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A GOAL PROGRAMMING À LUZ DA THEORY OF CONSTRAINTS (TOC), COMO
FERRAMENTA DE OTIMIZAÇÃO DE RESULTADOS ORGANIZACIONAIS E A SUA
UTILIZAÇÃO COMO FERRAMENTA DE GESTÃO.
Luiz Fernando Dalmonech
Aliomar Lino Mattos
Resumo: Acredita-se que a aplicação da goal programming possa propiciar informações de valor
para as empresas, através da melhor combinação da produção para otimização de resultados. As
restrições são fornecidas pela Teoria das Restrições propiciando informações para a armar e
resolver o problema, identificando as variáveis relacionadas com as metas e com os objetivos.
Percebe-se que a otimização da linha de produção (produtos) leva à maximização dos lucros ou
maximização da riqueza, levando a empresa a obter o diferencial de mercado, permitindo assim
um posicionamento privilegiado em função da capacidade de investimentos e da geração de
caixa, bem como um diferencial em custo. Acredita-se também, que mesmo sendo de utilização
para um cenário presente, pode ser associada a outras ferramentas e fornecer informações
importantes para um horizonte futuro.
Tema: Aplicação de Modelos Quantitativos na Gestão de Custos
I summarize: it is Believed that the application of the goal programming can propitiate
information of value for the companies, through the best combination of the production for
optimize of results. The restrictions are supplied by the Theory of the Restrictions propitiating
information for to arm and to solve the problem, identifying the variables related with the goals
and with the objectives. It is noticed that the optimize of the production line (products) it takes to
the maximize of the profits or maximize of the wealth, taking the company to obtain the market
differentiate, allowing like this a privileged positioning in function of the capacity of investments
and of box's generation, as well as a differentiate in cost. It is also believed, that same being of
use for a present scenery, it can be associated to other tools and to supply important information
for a future horizon.
Fear: Application of Quantitative Models in the Administration of Costs
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A GOAL PROGRAMMING À LUZ DA THEORY OF CONSTRAINTS (TOC), COMO
FERRAMENTA DE OTIMIZAÇÃO DE RESULTADOS ORGANIZACIONAIS E A SUA
UTILIZAÇÃO COMO FERRAMENTA DE GESTÃO.
1- Introdução
Presume-se que as informações fornecidas pela ferramenta de otimização denominada de Goal
Programming possam ser de grande valia para a tomada de decisão, principalmente, com a
evolução da tecnologia que envolve os Hardwares e softwares permitindo a sustentação
necessária desta ferramenta e com isso, proporcionando melhores informações para o
desenvolvimento da contabilidade no mundo dos negócios.
Para o uso de ferramentas na solução de problemas, Iudícibus (2000) é da opinião de que o
contador possa ganhar mais operacionalidade utilizando ferramentas e criando modelos dentro
das organizações.
Hansen e Mowen (2001) complementam Iudícibus afirmando que o uso de ferramentas não
restringe o gestor de utilizar o seu próprio julgamento para alterar qualquer das estimativas
produzidas por métodos formais, visto que faz parte do processo decisório a maturidade
profissional, o conhecimento adquirido e sua visão de futuro do tomador de decisão.
Quanto ao problema em si, Horngren et al (2000:279) relata o problema da produção: “(...). O
problema de estabelecer as programações de produção e o mix de produtos mais vantajosos é
essencialmente o de maximizar a margem de contribuição total em face de muitas restrições”.
CSILLAG (1995:167) complementa Horngren e cita algumas restrições:
“O parâmetro ‘tempo’ poderá compreender os itens: projeto, ferramental, produção e
outros. O parâmetro ‘qualidade’ poderá compreender os itens de eficiência, aparência,
durabilidade, segurança, e confiabilidade. O parâmetro ‘custo’ pode compreender os
itens de projeto, ferramental e equipamentos, produção outros”.
Tendo a empresa uma linha de múltiplos produtos, tornar-se-á necessário estabelecer critérios de
produção, onde a procura seja satisfeita assim como o objetivo da empresa. Assim, Hansen e
Mowen (2001) citam a necessidade das organizações de manufatura e de serviços precisarem
escolher a combinação de produtos que irão produzir e vender (empresa x mercado x capacidade
produtiva).
Assim, a necessidade de ferramentas de otimização da produção tem impacto na tomada de
decisão, que por sua vez tem impacto significativo na rentabilidade da empresa, pois o mercado
exerce forte domínio sobre a produção. No entanto, a empresa pode e deve empenhar-se para
produzir e vender a combinação que lhe dê maior rentabilidade.
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2 Contextualização
2.1 Desenvolvimento Histórico:
Segundo Buffa (1979: 747), a programação começou em 1952, com Charnes e Cooper, com o
trabalho: Blending Aviation Gasolines – A Study in Programming Activities. Logo após,
Henderson e Schlaefer, 1954, com o trabalho: Mathematical Programming, de Harvard Businnes
Review , e Buffa (1968), com o trabalho Operations Management: Problems and Models: John
Willey, New York.
