de solução por auto-valores e auto-vetores.
13.3.1 - O Pêndulo Simples
Seja uma partícula de massa m suspensa por um fio inextensível de comprimento
l, sob a ação da força gravitacional, conforme mostra a Figura - 13. 1.
Figura - 13. 1.
De acordo com a 2ª Lei de Newton, temos:
d 2r
F k m dt 2
(13. 1)
Tendo em vista o comprimento fixo do fio, a posição r da partícula é dada apenas pela
coordenada correspondente ao ângulo de inclinação do pêndulo. Logo,
r xiˆ yˆj
(13. 2)
Considerando as coordenadas polares temos:
x l cos
(13. 3)
y l sen
Onde
r x 2 y 2 l 2 (cos 2 sen 2 )
r l
Em coordenadas polares temos:
344
(13. 4)
( x, y ) (r l , )
(13. 5)
r lrˆ
(13. 6)
Logo
Figura - 13. 2.
Portanto, a velocidade do pêndulo é:
dr
drˆ
l
dt
dt
(13. 7)
dr
lˆ
dt
(13. 8)
dv d 2 r
a
2 lˆ
dt dt
(13. 9)
T mg cos 0
mg sen ml
(13. 10)
T mg cos
g
l sen
(13. 11)
Como drˆ / dt ˆ temos:
E a aceleração é:
Portanto,
Simplificando temos:
Transformando essa equação diferencial em um sistemas de equações diferenciais temos:
345
x
x
y
g
y
sen x
y
l
(13. 12)
Este sistema de equações possui solução elíptica (a solução depende dela mesma),
portanto ele deve ser linearizado em torno dos seus pontos críticos (ou também chamados de
pontos fixos).
Determinação dos Pontos Críticos
Os pontos críticos são “pontos de equilíbrio dinâmico” obtidos quando as
derivadas primeiras são nulas, portanto:
x 0 x
y 0 x n
,n Z
g
y
sen
x
0
y 0
y 0
l
(13. 13)
Portanto, esses pontos são dados pelo conjunto:
(0,0); ( ,0);(2 ,0); (3 ,0);...(n ,0);, n Z
(13. 14)
A partir dessas informações podemos desenhar o espaço de fase:
Figura - 13. 3.
Para linearizar a equação devemos expandir as funções f(x,y) e g(x,y) em série de
Taylor da seguinte forma:
f ( x, y ) f ( xo , y o )
f
f
( x xo )
x xo ,yo
y x
( y yo )
o , yo
1 2 f
2 x 2
1 2 f
( x xo ) 2
2 y 2
xo ,yo
1 2 f
( y yo ) 2
( x xo )( y yo ) ....
2 xy x ,y
xo ,yo
o o
346
(13. 15)
Linearizando em torno do Ponto (0,0)
O resultado da expansão fornece:
x
y
g
g
3
y l [ x ( x )] l x
(13. 16)
Supondo uma solução do tipo:
x q1e rt
x rq1e rt q2 e rt
g
rt
rt
y rq2 e q1e
rt
l
y q2e
(13. 17)
Cancelando os termos semelhantes e rearranjando esses termos temos:
rq1 q 2
0q1 q2 rq1
g g
rq2 l q1 l q1 0q2 rq2
(13. 18)
Colocando em forma de matrizes temos:
0
g
l
1 q q
1 r 1
0 q2 q2
(13. 19)
Aplicando o problema de auto-valores o determinante é dado por:
1
0 r
r2 q/l 0
g
det
0
r
l
2
(13. 20)
r q/l
r i q / l
Logo, os auto-valores imaginários são:
r1 i q / l
r2 i q / l
347
(13. 21)
Observe que quando os auto-valores são imaginários as soluções do problema são do tipo
oscilatórias ( e vice-versa)
Portanto,
x q1e i
y q 2 e i
g / lt
q1e i
g / lt
q 2 e i
g / lt
g / lt
2q1 cos( g / l t )
(13. 22)
2q2 cos( g / l t )
Linearizando em torno do Ponto (0,)
Expandindo novamente em Série de Taylor agora em torno do ponto (,0), temos:
f ( x, y ) 0 ........................ y
g ( x, y ) 0 ( g / l )( x ) ... ( g / l )( x )
(13. 23)
Fazendo uma transformação de variáveis onde
x
; x x
(13. 24)
Temos:
y
y
x
y ( g / l ) x
y ( g / l )
(13. 25)
Com auto-valores reais com sinais opostos
r1 q / l
r2 q / l
Estes auto-valores determinam um ponto de sela.
Finalmente desenhado o Espaço de fase temos;
348
(13. 26)
13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra
O modelo de Lotka-Volterra é um modelo do tipo predador-presa
x' (1 y ) x f ( x, y )
y ' v(1 x) y g ( x, y )
(13. 27)
Seus pontos fixos são dados por:
(1 y ) x 0
v(1 x) y 0
(13. 28)
Os quais são os pontos: (0,0) e (1,1):
I) Linearizando em torno do Ponto (0,0)
Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:
f ( x, y ) 0 x 0 ( x 2 , y 2 ) ... x
g ( x, y ) 0 vy 0 ( x 2 , y 2 ) ... vy
(13. 29)
Logo podemos propor a seguinte solução:
x q1e t
x' x
y ' vy y q 2 e t
(13. 30)
Obtendo e simplificando os termos
q1e t q1e t
q1 q1
q2 e t vq2 e t
q 2 vq2
(13. 31)
Colocando na foram matricial
0
0 q1
q
1
v q 2
q 2
Cujo determinante
349
(13. 32)
det
0
0
0 ( )(v ) 0
v
(13. 33)
2 ( v) v 0
os auto-valores são:
1 ; 2 v
(13. 34)
Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)
- Para o auto-valor 1
1
q1 q1 ; vq2 q2
(13. 35)
1
eˆ1
0
(13. 36)
O auto-vetor é do tipo:
- Para o auto-valor 2
2 v
q1 vq1 q1 0
vq2 vq2 q 2 q2
(13. 37)
q2 R
O auto-vetor é do tipo:
0
eˆ2
1
(13. 38)
x
1 t
0 vt
y 0 e 1 e
(13. 39)
Portanto a solução é:
Cujo espaço de fases fornece:
350
Figura - 13. 4.
