Centro de Estudos Gerais
Curso de Mestrado em Matemática
Coordenação de Pós Graduação em Matemática
ROGÉRIO FERREIRA DE MORAES
TEOREMA DE EFIMOV PARA DIMENSÃO
MAIOR QUE DOIS
Orientador: Francisco Xavier Fontenele Neto
NITERÓI
MÊS/ANO
Rogério Ferreira de Moraes
TEOREMA DE EFIMOV PARA DIMENSÃO MAIOR QUE DOIS
Dissertação apresentada por Rogério
Ferreira de Moraes ao Curso de
Mestrado em Matemática - Universidade
Federal Fluminense, como requisito
parcial para a obtenção do Grau de
Mestre. Linha de Pesquisa: Geometria
Orientador: Francisco Xavier Fontenele Neto
Niterói
2006
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF
M827 Moraes, Rogério Ferreira de
Teorema de Efimov para dimensão maior que dois /
Rogério Ferreira de Moraes. – Niterói, RJ : [s.n.], 2006.
59 f.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Xavier Fontenele Neto.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade
Federal Fluminense, 2006.
1. Variedade diferenciáveis. 2. Conjunto convexo. I. Título.
CDD 516.36
ROGÉRIO FERREIRA DE MORAES
TEOREMA DE EFIMOV PARA DIMENSÃO MAIOR QUE DOIS
Dissertação apresentada por ROGÉRIO
FERREIRA DE MORAES ao Curso de
Mestrado
em
Matemática
da
Universidade Federal Fluminense, como
requisito parcial para a obtenção do
Grau
de
Mestre.
Linha
de
Pesquisa:Geometria.
Aprovada em: 28/04/2006
Banca Examinadora
_______________________________________________
Prof. Francisco Xavier Fontenele Neto - Orientador
Doutor – Universidade Federal Fluminense
_______________________________________________
Prof. Levi Lopes de Lima - Membro
Doutor – Universidade Federal do Ceará
_______________________________________________
Prof. Luis Adrian Florit - Membro
Doutor – Instituto de Matemática Pura e Aplicada
_______________________________________________
Prof. Sérgio Mendonça - Membro
Doutor – Universidade Federal Fluminense
As assinaturas de cada membro da banca se encontram na ata de defesa da
monografia onde sua cópia são as duas páginas seguintes.
NITERÓI
2006
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais por sempre me darem apoio. A todos os meus amigos da graduação e do
mestrado, em particular ao Julius, à Fernanda e à Loise, que foram pessoas com que mais tive contato,
e aos mais recentes Ivan e Napoleão, serão meus eternos amigos. Aos funcionários da pós-graduação
e da biblioteca, que sempre foram prestativos. À Capes pelo suporte financeiro durante todo o curso.
A todos os professores da pós-graduação em matemática com os quais tive oportunidade de cursar
uma disciplina, que, sem exceção, são todos excelentes profissionais. Gostaria de homenagiar em
particular ao meu professor orientador Fontenele, uma pessoa admirável tanto no lado profissional
quanto no pessoal, que continuamente teve muita paciência, procurando sempre me incentivar.
RESUMO
Em um famoso trabalho, Efimov provou que uma superfı́cie completa com curvatura seccional menor
ou igual a -1 não pode ser imersa isometricamente em R3 , generalizando um teorema clássico de
Hilbert. Em um trabalho bem conhecido, Smith-Xavier obtiveram uma versão para a curvatura de
Ricci do teorema de Efimov. Apresentamos este trabalho de Smith-Xavier com uma grande riqueza
de detalhes.
ABSTRACT
In a famous work, Efimov proved that a complete surface with sectional curvature less than or equal
to -1 can not be isometrically immersed in R3 , generalizing a classical theorem of Hilbert. In a well
known work, Smith-Xavier obtained a Ricci curvature version of Efimov’s theorem. Here we present
Smith-Xavier’s work whit a richness of details.
Sumário
Introdução
1
1 Preliminares
3
1.1
Notações, definições e fatos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Subconjuntos convexos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..8
2 Hipersuperfı́cies Convexas
19
3 Um Teorema de Osserman
27
4 Teorema das Curvaturas Principais
34
5 Aplicações do Teorema das Curvaturas Principais
48
Introdução
Um teorema clássico de Hilbert estabelece que o plano hiperbólico não pode ser imerso isometricamente em R3 . Em 1968, Efimov [6] provou que uma superfı́cie completa com curvatura gaussiana
menor ou igual a uma constante negativa não pode ser imersa isometricamente em R3 . Reilly [5]
propôs a seguinte generalização do Teorema de Efimov: “Não há hipersuperfı́cies completas em Rn+1
com curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ”. O principal objetivo deste trabalho é apresentar e demonstrar um resultado, devido a Smith-Xavier [9], que responde parcialmente
a essa questão levantada por Reilly.
A ferramenta utilizada na demonstração do resultado acima é um teorema, que, doravante, será
referido como teorema das curvaturas principais, que diz que se uma hipersuperfı́cie completa do
espaço Euclidiano possui curvaturas principais positivas e negativas então existem curvaturas principais positivas e negativas tão próximas de zero quanto se queira (Teorema 4.1). O teorema das
curvaturas principais também será utilizado na demonstração de um resultado (Teorema 5.1) , que
estende um conhecido teorema de Klotz-Osserman [4].
O trabalho está dividido em cinco capı́tulos. O capı́tulo 1 tem duas seções. Na primeira seção,
apresentamos as notações, definições e fatos básicos, referentes a uma variedade diferenciável ou
Riemanniana arbitrária. Na segunda seção do capı́tulo 1, faremos um estudo sobre subconjuntos
convexos do espaço Euclidiano, onde apresentamos vários resultados que serão utilizados no restante
do trabalho.
No capı́tulo 2 apresentamos uma prova de um teorema de H. Wu [7] (Teorema 2.7), e no capı́tulo
3 apresentamos uma prova para um teorema de Osserman [8] (Teorema 3.6). O teorema de Wu e o
teorema de Osserman serão utilizados na demonstração do teorema das curvaturas principais, a qual
será apresentada no capı́tulo 4.
1
Finalmente, no capı́tulo 5, são apresentadas duas aplicações do Teorema 4.1. O Teorema 5.1,
que estende um resultado de Klotz-Osserman [4], e o Teorema 5.4, cujo corolário responde satisfatoriamente a questão proposta por Reilly, para n = 3, e parcialmente, para n > 3.
2
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo, apresentaremos resultados que serão utilizados em todo o trabalho. Ele está dividido
em duas seções. Na primeira seção apresentamos as notações, definições e fatos básicos, referentes
a uma variedade diferenciável ou Riemanniana arbitrária. Na segunda seção, faremos um estudo
dos subconjuntos convexos do espaço Euclidiano, apresentando alguns resultados que descrevem o
comportamento de tais conjuntos.
1.1
Notações, definições e fatos básicos
Dada uma variedade diferenciável M , denotamos o espaço dos campos vetorias de classe C ∞ em M
e o anel das funções reais de classe C ∞ definidas em M , respectivamente, por X (M ) e D(M ).
Dada uma imersão isométrica f : M m → N n de uma variedade Riemanniana m-dimensional
M m em uma variedade Riemanniana n-dimensional N n , a segunda forma fundamental (a valores
vetoriais) em um ponto p ∈ M é a aplicação σ : Tp M × Tp M → Tp M ⊥ dada por
σ(X0 , Y0 ) = (∇f∗ (X) f∗ (Y ))⊥ (f (p)),
onde X, Y são campos vetoriais diferenciáveis em M m , tais que X(p) = X0 e Y (p) = Y0 , f∗ denota
a diferencial de f , ∇ é a conexão Riemanniana de N e o superı́ndice ⊥ indica a projeção ortogonal
no complemento ortogonal de f∗ (Tp M ) em Tf (p) N .
Vale o seguinte resultado:
Proposição 1.1. (Equação de Gauss). Seja f : M m → N n uma imersão isométrica. Para todos
3
p ∈ M e X0 , Y0 ∈ Tp M temos
K(X0 , Y0 ) − K(X0 , Y0 ) = hσ(X0 , X0 ), σ(Y0 , Y0 )i− k σ(X0 , Y0 ) k2 ,
onde h., .i indica o produto interno em N n , K(X0 , Y0 ), a curvatura seccional de M no plano gerado
por X0 e Y0 e K(X0 , Y0 ), a curvatura seccional de N no plano gerado por f∗ (X0 ) e f∗ (Y0 ).
Uma demonstração da Equação de Gauss, pode ser encontrada em ([1], página 130).
Definição 1.2. Dada uma imersão isométrica f : M m → N n , um campo ortogonal à imersão f é
uma aplicação que a cada p ∈ M faz corresponder um vetor ξ(p) ∈ f∗ (Tp M )⊥ .
Definição 1.3. Dados uma imersão isométrica f : M m → N n e um campo ξ, ortogonal à imersão
f , a derivada covariante de ξ na direção de um vetor v ∈ Tp M é dada por
Dv ξ(p) = ∇f∗ (v) ξ(f (p)),
(1.1)
onde ξ é o campo em f (M ) definido por ξ(f (p)) = ξ(p) (como toda imersão é localmente um
mergulho, e ∇x Y (x) só depende de X(x) e de Y (x) em uma vizinhança de x, podemos considerar f
um mergulho).
Dados uma imersão isométrica f : M m → N n , um ponto p ∈ M , e um vetor ξ0 ∈ (Tp M )⊥ ,
pode-se mostrar que a forma bilinear h : Tp M × Tp M → R dada por
h(X0 , Y0 ) = hσ(X0 , Y0 ), ξ0 )i
é simétrica. Segue que existe uma aplicação linear auto adjunta Aξ0 : Tp M → Tp M tal que
g(Aξ0 X0 , Y0 ) = hσ(X0 , Y0 ), ξ0 i,
X0 , Y0 ∈ Tp M,
(1.2)
onde g indica a métrica Riemanniana de M .
Definição 1.4. A aplicação linear Aξ0 : Tp M → Tp M dada por (1.2) é chamada a segunda forma
fundamental de f em p na direção do vetor ξ0 .
A relação entre Aξ0 e a derivada covariante, é dada pela seguinte proposição.
4
Proposição 1.5. Sejam f : M m → N n uma imersão isométrica, p ∈ M e ξ0 ∈ (Tp M )⊥ com
k ξ0 k= 1. Então
f∗ (Aξ0 X0 ) = −(DX0 ξ)> ,
X0 ∈ Tp M,
onde ξ é um campo unitário ortogonal à imersão f tal que ξ(p) = ξ0 , e o superı́ndice > indica a
projeção ortogonal de DX0 ξ em f∗ (Tp M ).
Demonstração: Fixe X0 , Y0 ∈ Tp M , e sejam X, Y ∈ X (M ), tais que X(p) = X0 e Y (p) = Y0 .
Temos
g(Aξ0 X0 , Y0 ) = hσ(X0 , Y0 ), ξ0 i
= h(∇f∗ (X) f∗ (Y ))⊥ (f (p)), ξ(p)i
= h(∇f∗ (X) f∗ (Y ))(f (p)), ξ(f (p))i
= f∗ (X)hf∗ (Y ), ξi(f (p)) − hf∗ (Y0 ), ∇f∗ (X) ξ(f (p))i
Como f∗ (Y ) é um campo tangente a f (M ) e ξ é um campo normal a f (M ), segue de (1.1) que
g(Aξ0 X0 , Y0 ) = −hf∗ (Y0 ), ∇f∗ (X) ξ(f (p))i
= −hf∗ (Y0 ), DX0 ξi
= −hf∗ (Y0 ), (DX0 ξ)> i
= −g(Y0 , f∗−1 ((DX0 ξ)> ),
para todos X0 , Y0 ∈ Tp M , de onde se conclui que
Aξ0 X0 = −f∗−1 ((DX0 ξ)> ).
Portanto,
f∗ (Aξ0 X0 ) = −(DX0 ξ)> .
Corolário 1.6. Sejam f : M n → N n+1 uma imersão isométrica, p ∈ M n e ξ0 ∈ (Tp M n )⊥ tal que
k ξ0 k= 1. Então
f∗ (Aξ0 X0 ) = −DX0 ξ,
X0 ∈ Tp M,
onde ξ é um campo unitário ortogonal à imersão f , tal que ξ(p) = ξ0 .
5
Demonstração: Como ξ é um campo unitário, temos
0 = f∗ (X)hξ, ξi = 2h∇f∗ (X) ξ, ξi,
o que mostra que ∇f∗ (X) ξ é ortogonal a ξ. Como a codimensão é 1, conclui-se que DX ξ = ∇f∗ (X) ξ é
tangente a f (M n ). O corolário segue da Proposição anterior.
Seja M n uma variedade Riemanniana. A curvatura de Ricci em um ponto p ∈ M n na direção
de um vetor v ∈ Tp M n , será denotada por Ricp (v). Quando a curvatura de Ricci de uma variedade
Riemanniana for, por exemplo, menor ou igual a uma constante c, para todo ponto p ∈ M n e todo
vetor v ∈ Tp M n , escreveremos simplismente RicM n ≤ c.
Usando a equação de Gauss e (1.1), obtemos a seguinte proposição.
Proposição 1.7. Sejam f : M n → Rn+1 uma imersão isométrica, p ∈ M n e ξ0 ∈ (Tp M n )⊥ . Denote
por A a segunda forma em p na direção de ξ0 , e seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal de Tp M n tal
que Aei = λi ei , i = 1, ..., n. Então
1
Ricp (ej ) =
n−1
à n
X
!
λi λj − λ2j
.
i=1
Demonstração: Por definição
n
Ricp (ej ) =
1 X
K(ei , ej ).
n − 1 i=1
i6=j
Usando a equação de Gauss e observando que o ambiente tem curvatura seccional identicamente
6
zero, obtemos
n
Ricp (ej ) =
1 X
(hσ(ei , ei ), σ(ej , ej )i − hσ(ei , ej ), σ(ei , ej )i)
n − 1 i=1
i6=j
n
1 X
(hAei , ei ihAej , ej i − hAei , ej i2 )
=
n − 1 i=1
i6=j
=
1
n−1
n
X
(λi λj − λ2i δij )
i=1
i6=j
n
1 X
λi λj
n − 1 i=1
i6=j
!
à n
X
1
λi − λj .
λj
=
n−1
i=1
=
Dada uma variedade Riemanniana conexa M n com métrica Riemanniana g, a distância entre dois
pontos x, y ∈ M n , denotada por dg (x, y), é definida como o ı́nfimo dos comprimentos de todas as
curvaturas diferenciáveis por partes ligando x a y. Pode-se mostrar que dg satisfaz as propriedades
de uma função distância, e que a topologia gerada por dg em M n coincide com a topologia original
de M n .
