Universidade do Minho
Escola de Engenharia
ESTATÍSTICA II
Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Industrial
FORMULÁRIO
Ano Lectivo 2007-2008
Índice
Intervalos de Confiança (uma amostra / duas amostras independentes)............................................................................... 1
Testes de Hipótese (uma amostra / duas amostras independentes)....................................................................................... 1
Bom Ajuste (grandes amostras)............................................................................................................................................ 2
Tabelas de Contingência....................................................................................................................................................... 2
Análise da Variância............................................................................................................................................................. 3
Planeamento Completamente Aleatório.......................................................................................................................... 3
Planeamento com Blocos Aleatórios .............................................................................................................................. 3
Planeamento Factorial com Replicações......................................................................................................................... 4
Planeamento 22 ......................................................................................................................................................... 5
Planeamento 23 ......................................................................................................................................................... 6
Testes a K Médias (não paramétrico) ................................................................................................................................... 6
Kruskal Wallis ................................................................................................................................................................ 6
Quade.............................................................................................................................................................................. 7
Bom Ajuste (pequenas amostras) ......................................................................................................................................... 7
Kolmogorov .................................................................................................................................................................... 7
Lilliefors para a Normal.................................................................................................................................................. 8
Lilliefors para a Exponencial .......................................................................................................................................... 8
Teste às Distribuições........................................................................................................................................................... 9
Kolmogorov – Smirnov .................................................................................................................................................. 9
Smirnov Unilateral.......................................................................................................................................................... 9
Regressão.............................................................................................................................................................................. 9
Regressão Linear Simples............................................................................................................................................... 9
Regressão Linear Múltipla.............................................................................................................................................. 10
Regressão Não Linear ..................................................................................................................................................... 10
Independência Estocástica.................................................................................................................................................... 11
Correlação de Pearson .................................................................................................................................................... 11
Correlação de Spearman ................................................................................................................................................. 11
FUNÇÕES DE PROBABILIDADE
DISCRETAS
CONTÍNUAS
Distribuição de Bernoulli
Distribuição Uniforme [U(a,b)]
f ( x ) = θ x (1 − θ )
1− x
x = 0,1
µ = nθ σ = nθ (1 − θ )
2
 1

f (x ) =  b − a
0

a< x<b
outros
(b − a )
a+b
µ=
σ2 =
2
12
2
Distribuição Binomial [B(n,p)]
n
n−x
f ( x ) =   p x (1 − p )
 x
x = 0,1,2,..., n
µ = np σ 2 = np (1 − p )
Distribuição Exponencial [EN(1/θ)]
1 −x
 e θ
f ( x ) = θ
0

x>0
outros
µ =θ σ 2 =θ 2
Distribuição Poisson [P(λ)]
f (x ) =
λx e −λ
x!
x = 0,1,2,..., n
µ =λ σ2 =λ
Distribuição Normal [N(µ,σ2)]
f (x ) =
1
σ 2π
e
−
( x − µ )2
2σ 2
µ = µ σ 2 =σ 2
Z=
Aproximação da Binomial à Poisson
N grande e p muito pequeno
λ = np
X −µ
σ
Aproximação da Binomial à Normal
np > 5
nq > 5
Condições 
µ = np
σ 2 = npq
Distribuição Uniforme (discreta)
f (x ) =
1
k
x = x1 , x 2 ,..., x k
µ =∑
xi
k
σ2 =∑
i
i
(xi − µ )2
k
Correcção de Yates
P ( X ≤ x ) ≈ P ( X < x + 0.5)
P (Y ≥ y ) ≈ P (Y > y − 0.5)
INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA
Parâmetro a estimar
Tipo de População
Dimensão da amostra
Conhece
σ?
