DFis/ICEx/UFMG – Prof. Maurílio Nunes Vieira - Experimentos em Acústica – Projeto PEG 2008/69
Exp. 1 - Vibrações Mecânicas
1.Objetivos
• Analisar o comportamento de um sistema massa-mola com atrito
excitado por uma força alternada senoidal;
• Estudar a influência do amortecimento na dinâmica do oscilador
massa-mola;
• Analisar o comportamento transitório do oscilador;
• Estudar a dependência da impedância mecânica com a
freqüência.
2. Introdução
2.1.Oscilador massa-mola sem atrito
Considere o sistema massa-mola da figura 1.
l
s
L
x
m
m
Figura 1:Oscilador massa-mola. Na figura central, o oscilador está em repouso (x=0)
De acordo com a Lei de Hooke, a força que a mola exerce sobre a massa é
F = − sx , onde s é a constante elástica da mola e x é a respectiva
deformação. No equilíbrio, igualando-se a força elástica com o peso, temos:
mg = sL .
(1)
Se o sistema for, de alguma forma, deslocado da posição de equilíbrio
teremos, de acordo com a 2ª. lei de Newton:
− s ( L + x) + mg = m
m
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d 2x
d 2x
→
mg
−
sL
=
m
+ sx →
dt 2
dt 2
d 2x
+ sx = 0 .
dt 2
(2)
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Esta equação admite como solução:
x(t ) = A cos(ω 0 t + φ ) ,
onde ω0 =
(3)
s / m é a freqüência angular, sendo as constantes A e φ
calculadas em função da posição e velocidade iniciais da massa.
2.2.Oscilador amortecido
Rm
s
m
Fig. 2 - Oscilador massa-mola amortecido
Considere que no sistema da figura 2 haja apenas atrito viscoso, isto é, que a
força de atrito Fatr é proporcional à velocidade da massa. Assim:
Fatr = − Rm
dx
,
dt
onde Rm é uma constante positiva denominada resistência mecânica.
A equação que descreve a oscilação deste sistema é, portanto,
d 2x
dx
m 2 + Rm
+ sx = 0 .
dt
dt
(4)
A equação do movimento pode ser reescrita como
d 2 x Rm dx
+
+ ω 02 x = 0 ,
2
m dt
dt
(5)
que admite a solução (exercício 1):
x(t ) = Ae
onde β =
1
2
−
βt
cos(ω d t + φ ) ,
(6)
Rm / m é o coeficiente de amortecimento e ω d = ω 02 − β 2 é a
freqüência natural angular do sistema amortecido. Note que o amortecimento
diminui a freqüência de oscilação do sistema, mas esta diminuição pode ser
desprezível dependendo das características do oscilador.
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2.3. Oscilador forçado
Se o oscilador da figura 2 for excitado por uma força alternada
harmônica f (t ) = F cos(ωt ) , a equação do movimento será
d 2x
dx
m 2 + Rm
+ sx = F cos(ωt ) .
dt
dt
(7)
Este sistema terá uma resposta (“solução”) transitória e uma resposta
permanente. O comportamento transitório corresponde às oscilações livres do
sistema (Equação 6). Matematicamente, é a solução homogênea da
equação 7, obtida com f (t ) = 0 , resultando na equação 6 da seção anterior.
As oscilações transitórias decaem com e − βt e tornam-se insignificantes após
um intervalo de tempo longo o suficiente para que β t >> 1 . A partir daí,
considera-se que as oscilações estejam em regime estacionário.
Para determinar a resposta estacionária, que é a solução particular da
equação 7, vamos reescreve-la usando exponenciais complexas, lembrando
jωt
que f (t ) = F cos(ωt ) = re[ Fe
] . Desta forma,
m
d 2x
dx
jω t
+ Rm
+ sx = Fe .
2
dt
dt
(8)
Como a força externa é uma função harmônica (co-senóide) com
freqüência ω e o sistema é linear, o deslocamento em regime permanente
poderá ter comportamento oscilatório de mesma freqüência, isto é, x = Ae jωt ,
jωt
onde A é uma constante a ser definida. Substituindo-se x = Ae
na equação
8 e resolvendo-a para A , obtém-se:
jω t
Fe
,
(9)
x=
jω[ Rm + j (ωm − s )]
ω
onde o termo Rm + j (ωm − s / ω ) é denominado impedância mecânica. Ele será
discutida com mais detalhes posteriormente.
