XVII Encontro de Modelagem Computacional
V Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
Universidade Católica de Petrópolis (UCP), Petrópolis/RJ, Brasil. 15-17 out. 2014
ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA PIEZORESISTORES DE
DIAMOND-LIKE CARBON
Marina Geremia – [email protected]
Rodrigo Couto Moreira– [email protected]
Alberto Moi – [email protected]
Luiz Antônio Rasia – [email protected]
Unijuí - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Rua do
Comércio, 3000, Bairro Universitário CEP 98700-000. Ijuí/RS – Brasil
Resumo. Este artigo apresenta os coeficientes piezoresistivos longitudinais obtidos para
filmes finos semicondutores tipo amorfo aC: H. Foram utilizados medidas experimentais e
modelos matemáticos em simulações de computador. Os resultados mostram que uma
redução do coeficiente de piezoresistivo longitudinal ocorre devido ao aumento da
concentração de impurezas nos filmes analisados.
Palavras chave: modelagem matemática, elementos sensores, piezoresistores,
semicondutores, gauge fator
1.
INTRODUÇÃO
O foco deste trabalho são os elementos sensores piezoresistivos baseados em filmes finos
semicondutores tipo Diamond Like Carbon – DLC obtidos por um sistema de magnetron
sputtering reativo. Usam-se as equações tradicionalmente conhecidas para o silício
monocristalino e policristalino para determinar o valor dos coeficientes piezoresistivos,
de
filmes de DLC amorfos e dopados com nitrogênio.
Neste artigo apresentamos os resultados do efeito piezoresistivo para um filme do tipo
carbono amorfo hidrogenado (a-C:H/p-Si) com um conteúdo de nitrogênio variando entre 0%
a 60%. Estes valores são comparados com os modelos obtidos por Kanda (1982) para o
silício monocristalino onde os valores de concentração de impurezas foram obtidos de forma
indireta através de simulações matemáticas e considerando resultados experimentais de
variação de temperatura na faixa de 30oC - 270 oC (Rasia, 2009), o qual utilizou para a
fabricação do piezosensor a técnica de deposição denominada magnetron sputtering. O
modelo de multivalley de Kanda (1982) é usado como comparativo neste trabalho por ser
muito bem sucedido na descrição do efeito piezoresistivo, neste modelo até as magnitudes
relativas dos coeficientes piezoresistivos concordam com os experimentos.
2.
TEORIA
O efeito da piezoresistividade,
, consiste na alteração da resistência elétrica, R, de um
material semicondutor quando sobre ele é aplicada uma determinada tensão mecânica,
dada pela Eq. (1).
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(1)
Os coeficientes piezoresistivos, πs, para material tipo P e tipo N, estão relacionados com
os níveis da concentração de impurezas dopantes, orientação cristalográfica do material,
temperatura e com o tipo de condutividade (Kanda, 1982) dados pela matriz da Equação (2).
(2)
Em muitos casos os esforços mecânicos, , são componentes ao longo do eixo do cristal
semicondutor, porém, em outros casos trabalha-se em um sistema de coordenadas orientadas
arbitrariamente, de modo que, deve ser usada a Lei de Hooke generalizada para determinar os
coeficientes de deformação elásticas,
, expressados através da Equação (3).
(3)
Sendo que
, é um tensor de quarta ordem de constantes de deformações elásticas do
substrato ou filme considerado para a produção dos elementos sensores ou mesmo
diafragmas.
Na forma matricial, a Eq. (3) pode ser escrita de acordo com a Eq. (4)
(4)
Os coeficientes piezoresistivos e os esforços mecânicos podem ser convertidos para
deformações mecânicas através do uso do modulo de Young, , (Richeter et al, 2005) de
acordo com a Equação (5)
(5)
Onde, é a deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional).
Em termos técnicos, escalarmente, os sensores de carga e pressão podem ser descritos
através da Equação (6):
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(6)
Observando-se trabalhos relacionados é obtido informações sobre muitas das
propriedades dos materiais, porém, cabe ao projetista avaliar e determinar aquelas que são
importantes para um projeto específico. Neste trabalho pretende-se fazer avaliações de
características relevantes para um projeto de transdutor piezoresistivo de pressão.
A sensibilidade mecânica é alterada principalmente pela resistividade do material, da
mobilidade, da temperatura, , e da concentração de impurezas, . Já os coeficientes de
piezoresistência dependem da temperatura e de . Portanto, as propriedades elétricas de
sensores piezoresistores são extremamente sensíveis à presença de impurezas, mesmo em
pequenas concentrações (Rasia, 2009). Sendo que a concentração de impurezas é dada pela
Equação (7).