E.T ~ Distribuição
Normal
Qualquer
Sim
x −µ
Z = σ
~ N (0, 1)
n
x − z(1−α
2)
x − z(1−α
2)
Média
µ
Qualquer
n ≥ 30
Não
x −µ
Z = s
~ N (0, 1)
n
Normal
n < 30
Não
x −µ
T = s
~ t n −1
n
Proporção binomial
p
Bernoulli
Variância
População Normal
-
Q=
σ2
x − t(α
pˆ − p
~ N (0, 1)
p (1− p )
n
Z =
n > 30 (2)
Intervalo de Confiança
(n−1)s2
σ
2
σ
2), n −1
Notas
< µ < x + z(1−α
σ
2)
n
s
< µ < x + z(1−α 2)
n
s
< µ < x + t(α 2), n −1
n
z(1−α
n
s
n
s
n
2) : quantil da tabela acumulada
da Normal padrão à esquerda
Estimador do desvio padrão: σ
≈s
(1)
Estimador da proporção binomial
pˆ − z(1−α
2)
2
~ χn−1
pˆ (1 − pˆ )
< p < pˆ + z(1−α 2)
n
( n − 1) s 2 < σ 2 < ( n − 1) s 2
χ (2α 2),n −1
χ (12 −α 2),n −1
pˆ (1 − pˆ )
n
p ≈ pˆ =
x
n
INTERVALOS DE CONFIANÇA E TESTES DE HIPÓTESES PARA DUAS AMOSTRAS
Parâmetro a
estimar
Tipo de População
Dimensão da amostra
Conhece σ ?
Quaisquer
σ1 e σ 2
Normais
Diferença entre as
médias
Quaisquer
Normais
Normais
Amostras
dependentes
Diferença de
proporções
p1 − p2
Razão de variâncias
σ 12
σ 22
Bernoulli
n1 < 30 e n2 < 30
n1 < 30 e n2 < 30
n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30
Z=
σ 12
n1
σ1 e σ 2
e
+
T=
( x1 − x2 ) − ( µ1 − µ2 ) ~ t
s12 s22
+
n1 n2
σ 12 = σ 22
sp
σ1 e σ 2
T=
Não
Quaisquer
(1) O desvio padrão σ , sendo desconhecido, é estimado através de s =
de proporções se H0 : p1 – p2 = 0 , a E.T. passa a ser
Z=
( pˆ1 − pˆ 2 )
1 1
pˆ (1 − pˆ )  + 
 n1 n2 
GL
1 1
+
n1 n2
Di − ( µ1 − µ2 )
~ t( n −1)
sDi
n
Z=
-
( pˆ1 − pˆ 2 ) − ( p1 − p2 )
pˆ1 (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
+
n1
n2
F=
-
s22
σ 12
σ
2
2
~ N (0,1) (3)
Notas
( x1 − x2 ) ± z(1−α 2)
σ 12 σ 22
+
n1 n2
( x1 − x2 ) ± z(1−α 2)
s12 s22
+
n1 n2
n2
( x1 − x2 ) − ( µ1 − µ2 ) ~ N (0,1)
s12
Normais
σ 22
Z=
Não
σ 1 e σ 2 Não
Intervalo de Confiança
( x1 − x2 ) − ( µ1 − µ2 ) ~ N (0,1)
Sim
n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30
µ1 − µ 2
E.T ~ Distribuição
( x1 − x2 ) ± t(α 2),GL s p
Di − t( n−1),α 2 .
sDi
n
1 1
+
n1 n2
< µ1 − µ2 < Di + t( n −1),α 2 .
( pˆ1 − pˆ 2 ) ± z(1−α 2)
pˆ1 (1 − pˆ1 )
n1
+
sDi
n
pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
n2
Estimadores dos desvios padrão:
σ 1 ≈ s1 , σ 2 ≈ s2
GL = n1 + n2 − 2
s 2p =
( n1 − 1) s12 + ( n2 − 1) s22
n1 + n2 − 2
sDi = sn −1 para
Di = X 1i − X 2i
Estimadores das proporções
binomiais (4)
pˆ1 =
x1
x
e pˆ 2 = 2
n1
n2
ν 1 = n1 − 1 e ν 2 = n2 − 1
~ Fν1 ,ν 2
s12
1
σ 2 s2
1
< 12 < 12
2
s2 F(α 2),ν1 ,ν 2 σ 2 s2 F(1−α 2),ν1 ,ν 2
1
F(1−α
2),ν 1 ,ν 2
= F(α
2),ν 2 ,ν 1
1 n
∑ ( xi − x )2 ; (2) Proporção para amostras de pequena dimensão necessário recorrer à solução exacta através da distribuição binomial; (3) e (4) No teste à diferença
n − 1 i =1
~ N (0,1), com pˆ =
x1 + x2
.
