Integral de Riemann:
Condições Necessária e Suficiente
Luis Gustavo Longen∗
Elisandra Bar de Figueiredo
Francielle Kuerten Boeing†
Ivanete Zuchi Siple
Depto. de Matemática, CCT, UDESC,
89219-710, Joinville, SC
E-mail: [email protected], elis.b.fi[email protected]
[email protected], [email protected]
RESUMO
Em geral, nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral ao se apresentar o conceito de funções
Riemann integráveis usa-se como suposição que a função seja contı́nua. Porém, o conceito de
integração e de função integrável vai além da continuidade. Por exemplo, a função
{
1, se x < 0
f (x) =
0, se x ≥ 0
é descontı́nua em x = 0, mas integrável em qualquer intervalo [a, b] ⊂ R.
Como condição necessária para que uma função f seja integrável em um intervalo fechado
[a, b], tem-se que f deve ser limitada neste intervalo. Para tal, lembremos que se f é integrável
segundo Riemann, então para todo ε > 0 dado existe uma partição P = {x0 , x1 , · · · , xn } do
intervalo [a, b] tal que
n
∫ b
∑
f
(c
)∆x
−
L
f (x)dx.
<
ε,
com
c
∈
[x
,
x
]
e
L
=
i
i
i
i−1 i
a
i=1
Em particular, para ε = 1, usando inequações modulares, temos

 n
n
n
∑
∑
∑
|f (cj )∆xj |−
f (ci )∆xi −L ≤ f (cj )∆xj +
f (ci )∆xi − L = f (ci )∆xi −L < 1.
i=1,i̸=j
i=1,i̸=j
i=1
Por fim,
n
∑
f (ci )∆xi − L.
|f (cj )∆xj | < 1 + (1)
i=1,i̸=j
Cabe ressaltar aqui que, por menor que seja ∆xj , ele é maior que zero e está fixo pela
partição P que existe para a escolha de ε = 1. Como (1) é válida para todo cj ∈ [xj−1 , xj ],
fixando ci ∈ [xi−1 , xi ], com i ̸= j, temos que f é limitada em [xj−1 , xj ] e consequentemente em
[a, b]. Tem-se assim uma condição necessária para que uma função seja Riemann integrável.
Como condição suficiente sabe-se, apesar da falta da prova formal nos cursos de cálculo, que
se uma função f é contı́nua em [a, b], então f é integrável em [a, b].
Para demonstrar isso, vamos utilizar os seguintes lemas.
∗
†
bolsista de Iniciação Cientı́fica Voluntária PIVIC/UDESC
bolsista de Iniciação Cientı́fica Voluntária PIVIC/UDESC
213
Lema 1 Se f for contı́nua em [a, b], então para qualquer partição P de [a, b]
n
∑
f (ci )∆xi − L ≤ S(f, P ) − S(f, P ),
i=1
sendo S(f, P ) e S(f, P ) as somas superior e inferior de f com relação a P, respectivamente e
L = inf{S(f, P )}.
Lema 2 Se f for contı́nua em [a, b], então dado ε > 0 existe δ > 0 tal que
|s − t| < δ ⇒ |f (s) − f (t)| < ε, ∀s, t ∈ [a, b].
Assim, se f é contı́nua em [a, b], então, pelo Lema 2, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que
ε
(2)
, ∀s, t ∈ [a, b].
b−a
Logo, para toda partição P de [a, b] com max ∆xi < δ, tem-se que para si , ti ∈ [xi−1 , xi ] tais
f (si ) = Mi e f (ti ) = mi , sejam respectivamente o máximo e o mı́nimo de f em [xi−1 , xi ]1 ,
segue de (2) que
|s − t| < δ ⇒ |f (s) − f (t)| <
S(f, P ) − S(f, P ) =
n
∑
(Mi − mi )∆xi <
i=1
n
∑
i=1
ε
∆xi = ε,
b−a
Agora, da inequação (3) e do Lema 1,
n
∑
f
(c
)∆x
−
L
≤ S(f, P ) − S(f, P ) < ε,
i
i
∀i ∈ {1, · · · , n}.