II) Linearizando em torno do Ponto (1,1)
Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:
f ( x, y ) 0 ( y 1) 0 ( x 2 , y 2 ) ... ( y 1)
g ( x, y ) 0 v( x 1) 0 ( x 2 , y 2 ) ... v( x 1)
(13. 40)
Fazendo
x 1 x
y 1 y
(13. 41)
Logo podemos propor a seguinte solução:
t
x' x x q1e
y
'
vy
y q2 e t
(13. 42)
Obtendo e simplificando os termos
q1e t q 2 e t
q1 q2
q2 e t vq1e t
q2 vq1
351
(13. 43)
Colocando na foram matricial
q
0 q1
1
v 0 q 2
q 2
(13. 44)
Cujo determinante
0
det
v
0 2 v 0
0
(13. 45)
os auto-valores são:
1 i v ; 2 i v
(13. 46)
Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)
- Para o auto-valor 1
1 i v
q2 i vq1 ; vq1 i v q2
(13. 47)
O auto-vetor é do tipo:
1
eˆ1 i v
(13. 48)
- Para o auto-valor 2
1 i v
q2 i v q1 ; vq1 i v q2
(13. 49)
O auto-vetor é do tipo:
1
eˆ2 i v
Portanto a solução é:
352
(13. 50)
1
1
x
t
vt
y i v e i v e
(13. 51)
Ou ainda podemos simplificar
x
1 t
1 vt
e
y
i
i e
(13. 52)
e
e wt cos(wt ) isen( wt )
e vt cos(wt ) isen( wt )
(13. 53)
Cujo espaço de fases fornece:
Figura - 13. 5.
Os sistemas caóticos são extremamente sensíveis as condições iniciais. E para
sistemas contínuos, o caos só ocorre se este sistema é tridimensional 3D.
353
13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas
Considere o exemplo do sistema massa-mola dado por:
Figura - 13. 6.
k1 k 2 k12 1
m1 m2 1
(13. 54)
Aplicando a 2ª Lei de Newton temos:
F
ma
(13. 55)
m1 x1 k1 x1 k12 ( x1 x2 )
(13. 56)
m2 x2 k12 ( x2 x1 ) k 2 x2
(13. 57)
No corpo 1
No corpo 2
Montando o sistema de equações temos:
x q1e t
x' '1 2 x1 x2 0
x
'
'
x
2
x
0
y q 2 e t
2 1
2
(13. 58)
2 q1 2q1 q2 0
2q1 q2 2 q1
2
q 2 2q1 2q2 0 q1 2q2 2 q 2
(13. 59)
Temos:
354
Colocando na forma matricial temos:
q
2 1 q1
2 1
1 2 q2
q 2
(13. 60)
Calculando o determinante do problema de auto-valor temos:
2 2
det
1
1
(2 2 ) 2 1
2
2
(13. 61)
Chamando de:
2
(13. 62)
i
Logo
(2 ) 2 1 2 4 3
4 16 12 1 3
2
2 1
(13. 63)
retornando a temos:
11 i
3 i 3 2
1 i
2
12 i 3
1 i 2
2 i 3
(13. 64)
Os auto-valores para 1 =1 são:
1
1
eˆ1 ou eˆ1
1
1
(13. 65)
Os auto-valores para 2 =3 são:
1
1
eˆ2 ou eˆ2
1
1
(13. 66)
Logo a solução é:
x1
1 it
1 it
1 i
x 1 1 e 2 1 e 1 1 e
2
355
3t
1
2 e i
1
3t
(13. 67)
Onde 1, 2, 1 e 2 arbitrários
Os autovalores de problemas dinâmicos vibratórios estão sempre associados a
freqüências naturais do fenômeno.
356
13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)
Uma matriz é dita simétrica quando Aij A ji
Αx x
(13. 68)
1) Se A é simétrica os auto-valores são reais (’s R)
2) Se A tem de multiplicidade K seus auto-vetores geram sub-espaço de dimensão K.
3) Se A possui auto-valores distintos os auto-vetores são ortogonais entre si.
i) Se
1 2 3 v1 v2 v3
(13. 69)
1 2 3 v1 v3 ; v2 v3 mas v1 v2
(13. 70)
1 2 3 v1 v3 v2
(13. 71)
ii) Se
iii) Se
Figura - 13. 7.
357
13.4.1 - Teorema
Se os auto-valores j e k são distintos seus auto-vetores associados são
perpendiculares entre si.
Prova:
Ae j j e j
ek .( Ae j ) ek . j e j
T
T
ek . Ae j j ek .e j
T
T
ek . Ae j j ek .e j
Aek k ek
( Aek ).e j k ek .e j
T
( Aek )T .e j k ek .e j
T
T
ek AT .e j k ek .e j
mas
mas
A AT
T
ek . A e j j k j
A AT
T
ek A.e j k k j
T T
T
ek A.e j ek A.e j (k j )ek .e j 0
Mas
k j ek e j 0 e k e j
358
(13. 72)
13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais NãoHomogêneas
Considere a seguinte equação vetorial
Ax x c
(13. 73)
onde é um parâmetro. Sabendo que:
n
x a je j
n
; c c je j
j 1
(13. 74)
j 1
temos:
n
n
A a j e j a j e j c j e j
n
j 1
j 1
(13. 75)
j 1
Supondo que A tem auto-valores ’s
n
n
A a j e j a j Ae j a j j e j
n
j 1
j 1
(13. 76)
j 1
Fica
n
(
)
a
e
j
c e
j j
n
(13. 77)
1
j 1
Então
( j ) a j c j
j 1,2,3..., n
(13. 78)
Com os seguintes casos:
i) Nenhum j =
aj
cj
( j )
solução única
ii) Existe um k = (Multiplicidade 1)
ii.1)
359
(13. 79)
cj
c
ck 0 ak
k ak
( k ) 0
(13. 80)
nenhum valor de ak satisfaz
0.ak c1 não tem solução (sistema impossível)
(13. 81)
ii.2)
ck 0 a k
0
? número ak
0
satisfaz
(13. 82)
e
(k )a k ck a k é arbitrário
0
(13. 83)
0
Portanto,
x a k ek
cj
n
(
j * 2
j
)
ej
(13. 84)
j* 1,2,...k 1, , k 1,...n
iii) k = com multiplicidade p ( 1 2 .... p ) se c1 ,..., c2 0 não há solução
iv) Se
c1 c2 ... 0
(13. 85)
logo
x a1e1 a2 e2 ... a p e p ...
cj
n
(
j *2
j
)
ej
(13. 86)
Solução indeterminada com p graus de liberdade (no. incógnitas > no. equações). Ver
exemplo 3 do livro no Capítulo - 11.