Vadja em 1956 com o trabalho: The Theory of Games and Programming e em 1958 com outro
trabalho denominado de Readilings in Linear Programming. Mutos outros autores ajudaram a
desenvolver a Programação Linear, até chegar ao estágio atual desta ferramenta, dentre eles,
Metzger e Schwarzbek (1958 e 1961), Greene e Chatto e Hicks (1959) dentre outros.
Porém, segundo IGNIZIO (Apud Rangel et al, 2003), quem desenvolver primeiramente o método
foi Charnes e Cooper, em 1961, com o livro Management Models and Industrial Applicatations
of Linear Programming (2 volumes), ficando registrado o trabalho dos mesmos autores, em 1952,
citado pelos mesmos como o marco da programação linear.
Complementando os trabalhos apresentados até então, o último trabalho apresentado foi o de
Oliveira et al (2002) com modelos matemáticos aplicados na otimização florestal e Rangel et al
(2003) criando modelo pelo solver do excel.
2.2 Definições Necessárias
2.2.1 Goal Programming (Evolução)
Supõe-se que pela Goal Pragramming, o tomador de decisão utilize o modelo de decisão baseado em
maximização ou minimização de objetivos e que seja capaz identificar, descrever, e formar a função
objetivo, estabelecendo metas com destaque de prioridades, através de pesos e definindo os gargalos
ou restrições para o alcance dos objetivos e metas. atribuindo pesos a cada meta, situando às em
diferentes níveis de prioridade.
Segundo Lapponi (2000:409), os modelos não lineares se tornam lineares depois de
transformados de uma transformação com logaritmos, citando as funções: exponencial,
logarítmica, potencial, polinomial, dentre outras, o que resulta na resolução dos problemas via
computador, pelo método de programação linear. Isto resulta em que embora se tenha
determinado várias denominações de programação, a que realmente se desenvolve na solução dos
problemas é a Linear, com o ajuste ocorrendo via computador e softwares.
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Segundo Buffa (1979: 697), a programação linear é uma nova técnica matemática estabelecida na
época da Segunda Guerra Mundial, e relata:
“Seu valor com relação à administração da produção reside no fato de que os
problemas de distribuição de grande complexidade, implicando um grande número de
variáveis, podem freqüentemente ser resolvidos por essa maneira. Antes do
estabelecimento da programação linear, esses tipos de problemas só poderiam ser
tratados por meio de modelos gráficos e esquemáticos”.
Corrar e Theófilo et al (2004) também descrevem o surgimento da técnica de Programação
Linear por George B. Dantzig, durante a Segunda Guerra Mundial, confirmando Buffa (1979), e
posteriormente por outros pesquisadores que a desenvolveram.
Existem várias limitações para o modelo de programação linear, dentre elas, o citado por Rangel
et al (2003) que é a de ser unidimensional, não permitindo estabelecer várias metas. Buffa (1979)
cita também o fato do método requerer que todas as relações fossem lineares, ou seja, uma
progressão aritmética.
O método se desenvolveu, e surgiu a programação quadrática, permitindo então a progressão
geométrica, que segundo Buffa, permitiu aproximar ‘mais de perto as curvas reais de custo.
Surgiu também a programação dinâmica como forma de permitir estágios múltiplos, ou seja,
integrar os métodos citados, de acordo com os problemas.
Corrar e Theóphilo (2004) citam, que a Goal Programming é uma extensão da Programação
Linear, com o objetivo de desenvolver problemas de empresas com objetivos múltiplos, inclusive
com medidas heterogêneas, porém correlaciondas. Este fato entre as Programações surgidas após
a Linear e a própria Programação Linear, é forte, pois os autores sempre citam como o mesmo
Dantzig como criador da técnica.
Um exemplo de utilização do método de Programação Dinâmica é o SOLVER, do Excel,
utilizado por Rangel et al (2003) no desenvolvimento de seu trabalho, pois utiliza o método
simplex, desenvolvido por Dantzig (Buffa, 1979:720), como pode ser encontrado no Office® na
seção de ajuda, onde cita: “Os problemas lineares e de inteiros usam o método simplex com
limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite implementado por John Watson e Dan
Fystra, da Frontiline Sustems, Inc.”, utiliza também os métodos não lineares desenvolvidos por
Leon Lasdon da University of Texas em Austin, e Allan Waren, da Cleveland State University”.
No caso do SOLVER do Microsoft Excel® , que é usado para solução do problema de Goal
Programming, na caixa de diálogo, existe a ‘opção do Solver’, que consiste em “presumir como
linear”, fato que Corrar et al (2004:414) citam: “Na janela Opções do Solver, selecionamos as
opões Presumir Modelo Linear (afinal, Goal Programming é uma extensão da Programação
Linear) e usar escala automática, mantendo as demais especificações conforme a seleção padrão”.
Após o desenvolvimento da Programação pelo Método Simplex, a Tecnologia da Informação, e a
utilização de software permitiu o código de programação de alto nível, denominado de
algoritmo(algorithm), diversos progressos foram feitos, e hoje, o maior problema não está na
execução dos cálculos e sim na definição de variáveis e na organização das informações e
montagem do problema, na formal de equações ou inequações.