Definição 1.8. Seja M n uma variedade diferenciável. Um subconjunto S de M n tem medida zero
se, para todo sistema de coordenadas (U, ϕ) em M n , ϕ(U ∩ S) tem medida zero em Rn
Definição 1.9. Sejam M e N variedades diferenciáveis e f : M → N uma aplicação diferenciável.
Um ponto p ∈ M é chamado crı́tico, se dfp : Tp M → Tf (p) N não é sobrejetiva. A imagem de um
ponto crı́tico é chamada valor crı́tico . Um valor que não é crı́tico é chamado valor regular.
Os dois teoremas a seguir serão utilizados na demonstração do Teorema 4.1.
Teorema 1.10. (Teorema de Sard para Variedades). Se f : M → N é uma aplicação diferenciável entre variedades diferenciáveis, então o conjunto dos valores crı́ticos de f tem medida nula
em N .
Uma demonstração para o teorema acima é dada em [3]
7
Teorema 1.11. Se f : M → R é diferenciável e a ∈ R é valor regular de f , então f −1 (a) é uma
hipersuperfı́cie de M .
A demonstração deste teorema pode ser encontrado em ([1], página 17).
1.2
Subconjuntos convexos de Rn
Nesta seção, apresentamos um estudo introdutório sobre subconjuntos convexos do espaço Euclidiano.
As notações e terminologias estão como no livro de Rockafellar [2].
Os resultados aqui apresentados podem essencialmente ser encontrados em [2]. Como os resultados
sobre a geometria dos conjuntos convexos em Rn são obtidos em [2] como consequências de resultados
da teoria de funções convexas, apresentamos, para comodidade do leitor, demonstrações diretas dos
referidos resultados.
Definição 1.12. Um subconjunto K de Rn é chamado subespaço afim, se existem q ∈ Rn e um
subespaço vetorial H tais que K = H + q.
É fácil ver que o subespaço H na definição acima é único. Ele é chamado de subespaço vetorial
paralelo a K.
Definição 1.13. A dimensão de um subespaço afim é a dimensão do subespaço vetorial paralelo.
Definição 1.14. A envoltória afim de um subconjunto C de Rn , denotado por aff C, é o menor
subespaço afim de Rn que contém C. Claramente, aff C é a interseção de todos os subespaços afins
de Rn que contém C.
Definição 1.15. Um subconjunto C ⊂ Rn é chamado convexo se (1 − t)x + ty ∈ C, para quaisquer
x, y ∈ C e 0 ≤ t ≤ 1. Em outras palavras, se C contém dois pontos x e y então contém o segmento
de extremos x e y.
Definição 1.16. Dado um convexo não-vazio C ⊂ Rn , o interior relativo de C, denotado por ri C, é
o conjunto de todos os elementos x ∈ C, para os quais existe ² > 0 tal que B² (x) ∩ aff C ⊂ C, onde
B² (x) denota a bola aberta em Rn de centro x e raio ².
8
Proposição 1.17. Seja C um subconjunto convexo não-vazio de Rn . Se p ∈ ri C e q ∈ C, então
(1 − t)p + tq ∈ ri C, para todo 0 ≤ t < 1.
Demonstração: Fixe z = (1 − t0 )p + t0 q com 0 < t0 < 1. Como p ∈ ri C, existe r > 0 tal que
Br (p) ∩ aff C ⊂ C. Mostraremos que B(1−t0 )r (z) ∩ aff C ⊂ C, o que implicará que z ∈ ri C, provando
a proposição. Para isso, tome w ∈ B(1−t0 )r (z) ∩ aff C. É facil ver que
p+
w−z
∈ Br (p) ∩ aff C ⊂ C.
1 − t0
Como
(1 − t0 )(p +
w−z
) + t0 q = (1 − t0 )p + w − z + t0 q = z + w − z = w
1 − t0
e C é convexo, conclui-se que w ∈ C.
Corolário 1.18. Se C é um subconjunto convexo não-vazio de Rn , então
ri C = C.
Demonstração: Como ri C ⊂ C, segue imediatamente que
ri C ⊂ C.
Para provar a inclusão oposta, tome q ∈ C e p ∈ ri C. Seja (xk )k∈N uma sequência de elementos de
C tal que xk → q. Para cada k ∈ N, seja yk = k1 p + (1 − k1 )xk . Temos
1
(p − xk ) + xk − q k
k
1
1
= k (p − q) + (q − xk ) + xk − q k
k
k
1
1
k p − q k + k q − xk k + k xk − q k .
≤
k
k
k yk − q k = k
Da desigualdade acima obtemos que yk → q. Mas, pela proposição anterior, yk ∈ ri C para todo
k ∈ N. Logo, q ∈ ri C, concluindo a prova do Corolário.
Definição 1.19. Um subconjunto C de um subespaço afim H é chamado relativamente aberto, se
C for aberto em H. Isso equivale a dizer que C = riC.
9
Definição 1.20. Dado um subespaço afim H ⊂ Rn , um hiperplano de H é um subespaço afim K
de Rn tal que K ⊂ H e dim H = dim K + 1, onde dim H e dim K indicam as dimensões de H e K
respectivamente.
Proposição 1.21. Sejam H um subespaço afim de Rn e C ⊂ H um conjunto convexo não-vazio
relativamente aberto em H. Se p ∈ H − C, existe um hiperplano K de H, passando por p, tal que
K ∩ C = ∅.
Demonstração: Fazendo uma translação se necessário, podemos supor que H é um subespaço de
Rn e 0 ∈ C.
Seja M = {λp : λ ∈ R} e defina a aplicação ϕ : M → R por
ϕ(λp) = λ.
Seja ρ : H → R a função definida por
ρ(z) = inf{α > 0;
z
∈ C}.
α
Como C é relativamente aberto em H, tem-se que {α > 0; αz ∈ C} =
6 ∅ e, portanto, ρ : H → R está
bem definida. A função ρ : H → R satisfaz as seguintes propriedades:
(i) ρ(z) ≥ 0 para todo z ∈ H e ρ(0) = 0.
(ii) ρ(λz) = λρ(z), ∀z ∈ H e λ ≥ 0.
(iii) ρ(z + w) ≤ ρ(z) + ρ(w), ∀z, w ∈ H.
(iv) {z ∈ H : ρ(z) < 1} ⊂ C ⊂ {z ∈ H : ρ(z) ≤ 1}.
Provaremos apenas (iii), pois as demais propriedades são facilmente verificadas.
Para isso, considere z, w ∈ H e tome α > 0 e β > 0 tais que αz , wβ ∈ C. Temos
α
β
z
w
z+w
=
+
.
α+β
(α + β) α (α + β) β
Como αz , wβ ∈ C, C é convexo e
α
α+β
+
β
α+β
= 1, segue que
z+w
α+β
∈ C.
Por definição de ρ, segue que
ρ(z + w) ≤ α + β,
para todos α, β tais que
z
α
∈C e
w
β
∈ C. Tomando o ı́nfimo, conclui-se (iii).
10
Afirmamos que
ϕ(y) ≤ ρ(y), para todo y ∈ M.
(1.3)
Basta provar a afirmação para y = λp com λ ≥ 0, pois ϕ(y) < 0 se y = λp com λ < 0.
Para todo y = λp com λ ≥ 0, temos
ϕ(y) = λ = λϕ(p).
Usando (ii) e (iv) obtemos
ϕ(y) = λ ≤ λρ(p) = ρ(λp) = ρ(y).
Fixe z 6= 0 em H tal que z ∈ M ⊥ . Podemos supor que tal z existe pois, do contrário, a proposição
estaria concluı́da tomando K = {p}. Seja
N = M ⊕ {λz : λ ∈ R}.
Para todos x, y ∈ M , temos por (iii) e (1.3) que
ϕ(x) + ϕ(y) = ϕ(x + y) ≤ ρ(x + y) ≤ ρ(x + z) + ρ(y − z),
de onde obtemos
ϕ(y) − ρ(y − z) ≤ ρ(x + z) − ϕ(x),
x, y ∈ M.
Logo, existe um número real α tal que
ϕ(y) − ρ(y − z) ≤ α ≤ ρ(x + z) − ϕ(x),
x, y ∈ M.
Segue que para todos x, y ∈ M
ϕ(y) − α ≤ ρ(y − z)
(1.4)
ϕ(x) + α ≤ ρ(x + z)
(1.5)
Defina ψ : N → R por
ψ(x + λz) = ϕ(x) + λα.
11
É fácil ver que ψ é linear e ψ |M = ϕ. Além disso, para quaisquer x ∈ M e λ > 0, temos por (1.5)
que
x
x
ψ(x + λz) = λψ( + z) = λ(ϕ( ) + α)
λ
λ
x
≤ λρ( + z) = ρ(x + λz).
λ
(1.6)
Analogamente, usando (1.4), prova-se que (1.6) também vale para λ < 0. Assim, estendemos a
função ϕ : M → R a uma aplicação linear ψ : N → R, definida em um subespaço N de H tal que
dimN = dimM + 1. Além disso, ψ é ainda majorada por ρ, ou seja,
ψ(w) ≤ ρ(w),
w ∈ N.
Afirmamos que existe uma aplicação linear θ : H → R, que estende ϕ, tal que
θ(w) ≤ ρ(w),
w ∈ H.
(1.7)
Se N = H, basta tomar θ = ψ. Se dimN < dimH, tomamos um vetor w 6= 0 em H tal que w ⊥ N
e, como acima, obtemos uma aplicação linear
ψ1 : N ⊕ {λw : λ ∈ R} → R
que estende ψ (e, portanto, ϕ) que ainda é majorada por ρ. Como H tem dimensão finita, após um
número finito de passos como acima, obtemos a aplicação θ desejada. Observe que θ é não-nula, pois
θ(p) = ϕ(p) = 1.
(1.8)
Além disso, para todo w ∈ C, temos por (iv) e (1.7)
θ(w) ≤ ρ(w) ≤ 1.
Como C é aberto em H, temos de fato que
θ(w) < 1,
w ∈ C.
Seja
K = {w ∈ H : θ(w) = 1}.
12
(1.9)
Como θ é não-nula, temos que K é um hiperplano de H. De (1.8) e (1.9) conclui-se que p ∈ K e
K ∩ C = ∅.
Usando a proposição anterior e o Corolário 1.18, podemos provar o seguinte teorema.
Teorema 1.22. (Teorema da Separação). Sejam C1 e C2 subconjuntos convexos não-vazios de
Rn tais que C1 ∩ C2 = ∅. Então existe um hiperplano H de Rn tal que C1 está inteiramente contido
em um dos semiespaços fechados de Rn determinados por H, e C2 está contido no outro semiespaço
fechado.
Demonstração: Seja C = C1 − C2 . É fácil ver que C é convexo. Além disso, como C1 ∩ C2 = ∅,
temos
0 6∈ C.
Para provar o teorema basta provar que existe um hiperplano K de Rn , passando por 0, tal que C
está inteiramente contido em um dos semiespaços fechados determinados por K. De fato, se esse
hiperplano K existir, existe v 6= 0 tal que hx, vi ≤ 0, para todo x ∈ C, de onde se conclui que
hx1 , vi ≤ hx2 , vi,
para todos x1 ∈ C1 e x2 ∈ C2 . Tomando um número real α tal que
sup hx1 , vi ≤ α ≤ inf hx2 , vi,
x2 ∈C2
x1 ∈C1
tem-se que H = {x ∈ Rn : hx, vi = α} cumpre a condição do teorema.
Como C é convexo, basta provar, em virtude do Corolário 1.18, que existe um hiperplano K de
Rn tal que
K ∩ ri C = ∅.
(1.10)
Para encontrar um hiperplano K satisfazendo (1.10), temos dois casos a considerar: 0 6∈ aff C e 0 ∈
aff C. Se 0 6∈ aff C, tomamos K como qualquer hiperplano que não intersecte aff C. Se 0 ∈ aff C,
temos pela Proposição 1.21 que existe um hiperplano K 0 de aff C, passando por 0, tal que K 0 ∩ ri
C = ∅. Nesse caso, tomamos
K = K 0 + (aff C)⊥ .
É imediato verificar que K∩ ri C = ∅.
13
Definição 1.23. Um subconjunto T de Rn é chamado cone se tx ∈ T para todo x ∈ T e t > 0.
Definição 1.24. Seja C ⊂ Rn um convexo não-vazio. O cone recessão de C, denotado por 0+ C, é o
conjunto de todos os vetores y ∈ Rn , tais que {p + ty : t ≥ 0} ⊂ C para todo p ∈ C.
É facil ver que 0+ C é um cone convexo, e que 0+ C é fechado se C for fechado.
Para subconjuntos convexos fechados temos a seguinte proposição.
Proposição 1.25. Seja C um subconjunto convexo fechado e não-vazio de Rn . Se {p+ty; t ≥ 0} ⊂ C
para algum p ∈ C, então y ∈ 0+ C, ou seja, {q + ty; t ≥ 0} ⊂ C, para todo q ∈ C.
Demonstração: Podemos supor | y |. Seja q ∈ C. Se q ∈ r = {p+ty : t ∈ R}, segue da convexidade
de C que {q +ty : t ≥ 0} ⊂ C. Se q 6∈ r, seja p0 o pé da perpendicular baixada de q à reta r. Sabemos
que {p0 + ty : t ≥ 0} ⊂ C. Para cada k ∈ N, seja
yk =
p0 + ky − q
.
k p0 + ky − q k
Chamando de θk o menor ângulo entre os vetores p0 + ky − q e p0 − q, temos
tan θk =
de onde se conclui θk →
Π
2
k p0 + ky − p0 k
k
=
k p0 − q k
k p0 − q k
quando k → ∞. Segue que yk → y quando k → ∞. Fixando t > 0, temos
p0 + ky 6∈ Bt (q) para todo k suficientemente grande. Então q + tyk ∈ C para todo k suficientemente
grande. Como C é fechado e q + tyk → q + ty, deduz-se que q + ty ∈ C, para todo t ≥ 0
Observação: O resultado acima não é valido se C não for fechado. De fato, o conjunto
C = {(0, 0)} ∪ {(x, y) ∈ R2 ; y > 0}.
é convexo, {(0, 1) + t(1, 0) : t ≥ 0} ⊂ C, mas {(0, 0) + t(1, 0) : t ≥ 0} 6⊂ C.