Ex.
360
13. 6 - Diagonalização
Vejamos o seguinte problema:
x ' Ax
(13. 87)
Onde a matriz A é acopla as soluções das equações diferenciais. Vamos escolher uma
transformação Q, tal que:
x Q~
x
(13. 88)
Tal que substituindo em ( ) temos:
Q~x ' AQ~x
(13. 89)
Q~
x ' AQ~
x
(13. 90)
Logo
Pois queremos que exista uma transformação Q-1 de tal forma que:
Q 1Q~
x Q 1 AQ~
x
(13. 91)
Q 1Q~
x ' Q 1 AQ~
x
(13. 92)
I~
x ' D~
x
(13. 93)
D Q 1 AQ
(13. 94)
Logo
Portanto,
Onde
361
13.6.1 - Teorema
1) Uma matriz An x n é diagonalizável se e somente se A possui n auto-vetlores L. I.
2) Se uma matriz
A possui auto-vetores
L. I.,
eˆ1 , eˆ2 , eˆ3 ,...eˆn
logo fazendo
Q [eˆ1 eˆ2 eˆ3 ...eˆn ] temos que, D Q 1 AQ é uma matriz diagonal e os auto-valores de A
são os valores da diagonal.
Prova
Se A é diagonalizável então A possui n auto-vetores L. I.
d11
0
1
D Q AQ
:
0
0
d 22
:
0
..
0
.. 0
.. 0
.. d nn
(13. 95)
Onde
q11
q
AQ 21
:
qn1
q12
q22
:
qn 2
.. q1n d11
.. q2 n 0
.. 0 :
.. qnn 0
0
d 22
:
0
..
0
.. 0
.. 0
.. d nn
(13. 96)
q 2 d 22 .. qn d nn
(13. 97)
Ou
q11d11
q d
AQ 21 11
:
qn1d11
Logo
q12 d 22
q 22 d 22
:
q n 2 d 22
AQ Aq1
q2
.. q1n d nn
.. q2 n d nn
q1d11
..
0
.. qnn d nn
.. qn Aq1
Onde
362
Aq 2
.. Aq n
(13. 98)
Aq1 d11q1
Aq2 d 22 q2
(13. 99)
:
Aqn d nn q n
Se os qi ’s são diferentes de zero ( qi 0 ) para i = 1, 2, ...., n então q são auto-vetores e são
L. I. porque Q possui inversa (não pode existir qualquer vetor qi 0 ). Se os qi ’s são L. D.
1
então não existe a inversa de Q (
Q QI)
A prova da volta da parte 1 do teorema.
Se A possui auto-vetores L. I. então A é diagonalizável.
Podemos definir Q [eˆ1 eˆ2 eˆ3 ...eˆn ] a matriz Q é formada pelos vetores êi nas
colunas. Logo
AQ Ae1
e2
.. en Ae1
Ae2
.. Aen
(13. 100)
Por hipótese temos um problema de auto-vetores.
AQ Ae1 e2
.. en 1e1
2 e2 .. n en
(13. 101)
Ou
1d11 2 d 22
d
2 d 22
AQ 1 11
:
:
1d11 2 d 22
.. n d nn e11 e12
.. n d nn e21 e22
..
0 :
:
.. n d nn en1 en 2
.. e1n 1 0
.. e2 n 0 2
.. 0 :
:
.. enn 0 0
..
0
.. 0
.. 0 (13. 102)
.. n
ou
AQ QD
(13. 103)
Multiplicando os dois lado por Q-1, temos:
Q 1 AQ D
363
(13. 104)
13.6.2 – Exemplo: Cinética Química
Considere duas espécies químicas X1, X2
k12
x1
x2
(13. 105)
k 21
A cinética das reações são dadas por:
x'1 k 21 x1 k12 x2
x'2 k 21 x1 k12 x2
(13. 106)
A qual pode ser escrita de forma resumida
x ' Ax
(13. 107)
Onde
k
A 21
k 21
k12
k12
(13. 108)
Fazendo
~
x ' Qx
(13. 109)
x ' Q 1 AQx
(13. 110)
0
~
x 1
0 2
(13. 111)
Logo
Onde
Calculado o determinante de A I 0 temos:
(k 21 )(k12 ) k12 k 21 0
2 (k12 k 21 ) 0
[ (k12 k 21 ] 0
1 0 ; 2 (k12 k 21 )
364
(13. 112)
k
1 0 : e1 12
k12 1
k 21
Q
1
k 21 1
2 (k12 k 21 ) : e2
1
(13. 113)
~
x '1 1~
x1 0
~
x ' 2 2 ~
x2 (k12 k 21 ) ~
x2
(13. 114)
~
x1 C1
~
x C e ( k12 k21 )t
(13. 115)
Logo
E
2
2
Portanto,
x k
x 1 12
x2 k 21
1
C1
1 C2 e ( k12 k21 )t
(13. 116)
x1 k12 C2 e ( k12 k21 )t
x
( k k ) t
2 C1k 21 C2 e 12 21
(13. 117)
x1 1 x2
(13. 118)
k12 C 2 e ( k12 k21 )t 1 [C1k 21 C 2 e ( k12 k21 )t ]
(13. 119)
k12 1 C1k 21
(13. 120)
Considerando que:
Temos:
Logo
365
13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico
Considere o sistema mecânico da Figura - 13. 8.
