CURSO DE MATEMÁTICA
TURMA 2007 – 2º PERÍODO
AVALIAÇÃO A1 – DATA 20/09/2008
GEOMETRIA I
2008/2
GABARITO COMENTADO A1 GEOMETRIA I
PROF. ANTÔNIO RAFAEL BÔSSO , CARLOS EDUARDO E VAILTON ALVES
A. Qual a área de um losango, de perímetro igual a 40 cm, se uma das diagonais é o triplo da outra ?
1. 20cm 2
2. 60cm 2
3. 40cm 2
4. 160cm 2
A alternativa correta é a 2.
Encontra-se primeiramente o lado do losango através do perímetro:
perímetro : 2p
2p  40  2p  l  l  l  l  4l
4l  40  l  10
Como uma diagonal é o triplo da outra, tem -se:
Para facilitar o cálculo adotará-se os v alores abaixo:
d 1  2x
d 2  6x
Na figura têm-se quatro triângulos. Para obter o valor das diagonais ir -se-á considerar apenas um
dos triângulos retângulos utilizando o teorema de Pitágoras:
Observação: lembre-se que no triângulo abaixo se tem um lado do l osango, a metade da diagonal
menor e a metade da diagonal maior.
1
2
2
d  d 
l2   1    2 
2  2
2
 2x   6x 
l2      
 2   2 
2
10 2   x   3x 
2
2
100  x 2  9x 2
x 2  10
x  10
x¨   10 Não serve 
d1  2x  2 10
d2  6x  6 10
Para encontrar a área, basta usar a equação da área do losango:
dd
A 1 2
2
2 10  6 10
A
2
A  6  10
A  60cm 2
B. Marque a alternativa que aprese nta o perímetro de um retângulo, em que um dos lados mede 8
cm, sabendo-se que ele tem a mesma área de um quadrado cujo lado mede 12cm.
1. 20 cm
2. 52 cm
3. 32 cm
4. 96 cm
A alternativa correta é a 2.
Ir-se-á obter primeiramente a área do quadrado, que neste caso é igual a área do retângulo:
A quadrado  l 2
A quadrado  12 2  144cm 2
A retângulo  A quadrado  144cm 2
Agora ir-se-á obter o lado do retângulo que está faltando :
A retângulo  b.h
144  8.h
h  18cm
Para encontrar o perímetro do retângulo bastar utilizar a equação do perímetro do retângulo:
Perímetro : 2p
2p  b  b  h  h
2p  8  8  18  18
2p  52cm
2
C. Em um círculo, estão inscritos um quadrado e um triângulo eqüilátero. O perímetro do triângulo
corresponde a 24 cm. Qual a medida, em cm, do perímetro do quadrado?
1. 48
2. 24 6
12 6
5
32 6
4.
3
A alternativa correta é a 4.
Iremos calcular o lado do triângulo através do perímetro do triângulo neste caso vale:
Perímetro : 2p
3.
2p  24cm
2p  l  l  l
3l  24
lTriângulo  8cm
O próximo passo é encontrar o raio comum do triangulo e do quad rado da circunferência através do
lado do triângulo.
O triângulo inscrito é eqüilátero, ângulos internos iguais a 60º; o raio , cor marrom, será a bissetriz
do ângulo interno, ou seja, na figura acima, o tri ângulo formado pelo raio, pelo apótema e pela
metade do lado é retângulo, possuindo um ângulo de 30º e outro de 60º. Aplicando cosseno do
ângulo de 30º, vem:
l
cos 30º  2
r
8
3 2

2
r
8
8 3
r
r
3
3
O próximo passo é encontrar o lado do quadrado através do raio da circunferência:
3
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo acima, vem:
diagonal 2  l q 2  l q 2
 2r 
2
 2lq 2
4r 2  2lq 2
l q 2  2r 2
8 3
lq  2 