Proposição 1.26. Um conjunto convexo, fechado e não-vazio K de Rn é limitado, se, e somente se,
0+ K = {0}.
Demosntração: A necessidade da condição é imediata, pois se K é limitado, então K não contém
semi-retas, e, portanto, 0+ K = {0}.
14
Para demonstrar que a condição é suficiente, suponha que K seja ilimitado, e seja (xk )k∈N uma
seqüência de elementos de K tal que k xk k→ ∞. Fixe p ∈ K e considere a seqüência yk =
xk −p
.
kxk −pk
Pela compacidade de S n−1 temos, passando a uma subseqüência se necessário, que yk converge para
um ponto y ∈ S n−1 . Fixado t > 0, temos que xk 6∈ Bt (p) para todo k suficientemente grande. Segue
da convexidade de K que p + tyk ∈ K para todo k suficientemente grande. Como K é fechado,
conclui-se que p + ty ∈ K para todo t ≥ 0. Segue da proposição anterior que y ∈ 0+ K. Portanto,
0+ K 6= {0}.
Definição 1.27. Seja C ⊂ Rn um conjunto convexo não-vazio. O cone barreira de C, denotado por
B(C), é o conjunto de todos os vetores y tais que sup hx, yi < ∞.
x∈C
Proposição 1.28. O cone barreira B(C) é um cone convexo.
Demonstração: Dados t > 0 e y ∈ B(C), tem-se que
sup hty, xi = t sup hy, xi < ∞,
x∈C
x∈C
o que prova que ty ∈ B(C). Logo, B(C) é um cone.
Dados y, z ∈ B(C), temos para cada t ∈ (0, 1) que
sup h(1 − t)y + tz, xi = (1 − t) sup hy, xi + t sup hz, xi < ∞.
x∈C
x∈C
x∈C
Logo (1 − t)y + tz ∈ B(C) e, portanto, B(C) é um cone convexo.
Observação: Não podemos garantir que B(C) é fechado mesmo que C o seja. De fato, o conjunto
C = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 }
é um conjunto convexo fechado, mas B(C) = {(x, y) ∈ R2 : y < 0} é claramente aberto.
Para relacionar os cones recessão e polar de um conjunto convexo, introduziremos a noção de
cone polar de um cone.
Definição 1.29. Seja K um cone convexo não-vazio. O cone polar de K, denotado por K 0 , é o
conjunto dos vetores y, tais que hy, xi ≤ 0 para todo x ∈ K.
É facil ver que K 0 é um cone convexo fechado para todo cone convexo K. A relação entre os
cones barreira e recessão é dada pela seguinte proposição:
15
Proposição 1.30. Se C é um convexo fechado não-vazio, então 0+ C = B(C)0 .
Demonstração: Seja ξ ∈ 0+ C. Se ξ = 0, é imediato da definição que ξ ∈ B(C)0 . Se ξ 6= 0, temos
pela definição de 0+ C que
{p + tξ : t ≥ 0} ⊂ C,
para todo p ∈ C. Para todo vetor η 6= 0 que forma um ângulo agudo com ξ, temos hξ, ηi > 0 e,
então,
lim hp + tξ, ηi = lim (hp, ηi + thξ, ηi) = +∞.
t→∞
t→∞
Como p + tξ ∈ C para todo t ≥ 0, conclui-se que η 6∈ B(C) se o ângulo entre η e ξ for agudo. Logo,
por definição, ξ ∈ B(C)0 .
Reciprocamente, seja ξ 6∈ 0+ C. Mostraremos que ξ 6∈ B(C)0 , o que concluirá a prova da
proposição. Se dim C = 0, C será um ponto e, assim, qualquer vetor estará no cone barreira.
Em particular, ξ ∈ B(C). Logo, ξ 6∈ B(C)0 . Suponha, agora, que dimC ≥ 1. Se ξ não pertence ao
subespaço paralelo a aff C, existe η ⊥ aff C, formando um ângulo agudo com ξ. Como evidentemente
η ∈ B(C), conclui-se que ξ 6∈ B(C)0 . Suponha agora que ξ pertence ao subespaço paralelo a aff C.
Se dim(aff C) = 1, tem-se ξ ∈ B(C) e, portanto, que ξ 6∈ B(C)0 . Suponha, dim(aff C) ≥ 2 e tome
q ∈ ri C. Como ξ 6∈ 0+ C, segue da Proposição 1.25 que a semi-reta {q + tξ : t ≥ 0} não está contida
em C. Tome x = q + t0 ξ 6∈ C. Pela Proposição 1.21, existe um hiperplano H de aff C, passando
por x, tal que
H ∩ ri C = ∅.
Em particular, q 6∈ H. Segue que existe η 6= 0, pertencente ao subespaço paralelo de aff C, ortogonal
a H, tal que
hξ, ηi > 0.
Segue que
hq − x, ηi = −t0 hξ, ηi < 0.
Como H∩ ri C = ∅, conclui-se que
hz − x, ηi < 0,
16
para todo z ∈ ri C. Usando o Corolário 1.18, obtemos
hz − x, ηi ≤ 0,
para todo z ∈ ri C = C. Logo,
hz, ηi ≤ hx, ηi,
para todo z ∈ C, de onde obtemos η ∈ B(C). Como hξ, ηi > 0, conclui-se que ξ 6∈ B(C)0 .
Dado um subconjunto convexo não-vazio C de Rn , seja L = {y ∈ Rn+1 ; y ∈ 0+ C e −y ∈ 0+ C}.
Proposição 1.31. L é o maior subespaço vetorial contido em 0+ C.
Demonstração: Provaremos primeiramente que L é um subespaço vetorial de Rn . Para isso, observe
inicialmente que 0 ∈ L. Dados y ∈ L e t ∈ R, temos ty ∈ 0+ C e −ty = t(−y) ∈ 0+ C e, assim,
ty ∈ L. Dados y, z ∈ L, temos que
1
1
y + z = 2( y + z) ∈ 0+ C
2
2
1
1
−(y + z) = 2( (−y) + (−z)) ∈ 0+ C,
2
2
o que prova que y +z ∈ L. Portanto, L é um subespaço vetorial de Rn . Se M é um subespaço vetorial
contido em 0+ C, tem-se que y ∈ 0+ C e −y ∈ 0+ C para todo y ∈ M . Logo M ⊂ L e, portanto, L é
o maior subespaço vetorial contido em 0+ C.
Proposição 1.32. Para todo conjunto convexo não-vazio C vale
C = L ⊕ (C ∩ L⊥ ).
Demonstração: Se L = Rn , tem-se C = Rn e a conclusão é imediata. Suponha, agora, L 6= Rn .
Dado x ∈ C, seja x1 a projeção ortogonal de x em L⊥ . Temos
x = x − x1 + x1
Se x = x1 , tem-se trivialmente x − x1 = 0 ∈ L e x1 ∈ C ∩ L⊥ . Se x 6= x1 , tem-se que a reta que
passa pelos pontos x e x1 está totalmente contida em C ( pois x − x1 ∈ L). Logo, x1 ∈ C ∩ L⊥ e
17
x − x1 ∈ L. Em qualquer caso, temos x ∈ L + (C ∩ L⊥ ). Reciprocamente, se x = x1 + x2 , com x1 ∈ L
e x2 ∈ C ∩ L⊥ , segue que x1 ∈ 0+ C e {x2 + tx1 : t ≥ 0} ⊂ C. Em particular, x = x1 + x2 ∈ C.
Portanto,
C = L + (C ∩ L⊥ ).
Para provar que a decomposição é única, suponha que x1 + x2 = y1 + y2 , com x1 , y1 ∈ L e x2 , y2 ∈
C ∩ L⊥ . Como L e L⊥ são subespaços, tem-se que y2 − x2 = x1 − y1 ∈ L ∩ L⊥ = {0}, o que prova
que x1 = y1 e x2 = y2 e, conseqüentemente, que
C = L ⊕ (C ∩ L⊥ ).
Seja H r o menor subespaço contendo B(C) e seja r = dim H r .
Proposição 1.33. É válida a igualdade H r = L⊥ .
Demonstração: Mostraremos em primeiro lugar que H r ⊆ L⊥ . Pela definição de H r , basta mostrar
que B(C) ⊆ L⊥ . Seja x ∈ B(C). Como obviamente B(C) ⊂ B(C)00 , tem-se pela Proposição 1.30
que x ∈ (0+ C)0 . Como L ⊂ 0+ C, segue que x ∈ L⊥ . Provar a inclusão oposta é equivalente a
provar que (H r )⊥ ⊆ L. Para provar essa inclusão, tome x ∈ (H r )⊥ . Tem-se que hx, yi = 0, para todo
y ∈ B(C), implicando pela Proposição 1.30 que x ∈ 0+ C. Como L é o maior subespaço contido em
0+ C, segue que (H r )⊥ ⊆ L.
18
Capı́tulo 2
Hipersuperfı́cies Convexas
O objetivo deste capı́tulo é enunciar e demonstrar um teorema devido a H. Wu (Teorema 2.7). Antes
de enunciar esse teorema, faremos algumas definições e apresentaremos alguns fatos básicos.
Definição 2.1. Uma hipersuperfı́cie convexa M em Rn+1 é a fronteira de um conjunto convexo
fechado e próprio C ⊂ Rn+1 , tal que int C 6= ∅.
Note na definição acima que não estamos exigindo que a hipersuperfı́cie seja regular. Quando
fizermos tal exigência, diremos que a hipersuperfı́cie é C ∞ . Ao longo deste capı́tulo, hipersuperfı́cie
convexa terá o sentido abrangente da definição acima, de modo a incluir conjuntos como o cone de
uma folha.
Definição 2.2. Seja M = ∂C uma hipersuperfı́cie convexa de Rn+1 . Um vetor ξ 6= 0 em Rn+1 é
chamado vetor normal exterior de C em x0 ∈ M se, e somente se,
sup hx, ξi = hx0 , ξi
x∈C
Nesse caso, o hiperplano que passa por x0 e é ortogonal a ξ é chamado hiperplano suporte a C em
x0 .
Observação: Se ξ for um vetor normal exterior de C, então, necessariamente, ξ ∈ B(C). A recı́proca
não é verdadeira. De fato, o conjunto
1
C = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ e 1−x2 , −1 < x < 1}
tem (1,0) como vetor barreira, mas (1,0) não é vetor normal exterior a C em nenhum ponto.
19
Segue da Proposição 1.21 que, dada uma hipersuperfı́cie convexa M = ∂C de Rn+1 , por cada
ponto x ∈ M = ∂C passa um hiperplano suporte a C. Conseqüentemente, existe um vetor normal
exterior de C em cada ponto de M .
Usando a noção de vetor normal exterior, podemos definir a aplicação esférica (possivelmente de
valores múltiplos) γ : M → S n .
Definição 2.3. A aplicação esférica γ : M n → S n é definida como γ(p) = { o conjunto de todos os
vetores unitários normais exteriores a C em p}
Observação: No caso em que M n é C ∞ , temos que γ : M n → S n coincide com a aplicação normal
de Gauss.
O seguinte resultado será utilizado na prova do Teorema 2.7.
Proposição 2.4. Seja C ⊂ Rn+1 um subconjunto convexo fechado com interior. Se C não contém
retas, então M n é homeomorfo a S n ou a Rn . Esse homeomorfismo é um diofeomorfismo se ∂C for
C ∞.
Uma demonstração da proposição acima pode ser encontrada em [10].
Lema 2.5. Seja C um subconjunto convexo fechado não-vazio de Rn+1 , e seja H um subespaço
n-dimensional tal que H ∩ 0+ C = {0}. Então C ∩ H 0 é limitado para todas as translações H 0 de H.
Demonstração: Seja H 0 uma translação de H. Então existe q ∈ Rn+1 tal que
H 0 = q + H.
Fixe p ∈ C ∩ H 0 (se C ∩ H 0 = ∅, não terı́amos o que provar). Supondo por contradição que C ∩ H 0
seja ilimitado, existe uma seqüência (xk )k∈N de elementos de C ∩ H 0 tal que k xk k→ ∞. Para cada
k ∈ N, seja
yk =
xk − p
.
k xk − p k
Como S n é compacta, podemos supor, passando a uma subseqüência se necessário, que (yk ) converge.
Seja y = lim yk . Dado t > 0, tem-se que xk 6∈ Bt (p) para todo k suficientemente grande. Como C ∩H 0
k
20
é convexo, segue que p + tyk ∈ C ∩ H 0 , para todo k suficientemente grande. Como C ∩ H 0 é fechado
em Rn+1 , conclui-se que
p + ty = lim(p + tyk ) ∈ C ∩ H 0 , t > 0.
Como C é fechado, tem-se pela Proposição 1.25 que y ∈ 0+ C. Como p ∈ H 0 , segue que y ∈ H.
Logo, H ∩ 0+ C 6= {0}, contrariando a hipótese. Portanto, C ∩ H 0 é limitado.
Proposição 2.6. Seja M = ∂C uma hipersuperfı́cie convexa de Rn+1 . Se ξ ∈ intB(C), então ξ é
um vetor normal exterior a C em algum ponto de M .
Demonstração: Como ξ ∈ B(C), existe uma sequência de pontos xi ∈ C tal que
hxi , ξi → sup hx, ξi < ∞.
x∈C
Supondo por contradição que ξ não é um vetor normal exterior a C, como C é fechado, temos que
k xi k→ +∞. Passando a uma subsequência se necessário, temos que
xi
kxi k
converge para um vetor
x. Para todo λ > 0, temos então que
hxi , ξ + λxi = hxi , ξi + λ k xi k h
xi
, xi → ∞.
k xi k
Logo, (ξ + λx) 6∈ B(C) para todo λ > 0, de onde se conclui que ξ 6∈ intB(C). Essa contradição
encerra a prova da proposição.
Podemos agora enunciar o principal resultado deste capı́tulo.
Teorema 2.7. (Wu) Seja M n = ∂C uma hipersuperfı́cie convexa em Rn+1 homeomorfa a Rn . Então
as coordenadas podem ser escolhidas de forma que {xn+1 = 0} seja um hiperplano suporte de C na
origem, valendo as seguintes propriedades adicionais.
(a) Sejam Π : Rn+1 → {xn+1 = 0} a projeção ortogonal e Q o conjunto convexo Π(C). Então,
sobre ri Q, M n é o gráfico de uma função convexa não-negativa f : ri Q → R. Se M é C ∞ , então f
é uma função C ∞ .
(b)Para todo a ∈ Q\ri Q, M n ∩ Π−1 (a) é uma semi-reta fechada.