Figura - 13. 8.
O sistema de equações diferenciais que rege o movimento do sistema mecânico é
dado por:
mx (k1
my
k2
k
)x 2 y
2
2
k2
k
x 2 y
2
2
(13. 121)
(13. 122)
e podemos escrever:
x ' ' Ax 0
(13. 123)
Onde
2k1 k 2
A 2m
k2
2m
k2
2m
k2
2m
(13. 124)
Fazendo
k1 3 ; k 2 4 ; m 1
(13. 125)
Temos:
6 4
A 2
4
2
4
2 5 2
4 2 2
2
Cujos auto-valores e auto-vetores são:
366
(13. 126)
1 1 ; eˆ1
1 1
5 2
1 2
2 6 ; eˆ1
5 1
(13. 127)
E a matriz Q que diagonaliza A é dada por:
1
Q 5
2
5
2
5
1
5
(13. 128)
Então ficamos com:
~
x ' ' D~
x 0
(13. 129)
x A1sen(t 1 )
~
x '' ~
x
~
~
~
~
y ' ' 6 y y A2 sen( 6t 2 )
(13. 130)
1
2
sen
(
t
)
sen
(
6
t
)
1
2
5
5
x
A
A
1
2
y
2
1
sen(t 1 )
sen( 6t 2 )
5
5
(13. 131)
E
Portanto,
Cujos modos normais de vibração são:
367
13. 7 - Formas Quadráticas
Seja a função
f ( x1 , x2 ) a11 x12 2a12 x1 x2 a22 x22 ,
(13. 132)
esta é chamada de forma quadrática em x1 e x2. Em geral temos:
f ( x1 , x2 ,..., xn ) x T Ax ,
(13. 133)
Se A éuma matriz diagonal, a forma quadrática é chamada de “canônica”. Há
casos em que é interessante transformar f na forma canônica. Considere a nova variável ~
x
onde:
x Q~
x,
(13. 134)
onde Q é uma matriz de transformação de coordenadas, logo
f ( x ) (Q~
x )T A(Q~
x),
(13. 135)
T ~
T T
f (x) ~
x (Q AQ ) ~
x~
x Dx ,
(13. 136)
E ainda
Se A for simétrica então ao auto-vetores de A podem ser usados para formar Q onde:
Q e1 e2 .. en
1 0
0
2
e D
:
:
0 0
..
0
.. 0
:
0 n
(13. 137)
Portanto,
f ( x ) 1 ~
x12 2 ~
x22 ... n ~
xn2 ,
368
(13. 138)
13.7.1 – Exemplo:
Considere a seguinte forma quadrática
f ( x1 , x2 ) 3 x12 2 x1 x2 3 x22 ,
(13. 139)
3 1
A
,
1
3
(13. 140)
Onde
Cujos auto-valores e auto-vetores são:
1 4 ; eˆ1
1 1
2 1
1 1
2 2 ; eˆ1
2 1
(13. 141)
E
x
x 1
x2
1
2
1
2
1
~
2 x1
1 ~
x2
2
(13. 142)
Portanto,
f (~
x1 , ~
x2 ) 1 ~
x12 2 ~
x22 ,
369
(13. 143)
13.7.2 – Definição
T
A função f ( x1 , x 2 ) é positiva (ou negativa) definida se x Ax 0 (< 0) para
x 0 . Observe que a matriz A é que comanda o sinal da forma quadrática.
13.7.3 – Teorema
Seja A uma matriz simétrica então A é positiva definida (ou negativa definida) se
todos os seus auto-valores são positivos (ou negativos).
13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem)
Considere o sistema mecânico mostrado na Figura - 13. 9
Figura - 13. 9.
A energia potencial do sistema é dado por:
1 2 1 2 1 ( x y) 2
V kx ky
pz ,
2
2
2
2
(13. 144)
Considerando o seguinte vínculo de:
z L cos L cos L cos 3L ,
(13. 145)
Para pequenos temos:
1 x
cos 1
2 L
1 y
cos 1
2 L
2
2
1 x y
cos 1
2 L
370
,
2
(13. 146)
Portanto,
5k P
5k P
k P
V ( x, y ) x 2 y 2 xy ,
8 L
8 L
4 L
(13. 147)
Coma matriz A associada dada por:
5k P
8 L
A
k P
8 2L
k P
8 2L ,
5k P
8 L
(13. 148)
Onde
1
3k 1 P
k3 P
; 2 ,
2 3 kL
2 2 kL
(13. 149)
f é definida positiva se e somente se:
P 1
,
kL 3
(13. 150)
371
13. 8 – Exemplo e Aplicações
372
13. 9 – Exercícios e Problemas
373
Capítulo – XIV
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
14. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
374
14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares
375
14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem
14.3.1 - Caso - 1
A Equação Diferencial é um polinômio em y’.
a ( x) y ' 2 b( x) y 'c( x) y 0
(14. 1)
Achar as raízes y '1 , y ' 2 ,... e procurar integrar cada uma delas. Vejamos o exemplo:
y ' 2 ( x y ) y ' xy 0
(14. 2)
Resolvendo a equação do 2º grau pela fórmula de Báskara em y’temos:
( x y ) ( x y ) 2 4 xy ( x y ) ( x y )
y'
2
2
(14. 3)
As duas raízes são:
y '1 x
y '2 y
(14. 4)
com soluções
x2
y1
C
2
y 2 Ce x
(14. 5)
Uma solução pode ser composta de ramos pertencentes a y1 e y2, bastando que se escolha as
constantes de forma que y1 ( xo ) y 2 ( xo ) e y '1 ( xo ) y ' 2 ( xo ) , isto é, no ponto xo as duas
soluções se unem de forma suave (com a mesma tangente).
Exemplos:
376
14.3.2 - Caso - 2
A Equação Diferencial é da forma
F(y’) = 0.
