VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 1998
2ª ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ____________________
TURMA: ____________________
MATEMÁTICA 2
01. Analise as afirmações:
0-0)
1-1)
4+2 3 +
4 − 2 3 = 12 (as raízes quadradas são as positivas)
4
= 0,363636...
11
3
log3
2-2) 2
=
2
n
2
3-3) 1 +
2
2
2
+   + ... +   + ... = 3
3
3
3
4-4) 2 + 3
5
+ 2− 3
5
é inteiro
02. Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice A do paralelepípedo
reto ilustrado abaixo. Qual a menor distância que ela precisa percorrer para
chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfície do paralelepípedo)?
B
4
8
A
9
03. Escolhendo aleatoriamente um natural no conjunto {1, 2, ..., 100} de naturais
sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por 3.
Indique 100p .
04. Na figura abaixo calcule 2.EC de forma que DE e BC sejam paralelos.
Considere:
AD = 9 – x
BD = x – 2
DE = x – 5
BC = x
AE = 3
B
D
E
C
05. Considerando a função
f : R \ {0} → R
A
definida
por f (x) = x +
1
, analise as afirmações:
x
0-0) f (x) > 0 se e somente se x > 0
1-1) f é injetora
2-2) Se x > 0 então f (x) ≥ 2
3-3) Se x < 0 então f (x) ≤ –2
4-4) f é sobrejetora
06. As cordas AB e CD de uma circunferência se interceptam em P. Se AP = x
+ 3, BP = 7 – x, CP = x – 1, DP = 3x – 11 determine o valor de x.
D
A
P
C
B
07. Cortando-se de um cubo os tetraedros que têm um dos vértices coincidente
com um vértice do cubo e os outros três sendo os pontos médios das arestas
incidentes neste vértice, obtém-se o sólido ilustrado abaixo. Sabendo que o
cubo tem aresta igual a 3 cm, indique o inteiro mais próximo da área da
superfície do sólido, em cm2?
08. Para qual valor de a o sistema
4x + ay = -1 + a
(6-a) x + 2y = 3 - a
possui infinitas soluções racionais x, y ?
09. Um empregador paga aos seus diaristas dividindo igualmente entre eles uma
quantia fixada. Se faltam 3 diaristas, cada um presente tem seu pagamento
acrescido de R$ 4,00. Se são contratados mais 6 diaristas então cada um
presente tem seu pagamento reduzido em R$ 6,00. Qual a soma dos dígitos da
quantia fixa, em reais, que o empregador gasta diariamente?
10. Interceptando-se um cilindro reto com raio da base igual a 2 cm e altura 5 cm
com dois planos que passam pelo eixo do cilindro e formam um ângulo de 36º
entre eles, obtém-se o sólido ilustrado abaixo. Indique o inteiro mais próximo do
volume deste sólido, em cm3.
36
º
11. Na ilustração abaixo, um homem em X deseja chegar a Y passando por um
ponto da reta r (a margem de um rio). Se X, Y distam de r 6m, 3m
respectivamente, qual o inteiro mais próximo da menor distância que ele precisa
percorrer (em metros)?
X
5
6
Y
3
r
12. Augusto depositou um total de R$ 90,00 em duas cadernetas de poupança.
Uma delas rende juros de 5 ½ % ao mês e a outra de 6 ½ % ao mês. O total
de juros obtidos, ao final de um mês, nas duas cadernetas foi de R$ 5,50.
Quanto foi depositado, em reais, na caderneta que rende 5 ½ % ao mês?
13. Traçando 10 cordas em um círculo, qual o número máximo de regiões em que o
círculo fica dividido?
14. Sabendo que 1 + i é raiz da equação x3 + ax2 + bx – 12 = 0 com a e b
reais, qual o valor de a + b?
15. Na pirâmide quadrangular abaixo os planos que passam por A, B, C e D
e por E, F, G e H são paralelos. Se VF = 3, VB = 5 e a área de EFGH é 18,
qual a área de ABCD?
V
H
G
E
F
D
C
A
B
16. Deseja-se preencher a região delimitada por 0 ≤ y ≤ 50x2, 0,1 ≤ x ≤ 1
utilizando retângulos de base horizontal medindo 0,2, inteiramente contidos na
referida região e com altura ≥ 2. Qual a área máxima possível de preencher
com tais retângulos sem ponto interior comum?
17. Tem-se uma circunferência de raio 5 cm e um ponto P distante
25
cm do seu
3
centro. Por P traçam-se duas retas tangentes à circunferência nos pontos A e
B. Determine o inteiro mais próximo da área do triângulo PAB.
18.
Deseja-se construir um túnel que ligará, em linha reta, as cidades A e B, separadas por
uma montanha. Contornando-se a montanha, encontra-se um ponto C visível de ambas
as cidades. A questão é como calcular o ângulo CAB para se iniciar a escavação na
direção correta a partir de A. Pondo uma fonte luminosa em A, ajusta-se um espelho em
C para que reflita em B. O ângulo entre os raios incidentes e refletidos é 60º. A distância
de C a A é de 9,36 km e a de B a C é de 17 km. Calcule o número inteiro mais
próximo da tangente do ângulo CAB.