(c) Se além disso γ(M n ) tem interior (relativo a S n ), então para cada c > 0, M ∩ {xn+1 = c} é
homeomorfa a S n−1 . Esse homeomorfismo é um difeomorfismo se M n é C ∞ .
21
Demonstração: Pelas Proposições 1.32 e 1.33 temos
C = (H r )⊥ ⊕ (C ∩ H r ),
(2.1)
onde H r é o menor subespaço de Rn+1 contendo B(C). Lembre que H r = L⊥ , onde L é o maior
subespaço vetorial contido em 0+ C. Se tivéssemos r = 0, terı́amos B(C) = {0}. Da Proposição 1.30
obterı́amos 0+ C = B(C)0 = Rn+1 , o que implicaria C = Rn+1 , contrariando a hipótese. Assim, em
(2.1) temos r ≥ 1. Afirmamos que 0+ (C ∩ H r ) 6= {0}.
Suponha, por contradição, que 0+ (C ∩ H r ) = {0}. Pela Proposição 1.26 temos que C ∩ H r é
limitado. Como C∩H r tem interior em H r (por (2.1) e porque int C 6= ∅), segue da Proposição 2.4 que
∂(C ∩H r ) é homeomorfo a S r−1 . Conseqüentemente, M = ∂C seria homeomorfo a (H r )⊥ ⊕S r−1 , que
não pode ser homeomorfa a Rn para nenhum r ≥ 1. Essa contradição prova a afirmação. Afirmamos
também que
0+ C(C ∩ H r ) = 0+ C ∩ H r .
Para provar a afirmação, tome y ∈ 0+ C(C ∩ H r ). Então y ∈ H r e p + ty ∈ C ∩ H r para todos
p ∈ C ∩ H r e t ≥ 0. Em particular, p + ty ∈ C para algum p ∈ C e todo t ≥ 0. Segue da Proposição
1.25 que y ∈ 0+ C. Logo, y ∈ 0+ C ∩ H r . Reciprocamente, considere y ∈ 0+ C ∩ H r . Para todo
p ∈ C ∩ H r , temos {p + ty : t ≥ 0} ⊂ C (pois y ∈ 0+ C) e {p + ty : t ≥ 0} ⊂ H r (pois H r é um
subespaço e p, y ∈ H r ). Logo, {p + ty : t ≥ 0} ⊂ C ∩ H r para todo p ∈ C ∩ H r , o que implica que
y ∈ 0+ (C ∩ H r ). Isso completa a prova da afirmação.
Pelas duas afirmações acima, existe y ∈ 0+ C ∩ H r com y 6= 0. Afirmamos que nenhuma reta
paralela a y, pode estar inteiramente contida em C. Supondo o contrário, terı́amos y ∈ 0+ C e
−y ∈ 0+ C e, assim, y ∈ L pela definição de L. Como L = (H r )⊥ , terı́amos então
y ∈ H r ∩ (H r )⊥ = {0},
uma contradição.
Considere agora uma reta r paralela a y e que intercepta C. Como r não pode estar inteiramente
contida em C, pela afirmação anterior, segue que r intercepta M = ∂C. Suponha que existam
p1 , p2 ∈ r ∩ M . Podemos supor que p2 = p1 + t0 y, para algum t0 > 0. Como y ∈ 0+ C, temos que
{p1 + ty : t ≥ 0} ⊂ C. Como r não está inteiramente contida em C, podemos supor também que
22
p1 +ty 6∈ C, para todo t < 0. Se p1 +t4 y ∈ int C para algum t4 > t0 , então p2 ∈ int C pela Proposição
1.17, o que contradiz o fato que p2 ∈ M = ∂C. Se p1 + t3 y ∈ int C para algum 0 < t3 < t0 , então
p ∈ int C (também pela Proposição 1.17), uma contradição. Segue que r ∩ M = −
p−→
p . Dessas
2
1 2
considerações, deduz-se que se uma reta paralela a y intercepta C, então ela intercepta M = ∂C em
um único ponto ou em uma semi-reta fechada. Afirmamos agora que y ∈ 0+ C ∩H r pode ser escolhido
tal que −y ∈ riB(C). Supondo que tal y não exista, temos (0+ C ∩ H r ) ∩ ri (−B(C)) = ∅, e pelo
Teorema 1.22, existe um subespaço (r − 1)-dimensional de H r que separa os conjuntos 0+ C ∩ H r e
ri (−B(C)). Segue do Corolário 1.18 que existe um subespaço (r − 1)-dimensional de H r que separa
0+ C ∩ H r e −B(C). Isto significa que existe ξ ∈ H r diferente de zero tal que hx, ξi ≥ 0 para todo
x ∈ −B(C), e hy, ξi ≤ 0 para todo y ∈ 0+ C ∩ H r . A primeira desigualdade pode ser reescrita como
hx, ξi ≤ 0, para todo x ∈ B(C). Sendo 0+ C = B(C)0 , temos que ξ ∈ 0+ C. Substituindo ξ por y na
segunda desigualdade, obtemos hξ, ξi ≤ 0. Logo ξ = 0, contradição.
Como B(C) = B(C ∩ H r ), segue da Proposição 2.6 que −y é normal exterior de C ∩ H r . Em
vista de (2.1), isso implica que −y é normal exterior de C.
Resumindo, provamos que existe y ∈ 0+ C tal que −y é um vetor normal exterior a C. Além disso,
qualquer reta paralela a y e que intercepta C, intercepta M = ∂C em um ponto ou em uma semi-reta
fechada. Com isso, podemos escolher um sistema de coordenadas {x1 , ..., xn+1 } tal que y aponte na
direção positiva do eixo- xn+1 e −y seja normal exterior de algum hiperplano suporte a C. Assim,
podemos assumir que {xn+1 = 0} é um hiperplano suporte a C na origem, e que C ⊆ {xn+1 ≥ 0}.
Sejam Π : Rn+1 → {xn+1 = 0} a projeção ortogonal, e Q = Π(C). Afirmamos que
Π(int C) = ri Q.
De fato, seja q = Π(p) com p ∈ int C. Existe r > 0 tal que Br (p) ⊂ C. Logo,
Q = Π(C) ⊃ Π(Br (p)) = Br (q) ∩ {xn+1 = 0},
provando que q ∈ ri Q. Reciprocamente, considere q ∈ ri Q. Como a reta vertical que passa por
q obviamente intersecta C, temos que essa reta intersecta M em um ponto ou em uma semi-reta
fechada. Se essa interseção fosse uma semi-reta fechada, então C possuı́ria um hiperplano suporte
vertical em um ponto p ∈ Π−1 (q), contrariando o fato que q ∈ ri Q. Logo, a reta vertical que passa
23
por q, intersecta M em apenas um ponto. Como {p + ty : t ≥ 0} ⊂ C para todo p ∈ C ( pois
y ∈ 0+ C), segue que essa reta intersecta int C. Assim, q ∈ Π(int C), o que prova a afirmação.
Segue da afirmação anterior que uma reta vertical passando por um ponto q ∈ Q intersecta M
em apenas um ponto, se, e somente se, q ∈ ri Q. Logo, sobre ri Q, M é o gráfico de uma função
não-negativa h :ri Q → R. Provaremos agora que essa função é convexa. Supondo por contradição
que h não seja convexa, existem x, y ∈ ri Q e t0 ∈ (0, 1) tais que
h((1 − t0 )x + t0 y) > (1 − t0 )h(x) + t0 h(y).
Sejam z = (1 − t0 )(x, h(x)) + t0 (y, h(y)) e w = ((1 − t0 )x + t0 y, h((1 − t0 )x + t0 y)). A desigualdade
acima implica que existe t1 > 0 tal que
w = z + t1 y.
Como {z + ty : t ≥ 0} ⊂ C (pois y ∈ 0+ C) e a reta vertical que passa por (1 − t0 )x + t0 y intersecta M
em apenas um ponto (pois ri Q é convexo), obtemos que existe t2 > t1 tal que w0 = z + t2 y ∈ int C.
Segue da Proposição 1.17 que w ∈ int C, uma contradição. Essa contradição prova que h :ri Q → R
é convexa. Isso prova (a) e (b) exceto pela afirmação que h é C ∞ quando M n o for. Para provar esse
fato, basta provar que, dado p ∈ riQ, h é C ∞ em uma vizinhança de p. Primeiramente, observemos
que o vetor normal a M em (p, h(p)) não é ortogonal a y, pois caso isso acontecesse, o hiperplano
suporte H de C em (p, h(p)) seria vertical, o que implica que Q = Π(C) estaria inteiramente contido
um semiespaço fechado de {xn+1 = 0} determinado por H ∩ {xn+1 = 0}, contrariando o fato que p ∈
ri Q. Segue que d(Π |M n )(p,h(p)) : T(p,h(p)) M n → Rn é um isomorfismo. Seja ϕ : W ⊂ Rn → M n uma
parametrização de M n tal que ϕ(0) = (p, h(p)). Como dϕ0 é injetiva, tem-se que d((Π |M n ) ◦ ϕ)0
é um isomorfimo. Pelo teorema da função inversa, existe um aberto W contendo 0 que é aplicado
difeomorficamente por (Π |M n ) ◦ ϕ sobre um aberto V contendo p. Segue que
(Π |M n )−1 = ϕ ◦ ((Π |M n ) ◦ ϕ)−1 : V → Rn+1
é diferenciável. Mas
(Π |M n )−1 (x) = (x, h(x)),
Portanto, h : V → R é diferenciável.
24
x ∈ V.
Iremos agora provar (c). Sabemos, pela definição de γ(M n ), que γ(M n ) ⊂ B(C) ∩ S n . Portanto
se γ(M n ) tem interior em S n , então B(C) tem interior em Rn+1 . Como y foi tomado de forma que
−y ∈ ri B(C), conclui-se que −y ∈ intB(C). Segue desse fato que todo vetor não-nulo de {xn+1 = 0}
tem um produto interno positivo com algum vetor de B(C). Como 0+ C = B(C)0 , somente o vetor
nulo de {xn+1 = 0} está em 0+ C. Assim,
0+ C ∩ {xn+1 = 0} = {0}.
Pelo Lema 2.5, C ∩ {xn+1 = c} é limitado para todo c ∈ R. Se c > 0, esta interceção será não-vazia,
pois a parte positiva do eixo xn+1 está contido em C.
Afirmamos que C ∩ {xn+1 = c} tem interior relativo a {xn+1 = c}.
De fato, tomando p ∈ int C, temos, pela Proposição 1.17, que {p + ty : t ≥ 0} ⊂ int C. Logo,
existe um ponto p1 ∈ int C, cuja última coordenada é maior que c. Usando novamente a Proposição
1.17, conclui-se que int C ∩ {xn+1 = c} 6= ∅.
Afirmamos também que
∂(C ∩ {xn+1 = c}) = M n ∩ {xn+1 = c},
onde ∂(C ∩ {xn+1 = c}) indica a fronteira de C ∩ {xn+1 = c} em {xn+1 = c}.
Como a inclusão ∂(C ∩ {xn+1 = c}) ⊂ M n ∩ {xn+1 = c} é imediata, provaremos apenas a inclusão
oposta. Para isso, considere p ∈ M n ∩ {xn+1 = c}. Supondo p 6∈ ∂(C ∩ {xn+1 = c}), existe r > 0 tal
que
W = Br (p) ∩ {xn+1 = c} ⊂ C ∩ {xn+1 = c}.
Como {x + ty : t ≥ 0} ⊂ C para todo x ∈ W (pois y ∈ 0+ C) e C é convexo, conclui-se que p ∈
int C, uma contradição. Essa contradição prova que M n ∩ {xn+1 = c} ⊂ ∂(C ∩ {xn+1 = c}). Segue
da Proposição 2.4 e das duas afirmações acima que M n ∩ {xn+1 = c} é homeomorfo a S n−1 . Para
mostrar que esse homeomorfismo é um difeomorfismo quando M n é C ∞ , definimos a função altura
h : M n → R por
h(q) = hq, (0, .., 0, 1)i.
Mostraremos agora que um ponto q ∈ M n é ponto crı́tico de h, se, e somente se, γ(q) =
(0, ..., 0, −1) ou γ(q) = (0, ..., 0, 1). Para isso, observe que para toda curva diferenciável α : I → M n ,
25
onde I ⊂ R é um intervalo aberto contendo 0, tal que α(0) = q tem-se
d
h(α(t)) |t=0 = hα0 (0), (0, ..., 0, 1)i.
dt
Logo, q é ponto crı́tico de h, se, e somente se, (0, ...0, 1) ∈ (Tq M n )⊥ .
Como a parte positiva do eixo xn+1 está inteiramente contida em C, conclui-se que γ(q) =
(0, ...0, −1) para todo ponto crı́tico q de h. Segue que nenhum ponto q = (q1 , ..., qn+1 ) ∈ M n com
qn+1 > 0 pode ser ponto crı́tico de h, pois do contrário, terı́amos
C ⊂ {(x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 : xn+1 ≥ qn+1 },
contrariando o fato que 0 ∈ C. Logo, todo c > 0 é valor regular de h e, pelo Teorema 1.11,
h−1 (c) = M n ∩ {xn+1 = c} é uma hipersuperfı́cie de M n , para todo c > 0.
Com o intuito de provar que M n ∩ {xn+1 = c} é difeomorfa a S n−1 , tome p pertencente ao interior
de C∩{xn+1 = c} relativo a {xn+1 = c}, e considere r > 0 tal que Br (p)∩{xn+1 = c} ⊂ C∩{xn+1 = c}.
Pode-se provar (ver [10]) que ψ : M ∩ {xn+1 = c} → Sr (p) ∩ {xn+1 = c} dada por
ψ(y) = p + r
y−p
,
ky−pk
é um homeomorfismo. Como ψ, vista como aplicação de Rn+1 − {p} → Sr (p) é diferenciável, e
M n ∩ {xn+1 = c} é uma subvariedade diferenciável de M n (e, portanto, de Rn+1 ), segue que ψ é
diferenciável. Para provar que ψ é um difeomorfismo, basta, pelo teorema da função inversa, provar
que dψy é injetiva, para todo y ∈ M n ∩ {xn+1 = c}. Se tivéssemos dψy (v) = 0 para algum v 6= 0
pertencente a Ty (M n ∩ {xn+1 = c}), então y − p ∈ Ty (M n ∩ {xn+1 = c}), e daı́ terı́amos que o
hiperplano de {xn+1 = c} que é suporte a C ∩ {xn+1 = c} em y passaria por p, contradizendo o fato
que p pertence ao interior de C ∩ {xn+1 = c} relativo a {xn+1 = c}. Logo, dψy é injetiva, para todo
y ∈ M n ∩ {xn+1 = c}.