(14. 6)
Então y’ é igual a cada constante ki solução de F(y’) = 0. Assim
dy
ki
dx
(14. 7)
y ki x C
(14. 8)
yc
x
(14. 9)
F (ki ) 0
(14. 10)
y c
F
0
x
(14. 11)
ou
ou
ki
como
Então
É a solução geral.
Exemplos:
377
14.3.3 - Caso - 3
A Equação Diferencial é da forma:
x f ( y' ) .
(14. 12)
y ' t ou y ' g (t )
(14. 13)
Faz-se,
sendo g escolhido convenientemente. Então
x f (t ) ou x f ( g (t ) h(t ) ,
(14. 14)
Englobando ambos os casos. Daqui se tira
dx h' (t )dt
(14. 15)
dy g (t )dx g (t )h' (t )dt
(14. 16)
y g (t )h' (t )dt C ,
(14. 17)
E tem-se
Com o que
Portanto, x e y são expressos parametricamente em termos de t.
Exemplos:
378
14.3.4 - Caso – 4
A Equação Diferencial é da forma:
y f ( y')
(14. 18)
y' t
(14. 19)
y ' g (t )
(14. 20)
Põe-se
ou
conforme se acha mais conveniente. Então
y f (t ) ou y f ( g (t )) h(t )
(14. 21)
dy h' (t )dt
(14. 22)
dy g (t )dx
(14. 23)
E
Daqui tira-se que:
Ou
dx
dy h' (t )dt
g (t )
g (t )
(14. 24)
h' (t )
dt C
g (t )
(14. 25)
Integrando vem
x
Que juntamente com
y h(t )
(14. 26)
fornece a solução geral.
Exemplos:
379
14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem
Se a Equação Diferencial é daquelas que se reduzem a 1ª ordem, conforme os
seguintes tipos:
d 2 y dy
2 , 0
dx dx
d 2 y dy
2 , , x 0
dx dx
d 2 y dy
2 , , y 0
dx dx
(14. 27)
Sua solução pode ser obtida por substituição
dv
,v 0
dx
dv
, v, x 0
dx
dv
v , v, y 0
dy
(14. 28)
que são de 1ª ordem em v. Supondo que v pode ser obtido, uma integração posterior levará à
solução do problema.
Note que: em , a sbstituição é:
d 2 y dv dv dy
dv
v
dy
dx 2 dx dy dx
Exemplos:
380
(14. 29)
1) Caso :
dy d 2 y
2a
1
dx dx 2
(14. 30)
dy
v
dx
(14. 31)
Pondo-se
Obtém-se:
dv
1
dx
(14. 32)
d (v 2 ) 1
dx
2a
(14. 33)
2av
ou
e
v2
x
C1
2a
(14. 34)
Sendo C1 a 1ª constante de integrassão (haverá uma segunda). Então:
v
x
C1
2a
(14. 35)
Mas
v
dy
dx
(14. 36)
E assim
dy
x
C1 dx
2a
e
381
(14. 37)
y
x
C1 dx C2
2a
(14. 38)
Eis a segunda constante. Fazendo a integral
4a x
y
C1
3 2a
3/ 2
382
C2
(14. 39)
2) Caso:
d2y
dy
1 x
x 0
2
dx
dx
(14. 40)
dy
v
dx
(14. 41)
dv
x
v0
dx 1 x 2
(14. 42)
dv
xdx
v
1 x2
(14. 43)
(14. 44)
C1
dy
dx
1 x2
(14. 45)
2
Faz-se
E então tem-se:
Portanto,
Integrando outra vez
log v log 1 x 2 C '1
Ou
v
Integrando-se outra vez chega-se a
y C1 senh 1 x C 2
383
(14. 46)
3) Caso:
d2y
dy
y 2 1
dx
dx
2
(14. 47)
Com
dy
v
dx
(14. 48)
d2y
dv
v
dy
dx 2
(14. 49)
E
E então
yv
dv
1 v2
dy
(14. 50)
Ou
vdv
dy
2
y
1 v
(14. 51)
1
log 1 v 2 log y C
2
(14. 52)
Integrando temos:
Ou
y C1 1 v 2
1 / 2
(14. 53)
Quadrando temos:
(14. 54)
y 2 C1
v
y2
(14. 55)
2
y 2 C1 1 v 2
1
Ou
384
E
y 2 C1
dy
dx
y2
(14. 56)
ou
y
dy
dx
2
dx
y C1
(14. 57)
y 2 C1 x C2
(14. 58)
Integrando,
Que é a solução.
385
14. 5 – Exemplos e Aplicações
386
14. 6 – Exercícios e Problemas
387
Capítulo – XV
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
15. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
388
15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares
389
15. 3 - Exemplos e Aplicações
390
15. 4 - Exercícios e Problemas
391
Capítulo – XVI
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
16. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
16. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
392
16. 3 - Equações Diferenciais Parciais
393
16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis
Na solução de muitas equação diferenciais a derivadas parciais é usual empregarse o método de separação de variáveis, que consiste em admitir a função incógnita digamos
V x, y, z , seja um produto de funções de uma única variável.
V x, y , z X x Y y Z z
(16. 1)
Com issom a equação a derivadas parciais original se transforma em tantas equações
ordinárias quantas forem as variáveis independentes; em muitos casos de interesse prático as
equações ordinárias obtidas não-lineares. Este comentário serve apenas para mostrar a
relevância do estudo de equações diferenciais ordinárias.
Exemplo
Suponhamos que a equação para a função incógnita V x, y seja a equação de
Laplace em duas dimensões:
2V x, y
2V 2V
0
x 2 y 2
(16. 2)
Pelo método de separações de variáveis ordinárias supomos que V x, y passa a ser escrita na
forma:
V x, y X x Y y
(16. 3)
Substituindo na equação ( ) obtemos:
Y y
2 X
2Y
X
x
0
x 2
y 2
(16. 4)
Divindindo ( ) por X x Y y , obtemos:
2 X
1 2Y
0
X x x 2 Y y y 2
(16. 5)
2 X
1 2Y
X x x 2
Y y y 2
(16. 6)
1
Ou
1
394
Mas em ( ) o 1º membro é função apenas de x, enquanto que o 2º memebro depende apenas de
y. Sendo x e y independente, isso só é possível se cada um dos membros de ( ) for igual a uma
constante, k. Então obtemos as duas equações diferenciais ordinárias:
2 X
k
X x x 2
1
1 2Y
k
Y y y 2
395
(16. 7)
16. 4 - Equação de Difusão
i) Caso 1D
Considere a temperatura u(x,t) em uma barra de comprimento, L.