Superpondo os regimes transitório e estacionário, temos a solução
completa do oscilador forçado (exercício 3):
x = Ae − βt cos(ω d t + φ ) +
F
sin(ωt − Θ) ,
ωZ m
(10)
onde Z m = | Rm + j (ωm − s / ω ) | = [ Rm2 + (ωm − s / ω ) 2 ]1 / 2 e Θ = arctg[(ωm − s / ω ) / Rm ]
são, respectivamente, a magnitude e a fase da impedância mecânica. Um
exemplo do comportamento das componentes de regime transitório e
permanente do movimento é dado na figura 3.
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Fig. 3 – Respostas em regime transitório e permanente no oscilador forçado
2.4 Reatâncias, resistência e impedância mecânica
Se o sistema massa-mola for reduzido a apenas uma massa oscilando sem
atrito (s = Rm = 0), a velocidade, u =
u=
dx
, será
dt
Fe jω
F (t )
=
.
jωm X massa
(11)
Portanto, a velocidade é á razão entre a força externa e a grandeza
complexa X massa = jωm denominada reatância mecânica. A reatância
representa a oposição que a massa exerce à oscilação e sua magnitude
aumenta linearmente com a freqüência (figura 4, à esquerda).
De forma semelhante, para uma mola isolada, a velocidade será:
u=
Fe jω
F (t )
=
,
− js / ω X mola
(12)
Onde a reatância da mola, X mola = − js / ω , apresenta uma relação inversa
com a freqüência. As reatâncias são termos imaginários e estão associadas a
alguma forma de armazenamento de energia. Note o sinal algébrico oposto
das reatâncias da massa e da mola.
No caso do oscilador completo (Fig. 2), a velocidade resultante é:
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3,0
2,8
s = 15,88 N/m
m = 20 g
2,6
s/ω
Impedância (Ns/m)
2,4
2,2
2,0
im
1,8
1,6
Zm
1,4
ω⋅m
1,2
1,0
0,8
0,6
ωm
0,4
Θ
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
frequência (Hz)
s /ω
Rm
re
Fig. 4 – Esquerda: dependência das reatâncias mecânicas da massa e da mola com a
freqüência. Direita: diagrama da impedância mecânica para uma dada freqüência
u=
Fe jω
,
Rm + j (ωm − s / ω )
(13)
de onde se define a impedância mecânica Z m como:
Z m (ω ) =
Falt (ω )
= Rm + jX m .
u(ω )
(14)
A impedância mecânica apresenta uma parcela imaginária (a reatância
resultante) e uma parcela real (a resistência mecânica). A impedância
representa a oposição que o oscilador exerce à oscilação numa dada
freqüência.
A impedância mecânica Z m (ω ) pode ser representada no plano
complexo como na Figura 3, à direita. Vê-se que o módulo da impedância é
Z m = | Rm + j (ωm − s / ω ) |
=
[ Rm2 + (ωm − s / ω ) 2 ]1 / 2
e
o ângulo de
fase é
Θ = arctg[(ωm − s / ω ) / Rm ] .
3. Exercícios
1. Resolva a equação 2. Dica: A solução deve ser uma função f (t ) tal que
a sua derivada segunda seja proporcional a ela mesma ( f ' ' (t ) α f (t ) ).
2.
γt
Resolva a equação 5. Dica: Assuma que x seja um fasor x = Ae e o
substitua na equação 5 para encontrar γ em função de Rm , m e ω 0 (ou,
de
β
e
ω d ).
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Você
encontrará
uma
solução
da
forma
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x = e − βt ( A 1e
jωd t
+ A 2e
−
jωd t
) . Calcule, então, a parte real de x para
encontrar a equação 6.
3. Substitua x = Ae
jω t
na equação 8 para obter a equação 9.