19.
Um terreno numa planície tem a forma de um trapézio ABCD como ilustrado abaixo.
Pretende-se dividir o trapézio em duas regiões de mesma área usando um segmento
com origem em C e extremidade num ponto P de AB. Qual o inteiro mais próximo da
distância entre C e P?
D
8
C
6
o
45
A
18
B
20.
Calcule o coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento binomial
5
1
2
2x – 3 .
x
21.
Assinale a soma das coordenadas do ponto da parábola y = 2x mais próximo da reta y
= 4x – 20.
22.
A soma de 3 números em progressão geométrica é 119. Três outros números formam
uma progressão aritmética. Somando-se os termos correspondentes das duas
progressões obtém-se 80, 58 e 53 respectivamente. Qual o maior termo da progressão
geométrica?
23.
Na ilustração abaixo ACB é um arco de parábola, O é o ponto médio do segmento AB ,
OC e DE são perpendiculares a AB . Se AB =6, OC = 2, DE = 16/9, qual a medida
de OD?
2
C
A
24.
de
O
E
D
B
Dos vértices de um triângulo equilátero de lado 8 cm traçam-se 3 circunferências, cada duas
delas tendo um único ponto em comum. Seja R a região interior ao triângulo e exterior às
2
circunferências. Se A é a área da região R em cm , qual o inteiro mais próximo de 10
A?
25.
Numeram-se consecutivamente os vértices de uma placa plana pentagonal regular. Girase em 180º em torno do eixo que liga o primeiro vértice ao centro. Em seguida, gira-se
em 180º em torno do eixo que liga a posição inicial do segundo vértice ao centro. A
posição final da placa ao cabo dos dois movimentos coincide com a obtida por uma
única rotação no sentido anti-horário, de ângulo α (medido em graus) em torno de um
eixo perpendicular à placa e passando por seu centro. Indique o valor em graus de α/6.
2
1
3
5
4
26.
As circunferências α: (x – 3) + (y - 2) = 4 e β se interceptam somente no ponto A
(3,0). Sabendo que AP é um diâmetro de α e que β passa pelo ponto médio de CP
onde C é o centro de α, então:
2
2
0-0) o eixo dos x é tangente à β
1-1) o centro de β é o ponto (3,
2-2) o raio de β é
3
)
2
3
2
3-3) β intercepta o eixo dos y
4-4) β passa pelo ponto
27.
3 3
,
2 2
Um satélite de telecomunicações S deve ficar em órbita estacionária a uma distância d
de um ponto P na superfície de um asteróide T de forma esférica, cujo raio mede 40 km.
A transmissão / recepção é ótima para um ponto A sobre a superfície de T se a
inclinação da linha imaginária AS com respeito à direção vertical naquele ponto não
ultrapassar 60º.
Calcule a parte inteira do valor mínimo de d, medido em km, para garantir que toda a
região situada a uma distância de até 20 km do ponto P (medida sobre a superfície
esférica de T) receba ótimo sinal. Faça os cálculos com duas casas decimais e use onde
necessário, os valores aproximados.
cos (0,5) = 0,88
cos (1) = 0,54
tg (1) = 1,56
tg (1,04) = 1,70
28.
sen (0,5) = 0,48
sen (1) = 0,84
tg (1,02) = 1,62
tg (1,2) = 2,57
No triângulo ABC abaixo as cevianas AE, BF, CD se interceptam em P.
C
F
E
P
D
A
B
Para quaisquer pontos X, Y, Z escolhidos na figura denote por XYZ a área do triângulo
com vértices nestes pontos. Analise as afirmações:
ADP
0-0)
ADC
AD
=
DB
BDC
1-1)
ACP
AD
=
DB
BCP
2-2)
ABP
AD BE
=
DB EC
BCP
3-3)
AD BE CF
=1
DB EC FA
4-4) ABP =
e
DBP
=
AD
DB
ABC
3
2
29.
Indique o inteiro mais próximo da área (em cm ) de uma coroa circular, sabendo que
existe uma corda da circunferência externa que é tangente à circunferência interna e que
mede 8 cm.
30.
Calcule o inverso do quadrado do raio de uma circunferência com centro no ponto (1, 2)
sabendo-se que é tangente à reta que passa pelos pontos (2, 2) e (0, 3).
31.
Calcule a soma das coordenadas do pé da perpendicular
passando pelo ponto (21, 18).
à reta y = 2x + 36
32.
A figura abaixo ilustra a esfera de maior raio contida no cone reto de raio da base igual a
6 e altura igual a 8, tangente ao plano da base do cone. Qual o inteiro mais próximo da
metade do volume da região do cone exterior à esfera?