Figura - 16. 1.
O fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura (Lei de Fourier), ou
seja,
q 2
T
x
(16. 8)
Figura - 16. 2
(udx)
q (q dq)
t
(16. 9)
(u )
dq
t
(u )
q
dx
dx
t
x
(16. 10)
logo
dx
Substituindo a equação (16. 8) em (16. 10) temos:
396
u
( 2 u / x)
t
x
u
2u
2 2
t
x
(16. 11)
ii) Caso 2D e 3D
Para o caso bi e tridimensional temos:
u
2 2u
t
(16. 12)
Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.
Este método so vale para problemas finitos ( (0 L ) . Nele supõe-se que:
u X ( x)T (t )
(16. 13)
X ( x)T (t )
2 2 X ( x)T (t )
t
(16. 14)
XT ' 2 X ' 'T
(16. 15)
E substitui-se na equação:
Logo
Multiplicando tudo por
2 / XT
1 T ' X ''
cte
X
2 T
(16. 16)
2
Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo k , onde k R logo:
1 T ' X ''
k 2
2
X
T
Logo, ficamos com duas equações diferenciais:
397
(16. 17)
T ' k 2 2T 0
(16. 18)
X ' ' k 2 X 0
A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:
D Ex, p / k 0
X
A cos(kx) B sen(kx),
(16. 19)
p/k 0
e para T temos:
G, p / k 0
T k 2 2t
Fe
, p/k 0
(16. 20)
i) Para k = 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
u ( x, t ) G D Ex
(16. 21)
ii) Para k 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
2 2
u ( x, t ) Fe k
t
A cos(kx) B sen(kx)
(16. 22)
A solução totalmente geral para qualquer k para u X ( x )T (t ) é dada por:
2 2
u ( x, t ) G D Ex Fe k
t
A cos(kx) B sen(kx)
(16. 23)
ou
2 2
u ( x, t ) H Ix J cos(kx) K sen(kx)e k
t
(16. 24)
de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.
i) Condições de contorno em x = 0, u = u1
2 2
u ( x 0, t ) H Je k t u1 t H u1
ou ainda
398
e
J 0
(16. 25)
2 2
H u1 .1 Je k t 0
L.I .t H u1
J 0
e
(16. 26)
Logo, retornando a equação
2 2
u ( x, t ) u1 Ix K sen(kx)e k
t
(16. 27)
ii) Condições de contorno em x = L, u = u2
2 2
u ( x L, t ) u1 IL K sen(kL)e k t u 2
(16. 28)
Como as funções são L. I. temos:
2 2
u1 u 2 IL K sen(kL)e k t 0
(16. 29)
0
0
Temos:
I
u1 u 2
(16. 30)
L
K sen(kL) 0
Logo
kL n
k
(16. 31)
n
, n 1,2,...
L
Portanto,
2
u ( x, t ) u1
u1 u 2 x K sen( n x)e
L
n 2
t
L
(16. 32)
L
Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,
Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes
também é solução, logo,
2
u ( x, t ) u1
u1 u 2 x
L
n
K n sen( L
n 1
399
x )e
n 2
t
L
(16. 33)
Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e
não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta
solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de
Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de
Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela
condição inicial, onde:
u ( x, t 0) u1
u1 u 2 x
L
n
K n sen( L
x) f ( x )
(16. 34)
x)
(16. 35)
n 1
Logo
f ( x) u1
u1 u 2 x
L
n
K n sen( L
n 1
com período 2L.
u1 u 2 x , logo,
Chamando de F ( x) f ( x) u1
F ( x) K n sen(
n 1
L
n
x)
L
(16. 36)
Onde,
1 L
n
K n F ( x) sen(
x)dx
L L
L
400
(16. 37)
Exemplo
Considere o problema de Difusão de Calor onde u1 u 2 0 e f ( x ) 100 e
L 10 , logo para a solução:
2
u ( x, t ) u1
u1 u 2 x
L
n
K n sen( L
x )e
n 2
t
L
(16. 38)
n 1
temos:
2
u ( x, t ) K n sen(
n 1
n
x )e
L
n 2
t
L
(16. 39)
e
u ( x, t 0) K n sen(
n 1
n
x) 100
L
(16. 40)
onde
1 L
n
2L
n
K n F ( x) sen(
x)dx 100 sen( x)dx
L L
L
L0
L
(16. 41)
Logo
L
200
n
Kn
cos(
x)
n
L
0
(16. 42)
200
cos(n ) cos(0)
n
200
cos(n ) 1 200 1 1 200 (2)
n
n
n
(16. 43)
cujas soluções são:
i) Para n ímpar
Kn
Logo
401
Kn
400
n
(16. 44)
ii) Para n par
200
cos(n ) cos(0)
n
200
cos(n ) 1 200 1 1 0
n
n
(16. 45)
Kn 0
(16. 46)
Kn
logo
Portanto, a solução final é:
2
n 2
t
L
400 1
n
u ( x, t )
sen(
x )e
n1 n
L
(16. 47)
Na prática a barra se resfria de 100ºC até 0oC.
Figura - 16. 3
Observe que para n estes modos decem mais rápido, ou seja o calor
dissipa-se mais rápido (freqüências mais altas dissipam mais rápido).
