Grandeza Vetorial
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Algumas vezes necessitamos mais que um número e
uma unidade para representar uma grandeza física.

Sendo assim, surgiu uma representação matemática
que expressa outras característica de uma grandeza... O
VETOR
O que é um Vetor?
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É um ente matemático representado por um segmento
de reta orientado. E tem algumas características
básicas.
Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta)
Tem uma direção.
E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está
Sentido
apontando).
Módulo
Direção da
Reta Suporte
Representação de uma Grandeza Vetorial
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As grandezas vetoriais são representadas da seguinte
forma:
 a letra que representa a grandeza e uma a “flechinha”
sobre a letra.
d
V
F
Vetores e campos vetoriais

A
vetor
A= A
escalar
Notação:
Comparação entre vetores

Vetores Iguais
a
r
b
s
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
a=b
O vetor a é igual ao vetor b.
Comparação entre vetores

Vetores Opostos
a
r
b
c
 
aeb
Os vetores
são opostos.
s
t

são iguais, enquanto a
e

c
Se tiverem comprimentos
diferentes podem
ser ditos


paralelos ( a e b ) ou antiparalelos ( a e c )
Soma Vetorial
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Através da soma vetorial encontramos o vetor
resultante.
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O vetor resultante seria como se todos os vetores
envolvidos na soma fossem substituídos por um, e
este tivesse o mesmo efeito.
Regra do Paralelogramo
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É útil para realizar a adição de apenas dois vetores.
Exemplo:
a
b
Determinar a soma a + b.
Posiciona-se a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traça-se
uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro.
O vetor soma ou resultante é o vetor que une a origem dos dois
vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor,
formando assim um paralelogramo.
Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo
Reta Paralela ao vetor b e que passa
pela extremidade do vetor a.
R
a
Reta Paralela ao vetor a e que
passa pela extremidade do
vetor b.
α
b
O módulo da soma, ou seja, o valor desse vetor resultante é dado
por:
2
2
2
R = a + b + 2.a.b.cos α
Regra do Polígono
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
É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores.
Exemplo:
b
a
c
Determinar a soma a + b + c
Posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a
extremidade de um vetor coloca-se junto à origem do outro.
O vetor soma ou resultante é o vetor que une a origem do
primeiro do primeiro com a extremidade do último, formando
assim um polígono.
Fazendo a Soma através da Regra do Polígono
a
c
b
   
S = a+ b+ c
S
a
b
c
Componentes de um vetor
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor é um
número real não negativo, dado por
A = A = Ax2 + Ay2
Vetor unitário é o que tem o módulo igual
a 1.
Existem três vetores unitários: base
canônica para o espaço R3:
iˆ = (1,0,0)
ˆj = (0,1,0)
kˆ = (0,0,1)
Escrevendo um vetor
Um vetor pode ser expresso em termos:
• De seu módulo e ângulo com eixo:
Ex: o vetor tem módulo A formando
ângulo θ com o eixo x;
• Triplas ordenadas:

A = ( Ax , Ay , Az )
• Das componentes e vetores unitários:

A = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ
Soma de vetores


 
Se A = ( Ax , Ay , Az ) eB = ( Bx , B y , Bz ) a soma A + B é  
A + B = (( Ax + Bx ), ( Ay + B y ), ( Az + Bz ))
ou
 
A + B = ( Ax + Bx )iˆ + ( Ay + B y ) ˆj + ( Az + Bz )kˆ
Este procedimento pode ser usado para uma quantidade N de vetores!
Propriedades da soma de vetores
I – Comutatividade:
II- Associatividade:
   
A+ B = B + A

 
  
C + ( A + B ) = (C + A) + B
III – Elemento neutro:

Existe um vetor O = (0,0,0) tal que
  
O+ A= A
IV- Elemento oposto;


Para cada vetor A existe um vetor − A



A + (− A) = O
tal que
Produto de um escalar por vetor

Se c é um escalar e A é um vetor, então:

c × A = (cAx , cAy , cAz )
ou

c × A = cAx iˆ + cAy ˆj + cAz kˆ