(3)
∀i ∈ {1, · · · , n}.
i=1
Portanto, se f for contı́nua, o limite das somas de Riemann existe e f é integrável em [a, b],
∫ b
com L = inf{S(f, P )} =
f (x)dx.
a
Assim, temos uma relação de continência entre os conjuntos de funções:
Funções Contı́nuas ⊆ Funções Integráveis ⊆ Funções Limitadas
Como exemplo de função limitada e não integrável, temos a função
{
1, se x ∈ Q
f (x) =
0, se x ∈
/ Q,
que é limitada por M = 1, mas não é integrável em [0, 1], já que, para toda partição P de [0, 1],
n
∑
{
f (ci )∆xi =
i=1
1, se ci ∈ Q
0, se ci ∈
/ Q.
Como entre dois racionais sempre há um irracional e entre dois irracionais sempre há um
racional, a função é descontı́nua em todo o intervalo. Assim, o limite
lim
max∆xi →0
n
∑
f (ci )∆xi
i=1
não existe e a função dada não é integrável à Riemann em [0,1].
Sendo assim, as igualdades das continências são descartadas, resultando na relação
1
Que existem pelo Teorema de Weierstrass
214
Funções Contı́nuas ( Funções Integráveis ( Funções Limitadas
Apesar desta relação entre funções ser válida ela não é a mais precisa.
Por fim, podemos tratar da integrabilidade de funções limitadas e descontı́nuas para tentar
encontrar critérios mais precisos para integração.
Definimos medida de um conjunto A, m(A), como uma função que leva um conjunto A em
um número real positivo e tal que m(ϕ) = 0 e m(A ∪ B) = m(A) + m(B), se A ∩ B = ∅.
A medida pode ser vista como um tamanho, tendo como exemplos o comprimento (em R), a
área (em R2 ) e o volume (em R3 ). Como estamos interessados em subintervalos de R, a ideia
de medida aqui usada pode ser interpretada como um comprimento. Assim, pode-se pensar em
m([a, b]) = b − a, para todo subintervalo [a, b] de R.
Dizemos que um conjunto A ⊂ R tem medida nula
uma sequência {In } de intervalos
( nse existe
)
∪
∪n
tal que A ⊂ i=1 Ii e para todo ε > 0 temos m
Ii < ε.
i=1
Note que toda sequência enumerável (xn ) de pontos tem medida nula, pois, dado um ε > 0,
ε
ε
ε
para cada xn podemos construir In = {xn − n+1 , xn + n+1 }, tal que {xn } ⊂ In e m(In ) = n .
2
2
2
∪
Assim, (xn ) ⊂ ni=1 Ii e
(n )
n
∪
∑
ε
m
Ii =
< ε.
2i
i=1
i=1
Tendo este conceito em mente, podemos enunciar o Critério de Lebesgue para Integral de
Riemann.
Critério de Lebesgue: Uma função f limitada em [a, b] é integrável em [a, b] se, e somente
se, o conjunto dos pontos onde f é descontı́nua tem medida nula.
A partir do critério acima, se f é contı́nua, tem apenas um ponto de descontinuidade ou o
conjunto de pontos de descontinuidade de f é enumerável, segue que f é Riemann-integrável.
Como exemplo de função integrável com conjunto de descontinuidades não-enumerável, temos
{
1, se x ∈ C
f (x) =
,
0, se x ∈
/C
sendo C o conjunto de Cantor.
De fato, f é descontı́nua em todos os pontos de C, que é não-enumerável, mas tem medida
nula, logo a função dada é integrável, pelo Critério de Lebesgue.
Assim, temos a seguinte relação entre funções, sendo Df o conjunto das descontinuidades de
f:
Df = ϕ ⇒ Df < ∞ ⇒ Df é enumerável ⇒ m(Df ) = 0 ⇔ f é integrável ⇒ f é limitada.
Palavras-chave: Integral de Riemann, função limitada, critério de Lebesgue, condição necessária, condição suficiente
Referências
[1] H.L. Guidorizzi, “Um curso de cálculo”, Vol.1, LTC, Rio de Janeiro, 2000.
[2] J. Klippert, Advanced Advanced Calculus: Counting the Discontinuities of a Real-Valued
Function with Interval Domain, Mathematical Associantion of America, Vol. 62, No.1 (1989)
43-48.
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