26
Capı́tulo 3
Um Teorema de Osserman
O objetivo deste capı́tulo é apresentar o Teorema 3.6, devido a Osserman ([4]), que também será
utilizado na prova do Teorema das Curvaturas Principais. Para enunciar esse resultado, algumas
definições se fazem necessárias.
Definição 3.1. Uma seqüência (xn )n∈N de pontos em um domı́nio D de uma variedade diferenciável,
é chamada divergente se, dado um compacto K ⊂ D, existe n0 (dependendo de K) tal que xn 6∈ K
para todo n > n0 . Equivalentemente, uma seqüência (xn )n∈N de pontos em D é divergente, se
nenhuma subseqüência de (xn )n∈N converge para um ponto de D.
Definição 3.2. Sejam f : M n → Rm uma imersão isométrica e D ⊂ M n um domı́nio. Um ponto
p ∈ Rm é chamado valor de fronteira de f (D) se ele for ponto de aderência de uma seqüência (f (xk )),
onde (xk )k∈N é uma seqüência divergente em D.
Observação: Quando D é relativamente compacto em M (ou seja, quando o fecho D de D em M n
é compacto), seqüências divergentes em D são precisamente aquelas que tendem para a fronteira de
D, e o conjunto dos valores de fronteira de f (D) coincide com a imagem da fronteira de D.
Definição 3.3. A envoltória convexa de um subconjunto C de Rn , denotado por conv C, é o menor
subconjunto convexo de Rn que contém C. Claramente, conv C é a interseção de todos os subconjuntos convexos de Rn que contém C.
Definição 3.4. Sejam M n uma variedade diferenciável e f : M n → Rm uma imersão isométrica.
Dizemos que a imersão f tem a propriedade da envoltória convexa se, para todo domı́nio D em M n
27
tal que f (D) é limitado em Rm , f (D) está contido na envoltória convexa dos valores de fronteira de
f (D).
Observação: Se f : M n → Rm tem a propriedade da envoltória convexa, então f (D) ⊂ convf (∂D),
para todo domı́nio D relativamente compacto em M n .
Na prova do Teorema 3.6, precisaremos do seguinte Lema, que descreve o comportamento local
da imersão em termos das curvaturas normais.
Lema 3.5. Sejam M m uma variedade Riemanniana m-dimensional e f : M m → Rn uma imersão
isométrica. Dados q ∈ M m e ξ0 ∈ Tq M ⊥ , sejam k1 ≤ k2 ≤ ... ≤ km as curvaturas principais de M m
em q com respeito a ξ0 e, para todo R > 0, denote por BR (c) a bola fechada de raio R e centro
c = f (q) + Rξ0 .
(a) Se a imagem de alguma vizinhança de q em M m encontra-se em BR (c), então k1 ≥
(b) Se k1 >
1
,
R
1
.
R
então a imagem de alguma vizinhança de q em M m está contida em BR (c).
Demonstração: Seja ξ : M m → Rn um campo normal unitário tal que ξ(q) = ξ0 e seja X : U ⊂
Rm → M m uma parametrização de M m com X(0) = q tal que { ∂u∂ 1 (q), ..., ∂u∂m (q)} seja uma base
ortonormal de Tq M m satisfazendo
µ
A
¶
∂
∂
(q) = ki
(q).
∂ui
∂ui
Seja h : U ⊂ Rm → R dada por
h(u) =k f ◦ X(u) − c k2 .
Temos então
¿
À
∂(f ◦ X)
∂h
(u) = 2
(u), f ◦ X(u) − c
∂ui
∂ui
¿ 2
À
¿
À
∂ 2h
∂ (f ◦ X)
∂(f ◦ X)
∂(f ◦ X)
(u) = 2
(u), f ◦ X(u) − c + 2
(u),
(u) .
∂ui ∂uj
∂ui ∂uj
∂ui
∂uj
Observando que
h(0) =k f (q) − c k2 = R2 ,
À
¿
∂
∂h
(0) = 2 f∗ (
(q)), −Rξ0 = 0,
∂ui
∂ui
28
e que
À
À
¿
∂ 2 (f ◦ X)
∂
∂
(0), −Rξ0 + 2 f∗ (
(q)), f∗ (
(q))
∂ui ∂uj
∂ui
∂ui
¿
À
∂
∂
= −2R f∗ (
(q)), f∗ (A
(q)) + 2δij
∂ui
∂uj
¿
À
∂
∂
= −2R
(q), A (q) + 2δij
∂ui
∂ji
= −2Rkj δij + 2δij = 2δij (1 − Rkj ),
∂2h
(0) = 2
∂ui ∂uj
¿
segue da fórmula de Taylor que
1
h(u) = h(0) + dh(0)u + d2 h(0)u2 + k u k2 ρ(u)
2
m
2
X
∂ h
1
= R2 +
(0)ui uj + k u k2 ρ(u)
2 i,j=1 ∂ui ∂uj
m
X
2
= R +
= R2 +
δij (1 − Rkj )ui uj + k u k2 ρ(u)
i,j=1
m
X
(1 − Rkj + ρ(u))u2j ,
(3.1)
j=1
onde lim ρ(u) = 0.
u→0
Supondo que a imagem de alguma vizinhança de q esteja contida em BR (c), temos pela definição de
h que h(t, 0, ..., 0) ≤ R2 para todo t suficientemente pequeno. Segue de (3.1) que
0 ≥ h(t, 0, ..., 0) − R2 = (1 − Rk1 + ρ(t, 0, ..., 0))t2 ,
para todo t suficientemente pequeno. Como lim ρ(t, 0, ..., 0) = 0, conclui-se que
t→0
k1 ≥
1
,
R
o que prova o ı́tem (a).
Supondo k1 >
1
,
R
existe ² > 0 tal que
km ≥ ... ≥ k2 ≥ k1 =
Segue de (3.1) que
2
h(u) − R ≤
m
X
j=1
29
²
1
+ .
R R
u2j (−² + ρ(u)).
Como lim ρ(u) = 0, existe δ > 0 tal que ρ(u) < ², para todo k u k< δ, o que significa que f ◦ X(u)
u→0
pertence a BR (c) para todo u com k u k< δ, provando o ı́tem (b).
Teorema 3.6. (Osserman) Seja M m uma variedade Riemanniana m-dimensional e f : M m → Rn
uma imersão isométrica. Então f tem a propriedade da envoltória convexa se, e somente se, para
todo ponto de M m não existe nenhuma direção normal em relação à qual todas as curvaturas normais
de M m são positivas.
Observação: Se as curvaturas principais de M m com relação a um vetor normal ξ0 são todas
negativas, então as curvaturas principais de M m com relação a -ξ0 são todas positivas. Assim, se
denotarmos as curvaturas principais com relação a ξ0 em ordem crescente por k1 (ξ0 ) ≤ k2 (ξ0 ) ≤ ... ≤
km (ξ0 ), a condição do Teorema é equivalente a
k1 (ξ0 )km (ξ0 ) ≤ 0,
para todo normal ξ0 .
(3.2)
Conseqüentemente, para superfı́cies em R3 , a condição do teorema acima é simplesmente a de que a
curvatura gaussiana seja não-positiva em todo ponto.
Observação: Se a imersão f : M m → Rn é mı́nima, então para todo ponto e para todo normal ξ0 ,
k1 (ξ0 ) + ... + km (ξ0 ) = 0.
Segue de (3.2) e do Teorema 3.6 que toda imersão mı́nima tem a propriedade da envoltória convexa.
Demonstração do Teorema: Suponha que em algum ponto p de M m e para algum normal unitário
ξ0 , todas as curvaturas normais são positivas, ou equivalentemente, k1 (ξ0 ) > 0. Escolhendo R =
2
k1 (ξ0 )
e aplicando o caso (b) do Lema 3.5, temos que existe uma vizinhança V ⊂ M m de p tal que
f (V ) ⊂ BR (c), onde c = f (p) + Rξ0 . Como f é uma imersão, temos, restringindo V se necessário,
que f |V : V → f (V ) é uma bijeção e V é compacto. Segue que f (∂V ) é um conjunto compacto
contido em BR (c) − f (p). Considere a função h : V → R definida por
h(x) = hf (x) − f (p), ξ0 i.
Como f (∂V ) ⊂ BR (c) − f (p), temos h(x) > 0 para todo x ∈ ∂V . Da compacidade de ∂V obtemos
η = inf{h(x) : x ∈ ∂V } > 0.
30
Segue que
f (∂V ) ⊂ E = {z ∈ Rn : hz − f (p), ξi ≥ η}.
Como obviamente f (p) 6∈ E e p ∈ V , conclui-se que f (V ) 6⊂ convf (∂V ), ou seja, que f não possui a
propriedade da envoltória convexa.
Reciprocamente, suponha que f não tem a propriedade da envoltória convexa. Então existe um
domı́nio D, cuja imagem é limitada mas não está contida na envoltória convexa dos valores fronteira
de f (∂D). Visto que a envoltória convexa de um conjunto é a intercessão de todos os semi-espaços
fechados que o contém, segue que existem um vetor unitário v e a ∈ R tais que o semi-espaço
hx, vi ≤ a contém os valores fronteira de f (D), mas não f (D). Portanto existe um ponto p0 ∈ D
onde
hf (p0 ), vi = b > a.
Mostraremos que nessa situação, deve existir um ponto q em D satisfazendo o caso (a) do Lema
3.5. Procederemos da seguinte maneira. Seja Br (cr ) uma bola fechada de raio r e centro cr , onde
hcr , vi = a, tal que o fecho de f (D) está contido em Br (cr ). Para cada t > r, denotaremos por Bt (ct )
√
o fecho da bola de raio t e centro ct = cr − v t2 − r2 .
Afirmação 3.7. Os valores fronteira de f (D) pertencem a cada Bt (ct ).
Com efeito, para todo valor fronteira x de f (D),
√
√
k x − ct k2 = hx − cr + v t2 − r2 , x − cr + v t2 − r2 i
√
= k x − cr k2 +2 t2 − r2 hx − cr , vi + t2 − r2
√
< r2 + 2 t2 − r2 hx − cr , vi + t2 − r2
≤ t2 ,
pois f (D) ⊂ Br (cr ), hx, vi ≤ a e hcr , vi = a.
Afirmação 3.8. Quando t é suficientemente grande, f (p0 ) 6∈ Bt (ct ).
31
Com efeito,
k f (p0 ) − ct k2 = hf (p0 ) − ct , f (p0 ) − ct i
√
√
= hf (p0 ) − cr + v t2 − r2 , f (p0 ) − cr + v t2 − r2 i
√
= hf (p0 ) − cr , f (p0 ) − cr i + 2hf (p0 ) − cr , v t2 − r2 i + t2 − r2
√
> −r2 + t2 − r2 + 2hf (p0 ) − cr , v t2 − r2 i
√
√
= −2r2 + t2 + 2hf (p0 ), vi t2 − r2 − 2hcr , vi t2 − r2
√
√
= −2r2 + t2 + 2b t2 − r2 − 2a t2 − r2
√
= −2r2 + t2 + t2 − r2 (2b − 2a) > t2 ,
para todo t que satisfaz
√
t2 − r2 (2b − 2a) > 2r2 .
.
Afirmação 3.9. Para algum valor de t, digamos t = R, f (D) ⊂ BR (cR ), e algum ponto q = f (p) de
f (D) está na fronteira de BR (cR )
Considere o conjunto
L = {t ≥ r; f (D) ⊂ Bt (ct )}.
Temos que L é não-vazio, pois f (D) ⊂ Br (cr ). Além disso, L é limitado superiormente, pela
Afirmação 3.8. Logo, existe t0 = supL. Seja (tk )k∈N uma seqüência de elementos de L tal que
tk → t0 . Segue da definição de L que
k x − ctk k≤ tk ,
para todo k ∈ N e x ∈ f (D). Por continuidade obtemos
k x − ct0 k≤ t0 ,
para todo x ∈ f (D), o que prova que f (D) ⊂ Bt0 (ct0 ) e, assim, que t0 ∈ L. Se não existisse um ponto
de f (D) em St0 (ct0 ) = ∂Bt0 (ct0 ), existiria, pela compacidade de f (D), t0 > t0 tal que f (D) ⊂ Bt0 (ct0 ),
o que contraria a definição de t0 . Logo, existe y ∈ f (D) tal que y ∈ St0 (ct0 ). Seja (xk )k∈N uma
32
seqüência de elementos de D tal que f (xk ) → y. Se (xk ) fosse divergente, y seria valor de fronteira de
f (D) e, pela Afirmação 3.7, terı́amos y ∈ Bt0 (ct0 ), uma contradição. Logo, (xk )k∈N não é divergente
e, passando a uma subseqüência se necessário, temos xk → x ∈ D. Portanto,
y = lim f (xk ) = f (x) ∈ f (D).
Afirmação 3.10. O espaço tangente a f (D) em q é um subespaço do espaço tangente a SR (cR ) em
q.
Com efeito, considere
α : I → f (D)
uma curva em f (D) tal que α(0) = q. Segue então que a função
hα(t) − cR , α(t) − cR i
assume um máximo em t = 0. Logo
hα0 (0), q − cR i = 0,
concluindo que α0 (0) pertence ao espaço tangente a SR (cR ) no ponto q. Segue do ı́tem (a) do Lema
3.5 que todas as curvaturas principais de M m em p, com relação a
Isso conclui a prova do Teorema 3.6.
33
(cR −q)
,
R
são maiores ou iguais a
1
.
R
Capı́tulo 4
Teorema das Curvaturas Principais
O teorema a seguir constitui-se na principal ferramenta a ser utilizada nas extensões dos teoremas
de Efimov e Klotz-Osserman. Devido à extensão e à dificuldade técnica de sua demonstração, foram
feitas várias afirmações ao longo desta com o intuito de facilitar o seu entendimento.
Teorema 4.1. (Teorema das Curvaturas Principais) Seja M n uma variedade Riemaniana completa e orientada, e seja f : M n → Rn+1 uma imersão isométrica tal que f (M n ) não é um hiperplano.
Denote por A a segunda forma fundamental com respeito a um campo normal unitário ξ, globalmente
+
definido, e sejam Λ ⊂ R o conjunto dos autovalores não nulos de A e Λ+
− = Λ ∩ R− .
i) Se Λ+ e Λ− são ambos não vazios, então inf Λ+ =sup Λ− = 0
ii) Se Λ+ ou Λ− é vazio, então o fecho Λ de Λ é conexo.