4. Deduza a solução completa do oscilador forçado. Dica: Use o resultado
do exercício 3 na equação 9. Depois calcule a parte real de x e então
some à equação 6.
5. Demonstre as equações 11, 12 e 13.
6. Escreva a impedância mecânica do oscilador forçado na forma
Z m = Z m e jΘ , em que Z m representa a magnitude e Θ , a fase da
impedância mecânica.
7. Demonstre que Z m =
F
. Dica: Desenvolva a partir da equação 14.
2π f x
8. Represente, no plano complexo, a impedância do sistema (explicite a
magnitude e a fase da impedância):
a) Rm = 5 Ns/m, s = 40 N/m, m = 2 kg, ω = 10 rad/s
b) Rm = 5 Ns/m, s = 40 N/m, m = 0,2 kg, ω = 10 rad/s
9. Determine a constante da mola equivalente e freqüência natural de
oscilação nos seguintes casos:
s
s
s
s
m
m
s
m
(a)
(b)
s
(c)
4. Bibliografia
1. LE Kinsler, AF Frey, AB Coppens, JV Sanders, Fundamentals of Acoustics
(3rd. Ed.) - Wiley, New York (1982) – Cap 1
2. NH Fletcher, TD Rossing, The Physics of Musical Instruments – SpringerVerlag, New York (1991) – Cap 1
3. Relatórios dos estudantes Mainda Silva Araújo (bolsista PEG), Saulo
Araújo do Nascimento (bolsista ProNoturno) e José Eduardo Silva
(Estágio Docente).
4. Transparências usadas no seminário 1.
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5. Parte Prática
5.1 Material
•
Corda fina de nylon “Coats and Clark” modelo T26
•
Gerador de áudio e vibrador mecânico Pasco
•
Driver mecânico Pasco
•
Sensor de movimento rotativo e interface Pasco
•
Duas molas, cada uma com massa mM = (2,77 ± 0,01) g e constante
elástica s = (18,30 ± 0,03) N/m
•
Tarugo de alumínio com massa m = (16,0 ± 0,1) g
•
Freio magnético
•
Suportes para montagem
•
Software para tratamento de dados (e.g., Origin ou QtiPlot,
http://soft.proindependent.com/qtiplot.html )
5.2.Procedimentos
Montagem
O fio deve dar uma
volta completa em
torno da roldana
para o evitar
deslizamento.
Fig. 5 - Montagem
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Observações:
A magnitude F da força harmônica f (t ) não será medida. Nos
gráficos dos itens 6 e 7, a amplitude poderá ser normalizada. No
Exp. 2 há uma maneira de estimar-se a magnitude desta força.
Trabalhe numa faixa de freqüências entre 3 e 10 Hz.
Ajuste a magnitude da força (no gerador de áudio) para que o
sistema tenha oscilações estáveis na ressonância. Não mude mais
a amplitude da força durante as medidas.
Ajuste a taxa de amostragem para pelo menos 100 Hz.
Faça medidas mais detalhadas próximo à freqüência de
ressonância ( ω 0 ), incluindo-a, pois a amplitude do deslocamento
varia drasticamente com pequenas variações na freqüência.
Faça um relatório sobre o experimento. Anexar a solução dos
exercícios.
Inserir unidades e incertezas das medidas.
Massa efetiva do oscilador (veja anexo). Cada mola incrementa,
efetivamente, a massa do oscilador em mM/3. Quanto ao sensor
rotativo, verificou-se experimentalmente que seu momento de inércia
contribui efetivamente com um aumento de (22,5 ± 0,1) g, na massa
do oscilador.
1. Oscilações livres
(a) Calcular a freqüência natural não-amortecida, ω0 , com os valores
das massas (tarugo, mola e sensor) e constantes das molas.
(b) Com o sensor rotativo. Sem o efeito do freio magnético, registrar as
oscilações livres do oscilador através da interface Pasco, ajustar
curvas (função harmônica exponencialmente amortecida) e
determinando os valores de ω d e β. Note que o próprio sensor de
movimento rotativo já introduz atrito significativo.