n1 + n2
1
Teste do ”bom ajuste” do Qui-Quadrado para grandes amostras
• Probabilidades
completamente esp ecificadas na hip ótese nula
H0 : p1 = p10 , p2 = p20 , ..., pk = pk0
Q≥c
R.R:
H0 :
p10 + p20 + ...pk0 = 1.
c = χ2k−1,α
com
• Probabilidades
e
não totalmente esp ecificadas na hip ótese nula
as probabilidades corresp ondentes das classes provêm de uma distribuição da família ...
R.R:
R.R:
Q≥c
com
graus de lib erdade = n
Pk
Q=
i=1
o
c = χ2g.l,α
de celas -1- n
o
de parâmetros estimados
(fi −ei )2
com a frequência esp erada dada p or
ei
ei =n.pi
Tabelas de Contingência
Característica B
Característica
A
A1
A2
A3
..
.
Aa
n.j
1. . Teste
B1
f11
f21
f31
..
.
B2
f12
f22
f32
..
.
B3
f13
f23
f33
..
.
fa1
fa2
fa3
···
···
···
···
···
Bb
f1b
f2b
f3b
..
.
ni.
fab
n
de independência
Hipótese nula:
H0 : pij = pi. p.j
R.R:
(as variáveis são indep endentes),
i = 1, ..., a e j = 1, ..., b
Q > c com c = χ2(a−1)(b−1),α
2 . Teste
de homogeneidade
Hipótese nula:
H0 : w1j = w2j = ... = waj
R.R:
Q > c com c =
Q=
(as subp opulações A são equivalentes) para
j = 1, ..., b.
χ2(a−1)(b−1),α
a
b X
X
(fij − eij )2
com
eij
j=1 i=1
a frequência esp eradada dada por
2
eij =
ni. n.j
n
i = 1, ..., a e j = 1, ..., b
Planeamento completamente aleatório
SQT =
ST Q =
SQR =
T.j
Pk
nj (y .j − Y )2
Pj=1
Pnj
k
(yij − Y )2
Pj=1
Pi=1
nj
k
2
i=1 (yij − y .j )
j=1
SQT =
2
T.j
1 2
j=1 nj − N T..
Pk Pnj 2
1 2
i=1 yij − N T..
j=1
ST Q =
SQR = ST Q − SQT
é o total dos valores obtidos para o tratamento j ;
T..
com
N=
é o grande total
Pk
j=1
nj
ST Q = SQT + SQR
Tendo-se
M odelo p opulacional:
com
Pk
i = 1, ..., nj
e
yij = µ + αj + eij
j = 1, ..., k
eij ∼ N (0, σ 2 )
Teste às diferenças entre os tratamentos
H0 : α1 = α2 = ... = αk = 0
(não existem diferenças entre as m édias das
H1 : os
k p opulações).
efeitos da aplicação dos tratamentos são significativos
( ou existem diferenças entre os tratamentos).
R.R :
F > c em
que
c (Fisher)
é determinado p or forma a
α = P [F > c; H0 ]
Tab ela ANOVA
Fonte de variação
Soma dos quadrados
graus de liberdade
M édia dos quadrados
Tratamentos
SQT
k-1
M QT=SQT/(k-1)
Resíduos
SQR
Total
STQ
Σnj − k
Σnj − 1
• Intervalos
M QR=SQR/ (Σnj
de confiança para diferenças entre pares de médias de tratamentos
iej
− k)
v.a. F
MQT
F= MQR
com
i 6= j = 1, 2, ..., k
T =
(y .i − y .j ) − (µi − µj )
q
∼ tN −k
SQR 1
1
(
+
)
N−k ni
nj
Planeamento com blocos aleatórios
Pk
SQT = b j=1 (y .j − Y )2
Pb
SQB = k i=1 (y i. − Y )2
Pb Pk
ST Q = i=1 j=1 (yij − Y )2
P P
SQR = bi=1 kj=1 (yij − y i. − y .j + Y )2
Ti.