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Portanto, hoje, tem-se condições de definido o problema e de resolvê-lo com o maior grau de
precisão e rapidez, pelos programas, quando estas restrições passam a ser múltiplas, ou seja,
restrição por mão-de-obra, horas-máquina, matérias-primas, etc., torna-se necessário utilizar a
Goal Programming, que através de Softwares pode trabalhar com números enormes de variáveis
e que propiciam soluções precisas e rápidas.
Um destes programas é o Lindo®, que também se utiliza modelos do solver, porém com maior
capacidade de desenvolvimento de problemas, uma vez que pode trabalhar com mais de 50.000
restrições e 200.000 variáveis. Existem vários programas, dentre eles o SOLVER, que existe
integrado a planilha eletrônica do EXCEL®, sendo de menor capacidade.
2.3 Teoria das Restrições - Theory of Constraints (TOC)
A teoria das Restrições tem por objetivo identificar, avaliar, mensurar e propor correções para as
restrições (gargalos) da organização. Ela está inteiramente voltada para o desenvolvimento
contínuo e fornece informações sobre as restrições. A empresa tem que otimizar os resultados em
função destas restrições, como relatam Hansen e Mowen (2001) que uma maneira de se fazer o
melhor uso de qualquer restrição consistente é assegurar que a combinação ótima de produtos
seja produzida.
Dentre as restrições de produtos, tem-se a limitação por fatores externos, tal qual a demanda do
mercado, chamada de Restrição Externa. Como Restrição Interna, tem-se a limitação por tempo
de mão-de-obra, de disponibilidade de maquinários, capacidade produtiva, limite de estocagem,
capacidade financeira, etc.
Hansen e Mowen também (2001:751) relatam sobre as restrições, classificando-as em:
2.3.1 Restrição Interna Consistente: “Se, por outro lado, uma combinação de produtos usar
todos os recursos limitados de uma restrição, então a restrição é uma restrição consistente”.
Cita-se o exemplo o retorno sobre ativo, que é o giro do estoque x a margem de contribuição
unitária. Assim, produtos que tem alta margem de contribuição unitária podem não ter alto giro,
o que pode não ocasionar a maximização da riqueza.
2.3.2 Restrições Externas Consistentes: A restrição externa consistente ocorre quando a
quantidade a produzir é limitada pela demanda de produtos, ou seja, o mercado absorve uma
quantidade (X) e nada além dela.
Dentre os cálculos de variáveis envolvidas, existem três principais mensurações da Teoria das
Restrições que são citadas por Horngren et al (2000:499):
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“As três principais mensurações da Teoria das Restrições são a margem de
contribuição via throughput costing (igual ao valor em $, das vendas menos os custos
dos materiais diretos), investimentos ou estoque (igual à soma dos custos dos materiais
do estoque, dos materiais diretos, estoque de produtos semi-acabados e estoque de
produtos acabados; custos de P&D e custos de equipamentos e edificações; e custos
operacionais (igual a todos os custos, exceto os de materiais diretos, em que se incorre
para a obtenção da contribuição da produção”.
Portanto, a otimização vem como ferramenta útil, com finalidade de propiciar a melhor
combinação de produtos, levando em consideração a margem de contribuição total e unitária, os
custos da produção e os investimentos, acrescentando ainda aos mesmos o tempo ocioso ou
improdutivo, que também passa a ser um dado importante na tomada de decisão.
2.4 Gargalos
A opinião de Horngren (2000) sobre a influência da Theory of Constraints (TOC), é a de que ela
(TOC), enuncia métodos para maximizar o resultado operacional, diante de gargalos da produção.
Neste contexto, ela dá ênfase ao gerenciamento dos pontos de estrangulamento, como chave do
aumento do desempenho do sistema como um todo, propiciando análises e informações de modo
que a empresa seja sempre proativa, ou seja, esteja sempre à frente das restrições (problemas)
procurando soluções.
Existem etapas para o gerenciamento dos gargalos, conforme Horngren(2000:499):
“As quatro etapas do gerenciamento dos gargalos de produção são: (a) reconhecer que
a operação sobrecarregada determina a margem de contribuição via throughput
costing, (b) procurar e identificar o gargalo de produção, (c) manter o gargalo de
produção em operação e a ele subordinar todas as operações não estranguladas e (d)
aumentar a eficiência e a capacidade do gargalo de produção”.
O gargalo exige gerenciamento e desenvolvimento contínuo, exigindo uma ‘organização que
aprende’, já que o cenário em que está inserida a empresa sofre mutações ambientais constantes,
o que requer também ajustes constantes.
2.5 Etapas da Resolução do problema segundo Horngren (2000:286):
2.5.1 Determinar o objetivo: Esta função é a Função Objetiva do Modelo
• Maximizar o lucro operacional;
• Minimizar custos
2.5.1.1 Especificações das restrições: “Uma restrição é uma inequação ou igualdade que deve
ser satisfeita pelas variáveis de um modelo matemático”. Horngren (2000:286).