(7)
O diagrama ilustrado na Figura 1 (Próprio autor) mostra como um material semicondutor
se comporta em termos elétricos, mecânicos e térmicos (Rasia, 2009). A partir da análise
destas propriedades inicia-se o projeto de um transdutor.
Figura 1 - Diagrama de “efeitos cruzados” em semicondutores.
Além das dependências representadas no diagrama da Figura 1, o sinal e a magnitude do
efeito piezoresistivo estão associados com o tipo de dopante, temperatura, orientação e
qualidade cristalográfica (Maisell, 1983).
3.
CARACTERÍSTICAS DO DLC
Os filmes de carbono tipo diamante são materiais amorfos com uma estrutura de átomos
de carbono cujas ligações variam entre ligações do tipo grafite e do diamante. Esses materiais
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possuem combinação incomum de propriedades elétricas, ópticas, térmicas e mecânicas. As
suas propriedades mais importantes são: dureza, alta densidade de portadores, baixa
rugosidade, o fato de ser quimicamente inerte (Grilll, 1999) e a possibilidade de ser produzido
de forma intrínseca, tipo-p e tipo-n, com um band gap que varia entre 0,5 V até próximo de 4
V (Santos, 2005).
Além de apresentarem alta resistência, os filmes a – C:H apresentam ótima cobertura de
degrau, podem ser utilizados como barreiras ante corrosão e possuem a vantagem de serem
depositados com excelente uniformidade e baixa rugosidade em grandes áreas. Porém
possuem como desvantagem alta tensão mecânica interna e baixa estabilidade, mas estes
problemas podem ser minimizados de forma considerável através das melhorias nas técnicas
de deposição. Estas interferem fortemente nas características elétricas dos filmes de DLC.
Sendo que, somente alterando-se a temperatura de deposição a resistividade pode variar de
até
(Santos, 2005).
O efeito piezoresistivo nos filmes de DLC pode ser definido como uma composição de
aglomerados
de forma irregular em uma matriz isolante
como mostra a figura abaixo.
Nesta descrição, os aglomerados com energia de ligação não local criam condições para as
ligações
formarem os primeiros pares, e, posteriormente, formarem as ligações C – C
(etileno) as recombinações das ligações formam então anéis hexagonais como no benzeno. A
seguir as aglomerações se tornam grafíticos dentro da matriz
Na figura o tamanho dos
aglomerados são indicados por s que é relativamente grande e a distância entre dois
aglomerados é indicada por d que é típica d tunelamento. Analogamente ao modelo de muitos
vales para o silício onde os elipsoides de energia são deformados quando um esforço
mecânico é aplicado, neste modelo para o a – C:H observa-se que, quando uma tensão
mecânica é aplicada sobre o piezoresistor, o valor da distância entre dois aglomerados
aumenta e, consequentemente, o valor da piezoresistência também aumenta. Quando uma
tensão mecânica de compressão é aplicada, a distância entre os aglomerados deve diminuir, de
modo que o valor da piezoresistência acompanha esta diminuição (Rasia, 2009).
O efeito piezoresistivo descrito desta maneira segue o modelo que explica o fator de
sensibilidade ou “gauge fator” em resistores de filme espesso estabelecendo a relação
empírica entre o valor da resistência elétrica e a sensibilidade (GF), onde os materiais muito
resistivos devem apresentar altos valores de GF (Maisel, 1983).
A Figura 2 (Rasia, 2009) mostra o comportamento de um filme de DLC antes e após um
esforço mecânico.
Figura 2 - Modelo para filmes de DLC. (a) sem esforço mecânico e (b) com esforço
mecânico.
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Como existem muitas semelhanças entre os diferentes filmes, é possível aproximá-los aos
modelos equivalentes aos do silício com estrutura cúbica e modelar o elemento sensor de
maneira prática (Rasia, 2009).
Os filmes de DLC analisados neste trabalho apresentam 40% , 60% ou nenhuma taxa de
concentração de nitrogênio em sua estrutura, estes valores são escolhidos afim de maximizar a
sensibilidade e reduzir ao máximo a dependência dessa medida com a temperatura. Já o valor
máximo de manteve em 60% em consequêncio do aumento de emissão de campo que este
dopante proporciona. Os filmes nitrogenados apresentam grande variação em suas estruturas
(ligações de carbono) e elétricas e a resistência elétrica diminui a medida que a concentração
de nitrogênio aumenta.