é o total dos valores obtidos para o bloco
o tratamento
i
;
T.j
Pk
1 2
SQT = 1b j=1 T.j2 − kb
T..
Pb
1
1 2
2
SQB = k i=1 Ti. − kb T..
Pb Pk
1 2
2
ST Q = i=1 j=1 yij
T..
− kb
SQR = ST Q − SQT − SQB
é o total dos valores obtidos para
j
3
M odelo p opulacional:
para
i = 1, ..., b
yij = µ + αj + β i + eij
eij ∼ N (0, σ 2 )
j = 1, ..., k
e
Teste às diferenças entre os tratamentos
H01 : α1 = α2 = ... = αk = 0
(não existem diferenças significativas entre os tratamentos).
H11 : os
efeitos da aplicação dos tratamentos são significativos
( ou existem diferenças entre os tratamentos).
R.R :
F1 > c em
que
c (Fisher)
é determinado a partir de
α = P [F1,((k−1),(b−1)(k−1)) > c; H01 ] e F1 =
MQT
M QR
Teste às diferenças entre os blocos
H02 : β 1 = β 2 = ... = β b = 0
(não existem diferenças significativas entre os efeitos dos blocos)
H12 :
R.R :
existem diferenças entre os efeitos dos blocos.
F2 > c em
que
c (Fisher)
é determinado a partir de
α = P [F2,((b−1),(b−1)(k−1)) > c; H02 ] e F2 =
M QB
MQR
Tab ela ANOVA
F. de variação
S. dos quadrados
graus de lib erdade
M édia dos quadrados
Tratamentos
SQT
k-1
M QT=SQT/(k-1)
Blocos
SQB
b-1
M QB=SQB/(b-1)
Resíduos
SQR
Total
STQ
(k − 1).(b − 1)
k.b − 1
M QR=SQR/ (k
− 1).(b − 1)
v.a. F
MQT
F 1 = MQR
MQB
F 2 = MQR
Intervalos de confiança para diferenças entre pares de médias de tratamentos:
T =
(y j1 − y j2 ) − (µj1 − µj2 )
q
∼ t(b−1)(k−1)
M QR( 2b )
Planeamento factorial com replicações
P
SQFA = qr pi=1 (y i.. − Y )2
P
SQFB = pr qj=1 (y .j. − Y )2
Pp Pq Pr
SQR = i=1 j=1 k=1 (yijk − y ij. )2
Pp Pq Pr
ST Q = i=1 j=1 k=1 (yijk − Y )2
Tij
é a soma das observações da célula
SQFA =
Pp
i=1
P qrq
2
Ti.
T2
T..2
pqr
2
T..
− pqr
P
−
.j
SQFB = j=1
rp
P
T2
2
SQR = ijk yijk
− ijr ij
Pp Pq Pr
T..2
2
ST Q = i=1 j=1 k=1 yijk
− pqr
SQIAB = ST Q − SQFA − SQFB − SQR
(i, j)
M odelo p opulacional
yijk = µ + αi + β j + γ ij + eijk
4
para
i = 1, ..., p , j = 1, ..., q .
k = 1, ..., r
e
e
eijk ∼ N (0, σ 2 )
Testes de hip óteses
• Factor
A
H01 : α1 = α2 = ... = αp = 0
H11 :
R.R :
A
existem diferenças significativas entre os níveis de
F1 > c com c (Fisher)
determinado de
α = P r[F1(p−1),pq(r−1) > c; H01 ] e F1 =
• Factor
MQFA
MQR
B
H02 : β 1 = β 2 = ... = β q = 0
H12
R.R :
: existem diferenças significativas entre os níveis de
F2 > c com c (Fisher)
determinado de
α = P r[F2(q−1),pq(r−1) > c; H02 ] e F2 =
• Interacção
B
M QFB
MQR
AB
H03 : γ 11 = γ 12 = ... = γ 21 = ... = γ pq = 0
H13 :
R.R :
existem diferenças significativas devido a interacção
F3 > c com c (Fisher)
determinado de
α = P r[F3(p−1)(q−1),pq(r−1) > c; H03 ] e F3 =
MQIAB
M QR
Tab ela ANOVA
Fonte de variação
Soma dos Quadrados
graus de lib.