OBS: Tafner (2000: 257), relata sobre as restrições como: “... um conjunto de vetores a forma F
= f(X1, X2, X3,...,XN) que aplicados à função g(X1, X2, X3,...,XN) são iguais (=) a uma constante
C; este conjunto é também conhecido como superfície de nível C de g, ou simplesmente Nc; o
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problema da otimização consiste exatamente em identificar, dentre os elementos desse dado
conjunto Nc, aqueles que tornam máximo (ou mínimo) os valores de F”;
O Goal Programming surgiu com a flexibilização da Programação Linear, acrescentando-se
variáveis de desvio e transformando as restrições em metas, priorizadas de acordo com critérios
do processo decisório. . Esta transformação já foi citada por Field (apud Oliveira, 2002), onde diz
que as metas são obtidas por transformação das inequações em equações através da inserção das
variáveis de desvio, que neste trabalho são as variáveis de letra Ws.
Assim, o objetivo deste trabalho é o de verificar se a ferramenta Goal Programming pode ser
considerada uma ferramenta estratégica, tendo em vista:
1) As informações obtidas via Goal Programming são úteis na tomada de decisão em nível
estratégico?
2) É possível determinar o melhor mix de produtos a serem produzidos, de acordo com as
metas do planejamento estratégico?
3) Alterando o cenário, é possível utilizar o Goal Programming como ferramenta de análise
de sensibilidade?
2.6 Desenvolvimento prático utilizando o Software Lindo® – Estudo de Caso adaptado de
Buffa (1979:725)
A Indústria Capixaba de Laminados Plásticos S/A fabrica um único material em forma de folha
de plástico, em três tamanhos, isto é, espessuras. A empresa tem duas instalações completas para
a produção, ambas constituídas no mesmo local; a elas nos referimos como fábrica ‘A’ e fabrica
‘B’. A fábrica ‘B’ é de projeto mais recente e foi construída especificamente para produzir os
tamanhos 1 e 2 de modo econômico, visto que esses dois tamanhos correspondiam à maior
demanda. Contudo, a fábrica ‘B’ é menos econômica do que a ‘A’, quando se trata do tamanho 3.
Os números se acham resumidos na tabela 1. Também vemos na tabela 2 que os custos variáveis
da operação horária da fábrica ‘A’ são de R$1.125,00, enquanto que atingem a R$1.300,00 para a
fábrica ‘B’, e que ambas as fábricas podem operar no máximo até 100 horas por semana. O custo
horário variável inclui toda a mão-de-obra, suprimentos, energia, etc., mas não inclui o custo da
matéria-prima. Este é idêntico, para um dado tamanho, em cada uma das fábricas e pode, por
isso, ser considerado irrelevante no que tange ao problema. A tabela 2 fornece os valores da
receita decorrente das vendas e as demandas máximas para os três tamanhos. Ao planejar a
produção, podemos admitir que quantidades até esses valores inclusive podem ser produzidas, ou
abaixo delas, se for mais econômico.
O Diretor da Indústria Capixaba solicitou aos Gerentes de Vendas, de Produção e ao Controller
para desenvolverem um modelo que maximizasse a margem de contribuição total, pela
diminuição dos custos ou pelo aumento da receita e que determinasse a distribuição dos três
tamanhos entre as duas fábricas.
Tabela 1 – Dados da produção
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Horas p/ 45 kg
Tamanhos
Incógnitas Fábrica A Fábrica B
1
X
0,25
0,20
2
Y
0,40
0,25
3
Z
0,35
0,40
Custo variável por hora (CV/H)
R$1.125,00 R$1.350,00
Máximo de horas semanal
100
100
Tabela 2 – Dados de Vendas
Tamanho Incógnitas
1
X
2
Y
3
Z
Receita de
Vendas/45kg
R$ 450,00
R$ 540,00
R$ 675,00
Demanda Máxima por
semana em lotes de 45kg
310
300
125
Tabela 3 – dados e complementos:
Fábrica A
Fábrica B
Excesso de Demanda
XA = ?
XB= ?
WX = excesso demanda produto 1 (desvio)
YA = ?
YB = ?
WY = excesso demanda produto 2 (desvio)
ZA = ?
ZA = ?
WZ = excesso demanda produto 3 (desvio)
OBSERVAÇÕES:
XA = produto X produzido na Fábrica A;
XB = produto X produzido na Fábrica B;
YA = produto Y produzido na Fábrica A;
YB = produto Y produzido na Fábrica B;
ZA = produto Z produzido na Fábrica A;
ZB = produto Z produzido na Fábrica B;
WX = desvio de demanda do produto X;
WY = desvio de demanda do produto Y; e
WZ = desvio de demanda do produto Z.
2.6.1 Restrições:
A) Restrição pela Demanda:
Tabela 3 Sabe-se por dados fornecidos estão restritos pela demanda:
XA + XB + WX= 310, onde as variáveis correspondem às quantidades que quer calcular;
YA +YB + WY = 300, onde as variáveis correspondem às quantidades que quer calcular;
ZA + ZB+ WZ = 125, onde as variáveis correspondem às quantidades que quer calcular.