402
Exemplo
Considere o problema no domínio
Figura - 16. 4
2u xx ut
( x ;0 t )
u ( x,0) f ( x) ( x ; p / t 0)
(16. 48)
Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferncial
temos:
(16. 49)
2 F u xx F ut
(16. 50)
2 (i ) 2 uˆ uˆt
(16. 51)
F 2 u xx F ut
Aplicando a Transformada de Fourier:
Temos:
ou
2
2
(i ) uˆ
u ix
e dx
t
(16. 52)
E
d
uˆ
u ( x, t )e ix dx
dt
2
2
E
403
(16. 53)
duˆ
dt
2 2 uˆ
(16. 54)
Logo
duˆ
2 2 uˆ 0
dt
(16. 55)
duˆ
2 2 dt
uˆ
(16. 56)
ln uˆ 2 2 (t t o )
(16. 57)
Integrando temos:
Logo
Exponenciando temos:
uˆ uˆ ( )e
2 2
( t to )
(16. 58)
Vamos usar a condição inicial:
F u ( x,0) u ( ) F f ( x) fˆ ( )
(16. 59)
A partir de (12. 352) podemos ver que para t t o temos:
uˆ uˆ o e
2 2
( t to )
uˆo fˆ ( )
(16. 60)
Mas
u ( x, t ) F 1 uˆ
2 2
u ( x, t ) F 1 uˆ o e (t to )
2 2
u ( x, t ) F 1 u o * F 1 e (t to )
(16. 61)
Portanto,
u ( x, t ) f ( x) * F 1 e
2 2
( t to )
u ( x, t ) f ( x ) * g ( x )
Onde
404
(16. 62)
g ( x) F 1 e
2 2
(t to )
F
1
g ( )
(16. 63)
Logo
u ( x, t ) f ( x ) *
( x )
2
e 4 t
1
2 t
2
(16. 64)
d
e
u ( x, t ) f ( x ) * g ( x )
1
2 t
f ( )e
( x )2
4 2t
d
(16. 65)
Ou
u ( x, t ) f ( x ) * g ( x )
f ( ) g ( x )d
(16. 66)
Exemplo:
Para uma função f(x):
F ; x 0
f ( x)
F .H ( x)
0
;
x
0
(16. 67)
ou
u ( x, t )
F
x
1
erf
2
2 t
(16. 68)
Onde:
erf ( x)
2
2
2 t
e
405
d
(16. 69)
16. 5 - Equação de Onda
i) Caso 1D
Considere o seguinte caso unidimensional com domínio infinito:
Figura - 16. 5
c 2 u xx utt
(16. 70)
Onde a condição inicial é dada por:
u ( x,0) f ( x)
(16. 71)
ut ( x,0) g ( x)
(16. 72)
E a derivada no tempo:
Como o problema é de domínio finito, vamos resolver a equação pelo Método da
Separação de Variáveis
406
Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.
Este método so vale para problemas finitos ( (0 L ) . Nele supõe-se que:
u X ( x)T (t )
(16. 73)
2
2 X ( x)T (t )
2 X ( x )T (t )
t 2
x 2
(16. 74)
c 2 X ' 'T XT ' '
(16. 75)
E substitui-se na equação:
Logo
2
Multiplicando tudo por c / XT
1 T '' X ''
cte
X
c2 T
(16. 76)
2
Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo k , onde k R logo:
1 T '' X ''
k 2
2
X
c T
(16. 77)
Logo, ficamos com duas equações diferenciais:
T ' ' k 2 c 2T 0
(16. 78)
2
X ' ' k X 0
A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:
A Bx, p / k 0
X
D cos(kx) E sen(kx),
p/k 0
H Ix, p / k 0
T
J cos(kct ) K sen(kct ),
p/k 0
(16. 79)
e para T temos:
i) Para k = 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
407
(16. 80)
u ( x, t ) A Bx H It
(16. 81)
ii) Para k 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
u ( x, t ) D cos( kx) E sen( kx)J cos( kct ) K sen( kct )
(16. 82)
A solução totalmente geral para qualquer k para u X ( x )T (t ) é dada por:
u ( x, t ) A Bx H It
J cos(kct ) K sen(kct )D cos(kx) E sen(kx)
(16. 83)
ou
u ( x, t ) C1 C 2 x C3t C 4 xt
D cos( kx ) E sen( kx )J cos( kct ) K sen( kct )
(16. 84)
de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.
i) Condições de contorno em x = 0, u = 0:
u ( x 0, t ) C1 C3t D cos(kx)J cos(kct ) K sen(kct ) 0
t C1 C3 D 0
(16. 85)
ou ainda
u ( x 0, t ) C1 .1 C3t D cos(kx)J cos(kct ) K sen(kct ) 0
L.I .t C1 C3 D 0
(16. 86)
Logo, retornando a equação
u ( x, t ) C 2 x C 4 xt
E sen( kx)J cos( kct ) K sen( kct )
(16. 87)
ii) Condições de contorno em x = L, u = 0:
u ( x, t ) C 2 L C 4 Lt E sen( kL)J cos( kct ) K sen( kct ) 0
t C 2 C 4 0 e sen( kL ) n
Logo
408
(16. 88)
kL n
k
n
, n 1,2,...