M édia dos Quadrados
Factor A
SQF A
p-1
M QF A
Factor B
SQF B
q-1
M QF B
Interacção AxB
SQI AB
(p-1).(q-1)
M QI AB
Resíduos
SQR
p.q.(r-1)
M QR
Total
STQ
p qr-1
v.a F
A
= MQF
MQR
MQF
F 2 = MQRB
MQIAB
F 3 = MQR
F1
Planeamento 22
tratamento
factor
A
factor
B
A×B
1
-
-
+
2
+
-
3
-
+
-
4
+
+
+
-
observações
y11
y21
y31
y41
y12
y22
y32
y42
...
...
...
...
médias
y1r
y2r
y3r
y4r
y1
y2
y3
y4
Estimativa dos efeitos principais
4 −y 3 )
eeA = (y2 −y1 )+(y
2
4 −y 2 )
eeB = (y3 −y1 )+(y
2
(y4 −y3 )+(y1 −y2 )
eeAB =
2
− Variância
residual:
SQFA = r (eeA )2
SQFB = r (eeB )2
SQIAB = r (eeAB )2
s2 = 14 (s21 + s22 + s23 + s24 )
com
s2i =
Pr
2
j=1 (yij −y i )
(r−1)
Intervalos de confiança para os ”efeitos” devidos aos factores principais e à interacção
5
ee − µ
T =q
∼ t4(r−1)
2
( sr )
Planeamento 23
factores
B
C
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
ee =
Efeitos estimados:
interacções
AC
BC
+
+
+
+
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
1
23−1 [±y 1
observações
ABC
+
+
+
+
y11
y21
y31
médias
y12
y22
y32
...
...
...
y1r
y2r
y3r
y1
y2
y3
y82
...
y8r
y8
...
y81
± y 2 ± y 3 ± y 4 ± ... ± y 8 ]
A som a dos quadrados dos efeitos de cada factor (ou interacção) p ode ser calculada a partir de
SQfactor ou interac. = 2n−2 r(eefactor ou interac. )
sendo
no
número de factores presentes no planeamento e
Variância residual:
s2 =
ro
2
número de replicações.
s21 +s22 +...+s28
8
Intervalos de confiança para os ”efeitos reais”
T =
ee − ”ef eito real”
q
∼ t8(r−1)
s2
2r
Teste de Kruskal Wallis
H 0 : Não existem diferenças significativas entre os efeitos dos tratamentos ou as médias das distribuições das
k p opulações são
idênticas
H 1 : Nem todas as
R.R:
H ≥ c onde c é
H=
Para
k distribuições
têm m édias idênticas.
determinado de
α = P r[H ≥ c; H0 ] e
ni
X
12
W2
W2 W2
Rij i = 1, 2, ..., k
[ 1 + 2 +...+ k ] − 3(n + 1)com W i =
n(n + 1) n1
n2
nk
j=1
k > 3 ou n1 , n2 , ...
e/ou
ni > 5, a
distribuição assintótica de
H
é a
χ2
com
k−1
graus de liberdade.
A ’estatística’ a justada é
0
H=
1−
em que
1, ..., l).
l
Pl
H
qj (qj2 −1)
n(n2 −1)
j=1
é o número de conjuntos com observações rep etidas existente e
0
H tem ainda uma distribuição assintótica χ2k−1 .
A ’estatística’
6
qj
é o número de elementos nesse conjunto
j (j =
Planeamento com blocos. Teste de Quade
b variáveis
Os dados consistem num conjunto de
(yi1 , yi2 , ..., yik ), i = 1, ..., b, chamadas
aleatórias independentes a
k dimensões
blocos.
Os cálculos para este teste devem estar assim ordenados:
Amplitude do bloco: Ai
Ai = maxj (yij ) − minj (yij )
Graduações do bloco de acordo
com a sua amplitude:
R(Ai )
M atriz Sij
Sij = R(Ai )[R(yij ) −
k+1
2 ]
R(yij ) - graduações das observações yij , (j = 1, ..., k)
P
P
P
P
2
Sj = bi=1 Sij ; SQT = 1b kj=1 Sj2 ; ST Q = bi=1 kj=1 Sij
ST Q reduz-se
Se não existirem observações rep etidas,
a
b(b + 1)(2b + 1)k(k + 1)(k − 1)/72.