4.
MODELO MATEMÁTICO
Neste trabalho são usados modelos matemáticos de primeira e segunda ordem para
analisar resultados experimentais obtidos em trabalhos anteriores (Rasia, 1997).
Buscando minimizar problemas com o desvio, analisaremos um modelo matemático
dependente somente dos efeitos da temperatura, que é dado pela Equação (8).
(8)
Onde, os parâmetros com índice
são medidos à temperatura de referência considerada.
De outro modo pode-se usar um modelo mais complexo considerando uma equação de
segunda ordem dada pela Equação (9).
(9)
Onde,  e  são os TCRs de primeira e segunda ordem dos piezoresistores em função da
temperatura .
Verifica-se que o sinal e a magnitude do efeito piezoresistivo está associada com o tipo
de dopante, temperatura, orientação e qualidade cristalográfica. Portanto, todas as
propriedades físicas de um material são dependentes da temperatura de modo que, os modelos
físicos dos piezoresistores devem levar este fato em consideração de acordo com a Eq. (10).
(10)
Onde,
é a pressão aplicada,
é a temperatura,
é a resistência sem esforço
mecânico na temperatura de referência (300K),
é o coeficiente piezoresistivo de
cisalhamento no plano x-y e
é o esforço mecânico de cisalhamento médio (Rasia, 2009).
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Usando os dados experimentais obtidos por (Rasia, 2009) para um filme de a-C:H/Si/Ag
de resistividade média, ρavg= 4.22 MΩ.cm foi realizado a simulação matemática visando
obter os coeficientes piezoresistivos longitudinais para o filme. Foram obtidos os coeficientes
longitudinais e não os transversais dado que estes são diretamente proporcionais ao
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coeficiente de Poisson tendo assim pouco importância na deflexão máxima sofrida pelo
sensor. Os valores foram comparados com filmes contendo algum nível de dopante, de
nitrogênio que aumenta as propriedades de emissão de campo e reduz o esforço mecânico
interno nos filmes, e os resultados são os mostrados na Figura 3 (Próprio autor).
Figura 3 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal para diferentes filmes de DLC.
A variação dos valores dos coeficientes piezoresistivos longitudinais é melhor observada
em temperaturas acima de 100 ºC nos filmes dopados com 40% e 60% de nitrogênio. Em
determinadas faixas de temperatura estes filmes dopados apresentam comportamento linear
crescente e em outras decrescente, isto ocorre devido as alterações que o dopante produz nas
características das propriedades do filme e à dependência destas com a temperatura.
A Figura 4 (Próprio autor) mostra o valor da resistência em função da variação da
concentração de dopantes N, para o filme a-C:H não dopado.
Figura 4 - Resistência em função da variação da concentração de dopantes N para a-C:H
não dopado.
Na Fig. 4 observa-se o comportamento exponencial da resistência em função da variação
da concentração de dopantes para filmes de DLC não dopados, este comportamento esta de
acordo com o que é sugerido por Kanda (1982) para filmes de Si não dopados. Verifica-se
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ainda na Fig. 4 que, dependendo dos processos de fabricação, o piezoresistor tende a assumir
um valor médio constante de resistência elétrica.
A Figura 5 (Próprio autor) mostra o valor da resistência em função da variação da
concentração de dopantes N, para o filme a-C:H dopado com 40% de nitrogênio.
Figura 5 - Resistência em função da variação da concentração de dopantes N para a-C:H
dopado com 40% de nitrogênio.
O comportamento elétrico em função da concentração de dopantes , observado na
Figura 5, se deve as alterações provocadas pela incorporação de nitrogênio neste filme. Ë
possível constatar na Fig. 5 um aumento considerável na resistividade do material em relação
a Fig. 4.
A Figura 6 (Próprio autor) mostra o valor da resistência em função da variação da
concentração de dopantes N, para o filme a-C:H dopado com 40% de nitrogênio.
Figura 6 - Resistência em função da variação da concentração de dopantes N para a-C:H
dopado com 60% de nitrogênio.
É possível verificar na Fig. 6 valores de resistividade maiores se comparados à Fig. 4 e
próximos se comparados à Fig. 5, portanto fica evidente que a concentração de nitrogênio
influencia na resistência do material. O projetista avalia e determina a quantidade de dopante
ideal para um projeto específico.