L
(16. 89)
Como as funções são L. I. temos:
C2 C4 t L Esen(kL)J cos(kct ) K sen(kct ) 0
(16. 90)
0
0
Temos:
C2 C4 0
(16. 91)
Esen(kL) 0
Logo, retornando a equação
u ( x, t ) E sen(
n
n
n
x ) J cos(
ct ) K sen(
ct )
L
L
L
(16. 92)
ou
u ( x, t ) sen(
n
n
n
x ) R cos( ct ) S sen( ct )
L
L
L
(16. 93)
Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,
Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes
também é solução, logo,
u ( x, t ) sen(
n 1
n
n
n
x) Rn cos(
ct ) S n sen(
ct )
L
L
L
(16. 94)
Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e
não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta
solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de
Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de
Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela
condição inicial, onde:
u ( x, t 0) Rn sen(
n 1
409
n
x)
L
(16. 95)
Logo
f ( x) Rn sen(
n 1
n
x)
L
(16. 96)
n
x)
L
(16. 97)
com período 2L, logo,
f ( x) Rn sen(
n 1
Onde,
1
n
Rn f ( x) sen(
x)dx
L
L
(16. 98)
Como a função está definida apenas no intervalo [ L; L]
1 L
n
Rn f ( x) sen(
x)dx
L L
L
(16. 99)
Ou ainda podemos escrever
(16. 100)
iii) Usando a condição inicial t = 0, ut ( x,0) g ( x) :
n nc
x )
Rn sen( 0) S n cos(0)
L
L
n 1
n nc
u ( x, t 0) sen(
x )
Rn .0 S n .1
L
L
n 1
u ( x, t 0) sen(
(16. 101)
logo
n
nc
u t ( x , 0) S n
x) g ( x )
sen(
L
L
n 1
onde
410
(16. 102)
1
n
nc
S n g ( x)
x)dx
sen(
L
L
L
(16. 103)
Como a função está definida apenas no intervalo [ L; L]
1 L
n
nc
S n g ( x)
x)dx
sen(
L L
L
L
(16. 104)
Ou ainda podemos escrever
2L
n
nc
S n g ( x)
x)dx
sen(
L0
L
L
(16. 105)
Exemplo
Considere o problema de Equação de Onda onde g ( x ) 0 , logo para a solução:
u ( x, t ) sen(
n 1
n
n
n
x) Rn cos(
ct ) S n sen(
ct )
L
L
L
(16. 106)
Logo
n nc
x )
Rn sen( 0) S n cos( 0)
L
L
n 1
n nc
u ( x, t 0) sen(
x )
Rn .0 S n .1 g ( x ) 0
L
L
n 1
u ( x, t 0) sen(
(16. 107)
logo
n
nc
u t ( x , 0) S n
x) 0
sen(
L
L
n 1
(16. 108)
Logo S n 0 . Portanto,
u ( x,t)
R n sen(
n 1
n
n
x ) cos(
ct )
L
L
Mas
411
(16. 109)
1
sen( a b) sen(a b)
2
(16. 110)
1 n
n
( x ct ) sen
( x ct )
sen
2 L
L
(16. 111)
sen( a ) cos(b)
Logo
u ( x, t ) Rn
n 1
Ou seja:
u ( x, t )
1
f ( x ct ) f ( x ct )
2
412
(16. 112)
ii) Caso 2D e 3D
Para o caso bi e tridimensional temos:
c 2 2 u utt
(16. 113)
Figura - 16. 6
Solução de D’Alambert
Consideremos o problema unidimensional:
c 2 u xx utt
(16. 114)
Vamos fazer a seguinte transformação de coordenadas
x ct ; x ct
(16. 115)
[] [] []
x x x
(16. 116)
[] [] []
t t t
(16. 117)
1
x x
(16. 118)
Logo
e
Mas
e
413
c ;
c
t
t
(16. 119)
[] [] []
x
(16. 120)
[]
[]
[]
c
c
t
(16. 121)
logo
e
Portanto,
c2
[] []
[] [] [] []
c2
x x
(16. 122)
E
[] [] []
[] []
[]
c
c c
c
t t
(16. 123)
2 [u ] 2 [u ]
c
x 2
t 2
(16. 124)
[] [] [] [] []
[] []
[]
c2
c c
c u
u c
(16. 125)
Logo
2
Ou
Após algumas manipulações algébricas temos:
[] []
u0
u 0
4
Logo
414
(16. 126)
u 0 A( )
(16. 127)
u A( ) F ( ) G ( )
(16. 128)
E
u F ( ) G ( )
Portanto,
u F ( x ct ) G ( x ct )
(16. 129)
Este é um resultado absolutamente geral para a Equação de Onda em coordenadas cartesianas
Considerando o caso onde a condição inicial é dada por:
u ( x,0) f ( x)
(16. 130)
ut ( x,0) g ( x)
(16. 131)
f ( x ct ) g ( x ct ) 1 x ct
u
g ( )d
2
2c xct
(16. 132)
e a derivada no tempo:
temos:
415
16. 6 - Exemplos e Aplicações
1) Dada a seguinte equação diferencial,
2 2
d (r , t )
( r , t ) V ( r , t ) ( r , t ) i
,
2m
dt
(16. 133)
válida para a Mecânica Quântica. Classifique-a quanto as variáveis, à ordem, ao grau, quanto
ao coeficiente das suas derivadas e quanto ao tipo.
Solução:
i)
Quanto as variáveis: Equação Diferencial Parcial;
ii)
Quanto a ordem: de Segunda Ordem
iii)
Quanto ao grau: Primeiro grau
iv)
Quanto aos coeficientes das derivadas: Linear
Quanto ao tipo: Elíptica
Exemplo
Encontre uma solução para o P.V.I.
y y
y (0) 1
(16. 134)
Usando o Método de Picard.
416
16. 7 – Exercícios e Problemas
417
Capítulo – XVII
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PARCIAIS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
17. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
17. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
418
17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares
419
17. 4 – Exemplos e Aplicações
420
17. 5 – Exercícios e Problemas
421
Capítulo – XVIII
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃOLINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
18. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
18. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
422
18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares
423
18. 4 – Exemplos e Aplicações
424
18. 5 – Exercícios e Problemas
425
Capítulo – XIX
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PARCIAIS NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
19. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
19. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
426
19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares
427
19. 4 – Exemplos e Aplicações
428
19. 5 – Exercícios e Problemas
429
Capítulo – XX
TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
20. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
20. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
430
20. 3 - Teoria Geral das Distribuições
431
20. 4 – Exemplos e Aplicações
432
20. 5 – Exercícios e Problemas
433
Referências Bibliográficas
ALVES, Lucas Máximo, “Notas de Estudos Pessoais” 2007.
REDONDO, Djalma Mirabelli, “Apostila de Introdução a Física Matemática”. Notas de Aulas
do Curso de Bacharelado em Física do Instituto de Física de São Carlos, vol. 01, p. 01-74,
1985.
GOBBI, Maurício, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia
do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2007.
DIAS, Nelson Luis, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia
do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2008.
434
Apêndices
A. 1 – Estudo de Somatórios
435
A. 2 – Estudo de Produtórios
436
A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios
437
Anexos
An. 1 – Título do seu primeiro Anexo
438
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