Teste de hip óteses
H 0 : Não existem diferenças significativas entre os tratamentos
(ou, os efeitos dos tratamentos são idênticos)
H 1 : Pelo menos um dos tratamentos tende a conseguir valores observados maiores do que um outro tratamento.
R.R :
com
T > c onde c é
um p onto crítico da distribuição
(k − 1) e (b − 1)(k − 1) graus
F
que corresp onde ao nível de significância
α,
de lib erdade
T =
(b − 1)SQT
ST Q − SQT
Comparações dois a dois
Os tratamentos
iej
são considerados significativamente diferentes se
s
|S i −S j | > c
sendo
co
p onto crítico da distribuição t-Student, com
rejeição de tamanho
α (nível de
significância)
2b(ST Q − SQT )
(b − 1)(k − 1)
(b − 1)(k − 1) graus
de lib erdade que corresp onde a uma região de
Testes de ajuste de distribuições
Testes do tipo de Kolmogorov para pequenas amostras
0
ou
S(x) é a função de distribuição empírica que é definida como fracção dos Xi s (elementos da amostra) que são menores
iguais a X , para cada X (−∞ < X < +∞)
Dados:
F ∗ (x) é
uma função distribuição completamente esp ecificada.
A. Teste bilateral
H0 : F (x) = F ∗ (x) ∀x
H1 : F (x) 6= F ∗ (x)
T = supx | F ∗ (x) − S(x) |
R.R:
T (T + ou T − ) > c
B. Teste unilateral
H0 : F (x) ≥ F ∗ (x)
H1 : F (x) < F ∗ (x)
T + = supx [ F ∗ (x) −
com
c calculado
de
S(x) ]
C. Teste unilateral
H0 : F (x) ≤ F ∗ (x)
H1 : F (x) > F ∗ (x)
T − = supx [ S(x) −
F ∗ (x) ]
α = P rob(Rej H0 ; H0 ) = P rob(T > c; H0 de A.) .
7
Os p ontos críticos da distribuição de
T (T +
ou
T − ) correspondem
a
p=1−α
Teste de Lilliefors para a Normal
DADOS: Os dados consistem numa amostra aleatória
desconhecida
X1 , X2 , ..., Xn de tamanho n associada com alguma função distribuição
F (x).
H 0 : A amostra aleatória foi retirada de uma distribuição normal, com média e/ou variância não esp ecificadas.
H 1 : A função distribuição dos
R.R:
T1 > c sendo c o
0
Xi s não
é normal.
p onto crítico da distribuição de
X=
Zi =
Pn
i=1 Xi
n
Xi − X
,
s
T1
que corresp onde a
v
u
u
s =t
e
p=1−α
n
1 X
(Xi − X)2
n − 1 i=1
i = 1, 2, ..., n T 1 = supz | F ∗ (z) − S(z) |
Teste de Lilliefors para a exponencial
DADOS: Os dados consistem numa amostra aleatória
desconhecida
H0 : A
amostra aleatória segue a distribuição exp onencial:
∗
F (x) = F (x) =
em que
H1 :
X1 , X2 , ..., Xn de tamanho n associada com alguma função distribuição
F (x).
β
½
1 − e−x/β , para x > 0
0
para x < 0
é um parâmetro desconhecido.
A distribuição dos
0
Xi s não
é exp onencial.
X=
Pn
i=1
Xi
n
F ∗ (z) =
½
Zi=
Xi
, i = 1, 2, ..., n
X
1 − e−z , para z > 0
0
para z < 0
T2 = supz | F ∗ (z) − S(z) |
R.R:
T2 > c sendo c o
p onto crítico da distribuição de
T2
que corresp onde a
p = 1 − α.
Teste a duas distribuições. Amostras independentes.
Teste de Kolmogorov - Smirnov
n, X1 , X2 , ..., Xn e
F (x) e G(y) (ou G(x)) resp ectivamente.