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A variável de desvio é calculada pelo programa, pois já está dentro de seu desenvolvimento a
utilização de Programação Linear, Programação Não Linear. Programação Quadrática e
Programação Dinâmica, o que evita o uso da fórmula abaixo, a título de ilustração para a
resolução do problema.
D=
ΔM
Mi
Onde:
•
•
•
Mi = Meta que se quer alcançar;
Mo = Meta otimizada obtida nos cálculos; e
ΔM = variação das metas Mi e Mo;
2.6. 2 Restrição pelo tempo de fabricação:
Fábrica A: De acordo com a tabela 1, pode-se desenvolver a fórmula:
0,25XA + 0,40YA + 0,35ZA = 100, que é uma inequação. Para torná-la uma equação, ou seja,
em uma meta, insere-se o WFA, que é o tempo ocioso da fábrica A, assim, a fórmula se torna
uma equação:
0,25XA + 0,40YA + 0,35ZA + WFA = 100
Fábrica B: mesmo processo da Fábrica A.
0,20XB + 0,25YB + 0,40ZB+ WFB = 100
Usando a tabela 1 e acrescentando o WFB, que é o tempo ocioso da Fábrica B.
FUNÇÃO DA RECEITA TOTAL A SER OBTIDA RESPEITANDO AS RESTRIÇÕES
DA DEMANDA:
RVT = Preço de venda (PV) x a quantidade (Q), assim, RT = PV x Q.
RVT = 450XA + 450XB + 540YA + 540YB + 675ZA + 675ZB
Função do Custo Variável Total: Somatório de CVTA + CVTB
Fábrica A: Custo Variável Total da Fábrica A (CVTA)
CVTA = 1.125 * (0,25XA + 0,40YA + 0,35ZA)
Fábrica B: Custo Variável total da Fábrica B (CVTB)
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CVTB = 1.350*(0,20XB + 0,25YB + 0,40ZB)
CVT = CVTA + CVTB
Margem de Contribuição total (Produtos da Fábrica A e B):
MCT = RVT - CVT
+ 450XA + 450XB + 540YA + 540YB + 675ZA + 675ZB
- 1.125 * (0,25XA + 0,40YA + 0,35ZA)
- 1.350*(0,20XB + 0,25YB + 0,40ZB)
= 168,75XA + 180XB + 90YA + 202,50YB + 281ZA + 135ZB. O objetivo é maximizar este
resultado, ou seja, maximizar a margem de contribuição (MC).
2.7 Utilizando Software para Desenvolvimento do Problema
A introdução do objetivo é o primeiro passo. Deste modo a função de maximizar ou minimizar
deve estar definido. Vale lembrar que o programa de otimização deve resolver problemas
individualizados e não vários problemas (o conjunto de vários problemas é na realidade uma
confusão e certamente as respostas obtidas serão incorretas), ou seja, deve-se formar equações ou
inequações de variáveis com certo grau de correlação. A seguir, as restrições ou limitações são
lançadas após a expressão SUJEITO A (SUBJECT TO), como mostrado na tela abaixo.
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Foram acrescentadas nas inequações, as variáveis WX, WY e WZ, que são as variáveis de
desvios, ou válvulas de ajustes da demanda, de modo que se quebra o rigor da programação
linear, tal qual feita no cálculo das horas de produção com as variáveis WFA e WFB, propiciando
ajustes pela otimização condicionada, ou seja, que propicia ao tomador de decisões acrescentar
outras variáveis que possam influenciar no resultado. Esta transformação já foi citada por Field,
onde diz que as metas são obtidas por transformação das inequações em equações através da
inserção das variáveis de desvio, que neste trabalho são as variáveis de letra Ws.
A seguir, estando o objetivo e as restrições de acordo bem definidas, no menu solve e clicando
com o mouse no item solve, o problema é resolvido e aparece na tela o resultado da otimização,
conforme mostra a janela abaixo:
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A seguir, aparece a tela abaixo, onde os dados vão ser gerados em relatórios em tela.
Nos relatórios constam os dados das análises de erros por tentativa, conforme mostrado abaixo:
Assim, as respostas ao nosso problema são respectivamente:
XA =185 e XB =125
YA = 0 e YB = 300
ZA = 125 e ZB = 0
Tem-se ainda um tempo ocioso na Fábrica A de 10 horas, que é o WFA.
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3.0 Conclusão
Buffa (1979:714) define bem a importância da Programação Linear, onde cita: “(...). Se não
existisse a programação linear só poderíamos estimar as soluções achando talvez, de vez em
quando, uma solução melhorada com base na inspiração de algum indivíduo”. Esta afirmação
continua valendo para o Goal Programming. Deste modo, o problema que está presente nas
empresas é de grande complexidade e as soluções exigem longo tempo, mesmo realizado por
computadores. Com softwares, a precisão é mais acurada, assim como a velocidade de obtenção
de respostas, o que facilita o processo decisório. Neste artigo, foi um caso simples que propicia
resposta rápida, conforme se pode ver no relatório, com 3(três) tentativas.