Demonstração: Primeiramente demonstraremos (i). Assuma que inf Λ+ = 2c > 0 e seja t0 = 1c .
Afirmação 4.2. A aplicação
F = f + t0 ξ : M n → Rn+1
é uma imersão, e a métrica induzida por F em M n é dada por
G(x, y) = g((I − t0 A)x, (I − t0 A)y),
onde g(., .) denota a métrica original de M n .
34
Com efeito, se v ∈ Tp M n está no núcleo de F∗ então,
0 = F∗ v = f∗ v + t0 Dv ξ = f∗ v + t0 (−f∗ (Av)) = f∗ (v − t0 Av),
de onde obtemos usando a injetividade de f∗ que,
Av =
Como
inf Λ+
2
inf Λ+
1
v=
v.
t0
2
< inf Λ+ , temos que v = 0, o que prova que F é uma imersão. A métrica induzida por
F em M n é dada por
G(x, y) = hF∗ x, F∗ yi = hf∗ (x − t0 Ax), f∗ (y − t0 Ay)i = g((I − t0 A)x, (I − t0 A)y).
Afirmação 4.3. Os autovalores de I − t0 A são todos, em valor absoluto, maiores ou iguais a 1.
Com efeito, dados um número real λ e um vetor v 6= 0 tem-se
(I − t0 A)v = λv se, e somente se, Av =
inf Λ+
(1
2
o que mostra que λ é autovalor de I − t0 A, se, e somente se,
inf Λ+
(1
2
Se
− λ)v,
inf Λ+
(1
2
− λ) é autovalor de A. Se
− λ) ∈ Λ+ , segue que 2 ≤ (1 − λ), o que implica λ ≤ −1.
inf Λ+
(1
2
− λ) ∈ Λ− , temos que 1 − λ < 0, ou seja 1 < λ. Se
inf Λ+
(1
2
− λ) = 0, temos λ = 1. Em
qualquer caso, tem-se que 1 ≤ |λ|.
Afirmação 4.4. A métrica G é completa
Dado p ∈ M n , seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal (na métrica g) de Tp M n que diagonaliza A.
Temos que {e1 , ...en } diagonaliza I − t0 A com autovalores µi = 1 − t0 λi . Pela Afirmação 4.3, |µi | ≥ 1,
para todo i = 1, ...n.
35
Dado v =
n
X
vi ei ∈ Tp M n , temos, pela Afirmação 4.2,
i=1
G(v, v) =
=
=
=
n
n X
X
i=1 j=1
n
n X
X
i=1 j=1
n
n X
X
vi vj G(ei , ej )
vi vj g((I − t0 A)ei , (I − t0 A)ej )
vi µi vj µj g(ei , ej )
i=1 j=1
n
X
µ2i vi2
i=1
≥
n
X
vi2
i=1
= g(v, v).
Segue da desigualdade acima, que para toda curva
α : [0, 1] → M n
de classe C 1 por partes,
lg (α) ≤ lG (α),
onde lg (α) e lG (α) denotam os comprimentos de α nas métricas g e G, respectivamente. Em conseqüência, se denotarmos por dg e dG as funções distância nas métricas g e G, respectivamente,
obtemos que
x, y ∈ M n .
dg (x, y) ≤ dG (x, y)
Seja (xn )n∈N uma seqüência de Cauchy na métrica G. A desigualdade acima mostra que (xn )n∈N será
de Cauchy também na métrica g. Como a métrica g é completa, existe x ∈ M n tal que xn → x na
métrica g. Mas a topologia de g coincide com a topologia de G. Assim, xn → x na métrica G, o que
prova que G é completa.
Observemos que F tem ξ como um campo normal unitário pois, para p ∈ M n e v ∈ Tp M n ,
hF∗ v, ξi = hf∗ v + t0 Dv ξ, ξi = hf∗ v, ξi + t0 hDv ξ, ξi = 0,
onde a última igualdade segue do fato que ξ é um campo unitário normal à imersão f . Segue que,
para todo p ∈ M n , a segunda forma fundamental A0 de F em p é dada por
Dv ξ(p) = −F∗ (A0 v), v ∈ Tp M n .
36
Afirmação 4.5. A0 = (I − t0 A)−1 A
Para todos p ∈ M n e v ∈ Tp M n , temos
−f∗ (Av) = Dv ξ = −F∗ (A0 v)
= −(f∗ (A0 v) + t0 DA0 v ξ) = −(f∗ (A0 v) − t0 f∗ (AA0 v))
= −f∗ (A0 v − t0 AA0 v) = −f∗ ((I − t0 A)A0 v),
o que, junto com a injetividade de f∗ , implica que
Av = (I − t0 A)A0 v.
Logo,
A = (I − t0 A)A0 .
Como os autovalores de I − t0 A são não nulos, pela Afirmação 4.3, segue que I − t0 A é invertı́vel.
Portanto
A0 = (I − t0 A)−1 A.
Segue da equação acima que posto A(p) = posto A0 (p), para todo p ∈ M n .
Afirmação 4.6. A0 é negativo semi-definido em M n .
Com efeito, dado p ∈ M n , considere uma base {e1 , ..., en } de Tp M n tal que Aei = λi ei , 1 ≤ i ≤ n.
Segue então que
(I − t0 A)ei = (1 − t0 λi )ei .
Como
(I − t0 A)−1 (1 − t0 λi )ei = (I − t0 A)−1 (I − t0 A)ei = ei ,
tem-se
(I − t0 A)−1 ei =
1
inf Λ+
1
ei =
ei .
e
=
i
1 − t0 λi
inf Λ+ − 2λi
1 − inf2λΛi+
Portanto
A0 ei = (I − to A)−1 Aei =
37
λi inf Λ+
ei .
inf Λ+ − 2λi
A equação acima mostra que a base {e1 , ..., en } diagonaliza também A0 , e que os autovalores correspondentes são dados por
λi inf Λ+
.
inf Λ+ −2λi
É fácil agora ver que os autovalores de A0 são todos não-positivos.
Portanto, A0 é negativa semi-definida.
n
Como por hipótese, Λ+
− 6= ∅, existem um ponto p ∈ M , onde A tem um autovalor negativo, e um
ponto q ∈ M n , onde A tem um autovalor positivo. Mostraremos que em p, A possui um autovalor
positivo. Para isso, defina funções λ1 , ..., λn : M n → R pela condição que λ1 (p), λ2 (p), ..., λn (p) são
autovalores de A em p e λ1 (p) ≤ λ2 (p) ≤ ... ≤ λn (p). É conhecido que essas funções λi : M n → R
são contı́nuas. Seja α : [0, 1] → M n uma curva contı́nua tal que α(0) = p e α(1) = q. Como A tem
um autovalor positivo em q, temos λn (α(1)) = λn (q) ≥ inf Λ+ . Supondo que os autovalores de A
em p sejam todos não-positivos, temos λn (α(0)) = λn (p) ≤ 0. Pelo teorema do valor intermediário,
existe t ∈ (0, 1) tal que λn (α(t)) =
inf Λ+
,
2
uma contradição. Logo, A tem um autovalor positivo em
p.
Como A possui autovalores positivos e negativos em p, e as aplicações A e A0 possuem o mesmo
posto, segue que 2 ≤ r = max postoA0 ≤ n
Afirmação 4.7. A curvatura seccional de M n na métrica G é não-negativa e não identicamente
nula.
Com efeito, aplicando a equação de Gauss (Proposição 1.1) temos
K(x, y) − K(x, y) = hσ(x, x), σ(y, y)i − hσ(x, y), σ(x, y)i
= G(A0 x, x)G(A0 y, y) − G(A0 x, y)2 .
(4.1)
Definamos, para cada p ∈ M n , a forma bilinear simétrica β : Tp M n × Tp M n → R por
β(x, y) = G(−A0 x, y).
Como os autovalores de A0 são não-positivos, temos que β é positiva semi-definida (não necessariamente um produto interno). Para todo t ∈ R, temos então que
0 ≤ β(x − ty, x − ty) = β(x, x) − 2tβ(x, y) + t2 β(y, y),
de onde se conclui que
4β(x, y)2 − 4β(x, x)β(y, y) ≤ 0.
38
Usando (4.1) segue que
K(x, y) − K(x, y) ≥ 0,
e como a curvatura seccional de Rn+1 é identicamente nula, conclui-se que as curvaturas seccionais
de M n (na métrica G) são não-negativas. Além disso, como A0 tem um ponto de posto maior ou
igual a 2, temos que a curvatura seccional de M n não é identicamente nula. Como G é uma métrica
completa em M n , temos, pelo Teorema de Sacksteder [11], que F é um mergulho e que F (M n ) é a
fronteira de um corpo convexo C de Rn+1 . Além disso
F (M n ) = M1r × Rn−r ,
onde r =max{postoA0 } (necessariamente 2 ≤ r ≤ n) e M1r é uma hipersuperfı́cie de Rr+1 que é a
fronteira de um corpo convexo de Rr+1 não contendo nenhuma reta.
É facil ver que para cada (x, y) ∈ M1r × Rn−r temos
T(x,y) (M1r × Rn−r ) = Tx M1r ⊕ Rn−r .
(4.2)
Considere a função ξ : F (M n ) = M1r × Rn−r → Rn+1 dada por
ξ(F (p)) = ξ(p).
(4.3)
Como F é um mergulho, ξ está bem definida. Segue de (4.2) que ξ(x, y) ∈ Rr+1 para todo (x, y) ∈
M1r × Rn−r , e que ξ não depende de y.
Considere a aplicação fe : M1r × Rn−r → Rn+1 dada por
fe(x, y) = f ◦ F −1 (x, y).
Como f é uma imersão e F é um mergulho, temos que fe é uma imersão.
Afirmação 4.8. O conjunto dos autovalores de fe coincide com o conjunto dos autovalores de f .
Para provar a afirmação, observe que de (4.3) e da definição de F , temos que
fe(x, y) = F (F −1 (x, y)) − t0 ξ(F −1 (x, y)) = (x, y) − t0 ξ(x, y),
39
(4.4)
de onde facilmente se conclui que ξ é também um campo normal para a imersão fe. Logo, para todos
(x, y) ∈ M1r × Rn−r e v ∈ T(x,y) (M1r × Rn−r ) temos
e
−fe∗ (A(v))
= Dv ξ = DF∗−1 (v) ξ = −f∗ (A(F∗−1 (v))),
e denota a segunda forma fundamental da imersão fe. Segue que
onde A
e
A(v)
= fe∗−1 ◦ f∗ ◦ A ◦ F∗−1 (v),
e associado a um autovalor λ, se, e somente se, F −1 (v)
de onde se conclui que v é um autovetor de A
∗
é um autovetor de A associado a λ.
Definiremos agora uma imersão de M1r em Rr+1 . Para isso, definamos um campo ξ : M1r → Rr+1
normal a M1r , pela igualdade
ξ(x, 0) = (ξ(x), 0),
x ∈ M1r .
Lembramos que ξ(x, y) ∈ Rr+1 para todo (x, y) ∈ M1r ×Rn−r . Como ξ(x, y) não depende de y, tem-se
de fato que
ξ(x, y) = (ξ(x), 0),
(x, y) ∈ M1r × Rn−r .
(4.5)
De (4.4) temos
fe(x, 0) = (x, 0) − t0 ξ(x, 0) = (x − t0 ξ(x), 0).
e
Definindo fe : M1r → Rr+1 por
e
fe(x) = x − t0 ξ(x)
(4.6)
temos
e
fe(x, 0) = (fe(x), 0),
x ∈ M1r .
De (4.4) e (4.5) obtemos
e
fe(x, y) = (x, y) − t0 ξ(x, y) = (x, y) − t0 (ξ(x), 0) = (x − t0 ξ(x), y) = (fe(x), y).
Da igualdade acima, segue que para todo (x, y) ∈ M1r × Rn−r e v = (v1 , v2 ) ∈ T(x,y) (M1r × Rn−r )
e
fe∗ (v1 , v2 ) = (fe∗ (v1 ), v2 ),
e
o que prova que fe é uma imersão.
40
(4.7)
Afirmação 4.9. O conjunto dos autovalores não-nulos de f coincide com o conjunto dos autovalores
e
não-nulos de fe.
Devido à Afirmação 4.8, basta provar que o conjunto dos autovalores não-nulos de fe coincide
e
com o conjunto dos autovalores não-nulos de fe. Para todos (x, y) ∈ M1r × Rn−r e w ∈ Rn−r , temos
e e pelo fato que ξ não depende de y, que
pela definição de A
e(x,y) (0, w)) = −D(0,w) ξ = 0
fe∗ (A
de onde obtemos
e(x,y) (0, w) = 0.
A
(4.8)
e
ee
a segunda forma
Por outro lado, temos por (4.6) que ξ é normal à imersão fe. Denotando por A
e
fundametal de fe, e usando (4.7), obtemos
ee
ee
e(x,y) (v, 0)) = −D(v,0) ξ = (−Dv ξ, 0) = (fee∗ (Av),
0),
0) = fe∗ (Av,
fe∗ (A
de onde se conclui que
ee
e(x,y) (v, 0) = (Av,
A
0).
(4.9)
De (4.8) e (4.9) segue facilmente a afirmação. Em vista da Afirmação 4.9 podemos assumir que
r = n.
Afirmação 4.10. A tem um autovalor positivo em cada ponto de M n , e não existe um ponto em
que A é positiva definida.
Supondo, por contradição, que existe um ponto p em que todos os autovalores sejam não-positivos,
teremos λn (p) ≤ 0 (aqui, como anteriormente, estamos considerando λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn em todo
ponto, de forma que λi : M n → R é contı́nua para todo i = 1, ...n). Como Λ+ 6= ∅, existe q ∈ M n tal
que λn (q) > 0. De fato, temos λn (q) ≥ inf Λ+ > 0. Por continuidade de λn : M n → R e conexidade
de M n , existe um ponto q0 ∈ M n tal que λn (q0 ) =
inf Λ+
2
> 0, uma contradição. Essa contradição
prova que A tem um autovalor positivo em cada ponto de M n . Suponha agora que exista um ponto
p em que A é positiva definida. Então λ1 (p) ≥ inf Λ+ > 0. Como Λ− 6= ∅, existe q ∈ M n tal que
41
λ1 (q) < 0. Segue da conexidade de M n e da continuidade de λ1 : M n → R, que existe q0 ∈ M n
tal que λ1 (q0 ) =
inf Λ+
,
2
uma contradição. Essa contradição prova que A não é positiva definida em
nenhum ponto.