Com o auxílio da equação ω d = ω 02 − β 2 determine ω0 e compare
com o valor calculado no item (a);
Expresse, em função da constante de tempo τ = 1 / β , os tempos
necessários para a amplitude cair a 5% e 1% do valor máximo.
Identifique estes tempos nos dados registrados. O ruído nas medidas
impedirá a visualização de oscilações com amplitudes tendendo a
zero
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(c) Com atrito extra introduzido pelo freio magnético. Introduzir mais
atrito através do freio magnético e repetir o procedimento anterior.
(d) Sobre amortecimento. Tente aumentar o efeito do freio magnético
até cessar as oscilações no movimento livre do oscilador, medindo o
valor correspondente de β. O sobre amortecimento ocorre quando
ω d = ω02 − β 2 < 0 → ω 0 < β . (Por quê?)
2. Impedância mecânica
(a) Determine a amplitude da oscilação para várias freqüências de
excitação, tomando o cuidado de tomar valores antes e depois da
freqüência de ressonância.
(b) Utilizando a expressão estudada no exercício 7,
Zm =
F
,
2π f x
determine a impedância mecânica em função da freqüência e da
força aplicada ao sistema e trace um gráfico. Como F não foi
medida no experimento, normalize a impedância.
Use a expressão Z m = | Rm + j (ωm − s / ω ) | = [ Rm2 + (ωm − s / ω ) 2 ]1 / 2 para
o ajuste de curva.
(c) No gráfico, identifique termos dominantes (resistência, reatância da
massa ou da mola) à medida que a freqüência varia.
3. Transitórios. Analisar qualitativamente o comportamento transitório do
oscilador. Retire o amortecedor magnético e registre curvas para
algumas relações entre a freqüência natural e a forçante como, por
exemplo, ω / ω0 = 0,2; ω / ω0 = 0,8; ω / ω0 =1,0; ω / ω0 = 1,2; ω / ω0 =2,0;
ω / ω0 =4,0.
A coleta deve ser iniciada antes de o sistema iniciar suas oscilações.
Observe as curvas e tente identificar o término do período transitório em
cada caso.
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6. Anexo: Massas Equivalentes
6.1 Mola1
Seja uma mola com massa mM , em movimento, com um alongamento x
além de seu comprimento em repouso l .
repouso
l+x
esticada
v = dx / dt
x
l
s
ds
A massa de um segmento infinitesimal qualquer da corda, dm , pode ser
expressa como dm =
mM
ds
s
ds = mM
→ dm = mM dη , onde η =
, 0 ≤η ≤1.
l+x
l+x
l+x
A extremidade da corda desloca-se com uma velocidade v = dx / dt . Um
segmento infinitesimal qualquer, por sua vez, tem velocidade u = ds / dt =
d [η (l + x)] / dt ≈ η dx / dt → u = η v .
A energia cinética do elemento de massa dm da corda esticada é, então,
1
dK = 12 ⋅ dm H ⋅ u 2 = 12 (m H ⋅ dη ) (η v) 2 = 12 m H v 2η 2 dη → K = 12 mH v 2 ∫ η 2 dη =
0
1
2
mH v 2
η
3 1
3
→ K=
1
2
0
mH 2
m
v . Logo, a massa equivalente da mola vibrante é H .
3
3
6.2 Sensor rotativo
A energia cinética K de um cilindro de raio R e massa m , girando em torno
de
1
2
seu
centro
de
massa,
sem
translação,
é
K = 12 I cmω 2 =
( 12 mR 2 ) ⋅ (v / R ) 2 → K = 12 ( 12 m) ⋅ v 2 . Ou seja, sua massa equivalente é m / 2 . O
sensor rotativo, porém, tem uma construção mais complexa, havendo vários
cilindros de materiais diferentes. Determinou-se, experimentalmente, para um
dos sensores rotativos, o valor de m = (22,5 ± 0,1) g para a sua massa
equivalente a partir da medição da freqüência de ressonância ( (6,14 Hz ) e
dos valores das massas do tarugo de alumínio ( 16,0 g ) e das molas ( 2 x 2,77 g ).
1
Cortesia do Prof. Carlos Heitor D´Ávila Fonseca.
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