No relatório inicial, o resultado foi de se produzir na Fábrica A, 185 unidades do produto X
(XA), 125 produtos Z (ZA), tendo 10 horas de tempo ociosidade na produção destes produtos
(WFA). Na Fábrica B, o resultado foi de produzir 125 unidades do produto X (XB), e 300
unidades do produto Y (YB), não restando tempo ocioso (WFB = 0).Os desvios da demanda
também foram zeros, ou seja, WA = WB = WZ = 0. O resultado da maximização do lucro
(margem de contribuição), obteve-se o resultado de R$149.625,00, que é obtido pela diferença
entre a Receita Total (Σ das vendas dos produto X, Y e Z) menos (-) o Custo variável Total (Σ
dos custos variáveis totais dos produtos X, Y e Z). Em relação aos custos totais variáveis, houve
um decréscimo (redução) de R$ 11.250,00, relacionada com a ociosidade de 10 horas de
produção (diferença entre as horas disponíveis 100 menos as horas efetivamente usadas 90).
Deste modo, a empresa diminuiu o custo variável total (CVT) de R$247.500,00 para 236.250,00,
o que permitiu aumentar a margem de contribuição total (MCT).
Alterando o cenário, é possível utilizar o Goal Programming como ferramenta de análise de
sensibilidade, pois pode o gestor, conforme demonstrado no Anexo B, onde foi modificada a
demanda do produto X, aumentado-a em 100 unidades. Isto pode ocorrer em virtude de produtos
sazonais, campanha publicitária, promoções, etc, que influenciam na demanda do produto.
Assim, o resultado alcançado modificou-se, passando a MCT para R$ 157.243,80, com a Fábrica
A, passando a produzir 225 unidades do produto X (XA – produto X fabricado na Fábrica A) e
125 unidades do produto Z (ZA). A Fábrica B passou a produzir 175 unidades do produto X(XB)
e 260 unidades do produto Y. Assim, houve um desvio (WY = 40) da produção anterior do
Anexo A (300 unidades, para 260 unidades no Anexo B). O desvio é a diferença entre a meta e o
resultado obtido, podendo ser para baixo da meta d- para cima da meta d+; neste caso foi abaixo
da meta, já que a demanda era de 300 unidades do produto Y, mas por prioridade de margem de
contribuição, que é maior do produto X. Nesta opção, houve um ganha de MCT de R$ 18.900,00
em referência ao Anexo A. No entanto, o tempo ocioso de 10 horas obtido no Anexo A, deixou
de existir no anexo B, ocupando-se todo o tempo disponível de produção.
No Anexo C, houve diminuição do Custo Variável no produto X, produzindo na Fábrica A,
passando de 0,25 por unidade para 0,20 e na Fábrica B, o mesmo produto passou o Custo
Variável de 0,20 por unidade para 0,25, mantendo todos os dados anteriores do Anexo A. O
Resultado obtido foi de MCT de 149.312,50, com redução de custos de R$ 10.968,75,
produzindo na fábrica A, 210 unidades do produto X (XA), e 125 unidades do produto Z (ZA); na
Fábrica B, a produção calculada foi de 100 unidades do produto X (XB) e 300 unidades do
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produto Y (YB), com tempo ocioso na Fábrica A de 14,25 horas de produção, assim, WFA =
14,25.
No Anexo A, o resultado obtido é para um cenário presente, o que faz com que seja necessário o
julgamento do Gestor. Neste caso, CSILLAG (1995) recomenda a Técnica de Vantagem e
Desvantagem, a Técnica de Avaliação por Comparação e Custear todas as idéias ou soluções.
É possível determinar o melhor mix de produtos a serem produzidos, de acordo com as metas do
planejamento estratégico, levando em consideração o ajuste da empresa ao ambiente em um
cenário presente ou futuro (projetado). Como já citado, as mudanças necessárias aos ajustes são
constantes e cada ajuste requer conhecimentos, astúcia, maturidade e informações e capacidade
de análise destas informações pelo tomador de decisão. Assim, mesmo o resultado sendo exato e
melhor entre todas as possibilidades, esta não é uma ferramenta absoluta, necessitando assim de
integração com demais ferramentas, como por exemplo, Análise de Investimentos, quando a
demanda for maior do que a capacidade produtiva da empresa, assim como Análises do tipo
Comprar ou Fazer, Fazer horas extras ou Não Fazer horas Extras, Arrendar ou Comprar, e outras,
ajustando sempre ao ambiente e às condições da empresa.
Para este caso específico, de uso da ferramenta de análise do tipo Se e Então, é valido a criação
de um fator de correção de valores. Exemplo: Fator de correção de Vendas pode ser criado a
partir de um crescimento calculado por dados históricos, em percentual, de modo que a demanda
possa ser atualizada por dados, que alteram o valor dos coeficientes das inequações ou equações
do problema, bem como fator de correção do resultado meta; pode-se criar fatores de correção
dos custos, de área, de produção, de demanda, etc, de acordo com o problema. Nestes casos, se
tem a otimização condicionada, onde o gestor pode analisar vários cenários, com alterações que
se julgue como de ajustamento com o ambiente num período de tempo específico. Estes valores
podem ser condicionados por experiência, ou por meio de ferramentas de análise de dados,
incluindo, por exemplo, a regressão para determinar taxa de crescimento, ou outras variações de
relevância para o trabalho.