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A Figura 7 (Próprio autor) mostra o valor do coeficiente piezoresistivo, que representa
a variação da resistência a um esforço mecânico que possui direção paralela ao fluxo da
corrente, em função da variação da concentração de dopantes N, para o filme a-C:H não
dopado.
Figura 7 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação da concentração
de dopantes N para a-C:H não dopado.
O comportamento exponencial do coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da
variação da concentração de dopantes para filmes de DLC não dopados, encontrado na Fig. 7,
é característico para filmes de semicondutores não dopados. Verifica-se ainda na Fig. 7 que o
coeficiente piezoresistivo longitudinal tende a assumir um valor médio constante.
A Figura 8 (Próprio autor) mostra o valor do coeficiente piezoresistivo, , em função da
variação da concentração de dopantes N, para o filme a-C:H dopado com 40% de nitrogênio.
Figura 8 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação da concentração
de dopantes N para a-C:H dopado com 40% de nitrogênio.
O comportamento do coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da concentração
de dopantes , encontrado na Figura 8, é resultado da incorporação de nitrogênio neste filme.
Ë possível verificar na Fig. 8 um aumento considerável no valor do coeficiente piezoresistivo
longitudinal em relação a Fig. 7.
A Figura 9 (Próprio autor) mostra o valor do coeficiente piezoresistivo, , em função da
variação da concentração de dopantes N, para o filme a-C:H dopado com 60% de nitrogênio.
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Figura 9 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação da concentração
de dopantes N para a-C:H dopado com 60% de nitrogênio.
É possível verificar na Fig. 9 valores para o coeficiente piezoresistivo longitudinal
maiores se comparados à Fig. 7 e à Fig. 8, portanto fica evidente que a concentração de
nitrogênio influencia o coeficiente piezoresistivo do material.
Os resultados mostrados acima indicam que se pode estimar com boa precisão o
comportamento piezoresistivo do sensor, apesar dos valores dos coeficientes piezoresistivos
serem relativamente pequenos.
Na Fig. 10 (Próprio autor) observa-se o comportamento da variação da resistência
em função da deformação mecânica, strain,
.
Figura 10 - Comportamento da variação da resistência
mecânica.
em função da deformação
Verifica-se na Fig. 10 que ao passo que a variação na resistência elétrica aumenta ao
passo que a deformação elétrica aumenta. O comportamento linear crescente apresentado na
figura esta de acordo com os valores sugeridos por Kanda (1982).
6. CONCLUSÃO
Este trabalho é o indicativo de que são necessárias novas simulações para aperfeiçoar os
modelos estabelecidos de obtenção do coeficiente piezoresistivo. Observou-se que existe certa
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coerência entre os resultados obtidos com aqueles propostos por Santos (2005). Em muitas
situações, em especial, aquelas em que o filme é dopado os modelos propostos para filmes
cristalinos podem ser aplicados.
REFERÊNCIAS
Kanda, Y..“A graphical representation of the piezoresistance coefficients in silicon,” IEEE Transactions on
Electron Devices, vol. ED-29, no. 1, pp. 64 - 70, jan. 1982.
Rasia, L. A.. “Estudo e aplicação das propriedades elétricas, térmicas e mecânicas de materiais amorfos
piezoresistivos em transdutores de pressão”. Tese de Doutorado, 190 p. Escola Politécnica da Universidade
de São Paulo. São Paulo, 2009.
Maisel, L.; GLANG, R.. "Handbook of thin fiIm technology". McGraw-Hillbook Company, 1983.
Grill, A.. Diamond and Related Materials. Volume 8, página 428, 1999.
Santos, A. M.. Desenvolvimento e aplicação de processos com plasma de alta densidade para deposição de
filmes de carbono. 2005. Dissertação - Universidade de São Paulo, São Paulo, 2005.
Richter, J.; Hansen, O.; A. Larsen, N.; Hansen, J. L.; Eriksen, G. F.; Thomsen, E. V.. “Piezoresistance of silicon
and strained Si0.9Ge0.1,” Sensors and Actuators, A 123-124, pp. 388 – 396, 2005.
Abstract. This article presents the longitudinal piezoresistive coefficients obtained for
amorphous semiconductor thin film type aC: H. experimental measurements and
mathematical models in computer simulations were used. The results show that a reduction of
the longitudinal piezoresistive coefficient occurs due to the increased concentration of
impurities in the films analyzed.
Keywords: mathematical modeling, sensor elements, piezoresistors, semiconductor, gauge
factor