Como toda hipersuperfı́cie compacta do espaço euclidiano possui um ponto elı́ptico, concluı́mos
da afirmação acima que M n não é compacta. Ainda pela afirmação acima, temos pelo Teorema
3.6 que a imersão f tem a propriedade da envoltória convexa. Em particular, para todo domı́nio
compacto Ω ⊂ M n , tem-se f (Ω) ⊂ convf (∂Ω). Como maxM n {posto A0 } = n, existe p ∈ M n tal
que posto A0 (p) = n. Como
dξp (v) = Dv ξ = −F∗ (A0 v),
para todo v ∈ Tp M n , e F é uma imersão, segue que
dξp : Tp M n → Tξ(p) S n+1
é um isomorfismo. Logo, pelo teorema da função inversa, ξ aplica um aberto de M n contendo p em
um aberto de S n . Assim, a imagem da aplicação de Gauss para a imersão F tem interior não-vazio.
Como todo vetor normal exterior de C pertence a B(C), segue que B(C) tem interior em Rn+1 .
Aqui, C é o convexo fechado tal que ∂C = F (M n ). Por outro lado, C não contém retas, pois,
do contrário, existiria y tal que y, −y ∈ 0+ C, implicando, pela Proposição 1.30, que B(C) estaria
contido em um hiperplano de Rn+1 , e, portanto, que intB(C) = ∅. Como M n não é compacta, segue
então da Proposição 2.4 que F (M n ) é difeomorfo a Rn . Pelo Teorema 2.7, coordenadas podem ser
escolhidas de forma que {xn+1 = 0} seja um hiperplano suporte a C na origem. Além disso,
(i) Se Π : Rn+1 → {xn+1 = 0} é a projeção ortogonal e Q = Π(C), então sobre ri Q, F (M n ) é o
gráfico de uma função convexa não-negativa g : ri Q → R de classe C ∞ .
(ii) Para todo c > 0, F (M n ) ∩ {xn+1 = c} é difeomorfo a S n−1 .
Denotaremos por Πn+1 : Rn+1 → R a projeção na última coordenada.
Afirmação 4.11. As funções Πn+1 ◦ F : M n → R e Πn+1 ◦ f : M n → R são próprias.
Provaremos inicialmente que Πn+1 ◦ F é própria.
Como Πn+1 ◦ F é contı́nua, basta provar que (Πn+1 ◦ F )−1 ([0, c]) é um compacto de M n , para
todo c > 0. Para isso, como F : M n → F (M n ) é um homeomorfismo, basta provar que o conjunto
42
(Πn+1 |F (M n ) )−1 ([0, c]) é um compacto de F (M n ). Como F (M n ) é fechado em Rn+1 , basta de fato
provar que (Πn+1 |F (M n ) )−1 ([0, c]) é limitado em Rn+1 . Supondo por contradição que isso não ocorra,
existe uma seqüência (xk )k∈N em (Πn+1 |F (M n ) )−1 ([0, c]) tal que k xk k→ ∞. Fazendo yk = Π(xk ) e
observando que a última coordenada de xk é menor ou igual a c, tem-se que k yk k→ ∞. Seja
Γ = Π({xn+1 = c} ∩ F (M n )).
Como {xn+1 = c} ∩ F (M n ) é homeomorfa a S n−1 e Π |{xn+1 =c} : {xn+1 = c} → {xn+1 = 0} é um
homeomorfismo, tem-se que Γ é homeomorfa a S n−1 . Como k yk k→ ∞, existe j ∈ N tal que yj está
na componente ilimitada de {xn+1 = 0} \ Γ. Logo, o segmento [0, yj ] intersecta Γ em um ponto z.
Como 0 ∈ ri Q e yj = Π(xj ) ∈ Q, segue da Proposição 1.17 que tyj ∈ ri Q para todo t ∈ [0, 1). Em
particular, z ∈ ri Q. Temos z = t0 yj , para algum t0 ∈ (0, 1). Como F (M n ) é um gráfico sobre ri Q,
existe um único w ∈ F (M n ) tal que Π(w) = z, sendo w = (z, g(z)). Seja
w1 = t0 xj .
É facil ver que w1n+1 = t0 xn+1
. Como
j
{w + ten+1 : t ≥ 0} ∩ F (M n ) = {w}
e
{w + ten+1 : t ≥ 0} ⊂ C,
segue que w + en+1 ∈ int C. Se tivéssemos wn+1 > w1n+1 , obterı́amos, pela Proposição 1.17, que w ∈
int C, o que sabemos que não ocorre. Logo,
wn+1 ≤ w1n+1 = t0 xn+1
≤ t0 c < c.
j
(4.10)
Mas w ∈ {xn+1 = c} ∩ F (M n ), o que contradiz (4.10). Essa contradição prova que (Π |F (M n )−1 ([0, c])
é limitado em Rn+1 e conclui a prova que Πn+1 ◦ F é própria. Mostraremos que Πn+1 ◦ f também
é própria. Para isso, seja K ⊂ R um compacto e considere uma seqüência(xj )j∈N de elementos do
conjunto (Πn+1 ◦ f )−1 (K). Pela definição de F , temos
Πn+1 ◦ F (xj ) = Πn+1 ◦ f (xj ) + t0 ξ n+1 (xj ).
43
Como Πn+1 ◦ f (xj ) pertence ao compacto K e | ξ n+1 (xj ) |≤ 1 para todo j, segue que existe um
compacto K 0 ⊂ R tal que
Πn+1 ◦ F (xj ) ∈ K 0 ,
para todoj ∈ N.
Como Πn+1 ◦ F é própria temos, passando a uma subseqüência se necessário, que (xj ) é convergente.
Fazendo lim xj = x e lembrando que Πn+1 ◦ f (xj ) pertence ao compacto K para todo j ∈ N, segue
j→∞
que
Πn+1 ◦ f (x) = lim Πn+1 ◦ f (xj ) ∈ K,
j→∞
provando que x ∈ (Πn+1 ◦ f )−1 (K) e que Πn+1 ◦ f é própria.
Como Πn+1 ◦ f : M n → R é diferenciável, temos, pelo Teorema 1.10, que quase todo número
real c > 0 (ou seja, todo c > 0 fora de um conjunto de medida nula) é um valor regular de Πn+1 ◦ f .
Segue do Teorema 1.11 e da Afirmação 4.11 que (Πn+1 ◦ f )−1 (c) é uma hipersuperfı́cie compacta de
M n para quase todo c > 0.
Afirmação 4.12. Para todo valor regular c > 0 de Πn+1 ◦ f , tem-se que (Πn+1 ◦ f )−1 (c) é uma união
finita de hipersuperfı́cies compactas de M n .
Para provar a afirmação, fixe um valor regular c > 0 de Πn+1 ◦ f e seja H = (Πn+1 ◦ f )−1 (c).
Suponha por contradição que
H=
[
Kλ ,
λ∈Γ
onde Γ é um conjunto infinito e Kλ é uma hipersuperfı́cie (compacta) de M n . Para cada λ ∈ Γ,
escolhamos um ponto pλ ∈ Kλ . Como H é compacto, o conjunto infinito {pλ : λ ∈ Γ} tem um ponto
de acumulação p ∈ H. Seja λ0 ∈ Γ tal que p ∈ Kλ0 . Como H é uma hipersuperfı́cie de M n , existe
um sistema de coordenadas ϕ : U 0 x I → M n com p ∈ ϕ(U 0 x I), onde U 0 é um aberto de Rn−1 e I é
um intervalo aberto contendo 0, tal que
ϕ(U 0 x {0}) = ϕ(U 0 x I) ∩ H.
Como U 0 pode obviamente ser tomado conexo, tem-se que ϕ(U 0 × I) ∩ H é um subconjunto conexo
de H contendo p. Como p ∈ Kλ0 e Kλ0 é conexo, conclui-se que
ϕ(U 0 x I) ∩ H ⊂ Kλ0 .
44
Como ϕ(U 0 x I) é um aberto de M n contendo p, e p é ponto de acumulaçao de {pλ : λ ∈ Γ}, segue
que existe λ1 ∈ Γ, com λ1 6= λ0 , tal que pλ1 ∈ ϕ(U 0 x I) ∩ H ⊂ Kλ0 . Logo, Kλ0 ∩ Kλ1 6= ∅ com
λ0 6= λ1 , uma contradição. Essa contradição prova a afirmação.
Como M n é difeomorfo a Rn , segue da Afirmação 4.12 que para cada valor regular a > 0 de
Πn+1 ◦ f , o complemento de H = (Πn+1 ◦ f )−1 (a) em M n tem uma componente Ω relativamente
compacta (veja, por exemplo, Corolário 19.5 página 234 em [12 ]). Logo, f (∂Ω) está contido no
hiperplano {xn+1 = a} e, como f : M n → Rn+1 tem a propriedade da envoltória convexa, temos
que f (Ω) está no mesmo hiperplano. Portanto, A se anula identicamente em Ω, o que contradiz a
Afirmação 4.10. Essa contradição prova que infΛ+ = 0. Trocando a orientação de M n , conclui-se
que supΛ− = 0.
demonstração de (ii) Trocando a orientação se necessário, podemos supor que Λ− = ∅. Como na
Afirmação 4.7, prova-se que M n tem curvatura seccional não-negativa. Se o posto maximal de A é
1 temos, repetindo a ordenação dos autovalores de A como em (i), que
λ1 (p) = ... = λn−1 (p) = 0
para cada p ∈ M n . Assim, dados a < b em Λ+ , existem p1 , p2 ∈ M n tais que λn (p1 ) = a e λn (p2 ) = b.
Dado c ∈ (a, b), como λn M n :→ R é contı́nua e M n é conexo, existe q0 ∈ M n tal que λn (q0 ) = c.
Isso prova que Λ+ é um intervalo e que Λ = Λ+ é conexo.
Supondo que max{postoA} = r ≥ 2, existe p ∈ M n tal que postoA(p) ≥ 2. Segue que a
curvatura seccional de M n em algum plano de Tp M n é não-nula. Como a curvatura seccional de M n
é não-negativa, tem-se pelo teorema de Sacksteder (ver [7] e [11]) que f é um mergulho e
f (M n ) = M1r × Rn−r ,
onde M1r é uma hipersuperfı́cie completa de Rr+1 que é a fronteira de um corpo convexo de Rr+1
que não contém nenhuma reta. Como em (i), prova-se que o conjunto dos autovalores não-nulos de
f coincide com o conjunto dos autovalores não-nulos da inclusão de M1r em Rr+1 e que a segunda
forma fundamental de M1r tem posto r em algum ponto. Podemos portanto assumir, sem perda
45
de generalidade, que A tem posto n em algum ponto de M n . Suponha por contradição que Λ não
seja um intervalo. Então existem constantes c > d > 0 tais que Λ ∩ (d, c) = ∅, Λ ∩ [c, +∞) 6= ∅ e
Λ ∩ (0, d] 6= ∅. Segue da conexidade de M n e da continuidade das funções λi : M n → R, i = 1, ..., n
que, em cada ponto de M n , há curvaturas principais ≥ c e curvaturas principais ≤ d. Seja t0 =
2
.
c+d
Afirmação 4.13. F = f + t0 ξ é uma imersão e sua métrica induzida G é completa.
Primeiramente mostraremos que F é uma imersão. Tomando v ∈ Tp M n , onde v está no núcleo
de F∗ , segue que
0 = F∗ v = f∗ v + t0 Dv ξ = f∗ v − t0 f∗ (Av) = f∗ (v − t0 Av)
Podemos concluir pela injetividade de f∗ que
Av =
Como
c+d
2
1
c+d
v=
v
t0
2
6∈ Λ, segue que v = 0. Isso prova que F é uma imersão.
Para mostrar que G é completa, basta mostrar que existe a > 0 tal que G ≥ ag (veja a prova da
Afirmação 4.4). Como na Afirmação 4.3, prova-se que v é um autovetor de A associado a λ, se, e
somente se, v é autovetor de I − t0 A associado a
c+d−2λ
.
c+d
Considere uma base ortonormal {e1 , ..., en }
(na métrica g) em um ponto p ∈ M tal que Aei = λi ei , i = 1, ..., n. Como na Afirmação 4.4 temos
n
X
c + d − 2λi 2
) xi y i .
(
G(x, y) = g((I − t0 A)x, (I − t0 A)y) =
c+d
i=1
Como
c + d − 2λ
c−d
≥
,
c+d
c+d
c−d
c + d − 2λ
≤−
,
c+d
c+d
segue que |
c+d−2λi
c+d
|≥
c−d
,
c+d
se λ ≤ d,
se λ ≥ c,
para todo i = 1, ..., n. Logo
G(x, x) ≥ (
c−d 2
) g(x, x).
c+d
para todo x ∈ Tp M.
Pela Afirmação 4.5, a segunda forma fundamental A0 de F com relação ao campo normal ξ é dada
por
A0 = (I − t0 A)−1 A.
46
Conseqüentemente, os autovalores de A0 são dados por
(c+d)λi
,i
c+d−2λi
= 1, ..., n. Como em qualquer ponto
de M n há autovalores de A maiores ou iguais a c e autovalores menores ou iguais a d, conclui-se que
em qualquer ponto de M n A0 possui autovalores negativos e autovalores não-negativos. Segue do
Teorema 2.7 que a imersão F tem a propriedade da envoltória convexa. Em particular, M n não é
compacta. Como a imagem da aplicação de Gauss da imersão f tem interior não-vazio em S n ( pois
A tem um ponto de posto n) segue do Lema 2.4 que M n é homeomorfa a Rn . Podemos agora repetir
o argumento (i) e concluir que A0 anula-se em um conjunto aberto de M n . Mas isso contradiz o fato
já provado que A0 tem autovalores negativos em qualquer ponto de M n . Essa contradição encerra a
prova de (ii).
47
Capı́tulo 5
Aplicações do Teorema das Curvaturas
Principais
Neste capı́tulo, apresentaremos duas aplicações do teorema das curvaturas principais: o Teorema 5.1,
cujo corolário estende para dimensões maiores que dois um conhecido teorema de Klotz-Osserman [4]
sobre superfı́cies em R3 , e o Teorema 5.4, cujo corolário responde parcialmente à questão proposta
por Reilly [5].
Teorema 5.1. Seja M n uma variedade Riemanniana completa, orientável, com curvatura de Ricci
não-positiva. Admita que M esteja imersa isometricamente em Rn+1 e seja H a curvatura média da
imersão.
(i) inf | H |= 0 ou M n é um cilindro reto sobre uma curva plana em Rn+1 .
(ii) Se inf H 6= −∞ ou sup H 6= +∞, então não existe nenhuma constante c < 0 tal que
RicM n ≤ c.