As informações obtidas via Goal Programming são úteis na tomada de decisão em nível
estratégico. Neste trabalho, trabalhou-se com a MCT como peso. Em situações, onde o gestor
quer estabelecer prioridades, torna-se necessário estabelecer os pesos. Estes, podem ser obtidos
pela fórmula:
Fator de P1
=
1+
p1
Σ (p1 + p2 + p3 + ....pn)
onde p = peso ou grau de importância relacionada com as metas (prioridades).
Deste modo, a função F= f(X1, X2, X3,...,XN) teria como metas:
p1. X1 + p2. X2+ p3. X3 + ....pn.Xn = meta
Deste modo, os pesos são estabelecidos pelo gestor, mediante estimativas ou fatores calculados,
visando priorizar metas. Neste artigo, a prioridade foi definida por margem de contribuição. Não
16
17
existindo este processo natural de grau de importância, o gestor estabelece critérios de cálculo,
priorizando metas cujos resultados são tidos como prioridades.
Mesmo tendo os pesos definidos, pode o gestor criar meios de atualização dos mesmos, mediante
fatores de atualização, que podem se obtidos por critérios estabelecidos pelo gestor, atualizando
os coeficientes das equações ou inequações e as metas esperadas. O método de cálculo pode ser
obtido pela utilização de estimativas probabilísticas, histograma, análise de regressão, ou outro
método que propicie visualizar cenário futuro, ou alteração do cenário presente.
Exemplo de Fator de Correção de Metas (k):
K=1 +
Ê
100
onde: Ê = valor que se acredita ser real em cenário condicionado futuro ou presente, obtido por
probabilidade, por estimativa ou por outra ferramenta, como exemplo a regressão, o histograma,
etc.
EX: o provável aumento de 10% nas vendas no próximo período. A fórmula daria o resultado de:
K = 1 + (10% :100) = 1+0,1 = 1,1. Assim, com a venda atual de 50.000, passaria para o valor de
R$50.000 x 1,1(k) = 55.000,00, corrigindo a meta em 10%.
Como K é uma constante, a atualização seria:
k.v(
sendo V uma variável específica) ou,
k . f(X1, X2, X3,...,XN )
ou
k . g(X1, X2, X3,...,XN )
para atualização de objetivos ou metas.
4.0 Referências Bibliograficas
1- ATKINSON, Anthony A .; BANKER, Rajiv D.; KAPLAN, Robert S.; YUNG, S. Mark.
Contabilidade Gerencial. Tradução: André Olímpio Mosselman Du Chenoy Castro. São
Paulo: Atlas, 2000.
2- AMBRÓSIO, Luis Alberto. Programação Multicritério: um instrumento para
planejamento agroambiental. Disponível no endereço http://www.faef.br/pos
graduação/multicriterio.doc. Acesso em 31 de março de 2004.
3- BUFFA, ELWOOD S; Administração da Produção. Tradução: Almte. Otacílio Cunha.
Rio de janeiro: LTC, 1979.
4- CORRAR, Luiz J. THEÓPHILO, Carlos Renato. Pesquisa Operacional para decisão
em contabilidade e administração: contabilometria. São Paulo: Atlas, 2004.
17
18
5- CSILLAG, João Mario. Análise de Valor: metodologia do valor, engenharia do valor,
gerenciamento do valor, redução de custos, racionalização administrativa. 4º ed. São
Paulo: Atlas, 1995.
6- IUDÍCIBUS, Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 6º edição. São Paulo: Atlas, 2000.
7- HANSEN, Don R; MOWEN, Maryanne M; Gestão de Custos: contabilidade e controle.
São Paulo: Pioneira, 2001.
8- HORNGREN, Charles T. FOSTER, George. DATAR, Srikant M. Contabilidade de
Custos. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
9- OLIVEIRA, Fabiane de. VOLPI, Neida Maria Patias. SANQUETA, Carlos Roberto.
Aplicação de Goal Programming em um problema florestal. Curitiba: Revista Ciência
Florestal, v.12, n.2, p. 89-98, em 05/07/2002. Disponível em http://
www.cpgmne.ufpr.br/disser.html. Acesso em 31 de março de 2004, às 08:33 horas am.
10- OLIVEIRA, Djalma de Pinho Rebouças. Estratégia Empresarial e vantagem
competitiva: como estabelecer, implementar e avaliar. São Paulo: Atlas, 2001.
11- RANGEL, Luciene Laurett. DALMÁCIO, Flávia Zóboli. SANTANA, Dimitri Pinheiro.
NOSSA, Valcemiro. Goal Programming como ferramenta de Gestão. Vitória: X
Congresso Brasileiro de Custos, 2003. Disponível também em http:// www.fucape.br.
12- TAFNER, Paulo. Curso Básico de matemática para economistas. Rio de Janeiro: Papel
Virtual, 2002.
13- UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO. Guia para a Normalização de
Referências: NBR 6023:2002. 2º edição. Espírito Santo: Biblioteca Central, 2002.
14- ______, Normalização e Apresentação de Trabalhos Científicos e Acadêmicos: guia
para alunos, professores e pesquisadores da UFES. 6º edição. Espírito Santo: Biblioteca
Central, 2002.
15- VELOSO, Rui Fonseca. FILHO, Homero Chaib. Avaliação econômica e social de
sistemas agrossilvipastoris nos cerrados: uma proposta de modelagem. Brasília:
Cadernos de Ciência e Tecnologia, v. 16, n.1, p. 115-131, jan/abr . 1999.
Anexo B
Introduzindo dados no programa: de max até end
MAX
168.75XA + 90YA + 281ZA + 180XB + 202.50YB + 135ZB
Subject to
450XA + 450XB + 540YA + 540YB + 675ZA + 675ZB >= 385875
18
19
281.25XA + 450YA + 393.75ZA + 270XB + 337.50YB + 540ZB <= 247500
0.25XA + 0.40YA + 0.35ZA + WA = 100
0.20XB + 0.25YB + 0.40ZB + WB = 100
XA + XB + W1 = 400
YA + YB + W2 = 300
ZA + ZB + W3 = 125
END
Relatório de resultados:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
157243.8
VARIABLE
XA
YA
ZA
XB
YB
ZB
WFA
WFB
W1
W2
W3
VALUE
225.000000
0.000000
125.000000
175.000000
260.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
40.000000
0.000000
REDUCED COST
0.000000
151.199997
0.000000
0.000000
0.000000
258.950012
603.000000
810.000000
18.000000
0.000000
69.949997
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 18900.000000
0.000000
3)
0.000000
0.000000
4)
0.000000
603.000000
5)
0.000000
810.000000
6)
0.000000
18.000000
7)
0.000000
0.000000
8)
0.000000
69.949997
NO. ITERATIONS=
1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
XA
YA
ZA
XB
YB
ZB
WA
WB
OBJ COEFFICIENT RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
168.750000
49.964283
90.000000
151.199997
281.000000
INFINITY
180.000000
94.500000
202.500000
22.500000
135.000000
258.950012
0.000000
603.000000
0.000000
810.000000
ALLOWABLE
DECREASE
94.500000
INFINITY
69.949997
18.000000
118.124992
INFINITY
INFINITY
INFINITY
19
20
W1
W2
W3
0.000000
0.000000
0.000000
18.000000
188.437500
69.949997
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
385875.000000
18900.000000
247500.000000
INFINITY
100.000000
0.000000
100.000000
0.000000
400.000000
325.000000
300.000000
INFINITY
125.000000
160.714294
ROW
2
3
4
5
6
7
8
INFINITY
22.500000
INFINITY
ALLOWABLE
DECREASE
INFINITY
0.000000
10.937500
8.750000
50.000000
40.000000
35.714287
Anexo C
MAX
168.75XA + 90YA + 281ZA + 180XB + 202.50YB + 135ZB
Subject to
450XA + 450XB + 540YA + 540YB + 675ZA + 675ZB >= 385875
281.25XA + 450YA + 393.75ZA + 270XB + 337.50YB + 540ZB <= 247500
0.20XA + 0.40YA + 0.35ZA + WFA = 100
0.25XB + 0.25YB + 0.40ZB + WFB = 100
XA + XB + WX = 310
YA + YB + WY = 300
ZA + ZB + WZ = 125
END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 149312.5
VARIABLE VALUE
XA
210.000000
YA
0.000000
ZA
125.000000
XB
100.000000
YB
300.000000
ZB
0.000000
WFA
14.250000
WFB
0.000000
WA
0.000000
WB
0.000000
WZ
0.000000
REDUCED COST
0.000000
101.250000
0.000000
0.000000
0.000000
164.000000
0.000000
45.000000
168.750000
191.250000
281.000000
ROW SLACK OR SURPLUS
2)
0.000000
3) 10968.750000
4)
0.000000
5)
0.000000
6)
0.000000
DUAL PRICES
0.000000
0.000000
0.000000
45.000000
168.750000
20
21
7)
8)
0.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
191.250000
281.000000
4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
XA
YA
ZA
XB
YB
ZB
WA
WB
WX
WZ
OBJ COEFFICIENT RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
168.750000
11.250000
90.000000
101.250000
281.000000
INFINITY
180.000000
101.250000
202.500000
INFINITY
135.000000
164.000000
0.000000
802.857178
0.000000
45.000000
0.000000
168.750000
0.000000
281.000000
ALLOWABLE
DECREASE
101.250000
INFINITY
164.000000
11.250000
101.250000
INFINITY
56.250000
INFINITY
INFINITY
INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
385875.000000
0.000000
INFINITY
247500.000000
INFINITY
10968.750000
100.000000
INFINITY
14.250000
100.000000
52.500000
17.812500
310.000000
39.000000
0.000000
300.000000
31.451612
0.000000
125.000000
27.857143
0.000000
ROW
2
3
4
5
6
7
8
21