DADOS: Os dados consistem em duas amostras aleatórias indep endentes, uma de tamanho
tamanho
m, Y1 , Y2 , ..., Ym
retiradas de duas p opulações com distribuições
A. Teste bilateral
B. Teste unilateral
C. Teste unilateral
H0 : F (x) = G(x) ∀x
H1 : F (x) 6= G(x)
T1 = supx | S1 (x) − S2 (x) |
H0 : F (x) ≤ G(x)
H1 : F (x) > G(x)
T1+ = supx [ S1 (x) − S2 (x) ]
H0 : F (x) ≥ G(x)
H1 : F (x) < G(x)
T1− = supx [ S2 (x) − S1 (x) ]
8
outra de
com
S1 (x) a
função empírica baseada na amostra
+
R.R: T1 (T1
ou
T1− )
X1 , X2 , ..., Xn e S2 (x) a
função empírica baseada em
Y1 , Y2 , ..., Ym
> c sendo c o p onto crítico da distribuição da estatística que corresp onde a um nível de significância
α.
Teste a k distribuições. Amostras independentes.Teste unilateral de Smirnov
DADOS:
k amostras
aleatórias de tamanho iguais a
S1 (x), S2 (x), ..., Sk (x),
forem, resp ectivamente,
F2 (x), ..., Fk (x) representam
as
k
T2 > c sendo c o
R.R:
algum
Se as distribuições empíricas
e as funções distribuição
F1 (x),
p opulações, desconhecidas,
H0 : F1 (x) ≤ F2 (x) ≤ ... ≤ Fk (x) para
H1 : Fi (x) > Fj (x) para
n.
i<j
todo o
e algum
x
x
p onto crítico, que corresp onde a
p = 1 − α,
ao nível de significância
α.
T2 = supx,i<k [ S i (x) − S i+1 (x) ] i = 1, ..., k − 1
Regressão linear e simples
Yi ∼ N (α + βxi , σ 2 )
Yi = α + βxi + ei
com
xi = Xi − X , i = 1, .., n
2
Os estimadores de máxima verosimilhança, para os parâmetros α, β e σ são
Pn
Pn
Pn
Yi
(Xi −X)(Yi −Y )
(Xi −X)Yi
Pn
α̃ = i=1
= Y ; β̃ = i=1
= Pi=1
;
n
2
2
n
i=1 (Xi −X)
i=1 (Xi −X)
σ̃ 2 =
1
(n−2)
Pn
i=1 [Yi
− α̃ − β̃(Xi − X)]2
Testes de hipóteses
α̃ − α
T1 = q
∼ tn−2
σ̃ 2
T2 = q
;
n
β̃ − β
2
P n σ̃
2
1 (Xi −X)
∼ tn−2
H0 : β = 0
H1 : β > 0 (ou β 6= 0)
T2 ≥ c com c = tn−2,α (ou
R.R:
Do mesmo modo, a ’estatística’
o parâmetro
α/2)
T1 p ode ser usada para calcular intervalos de confiança
α
Média e variância de um valor estimado de Y:
E[Y 0 ] = E[α̃] + (X 0 −X)E[β̃] = α + β(X 0 −X)
1
(X0 − X)2
var[Y 0 ] = σ 2 ( + Pn
)
2
n
i=1 (Xi − X)
9
e testes de hip óteses relacionados com
Regressão linear e múltipla
Yi = α + βxi +γz i +ei
em que
xi = Xi − X, zi = Zi − Z
σ 2 (i = 1, ..., n).
e
ei
é o erro aleatório de observação,normalmente distribuído com média zero e
variância comum
E[Y ] = α + β(X − X) + γ(Z − Z).
α̃ =
Pn
i=1
Yi
n
; σ̃ 2 =
=Y
1
(n−3)
Pn
i=1 (Yi
− α̃ − β̃xi − γ̃zi )2
½ Pn
P
P
xi Yi = β̃ ni=1 x2i + γ̃ ni=1 xi zi
Pn
Pn
Pi=1
n
2
i=1 zi Yi = β̃
i=1 xi zi + γ̃
i=1 zi
As ’estatísticas’
T1 , T2 e T3
para testes de hip óteses e intervalos de confiança, em relação,
resp ectivamente, aos parâmetros
α̃ − α
T1 = q ;
σ̃ 2
n
n − 3 graus
de lib erdade.
α, β e γ , são:
T2 = r
β̃ − β
P
;
2
σ̃P
( x z )2
x2i − P i 2i
z
i
T3 = r
γ̃ − γ
P
2
σ̃P
( x z )2
zi2 − P i 2i
x
i
e seguem a distribuição t-Student com
Regressão não-linear
i)
E[Yi ] = α + βXi2
2
O modelo matemático geral, é: Yi = α + βwi + γwi + ei com wi = Wi
2
Define-se X = W e Z = W , o que reduz este caso à regressão múltipla e linear.
ii)
−W
e o
ei ∼ N (0, σ2 ) (i = 1, ..., n).
E[Yi ] = Xiβ
Yi = αeβXi ui .
O modelo matemático mais geral e comum é:
Os erros aleatórios
ui (i = 1, ..., n)
têm agora uma
distribuição, em geral não simétrica e centrada em 1.
Lineariza-se o modelo passando-se a ter:
lnYi = lnα + βXi + lnui
e aplica-se a análise de regressão linear e simples.
Testes de independência estocástica
• Coeficiente de correlação da amostra. Teste de Pearson
X ∼ N (µ1 , σ 21 ) e
Y ∼ N (µ2 , σ22 )
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
R.R:
|R| ≥ c.
O valor de
cé
determinado de
Pn
α = Pr [|R| ≥ c; H0 ]
i=1 Xi Yi −
R =q P
n
( i=1 Xi2 −
Pn
i=1
P
Xi n
i=1 Yi
n
P
Pn
2
( n
i=1 Xi )
)( i=1
n
e que é o coeficiente de correlação da am ostra de Pearson.
10
Yi2 −
P
2
( n
i=1 Yi )
)
n
A variável
√
R
√ n−2
1−R2
T =
∼ tn−2
c; H0 ] .
e o teste resume-se a, rejeitar
H0 se |T | ≥ c com c determ inado de α = Pr [|T | ≥
• Correlação de Spearman
(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), ..., (Xn , Yn )
R(Xi ) graduação
R(Yi ) graduação
A medida de
do valor de
do valor de
n
amostra aleatória bivariada, de tamanho
Xi
Yi (i = 1, 2, ..., n)
correlação de Spearman RS
RS =
é definida p or
Pn
n+1
2 ][R(Yi )
n(n2 −1)
12
i=1 [R(Xi )
−
−
n+1
2 ]
ou
RS = 1−
6T
n(n2 − 1)
T =
com
n
X
i=1
[R(X i ) − R(Y i )]2
caso não existam observações rep etidas. Existindo rep etições deve usar-se a expressão:
Pn
2
R(Xi )R(Yi ) − n( n+1
2 )
qP
n
n
n+1 2
n+1 2
2
2
i=1 R(Xi ) − n( 2 ) .
i=1 R(Yi ) − n( 2 )
i=1
RS = qP
A. Teste bilateral
H 0 : As variáveis
XeY
são indep endentes.
H 1 : (a) Existe uma tendência para os maiores valores de
os m aiores valores de
R.R:
c2
RS > c1
ou
form arem pares com
Y , ou
(b) Existe uma tendência para os menores valores de
os m aiores valores de
X
X
formarem pares com
Y.
RS < c2 , sendo c1
o p onto crítico que corresp onde a
α
o p onto crítico que corresp onde a 2
1−
α
2 e
B. Teste unilateral para correlação p ositiva
H 0 : As variáveis
XeY
são indep endentes.
H 1 : Existe uma tendência para os maiores valores de
R.R:
RS > c, em
que
cé
X
e de
o p onto crítico que corresp onde a
Y
formarem pares.
1−α
C. Teste unilateral para correlação negativa
H 0 : As variáveis
XeY
são indep endentes.
H 1 : Existe uma tendência para os menores valores de
maiores valores de
R.R:
Y
X
formarem pares com os
e vice-versa.
RS < c sendo c o
ponto crítico que corresp onde a
α.
11