 3 
 64.3 
lq 2  2 

 9 
2
2
lq 
lq 
128
3
8 2
3
3
3
8 6
3
Para encontrar o perímetro, multiplica -se o valor do lado do quadrado por 4, vem:
2 p  4.lq
lq 
2 p  4.
2p 
8 6
3
32 6
3
D. Calcule a área da figura hachurada, sabendo que o quadrado ABCD p ossui lado de 4 cm.
4
1. 4 cm 2
2. 8  4    cm 2
3. 4  4    cm 2
4. 16(  2)cm 2
A alternativa correta é a 3.
A área hachurada será igual a diferença da área do quadrado pela dobro da diferença do
semicírculo. O raio do círculo é a metade do lado do quadrado.
AHachurada  AQuadrado  2 ASemicírculo
AHachurada
AHachurada
AHachurada
 r2
l 2
2
 22
2
 4 2
2
 16  4
2
AHachurada  4  4    cm 2
E. Duas circunferências são secantes e a distância entre os seus c entros é de 11 m. Sabemos que o
raio da circunferência menor é igual a 4 m. Encontre os valores inteir os no máximo e no mínimo,
para a medida do maior raio.
1. rmaior  7m e rmaior  15m
2. 7m  rmaior  15m
3. 7m  rmaior  11m
11m  rmaior  15m
A alternativa correta é a 2.
Para duas circunferências secantes temos a distância em fu nção dos raios pela fórmula abaixo:
rmaior  rmenor  d  rmaior  rmenor
rmaior  4  11  rmaior  4
Como temos uma inequaçã o simultânea, podemos proceder da seguinte forma:
11  rmaior  4
rmaior  4  11
rmaior  11  4
rmaior  15
11  4  rmaior
e
7  rmaior
rmaior  7
Podemos agora colocar os dois intervalos numa única repr esentação,
7  rmaior  15 .
5
F. Quantas tangentes comuns podem ser traçadas em duas circunferências secantes?
1. 1
2. 2
3. 4
4. nenhuma
A alternativa correta é a 2.
Para duas circunferências secantes temos duas retas tangentes em comum, como se pode veri ficar
no gráfico abaixo:
G. Determinar a área de um quadrado cuja diagonal mede 6 cm.
1. 18cm 2
2. 36 cm2
3.
2
cm 2
6
4. 24 cm2
A alternativa correta é a 1.
A diagonal do quadrado vale diagonal  lado 2 . Para obter a área, precisamos calcular o lado pela
equação d  l 2 :
dl 2
6l 2
l
6
2
l
6
2
2
2
6 2
2
l3 2
Para calcular a área, precisamos utilizar a equação abaixo:
l
6
A  l2

A 3 2

2
A  9.2
A  18cm 2
H. A diferença entre dois ângulos consecutivos de um paralelogramo corresponde a 100º. Defina a
medida dos ângulos do paralelogramo.
1. 40º e 140º
2. 105º e 5º
3. 20º e 120º
4. 30º e 130º
A alternativa correta é a 1.
No paralelogramo a soma dos quatro ângulos internos é igual a 360º, logo a soma de dois
consecutivos é igual a 180º. Como base no enunciado e nestes conceitos apresentados, tem-se:
    180º
    100º
2  280º
  140º    40º
I. A altura de um retângulo mede 6 m. Calcule a sua área, sabendo que o perímetro é igual a 42 m.
1. 12 m2
2. 90 m2
3. 36 m2
4. 44 m2
A alternativa correta é a 2.
Foi dado a altura do retângulo; precisamos calcular a base do retângulo através do perímetro.
2p  b  b  6  6
42  2b  12
2b  30
b  15
A  base *altura
A  15.6
A  90m 2
J. O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do seu ângulo externo. Determine qual é esse
polígono.
1. pentágono
2. hexágono
3. pentadecágono
4. octógono
A alternativa correta é a 4.
Pela figura abaixo percebemos que o ângulo interno e externo sempre serão suplementares, soma
igual a 180º.
7
3x
x
x  3x  180º
180º
x
4
x  45º
Ângulo interno = 135º e Ân gulo externo = 45º
Para encontrar o polígono regular, precisamos saber quantos lados ele tem, através da relação:
360º
a externo 
n
360º
45º 
n
n 8
Octógono
Moisés de Souza Arantes Neto
Coordenação do curso de Matemática
UNITINS - EAD
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