Demonstração de (i) Suponha que Λ+ é vazio. Como a curvatura de Ricci é não-positiva, temos
que
λj (p)
n
X
λi (p) ≤ 0
i=1
i6=j
para todo p ∈ M n e todo 1 ≤ j ≤ n, onde os λ1 (p), ..., λn (p) representam os autovalores de A no
ponto p. Se λj < 0 para algum j, como Λ+ é vazio, obtemos
n
X
λi (p) = 0,
i=1
i6=j
48
de onde segue que λi = 0 para i 6= j, o que implica que postoA(p) ≤ 1, para todo p ∈ M n .
Mostraremos que isso implica que a curvatura seccional de M n é identicamente nula. Para isso,
considere uma base ortonormal {e1 , ..., en } de Tp M n satisfazendo Aei = λi ei , i = 1, ..., n. Dados
n
n
X
X
yj ej vetores de Tp M n , temos pela equação de Gauss que
xi ei e y =
x=
j=1
i=1
K(x, y) = hAx, xihAy, yi − hAx, yi2
! n
à n
! n
à n
! n
à n
X
X
X
X
X
X
xk ek ihA
yl el i − hA
yj ej i2
yj e j ,
xi e i ,
xi ei ,
= hA
i=1
=
=
n
X
λi xi xk δik
i,k=1
n
X
λj yj yl δjl −
j,l=1
λi x2i
n
X
λj yj2 −
i=1
=
j=1
k=1
n
X
j=1
2
2
λ1 x1 .λ1 y1 −
n
X
i=1
λi xi yi
n
X
i,j=1
n
X
i=1
l=1
λi xi yj δij
n
X
j=1
λk xk yl δkl
k,l=1
λk xk yk
k=1
λ1 x1 y1 λ1 x1 y1 = 0
para x, y ∈ Tp M n e p ∈ M n . Acima, a última igualdade decorre do fato que posto A(p) ≤ 1, para
todo p ∈ M n . Pelo teorema de Hartman - Nirenberg (ver [13]), temos que M n é um cilindro reto
sobre uma curva plana em Rn+1 .
Caso Λ− seja vazio, a prova de que M n é um cilindro reto sobre uma curva plana é análoga.
Assumiremos agora que Λ+ e Λ− são ambos não vazios. Supondo que inf | H |> 0, temos,
invertendo a orientação se necessário, que existe ² > 0 tal que H(p) ≥ ² > 0, para todo p ∈ M n .
Como a curvatura de Ricci é não-positiva, temos
λj (p)(nH(p) − λj (p)) ≤ 0,
(5.1)
para todo j = 1, ..., n e todo p ∈ M n . Como Λ+ 6= ∅ e Λ− 6= ∅, segue pelo Teorema 4.1 que existem
p ∈ M n e j ∈ {1, ..., n}, tais que 0 < λj (p) < n². Segue de (5.1) que H(p) < ², uma contradição.
Essa contradição prova que se Λ+ 6= ∅ e Λ− 6= ∅, então inf k H k= 0, concluindo a prova de (i).
Demonstração de (ii) Supondo que exista c < 0 tal que RicM n ≤ c < 0, temos
λj (p)
n
X
λi (p) = λj (p)(nH(p) − λj (p)) ≤ c < 0,
(5.2)
i=1
i6=j
para todos p ∈ M n e j = 1, ..., n. Segue que λj (p) 6= 0 para todo p ∈ M n e todo j = 1, ..., n. Além
disso, para todo p ∈ M n , existem curvaturas principais positivas e negativas. Em particular, Λ+ 6= ∅
49
e Λ− 6= ∅. Para toda curvatura principal positiva, temos por (5.2) que
H(p) ≤
λj (p)
c
+
.
nλj (p)
n
Como λj (p) pode ser tomada arbitrariamente pequeno, pelo Teorema 4.1, segue que infn H = −∞.
M
Da mesma forma, para toda curvatura principal negativa, temos por (5.2) que
H(p) ≥
c
λj (p)
+
.
nλj (p)
n
Como λj (p) pode, pelo Teorema 4.1, ser tomado arbitrariamente pequeno, segue que sup H = +∞.
Mn
Assim, se RicciM n ≤ c < 0, temos inf H = −∞ e sup H = +∞, contrariando a hipótese.
Um resultado conhecido de Klotz - Osserman[4] diz que se uma superfı́cie completa em R3 tem
curvatura gaussiana não-positiva e curvatura média constante (6= 0), então essa superfı́cie é um
cilindro circular reto. Como consequência do Teorema 5.1, temos o seguinte corolário, que estende
o teorema de Klotz - Osserman [4] para qualquer dimensão maior ou igual a dois.
Corolário 5.2. Seja M n uma hipersuperfı́cie completa em Rn+1 com curvatura média constante
(6= 0). Se M n tem curvatura de Ricci não-positiva, então M n é um cilindro circular reto.
Na prova do próximo teorema utilizaremos o seguinte lema.
Lema 5.3. Seja M n (n ≥ 3) uma variedade Riemanniana completa com curvatura de Ricci nãopositiva. Admita que M n esteja imersa isometricamente em Rn+1 e que a segunda forma fundamental
de A tenha assinatura (1,-1,...-1), isto é, A tem um autovalor positivo e n-1 autovalores negativos,
ou vice e versa, em cada ponto de M n . Então infkAk = 0, onde kAk denota o comprimento de A.
Demonstração: Como antes, defina funções (contı́nuas) λi : M n → R, i = 1, ..., n, pela condição
que, para cada x ∈ M n , λ1 (x), ..., λn (x) são os autovalores de A ordenados de forma crescente. Segue
da hipótese sobre a assinatura de A que
λ1 (x) ≤ ... ≤ λn−1 (x) < 0 < λn (x),
x ∈ M n.
Dado p ∈ M n , seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal de Tp M n tal que Aei = λi (p)ei , i = 1, , , , , n.
Sabemos que
n
X
1
Ricp (ej ) =
λj (p)
λi (p).
n−1
i=1
i6=j
50
A curvatura de Ricci não ser positiva é equivalente a
λj (p)
n
X
λi (p) ≤ 0,
i=1
i6=j
para cada j ∈ {1, ...., n}. Para j = n − 1, temos que
−λn−1 (p)λn (p) ≥ −λn−1 (p)
n−2
X
(−λi (p)),
i=1
o que implica em
λn (p) ≥
n−2
X
|λi (p)|.
i=1
Em particular,
λn (p) ≥ |λi (p)|
(5.3)
para todo i ∈ {1, ..., n − 2}. Fazendo o mesmo raciocı́nio para j = n − 2 (aqui estamos usando a
hipótese n ≥ 3), obtemos
λn (p) ≥| λi (p) |,
para todo i ∈ {1, ..., n − 3, n − 1}. Esse fato juntamente com (5.3) nos leva a concluir que
λn (p) ≥| λi (p) |,
i = 1, ..., n − 1.
(5.4)
Como p foi tomado arbitrário, temos de fato que (5.4) vale para todo p ∈ M n . Pelo Teorema 4.1,
existe uma seqüência (xk )k∈N em M n , tal que
λn (xk ) → 0.
Segue de (5.4) que
|λi (xk )| → 0,
i = 1, ..., n,
o que implica que
k A k (xk ) → 0.
Portanto,
inf k A k= 0.
51
Teorema 5.4. Seja M n , n ≥ 3, uma variedade Riemanniana completa, orientavel, com curvatura
de Ricci negativa. Admita que M n esteja imersa em Rn+1 e denote por k A k o comprimento da
segunda forma fundamental.
(a)Para n=3, inf k A k= 0.
(b) Se n>3, e a curvatura seccional de M n for limitada superior ou inferiormente, então não existe
c < 0 tal que RicM n ≤ c.
Demonstração de (a) Para cada p ∈ M n , sejam λ1 (p), λ2 (p), λ3 (p) as curvaturas principais de M n
em p determinadas pela condição
λ1 (p) ≤ λ2 (p) ≤ λ3 (p).
Sabemos que com essas escolhas,
λ1 , λ2 , λ3 : M n → R
tornam-se contı́nuas. Como a curvatura de Ricci de M n é negativa, temos pela fórmula de Gauss
1
0 > Ric(e1 ) = (K(e1 , e2 ) + K(e1 , e3 ))
2
1
1
=
(λ1 λ2 + λ1 λ3 ) = λ1 (λ2 + λ3 ),
2
2
(5.5)
de onde se conclui que λ1 6= 0. Analogamente, prova-se que λ2 6= 0 e λ3 6= 0.
Acima, Ric(e1 ) indica a curvatura de Ricci na direção de e1 e {e1 , e2 , e3 } é uma base ortonormal
formada de autovetores de A correspondentes aos autovalores λ1 , λ2 , λ3 . Como RicM n < 0, para
cada p ∈ M n , λ1 (p), λ2 (p), λ3 (p) não podem ter o mesmo sinal. Trocando a orientação se necessário,
podemos supor que
λ1 (q) ≤ λ2 (q) < 0 < λ3 (q)
em um certo ponto q ∈ M n . Como as curvaturas principais são não nulas em todo ponto e as funções
λi : M n → R são continuas, i = 1, 2, 3, conclui-se que
λ1 (p) ≤ λ2 (p) < 0 < λ3 (p),
52
para todo p ∈ M n . Em particular, Λ+ 6= ∅ e Λ− 6= ∅. Segue de (5.5) que
λ3 (p) > −λ2 (p) = |λ2 (p)|,
para todo p ∈ M n . Da mesma forma, calculando Ric(e2 ), obtém-se
λ3 (p) > −λ1 (p) = |λ1 (p)|,
para todo p ∈ M n . Pelo Teorema 4.1, existe uma seqüência (xk )k∈N tal que λ3 (xk ) → 0. Como
λ3 > |λ1 | e λ3 > |λ2 |,
segue que
λ1 (xk ) → 0 e λ2 (xk ) → 0.
Logo,
k A k (xk ) → 0,
provando que inf k A k= 0.
Demonstração de (b). Primeiramente afirmamos que se a curvatura seccional de M n é limitada
inferiormente, então, devido à hipótese sobre a curvatura de Ricci, ela é limitada superiormente. Para
isso, suponha que KM n ≥ c, para alguma constante c. Sejam p ∈ M n e x1 , x2 vetores ortonormais
de Tp M n . Sejam x3 , .., xn vetores tais que {x1 , x2 , ..., xn } seja uma base ortonormal de Tp M n . Como
a curvatura de Ricci é negativa temos que
Ric(x1 ) =
K(x1 , x2 ) + K(x1 , x3 ), ..., K(x1 , xn )
< 0,
n−1
donde obtemos
K(x1 , x2 ) < −K(x1 , x3 ) − ... − K(x1 , xn ) ≤ −(n − 2)c.
Como p e x1 , x2 são arbitrários, conclui-se que KM n é limitada superiormente por −(n−2)c. Podemos,
pela afirmação acima, supor então que KM n é limitada superiormente (digamos por uma constante
c).
53
Como observado anteriormente, a curvatura de Ricci ser negativa implica que em todo ponto de
M n temos curvaturas principais positivas e curvaturas principais negativas. Em vista desse fato,
temos duas possibilidades:
Ou A tem assinatura (1,-1,...-1) ou em cada ponto de M n temos no mı́nimo duas curvaturas
principais positivas e duas curvaturas principais negativas.
Quando A tem assinatura (1,-1,...-1), segue do Lema 5.3 que infk A k= 0. Conseqüentemente,
existe uma seqüência (xk )k∈N tal que λi (xk ) → 0 quando k → ∞, para todo i = 1, ...n. Como para
cada ponto p ∈ M n ,
n
X
(n − 1)Ricp (ej ) = λj (p)(
λi ),
i=1
i6=j
segue que
inf k Ric k= 0.
Suponha agora que A tenha no mı́nimo dois autovalores positivos e dois negativos em cada ponto
de M n . Como RicM n < 0, temos λ(nH − λ) < 0 para todo autovalor λ. Logo
½
nH < λ, se λ > 0,
nH > λ, se λ < 0,
(5.6)
Dado p ∈ M , sejam λi1 , λi2 autovalores positivos (negativos) se H(p) ≥ 0 (H(p) < 0). Segue de (5.6)
e da equação de Gauss que
n2 H 2 (p) < λi1 λi2 = K(ei1 , ei2 ) ≤ c.
Como p é arbitrário, segue que inf H > −∞ e sup H < +∞. O resultado segue do Teorema 5.1 (ii).
Como conseqüência do Teorema 5.4 temos o seguinte corolário que responde parcialmente a uma
questão proposta por Reilly[5].
Corolário 5.5. Seja M n , n ≥ 3, uma variedade Riemanniana completa orientável com RicciM n ≤ c <
0. Se n > 3, assuma também que a curvatura seccional de M n é limitada superior ou inferiormente.
Então M n não pode ser imersa isometricamente em Rn+1 .
54
Referências Bibliográficas
[1] do Carmo, Manfredo P.: Geometria Riemanniana (Projeto Euclides), Segunda Edição, (1988).
[2] Rockafellar, R. T.: Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970.
[3] Lloyd, Noel G.: Degree theory, Cambridge. Tracts in Mathenatics, 73. Cambridge University
Press (1978).
[4] Klotz, T. e Osserman, R.: Complete surfaces in E 3 with constant mean curvature. Comment.
Math. Helv. 41, 313 - 318 (1967).
[5] Reilly, R.: Applications of the Hessian operador in a Riemannian manifold. Mich. Math. J. 26,
457-472 (1973).
[6] Efimov, N.V.: Hyperbólic problems in the theory de surfaces. Proc. Int. Congress Math. Moscow
(1966); Am. Math. Soc. translation 70, 26-38 (1968).
[7] Wu, H.: The spherical images of convex hypersurfaces, J. Differ. Geom. 9, 279-290(1974).
[8] Osserman, R.: The convex hull property of immersed manifolds. J. Differ. Geom. 6, 267-271
(1971).
[9] Smyth, B. and Xavier, F.: Efimov’s theorem in dimension greater than two, Invent. math. 90.
443-450 (1987).
[10] Busemann, H.: Convex surfaces, Interscience, New York, 1958.
[11] Sacksteder, R.: On hypersurfaces with nonnegative sectional curvatures, Amer. J. Math. 82,
609-630 (1960).
[12] Bredon G. E.: Graduate texts in Mathematics. Topology and Geometry.
[13] Dajczer, M. et al., Submanifolds and isometric immersions, Mathwmatics decture Series 13,
Publish or perish, Houston, 1990.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo