UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ALESSANDRA AZZOLINI DA SILVA
A NOÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA NA TRANSIÇÃO ENTRE OS
ENSINOS FUNDAMENTAL, MÉDIO E SUPERIOR
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UNIBAN
SÃO PAULO
2012
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ALESSANDRA AZZOLINI DA SILVA
A NOÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA NA TRANSIÇÃO ENTRE OS
ENSINOS FUNDAMENTAL, MÉDIO E SUPERIOR
Dissertação
submetida
à
banca
examinadora da Universidade Bandeirante
de São Paulo, como exigência para a
obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática. Trabalho realizado sob a
orientação da Professora Doutora Marlene
Alves Dias.
UNIBAN
SÃO PAULO
2012
i
S578n
Silva, Alessandra Azzolini da.
A noção de função quadrática na transição entre os ensinos
fundamental, médio e superior/ Alessandra Azzolini da Silva - - São
Paulo : [s.n.], 2012.
177 fls.f.; il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo,
Curso de Educação Matemática.
Orientadora: Profª Drª Marlene Alves Dias.
1. Noção de função quadrática 2.Teoria antropológica do didático. 3.
Ostensivo e não-ostensivo. 4. Mudança de quadros. 5. Níveis de .
conhecimento. I. Título.
CDD: 372.7
ii
ALESSANDRA AZZOLINI DA SILVA
A NOÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA NA TRANSIÇÃO ENTRE OS
ENSINOS FUNDAMENTAL, MÉDIO E SUPERIOR
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE
DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
Nome: Professora Doutora Marlene Alves Dias
Titulação: Doutora em Matemática
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura:
2ª Examinador
Nome: Professor Doutor Frederico da Silva Reis
Titulação: Doutor em Educação
Instituição: Universidade Federal de Ouro Preto
Assinatura:
3ª Examinador
Nome: Professora Doutora Nielce Meneguelo Lobo da Costa
Titulação: Doutora em Educação
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura:
Biblioteca
Bibliotecário:_________________________________________________________
Assinatura:__________________________________________ DATA ___/___/___ .
São Paulo, ___ de __________ de ____.
iii
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:___________________________ Local e Data:____________________
iv
Um bom ensino da Matemática
forma
melhores
hábitos
de
pensamento e habilita o indivíduo
a usar melhor a sua inteligência
(IRENE DE ALBUQUERQUE).
v
AGRADECIMENTOS
Na construção de qualquer dissertação, algumas pessoas funcionam como
uma espécie de pilar, de base, sem as quais jamais chegaríamos aos nossos
objetivos. E só percebemos a importância delas já na fase de conclusão dos
trabalhos. Talvez por isso, os agradecimentos deveriam ser colocados no final da
dissertação. Entretanto, essas pessoas são as primeiras em nossas lembranças e
na construção dos agradecimentos que vão aqui.
Para mim, a primeira de todas estas pessoas é, sem duvidas, a Professora
Doutora Marlene Alves Dias. Ela aparece aqui como orientadora, no sentido
acadêmico do termo. Mas, na prática, foi mais que isso: uma mentora, uma
incentivadora, mestre no mais amplo significado da palavra. Por isso, destaco que,
sem a compreensão, a dedicação, a paciência e o carinho da Marlene, nada disto
seria possível. Grata!
Logo a seguir, mas com tanta importância quanto a Professora Doutora
Marlene Alves Dias, eu não posso deixar de agradecer a Professora Doutora Tânia
Maria Mendonça. Sem o apoio dela, essas páginas não se tornariam realidade.
Na condição de mãe, professora e dona de casa, nada seria possível também
se não houvesse a compreensão e o apoio de mamãe, papai e de meus queridos
filhos, Victor e Natalia. Deles, e demais parentes, não faltou o incentivo e a
compreensão nos momentos de ausência.
Por fim, mas não menos primordiais, foram importantes as preciosas,
esclarecedoras e ricas contribuições do Professor Doutor Frederico da Silva Reis e
da Professora Doutora Maria Elisabette Brisola Brito Prado. A eles, meus sinceros
agradecimentos.
vi
RESUMO
AZZOLINI, A. A noção de função quadrática na transição entre os Ensinos
Fundamental, Médio e Superior. Dissertação de Mestrado – Programa de PósGraduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São
Paulo, 2012.
Esta pesquisa trata do estudo das relações institucionais associadas à noção de
função quadrática, com o objetivo de identificar os tipos de tarefas que
sobrevivem/reconstroem quando se considera a transição entre os Ensinos
Fundamental, Médio e Superior. Com tal objetivo, analisaram-se, para cada tipo de
tarefa, as técnicas, as tecnologias, as teorias, os quadros e os níveis de
conhecimento esperados dos estudantes nas três etapas escolares consideradas na
pesquisa. Este estudo foi realizado via livros didáticos, documentos oficiais, grades e
planos de ensino de universidades públicas e privadas. Trata-se, portanto, de uma
pesquisa documental e as análises desses documentos foram conduzidas por meio
de uma grade de análise inspirada no trabalho de Dias, a qual permitiu identificar os
diferentes tipos de tarefas e técnicas desenvolvidas e as tecnologias e teorias
utilizadas. O referencial teórico da presente pesquisa é centrado na Teoria
Antropológica do Didático, em particular nas noções de praxeologia, ostensivos e
não ostensivos e, como apoio, são consideradas as abordagens teóricas em termo
de quadro e mudança de quadros de Douady e na noção de níveis de conhecimento
esperados dos estudantes, conforme definição de Robert. A análise das relações
institucionais esperadas e existentes permitiu identificar que, para o processo de
estudo e de ajuda ao estudo se realizar como previsto nas expectativas
institucionais, professores e estudantes precisam utilizar as noções e técnicas
respectivas desenvolvidas nos Ensinos Fundamental e Médio, de forma articulada,
quando da introdução de novas noções no Ensino Superior. Isto, em particular, no
estudo das conceituações de limite e derivada de funções, em que a noção de
função quadrática pode servir para criar as imagens mentais sobre as propriedades
das funções polinomiais que são mais facilmente desenvolvidas por meio da noção
de derivada de uma função. Observou-se ainda que o estudo centrado em situações
contextualizadas exige que se disponha do nível técnico para que se possa trabalhar
o nível mobilizável e, mais especialmente, o disponível, uma vez que esses dois
níveis supõem uma organização dos conhecimentos matemáticos.
Palavras-chave: Noção de função quadrática. Teoria antropológica do didático.
Ostensivo e não-ostensivo. Mudança de quadros. Níveis de conhecimento.
vii
ABSTRACT
AZZOLINI, A. The notion of quadratic function in the transition between the
Elementary, Secondary and Higher Education. Master Degree Dissertation – PostGraduate Programme in Mathematics Education, Bandeirante University of São
Paulo, São Paulo, 2012.
This research deals with the study of the institutional relationships associated with
the notion of quadratic function, in order to identify the types of tasks that survive /
rebuild when we consider the transition between elementary, secondary and higher
education. Thus, we analyzed for each type of task, techniques, technologies,
theories, frameworks and levels of knowledge expected of the students in three steps
considered in the research. This study was conducted through textbooks, official
documents, planning grids and teaching plans of public and private universities. This
documentary research and the analysis of these documents were conducted
following the the framework of DIAS, and also inspired by it, which allowed us to
identify the different types of tasks and the developed techniques as such the
technologies and theories used. Therefore the theoretical reference of the research is
centered on the Anthropological Theory of Didactics, specifically the notion of
praxeology, ostensives and non ostensives, and as support we considered the
theoretical approaches in term of frameworks and changing frameworks of Douady,
and the notion of levels of expected knowledge of students as defined by Robert. The
study of the expected and existing institutional relationships allows us to identify that,
to the study process to be accomplished as required by the institutional expectations,
teachers and students need to use the concepts and techniques developed in their
elementary, secondary and higher education in a articulated manner when
introduction of new concepts in higher education, specially the study of the notions of
limit and derivative of functions, where the notion of quadratic function can be used to
create mental images about the properties of polynomial functions that are more
easily developed by the notion of derivative of a function. We further note that the
study focused in contextualized situations makes it necessary to the technical level
so that they can work the levels mobilized and particularly, the available, since these
two levels assume an organization of mathematical knowledge.
Keywords: Concept of quadratic function. Anthropological Theory of Didactics.
Ostensive and non-ostensive. Changing Frameworks. Levels of knowledge.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
pág
Exemplo de tarefa, técnica e tecnologia e de ostensivo e não
ostensivo..............................................................................................
48
Figura 2
Exemplo de tarefa, técnica e tecnologia ............................................
50
Figura 3
Exemplo de quadro ............................................................................
51
Figura 4
Exemplo de quadro e de mudança de quadro ...................................
53
Figura 5
Exemplo de nível de conhecimento técnico .......................................
56
Figura 6
Exemplo de nível de conhecimento mobilizado .................................
57
Figura 7
Exemplo de nível de conhecimento disponível ..................................
58
Figura 8
Exemplo de mudança de quadro ........................................................
65
Figura 9
Exemplo de tarefa ..............................................................................
83
Figura 10 Exemplo de ostensivo escritural .........................................................
87
Figura 11 Exemplo de ostensivo e não ostensivo ..............................................
87
Figura 12 Exemplo de quadro algébrico ............................................................
88
Figura 13 Exemplo de quadro aritmético algébrico ............................................
89
Figura 14 Exemplo de quadro geométrico .........................................................
89
Figura 15 Exemplo de nível técnico ...................................................................
90
Figura 16 Exemplo de nível mobilizável .............................................................
91
Figura 17 Exemplo de nível disponível ..............................................................
92
Figura 18 Exemplo 1 da tarefa 1 .......................................................................
95
Figura 19 Exemplo 2 da tarefa 1 ........................................................................
96
Figura 20 Exemplo da tarefa 2 ...........................................................................
98
Figura 21 Exemplo 1 da tarefa 3 ........................................................................
99
Figura 22 Exemplo 2 da tarefa 3 ........................................................................
100
Figura 23 Exemplo 3 da tarefa 3 ........................................................................
101
Figura 24 Exemplo 1 da tarefa 4 ........................................................................
102
Figura 25 Exemplo 2 da tarefa 4 ........................................................................
103
Figura 26 Exemplo 3 da tarefa 4 .......................................................................
104
Figura 27 Exemplo 1 da tarefa 5 ........................................................................
105
Figura 28 Exemplo 2 da tarefa 5 .......................................................................
106
Figura 29 Exemplo 3 da tarefa 5 ........................................................................
107
Figura 30 Exemplo da tarefa 6 ..........................................................................
108
ix
Figura 31 Exemplo 1 da tarefa 7 .......................................................................
111
Figura 32 Exemplo 2 da tarefa 7 .......................................................................
112
Figura 33 Exemplo 1 da tarefa 8 .......................................................................
113
Figura 34 Exemplo 2 da tarefa 8 ........................................................................
114
Figura 35 Exemplo da tarefa 9 ...........................................................................
115
Figura 36 Exemplo 1 da tarefa 10 ......................................................................
116
Figura 37 Exemplo 2 da tarefa 10 ......................................................................
117
Figura 38 Exemplo da tarefa 11 .........................................................................
118
Figura 39 Exemplo 1 da tarefa 12 ......................................................................
121
Figura 40 Exemplo 2 da tarefa 12 ......................................................................
122
Figura 41 Exemplo de “completamento de quadrado” .......................................
130
Figura 42 Demonstração da fórmula de Bhaskara .............................................
131
Figura 43 Quadro resumo da resolução da fórmula de Bhaskara .....................
132
Figura 44 Construção de parábola ....................................................................
136
Figura 45 Construção da parábola por meio de tabela ......................................
137
Figura 46 Gráfico e a associação à variação dos parâmetros ...........................
141
x
LISTA DE TABELAS
Pág
Tabela 1
Extrato da grade curricular – UFPE................................................
74
Tabela 2
Extrato da grade curricular –MACK................................................
76
Tabela 3
Extrato da grade curricular – UFV...................................................
77
Tabela 4
Extrato da grade curricular – UFV...................................................
77
Tabela 5
Extrato da grade curricular – FSA...................................................
78
Tabela 6
Tarefas usualmente encontradas no processo de ensino e
Tabela 7
aprendizagem da noção de função quadrática ..............................
94
Obras didáticas analisadas na pesquisa ........................................
126
xi
LISTA DE QUADROS
Pág
Quadro 1
Questões que orientam a organização da análise .........................
128
Quadro 2
Questões que norteiam a pesquisa.................................................
144
xii
SUMÁRIO
Introdução .........................................................................................................
14
Capítulo 1: Problemática, objetivo e metodologia da pesquisa ...................
17
1.1 Contexto da pesquisa ...................................................................................
17
1.2 Questões iniciais e problemática da pesquisa...............................................
35
1.3 Objetivo da pesquisa ....................................................................................
37
1.4 Metodologia da pesquisa ..............................................................................
38
1.5 Algumas Considerações ...............................................................................
40
Capítulo 2: Referencial teórico ........................................................................
43
2.1 Considerações iniciais ..................................................................................
43
2.2 A Teoria Antropológica do Didático...............................................................
45
2.3 Noção de quadro e mudança de quadro conforme definição de Douady.....
50
2.4 Níveis de conhecimento esperados dos estudantes segundo definição de
Robert..................................................................................................................
54
2.5 Algumas Considerações ..............................................................................
59
Capítulo 3: As relações institucionais esperadas para o trabalho com as
noções de equação quadrática e função quadrática nos Ensinos
Fundamental, Médio e Superior.......................................................................
61
3.1 Considerações iniciais sobre o capítulo........................................................
61
3.2 Parâmetros Curriculares Nacionais – terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental Matemática....................................................................................
62
3.3 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio .............................
65
3.4 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio +...........................
68
3.5 Orientações curriculares para o Ensino Médio .............................................
70
3.6 Diretrizes curriculares nacionais para os cursos de Matemática,
bacharelado e licenciatura ..................................................................................
72
3.7 Algumas Considerações ..............................................................................
79
xiii
Capítulo 4: As ferramentas utilizadas para análise das tarefas usuais
sobre a noção de função quadrática – a grade de análise............................
82
4.1 Considerações iniciais...................................................................................
82
4.2 Algumas noções da Teoria Antropológica do Didático utilizadas como
ferramentas de análise didática...........................................................................
83
4.2.1. Exemplo de praxeologia no estudo da noção de função quadrática.........
83
4.2.2 Exemplo de ostensivos e não ostensivos no estudo da noção de função
quadrática............................................................................................................
86
4.3 Os quadros em jogo no estudo da noção de função quadrática...................
88
4.4 Os níveis de conhecimento esperados dos estudantes no estudo da noção
de função quadrática......................................................................................
90
4.5 A grade de análise ........................................................................................
95
4.6. Algumas Considerações...............................................................................
123
Capítulo 5: As relações institucionais existentes para o ensino e
aprendizagem das noções de equação quadrática e função quadrática
nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior...............................................
125
5.1 Considerações iniciais .................................................................................
125
5.2 Análise da obra de Dante (2008) – Tudo é Matemática ...............................
129
5.3 Análise da obra de Stocco & Diniz (2010) – Matemática Ensino Médio –
Volume I...............................................................................................................
134
5.4 Análise da obra de Dante (2009) – Matemática – Vol. único........................
139
5.5 Análise da obra de Stewart (2000) – Cálculo – Volume I .............................
142
5.6 Algumas Considerações................................................................................
144
Considerações finais e Perspectivas Futuras...............................................
148
Referências........................................................................................................
156
Anexos................................................................................................................
164
14
INTRODUÇÃO
A escolha deste trabalho está associada ao meu percurso enquanto
estudante e atualmente professora dos ensinos Médio e Superior. Minha experiência
profissional nessas duas etapas escolares tem mostrado que os estudantes que
chegam ao Ensino Médio assim como aqueles que têm acesso ao Ensino Superior
apresentam dificuldades que não podem ser consideradas apenas como falta de
conhecimento. Acredito que devem existir outros fatores que interferem na
aprendizagem dos discentes e que, muitas vezes, não permitem que os mesmos
evoluam.
Diante dessas constatações, escolhi trabalhar com a questão da transição
entre os Ensinos Fundamental, Médio e Superior para um conteúdo específico, qual
seja: a noção de função quadrática. A escolha por tal conteúdo se deve à
importância do estudo das funções tanto para a Matemática como para a Educação
Matemática. Além disso, a função quadrática é uma das funções introduzidas no
Ensino Médio que, se bem compreendida, permite criar as imagens mentais
necessárias para o estudo do comportamento de outras funções quando da
introdução das noções de derivada e integral e suas propriedades.
Iniciamos, dessa forma, o Capítulo 1 da presente dissertação, apresentando
algumas pesquisas semelhantes, que tratam sobre transição entre os Ensinos
Fundamental, Médio e Superior a partir da noção de função, particularmente a
quadrática ou sobre as funções em geral, introduzidas no Ensino Médio. Para essa
identificação do atual estado da arte em relação ao estudo das funções ou das
pesquisas sobre transição, centramo-nos na identificação das dissertações e teses
apresentadas, nos últimos seis anos – 2006 a 2011, em alguns cursos de pósgraduação em Educação ou Educação Matemática.
Ainda nesse primeiro capítulo, consideramos a problemática, o objetivo e a
metodologia da nossa pesquisa, justificando seu interesse, por se tratar de um
trabalho ainda não executado nas pesquisas identificadas. Apresentamos, assim, o
15
cerne do nosso trabalho que é compreender a transição dos Ensinos Fundamental,
Médio e Superior quando se considerada a noção de função quadrática, tendo como
questão principal o estudo das relações institucionais esperadas e existentes para o
ensino e a aprendizagem da referida noção. Acreditamos que a identificação dessas
relações pode auxiliar a compreender quais as tarefas desenvolvidas no Ensino
Médio que podem servir de apoio ao trabalho com esta função no Ensino Superior.
Assim, nossa questão central é verificar como essas relações podem servir para a
introdução de novas noções no Ensino Superior.
metodologia
da
pesquisa
documental
por
Para tanto, propomos a
considerá-la
adequada
ao
desenvolvimento desse trabalho. Por fim, no Capítulo 1, descrevemos a metodologia
adotada.
No capítulo 2, embasamos teoricamente esta pesquisa. Desse modo,
escolhemos como referencial teórico central a Teoria Antropológica do Didático de
Chevallard (1992, 1994), em particular a noção de organizações praxeológicas ou
praxeologias. Nesse sentido, explicamos que este trabalho foi amparado em
Chevallard (1992, 1994) o qual introduz as primeiras noções da Teoria Antropológica
e em Bosch e Chevallard (1999) que tratam, mais especificamente, das questões
associadas aos ostensivos e não ostensivos. Como referencial teórico de apoio,
utilizamos ainda a abordagem teórica em termos de quadros e mudança de quadros
de Douady (1984, 1992) e definições sobre os três níveis de conhecimento
esperados dos estudantes, conforme proposta de Robert (1997,1998). Nesse
segundo capítulo, apresentamos uma breve discussão das noções retiradas dos
trabalhos anunciados acima, seguida de exemplos por nós construídos que mostram
como essas ferramentas didáticas nos auxiliam nas análises propostas.
No capítulo 3, tratamos das relações institucionais esperadas, as quais foram
assim denominadas por se tratar de propostas institucionais indicadas nos
documentos oficiais para o trabalho com as noções de equação do 2º grau e função
quadrática nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior. Nessa etapa, foram
analisados os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (BRASIL,
1997), os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), as
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e os Parâmetros
Curriculares Nacionais + (BRASIL, 2002). Para tratar do Ensino Superior,
16
consideramos as Diretrizes Nacionais para o Curso de Licenciatura em Matemática e
os planos de ensino de Introdução ao Cálculo e Cálculo Diferencial e Integral de
duas universidades públicas, uma universidade privada e um centro universitário.
No capítulo 4, apresentamos a grade de análise, cuja construção foi inspirada
na grade de Dias (1998), disponível em sua tese que trata da articulação de pontos
de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear. Apresentamos as
ferramentas didáticas de análise utilizadas e identificamos, por meio de exemplos,
as tarefas usuais para o ensino e a aprendizagem das noções de equação e de
função quadrática. Nestas, aplicamos a grade que tem como objetivo identificar a
situação apresentada no enunciado, as técnicas, as tecnologias, as teorias, assim
como os ostensivos e não ostensivos manipulados e evocados, os quadros em que
a tarefa é expressa e resolvida e os conhecimentos necessários para o
desenvolvimento da tarefa.
No capítulo 5, tratamos das relações institucionais existentes, assim
denominadas por se tratar das tarefas que podemos identificar em livros didáticos ou
em outros materiais destinados ao desenvolvimento de um determinado conteúdo,
quando se considera a noção de equação do 2º grau e a noção de função quadrática
por meio da análise de livro didáticos das três etapas escolares do Ensino
Fundamental, Ensino Médio e o Ensino Superior. O objetivo dessas análises é
verificar se as relações esperadas estão em conformidade com as relações
institucionais existentes e se elas podem servir como conhecimentos prévios
disponíveis no momento em que se introduzem novas noções matemáticas no
Ensino Superior.
Nas considerações finais, expomos nossas observações e reflexões
baseadas nos resultados obtidos e na nossa percepção. Retirando dos resultados
das análises apresentados nos capítulos 3 e 5 as possíveis respostas aos
questionamentos feitos no capítulo 1. Salientamos ainda que é a escolha das tarefas
para o desenvolvimento da noção de função quadrática no Ensino Médio que pode
auxiliar a criar as imagens mentais e, assim, servir de apoio ao trabalho com esta
função, bem como a outras funções e novos conhecimentos no Ensino Superior.
17
CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA, OBJETIVO E METODOLOGIA DA PESQUISA
1.1 CONTEXTOS DA PESQUISA
Minha formação universitária ocorreu na Universidade do Grande ABC (2005)
em Licenciatura em Matemática. Na época, meu objetivo era lecionar no Ensino
Fundamental e/ou Médio. No entanto, antes de concluir a graduação, na Disciplina
de Didática, desenvolvi uma técnica de oficina para o ensino de trigonometria. Como
resultado, fui convidada a participar do programa do Governo do Estado de São
Paulo – Teia do Saber, assim, apresentei essa técnica durante três anos. Na Teia do
Saber1, pude constatar os relatos dos professores quanto às dificuldades do ensino
na sala de aula.
Comecei a lecionar Matemática para o Ensino Fundamental e, logo após,
para o Ensino Médio. Com o intuito de me aperfeiçoar, iniciei o curso de Pósgraduação Lato-Sensu em Educação Matemática nas Faculdades Metropolitanas
Unidas - FMU. Concluindo o curso, fui convidada por um dos professores para
ingressar na Docência do Ensino Superior naquela instituição. Este foi um período
significativo para mim, porque fui selecionada, pelo meu currículo, para lecionar em
outra instituição, a Faculdade Estácio de Sá. Atualmente, sou professora nos
Ensinos Médio e Superior nessa instituição.
Na busca por novos conhecimentos, participei também do Grupo de Estudos
e Pesquisas em Etnomatemática - GEPEm da Faculdade de Educação da USP FEUSP, coordenado pelo Prof.Dr.Ubiratan D’Ambrosio e pela Prof. Dra. Maria do
Carmo Santos Domite. Essa experiência me conduziu a novos questionamentos e
me despertou também a necessidade de continuar estudando nessa direção, isto é,
1
Teia do Saber: Projeto de formação continuada de professores da Educação Básica posto em
prática em 2003, visando favorecer a formação e atualização dos professores por meio da reflexão
sobre a ação docente. Disponível em: <http://www.revistainterfaces.com.br/Edicoes/2/2_33.pdf>,
acesso em: 02/02/2012.
18
investigar os problemas associados às dificuldades encontradas pelos estudantes
quando desenvolvemos determinados conteúdos matemáticos.
Essa trajetória aumentou meu interesse pela pesquisa em Educação
Matemática, o que me levou à Pós-graduação Stritu Sensu - mestrado em Educação
Matemática na mesma linha da Especialização. Como leciono no Ensino Médio e,
também, no Superior, percebo certa insatisfação, por parte dos docentes deste
último nível, diante do que é esperado dos estudantes que concluíram o Ensino
Médio e os conhecimentos que eles são capazes de utilizar quando iniciam o Ensino
Superior.
Ao iniciar o mestrado em Educação Matemática, participei de uma reunião
onde foram apresentados os projetos dos professores do Programa de PósGraduação, entre os quais um que vinha ao encontro de minhas expectativas de
estudo. Trata-se do projeto CAPES – COFECUB2 que continha quatro eixos, sendo
que um deles, que tratava especificamente da transição Ensino Médio e Ensino
Superior, era coordenado pela Professora Drª Marlene Alves Dias.
Esse eixo do projeto CAPES – COFECUB tinha como proposta pesquisar as
questões associadas à transição entre o Ensino Médio e Superior, em especial, as
desenvolvidas nos quadros da Álgebra, Álgebra Linear, Análise Matemática, Cálculo
Diferencial e Integral. Considerando o referido eixo específico, escolhemos
desenvolver uma pesquisa sobre as organizações matemáticas e didáticas
associadas à noção de função quadrática desde a sua introdução no Ensino
Fundamental, passando depois pela equação do 2º grau, no Ensino Médio,
relacionando-a a sua utilização no Ensino Superior. Ressaltamos, aqui, que as
organizações matemáticas estão associadas ao conteúdo a ser desenvolvido e as
organizações didáticas correspondem às propostas institucionais possíveis para se
trabalhar um determinado conteúdo, incluindo as estratégias, diferentes abordagens
e formas de trabalho com os estudantes para uma determinada etapa escolar.
2
Programa de Cooperação Internacional entre a França e o Brasil, cujo objetivo é apoiar projetos
conjuntos de pesquisa entre instituições desses dois países e estimular a formação e o
aperfeiçoamento de doutorandos e docentes. Disponível em: http://www.capes.gov.br/cooperacaointernacional/franca/cofecub, acesso em: 02/02/2012.
19
Assim, o objetivo geral desta pesquisa é compreender quais as relações
institucionais que sobrevivem/reconstroem atualmente, quando se introduz as
noções de equação do 2º grau e função quadrática, e o que pode ser considerado
como conhecimento prévio, disponível no início do Ensino Superior. Observamos
que a Teoria Antropológica do Didático – TAD segue a lógica da relação pessoal
com um determinado objeto do saber que depende da relação institucional a que se
é submetido. Dessa forma, a aprendizagem é considerada como o acesso a essa
relação pessoal, o qual permite considerar o estudar como uma modificação dessa
relação e o ensinar como a ajuda dada ao estudante de forma que ele possa
estabelecer uma relação com o saber, modificando-o de modo a torná-lo adequado
às expectativas apresentadas em uma determinada relação institucional.
Para que isso ocorra, Chevallard (2001, 2002) considera a ecologia dos
saberes que é definida como as condições de sobrevivência nas instituições por
meio de adaptações às restrições que lhe são impostas, o que pode ser associado à
necessidade de reconstrução para a sobrevivência. Percebemos ainda que, ao
definir ecologia dos saberes, Chevallard (2001, 2002) aproxima essa noção da
Biologia, expondo que habitat são os lugares onde vivem os objetos matemáticos
considerados como, por exemplo, a função quadrática que vive atualmente no
primeiro ano do Ensino Médio e no início do Ensino Superior no Brasil; nicho são a
funções que os objetos ocupam em cada um de seus habitats como, por exemplo,
para a função quadrática, podemos considerar que a mesma serve de ferramenta
explícita para desenvolver tarefas contextualizadas (intra ou extramatemáticas) no
Ensino Superior; e milieu que é definido como o conjunto dos objetos para os quais
a relação institucional é estável e não problemática, como a noção de equação do 2º
grau no Ensino Superior brasileiro, quando se trata de resolvê-la pela fórmula de
Bhaskara.
Nessa perspectiva, a noção de relação institucional é considerada por meio
da definição de Chevallard (1992, 2007), que inicia definindo a noção de relação –
de uma pessoa x a um objeto o, R(x, o), ou de uma instituição I a esse objeto ou,
mais exatamente, dos sujeitos da instituição I em posição p em I relação a esse
objeto o, Rr(p,o). Segundo Chevallard, existe uma infinidade de posturas pessoais e
institucionais no espaço cognitivo culturalmente compartilhado. Logo, para a noção
20
de função quadrática, existe a relação que cada pessoa tem com essa noção. Deste
modo, a relação que essa mesma pessoa deveria ter com a referida função está
relacionada a um determinado lugar que ela ocupa em uma instituição, isto é,
relação que não é a mesma para os professores de matemática, física e química
assim como para aqueles que estão nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior.
Portanto, a noção que evocamos depende da nossa posição na instituição.
Assim, nosso objetivo de analisar as organizações matemáticas, às que se
referem ao conteúdo a ser desenvolvido, e as organizações didáticas, aquelas que
correspondem
às
propostas
institucionais
possíveis
para
desenvolver
um
determinado conteúdo incluindo as estratégias e as diferentes abordagens e formas
de trabalho com os estudantes, está associado à identificação de algumas das
relações institucionais que sobrevivem atualmente nos Ensinos Fundamental, Médio
e Superior. Acreditamos que compreender as diferentes formas de tratamento dadas
a uma mesma noção nas distintas etapas escolares permite identificar os
conhecimentos prévios dos estudantes e, assim, podemos introduzir novos
conhecimentos apoiados nas relações institucionais propostas, o que pode auxiliar
na construção de atividades potencialmente significativas, tal como propõe a teoria
da Aprendizagem Significativa3 de Ausubel (1963, 2000) referenciado em Moreira
(2005).
Dessa maneira, consideramos que o estudo das relações institucionais
permite distinguir quais as propostas em termos das organizações matemáticas e
didáticas que se espera que sejam trabalhadas nos Ensinos Fundamental, Médio e
Superior e como os conhecimentos desenvolvidos em cada etapa da escolaridade
podem ser considerados como conhecimentos prévios disponíveis para a introdução
de novas noções nas etapas que se seguem, ou seja, como articulá-los para o
desenvolvimento de novas organizações.
3
Aprendizagem Significativa: é o conceito central da teoria da aprendizagem de David Ausubel.
Segundo Moreira (2005), a aprendizagem significativa caracteriza-se pela interação entro o novo
conhecimento e o conhecimento prévio num processo não literal e não-arbitráro, onde o novo
conhecimento adquire significados para o aprendiz e o conhecimento prévio fica mais rico, mais
diferenciado, mais elaborado em termos de significado. Assim, os novos conhecimentos se
relacionam com o conhecimento prévio que o estudante possui.
21
Dessa forma, a escolha feita para esta pesquisa é estudar os problemas
associados à transição entre os Ensinos Fundamental, Médio e Superior,
especificamente, enfocando na noção de função quadrática e suas propriedades
que, por conseguinte, conduz a estudar as relações institucionais desenvolvidas no
Ensino Fundamental para a noção de equação do 2º grau, corresponde a um
conhecimento que se supõe disponível para os estudantes que iniciam o Ensino
Médio.
Essa análise inicial das relações institucionais mobilizou a nossa curiosidade
a investigar as propostas institucionais para o desenvolvimento da noção de função
quadrática nos Ensinos Fundamental e Médio. Isto teve por finalidade verificar se
esse trabalho é considerado como conhecimento prévio disponível ou se é revisitado
no início do Ensino Superior, em particular, para as disciplinas de Matemática e
Introdução ao Cálculo as quais compõem os cursos de licenciatura em Matemática.
Com efeito, iniciamos a pesquisa, buscando, nas dissertações e teses
brasileiras dos últimos seis anos, a existência de estudos sobre a transição entre os
Ensinos Fundamental, Médio e Superior para uma determinada noção matemática e,
mais particularmente, para a noção de função quadrática. Encontramos poucos
trabalhos sobre o tema transição e alguns trabalhos referentes à noção de função
quadrática.
Na sequência apresentamos um breve resumo correspondente ao material ao
qual tivemos acesso pela internet. Os trabalhos encontrados são resultantes de
dissertações e teses das seguintes universidades: Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo - PUC-SP, Universidade Luterana do Brasil – ULBRA, Universidade
Federal de Pernambuco - UFPE, Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP,
Universidade Estadual Paulista - UNESP, Universidade Cruzeiro do Sul - UNICSUL,
Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN.
Voltamos a observar que consideramos as dissertações e teses que tratam
seja da transição entre o Ensino Médio e Superior ou do conceito matemático
escolhido para essa pesquisa, isto é, a noção de função quadrática e suas
propriedades. Observamos que algumas dissertações tratam da equação do 2º grau
22
que é uma ferramenta importante para o estudo das raízes de uma função
quadrática.
Iniciando com os trabalhos encontrados na Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo – PUC/SP, verificamos que, apesar da grande quantidade de
dissertações e teses desenvolvidas no programa de Pós-graduação da PUC/SP,
encontramos apenas uma vinha ao encontro do que procurávamos, a tese de Rita
de Cássia P. Mariani, em 2006, cujo título é “Transição da educação básica para o
ensino superior: a coordenação de registros de representação e os conhecimentos
mobilizados pelos alunos no curso de cálculo”. O objetivo da tese de Mariani (2006)
foi investigar como a coordenação de registros de representação semiótica contribui
para explicitação dos conhecimentos mobilizados por alunos ingressantes no Curso
de Cálculo, frente a tarefas organizadas com base no conceito de função.
Para atingir esse objetivo, a autora utilizou a metodologia da pesquisa
qualitativa associada ao design e ao estudo de caso. A organização e o
desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes foram orientados pelos
aspectos ligados ao funcionamento cognitivo, enfatizando as conversões dos
registros de representação semiótica identificados, iniciando pelo registro gráfico em
direção ao demais, especialmente, ao da língua natural. O referencial teórico da
pesquisa é centrado na teoria dos Registros de Representação Semiótica de
Raymond Duval (1995) e no conceito de Contrato Didático de Guy Brousseau
(1986), em particular, no que se refere a seus efeitos. Mariani (2006) conclui que as
tarefas propiciaram a coordenação de registros do objeto função e as diversas
representações limite e derivada. Segundo a autora, o registro da língua natural,
mostrou-se adequado para mostrar os conhecimentos que chamou de “mascarados”
por algoritmos mecânicos e convencionais. Os estudantes, em geral, não atribuem
significado aos símbolos utilizados.
Encontramos ainda a dissertação de Diana Maia (2007) sobre “Função
Quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional”, que trata
especificamente da noção que é objeto de estudo da nossa pesquisa. O objetivo da
dissertação de Maia (2007) foi complementar os estudos já realizados a respeito do
ensino da função quadrática e da utilização de software para este fim. Na
23
metodologia, a autora propôs atividades em que o estudante deveria utilizar o
software Winplot, papel e lápis de forma que se possa analisar se os discentes
melhoram seu desempenho quando da introdução dessa ferramenta computacional.
O trabalho foi desenvolvido com estudantes da oitava série do Ensino Fundamental
de uma escola particular na cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São
Paulo. Para desenvolver as atividades, Maia (2007) utilizou como quadro teórico os
princípios da Engenharia Didática, conforme definição de Michèle Artigue (1996), a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995) e a
Teoria das Situações de Guy Brousseau (1986). Maia (2007) concluiu com a
demonstração de que houve um avanço por parte dos alunos na apreensão do
conceito de função quadrática, propiciando a compreensão e articulação entre as
variáveis visuais e unidades simbólicas significativas.
A pesquisa de Roberto Seidi Imafuku (2008) tratou “Sobre a passagem do
estudo de função de uma variável real para o caso de duas variáveis.” O objetivo
desse trabalho foi verificar as dificuldades e os saberes manifestados por estudantes
relativos à transição do estudo das funções de uma variável para o caso de duas, no
que diz respeito às variáveis dependentes e independentes, bem como quais
manifestações são reveladas no estudo das derivadas parciais de primeira ordem. A
metodologia utilizada correspondeu à elaboração de dois questionários que foram
aplicados a estudantes do quarto e quinto semestre de um curso de Licenciatura em
Matemática, de uma universidade particular da grande São Paulo. Os questionários
foram fundamentados na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de
Raymond Duval (1995). Imafuku (2008) conclui que os estudantes apresentam
dificuldades quando estudam as funções de duas variáveis, entre elas a não
compreensão do sistema de eixos 3D. Eles têm ainda dificuldade em solucionar
problemas que se referem a situações contextualizadas, em realizar a conversão do
registro da língua natural para o algébrico e fazem confusão entre o registro gráfico
do domínio e da função. O autor considera que essas dificuldades se refletem
negativamente no estudo das derivadas parciais.
Já a dissertação de Sérgio Aparecido Santos (2009), intitulada “Ambiente
informatizado: para o aprofundamento da função quadrática por alunos da 2ª série
do Ensino Médio” objetivou desenvolver um ambiente informatizado para o ensino,
24
cuja meta era favorecer o aprofundamento dos conhecimentos relacionados à
função polinomial de segundo grau ou função quadrática. O ambiente foi construído
segundo a metodologia Design Instrucional e o referencial teórico se fundamentou
na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995) e
na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1998). Essa pesquisa foi
articulada com o estudo de Maia (2007), conforme descrição anterior. Segundo o
autor, o ambiente informatizado e as atividades nele contidas beneficiam o
aprofundamento dos conhecimentos relacionados à função polinomial do segundo
grau e a compreensão da articulação dos registros de representação gráfica e
algébrica.
A investigação de Ligia Maria Silva (2010) tem por título: “O tratamento dado
ao conceito de função em livros didáticos da Educação Básica”. Esse trabalho
buscou analisar como quatro livros didáticos da Educação Básica apresentam o
conceito de função. O estudo analisou o tratamento dado a esse objeto e procurou
identificar a maneira como os autores introduzem o conceito de função, com base na
teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2003) e na análise de
conteúdo de Bardin (1977). A autora concluiu que, entre os quatro livros analisados,
dois estão influenciados pela filosofia estruturalista, uma vez que os autores
consideram como “pré-requisitos” para a introdução do conceito de função as
noções de produto cartesiano e relação binária. Ainda segundo a autora, os registros
da língua natural, simbólico (algébrico e numérico), figural e gráfico são utilizados
nas obras analisadas, bem como, exercícios que propiciam a coordenação desses
registros.
Encontramos ainda alguns trabalhos sobre funções durante o ano de 2010.
Todavia nenhum deles era, mas nada específico à nossa proposta, tal como
demonstramos por meio das breves descrições que seguem.
Adinilson Marques Reis (2010) é autor da pesquisa “Uma proposta dinâmica
para o ensino de função afim a partir de erros dos alunos no primeiro ano do Ensino
Médio”. O objetivo dessa investigação era verificar como o uso reconstrutivo do erro
pode auxiliar na elaboração de uma sequência de ensino sobre função afim entre
estudantes do Ensino Médio, partindo do uso software Geogebra como estratégia
25
pedagógica. A investigação foi realizada com alunos da 1ª série do Ensino Médio em
uma escola pública de São José dos Campos. O referencial teórico da pesquisa se
apoiou na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1990, apud
Almouloud, 2007), para auxiliar a compreender melhor o funcionamento cognitivo em
relação às dificuldades dos alunos, e nos procedimentos metodológicos da
Engenharia Didática, conforme Artigue (1990, apud Almouloud, 2007) para a coleta
e análise dos dados. Os resultados sugerem contribuições para ampliar os estudos
já realizados sobre o tema e uma melhor compreensão de como considerar os erros
na aprendizagem e no preparo de atividades com o uso do software GeoGebra.
Rogério Fernando Pires (2009) trabalhou com “O uso da modelação
matemática na construção do conceito de função”. O objetivo dessa pesquisa
foi investigar as reais possibilidades de se introduzir o conceito de função afim no 7º
ano do Ensino Fundamental em um estudo intervencionista, contrariando o que é
proposto nos documentos oficiais. A metodologia de pesquisa foi centrada na
resolução de problemas e a fundamentação teórica baseada na modelagem
matemática, segundo propostas de Bassanezi (2007) e Biembengut e Hein
(2007). Os resultados mostraram que, ao final do estudo, os alunos se apropriaram
de algumas noções como a análise do crescimento e decrescimento, a construção
de gráficos de uma função afim, o que permitiu o autor concluir que a forma de
trabalho proposta é uma estratégia viável para o desenvolvimento da noção de
função afim, bem como para algumas de suas propriedades e representações.
Fabio Correa Scano (2009) discorreu sobre “Função afim: uma sequência
didática envolvendo atividades com geogebra”, com o objetivo de desenvolver uma
sequência de ensino sobre a noção de função afim, para ser trabalhada com alunos
do 9º ano do Ensino Fundamental. Essa sequência deveria contribuir para o
desenvolvimento da capacidade de expressar algébrica e graficamente a
dependência de duas variáveis, quando essas representam uma função afim e
relacionar os coeficientes dessa função com suas diferentes representações
gráficas. Para tanto, o referencial teórico foi centrado na Teoria das Situações
Didáticas e na Teoria dos Registros de Representações Semióticas. As situações
foram desenvolvidas para serem trabalhadas por meio da utilização do Geogebra. A
pesquisa foi desenvolvida com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma
26
escola particular da Grande São Paulo. Os resultados confirmam as expectativas,
isto é, que uma sequência desenvolvida e aplicada com base na Teoria das
Situações Didáticas e na conversão de registros de representação conduz os alunos
a reconhecer que o gráfico de uma função afim é uma reta e a controlar os
resultados encontrados por meio da coordenação dos registros algébrico e gráfico
da função dada.
Cláudia Vicente Souza (2010), por sua vez, teve por foco “A função
exponencial no caderno do professor de 2008 da Secretaria do Estado de São
Paulo. A autora analisou atividades realizadas por alunos da segunda série do
Ensino Médio. A autora analisou se os alunos são capazes de realizar as atividades
sobre função exponencial apresentadas no Caderno e se os mesmos realizam ou
não conversões dos registros de representação semiótica. O referencial teórico é
centrado na teoria dos registros de representação semiótica de Duval e no Modelo
3UV (Três Usos da Variável). Trata-se de uma pesquisa diagnóstica, em que as
atividades do caderno do primeiro foram propostas para serem desenvolvidas por
um grupo de 14 alunos do segundo ano do Ensino Médio.
A única pesquisa realizada na área de nosso interesse é proveniente do
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade
Luterana do Brasil – ULBRA e corresponde à dissertação de mestrado de Fabiana
Machado de Borba, apresentada em 2008 com o título: “Jogos matemáticos para o
ensino de função”. O objetivo da pesquisa de Borba (2008) repousou sobre o ensino
de funções com uma proposta didática que consiste em utilizar jogos e, entre os
jogos identificados, aqueles que usam a ideia de máquina. Com referencial teórico,
foram considerados os estudos sobre a relação entre jogo e educação. A
metodologia foi a da pesquisa qualitativa, envolvendo diferentes modos de coletar
dados, incluindo casos em que se faz uma análise quantitativa. O referencial teórico
central são as noções de imagem e definição conceitual, conforme Teoria de David
Tall o que permite relacionar o conceito de função com a ideia de máquinas. Como
consideração final, Borba (2008) salienta que a máquina função é uma ferramenta
importante que permite aos educandos a obtenção de uma compreensão mais
abrangente sobre os conceitos envolvidos no conteúdo de Função. Quanto ao ponto
de vista das representações utilizadas para trabalhar esse conceito, a autora
27
enfatiza que os estudantes possuem um maior entendimento com diagramas e
apresentam dificuldades na interpretação de expressões e construção de gráficos.
Isso lhe permite concluir que, através das atividades que foram realizadas, ocorreu
uma evolução dos alunos em relação ao conceito função, apesar destas não serem
exatamente a definição do conceito.
Ao estudar os trabalhos sobre função desenvolvidos na Universidade
Cruzeiro do Sul – UNICSUL, identificamos a dissertação de Sirlene Neves de
Andrade em 2006, cujo título é “Possibilidades de articulação entre as diferentes
formas de conhecimento: a noção de função afim”. O referido estudo teve por intento
mostrar a importância de uma abordagem da noção de função afim que leve em
conta a articulação entre as diferentes formas que podem ser assumidas por essa
noção quando da sua introdução no Ensino Médio, bem como suas respectivas
representações simbólicas. A metodologia utilizada foi a da pesquisa documental,
que possibilitou o estudo dos documentos oficiais, Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio, Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 1992,
análise de três livros didáticos e da prova do SARESP de 2005 para uma escola
estadual de São Paulo.
Nessas análises, Andrade (2006) construiu uma grade de análise inspirada no
modelo de Dias (1998). O referencial teórico da pesquisa, que serviu de base para a
construção da grade de análise, foi a abordagem teórica em termos de quadros e
mudanças de quadros de Régine Douady (1984, 1992), a noção de registro de
representação semiótica de Raymond Duval (1995), a abordagem teórica em termos
dos três níveis de conhecimentos esperados dos estudantes de Aline Robert (1997)
e a teoria antropológica do didático de Yves Chevallard (1992), em especial, as
noções de relações institucionais e pessoais. Como conclusão, Andrade (2006)
ressaltou que, desde 1992, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo já
considerava as possibilidades de articulação entre quadros, pontos de vista e a
conversão de registros de representação semiótica, quando se trata da noção de
função afim, mesmo não utilizando esses termos. A análise de livros didáticos e da
macroavaliação do SARESP (2005), por meio da grade de análise, mostrou a
existência de uma diversidade de possibilidades para explorar a noção de função
28
afim do ponto de vista didático tanto para o trabalho na própria matemática como
para explorar essa noção em outras áreas do conhecimento.
A autora observou ainda que a ênfase na avaliação é dada pela capacidade
de interpretar os enunciados, cujos dados são apresentados no registro de
representação
gráfica
e
que,
assim,
os
estudantes
precisam
dispor
de
conhecimentos sobre a conversão dos registros de representação semiótica, em
particular, os registros fórmula-tabela-gráfico, todos introduzidos no Ensino Médio.
Por fim, a autora verificou que as situações cotidianas e contextualizadas são as que
apresentam maior dificuldade para os estudantes, pois exigem o nível disponível e
nem sempre os mesmos têm acesso à grande diversidade de situações de
referência para poder resolver o que lhes é proposto.
Na mesma universidade, em 2007, encontramos a dissertação de Juvenal de
Gouveia, cujo título é “Estudo do intervalo sobre IR a partir de situações
contextualizadas aplicadas ao Ensino Médio e Superior”. Essa proposta do trabalho
centrou-se no ensino do mencionado conceito a partir de situações contextualizadas.
Verificou-se a aplicabilidade dessa proposta por meio de uma tarefa realizada em
quatro fases com alunos do Ensino Médio. O objetivo desse trabalho era verificar a
possibilidade de introduzir uma noção matemática por meio de uma situação
contextualizada. A metodologia utilizada na pesquisa foi a análise documental e
pesquisa ação, que conduz Gouveia (2007) a construir uma grade de análise
também inspirada em Dias (1998), a qual que serviu de base para o estudo dos
documentos oficiais e de dois livros didáticos do Ensino Médio sugeridos pelo
PNLEM 2006 e de um livro destinado a um curso para professores de matemática, o
que contribuiu para a construção da atividade proposta aos estudantes.
A abordagem teórica da pesquisa de Gouveia (2007) centrou-se quadros e
mudanças de quadros de Régine Douady (1984, 1992), na noção de registro de
representação semiótica de Raymond Duval (1995), na abordagem teórica em
termos dos três níveis de conhecimentos esperados dos estudantes de Aline Robert
(1997) e na teoria antropológica do didático de Yves Chevallard (1992), em especial,
nas noções de relações institucionais e pessoais, nos métodos da pesquisa ação de
Thiollent (1994) e nas noções de zona de desenvolvimento proximal e níveis de
29
ajuda de Vygotsky, conforme estudos de Beatón (2005). A análise das atividades
propostas aos estudantes permitiu concluir que, mesmo quando as situações
contextualizadas
apresentadas
aos
discentes
levassem
em
conta
seus
conhecimentos prévios, observou-se que os mesmos apresentaram muita
dificuldade para desenvolver a tarefa proposta em diferentes níveis e foi necessária
a ajuda tanto dos seus pares como do professor para que pudessem avançar no
trabalho proposto. O autor observou ainda que a mesma tarefa foi proposta em
diferentes fases, para as quais se considerava as dificuldades encontradas pelos
estudantes nas fases anteriores.
Encontramos também a dissertação de Nilza dos Santos Rodrigues Cézar,
apresentada em 2009, na UNICSUL, cujo título é “A busca da generalização: um
trabalho possível na construção do conhecimento matemático de função”. Esta
pesquisa objetivou compreender o modo como o aluno do Ensino Médio constrói a
ideia de função. A metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa de abordagem
fenomenológica que auxiliou na construção de atividades sequenciais para as quais
os alunos buscam regularidades e expressam o percebido. O referencial teórico é
sustentado pelos trabalhos sobre fenomenologia desenvolvidos por Bicudo (1994),
Machado (1992) e Fini (1994) e, para a elaboração das atividades, Cézar (2009) se
apoia na introdução do conceito desenvolvido por Iezzi (1993), Zuffi (2001) e Caraça
(2000).
Nas considerações finais da pesquisa, Cézar (2009) ressalta que, em função
das leituras efetuadas e dos documentos oficiais, o aprendizado ocorre quando o
diálogo, o encorajamento e, por consequência, a interação ocorrem. Segundo a
autora, a interação entre os alunos e o modo de ver de cada um vai constituindo um
consenso que aparece no compartilhar das ideias. Para a autora, o que mostra o
motivo dos alunos compreendem a ideia de função, a partir das atividades
propostas, como relação de dependência entre elementos da sequência e a sua
posição, corresponde à possibilidade de produção de conhecimento matemático
sobre o conteúdo função como o modo do aluno buscar o elemento da sequência
numa posição qualquer, ou seja, o modo como ele procura a generalização,
encontrando a lei matemática que permite essa generalização. Cézar (2009) ratifica
que o envolvimento do aluno é garantido pela autoconfiança adquirida e pela
30
percepção na capacidade de aprender, ultrapassando a formação matemática para
a formação do Homem.
Ainda na UNICSUL há a dissertação de Lucicleide Lavor Terto, em 2008, com
o título: “Função Quadrática nos Livros Didáticos sob a Ótica da Resolução de
Problemas”. A proposta dessa pesquisa foi analisar de que forma o livro didático
apresenta o conteúdo de função quadrática sob a perspectiva da Resolução de
Problemas. A autora analisou quatro livros didáticos entre os indicados pelo MEC. A
metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa, aplicando ao método da análise
de conteúdo. A autora concluiu que, em geral, os livros parecem estar de acordo
com os documentos oficiais em muitos aspectos, o que os coloca fortemente
inseridos na concepção de resolução de problemas.
Na Universidade Federal de Pernambuco – UFPE, a única pesquisa
encontrada, cujo tema aborda função, é a dissertação de Maria José Almeida do
Nascimento em 2009, intitulada “Os contextos explorados no ensino da função afim
nos livros de matemática do Ensino Médio.” O objetivo da referida pesquisa foi
estudar os contextos explorados no ensino da função afim por meio de análise de
livros de Matemática do primeiro ano do Ensino Médio. A autora concluiu que as
questões investigadas não refletem as discussões atuais, mas sim defendem um
ensino baseado no princípio da interdisciplinaridade e em uma diversidade de
contextos.
Pesquisamos também a Universidade Estadual Paulista – UNESP e a
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP e verificamos que não havia
nenhuma dissertação ou tese diretamente relacionada ao nosso estudo.
Diante dessas constatações, decidimos citar os trabalhos mencionados até o
momento porque, de algum modo, eles estão associados a nossa pesquisa, seja por
tratar da transição Ensino Médio e Superior, seja por abordar as noções de função
ou função quadrática ou equação do 2º grau. Além disso, esse levantamento nos
permitiu mostrar o ineditismo da nossa pesquisa e, ao mesmo tempo, a importância
da escolha de estudar, mais particularmente, a transição para a noção de função
quadrática, considerando o trabalho realizado seja com a própria função, seja com
31
os elementos que servem de ferramenta para as tarefas que exigem o emprego da
mesma, isto é, compreender as diferentes formas de tratamento quando se introduz
a função quadrática e suas ferramentas nos Ensinos Fundamental, Médio e
Superior.
Em relação aos trabalhos sobre transição secundária e superior encontrados
em artigos publicados em revistas e congressos internacionais, destacamos os de
Ghislaine Gueudet (2008) “Secondary-tertiary transition and evolutions of didactic
contract: the example of duality linear álgebra” ou “Investigating the secondarytertiary transition, Educational Studies in Mathematics”. Gueudet (2008) concluiu sua
habilitação para dirigir pesquisas em 2008 e considera a transição entre o Ensino
Médio e Superior por meio das dificuldades colocadas pelo ensino de Álgebra Linear
no início da universidade.
Esse trabalho lhe conduziu a distinguir diferentes formas de olhar para a
transição, as quais, por sua vez, levaram à proposição de ações didáticas diferentes.
Essas distintas formas de tratamento da transição são classificadas em:

Modos de pensar que correspondem, mais particularmente, aos
trabalhos de Gray et al. (1999) e Dubinsky (1991). Como um exemplo
relacionado à nossa pesquisa, podemos considerar as técnicas de
solução desenvolvidas no Ensino Fundamental, em especial a
técnica de Bhaskara e a introdução da forma canônica que também é
utilizada como técnica para resolver uma equação do segundo grau,
mas
esta
última
exige
saberes
mais
complexos
e,
consequentemente, novas formas de pensar.

Organização
dos
conhecimentos
que
corresponde
a
uma
reorganização da rede de conhecimentos. Nesse caso, a autora
considera os trabalhos de Rey et al. (2003) e Battie (2003). Como
exemplo, podemos considerar a organização das diferentes formas
de tratamento das equações que, ao serem utilizadas como
ferramentas para o desenvolvimento do estudo das funções no
Ensino Médio, permitem a identificação do conhecimento necessário
32
para a solução de tarefas mais especificas, como a construção do
gráfico de uma função quadrática, utilizando apenas três pontos.

Linguagem e modos de comunicação dos matemáticos, o que
corresponde à nova linguagem e novas exigências de rigor. Para
isso, a autora evidência os trabalhos Nardi e Iannone (2005), Berger
(2004), Robert (1998), Durand-Guerrier e Arsac (2003), Dreyfus
(1999). Aqui também como exemplo podemos considerar o esboço
do gráfico de uma função quadrática que, no Ensino Fundamental, é
tratado por meio da passagem do ostensivo de representação tabela
para o ostensivo de representação gráfica, mas que, no Ensino
Médio, em geral, é desenvolvido considerando a variação dos
coeficientes da função e a alteração provocada no gráfico da mesma.
Para isso, em geral, utiliza-se a representação da função por meio de
sua forma canônica.

Institucional que corresponde às novas expectativas institucionais.
Para essa maneira de considerar a transição, a autora se refere aos
trabalhos de Bosch e al. (2004), Praslon (2000), Castela (2004),
Artigue (2004). Como exemplo, podemos considerar as novas
propostas curriculares para os Ensinos Fundamental e Médio que
vêm sendo implementadas no Brasil após o decreto de 1996, o qual
estabeleceu as diretrizes e bases para a Educação Nacional.
Destacamos a existência de trabalhos que tratam, mais especificamente, das
dificuldades dos estudantes do Ensino Superior nas disciplinas de Álgebra Linear e
Cálculo Diferencial e Integral para as pesquisas nacionais e Álgebra Linear e Análise
Matemática para as pesquisas internacionais.
As
pesquisas
internacionais
sobre
Análise
Matemática
tratam
mais
especificamente dos conceitos de soma finita e séries, tendo sido desenvolvidas por
González-Martín et al. (2009), Kidron (2002), Mamoma (1990) e Robert (1982).
33
Destacamos a pesquisa de Artigue (2004) que, ao analisar as condições do
ensino universitário na França, identifica muitos desafios e ressalta a massificação
do ensino, a defasagem em relação ao secundário e a evolução tecnológica como
problemas que merecem a atenção dos pesquisadores de Educação Matemática.
Essa pesquisa corresponde ao modo de olhar institucional.
Para as pesquisas de Álgebra Linear, identificamos os trabalhos de Artigue e
Dias (1995), Dorier (1993), Rogalski (1990), Rogalski, Robert, Dorier e Robinet
(1992), Hillel et Sierpinska (1994), Sierspinska, Defense, Khatcherian e Sadanha
(1997) que, em geral, correspondem a estudos sobre novas formas de tratamento
das noções de Álgebra Linear desenvolvidos em outros países.
Em relação ao contexto brasileiro, identificamos as pesquisas abaixo que
foram realizadas no mesmo projeto que se insere a presente pesquisa, isto é, o
projeto CAPES-COFECUB sobre a transição Ensino Médio e Superior. Esses
trabalhos se inserem no olhar institucional e na organização dos conhecimentos.

Sérgio Destácio Faro (2010) com o título “Os conhecimentos
supostos disponíveis na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior:
O caso da noção de sistemas de Equações Lineares”, cujo objetivo foi
estudar a noção de sistemas de equações lineares na transição entre o
Ensino Médio e Superior, bem como verificar se as dificuldades dos
estudantes do Ensino Superior em relação a esse objeto matemático estão
associadas à falta de conhecimentos prévios que, em geral, são supostos
disponíveis pelos professores do Ensino Superior.

Fábio Simião (2010), sob o título “A noção de matriz na transição
entre o Ensino Médio e o Superior”, cujo objetivo foi identificar, por meio de
uma análise documental, as propostas para as diferentes relações
institucionais esperadas e existentes para o tratamento das noções de
matrizes, suas operações e propriedades.
34

Elizabeth Fraccaroli Jammal (2011): “Os ostensivos e não ostensivos
utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio”,
cujo objetivo foi identificar os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo
das noções de ponto e reta no plano, quando se introduz as primeiras noções
de Geometria Analítica no Ensino Médio.
Ainda na UNIBAN encontramos a dissertação de mestrado de Anna Luisa de
Castro (2011): Tecnologias digitais da informação e comunicação no ensino de
funções
quadráticas:
Contribuições
para
compreensão
das
diferentes
representações. Mesmo se tratando do estudo das funções quadráticas, o objetivo
do trabalho é delinear estratégias, recursos e metodologias a serem utilizadas nos
cursos de formação continuada, visando favorecer a inserção das Tecnologias
Digitais da Informação e Comunicação. O referencial teórico central é a noção de
registro de representação semiótica de Duval (1995) e a metodologia utilizada foi a
construção de situações didáticas que foram desenvolvidas por meio de oficinas. A
autora conclui que a metodologia das oficinas e as situações didáticas utilizadas
revelaram ser um caminho favorável para a formação de professores em contextos
semelhantes, pelo fato de potencializar a reconstrução dos conhecimentos sobre o
ensinar e aprender Matemática.
Certamente, existem outros trabalhos que tratam a respeito da transição, mas
apresentamos acima apenas os mais diretamente associados à nossa problemática
de pesquisa. Esse recorte nos permitiu considerar a inexistência de pesquisas
diretamente
associadas
às
questões
institucionais
e
à
organização
dos
conhecimentos no processo de ensino e aprendizagem da noção de função
quadrática, o que, como mencionamos, justifica e mostra a importância dessa
proposta de pesquisa.
Assim, na sequência, apresentamos as questões que conduziram a
problemática desta pesquisa.
35
1.2 QUESTÕES INICIAIS E PROBLEMÁTICA DA PESQUISA
Iniciamos esta pesquisa com a seguinte questão: “O estudo das relações
institucionais esperadas e existentes para o ensino e aprendizagem da noção de
função quadrática pode auxiliar a compreender quais as tarefas trabalhadas no
Ensino Médio podem servir de apoio ao trabalho com esta função no Ensino
Superior?” Tal questionamento inicial nos conduziu a duas questões mais precisas
que possibilitaram definir a problemática da pesquisa:
“Quais as relações institucionais existentes para o ensino e aprendizagem da
noção de função quadrática e como elas se articulam com as mesmas relações para
a noção de equação do 2º grau desenvolvida no Ensino Fundamental e a noção de
derivada no Ensino Superior?” e “Quais conhecimentos desenvolvidos no Ensino
Médio podem servir de apoio ao trabalho com a função quadrática no Ensino
Superior, em particular, quando se considera a noção de derivada de uma função
polinomial?”
Ressaltamos que as relações institucionais desenvolvidas no Ensino
Fundamental, quando se introduz a noção de equação do 2º grau , servem como
ferramentas explícitas para a resolução de tarefas associadas à noção de função
quadrática. Essas duas noções, por sua vez, serão novas ferramentas para o estudo
da noção de derivada das funções polinomiais, uma vez que podemos criar imagens
mentais, utilizando a função quadrática que auxiliam no estudo das propriedades de
funções polinomiais de grau maior que dois quando se utiliza a noção de derivada.
Assim, nos parece importante compreender quais os conhecimentos desenvolvidos
no Ensino Médio que podem servir de apoio para o estudo das propriedades das
funções polinomiais por meio da noção de derivada de uma função.
Observamos que o estudo das funções quadráticas não se dissocia do estudo
das equações do 2º grau, uma vez que as últimas servem de ferramenta para a
determinação do zero da função. Além disso, a função quadrática é um exemplo que
permite articular os conhecimentos associados à noção de derivada no Ensino
Superior, dando uma imagem mental do conceito propriamente dito e de suas
36
propriedades, o que poderá auxiliar a compreender o trabalho a ser realizado com
as outras funções.
Dessa forma, a problemática da pesquisa corresponde ao estudo das
relações institucionais existentes nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior para
verificar que conhecimentos desenvolvidos em cada etapa podem ser considerados
como conhecimentos prévios mobilizáveis ou disponíveis. A partir disso, busca-se
compreender como estes servir de apoio para a introdução de novos conhecimentos
nas etapas que se sucedem.
Ressaltamos ainda que a escolha de trabalhar com a noção de função
quadrática se deve sobretudo a sua aplicabilidade em diferentes contextos e em
outras ciências no Ensino Superior, o que exige que os estudantes avancem em
termos das possíveis abordagens dadas à noção em cada etapa escolar. Ao mesmo
tempo, as formas de raciocínio desenvolvidas nos Ensinos Fundamental e Médio
podem ser aplicadas em tarefas de diferentes disciplinas, incluindo a matemática no
Ensino Superior. Daí a importância de compreender essas diferentes formas de
pensar, as diferentes organizações dos conhecimentos, as diferentes maneiras de
comunicá-los e as expectativas institucionais.
Observamos, assim, que nossa proposta de análise dos diferentes modos de
pensar, das possíveis organizações e dos modos de comunicação foram realizadas
por meio da identificação das expectativas institucionais para o desenvolvimento das
noções de função quadrática e equação do 2º grau nos Ensinos Fundamental, Médio
e Superior.
Dessa forma, nosso problema corresponde a identificar as propostas atuais
para o trabalho com a noção de equação do 2º grau e função quadrática no Ensino
Fundamental e Ensino Médio. Além disso, buscamos verificar como elas podem ser
utilizadas enquanto ferramentas disponíveis para o trabalho com a noção de
derivada de funções, em particular as funções polinomiais no Ensino Superior.
Delineada a problemática da pesquisa, retomamos, a seguir, o objetivo geral
deste trabalho.
37
1.3
OBJETIVOS DA PESQUISA
O objetivo geral da pesquisa é compreender quais as relações institucionais
que sobrevivem atualmente quando se introduz as noções de equação e função
quadrática e o que pode ser considerado como conhecimento prévio disponível no
início do Ensino Superior. Para essa compreensão, consideramos necessário
identificar as organizações matemáticas e didáticas existentes nas atuais propostas
institucionais para o processo de ensino e aprendizagem das noções de função
quadrática e equação do 2º grau no Ensino Médio e Fundamental e as
possibilidades de utilizar esses conhecimentos como conhecimentos prévios
disponíveis para o estudo da noção de derivada de funções, em particular funções
polinomiais no Ensino Superior.
A partir desse objetivo mais amplo, ressaltamos os seguintes objetivos
específicos.
 O estudo da equação do 2º grau no Ensino Fundamental e da função
quadrática
no
Ensino
conhecimentos que
Médio
podem
ser
para
compreender
melhor
quais
os
considerados como mobilizáveis ou
disponíveis pelos estudantes quando ingressam no Ensino Superior.
 A identificação das relações institucionais esperadas, considerando as
organizações matemáticas, didáticas e pedagógicas propostas para o ensino
e aprendizagem da noção de equação do 2º grau no Ensino Fundamental e a
noção de função quadrática no Ensino Médio, via documentos oficiais.
 A identificação das relações institucionais existentes para o ensino e a
aprendizagem da noção de equação do 2º grau e função quadrática, via livros
didáticos.
 A verificação da existência da coerência entre as relações institucionais
esperadas e existentes e qual a possibilidade do trabalho a ser efetuado na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I dos cursos de Licenciatura
Matemática do Ensino Superior, considerando os conhecimentos sobre as
noções de equação do 2º grau e função quadrática desenvolvidos nos
Ensinos Fundamental e Médio.
38
Para o desenvolvimento da pesquisa, consideramos a metodologia descrita a
seguir.
1.4 METODOLOGIA DA PESQUISA
Por se tratar de uma pesquisa de identificação das relações institucionais
esperadas e existentes, em particular das organizações didáticas e matemáticas que
se supõe estarem sendo trabalhadas atualmente, classificamos nosso trabalho como
uma pesquisa documental.
Para
identificar
as
relações
institucionais
esperadas,
utilizamos
os
documentos oficiais para os Ensinos Fundamental e Médio: Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Fundamental – PCN (BRASIL, 1997) para o Ensino
Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM
(BRASIL, 2000), Parâmetros Curriculares Nacionais + – PCN + (BRASIL, 2002),
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e, para o Ensino
Superior: Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática (DCNCM)
e os planos de ensino da disciplina de Introdução ao Cálculo e Cálculo Diferencial e
Integral I de duas universidades públicas e duas universidades privadas.
As relações institucionais existentes são analisadas por meio de livros
didáticos indicados pelo Guia dos Livros Didáticos – (PNLD – 2008) para o Ensino
Fundamental, a obra que escolhemos para análise é: Tudo é Matemática, de Luiz
Roberto Dante (2008). O Catálogo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio
– (PNLEM – 2009), as obras escolhidas são: Matemática – Ensino Médio – volume
1, de Kátia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz (2010); e Matemática – volume único,
de Luiz Roberto Dante (2009). Para o Ensino Superior, a obra escolhida é Cálculo –
volume 1, de James Stewart (2000).
Para a seleção das obras do Ensino Médio que estudamos, utilizamos os
autores que foram avaliados os seus livros pela proposta apresentada pelo PNLEM
– (BRASIL, 2008). Este classificou os pontos fortes e fracos de cada obra para as
noções consideradas nesta pesquisa.
39
Quanto ao Ensino Superior, escolhemos analisar o livro de Cálculo de Stewart
(2000), escolhido por ser uma obra, em geral, adotada na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I tanto para os cursos de Licenciatura como para os outros
cursos das ciências exatas. Isso se confirma porque essa obra é recorrente nos
diferentes cursos por meio da bibliografia básica ou complementar.
Para o levantamento dos diferentes tipos de tarefas usuais na transição entre
o Ensino Fundamental e Ensino Médio e o Ensino Médio e Ensino Superior, quando
consideramos a noção de função quadrática e equação do 2º grau, construímos uma
grade de análise, inspirada na grade de Dias (1998) que serve de instrumento para
identificar tanto as organizações matemáticas e didáticas existentes como as
expectativas em termos de conhecimentos prévios esperados dos estudantes na
passagem de uma etapa escolar para a outra. Essa grade foi construída
considerando o referencial teórico escolhido para a pesquisa.
O estudo foi desenvolvido considerando as etapas a seguir:
1. Estudo
bibliográfico
dos
trabalhos
de
pesquisa
existentes,
estudo
bibliográfico sobre a transição entre o Ensino Médio e o Superior e os
trabalhos de função quadrática e equação do 2º grau.
2. Escolha e estudo do referencial teórico adotado como ferramenta de análise
para a pesquisa.
3. Estudos
dos
documentos
oficiais
para
identificação
das
relações
institucionais esperadas.
4. Construção da grade de análise.
5. Análise das organizações matemáticas e didáticas existentes por meio da
grade de análise construída com esse objetivo via material didático escolhido
para esse fim.
6. Análise
comparativa
dos
resultados
institucionais esperadas e existentes.
encontrados
para
as
relações
40
1.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Observamos, nas pesquisas brasileiras encontradas, que a questão da
transição é pouco considerada nos trabalhos existentes. Muitas dessas pesquisas
utilizam como referencial teórico central a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Duval (1995) e a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1998).
Ressaltamos ainda em relação às pesquisas brasileiras que não foram
desenvolvidas investigações no mesmo sentido do projeto desse trabalho. Nesse
sentido, podemos dizer que apenas um estudo, de Mariani (2006), “Transição da
educação básica para o ensino superior: a coordenação de registros de
representação e os conhecimentos mobilizados pelos alunos no curso de cálculo”
trata explicitamente a questão da transição entre o Ensino Médio e Superior, Mariani
(2006) considera outras funções e não especificamente o estudo da função
quadrática e suas propriedades, além disso ela não faz a relação entre o trabalho já
desenvolvido no Ensino Fundamental e o que se espera como conhecimento prévio
disponível no Ensino Superior.
Ainda entre os trabalhos brasileiros encontrados, destacamos os de Andrade
(2006) e Gouveia (2007), sob os títulos respectivamente “Possibilidades de
articulação entre as diferentes formas de conhecimento: a noção de função afim” e
“Estudo do intervalo sobre IR a partir de situações contextualizadas aplicadas ao
Ensino Médio e Superior”. Ambos os estudos fizeram ou estiveram baseados em
alguns referenciais teóricos que utilizamos nesta pesquisa, sendo também
orientados pela grade de análise elaborada por Dias (1998), com o objetivo comum
de analisar as relações institucionais esperadas e existentes. Essas pesquisas
mostraram que as relações institucionais esperadas e existentes são coerentes e
que possibilitam a articulação entre os conhecimentos matemáticos para a própria
matemática e para situações contextualizadas das outras ciências e da vida
cotidiana.
Andrade (2006) mostra, por meio da análise das questões do SARESP (2005)
para um grupo de estudantes do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo,
que as relações pessoais desenvolvidas por esses mesmos estudantes estão muito
41
aquém do trabalho institucional indicado para ser desenvolvido. O mesmo ocorre no
estudo de Gouveia (2007) que, após intervenções com estudantes do terceiro ano
do Ensino Médio sobre a noção de intervalo sobre IR, concluiu que os discentes
apresentam dificuldades associadas aos conceitos de números racionais e
irracionais, suas operações, propriedades e representações, em particular, à
representação de um número racional sobre a reta real.
Em geral, os outros trabalhos citados trataram mais especificamente da
aplicação de uma sequência didática ou um teste diagnóstico para um determinado
grupo de estudantes tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior como, por
exemplo, as pesquisas de Fabiana Machado de Borba (2008), “Jogos matemáticos
para o ensino de função” e a de Sérgio Aparecido Santos (2009), “Ambiente
informatizado: para o aprofundamento da função quadrática por alunos da 2ª série
do Ensino Médio”.
As pesquisas internacionais sobre a transição são tratadas de um ponto de
vista mais teórico, como a de Gueudet (2008), ou visam uma noção que é objeto de
estudo do Ensino Superior, como os trabalhos de Gray et al. (1999), Dubinsky
(1991), Rey et al. (2003) e Battie (2003), Nardi e Iannone (2005), Berger (2004),
Robert (1998), Durand-Guerrier e Arsac (2003), Dreyfus (1999). Bosch e al. (2004),
Praslon (2000), Castela (2004), Artigue (2004), há outros trabalhos que focam
Análise Matemática, tais como os de González-Martín et al (2009), Kidron (2002),
Mamoma (1990), Robert (1982), Artigue (2004), e trabalhos em Álgebra Linear,
como Artigue e Dias (1995), Dorier (1993), Rogalski (1990), Hillel et Sierpinska
(1994), Sierspinska, Defense, Khatcherian e Sadanha (1997), mostrando as
dificuldades dos estudantes do Ensino Superior quando se introduz uma
determinada noção matemática.
Encontramos apenas os trabalhos de Faro (2010), Simião (2010) e Jammal
(2011) que consideraram o estudo comparado. Neles, aparece o que se espera que
tenha sido desenvolvido no Ensino Médio e qual a perspectiva de se apoiar nesses
conhecimentos para a introdução novos conceitos no Ensino Superior para as
noções de sistemas de equações lineares, matrizes e suas operações e as noções
de ponto e reta no plano, respectivamente.
42
Em vista disso, mesmo se os trabalhos acima se encontram no contexto do
mesmo projeto, nossa pesquisa estende o desenvolvimento deste, pois nela
consideramos também os conhecimentos trabalhados no Ensino Fundamental e,
dessa forma, articulamos a noção de função quadrática desenvolvida no Ensino
Médio
com
as
ferramentas
do
Ensino
Fundamental
que
servem
como
conhecimentos prévios para essa articulação. Além disso, consideramos também
que ferramentas desenvolvidas tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio
podem servir de conhecimentos prévios mobilizáveis e disponíveis para a disciplina
de introdução ao Cálculo no Ensino Superior.
Para que possamos cumprir com os objetivos apresentados, no capítulo que
segue, apresentamos uma breve discussão do referencial teórico escolhido para o
desenvolvimento da pesquisa.
43
CAPÍTULO 2
REFERENCIAL TÉORICO
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O objetivo geral da pesquisa é estudar como são trabalhados, nos Ensinos
Fundamental e Médio, os conhecimentos sobre noção de equação quadrática e
função quadrática, de forma a verificar aqueles que podem ser considerados como
conhecimentos prévios disponíveis para apoiar o trabalho matemático a ser
desenvolvido na transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior. Para
desenvolver o trabalho e atingir o objetivo descrito, escolhemos como referencial
teórico central a Teoria Antropológica do Didático, de Chevallard (1992, 1994),
particularmente a noção de organizações praxeológicas ou praxeologias e as
noções de ostensivos e não ostensivos.
Essa
teoria
nos
permite
compreender
as
diferentes
organizações
matemáticas e didáticas, isto é, as escolhas sobre o próprio objeto matemático e
didático, as práticas e as escolhas teóricas para se trabalhar com um determinado
objeto matemático. Tal compreensão ocorre por meio da identificação dos tipos de
tarefas e de técnicas que correspondem ao bloco prático, às tecnologias ou aos
discursos sobre as técnicas e teorias que correspondem às tecnologias das
tecnologias.
Além das organizações praxeológicas ou praxeologias, esta pesquisa é
sustentada pelo trabalho de Bosch e Chevallard (1999), no que diz respeito aos
ostensivos e não ostensivos. Conta-se também enquanto referencial teórico de
apoio com a abordagem teórica de Douady (1984, 1992), em particular, as noções
de quadro e mudança de quadro, bem como a de Robert (1997, 1998), sobre os três
níveis de conhecimento esperados dos estudantes.
Bosch e Chevallard (1999) mostram que é por meio da noção de ostensivo
que se manipulam as técnicas e que se estabelece o discurso tecnológico ou
44
tecnologia, utilizados tanto para justificá-las como para desenvolvê-las. O mesmo
ocorre com as teorias em que são os ostensivos que descrevem os não ostensivos
em jogo nos diferentes tipos de tarefas que podemos propor aos estudantes em
relação a um conteúdo específico.
Observamos que Douady (1984, 1992) introduz a noção de quadro em uma
perspectiva de teorização didática. A autora ressalta que um objeto matemático
funciona, a princípio, como ferramenta implícita, se ele corresponde a um conceito
em elaboração. Em seguida, torna-se uma ferramenta explícita, quando ele
corresponde a uma utilização intencional de um objeto para resolver um problema, o
que faz com que ele adquira o caráter de objeto matemático do saber.
A partir da noção de ferramenta e objeto, a autora introduz as noções de
dialética, ferramenta, objeto, quadro e mudança de quadros. Esses conceitos
possibilitam identificar as escolhas de imagens mentais em função das
problemáticas propostas para o desenvolvimento de um determinado conteúdo
matemático.
Para melhor compreender as expectativas institucionais em relação ao
trabalho matemático a ser desenvolvido com os estudantes, quando do
desenvolvimento de determinadas noções e conceitos matemáticos, consideramos
também a abordagem teórica em termos dos três níveis de conhecimento esperados
dos estudantes, conforme definição de Robert (1997, 1998). Essa abordagem
permite estudar os diferentes níveis de tratamento de determinado objeto
matemático, a saber: técnico, mobilizável e disponível.
Na sequência, apresentamos uma breve descrição da teoria antropológica do
didático dando ênfase às noções escolhidas para as análises propostas nesta
pesquisa, destacando a importância dos mencionados estudos em nosso trabalho.
45
2.2 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
A Teoria Antropológica do Didático – TAD, de Chevallard (1992, 1994), é,
como dissemos, o nosso referencial teórico central. Chevallard, ao iniciar seu
trabalho, ressalta o fato de que, como toda atividade humana, a atividade
matemática é composta de organizações praxeológicas ou praxeologias. Em outras
palavras, significa que ela é formada a partir de um conjunto de tipos de tarefas e
técnicas utilizadas em determinadas práticas que são justificadas e contratadas por
meio de tecnologias e teorias que lhe são associadas, dependendo das escolhas
efetuadas para o desenvolvimento do trabalho a ser realizado.
Diante
dessas
considerações,
percebemos
que
a
identificação
das
praxeologias trabalhadas nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, em relação a
um
determinado
conteúdo
matemático,
permite-nos
compreender
quais
conhecimentos prévios desenvolvidos nas diferentes etapas escolares podem ser
supostos mobilizáveis ou disponíveis. Em consequência, essa verificação pode
servir de precursora para a introdução de novos conhecimentos nas etapas
posteriores.
Quanto à noção de praxeologia, ressaltamos ainda que, para Chevallard
(1995, 1996, apud DIAS, 1998), a atividade matemática é composta por certo
número de tarefas, assim como toda atividade humana. Sendo assim, para cumprir
tais tarefas, são desenvolvidas as técnicas que, para se tornarem viáveis, devem ser
compreensíveis e justificáveis, dando lugar ao desenvolvimento das “tecnologias” ou
ao discurso tecnológico. Estas, por sua vez, são objetos de novas tecnologias, que
Chevallard identifica como teorias.
Chevallard (1991, 1992) e Bosch e Chevallard (1999) promulgam que o
objetivo da TAD, para a qual a transposição didática é um caso particular, é articular
noções que permitam pensar de maneira unificada um grande número de
fenômenos didáticos encontrados no decorrer de múltiplas análises.
Sendo assim, para melhor compreender os elementos que compõem a TAD,
enfatizamos que Chevallard (1992) introduz os termos primitivos: objeto (O),
46
pessoas (X) e instituições (I), sendo que, para ele, tudo é objeto e este constitui o
material de base para a teoria. A partir do termo primitivo objeto e de sua relação
com os termos pessoas e instituições, o teórico define relação pessoal e relação
institucional ao objeto O, ou seja, um objeto O existe quando pelo menos uma
pessoa X ou uma instituição I tem relação com esse objeto. Exemplo: A função
quadrática é um objeto matemático, mas existem também os objetos “escola”,
“professor”, “aprender”, “saber”, “dor de dente”, etc.
Para Chevallard (1992), conhecer um objeto O é, tanto para uma pessoa
como para uma instituição, ter uma relação com O. Esta explicação nos permite
verificar as definições, respectivamente, de relação pessoal e institucional, as quais
possibilitam que o autor considere como exemplo de instituições I: uma escola, uma
classe, um tutorial, um curso, uma família, um documento oficial, um livro didático ou
um material didático. Em suma, a articulação entre objetos e instituições acontece
quando a instituição define uma relação institucional com um determinado objeto.
Avançando no desenvolvimento da teoria, Bosch e Chevallard (1999) colocam
em evidência que o objeto essencial de estudo da teoria não é o aprendiz nem o
professor, mas o saber matemático. Este presume que os outros dois irão estudar,
em conjunto, e as atividades matemáticas que seus projetos comuns os conduzem a
realizar. Nesse sentido, cabe-nos salientar que nossa pesquisa procura colocar em
evidência quais as características desse saber relacionadas ao objeto função
quadrática, bem como demonstrar o modo como são desenvolvidas nos Ensinos
Fundamental, Médio e Superior e como se espera que sejam articulados os
conhecimentos desenvolvidos nessas etapas escolares.
Faz-se importante ponderar,segundo Bosch e Chevallard (1999), a respeito
do fato de que o “mistério” da didática da matemática está na matemática e, além
disso, os autores consideram que o objeto de estudo da TAD não está dentro de
uma determinada instituição de ensino, mas nas práticas matemáticas do conjunto
de instituições da sociedade. Isto nos conduziu à análise documental de livros
didáticos e documentos oficiais.
47
Observamos que todas as formas de prática da matemática são consideradas
como instituições. Bosch e Chevallard (1999) propõem os seguintes exemplos: os
grupos específicos de matemáticos, uma orientação sobre como desenvolver a
matemática, um curso desenvolvido em um livro ou em uma apostila, um curso
desenvolvido por um professor, uma aula, etc.
Esse raciocínio conduz Bosch e Chevallard (1999) a introduzirem o que
denominam modelagem antropológica da matemática, a qual permite analisar se um
sujeito ou uma instituição conhece um objeto e sabe o que fazer com ele. Isto
porque a modelagem antropológica possibilita a identificação das diferentes
organizações matemáticas e didáticas. Em outras palavras, permite visualizar as
escolhas sobre o próprio objeto matemático e a forma como trabalhá-lo, bem como
as práticas indicadas para introduzir e desenvolver esse objeto.
Observamos ainda que, para Bosch e Chevallard (1999), toda prática
institucional pode ser analisada de diferentes pontos de vista e de distintas maneiras
por um sistema de tarefas relativamente bem circunscrito. Este se divide no fluxo da
prática, por meio do conjunto de praxeologias indicadas para o desenvolvimento de
uma determinada ação. As práticas, por sua vez, são compostas de tipos de tarefas
e técnicas que, para serem executadas, fazem apelo a dois tipos de objetos: os
ostensivos e os não ostensivos.
Essas reflexões conduzem Bosch e Chevallard (1999) a definirem os objetos
ostensivos ou as representações externas como sendo aqueles que têm para nós
uma forma material sensível, que permitem manipular as técnicas. Chevallard (1994)
considera os seguintes exemplos de ostensivos: os ostensivos gestuais, discursivos,
gráficos e escriturais. No entanto, na manipulação dos ostensivos, é preciso evocar
as noções, os conceitos e as ideias que justificam esse trabalho. Os objetos
matemáticos utilizados nessa evocação são denominados pelos autores de não
ostensivos.
Bosch e Chevallard (1999) observam ainda que existe uma dialética
necessária entre ostensivos e não ostensivos. Isto porque os ostensivos são
48
manipulados por meio de regras, cuja distinção é feita pelos não ostensivos,
enquanto os não ostensivos são evocados por meio da manipulação dos ostensivos.
Dessa forma, são as noções de ostensivos e não ostensivos que permitem
estabelecer o que os autores denominam discurso tecnológico ou tecnologia, o qual
é utilizado tanto para justificar as técnicas empregadas, como as justificativas para
essas tecnologias. Estas os autores denominam teorias, pois as definições acima
colocam em evidencia que, a todo ostensivo, está associado um não ostensivo que
o sustenta e vice-versa.
Verificamos ainda que Faro (2011), ao se referir às noções de ostensivos e
não ostensivos, ressalta o fato de que, segundo Chevallard (1994), essas duas
noções são essenciais para a realização de tarefas. Isto porque tais conceitos estão
associados a uma determinada prática institucional que permite compreender a
importância das diferentes técnicas que podem ser empregadas
para o
desenvolvimento de uma determinada tarefa, uma vez que se justifica e controla o
trabalho matemático em jogo por meio de um discurso tecnológico adequado. Por
exemplo, ao considerar a seguinte tarefa sobre a noção de função quadrática:
Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será
construída tem 80 m de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a
área de sua região deve ser a maior possível.
Figura 1: Exemplo de tarefa, técnica e tecnologia e de Ostensivo e não ostensivo. Fonte: (DANTE,
2009, p.87)
Esta atividade pode ser planejada, executada, justificada e controlada por
meio
das
possíveis
abordagens
institucionalmente
propostas
para
o
desenvolvimento da noção de função quadrática. Isto permitirá a escolha da técnica
mais adequada e dos ostensivos e não ostensivos culturais que sustentam as
técnicas indicadas.
A noção de praxeologia definida por Bosch e Chevallard (1999) afirma que o
bloco prático corresponde ao “saber como fazer”, isto é, aos diferentes tipos de
tarefas e técnicas. Com relação ao exemplo acima, estes podem ser considerados
49
como uma tarefa do tipo: situação extramatemática modelada por meio de uma
função quadrática, cuja técnica usual corresponde a: desenhar um retângulo e
identificar seus lados, utilizando o perímetro dado; determinar a área do retângulo e
identificar a uma função quadrática; e utilizar a noção de vértice para maximizar a
função. Todavia, podemos constatar que existem outras técnicas para resolver esse
mesmo tipo de tarefa, as quais dependem dos ostensivos e não ostensivos
trabalhados nas diferentes etapas escolares.
Uma vez desenvolvida a tarefa, utilizamos o bloco teórico. Este diz respeito
ao “saber descrever, explicar e justificar as técnicas”, isto é, descrever a tecnologia e
a teoria associada à técnica empregada. No exemplo considerado, a tecnologia
consiste em considerar o semiperímetro e multiplicar o lado x por (40 – x), obtendo,
assim, uma função quadrática para a qual aplicamos a fórmula do vértice em função
da variável x, determinando que o terreno deve ser quadrado, com 20 metros de
lado. O estudo da função quadrática, suas propriedades e suas representações é a
teoria utilizada. Em outras palavras, os ostensivos de representação algébrico e
gráfico da função quadrática devem ser manipulados no desenvolvimento da tarefa.
Assim, analisando esse exemplo na perspectiva da TAD, de Chevallard
(1992, 1994) e Bosch e Chevallard (1999), o enunciado é apresentado por meio do
ostensivo de representação em língua natural no qual são evocadas as noções de
perímetro e área. Para a solução dessa tarefa, é indicado fazer o desenho de um
retângulo a fim de identificar os seus lados, o que corresponde à utilização dos
ostensivos de representação figural e algébrica e do não ostensivo perímetro de um
retângulo. Em seguida, aplica-se a noção de área de um retângulo, que deve ser
associada à noção de função quadrática, ou seja, os não ostensivos área de um
retângulo e função quadrática são evocados e, logo após, manipulados por meio dos
ostensivos de representação algébrica que lhe são associados.
O estudo das propriedades da função quadrática que podem ser manipuladas
por meio dos ostensivos de representação algébrica e gráfica permite identificar o
máximo dessa função por meio do não ostensivo de representação algébrica do
vértice. Este, ao ser determinado, deve ser substituído nos lados da figura a fim de
50
identificar que o não ostensivo que deve ser evocado para os ostensivos figural
considerado é o quadrado.
Para melhor compreender a praxeologia associada a uma determinada tarefa,
consideramos como exemplo: situação intramatemática modelada por meio de uma
função quadrática. Apresentamos, a seguir, a tarefa particular, suas respectivas
técnica, tecnologia e teoria.
Tarefa: Uma região retangular tem 42 cm de perímetro e 104 cm2 de área. Quais são as
dimensões dessa região retangular? (DANTE, 2008, p. 67).
Técnica: Determinar as equações correspondentes aos dados perímetro e área. A partir das
duas equações, encontrar a função quadrática (função área) e resolver a equação do
segundo grau.
Tecnologia: Considerar x como comprimento e y como largura e determinar a equação x +
y = 21 (comprimento + largura é igual a metade do perímetro). Como se trata de um
retângulo.
Teoria: noção de função quadrática
Figura 2: Exemplo de tarefa, técnica e tecnologia. (Análise desenvolvida pela pesquisadora)
Na sequência, fazemos uma breve apresentação do trabalho de Douady
(1984, 1992) referente às noções de quadro e mudança de quadro.
2.3 NOÇÃO DE QUADRO E MUDANÇA DE QUADRO CONFORME DEFINIÇÃO
DE DOUADY
Douady (1984, 1992) introduz a noção de quadro como ferramenta de análise
didática. Para tanto, a autora propõe uma transposição do trabalho do profissional
da matemática para a didática da matemática.
Segundo Douady (1992), um quadro é constituído de objetos pertencentes a
um determinado domínio da matemática. Assim, em um determinado quadro,
podemos encontrar diversas formulações e relações para um mesmo objeto, de
51
forma a criar imagens mentais relacionadas a esse objeto. Estas são essenciais
para o funcionamento dos objetos dos quadros, pois funcionam como ferramentas
para a solução das possíveis tarefas que podem ser propostas em um determinado
quadro.
Como exemplo, podemos considerar a tarefa que se encontra na figura
abaixo, retirada da obra de Kátia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz (2010, p.128), a
qual tem como sugestão a releitura do exemplo dado para resolver o exercício. No
exemplo, a questão é resolvida, a partir da substituição das três coordenadas
identificadas no gráfico no gráfico na função quadrática y = ax2 + bx + c com a ≠ 0.
Determine a função quadrática representadas pelos gráficos
Figura 3: Exemplo de quadro. Fonte: Stocco & Diniz, 2010, p, 128.
Nesta tarefa, a proposta é a de que o estudante identifique a solução do
sistema proposto nos diferentes quadros. Espera-se, a partir da leitura do gráfico
apresentado, que o estudante identifique as coordenadas do ponto de interseção da
curva com o eixo das ordenadas, isto é, o valor de y para x = 0, o que lhe permite
determinar o valor do coeficiente c para cada uma das funções. Na sequência
substituindo as outras duas coordenadas e o coeficiente c na função quadrática,
encontra-se um sistema de duas equações e duas incógnitas que permite
determinar os outros coeficientes.
52
Desse modo, podemos dizer que, na tarefa acima, espera-se que o estudante
encontre a função quadrática por meio de montagem do sistema e o resolva. Sendo
assim, consideramos que a atividade é enunciada nos quadros gráfico e numérico,
no entanto, apesar da solução também se dar no quadro numérico, ela requer outro
ramo da matemática: o quadro algébrico.
Conforme já colocamos, Douady (1984, 1992), ao transpor a forma de
trabalho do matemático para a didática, define a noção de quadro e isso a conduz a
introduzir o que denomina mudança de quadros. Esta consiste em obter diferentes
formulações para um mesmo problema, de forma a utilizar ferramentas e técnicas
que não se aplicavam na primeira formulação.
Segundo Douady (1984, 1992), ao traduzir um quadro em outro, podemos
recair sobre resultados desconhecidos, encontrar novas técnicas, criar novos
objetos. Isto proporciona o enriquecimento do quadro original e dos quadros
auxiliares no desenvolvimento do trabalho matemático. Para o caso específico da
didática da matemática, as mudanças de quadros organizadas pelo professor são
denominadas jogos de quadros e Douady (1984, 1992) os considera como meios
privilegiados para suscitar desequilíbrios cognitivos e permitir ultrapassar esses
desequilíbrios em reequilíbrios de nível superior. Para o exemplo colocado, cabe ao
professor das diferentes etapas escolares retomá-la e, após, identificar os
conhecimentos disponíveis de seus estudantes, trabalhá-la nas diferentes formas
por meio de mudança de quadros e da utilização dos ostensivos e não ostensivos
adequados.
Considerando o exemplo a seguir, observamos que a noção de equação
quadrática e função quadrática são utilizadas intencionalmente para solucionar um
problema de física. Em outras palavras, trata-se de uma ferramenta explícita para
resolver esse tipo de problema.
53
Um automóvel, partindo do repouso, mantém aceleração constante de 4 m/s² durante 5 s. A
partir daí, mantém velocidade constante durante 10 s, quando começa a frear, variando sua
velocidade em 4 m/s a cada segundo, até parar. Vamos calcular:
a) a distância total percorrida pelo automóvel durante todo o seu percurso;
b) a velocidade média desse automóvel durante esse intervalo de tempo.
Figura 4: Exemplo de quadro e de mudança de quadro. Fonte: (DANTE, 2009, p.87).
Vemos que a tarefa da figura 4 é enunciada no quadro da física, logo, sua
solução exige que o estudante disponha do conhecimento da função do movimento
uniformemente variado (MUV), que é caracterizado pela função quadrática
ou
,
a qual fornece a posição de um objeto
num certo instante t. Nesse caso, a é a aceleração, v é a velocidade inicial (quando
t=0) e c é a posição inicial do objeto. Chamamos de v = v0 + at a velocidade do ponto
(no MUV) no instante t.
No caso específico, não é necessária uma mudança de quadro, mas é preciso
dispor de conhecimentos sobre função quadrática para associar os coeficientes às
noções de espaço inicial, velocidade inicial e aceleração para encontrar a função
afim representada pela velocidade (v = v 0 + at) pedida no item b. Isto porque,
conhecendo a velocidade inicial, a aceleração e o tempo, basta multiplicar
aceleração pelo tempo e somar com a velocidade inicial [essa observação já
aparece na pesquisa de Andrade (2006)]. Porém, para determinar a distância
percorrida, pedida no item a, é necessário dispor de conhecimentos sobre cálculo do
valor numérico de uma função.
Isso nos conduz a considerar que o quadro em que a tarefa é resolvida é
algébrico. Em consequência, o estudante deverá utilizar ferramentas e técnicas
associadas ao quadro algébrico e numérico para poder solucionar o problema
apresentado. Portanto, há a mudança de quadro, quando se associa a função do
espaço e da velocidade em função do tempo na Física com as noções de função
quadrática e afim da matemática, que, conforme Douady (1992), pode ser entendida
como um meio de apresentar uma formulação diferente. Assim, a tarefa consiste em
efetuar a mudança do quadro do contexto da física para o contexto matemático, no
54
qual as ferramentas desenvolvidas no quadro algébrico permitem resolver a
questão, ainda que precisemos destacar que nem sempre essa mudança de
quadros é efetuada.
Para melhor compreender as expectativas institucionais em relação ao
trabalho matemático sobre a noção de função quadrática a ser desenvolvida com os
estudantes nas diferentes etapas consideradas nesta pesquisa, apresentamos, a
seguir, a abordagem teórica em termos dos três níveis de conhecimento esperados
dos estudantes conforme definição de Robert (1997, 1998).
2.4 NÍVES DE CONHECIMENTO ESPERADO DOS ESTUDANTES SEGUNDO
DEFINIÇÃO DE ROBERT
Robert (1997, 1998) parte de uma perspectiva de construção de diferentes
cenários para a introdução e o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos a
serem trabalhados nos Ensinos Médio e Superior, a qual deve ocorrer por meio da
metodologia denominada engenharia didática, que corresponde à didática da
matemática aplicada, com o auxilio dos instrumentos da didática fundamental e dos
resultados da didática, após considerar as práticas dos especialistas (os
matemáticos de profissão). Nessa perspectiva, a autora propõe considerar os níveis
de conceituação, isto é, o campo conceitual de conhecimentos matemáticos que
correspondem a uma organização coerente de uma parte do campo, caracterizada
pelos objetos matemáticos apresentados de uma determinada maneira. Nesse
sentido, consideramos como exemplos de níveis de conceituação em relação à
noção de função quadrática as diferentes formas de tratamento dadas à referida
noção nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, a qual depende dos
conhecimentos dos estudantes e dos saberes que se deseja introduzir.
Na realidade, a proposta de Robert (1997) originou-se do estudo das
pesquisas francesas, a partir do destaque às dificuldades, em geral, enfrentadas
pelos os estudantes e professores do Ensino Médio e do Superior, a saber:
incompreensão do pensamento científico, falta de curiosidade de gerir a classes
55
cada vez mais heterogêneas. Dificuldades estas que, comumente, os professores
brasileiros também apontam em suas discussões e reuniões.
Então, como forma de reduzir algumas dessas dificuldades, Robert (1997,
1998) esclarece que, quando se trata de desenvolver as matemáticas escolares, há
necessidade de considerar os conhecimentos dos estudantes e suas experiências
sobre o trabalho que lhes será destinado. Além disso, a teórica ressalta a
importância do trabalho em casa, mas lembra de que não devemos esperar que tudo
possa ser visto fora da sala de aula. Isso nos conduz a considerar a importância dos
conhecimentos prévios dos estudantes e sua experiência de trabalho com a
matemática.
Robert (1997, 1998) coloca também em evidência o fato de que, para as
classes científicas do “lycèe” francês, em geral, os conhecimentos prévios
desenvolvidos
não
são
suficientes
para
o
desenvolvimento
dos
novos
conhecimentos que devem ser introduzidos no Ensino Superior, em particular
quando nos referimos às necessidades quanto à linguagem e ao modo de
comunicação dos matemáticos, conforme classificação de Gueudet (2008). Robert
chega a essa conclusão, depois de considerar o programa do “lycèe” e identificar os
novos conhecimentos a serem introduzidos na universidade, a saber: as estruturas
algébricas e sua utilização, topologia (conjuntos e formas), noção formal de
convergências, as funções de diferentes variáveis complexas, a análise numérica, os
desenvolvimentos limitados e assintóticos, as séries numéricas e a integração.
Para a análise do conhecimento correspondente às noções e aos modos de
raciocínio, Robert (1997, 1998) introduz quatro dimensões que podem auxiliar o
acesso à complexidade das noções. Em primeiro lugar estão as características
ferramenta, o objeto e os quadros em que a noção se insere, assim como os
diferentes registros que permitem representá-la e suas conversões: ferramentas que
possibilitam elaborar situações de introdução para novas noções, isto é, os quadros
e as representações externas necessárias.
Em segundo as diferentes naturezas das noções para se ensinar; deve-se
conjecturar sobre como introduzir as noções matemáticas para que elas possam ser
56
úteis no panorama matemático já construído pelos estudantes, isto é, introduzir
novos conhecimentos em função dos conhecimentos prévios dos estudantes. Em
terceiro lugar, a autora traz os níveis de conceituação os quais correspondem a uma
organização coerente de um campo conceitual (campo de conhecimentos
matemáticos), isto é, dizem respeito a introduzir novas noções apoiadas nos
conhecimentos das etapas anteriores. A quarta e última dimensão contempla os
níveis de conhecimentos esperados para o funcionamento dos estudantes (técnico,
mobilizável e disponível). Estes estão associados às situações de referência
trabalhadas nas diferentes etapas escolares.
Exposto o percurso de Robert (1997) para introduzir os três níveis de
conhecimento esperados dos estudantes, consideramos a quarta dimensão para
analisar os diferentes tipos de tarefas e das técnicas associadas à noção de função
quadrática para o Ensino Fundamental, Ensino Médio como também para o Ensino
Superior. Observamos que, nesta quarta dimensão, as outras três estão
implicitamente presentes.
O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto, em geral,
associado às definições e ferramentas a serem utilizadas em determinada tarefa. O
estudante encontra, na tarefa, todos os elementos necessários para sua realização.
Os exercícios de fixação de uma definição ou propriedade como, por exemplo,
determinar o valor numérico da função f(x) dado x demonstram essas colocações.
Na sequência, apresentamos a definição de cada nível com um exemplo
específico do nosso objeto de pesquisa, isto é, a noção de função quadrática.
Determine as raízes (ou zeros) reais das funções:
a) f(x) = 10x² - 11x +1
b) f(x) = -4x² + 20x -25
c) f(x) = 6x² - 3x +1
d) f(x) = -x² + 36
e) f(x) = 3x² - 7x
f) f(x) = 5x²
Figura 5: Exemplo de nível de conhecimento técnico. Fonte: (STOCCO & DINIZ, 2010, p.127)
57
Nesta tarefa, basta aplicarmos as técnicas indicadas de soma e produto ou
aplicamos o método para o cálculo das raízes de Bhaskara4. Para isso, identificamos
que o valor de f(x) é igual a zero e recaímos em uma equação do segundo grau.
O nível mobilizável corresponde a resolver uma tarefa por meio da
identificação de um saber que é pedido explicitamente. Nesse caso, é preciso saber
utilizar ferramentas específicas de forma correta e, em alguns momentos, o
conhecimento a ser mobilizado já corresponde a uma determinada organização. Por
exemplo, escrever as coordenadas do vértice e o eixo da parábola para uma função
quadrática dada.
Resolver a inequação
Figura 6: Exemplo de nível de conhecimento mobilizado. Fonte: (DANTE, 2009, p.90)
Na atividade acima, é solicitado explicitamente que se resolva a inequação
quadrática e estude o sinal da mesma. Isto supõe a mobilização da noção de
equação quadrática.
4
Observamos que a identificação da formula para resolver equações de segundo grau, parece ser
denominada fórmula de Bhaskara somente no ensino brasileiro e a partir de 1960, mas segundo
comentário de Hellmeister (1999) na seção de indicação de livros da Revista do Professor de
Matemática.
58
Para resolver esta tarefa, após igualá-la a zero e solucionar, por meio da
fórmula de Bhaskara ou soma e produto, é conveniente construir o gráfico da função
quadrática e analisar qual ou quais intervalos f(x) é positivo. Apesar de ter que
buscar os conhecimentos necessários, o estudante, em geral, tem situações de
referência associadas ao estudo de equações e inequações quadráticas.
O nível disponível corresponde a responder corretamente a tarefa dada,
porém, não é indicado nenhum caminho ou nenhuma ferramenta que possam
auxiliar na sua resolução. Nesse nível, é preciso dispor de meios para encontrar ou
criar contra-exemplos, de articular diferentes noções matemáticas, fazendo as
relações necessárias entre elas, efetuando mudanças de quadros, utilizando as
representações adequadas, aplicando métodos não previstos. Por exemplo, a tarefa:
Cercar uma determinada região.
Um fazendeiro tem 2400 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está na
margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões
do campo que tem maior área?
Figura 7: Exemplo de nível de conhecimento disponível. Fonte: (STEWART, 2000, p. 330).
Na tarefa apresentada, o estudante pode buscar conhecimentos que ele
tenha disponível sobre maximização de área e utilizá-los como ferramenta para a
resolução da atividade ou experimentar medidas diversas para os lados. Espera-se
que os estudantes do ensino médio encontrem uma função quadrática para
representar a área e, a partir dessa função, determinem a área máxima.
Se o mesmo problema é proposto a estudantes do ensino superior, em curso
de cálculo, espera-se que eles resolvam da mesma maneira que o aluno do ensino
médio, porém que utilizem seus conhecimentos de derivada para determinar o valor
59
máximo da função, a área máxima. Observamos que o exemplo acima foi retirado de
um livro de Cálculo e se destina ao estudo de máximos e mínimos por meio da
noção de derivada.
As observações acima mostram a importância da análise das relações
institucionais para o estudo da transição entre os ensino Médio e Superior, pois
estas permitem compreender quais conhecimentos prévios podem ser mobilizados
pelos alunos quando da introdução de novos conhecimentos. Observamos ainda
que, ao mobilizar um determinado saber, o estudante deve ser capaz de
desenvolver determinadas técnicas a ele associadas, sendo que estas dependem do
nível de conceituação considerado.
2.5 ALGUMAS CONSIDERACÕES
A escolha dos referenciais teóricos apresentados neste capítulo sustenta as
análises propostas nesta pesquisa para a noção de equação quadrática e função
quadrática. Demonstramos no decorrer dessa escrita que, no momento da
introdução da noção matemática, é importante identificar os tipos de tarefas, as
técnicas, tecnologias e teorias relacionadas com a noção trabalhada; os ostensivos
que permitem visualizar e manipular o objeto matemático, obedecendo às regras e
leis dos não ostensivos que os justificam; desenvolver vários quadros com suas
respectivas mudanças e identificar quais os níveis de conhecimento esperados para
o rendimento dos estudantes, considerando as tarefas.
Assim, observamos que Robert (1997, 1998), para definir os níveis de
conhecimento esperados dos estudantes, coloca em evidência a importância de se
trabalhar diferentes quadros e representações externas. Para a autora, registros de
representação (e, no nosso caso, os ostensivos necessários e diferentes momentos
de introdução da mesma noção) permitem levar em conta os conhecimentos prévios
dos estudantes e utilizá-los na introdução de novas noções.
60
No próximo capítulo, apresentaremos o estudo das expectativas institucionais
esperadas para a introdução e o desenvolvimento da noção equação quadrática e
de função quadrática nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior.
61
CAPÍTULO 3
AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O TRABALHO
COM AS NOÇÕES DE EQUAÇÃO QUADRÁTICA E FUNÇÃO
QUADRÁTICA NOS ENSINOS FUNDAMENTAL, MÉDIO E SUPERIOR
3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo, faz-se uma análise sobre as relações institucionais esperadas
dos professores e estudantes, conforme definição de Bosch e Chevallard (1999),
para o processo de ensino e aprendizagem das noções de equação quadrática e
função quadrática desenvolvidas nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior. Para
tanto, identificamos mais especificamente as relações institucionais esperadas para
o desenvolvimento do conceito de equação quadrática no Ensino Fundamental e
função quadrática no Ensino Médio, bem como os saberes dessas definições
considerados como conhecimentos prévios disponíveis quando de sua utilização
para a introdução de novos conhecimentos no Ensino Superior.
Assim, este estudo foi realizado por meio de documentos oficiais que nos
permitiram
identificar
quais
as
propostas
institucionais
indicadas
para
o
desenvolvimento da noção de equação quadrática no Ensino Fundamental e como
elas podem ser articuladas no Ensino Médio quando da introdução da noção de
função quadrática. Além disso, buscamos verificar de que modo esses conceitos são
revisitados e/ou utilizados no Ensino Superior.
Para cumprir com nossos objetivos, consideramos os Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Fundamental – PCN (BRASIL, 1997) para o Ensino
Fundamental; os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM
(BRASIL, 2000), as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),
os Parâmetros Curriculares Nacionais + – PCN + (BRASIL, 2002) para as análises
associadas às expectativas institucionais para o Ensino Médio; as Diretrizes
Nacionais para o Curso de Licenciatura em Matemática e os planos de ensino de
Introdução ao Cálculo e Cálculo Diferencial e Integral de duas universidades
62
públicas e duas universidades privadas, nas quais foi possível encontrar seus planos
de ensino disponíveis na internet. Em relação aos planos de ensino, destacamos a
bibliografia utilizada e se é indicado revisitar a noção de função quadrática, seu
gráfico e suas propriedade se, em caso afirmativo, qual a abordagem proposta.
Escolhida a ferramenta de análise e os documentos a serem analisados para
identificar as relações institucionais esperadas de professores e estudantes dos
Ensinos Fundamental, Médio e Superior, apresentaremos, inicialmente, a finalidade
e os objetivos gerais dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do
Ensino Fundamental.
3.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – TERCEIRO E QUARTO
CICLOS DO ENSINO FUDAMENTAL – MATEMÁTICA
A finalidade dos PCN de matemática do ensino fundamental é descrita como
a intenção de fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino das
diferentes áreas do conhecimento assim como para socializar informações e
resultados de pesquisas. Esse documento tem também o intento de servir de
referencial para a orientação da prática escolar de maneira a organizar e tornar
acessível os conhecimentos para todas as crianças e os jovens. No caso de nosso
estudo, consideramos apenas o trabalho a ser desenvolvido em matemática, cujo
fim é permitir a inserção dos estudantes enquanto cidadãos no mundo do trabalho.
Os autores dos Parâmetros Curriculares Nacionais apresentam uma análise
da trajetória das reformas curriculares e relatam que, no Brasil, o ensino de
Matemática foi influenciado por um movimento de renovação que ficou conhecido
como Matemática Moderna. Este, na opinião dos estudiosos, tem caráter elitista,
com uma formalização precoce de conceitos, excessiva preocupação com o treino
de
habilidades,
mecanização
de
processos
sem
compreensão
e,
consequentemente, é marcado por altos índices de retenção.
Essas considerações permitem aos autores introduzir os novos objetivos para
o Ensino Fundamental, tal como é possível observar no texto que segue. Assim, os
63
objetivos propostos para o desenvolvimento da matemática no Ensino Fundamental
são definidos em função de um intuito mais amplo que é a construção da cidadania.
Esses objetivos podem ser resumidos em:
 estimular o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
 fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da
realidade, utilizando conhecimento aritmético, geométrico, métrico, algébrico,
estatístico, combinatório e probabilístico;
 selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e
avaliá-las criticamente;
 resolver situações-problemas, validar estratégias e resultados, desenvolvendo
formas de raciocínio e processos;
 descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar
sobre suas conjecturas;
 estabelecer conexões entre temas matemáticos e conhecimentos de outras
áreas curriculares;
 desenvolver a autoestima e perseverança na busca de soluções;
 interagir com seus pares de forma cooperativa.
Para atingir essas metas, os autores consideram o terceiro e quarto ciclos
complementares. Para os autores, devem-se selecionar os conteúdos que aparecem
organizados em quatro blocos, a saber: números e operações, espaço e forma,
grandezas e medidas e tratamento da informação.
A noção de equação quadrática é desenvolvida no quarto ciclo do Ensino
Fundamental, especificamente no campo da álgebra, para o qual o objetivo é
desenvolver o pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o estudante a produzir e interpretar diferentes escritas
algébricas como expressões, igualdades e desigualdades, identificando as
equações, inequações e sistemas. Espera-se também que o estudante seja capaz
de aplicar esses conhecimentos para resolver situações-problema que possam ser
descritas por meio de equações e inequações do primeiro e segundo grau,
compreendendo
os
procedimentos
envolvidos,
observando
regularidades
e
64
estabelecendo leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre as
variáveis.
Em particular, a noção de equação quadrática, objeto de estudo dessa
pesquisa, encontra-se no bloco Números e Operações. Para a sua introdução e o
seu desenvolvimento, a sugestão dos Parâmetros Curriculares Nacionais é que se
utilizem situações-problema que devem ser expressas por meio de uma equação do
segundo grau, cuja solução permita que se obtenham suas raízes por meio da
fatoração. Isto possibilita discutir o significado dessas raízes em confronto com as
situações propostas.
Nas orientações didáticas para o desenvolvimento das equações quadráticas,
recomenda-se que o estudo das técnicas convencionais para resolver equações seja
desenvolvido após o trabalho com situações-problema. Apontam ainda que se inicie
pela tradução dessas ocasiões propostas a partir das equações e que se permita
aos
estudantes
desenvolverem
suas
próprias
estratégias,
utilizando
seus
conhecimentos prévios disponíveis. Para isso, sugere-se que se use o cálculo de
áreas e perímetros de retângulos, pois ele permite “visualizar” as expressões
algébricas correspondentes. Segundo os autores, a articulação entre o quadro
algébrico e geométrico, mesmo se não é utilizada essa nomenclatura, é um recurso
que facilita a aprendizagem de noções algébricas, auxiliando o estudante a dar um
determinado tipo de significado às expressões algébricas, tal como é possível
verificar no exemplo abaixo.
65
Figura 8: Exemplo de mudança de quadro. Fonte: (BRASIL, 1998, p.121)
No entanto, os autores ressaltam que a interpretação geométrica dos cálculos
algébricos é limitada, porque os modelos geométricos nem sempre são simples e o
trabalho não pode se apoiar exclusivamente na compreensão destes. Os contextos
dos problemas devem ser diversificados, permitindo também identificar parâmetros,
incógnitas e variáveis, bem como construir as regras para resolução das equações.
Apresentadas as expectativas do trabalho a ser desenvolvido no processo de
ensino e aprendizagem das equações quadráticas no Ensino Fundamental,
passamos à discussão do que se espera para a introdução da noção de função
quadrática. Isto ocorrerá por meio da observação de quais os conhecimentos sobre
equações quadráticas que são considerados como conhecimentos prévios
disponíveis nessa nova etapa escolar.
3.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO
(PCNEM)
Ao analisar os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio –
PCNEM – (BRASIL, 2000), os quais iniciam apresentando as bases legais,
identificamos que a sua proposta que é difundir os princípios da reforma curricular e
orientar o professor na busca de novas abordagens e metodologias. Para tanto, eles
66
contam com a capacidade e o empenho dos docentes para implementar a proposta
mencionada.
O referido documento também estabelece a divisão do conhecimento escolar
em áreas. Nesse sentido, estudaremos nesta pesquisa a terceira parte delas, a qual
correspondente à área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias,
que vem ao encontro de nosso interesse. De acordo com a proposta do PCNEM,
espera-se que sejam desenvolvidas pelos estudantes as competências especificas
nas áreas de Biologia, Física, Química e Matemática, mas essas devem ser
relacionadas com as outras duas áreas que são divididas em Linguagens, Códigos e
suas Tecnologias e Ciências Humanas e suas Tecnologias.
Assim, destacamos algumas competências e habilidades específicas da área
de Matemática, expostas na proposta, que acreditamos serem importantes no
processo de aprendizagem da noção de função quadrática quando de sua
introdução no Ensino Médio. Espera-se que os estudantes do Ensino Médio sejam
capazes de: ler e interpretar textos de Matemática, usar tabelas, gráficos e
expressões quando necessário, isto é, ler, interpretar e saber utilizar essas
representações, fazendo a conversão da linguagem corrente para a linguagem
simbólica e vice-versa. Além disso, vislumbra-se que os discentes saibam identificar
os dados e o que se pede em um problema, compreendam enunciados, formulem
hipóteses, prevejam resultados e selecionem estratégias de resolução de
problemas.
Para que as questões citadas se concretizem, destaca-se a importância dos
conhecimentos prévios dos estudantes, que são citados como parte de um tema que
tem mobilizado educadores por sua relevância para o aprendizado matemático e
científico. Os autores dos Parâmetros para o Ensino Médio lembram que os
estudantes chegam à instituição escolar, trazendo conceitos próprios que devem ser
levados em conta no processo pedagógico.
Nesse documento, considera-se que o papel do professor é, principalmente, o
daquele que seleciona o conteúdo compatível com os objetivos definidos no projeto
pedagógico. Diz isto porque o docente é compreendido como o conhecedor dos
67
teores da disciplina, mediador do diálogo educativo e, assim, deve estar convicto da
importância e da possibilidade do aprendizado de um determinado conteúdo por
todos os seus estudantes. Por isso, cabe ao professor encontrar meios que
favoreçam o surgimento de condições para que os discentes se tornem agentes de
seu próprio aprendizado, articulando a teoria e a prática, evitando a fala e os
símbolos
incompreensíveis,
assim
com
as
repetições
desnecessárias
e
desmotivantes. Nessa perspectiva, observamos que um dos objetivos do Ensino
Médio é contribuir para a formação de um cidadão autônomo que seja capaz de
conduzir seu aprendizado em função de suas necessidades específicas.
Nesse sentido, os autores dos PCNEM assumem o fato de que, entre os
maiores desafios para a atualização pretendida no aprendizado de Matemática,
Ciência e Tecnologia, no Ensino Médio, está a formação adequada de professores,
a
elaboração
de
materiais
instrucionais
apropriados,
superando
a
visão
enciclopédica do currículo, pois esta dificulta tanto a organização dos conteúdos
escolares quanto a formação dos professores. Além disso, os estudiosos observam
que o preparo adequado dos professores da área Matemática deve ser direcionado
para a modernidade do conhecimento e não para um empobrecimento cognitivo.
Além disso, os escritores afirmam ainda que é preciso mudar convicções
equivocadas, as quais são culturalmente difundidas em toda a sociedade, e que
consideram os estudantes como seres passivos, os professores como agentes
ativos e a escola sendo simplesmente o cenário do processo de ensino. Por outro
lado e de encontro a essas visões, o aprendizado das Ciências e da Matemática
deve promover competências como o domínio de conceitos e a capacidade de
utilizar as fórmulas que são associadas pelos alunos de forma consciente.
Nas expectativas gerais para o desenvolvimento de Matemática, Ciências e
Tecnologias apresentadas nos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio –
PCNEM (BRASIL 2000), não se encontram os conteúdos a serem trabalhados, pois
cada escola é responsável pelo seu projeto pedagógico. No entanto, para as
avaliações
institucionais
que
vêm
sendo
aplicadas
constantemente,
essa
democratização da escolha dos conteúdos acaba sendo problemática por criar uma
grande diversidade de relações institucionais e, por isso, em 2002, foram lançados
68
os Parâmetros Curriculares Nacionais +, nos quais se especificam os conteúdos
mínimos a serem desenvolvidos nas diferentes séries do Ensino Médio.
Para melhor compreender o trabalho a ser desenvolvido por professores e
alunos do Ensino Médio em relação à noção de função quadrática, apresentamos, a
seguir, uma breve discussão das expectativas institucionais para a introdução da
definição mencionada.
3.4 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO
(PCN+)
Apresentaremos,
brevemente,
os
objetivos
gerais
dos
Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio + (BRASIL, 2002), considerando apenas
o volume dedicado às Ciências da Natureza e Matemática. Neste, a finalidade é
ampliar as orientações contidas nos PCNEM (BRASIL, 2000), trazendo elementos
de utilidade para o professor de cada disciplina na definição de conteúdo e
metodologias. Assim, observamos que, no primeiro documento, esperava-se que os
professores utilizassem estratégias e metodologias próprias para o desenvolvimento
dos conteúdos por eles considerados adequados para as diferentes turmas em
função do projeto pedagógico da sua escola.
Assim, nos Parâmetros Curriculares Nacionais + (BRASIL, 2002), são
apresentados os temas estruturados para o ensino de Matemática, que são
sistematizados em três eixos, definidos por meio de um conjunto de temas que
possibilitam o desenvolvimento das competências desejadas e de suas respectivas
importâncias científica e cultural. Cada tema estruturador corresponde a um campo
de interesse em termos de linguagens, conceitos, procedimentos e objetos de
estudo.
Os três grandes eixos são:
 Álgebra: números e funções
 Geometria e medidas
 Análise de dados
69
A noção de função quadrática, nosso objeto de estudo, encaixa-se no
primeiro tema estruturado, Álgebra, o qual é considerado de enorme importância
enquanto linguagem específica da Matemática. Os diferentes objetos de estudo
desse tema são: os campos numéricos dos números reais e complexos, as funções
e equações de variáveis ou incógnitas reais. Para o desenvolvimento desses temas,
os procedimentos básicos referem-se a calcular, resolver, identificar variáveis e
incógnitas, traçar e interpretar gráficos e resolver equações de acordo com as
propriedades das operações no conjunto dos números reais e com as operações
válidas para o cálculo algébrico. Isto nos permite identificar que a resolução de
equações ultrapassa os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, pois se
estuda a compatibilidade da solução encontrada em relação às propriedades do
conjunto numérico em que a mesma está definida.
Assim, consideram que o estudante amplia seus conhecimentos sobre a
linguagem algébrica no estudo das funções ao expressar a relação entre grandezas
e modelar situações-problemas. Ponderam ainda que o pré-requisito para o ensino
de funções é o estudo dos números reais, assim como o de conjuntos e de suas
operações, sendo que todo esse percurso é abandonado no momento em que a
definição de função é estabelecida.
Os PCNEM + sugerem que o estudo de equações polinomiais deve receber
um tratamento que enfatize sua importância. Dessa maneira, é preciso identificar os
conhecimentos que os estudantes possuem sobre a resolução de equações de
primeiro e segundo graus e revisitá-los, quando necessário, por meio de uma
abordagem mais qualitativa e profunda, a qual deve ser feita no interior da parte
flexível do currículo.
As dificuldades encontradas por educadores, dirigentes e agentes do sistema
educativo na implementação das propostas acima deram origem a um novo
documento, isto é, às Orientações Curriculares para o Ensino Médio que foram
publicadas em 2006. Sobre estas faremos, na sequência, uma breve apresentação.
70
3.5 AS ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO
As orientações curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), além de
enfatizar alguns itens já estudados do PCNEM (BRASIL, 2000) e no PCN+ (BRASIL,
2002), têm por intuito tratar da escolha de conteúdo. Em outras palavras, tratar da
forma de trabalhar os conteúdos, o projeto pedagógico e a organização curricular.
Esse documento destaca também o que é esperado dos estudantes no final
do Ensino Médio, a saber: que eles utilizem a Matemática para resolver problemas
práticos do cotidiano, modelem fenômenos em outras áreas do conhecimento,
compreendam que a Matemática é uma Ciência com características próprias,
organizem os conhecimentos matemáticos via teoremas e demonstrações,
percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído
e saibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e
tecnológico. Em suma, segundo o documento, o conteúdo deve agregar o
desenvolvimento de habilidades, dando prioridade à qualidade do processo e não à
quantidade de conteúdos a serem trabalhados.
Os conteúdos básicos, que eram divididos em três grandes eixos, passam a
ser repartidos em quatro blocos, a saber: Números e operações; Funções;
Geometria; Análise de dados e probabilidade. Sendo nosso objeto de estudo a
noção de função quadrática, citaremos apenas o bloco Funções, o qual é destacado
com a seguinte frase: “O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração
qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e
altura, área do círculo e raio, tempo e distância percorrida; tempo e crescimento
populacional, tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras”
(BRASIL, 2006, p.72).
Quanto ao trabalho com gráficos, indica-se que os professores considerem,
logo no início do trabalho, exemplos de funções em que os estudantes esbocem os
gráficos dessas relações de forma qualitativa, registrando os intervalos e tipos de
crescimento e decrescimento. Ressaltam ainda o significado da representação
gráfica das funções, quando são alterados seus parâmetros, isto é, os movimentos
realizados pelo gráfico de uma função são identificados no momento em que
71
modificamos seus coeficientes. Por isso, afirmam que a construção de um gráfico
por meio da simples transcrição de dados tomados em uma tabela numérica não
permite avançar na compreensão do comportamento das funções.
Indica-se ainda que diferentes modelos, em diferentes áreas do conhecimento
sejam apresentados aos estudantes. Nesse aspecto, a noção de função quadrática
é um modelo que pode ser objeto de estudo das noções de queda livre de um corpo,
movimento uniformemente acelerado, lançamento de projeteis, rendimentos
financeiros, etc.
Sugerem que o estudo da noção de função quadrática seja motivado via
problemas de aplicação. Para tanto, é preciso encontrar certo ponto de máximo,
observando que é clássico problema de determinação de área máxima, cuja
representação, por meio de uma equação quadrática, já tinha sido proposta para ser
desenvolvida no Ensino Fundamental. Desse modo, ressaltam a importância de se
utilizar estratégias e metodologias que levem o estudante a estabelecer as relações
entre o gráfico e os coeficientes, evitando a memorização das regras, como a
posição do gráfico, as coordenadas do ponto máximo e mínimo e os zeros da
função.
No estudo da função quadrática, para auxiliar a sua compreensão, é sugerido
que a forma fatorada f(x) = a.(x - m)2+n seja trabalhada, pois ela é pertinente para
deduzir os zeros da função quadrática. Sugerem-se também a fórmula de Bhaskara
e a identificação do gráfico da função quadrática como a curva parábola, assim
como seus possíveis deslocamentos em relação aos eixos x e y. Assim, a parábola
é entendida como o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de
um ponto fixo (o foco) e de uma reta (a diretriz). Em vista disso, observamos que
essa definição será trabalhada quando da introdução da Geometria Analítica no
plano.
Após essa breve descrição das Orientações Curriculares para o Ensino
Médio, apresentaremos uma sucinta discussão das Diretrizes Curriculares Nacionais
para os cursos de Licenciatura em Matemática. Isto é feito a fim de identificar as
expectativas específicas desses cursos e de consideramos também as relações
72
institucionais esperadas para o ensino e aprendizagem das disciplinas de
nivelamento (Matemática e Fundamentos de Matemática) e Cálculo Diferencial e
Integral de duas universidades públicas e de duas universidades privadas, das quais
foi possível localizar os planos de ensino das referidas disciplinas na internet.
3.6 DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA OS
MATEMÁTICA, BACHARELADO E LICENCIATURA (DCNCM)
CURSOS
DE
Buscamos fazer uma análise das relações institucionais esperadas dos
estudantes do Ensino Superior, analisando as Diretrizes Curriculares Nacionais para
os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura, conforme o parecer do
Conselho Nacional de Educação e da Câmara de Educação Superior n. 1302,
aprovado em 06 de novembro de 2001. Estudamos também os Planos de Ensino de
duas universidades públicas e duas universidades privadas que oferecem cursos de
Licenciatura em Matemática.
Através dessa análise, pudemos verificar quais os conhecimentos prévios que
os estudantes necessitam quando iniciam um curso de matemática, bacharelado e
licenciatura, bem como o que é considerado como desconhecido, precisando ser
reforçado por meio de um curso de nivelamento. Assim, investigamos se existe uma
preocupação em revisitar a noção de função quadrática, suas operações e
propriedades e seu gráfico ou se esses conhecimentos são supostos disponíveis, o
que pode ser considerado como uma expectativa de trabalho autônomo dos
estudantes.
Em outras palavras, significa que, mesmo que alguns desses conhecimentos
não tenham sido desenvolvidos de forma satisfatória, o estudante que realmente
desenvolveu sua autonomia poderá apropriar-se desses saberes por meio de um
trabalho individual no qual organiza suas próprias estratégias e seus métodos de
estudo. Para cumprir com os objetivos traçados, escolhemos inicialmente descrever
as Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e
Licenciatura, por ser um documento que norteia as universidades a construir seus
projetos, planos de ensino e conteúdos propostos.
73
As orientações dizem que os currículos devem assegurar o desenvolvimento
de conteúdos dos diversos domínios do conhecimento profissional de um
matemático. Desse modo, os conteúdos comuns a todos os cursos de Licenciatura
devem abranger as áreas de Álgebra, Geometria e Análise. Os conteúdos
matemáticos precisam estar presentes na Educação Básica assim como nas áreas
afins à Matemática, que devem ser consideradas como fontes originadoras de
problemas e campos de aplicação das teorias matemáticas. Deve-se ainda
contemplar as disciplinas de Ciência da Educação, da História e Filosofia das
Ciências e da Matemática.
Os conteúdos comuns a todos os cursos de Licenciatura Matemática são:
 Álgebra Linear
 Cálculo Diferencial e Integral
 Fundamentos de Análise
 Fundamentos de Álgebra
 Fundamentos de Geometria
 Geometria Analítica
Além disso, espera-se que a formação do educador matemático permita que o
mesmo seja capaz de reconhecer a realidade em que se insere, tome decisões,
reflita sobre sua prática, seja criativo na ação pedagógica e entenda que ação
prática é geradora de conhecimentos. Assim, as diretrizes consideram algumas
disciplinas que devem compor o currículo mínimo, mantendo a autonomia das
universidades que irão desenvolver seus projetos e reafirmando que cabe aos
professores especialistas a construção dos planos de ensino de suas disciplinas.
Na sequência, apresentamos, então, o estudo do trabalho esperado de
professores e estudantes do Ensino Superior, via planos de ensino de duas
universidades publicas e duas universidades privadas, conforme anexos 1, 2, 3, 4, 5,
6 e 7. Identificamos a coerência entre os planos de ensino e as orientações
apresentadas nas Diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de licenciatura em
Matemática, quando se considera a noção de função quadrática.
74
Desse modo, iniciamos pela análise do plano de ensino da Universidade
Federal de Pernambuco – (UFPE), a partir do Currículo do Curso de Graduação em
Matemática/Licenciatura de 2001. Verificamos que o conteúdo da noção de função
quadrática é revisitado no Ciclo Geral, em Matemática L1A, e que este conceito é
mobilizado em Cálculo L1A,conforme mostra o quadro do Currículo do Curso
exposto na sequência deste texto.
A noção de função quadrática é abordada no ciclo geral na disciplina de
Matemática L1A e o conteúdo programático é apresentado abaixo. Em Cálculo L1A,
que é equivalente a disciplina de Cálculo Integral e Diferencial I, a noção de função
quadrática é mobilizada para a introdução dos conceitos de limites e continuidade de
função, trabalhada nos problemas de máximos e mínimos, esboço de gráficos e
expressões quadráticas.
Para a disciplina de Matemática, são indicados na bibliografia básica os livros
de Cálculo Infinitesimal de Michael Spivak, o volume 1; Coordenadas no Plano;
Coordenadas no Espaço e Logaritmos, de Elon Lages Lima e, por fim, o livro de
Trigonometria/Números Complexos de Carmo, Morgado e Wagner. No programa de
disciplina de Cálculo, não consta a bibliografia.
CÓD
Tabela 1: Extrato da grade curricular
CICLO GERAL
MA053
Matemática L1A
60
MA054
Geometria Analítica L1
60
MA055
Princípio de Contagem L
75
IF663
Computação L1
60
ED001
Educação Física *(optativa)
30
CH
CICLO PROFISSIONAL
MA016
Cálculo L1A
60
MA042
Geometria Plana
75
DE258
Geometria Gráfica
60
MA017
Cálculo L2A
60
MA045
Álgebra Linear L1
60
MA056
Geometria Espacial L
75
MA248
Estruturas Algébricas L1A
90
MA018
Cálculo L3A
60
FI202
Física L1
60
MA249
Estruturas Algébricas L2A
90
MA218
Análise Matemática L1A
90
75
FI203
Física L2
60
MA219
Análise Matemática L2A
90
MA301
Fundamentos de Matemática
75
ET199
Estatística e Probabilidades
60
IF664
Computação L2
60
MA528
Estágio Supervisionado
90
MA529
Monografia
90
SF200
Introdução à Educação
60
TE201
Didática 1
60
PO403
Psicologia da Educação 6
60
TE664
AP203
Prática de Ensino de Matemática 1
Estrutura e Funcionamento do Ensino 3
90
60
PO404
Psicologia da Educação 7
60
TE665
Prática de Ensino de Matemática 2
120
TE666
Prática de Ensino de Matemática 3
90
Fonte: UFPE, 2011
As disciplinas Matemática 1 e Cálculo 1 podem estar revisitando a noção de
função quadrática ou propondo aos estudantes que utilizem as obras analisadas
neste trabalho para o desenvolvimento de situações contextualizadas e assim o
professor pode aproveitar alguns exemplos para a articulação de conhecimentos
prévios com os novos conhecimentos.
A outra instituição pesquisada foi a Universidade Presbiteriana Mackenzie –
MACK, a qual apresenta as disciplinas de Matemática Básica I e, no conteúdo
programático, engloba as funções quadráticas e a disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral I. Nesta, ao trabalhar com problemas de máximos e mínimos, mobiliza
também a noção de função quadrática. Na bibliografia básica da disciplina de
Matemática Básica I são indicados os livros: Fundamentos de Matemática
Elementar, de Gelson Iezzi e Carlos Murakami, volume I de 2004, e do Gelson Iezzi,
volume 3 de 2004, conforme anexo 3. Observamos que o livro de Cálculo de James
Stewart, volume I de 2005 é indicado como podemos observar no anexo 4.
Na tabela a seguir, é possível identificar as disciplinas e respectiva carga
horária de cada uma delas para o primeiro semestre. Isto permite compreender as
necessidades da noção de função quadrática para os estudantes que iniciam o
curso de licenciatura em Matemática dessa instituição.
76
Tabela 2: Extrato da grade curricular
Cód. Disc.
Nome da Disciplina
CH
100.1197.8
Cálculo Diferencial e Integral I
090
093.1170.1
Ética e Cidadania I
030
070.1176.8
Física Experimental I
030
070.1175.1
Física Geral I
060
070.1182.2
Fundamentos de Física I
060
100.1198.6
Geometria Analítica e Vetores I
060
100.1112.9
Matemática Básica I
060
110.1184.1
Métodos Computacionais I
060
Total
450
Fonte: MACK, 2011
Ressaltamos aqui que as disciplinas de Matemática Básica I e Cálculo
Diferencial e Integral I poderiam estar revisitando a noção de e função quadrática de
forma articulada com os novos conhecimentos a serem desenvolvidos no curso.
A terceira instituição pesquisada foi a Universidade Federal de Viçosa – UFV
quanto ao currículo do curso de Licenciatura em Matemática. A pretensão desse
curso é que o estudante receba profunda formação em Matemática básica e forte
base em prática de ensino, em física e em computação. Entre as primeiras
indicações bibliográficas, há o livro de Cálculo, volume 1, de Howard Anton e Irl
Bivens, bem como o de Stephen Davis de 2007 e de James Stewart de 2009.
Verificamos, mais uma vez, que a noção de função quadrática é trabalhada
no primeiro período na disciplina de Matemática Elementar I e, no segundo período,
é ministrada a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, onde, novamente, o
conteúdo engloba funções e gráfico que foram ministrados no primeiro período.
Posteriormente, a noção de função quadrática será necessária para desenvolver o
conteúdo de Máximos e Mínimos.
77
Tabela 3: Extrato da grade curricular
1º Período
Cód. Disc.
Nome da Disciplina
CH
ARQ102
Desenho Geométrico
60
Português Instrumental I
60
Colóquios de Matemática
30
Introdução à Álgebra
60
Geometria Analítica
60
Matemática Elementar I
90
LET 100
MAT 100
MAT 131
MAT 152
MAT 201
Fonte: UFV, 2011
Tabela 4: Extrato da grade curricular
2º Período
Cód. Disc.
INF 100
Nome da Disciplina
CH
60
Introdução à Programação I
MAT102
Prática de Ensino de Matemática I
MAT137
Introdução à Álgebra Linear
MAT141
Cálculo Diferencial e Integral I
MAT 153
Fundamentos de Geometria
MAT 170
Matemática no Computador I
60
60
90
60
30
Fonte: UFV, 2011
Observamos que a disciplina Matemática Elementar I serve de apoio para a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, ficando assim a cargo do professor de
Cálculo a articulação dos conhecimentos prévios associados à noção de função
quadrática e os novos conhecimentos que devem ser introduzidos na disciplina.
Ressaltamos ainda que em Matemática Elementar I é possível utilizar as obras
analisadas neste trabalho como referência para o desenvolvimento de situações
contextualizadas que, em geral, exigem o nível disponível.
78
Dentre os cursos pesquisados, somente o Centro Universitário Fundação
Santo André – FSA não apresenta, na grade curricular, uma disciplina de
Matemática, não havendo, portanto nenhuma disciplina que retome a noção de
função quadrática. Porém, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, que é
ministrada durante todo um ano letivo e onde se enfatiza a necessidade de reforçar
os conceitos adquiridos no Ensino Fundamental e Ensino Médio, o programa
detalhado da disciplina permite constatar uma revisão de gráficos e funções que
será aplica posteriormente no estudo dos problemas de pontos de máximo e
mínimo. Observamos ainda que, no plano de ensino, ressalta-se que a dificuldade
sentida pelos estudantes deve-se ao desconhecimento, mesmo que em parte, do
mecanismo operacional da matemática.
Destacamos também que, entre as quatro instituições pesquisadas, essa é a
única que não adota a obra de Cálculo – Volume 1 de James Stewart. Uma de suas
indicações na bibliografia básica é o livro de Cálculo Diferencial e Integral, de Paulo
Boulos & Zara Issa Abud.
Na tabela a seguir, identificam-se as disciplinas do primeiro ano do curso de
Licenciatura em Matemática, o que permite compreender as necessidades da noção
de função quadrática nas disciplinas específicas de Matemática.
Tabela 5: Extrato da grade curricular
DISCIPLINAS / SÉRIES
1ª SÉRIE
Carga horária anual
Cálculo Diferencial e Integral I
144
Álgebra I
144
Geometria I
144
Geometria Analítica
144
Tecnologias e Laboratório de Ensino
72
de Matemática
Políticas Públicas em Educação
72
Educação Física
72
Fonte: FSA, 2011
79
Sendo considerada a necessidade de trabalho
articulado entre os
conhecimentos desenvolvidos nos Ensino Fundamental e Médio e os novos
conhecimentos a serem introduzidos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
orienta-se
o professor, que após introduzir as noções de limite e derivada, aplique
estes novos conhecimentos no estudo do comportamento das funções. Aqui se pode
supor que o professor utilize as funções introduzidas no Ensino Médio para a
visualização das propriedades das funções.
Na sequência, apresentaremos uma rápida discussão sobre as análises
realizadas.
3.7 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Neste capítulo, vimos, inicialmente, que a escolha do conteúdo ficava a cargo
da escola e, consequentemente, a cargo dos professores, assim como as
estratégias e a metodologia que deviam considerar a possibilidade de articulação
com outras ciências e com situações do cotidiano. Além disso, ficava a critério dos
educadores e professores de cada escola organizar o trabalho a ser realizado em
função das dificuldades dos estudantes e do contexto social da escola.
A diversidade de relações institucionais e as dificuldades encontradas pelas
escolas para propor projetos que contemplassem as exigências institucionais foram
exigindo a publicação de novos documentos que explicitavam como trabalhar as
disciplinas de forma articulada e flexível, levando em conta a interdisciplinaridade e
as situações contextualizadas. Assim, os documentos oficiais tem o intuito de
introduzirem os conteúdos matemáticos a serem desenvolvidos no Ensino Médio.
Desse modo, nas Orientações curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),
encontramos a proposta de trabalho com as funções, na qual, para a função
quadrática, é indicado o seguinte trabalho:
No estudo da função quadrática é recomendado que seja trabalhada a forma
fatorada (f(x) = a.(x – m)2 + n). Indica-se que ela pode ser um auxiliar importante na
compreensão da noção, evitando a memorização de regras. A dedução da fórmula
que calcula os zeros da função quadrática e a fórmula de Bhaskara também são
80
sugestões presentes no documento analisado, bem como o trabalho do gráfico da
função quadrática com a curva parábola, entendida como o lugar geométrico dos
pontos do plano, o foco, que são equidistantes de um ponto fixo e da diretriz. Esse
estudo pode ser motivado via problemas de aplicação, clássicos problemas de
determinação de área máxima.
Um dos instrumentos que possibilita a identificação dessas dificuldades são
as macroavaliações. Como exemplo, podemos citar o Sistema de Avaliação de
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP que indica, para as
escolas, seus resultados e suas propostas para melhorar o desempenho dos
estudantes conforme relatório pedagógico distribuído pela Secretaria da Educação
do Estado de São Paulo de 2008.
Em função da análise dos planos de ensino, observamos que, para as
universidades consideradas, existe a preocupação de um trabalho específico com os
estudantes no que se refere ao conteúdo função quadrática. Em outras palavras,
podemos supor que, em relação aos anos anteriores, a instituição e os educadores
sentiram a necessidade de revisitar esse conteúdo para a introdução de novas
noções a ele associadas.
Diante das considerações traçadas, observamos que, no Ensino Superior,
podemos pensar em revisitar a noção de função quadrática, mas, em geral, ela está
fora de questão quando se pensa em desenvolver um trabalho com as equações
quadráticas, pois as mesmas são introduzidas no Ensino Fundamental e revisitadas
no Ensino Médio. Portanto, são supostas como conhecimentos prévios disponíveis
para os estudantes do Ensino Superior. Assim, verificamos uma mudança na
proposta de ensino e aprendizagem das noções de equação quadrática e função
quadrática para os Ensinos Fundamental e Médio que não é seguida no Ensino
Superior.
Os planos de ensino dos cursos de Licenciatura em Matemática analisados
mostraram uma sequência linear de conteúdos a serem desenvolvidos e não se
explicitou a necessidade de trabalhar de forma contextualizada. Apenas a Fundação
81
Santo André considera a necessidade de revisitar os conteúdos matemáticos
desenvolvidos nos Ensinos Fundamental e Médio.
Logo, podemos afirmar que, no Ensino Superior, fica a cargo do professor
identificar as dificuldades de seus estudantes em relação às noções de equação
quadrática e função quadrática e revisitá-las, quando supuser que isto é necessário.
Outra possibilidade visualizada é deixar a cargo dos estudantes o desenvolvimento
desse trabalho.
Consideramos que, em geral, os professores podem, durante a introdução de
novos conhecimentos, tratar de forma contextualizada as necessidades sobre as
noções de equação quadrática e função quadrática. Nesse sentido, seria indicado
que os professores das diferentes disciplinas do curso de licenciatura tivessem essa
preocupação, o que poderia auxiliar os estudantes a compreenderem a importância
dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos em outras etapas escolares e poder
articulá-los e aplicá-los enquanto conhecimentos prévios disponíveis. Isto poderia
melhorar os resultados obtidos no ENADE, os quais, atualmente, têm sido uma
preocupação, pois eles se refletem diretamente na formação dos estudantes.
Concluída a análise das relações institucionais esperada sobre a noção de
equação quadrática e a noção de função quadrática, apresentaremos a seguir a
grade de análise construída para estudar as relações institucionais existentes e as
relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o Ensino Médio e
iniciam o Ensino Superior.
82
CAPÍTULO 4
AS FERRAMENTAS UTILIZADAS PARA ANÁLISE DAS TAREFAS
USUAIS SOBRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA - A GRADE
DE ANÁLISE
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo, identificaremos os diversos tipos de tarefas referentes à noção
de função quadrática trabalhados nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior e as
suas respectivas análises, considerando a noção de quadro, segundo definição de
Douady (1984, 1992); ostensivos e não ostensivos, conforme definições de
Chevallard (1994); e nível de conhecimento esperado dos estudantes, segundo
definição de Robert (1997). As análises serão efetuadas em função das técnicas
institucionais que lhes são associadas. Para tanto, construímos uma grade de
análise baseada na apresentada por Dias (1998), a qual em sua tese, que trata da
articulação de pontos de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear.
Assim, a grade construída tem como objetivo identificar qual é a situação
apresentada no enunciado, as técnicas, tecnologias e as teorias possíveis de serem
utilizadas em função da etapa da escolaridade em que a tarefa é proposta, assim
como os ostensivos e não ostensivos manipulados e evocados na sua solução.
Também são considerados quais os quadros em que a tarefa é expressa e resolvida
e os conhecimentos necessários para o desenvolvimento da tarefa, destacando o
nível de conhecimento esperado dos estudantes. Para cumprir com tais fins,
iniciamos, fazendo a apresentação das ferramentas didáticas utilizadas na
construção da grade assim como de exemplos relacionados a elas.
Consideramos ainda os tipos de tarefas usuais para o ensino e a
aprendizagem da noção de função quadrática e aplicamos a grade que auxilia a
identificar as técnicas. Em seguida, analisamos a tecnologia e a teoria que pertence
respectivamente ao bloco prático e ao bloco teórico conforme Teoria Antropológica
do Didático, de Chevallard (1992, 1994) e Bosch e Chevallard (1999). Observamos
assim que as noções de ostensivos e não ostensivos possibilitam a identificação das
83
necessidades em termos de representações externas e internas do trabalho
matemático a ser realizado. Além disso, por meio da grade, podemos identificar
também o quadro em que a tarefa é enunciada e resolvida, as mudanças de quadros
necessárias, assim como o nível de conhecimentos esperado dos estudantes em
função da etapa escolar em que a tarefa é inicialmente proposta.
Desse modo, começamos exemplificando, por meio de uma tarefa sobre
noção de função quadrática, como algumas noções associadas à Teoria
Antropológica do Didático são utilizadas em nossas análises.
4.2 ALGUMAS
NOÇÕES
DA
TEORIA
ANTROPOLÓGICA
DO
DIDÁTICO
UTILIZADAS COMO FERRAMENTAS DE ANÁLISE DIDÁTICA.
4.2.1. Exemplo de praxeologia no estudo da noção de função quadrática.
Empregamos a tarefa abaixo, retirada do livro de Dante (2009), para
desenvolver nosso exemplo em relação às noções da Teoria Antropológica do
Didático utilizadas na nossa pesquisa.
(FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por
, em que
é
a quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar
para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
Figura 9: Exemplo de tarefa. Fonte (DANTE, 2009, p.97)
Segundo Chevallard (1994), os tipos de tarefas podem ser rotineiras ou
problemáticas, tais como solucionar uma equação do segundo grau, corrigir um
pacote de provas e elaborar uma forma de introduzir a noção de espaço vetorial a
um grupo de estudantes. No exemplo acima, identificamos a tarefa como uma
situação extramatemática, modelada por meio de uma função quadrática, isto é,
trata-se de uma situação não rotineira, quando se introduz a noção de função
quadrática, podendo se tornar problemática porque não se dispõem de
84
conhecimentos sobre a determinação do vértice e sobre a noção de intervalo sobre
IR.
Chevallard (1994) observa ainda que, para toda tarefa, é preciso encontrar
uma técnica que pode servir para várias tarefas e, num dado momento, dependendo
da tarefa, ela precisa ser adaptada ou reinventada. Assim, para toda técnica, existe
uma fase de torná-la rotineira, seguida de uma etapa de naturalização que a torna
disponível.
Dessa forma, a expectativa institucional para os estudantes do Ensino Médio
é que os mesmos utilizem, no item a do exemplo acima, a fórmula do vértice em y
para a função quadrática ou que identifiquem o vértice da parábola, esboçando o
gráfico da função quadrática, uma vez que esses conhecimentos foram
desenvolvidos no Ensino Fundamental. Para o item b, é preciso encontrar a
inequação e indicar a variação de x por meio de um intervalo que corresponde a
uma tarefa em fase de tornar rotineira para os estudantes do Ensino Médio e
suposta naturalizada para os estudantes do Ensino Superior.
A Tecnologia ou o discurso sobre as técnicas, segundo Chevallard (1994),
permite compreender e justificar uma determinada técnica, “forma particular de
fazer”. Assim, espera-se que o estudante no item a, ao utilizar a fórmula
ou esboçar o gráfico da função quadrática, justifique sua escolha, indicando se tratar
do ponto de máximo ou mínimo da função dada. No item b, o esperado é a
identificação da inequação
raízes da equação quadrática
. A partir dela, determinam-se as
e
e, por meio da representação
algébrica de intervalo sobre IR, identifique o conjunto solução como sendo
, o que não é natural, como mostra a pesquisa de Gouveia
(2007), que mostra a dificuldade dos estudantes em identificar os possíveis valores
de x para um determinado intervalo e representá-lo corretamente.
A representação gráfica pode ou não ser utilizada, mesmo quando não se
encontra o resultado por meio da representação gráfica, a qual é importante para
auxiliar no controle do resultado. Pode-se ainda trabalhar com a forma fatorada da
85
inequação e utilizar a representação denominada “varal” para determinar o conjunto
solução do produto de duas inequações do primeiro grau. A representação
denominada “varal” corresponde à interpretação dos valores positivos e negativos da
função afim por meio de sua representação gráfica. A técnica do varal é trabalhada
no Ensino Médio, mas a indicação do conjunto solução por meio da representação
algébrica, em geral, é o que causa grandes dificuldades para os estudantes tanto do
Ensino Médio como do Ensino Superior, conforme temos observado em nossa
prática diária.
A teoria ou o discurso sobre as tecnologias é o estudo da função quadrática,
inequação quadrática, suas representações e propriedades para a primeira técnica e
para as regras e leis da fatoração. Isto também se aplica às noções de inequação do
primeiro grau que exigem o estudo do sinal, o qual será melhor representado por
meio da representação gráfica da função afim associada a cada fator, suas
representações e propriedades e a noção de intervalo sobre IR e suas
representações.
Vale ressaltar que o postulado 2 de Bosch e Chevallard (1999, p. 84)
estabelece que cumprir uma tarefa é o resultado da execução de uma técnica,
sendo a técnica uma forma particular de fazer, diferenciando-se assim de um
método ou um algoritmo. O exemplo acima coloca em evidência as diferentes
técnicas e, consequentemente, as distintas formas de tratamento de uma mesma
tarefa, as quais dependem dos conhecimentos e representações utilizados,
mostrando que não se trata de um método ou algoritmo.
As diferentes representações que possibilitam manipular as técnicas
associadas às noções em jogo nos diversos tipos de tarefas são denominadas por
Chevallard (1994) de ostensivos. Os conceitos e as ideias que justificam essas
representações recebem o nome de não ostensivos. Na sequência, apresentamos
uma breve discussão da definição de ostensivos e não ostensivos.
86
4.2.2. Exemplo de ostensivos e não ostensivos no estudo da noção de função
quadrática
Segundo Chevallard (1994), os ostensivos referem-se a qualquer objeto
material e, principalmente, aos objetos materiais particulares como os sons (entre os
quais as palavras da língua), os grafismos (entre os quais os grafemos, permitindo
as escrituras das línguas naturais ou constitutivos das línguas formais) e os gestos.
Por sua vez, os não ostensivos são todos objetos que, com as ideias, as intuições
ou os conceitos, existem institucionalmente, sem que, para tanto, possam ser vistos,
ditos, entendidos ou percebidos. Os não ostensivos podem apenas ser evocados ou
invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são
associados (uma palavra, uma frase, um grafismo, um gesto ou um longo discurso).
Exemplificamos por meio de tarefas associadas ao nosso objeto de estudo,
os diferentes ostensivos definidos por Chevallard (1994):
 Ostensivos gestuais: os gestos. Por exemplo, quando, por meio de um gesto,
mostramos o vértice e as raízes da função na sua representação gráfica.
 Ostensivos discursivos: as palavras e mais genericamente o discurso. Por
exemplo, as explicações dadas pelo professor oral ou escritas.
 Ostensivos gráficos: os esquemas, desenhos e grafismos. Por exemplo, as
tabelas e os gráficos que construímos para estudar as propriedades da
função.
 Ostensivos escriturais: as escritas e os formalismos. Por exemplo, a
determinação da forma canônica da função quadrática.
 Ostensivos figurais: representação de uma figura geométrica. Por exemplo,
considerar a figura do retângulo que representa um campo de futebol.
87
Figura 10: Exemplo de Ostensivo escritural. Fonte (DANTE, 2009, p.75)
O exemplo abaixo mostra que os não ostensivos são as noções de área de
quadrado e de retângulo, área lateral e total de um prisma, função quadrática
(função área) e equação do segundo grau.
Uma caixa sem tampa tem a base quadrada com lado medindo
. Sabendo que a área total de sua superfície é de
medida
dm e altura
, calcule a
.
Figura 11: Exemplo de Ostensivo e não ostensivo. Fonte (DANTE, 2009, p.78)
Para melhor identificar as necessidades em relação às técnicas, tecnologias e
teorias possíveis nas diferentes etapas escolares consideradas nesta pesquisa,
utilizamos a noção de quadro e de mudança de quadros introduzida por Douady
(1984, 1992), sobre para a qual fazemos uma breve descrição a seguir.
88
4.3 OS QUADROS EM JOGO NO ESTUDO DA NOÇÃO DE FUNÇÃO
QUADRÁTICA
A partir da ferramenta de análise introduzida por Douady (1984, 1992),
podemos classificar nosso objeto de pesquisa segundo três quadros distintos de
atividades: quadro algébrico, quadro aritmético algébrico e quadro geométrico, para
os quais daremos um exemplo de aplicação.
Quadro algébrico: a função quadrática é apresentada em geral na forma
algébrica, em que as variáveis são letras como, por exemplo, a função f(x) = x2 ou y
= x2.
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o
lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x
unidades, verificou-se que
e
. Nessas condições,
qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?
Figura 12: Exemplo de quadro algébrico. Fonte: (DANTE, 2009, p.87)
O quadro em que a tarefa é enunciada é o quadro algébrico e o quadro da
matemática financeira, mas sua solução restringe-se ao quadro algébrico. Como é
fornecida a fórmula para o desenvolvimento da questão, espera-se que o estudante
utilize a fórmula de vértice da função para encontra o maior lucro possível, isto é,
trata-se da técnica naturalizada. No entanto, existe a possibilidade de desenvolver
as outras técnicas, em particular, para os estudantes do Ensino Superior.
Quadro aritmético algébrico: é utilizado quando, para usar elementos
numéricos para resolver uma equação quadrática, é necessário dispor da noção de
números reais, suas operações e propriedades.
89
Considere agora a equação 9x2 + 9x + 2 = 0.
a) Identifique os coeficientes a, b e c dessa equação.
b) Calcule o valor de
c) Determine os valores de
.
2
d) Quais são os valores da equação 9x + 9x + 2 = 0?
e) Verifique se as raízes que você encontrou estão corretas.
Figura 13: Exemplo de quadro aritmético algébrico. Fonte (DANTE, 2008, p.59)
Na tarefa acima, o quadro do enunciado e o quadro de resolução são
aritmético algébrico. Isto porque ela não envolve variáveis, apenas incógnita de
simples substituição na fórmula dada. Trata-se de uma tarefa, em geral, introduzida
no Ensino Fundamental e que se supõe possa ser utilizada naturalmente pelos
estudantes dos Ensinos Médio e Superior.
Quadro geométrico: corresponde à representação geométrica, representação
que pode ser dada no enunciado em forma de figura ou que deixa a cargo do
estudante representar por meio de desenhos figuras planas ou espaciais.
Figura 14: Exemplo de quadro geométrico. Fonte (STOCCO & DINIZ, 2010, p.131).
90
Este exemplo é diferente dos outros, porque o quadro em que a tarefa é
apresentada é o geométrico, porém, o quadro em que a tarefa é resolvida é o
algébrico. Assim, espera-se que o estudante disponha de conhecimentos, em geral,
associados ao cálculo de perímetros e áreas. Desse modo, a distinção dos quadros
apresenta, de certa forma, a necessidade de considerar o nível de conhecimento
esperado dos estudantes tanto em relação à noção em jogo como para àquelas que
funcionam como ferramenta explicita para o desenvolvimento das técnicas nos
diferentes quadros de resolução da tarefa.
Dessa forma, para melhor compreender as expectativas em relação ao
trabalho matemático a ser desenvolvido pelos estudantes, consideramos ainda a
abordagem teórica em termos de níveis de conhecimento esperados dos estudantes
conforme definição de Robert (1997) por meio de exemplos associados à noção de
função quadrática. Assim, observamos que a identificação dos níveis de
conhecimento esperados dos estudantes está associada ao novo olhar que é dado a
uma mesma noção na transição entre as diferentes etapas escolares.
4.4 OS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS ESTUDANTES NO
ESTUDO DA NOÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA.
Apresentamos, a seguir, exemplos de tarefa de função quadrática associadas
aos três os níveis de conhecimentos esperados dos estudantes, técnico, mobilizável
e disponível.
O nível técnico corresponde a um trabalho separado, pontual e visível. Como
apresenta a tarefa a seguir:
Lembre-se de que toda equação incompleta da forma
e, por isso,
e
pode ser fatorada
são suas raízes. Então, resolva mentalmente.
Figura 15: Exemplo de nível técnico. Fonte (STOCCO & DINIZ, 2010, p.137)
91
Verificamos que, para a resolução, basta aplicar o método já especificado
como exemplo do primeiro item. O estudante deverá apenas repetir o processo já
estabelecido.
O nível mobilizável refere-se à justaposição de saberes, podendo, em alguns
momentos, já representar uma determinada organização. A tarefa é enunciada,
solicitando explicitamente o que é esperado do trabalho a ser desenvolvido pelo
estudante, mas há a necessidade de mobilizar algumas noções e alguns métodos
para resolver a tarefa.
Determine o valor de k para que a função
admita valor máximo.
Figura 16: Exemplo de nível mobilizável. Fonte (DANTE, 2009, p.87)
Na tarefa acima, foi solicitado explicitamente o valor máximo da função
quadrática. Então, o estudante tem de mobilizar o conhecimento de que a
propriedade que o coeficiente de x2 deve ter é ser negativo, o que corresponde a
considerar que 2 – k < 0. Nesse caso, é preciso dispor de um método para solução
de inequação do primeiro grau.
O nível disponível exige que o estudante identifique quais as noções em jogo
e os possíveis métodos para a resolução da tarefa. O enunciado não informa qual o
quadro em que a tarefa se insere, nem as noções em jogo na mesma. Por isso, cabe
ao estudante identificar, em seu repertório de conhecimento, a tarefa mais próxima
que lhe pode ser associada e, assim, tê-la como referência para a solução da nova
tarefa que lhe é proposta. Dessa forma, Robert (1997, 1998) considera que aqueles
que dispõem de um número maior de situações de referência estão mais preparados
para enfrentar tarefas que exigem o nível disponível, ou seja, é importante que o
estudante seja capaz de organizar seus conhecimentos prévios.
92
(UFPE) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$
200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não
ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada
lugar não ocupado ( por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada
passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a
companhia obtenha o faturamento máximo?
Figura 17: Exemplo de nível disponível (DANTE, 2009, p.97)
Como podemos constatar, o exemplo acima não evidência qual o
procedimento a ser tomado para a resolução do problema. Na tarefa, os lugares
desocupados são classificados com
preço por pessoa como
de
por
uma
, os lugares ocupados como
. O faturamento F pode ser expresso em função
função
quadrática
. O faturamento máximo acontece quando
do vértice da parábola):
e o
(abscissa
.
Dispondo desses saberes, o estudante chegará à conclusão de que a
companhia obterá o faturamento máximo, se tiver, no máximo, 25 lugares não
ocupados. A tecnologia acima coloca em evidência as necessidades de conversão
do enunciado em expressões algébricas que serão utilizadas para determinar a
função quadrática, a qual não é explicitada no enunciado, ficando a cargo do
estudante a modelagem da situação por meio dessa função.
Levando em consideração as noções de praxeologia e ostensivos e não
ostensivos definidas na Teoria Antropológica do Didático – TAD, assim como as
noções de quadro, mudança de quadro e níveis de conhecimento esperados dos
estudantes, foi constituída grade de analise. O intuito desta é servir de instrumento
que permita analisar os diferentes níveis de conhecimento exigidos dos estudantes
em função dos tipos de tarefas propostas nas diferentes etapas escolares para o
processo de ensino e aprendizagem da noção de função quadrática.
Estudamos as diferentes tarefas, usualmente encontradas nos livros didáticos
de matemática destinados ao nono ano do Ensino Fundamental, ao primeiro ano do
93
Ensino Médio e ao Curso de Cálculo do Ensino Superior, para as noções de
equação quadrática e função quadrática. Em seguida, analisamos os diferentes
níveis de conhecimento exigidos dos estudantes na solução destas tarefas.
Para a noção de função quadrática consideramos as seguintes noções.
 Noção de valor numérico
 Noção de polinômio
 Noção de sistema cartesiano
 Noção de áreas de figuras planas
As diferentes tarefas foram selecionadas nos livros didáticos para cada uma
dessas noções, de forma a considerar as teorias, técnicas e a tecnologia envolvidas,
bem como suas respectivas formas de conhecimento. Consideramos as seguintes
variáveis das tarefas:
 O quadro em que a tarefa é enunciada
 As técnicas, tecnologias e teorias utilizadas na solução da tarefa
 Os ostensivos e não ostensivos em jogo
 O quadro em que a tarefa é resolvida
 Os níveis de conhecimento necessários para a execução da tarefa
Na sequência, apresentamos os exemplos de funcionamento da grade. Esta
permite analisar as tarefas encontradas nos livros didáticos referentes à noção de
função quadrática para os Ensinos Fundamental, Médio e Superior.
Nosso estudo possibilitou identificar as tarefas abaixo relacionadas para as
quais coligamos com EF – Ensino Fundamental, EM – Ensino Médio e ES – Ensino
Superior.
94
Tabela 6: Tarefas usualmente encontradas no processo de ensino e aprendizagem da noção de
função quadrática.
Tarefa 1
Esboçar o gráfico e determinar o vértice de uma função quadrática.
(EF, EM, ES)
Tarefa 2
Situação intramatemática modelada por meio de uma função
quadrática. (EF, EM, ES)
Tarefa 3
Situação extramatemática modelada por meio de uma função
quadrática. (EF, EM, ES)
Tarefa 4
Determinar as raízes de uma equação e de uma função quadrática
sem parâmetros e sob determinada condição. (EF, EM, ES)
Tarefa 5
Determinar máximos e mínimos de uma função quadrática. (EF, EM,
ES)
Tarefa 6
Observar o deslocamento de uma função quadrática quando
variamos os coeficientes a, b e c. (EM, ES)
Tarefa 7
Dada uma situação contextualizada, determinar máximo e mínimo
da função quadrática correspondente. (EM, ES)
Tarefa 8
Dados três pontos do gráfico de uma função quadrática, determinar
a sua representação simbólica. (EM, ES)
Tarefa 9
Estudar o sinal de uma função quadrática sem parâmetro. (EM, ES)
Tarefa 10
Resolver inequações por meio do estudo do sinal de uma função
quadrática. (EM,ES)
Tarefa 11
Estudar a taxa de variação de uma função quadrática. (EM, ES)
Tarefa 12
Esboçar o gráfico de uma função quadrática, envolvendo a noção de
módulo. (EM, ES)
Na sequência, apresentamos exemplos de aplicação da grade para cada uma
das tarefas da tabela 6.
95
4.5 A grade de análise
Para a aplicação da grade nos exemplos associados a cada tarefa,
enunciamos a tarefa geral, seguida de um exemplo específico para o qual aplicamos
a grade de análise.
Tarefa 1: Esboçar o gráfico e determinar o vértice de uma função quadrática.
Vamos construir o gráfico da função quadrática definida por y = x2 – 2x – 3 com x real.
Quanto mais valores escolhemos para x, mais fácil fica o traçado da parábola.
Dante, 2008, p.97.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico e numérico.
Técnica: Atribuir os valores de x aleatoriamente para construir o gráfico e, por meio da
fórmula dada, determinar o vértice. Determinar o vértice e as raízes reais, isto é, escolher
três pontos bem determinados. No caso em que a função não apresenta raízes reais, podese escolher um ponto e seu simétrico em relação ao vértice.
Tecnologia: A escolha dos valores de x deve permitir que se construa um gráfico no qual
seja possível identificar o vértice e a concavidade da parábola. No caso da técnica dos três
pontos, calculam-se as coordenadas do vértice por meio da formula
e as
raízes a partir da decomposição em fatores, pela soma e pelo produto ou pela fórmula de
Bhaskara.
Teoria: Fatoração de polinômios, estudo das equações, estudo da função quadrática.
96
Ostensivos em jogo: gráfico, utilizando uma representação tabela e a representação dos
pontos da tabela no sistema cartesiano ortogonal, gestual (indicação do vértice e
concavidade no gráfico), discursivo (discurso apresentado nas observações) e escriturais
(formalismo identificado na fórmula).
Não ostensivos: gráfico e vértice da função quadrática, raízes de uma equação quadrática,
simetria, parábola.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico e aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à construção do gráfico de uma função
quadrática e suas propriedades.
Figura 18: Exemplo 1 da tarefa 1 (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
Stocco & Diniz, 2010, p.118
Quadro em que a tarefa é enunciada: geométrico e aritmético algébrico.
97
Técnica: As mesmas utilizadas na tarefa acima com o cuidado de distinguir ordenadas e
abscissas e a propriedade de simetria em relação à reta que passa pelo vértice.
Tecnologia: A ênfase é dada à técnica que corresponde ao cálculo do vértice, identificando
o eixo de simetria e dois pontos simétricos em relação ao eixo. São escolhidos exemplos
onde a raiz tem multiplicidade dois ou não existem raízes reais, o que completa o estudo
desenvolvido na 8ª série, quando se calculava o vértice e se identificava o eixo de simetria,
mas não se utilizava a linguagem matemática, isto é, um novo tipo de discurso para
identificar os ostensivos necessários para justificar a técnica empregada. Ao construir o
gráfico, desenvolve-se um discurso que ressalta as propriedades das parábolas em função
de seus coeficientes a e c.
Teoria: Fatoração de polinômios, estudo das equações, estudo da função quadrática.
Ostensivos em jogo: gráfico e vértice da função quadrática, raízes de uma equação
quadrática, simetria, parábola.
Não ostensivos: gráfico e vértice da função quadrática, raízes de uma equação quadrática,
simetria, parábola, ordenada e abscissa para a representação de pontos no sistema
cartesiano ortogonal.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico e numérico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à noção de função quadrática e de gráfico
da função quadrática, disponível em relação ao cálculo do valor numérico da função para
cada valor de x, identificação do ponto respectivo e representação do ponto sobre o sistema
cartesiano ortogonal.
Figura 19: Exemplo 2 da tarefa 1. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
98
Tarefa 2: Situação intra-matemática modelada por meio de uma função quadrática.
Dante, 2008, p.67
Quadro em que a tarefa é enunciada: geométrico.
Técnica: Determinar as equações correspondentes aos dados, perímetro e área. A partir
das duas equações, encontrar a função quadrática (função área) e resolver a equação do
segundo grau.
Tecnologia: Considerar x como comprimento e y como largura e determinar a equação x +
y = 21 (comprimento + largura é igual à metade do perímetro) por se tratar de um retângulo.
Utilizando as mesmas incógnitas, escrever a equação da área x.y = 104. Resolver o sistema
de equações encontrado para determinar as dimensões do retângulo.
Teoria: estudo das equações e dos sistemas de equações quadráticas.
Ostensivos em jogo: figural (figura dada no enunciado) e escritural (lados e cálculo do
perímetro e da área).
Não ostensivos: noção de perímetro e área de retângulo e cálculo das raízes de uma
equação do segundo grau.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à noção de perímetro e área e disponível
em relação ao conceito de equação do segundo grau, função quadrática e sistema de
equações.
Figura 20: Exemplo da tarefa 2. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
99
Tarefa 3: Situação extramatemática modelada por meio de uma função quadrática.
Em geral, a trajetória da bola em um chute descreve uma parábola. Supondo que a altura
h(em metros) em que a bola se encontra, tsegundos após o chute, seja dada pela fóruma h=
-t2 + 6t, responda:
a) Como é o gráfico dessa função? Desenhe-o em seu caderno.
b) Qual é o eixo de simetria do gráfico?
c) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
d) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
e) Qual é o par ordenado que representa o ponto de altura máxima dessa trajetória?
Dante, 2008, p.100
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico e da física.
Técnica: Construir o gráfico, encontrar o eixo de simetria, identificar o máximo da função.
Determinar o vértice e as raízes da equação para h = 0.
Tecnologia: No plano cartesiano, identificar pares ordenados correspondentes à equação
dada e, por meio de observação do gráfico já construído, identificar os vértices na
coordenada x e y.
Teoria: estudo da função e gráfico de uma função.
Ostensivos em jogo: discursivo, gráfico, escritural e gestual.
Não ostensivos: noção de função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: gráfico e algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação às propriedades do gráfico de uma função
quadrática e à noção de variação da altura em relação ao tempo desenvolvido em
Cinemática. Disponível em relação à noção de vértice da função quadrática e associação à
altura máxima.
Figura 21: Exemplo 1 da tarefa 3. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
100
(UFF-RJ – 2007) Se um cabo suporta um peso homogêneo muito maior que o seu próprio
peso, ele toma a forma de uma parábola. As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem
200m e são perpendiculares à pista de rolamento DC, que mede 1000m. O cabo de
sustentação preso às torres nos pontos A e B tem a forma de uma parábola com vértice no
ponto médio O de DC, conforme a figura a seguir.
a) Determine, em relação ao sistema Oxy, a equação da parábola de vértice O que passa
pelos pontos A e B.
b) Se o fio de aço EF de 72m de comprimento é preso ao cabo de sustentação no ponto E é
perpendicular à pista de rolamento no ponto F (conforme mostra a figura), calcule a medida
de FC.
Stocco & Diniz, 2010, p.118
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico e aritmético algébrico.
Técnica: Identificar a função quadrática do tipo y = ax2, substituindo os pares ordenados
encontrados no gráfico.
Tecnologia: Verificar que se a função quadrática possui apenas o parâmetro a e se o
vértice tem coordenada (0,0). Substituir os valores de y e x conforme os pares ordenados
verificados no gráfico e encontrar a equação. Para encontrar a medida FC, pode-se
substituir a coordenada y = 72 para obter a coordenada em x, encontrando a medida OF que
é complemento de FC.
Teoria: estudo das funções e gráfico de uma função.
Ostensivos em jogo: figural (figura dada no enunciado) e escritural.
101
Não ostensivos: noção de função quadrática e suas propriedades.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável para a noção de função quadrática, o gráfico e suas
propriedades.
Figura 22: Exemplo 2 da tarefa 3. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o
lucro total, R é a receita total e C é o custo toal da produção. Numa empresa que produziu x
unidades, verificou-se que
e
. Nessas condições,
qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?
Dante, 2009, p.87.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: Calcular o vértice da função Lucro, subtraindo as funções receita e custo.
Tecnologia: Subtrair a função R(receita) da função C(custo) para encontrar a função L
(Lucro) e determinar o vértice em x, aplicando a fórmula
ou construir o gráfico para
verificar a coordenada em x do vértice.
Teoria: estudo da função quadrática.
Ostensivos em jogo: discursivo e escritural.
Não ostensivos: determinar o vértice de uma equação do segundo grau.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável para a noção de receita e custo, e disponível para a
associação com a noção de função quadrática, vértice, raízes e propriedades dessa função.
Figura 23: Exemplo 3 da tarefa 3. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
102
Tarefa 4: Determinar as raízes de uma equação e de uma função quadrática sem parâmetros e sob
determinada condição.
Considere agora a equação 9x2 + 9x + 2 = 0.
a) Identifique os coeficientes a, b e c dessa equação.
b) Calcule o valor de
c) Determine os valores de
.
d) Quais são os valores da equação 9x2 + 9x + 2 = 0?
e) Verifique se as raízes que você encontrou estão corretas.
Dante, 2008, p.59.
Quadro em que a tarefa é enunciada: aritmético algébrico.
Técnica: encontrar os zeros da equação, substituindo na fórmula.
Tecnologia: determinar os valores dos coeficientes a, b e c. Substituir os valores
encontrados na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes da equação. Substituir as raízes
na equação para verificar se as raízes encontradas estão corretas.
Teoria: estudo das funções quadráticas.
Ostensivos em jogo: escritural.
Não ostensivos: noção de função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à identificação dos coeficientes de uma
equação do segundo grau e em relação à aplicação da fórmula de Bhaskara. Disponível em
relação às operações com números reais, incluindo potenciação e radiciação.
Figura 24: Exemplo 1 da tarefa 4. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
103
Determine as raízes (ou zeros) reais das funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Stocco & Diniz, 2010, p.127.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: Soma e produto (ensino fundamental). Aplicar o método para o cálculo das raízes
de Bhaskara (ensino fundamental).
Tecnologia: calcular as raízes da equação quando
. Por meio da fórmula de
Bhaskara, substituindo os valores de a, b e c na fórmula ou encontrando quais são as raízes
através do método de soma e produto que obedecem ao padrão
Teoria: estudo das equações quadráticas.
Ostensivos em jogo: escriturais.
Não ostensivos: as quatro operações, operações de potenciação, radiciação e o cálculo
das raízes.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: Mobilizável em relação à noção de equação de segundo grau e
disponível para um método de solução de equação do segundo grau.
Figura 25: Exemplo 2 da tarefa 4. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
104
Dante, 2009, p.77.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: encontrar os zeros da equação.
Tecnologia: tendo a equação no formato
, separar o coeficiente a do
primeiro termo, completar o quadrado dos dois primeiros termos e, adicionando o oposto do
valor no terceiro termo, resolver a equação, que fornecerá as raízes. Pode-se utilizar a
fórmula
e
, substituindo a
, que deverá ser resolvida para
encontrar as raízes.
Teoria: estudo das equações quadráticas.
Ostensivos em jogo: escritural.
Não ostensivos: valor numérico, função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico e a aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à função quadrática na forma canônica.
Observação: A forma canônica corresponde a um método que possibilita determinar o
vértice e as raízes da função quadrática, mas os conhecimentos necessários para a
passagem à forma canônica podem dificultar sua utilização por aqueles que já dominam
Bhaskara e dispõem da fórmula do vértice.
Figura 26: Exemplo 3 da tarefa 4. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
105
Tarefa 5: Determinar máximos e mínimos de uma função quadrática.
Considere a função dada por
, para x real.
Faça o que se pede em seu caderno.
a) Copie e complete esta tabela:
b) Construa o gráfico dessa função.
c) Qual é o eixo de simetria desse gráfico?
d) Para que valor de x, o valor de y é mínimo ( o menor possível)?
e) Quais são os zeros da função
?
Stocco & Diniz, 2010, p.127.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: determinar o valor numérico da função descrita, construir o gráfico, determinar o
eixo de simetria, o mínimo e as raízes da função quadrática.
Tecnologia: calcular os valores de y da função quadrática, utilizando os valores de x dados
na tabela, construir o gráfico com as coordenadas do quadro ou encontrando as raízes e o
vértice da função. Observar qual o mínimo da função no gráfico ou utilizar o dado já
encontrado na formula de vértice. Extrair do gráfico da informação das raízes ou determinar
as raízes na fórmula já aplicada de Bhaskara ou soma e produto.
Ostensivos em jogo: escritural, gráfico e discursivo.
Não ostensivos: gráfico e vértice da função quadrática, raízes de uma equação quadrática,
simetria, parábola.
Quadro em que a tarefa é resolvida: gráfico e aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à construção do gráfico e em relação à
função quadrática.
Figura 27: Exemplo 1 da tarefa 5. (Análise desenvolvida pelo pesquisador) (DANTE, 2008, p.98).
106
A função
tem valor mínimo igual a 4. Determine m.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: por meio do valor do mínimo da função quadrática dado no enunciado, determinar
o parâmetro m.
Tecnologia: identificar a fórmula de vértice em y para encontrar o m da função quadrática,
ou seja, igualar 4 a
.
Teoria: noção de função quadrática.
Ostensivos em jogo: escritural.
Não ostensivos: vértice da função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à função quadrática, especificamente ao
vértice e à determinação de das raízes e de delta.
Figura 28: Exemplo 2 da tarefa 5. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
107
Verifique se as seguintes funções admitem valor máximo ou valor mínimo e calcule esse
valor:
a)
b)
c)
Dante, 2009, p.86.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: verificar qual o sinal do parâmetro a e calcular o vértice da função ou esboçar o
gráfico para observar a variação da concavidade.
Tecnologia: Concavidade para cima ou para baixo, segundo o sinal positivo ou negativo do
parâmetro a e mais fechada e mais aberta conforme o valor do parâmetro a (coeficiente de
x2) é maior que 1 ou está entre 0 e 1.
Teoria: estudo das funções quadráticas e de seu gráfico.
Ostensivos em jogo: escritural, discursivo ou gráfico.
Não ostensivos: noção de função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação a máximo e mínimo da função quadrática e
técnico em relação ao vértice da função quadrática.
Figura 29: Exemplo 3 da tarefa 5. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
108
Tarefa 6: Observar o deslocamento de uma função quadrática quando variamos os coeficientes a, b e
c.
109
Dante, 2009, p.81.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: esboçar o gráfico para observar a variação da concavidade e da abertura da
parábola em função do sinal do coeficiente e x2.
110
Tecnologia: Concavidade para cima ou para baixo, segundo o sinal positivo ou negativo do
parâmetro a e mais fechada e mais aberta conforme o parâmetro a (coeficiente de x2) seja
maior que 1 ou menor que 1 respectivamente.
Teoria: estudo das funções quadráticas e de seus gráficos.
Ostensivos em jogo: gráfico (gráfico dado no exemplo).
Não ostensivos: esboço e construção do gráfico.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação ao esboço e à construção do gráfico e
disponível em relação às propriedades do gráfico em função do coeficiente a.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: esboçar o gráfico para observar a variação da concavidade e da abertura da
parábola em função do sinal do coeficiente e x2. Verificar qual o valor de b a atribuir e qual é
o ramo da parábola quando cruza o eixo y. E o eixo y será interceptado pela parábola no
ponto c da parábola.
Tecnologia: Concavidade para cima ou para baixo, segundo o sinal positivo ou negativo do
parâmetro a e mais fechada e mais aberta conforme o parâmetro (coeficiente de x2) for
maior que 1 ou menor que 1 respectivamente. Se b = 0, a parábola cruza o eixo no vértice,
se b > 0, o ramo da parábola, quando intercepta em y, será crescente, porém, se b < 0, a
parábola cruzará o eixo da ordenadas com o ramo decrescente. O parâmetro c determina
qual ponto será interceptado o eixo y.
Teoria: estudo das funções quadráticas e de seus gráficos.
Ostensivos em jogo: gráfico e discursivo.
Não ostensivos: noção de função quadrática e suas representações.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à construção do gráfico.
Figura 30: Exemplo da tarefa 6. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
111
Tarefa 7: Dada uma situação contextualizada, determinar máximo e mínimo da função quadrática
correspondente:
(UFG-GO – 2007) Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada
marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é R$ 6,00, e o lucro do supermercado,
em cada pacote vendido, é de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preço do
pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de x reais, mas, em compensação, o
supermercado aumentará sua venda em 400x pacotes por semana. Nestas condições,
calcule:
a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00.
b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado suja máximo, no período
considerado.
Stocco & Diniz, 2010, p.131.
Quadro em que a tarefa é enunciada: aritmético algébrico.
Técnica: encontrar a expressão matemática, função quadrática, que determinará o lucro
após o desconto e encontrar o vértice da função.
Tecnologia: determinar o lucro, multiplicando o lucro por pacote pela quantidade vendida,
obtendo, assim, R$ 800,00 de lucro. Após um desconto de R$ 1,00, venderá 800 pacotes e
obtendo
um
lucro
de
R$
800,00.
A
expressão
do
lucro
Por meio da fórmula de vértice em
, que irá verificar que o lucro máximo será de R$ 900,00.
Teoria: estudo das funções quadráticas.
Ostensivos em jogo: escritural e discursivo.
Não ostensivos: noção de função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico e aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: disponível em relação à noção de função quadrática e às suas
propriedades.
Figura 31: Exemplo 1 da tarefa 7. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
112
Dante, 2009, p.86.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico e da física.
Técnica: Construir o gráfico, encontrar o eixo de simetria, identificar o máximo da função.
Determinar o vértice e as raízes da equação para h = 0.
Tecnologia: No plano cartesiano, identificar pares ordenados correspondentes à equação
dada e, por meio de observação do gráfico já construído, identificar os vértice nas
coordenadas x e y.
Teoria: estudo da função quadrática e de suas propriedades.
Ostensivos em jogo: discursivo, gráfico, escritural e gestual.
Não ostensivos: noção de função quadrática e suas propriedades.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação às propriedades do gráfico de uma função
quadrática.
Figura 32: Exemplo 2 da tarefa 7. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
113
Tarefa 8: Dados três pontos do gráfico de uma função quadrática determinar a sua representação
simbólica.
Determine a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos (1,8), (0,3) e (2,-1).
Stocco & Diniz, 2010, p.127.
Quadro em que a tarefa é enunciada: aritmético algébrico.
Técnica: Por meio das coordenadas e da função genérica, determinar três equações nas
variáveis a, b, e c. Construir e resolver um sistema de três equações e três incógnitas.
Tecnologia: Identificar a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c e
substituir as coordenadas (x, y) dos pontos dados, determinando, assim, um sistema de três
equações e três incógnitas. Utilizar um método para solução do sistema. Pode-se aplicar o
método do escalonamento ou o método de Gauss.
Para o exemplo dado, é possível calcular o valor de c, partindo do ponto (0, 3) e substituir na
função f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c antes de utilizar os dois outros pontos. Nesse
momento, recai-se sobre um sistema de duas equações e duas incógnitas para o qual se
pode também aplicar o método de escalonamento ou o método de Gauss ou qualquer outro
método de resolução de sistemas 2x2.
Teoria: estudo das funções quadráticas e suas propriedades e dos sistemas de equações
lineares 2x2 ou 3x3, dependendo da técnica escolhida para desenvolver a tarefa.
Ostensivos em jogo: escritural.
Não ostensivos: equação e sistema de equações lineares.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à noção de função quadrática, e disponível
em relação à determinação do valor numérico da função no ponto dado e à resolução de um
sistema de três equações e três incógnitas ou duas equações e duas incógnitas.
Figura 33: Exemplo 1 da tarefa 8. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
114
Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0,4) e
tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças
corresponde a essa função:
a)
b)
c)
Dante, 2009, p.84.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico e aritmético algébrico.
Técnica: construir a parábola por meio das coordenadas dada e determinar a função
quadrática correspondente.
Tecnologia: por meio destas três coordenadas, constrói-se a parábola. Pontuando as
coordenadas no plano cartesiano, que fornecerá a parte direita da parábola, considerando o
eixo de simetria, tendo a coordenada do vértice em x e uma raiz. Aplicando a propriedade
de simetria, verifica-se que a outra raiz está na coordenada (0,0), completando a parábola.
Para encontrar a função, considera o deslocamento e a abertura da parábola, pela fórmula
canônica
, onde m corresponde ao deslocamento no eixo x, portanto, a
parábola desloca-se duas unidades para a direita e há o deslocamento para baixo em 4
unidades que determina o k e o a será 2, a abertura da parábola e menor em relação à
função x2 e positiva porque a parábola tem concavidade para cima,
desenvolvida será
.
Teoria: estudo das equações quadráticas e suas propriedades, estudo da função quadrática
e suas propriedades.
Ostensivos em jogo: gráfico, escritural e discursivo.
Não ostensivos: gráfico e vértice da função quadrática, simetria e parábola.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à função quadrática na forma canônica.
Figura 34: Exemplo 2 da tarefa 8. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
115
Tarefa 9: Estudar o sinal de uma função quadrática sem parâmetro.
Estude o sinal de cada função.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Stocco & Diniz, 2010, p.131.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico ou aritmético algébrico.
Técnica: Determinar os valores de x
D(f) para quais f(x)
0 ou f(x) = 0 ou f(x)
0.
Tecnologia: construir o gráfico de cada uma das funções quadráticas e verificar o valor de ∆
e do parâmetro a, se ∆ for negativo, só depende de a para determinar o sinal da função, se
∆ for igual a zero ou maior que zero, além do parâmetro a, é preciso determinar os valores
das raízes.
Teoria: estudo das funções quadráticas e suas propriedades.
Ostensivos em jogo: gráfico, escritural e discursivo.
Não ostensivos: método para determinar as raízes e estudar o sinal da função.
Quadro em que a tarefa é resolvida: aritmético algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação ao gráfico e à interpretação do sinal da
função.
Figura 35: Exemplo da tarefa 9. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
116
Tarefa 10: Resolver inequações por meio do estudo do sinal de uma função quadrática.
Stocco & Diniz, 2010, p.133.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: estudar o sinal da função para solucionar a inequação.
Tecnologia: construir o gráfico da função, determinar onde o sinal da função corresponde
com a solicitação do enunciado.
Teoria: estudo da função quadrática.
Ostensivos em jogo: gráfico e escritural.
Não ostensivos: construção do gráfico da função quadrática.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação ao gráfico e sua interpretação.
Figura 36: Exemplo 1 da tarefa 10. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
117
Dante, 2009, p.90.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: resolver a inequação quadrática e estudar o sinal da função para que corresponda
com a solicitação do enunciado.
Tecnologia: encontrar as raízes da inequação e verificar para quais valores em y a
inequação é positiva.
Teoria: estudo da inequação quadrática.
Ostensivos em jogo: gráfico, escritural.
Não ostensivos: função quadrática, inequação.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à construção do gráfico e ao estudo do
sinal da função.
Figura 37: Exemplo 2 da tarefa 10. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
118
Tarefa 11: Estudar a taxa de variação de uma função quadrática.
Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo a partir do ponto de abscissa -12,
com velocidade inicial de 7 m/s e aceleração constante de -2m/s2. Em quanto tempo a
trajetória mudará de sentido?
O problema pode ser resolvido de duas maneiras:
1ª maneira
A trajetória da partícula é dada em função do tempo por:
Neste caso, a = -2, b = 7 e c = -12. Assim, temos
Ponto máximo:
2ª maneira
Nesse instante, a velocidade é zero, ou seja, v(t) = 0.
Então
Obs:
119
Dante, 2009, p.94.
Quadro em que a tarefa é enunciada: aritmético algébrico.
Técnica 1: na primeira maneira, identificar os coeficientes da equação quadrática e resolver
esta equação e, na segunda maneira, aplicar a taxa de variação para encontrar da
velocidade a partir da equação do espaço.
120
Técnica 2: Aplicar a noção de taxa de variação. No caso, trata-se de calcular a taxa de
variação da função do espaço em relação ao tempo, determinando, assim, a função da
velocidade em relação ao tempo. Esse trabalho corresponde a determinar a derivada da
função espaço em relação ao tempo por meio do ponto de vista taxa de variação. Essa
escolha corresponde a um dos pontos de vista introduzidos por Thurston (1994) para o
estudo da noção de derivada de uma função.
Tecnologia:
na
primeira
maneira,
identificar
a
equação
quadrática
do
tipo
, onde a é igual a -2, b é 7 e c é -12, formando, assim, a função
. Encontrar o máximo da função, utilizando a fórmula
que
obtém o resultado 3,5. Na segunda opção, corresponde ao cálculo da primeira derivada.
Teoria: estudo da função quadrática ou da noção de derivada de uma função enquanto taxa
de variação.
Ostensivos em jogo: escritural e discursivo.
Não ostensivos: noção de máximo e mínimo e noção de taxa de variação.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico ou analítico.
Nível de conhecimento: disponível em relação à função quadrática e à noção de máximo e
mínimo ou disponível em relação à taxa de variação, ao “limite” e à derivada de função
polinomial.
Figura 38: Exemplo da tarefa 11. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
121
Tarefa 12: Esboçar o gráfico de uma função quadrática envolvendo a noção de módulo.
O gráfico ao lado representa uma função modular do tipo
Stocco, 2010, p.227.
a) Qual é essa função?
b) Considerando
, qual é o conjunto imagem?
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: determinar a função quadrática, considerando seu módulo.
Tecnologia: encontrar a função quadrática, determinando o simétrico Ox para a parte
negativa do gráfico. Assim, tendo as três coordenadas da parábola, determinar um sistema
linear 3x3ou 2x2 para encontrar os coeficientes da função.
Teoria: estudo da função quadrática e suas propriedades e a noção de módulo.
Ostensivos em jogo: gráfico e escritural.
Não ostensivos: função quadrática e a noção de módulo.
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à noção de função quadrática e ao módulo.
Figura 39: Exemplo 1 da tarefa 12. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
122
Dante, 2009, p.103.
Quadro em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Técnica: construir o gráfico da função modular quadrática.
Tecnologia: construir o gráfico das duas funções encontradas, a função
ambas estão no mesmo plano cartesiano, a parábola da função
como
tem a
mesmas raízes, mas com concavidades opostas. Assim, deve-se considerar apenas a parte
positiva.
Teoria: noção de função quadrática e função modular.
Ostensivos em jogo: gráfico, escritural.
Não ostensivos: estudo da função quadrática e a noção de módulo.
123
Quadro em que a tarefa é resolvida: algébrico.
Nível de conhecimento: mobilizável em relação à construção do gráfico da função
quadrática, considerando o módulo desta.
Figura 40: Exemplo 2 da tarefa 12. (Análise desenvolvida pelo pesquisador)
4.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Neste capítulo, pudemos observar que, ao considerar as três etapas
escolares, Ensinos Fundamental, Médio e Superior, o número de tarefas associadas
à noção de função quadrática e às suas propriedades é reduzido e as novas
necessidades em termos de conhecimentos a serem desenvolvidos podem ser
consideradas como novos modos de organização dos conhecimentos, novos modos
de comunicação e novas expectativas institucionais, se nos referimos ao trabalho de
Gueudet (2008). Por exemplo, para a tarefa de determinação de máximos e mínimos
da função quadrática, quando introduzido nos Ensinos Fundamental e Médio, tratase de determinar o vértice da parábola representada por essa função.
No Ensino Superior, em geral, não se recorre ao gráfico e às propriedades da
função quadrática, mas sim se utiliza a noção de derivada. Nesse caso, a nova
técnica para tratamento da mesma tarefa está associada à introdução de um novo
conhecimento e a função quadrática pode ser utilizada como meio de criar as
imagens mentais para o estudo de outras funções e/ou para controlar os resultados
encontrados quando se dispõem dos conhecimentos que se supõe tenham sido
trabalhados nos Ensinos Fundamental e Médio.
Nossa interpretação está associada ao fato de que no Ensino Fundamental,
em geral, trabalha-se a noção de função apenas como uma ação que age sobre um
número e o transforma em outro. Esse trabalho é retomado no ensino médio e, por
meio da representação gráfica da função, sendo assim, é possível tratá-la como um
processo. O objeto função só será desenvolvido no ensino superior quando
considerarmos as propriedades relativas às funções enquanto conjuntos de
elementos sobre os quais podemos efetuar somas, calcular sua derivada, etc. Essa
124
interpretação está associada ao trabalho de Dubinsky (1991) sobre a transição
processo-objeto.
Assim, Gueudet (2008), mostra que as tarefas associadas à noção de função
quadrática são trabalhadas no Ensino Fundamental, revisitadas nos Ensinos Médio
e Superior, conforme tabela 6, com os diferentes tipos de tarefas. Certamente, o
trabalho desenvolvido nas diferentes etapas escolares pode ser retomado, mas, em
geral, outras técnicas e novos conhecimentos são desenvolvidos por meio dessas
mesmas tarefas.
Finalmente, observamos que o estudo da função quadrática no Ensino Médio
está centrado no quadro algébrico ou aritmético algébrico e que as propriedades
dessa função só são estudadas no quadro analítico no início do Ensino Superior,
quando se introduz a noção de derivada de função polinomial.
No próximo capítulo, apresentamos o estudo das expectativas institucionais
existente para o Ensino e a aprendizagem das noções equação de função
quadrática e no Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior.
125
CAPÍTULO 5
AS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES PARA O ENSINO E A
APRENDIZAGEM DAS NOÇÕES DE EQUAÇÃO QUADRÁTICA E
FUNÇÃO QUADRÁTICA NOS ENSINO FUNDAMENTAL, MÉDIO E
SUPERIOR
5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Para o estudo das relações institucionais existentes quando se considera a
noção de equação quadrática e a noção de função quadrática, analisamos os livros
didáticos das três etapas escolares do Ensino Fundamental, Ensino Médio e o
Ensino Superior. Este instrumento foi escolhido como objeto de estudo por ser um
material que vem sendo avaliado e distribuído pelo Ministério da Educação - (MEC)
para todas as escolas públicas do Brasil, o que evidencia sua marcante presença
em sala de aula.
Segundo o Guia dos Livros Didáticos – PNLD (BRASIL, 2008), o livro didático
é um elemento do processo de ensino-aprendizagem e, como tal, desempenha um
papel importante de apoio ao trabalho do professor e de seus alunos. De acordo
com o Catalogo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM
(BRASIL, 2009), o livro didático ainda se apresenta como um instrumento eficiente,
mesmo diante de um mundo marcado pela existência de múltiplos recursos
direcionados à prática pedagógica.
Conforme as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),
o professor conta com uma sequência já organizada de apresentação dos assuntos
no livro didático, podendo selecionar os temas e resolver como eles serão
trabalhados. Tais orientações ainda ressaltam que, historicamente, a escola se
apoia nesse material porque outros materiais didáticos estão fora do seu contexto ou
são inadequados para se desenvolver as relações institucionais esperadas.
126
Então, para a seleção das obras que estudamos, utilizamos os autores que
foram avaliados os seus livros pela proposta apresentada pelo PNLEM – (BRASIL,
2008). Este classificou os pontos fortes e fracos de cada obra para as noções
consideradas nesta pesquisa.
Assim, para o Ensino Superior, também consideramos o livro didático como
uma relação institucional existente, porque ele é indicado nos planos de ensinos por
exigência dos avaliadores institucionais. Além disso, representando uma das fontes
para o desenvolvimento das disciplinas, os livros didáticos são quem auxiliam o
avaliador a compreender a ênfase dada ao desenvolvimento das matérias,
informação esta que fica evidenciada principalmente a partir da bibliografia básica.
Os livros selecionados para a realização de nossa pesquisa são apresentados
na tabela a seguir. Nela, estão indicados: o título, o autor, o ano de publicação e o
nível de ensino a que a obra se destina.
Tabela 7: Obras didáticas analisadas na pesquisa.
Título do livro e Volume
Autor
Ano
Ensino
Tudo é Matemática
Luiz Roberto Dante
2008
Fundamental
Matemática – Ensino
Kátia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz
2010
Médio
Matemática – Vol. Único
Luiz Roberto Dante
2009
Médio
Cálculo – Vol. I
James Stewart
2009
Superior
Médio Vol. I
Iniciaremos pela análise feita pelo Guia de Livros Didáticos PNLD – (BRASIL,
2008), o qual é direcionado para os anos finais do Ensino Fundamental e analisa os
livros didáticos de matemática. Nesse Guia, consta a avaliação do Livro do Dante,
“Tudo é Matemática”, coleção esta que é bem avaliada, conforme vamos
demonstrar. Nessa avaliação, é ressaltada a diversidade de representações
matemáticas tanto em língua materna como em relação aos simbolismos
matemáticos, tais como os gráficos, os diagramas, as tabelas, isto é, os ostensivos
de representação escrita. Destacam-se as inúmeras atividades de revisão como um
ponto positivo para a articulação dos conhecimentos novos com os já abordados.
127
Ainda considerando a avaliação do PNLD, quando estudamos o objeto de
análise desse trabalho, ou seja, as equações e as funções quadráticas, vemos que é
citado o fato de que, para o tratamento da álgebra na oitava série, a qual
corresponde atualmente ao nono ano, o estudo de funções é apoiado na noção de
correspondência entre grandezas variáveis e os papéis das letras são explicitados
com clareza. Além disso, a linguagem algébrica na obra de Dante é bem
apresentada,
a
metodologia
de
ensino-aprendizagem
procura
estimular
a
experimentação e a reflexão, incentivando os estudantes a recorrerem a suas
vivências e a conversar sobre Matemática.
Essa avaliação positiva do livro de Dante (2009) foi importante para a nossa
escolha, em particular, porque os avaliadores colocam em evidência a explicitação
do trabalho matemático realizado por meio tanto da língua materna como dos
simbolismos algébricos. Isto, em nosso trabalho, corresponde aos ostensivos de
representação escrita e oral, observando que os avaliadores dão ênfase à atividade
com os ostensivos para explicitar e com os não ostensivos, ainda que não utilizem
essa nomenclatura.
Já quando consideramos o Catálogo do Programa Nacional de Livro para o
Ensino Médio – PNLEM (BRASIL, 2009), verificamos, na resenha da obra de Stocco
& Diniz (2010), que a apresentação dos conteúdos é clara e articulada, mas que há
imprecisões conceituais em algumas seções da obra, incluindo as noções relativas
às funções. Mesmo assim, no final do trabalho, os avaliadores afirmam que as
imprecisões observadas não afetam a qualidade integral da obra.
Nesse mesmo documento, encontramos a avaliação do terceiro livro, a obra
de Dante (2009) proposta para o Ensino Médio, a qual também foi indicada pelo
PNLEM e, na sua síntese avaliativa, destacam-se a abordagem inovadora dada e a
integração harmônica entre seus tópicos. Além disso, existe uma indicação positiva
ao trabalho desenvolvido, pois não há o esgotamento do conteúdo em único
capítulo, ou seja, os conhecimentos são revisitados e aplicados na introdução de
novos conhecimentos, possibilitando a apropriação dos mesmos pelos estudantes e
a articulação dos diferentes conteúdos.
128
Em relação à articulação mencionada, o documento cita o exemplo do
conteúdo de estudo desta pesquisa, pois, na obra, é proposta a articulação entre a
noção de parábola, desenvolvida no estudo das cônicas em Geometria Analítica,
com o estudo da função quadrática. Os avaliadores observam que essa ação
metodológica confere agilidade à interação, o que consideramos uma forma de
revisitar o conteúdo de maneira contextualizada sem repetir o mesmo trabalho
desenvolvido anteriormente.
Os avaliadores observam ainda que são feitas várias articulações entre os
conteúdos matemáticos e outras áreas do conhecimento e destacam como um dos
exemplos a relação entre função quadrática e movimento uniformemente variado.
Como ponto negativo, a avaliação dessa obra de Dante trouxe a falta das noções de
limite e derivada, as quais são propostas pelos documentos oficiais para serem
trabalhadas no Ensino Médio.
Quanto ao Ensino Superior, escolhemos analisar o livro de Cálculo de Stewart
(2000), escolhido por ser uma obra, em geral, adotada na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I tanto para os cursos de Licenciatura como para os outros
cursos das ciências exatas. Isso se confirma porque essa obra é recorrente nos
diferentes cursos por meio da bibliografia básica ou complementar.
Para as análises dos livros didáticos, escolhidos estruturamos nosso estudo
em torno das seguintes questões:
 Quais os quadros (numérico, algébrico, aritmético algébrico e geométrico) são
utilizados nos enunciados das tarefas propostas, resolvidas e nas soluções
expostas?
 Quais as técnicas desenvolvidas no processo de resolução dessas tarefas?
 Quais os conhecimentos prévios são esperados dos estudantes para a
introdução da noção de equação quadrática no ensino fundamental e para a
noção de função quadrática no Ensino Médio?
 Quais os ostensivos e não ostensivos privilegiados nas técnicas propostas?
129
 Existe uma coerência entre as relações institucionais esperadas, ou seja,
entre o que é proposto para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino
Superior?
Quadro 1: Questões que orientam a organização da análise
Após as considerações iniciais acima e as justificativas necessárias para as
indicações escolhidas, iniciamos, assim, nossas análises das obras mencionadas.
5.2 ANÁLISE DA OBRA DE DANTE (2008) – TUDO É MATEMÁTICA
O livro de Dante para o Ensino Fundamental apresenta, no capítulo 3, sob o
título de Equações e Sistemas de Equações do 2º grau, a noção de equação por
meio de uma situação que relaciona as diagonais de polígonos convexos com a
equação de segundo grau. Assim, o autor faz uso de uma situação intramatemática,
isto é, uma situação que envolve geometria e área que são noções do contexto
matemático.
Nessa situação, é preciso reconhecer uma equação do 2º grau e a resolução
incompleta desta, o autor destaca a partir de um discurso tecnológico, que as
equações do 2º grau aparecem principalmente em problemas de duas dimensões,
em particular, naqueles que envolvem áreas. Observamos, aqui, que outras
situações intramatemáticas são apresentadas aos estudantes, o que possibilita a
articulação entre os quadros geométricos e algébricos, tornando o primeiro mais rico
e elaborado em termos de significado e possibilitando a utilização de uma tecnologia
que já faz parte do contexto dos estudantes.
Na sequência, são apresentados alguns métodos de resolução da equação
de 2º grau. O primeiro deles é a fatoração do trinômio quadrado perfeito, o qual,
nesse caso, supõe-se que já tenha sido trabalhado no ano anterior. O autor faz
relação dos termos do trinômio e os da forma fatorada, recaindo em uma equação
do 1º grau e encontrando, assim, as raízes. Verificamos, mais uma vez, a utilização
de um conhecimento prévio para a introdução de um novo conhecimento, o que,
130
conforme colocamos, torna o conhecimento prévio mais rico e elaborado em termos
de significado e serve de contexto para a introdução de um novo saber.
O segundo método de resolução da equação de 2º grau ocorre quando o
primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito, o que significa que há a
necessidade de “completar quadrado” para resolver esse tipo de equação,
relacionado com a interpretação geométrica do que é chamado de “completamento
de quadrado”, como podemos observar no quadro abaixo. Ainda nesse caso,
observamos o uso do conhecimento prévio para a introdução de um novo
conhecimento. Na figura que segue, podemos visualizar o raciocínio proposto pelo
autor.
Figura 41: Exemplo de “completamento de quadrado” (DANTE, 2008, p.56)
131
O autor apresenta a fórmula de Bhaskara como uma generalização da ideia
de “completamento de quadrado” por meio de uma mudança entre os quadros
algébrico e geométrico, ressaltando que vale para qualquer equação do 2º grau, isto
é, todas as equações do 2º grau (incompletas e completas) podem ser resolvidas
pela fórmula apresentada. O autor utiliza ainda os exemplos a seguir para deduzir a
fórmula de Bhaskara, o que nos permite observar, a necessidade de recorrer ao
ostensivo da língua natural para explicitar a tecnologia desenvolvida e concluir sobre
a generalização permitida.
Figura 42: Demonstração da fórmula de Bhaskara. (DANTE, 2008, p.58)
Assim, como forma de conduzir os estudantes à escolha que lhes parece
mais adequada, o autor propõe nos exercícios que os alunos utilizem os dois
métodos, isto é, o “completamento de quadrado” e a fórmula de Bhaskara. Após, o
132
escritor apresenta um quadro-resumo das etapas para resolver pela fórmula.
Quadro-resumo este que segue abaixo e que outra vez mostra a importância do
discurso tecnológico ou da tecnologia necessária para justificar os diferentes tipos
de técnicas desenvolvidas.
Figura 43: Quadro resumo da resolução da fórmula de Bhaskara. (DANTE, 2008, p.61)
As tarefas propostas pelo autor, após este ponto, envolvem repetição das
técnicas apresentadas, portanto, são exercícios técnicos, mas exigindo do estudante
que mobilize conhecimentos anteriores para resolver já que não é explícita a
maneira de resolução, como, por exemplo, determinar o parâmetro para que a
equação seja de 2º grau. Assim, observamos, em relação às técnicas associadas à
noção de equação quadrática, as exigências se restringem apenas aos níveis
técnico e mobilizável.
O autor introduz ainda a técnica de resolução por meio da soma e do produto.
Antes de demonstrar a fórmula, ele apresenta uma tarefa que os estudantes devem
resolver e, em seguida, verificar se as raízes das equações obedecem ao padrão
e
. O autor propõe que esse trabalho se realize, utilizando a estratégia
do trabalho em grupo, ou seja, que os estudantes discutam a solução da questão e
as possibilidades de utilizar a nova técnica. Isto ratifica a nossa constatação de que
é essa discussão que justifica a nova técnica, ou seja, é ela que corresponde à
tecnologia necessária para a sua compreensão.
133
O autor segue, abordando outros temas ainda no capítulo “Equações e
Sistemas de Equações do 2º grau”. Entre eles, destacamos tarefas do tipo
determinar uma equação do 2º grau, dadas as suas raízes, utilizando o exemplo
clássico de área. O livro em questão introduz também equações biquadradas,
equações irracionais e sistemas com equações do 2º grau. Finaliza-se o capítulo
com várias tarefas às quais chama de revisão cumulativa e que envolve a área de
física. Os diferentes temas podem ser trabalhados de forma autônoma pelo
professor e exigem também um discurso tecnológico adequado para a sua
explicitação. Para esses novos conhecimentos, os estudantes devem ultrapassar os
níveis técnico e mobilizável quando tratam questões associadas a outras ciências,
em que é preciso dispor de situações de referência para identificar, nas situações
propostas, que é a equação do segundo grau que permite modelá-las e resolvê-las.
No capítulo que segue, cujo título é “Explorando a ideia de função”, são
destinadas apenas seis páginas para a introdução do conceito de função quadrática.
Primeiramente, o autor mostra como identificá-la e, logo após, exemplifica como
esboçar um gráfico da função quadrática. Nas observações quanto ao gráfico,
fornece a fórmula do vértice. Desse modo, observamos que, por meio dos
ostensivos de representação algébrica, da tabela e do gráfico, o autor considera a
questão da proporcionalidade para a função linear, define função quadrática a partir
do ostensivo da língua natural e apresenta sua lei de formação, utilizando os
ostensivos de representação algébrico, tabela e gráfico. Isto permite tratar uma
tarefa sobre grandezas direta e inversamente proporcionais e grandezas não
proporcionais articuladas com a noção de função. Essa proposta vai ao encontro
com as indicações apresentadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Fundamental.
Em mais uma parte da obra o autor propõe a estratégia do trabalho em grupo
e a discussão entre os seus componentes para resolver a seguinte tarefa: “Que
relação existe entre o coeficiente a e a posição da parábola? A parábola corta o eixo
x e depois o eixo y em quantos pontos? Como podemos descobrir os pontos de
intersecção da parábola com o eixo x e com o eixo y? Em que casos a parábola e o
vértice passa pelo ponto (0,0)?” Essa discussão, que chama de “Trocando idéias”,
134
não é formalizada pelo autor, ficando a cargo do professor utilizar a tecnologia
adequada para explicitá-la.
Em suma, podemos afirmar que consideramos que a obra analisada
apresenta uma introdução da noção de função quadrática adequada ao nível de
escolaridade do estudante. Os quadros são articulados nas tarefas denominadas
“exercícios resolvidos ou propostos e solucionados”. Entre eles, identificamos os
quadros geométrico, algébrico, aritmético algébrico, numérico e das outras ciências,
em particular da física. Na maioria das vezes, é necessário que o estudante mobilize
conhecimentos anteriores, o que evidencia que o aluno necessita de conhecimentos
prévios, como a equação do 1º grau e, para as aplicações, em especial, nas
articulações dos diferentes quadros, é preciso dispor de outros conhecimentos que
ultrapassam a simples identificação e solução de uma equação quadrática.
Na sequência apresentamos a análise da obra de Stocco & Diniz (2010).
5.3 ANÁLISE DA OBRA DE STOCCO & DINIZ (2010) – MATEMÁTICA ENSINO
MÉDIO – VOLUME I
As autoras iniciam o capítulo 5, com o título de “Funções quadráticas”,
relacionando a utilidade da função quadrática na Física. Para isso, tratam da relação
da posição de um objeto em função do tempo, ou seja, descrevem movimentos.
Assim, elas começam o capítulo, contextualizando o conceito de função quadrática,
utilizando um gráfico que descreve o lançamento de um foguete e sua queda,
identificando a altura máxima, o tempo para o alcance desta e para o percurso total.
Como vemos, trata-se de uma situação contextualizada, obedecendo à
proposta dos Parâmetros, mas um pouco avançada para os estudantes do Ensino
Médio que, em geral, ainda não dispõem dos conhecimentos de física necessários
para justificar a tarefa. Observamos, portanto, que, no início do Ensino Médio, as
noções de função quadrática e de movimento uniformemente variado são novas e
que, como tais, dependem de outros conhecimentos prévios para serem
desenvolvidas.
135
Verificamos que, nas instruções para o professor, as autoras ressaltam que
estão dando continuidade ao estudo sistemático das funções algébricas. E a simetria
de reflexão foi escolhida para relacionar ponto do gráfico com soluções da equação
da função quadrática, o que permite dar significado aos pontos especiais do gráfico
a partir da percepção dinâmica de propriedades geométricas da parábola (STOCCO
e DINIZ, 2010, p. 116).
Para isto, as escritoras mostram que o gráfico de uma função quadrática
corresponde a uma curva chamada parábola, noção introduzida quando se
considera o conceito de cônica em Geometria Analítica. As autoras também
propõem a estratégia de trabalho em grupo para o desenvolvimento do conteúdo,
pois elas indicam a possibilidade do professor organizar os estudantes para construir
pontos de uma parábola, com o intuito de, que por meio da reflexão sobre a figura
encontrada, eles possam entender melhor o significado da curva e sua relação com
as funções quadráticas.
O próximo exemplo exposto mostra a necessidade de um discurso
tecnológico que justifica a articulação entre o quadro algébrico e geométrico
proposto. Para isso, são necessários os ostensivos da língua natural e de
representação figural e gráfico.
Após a articulação entre os quadros geométricos e algébricos, as autoras
utilizam os ostensivos de representação algébrica, tabela e gráfico para construir o
gráfico da parábola e determinar suas propriedades por meio do ostensivo visual.
Nesse caso, os estudantes devem dispor de conhecimentos sobre a representação
de pontos no sistema cartesiano ortogonal.
A figura abaixo deixa evidente a necessidade de utilização dos ostensivos de
representação anunciada acima para descrever os não ostensivos que lhe são
associados quando da explicitação da técnica ou da teoria por meio de uma
tecnologia adequada.
136
Figura 44: Construção da parábola. (STOCCO & DINIZ, 2010, p.117)
Explicitando o trabalho desenvolvido, observamos que, após a articulação de
quadros, as autoras sugerem a construção do gráfico a partir de uma função
quadrática definida por meio do ostensivo de representação algébrica e propõem a
passagem ao ostensivo de representação tabela, especificando a tecnologia
necessária, ou seja, devem-se atribuir valores para a variável x e determinar os
respectivos valores de y. A partir da tabela encontrada, representam-se os pontos no
sistema cartesiano ortogonal e unem-se os pontos para determinar a forma do
gráfico da função dada. Novamente, observamos a necessidade de um discurso
tecnológico adequado para explicitar o esboço do gráfico, identificar a concavidade
da parábola, seu vértice, suas raízes e a intersecção nos eixos, como podemos
observar na figura abaixo.
137
Figura 45: Construção da parábola por meio de tabela. (STOCCO & DINIZ, 2010, p.118)
As autoras indicam ainda a possibilidade de uso do recurso de novas
tecnologias como o software livre “Winplot”, para ampliar a alfabetização dos
estudantes na linguagem informática e para que eles não tenham que traçar o
gráfico manualmente. Nesse caso, é preciso dispor de conhecimentos sobre a
utilização do software que corresponde a um novo ostensivo de representação para
o estudo das funções, o que exige um novo discurso para justificar o trabalho
matemático realizado.
Na sequência, as autoras revisitam a técnica de Bhaskara para determinar as
raízes da função sem retomar as outras técnicas trabalhadas no Ensino
Fundamental. Isto demonstra que as autoras limitam as possibilidades de tornar
essas técnicas mais ricas e diferenciadas em termos de significado, o que é deixado
a cargo dos estudantes. Na realidade, o objetivo, ao trabalhar com os zeros da
função, é escolher apenas três pontos para esboçar o gráfico de forma a mobilizar
as propriedades e não desenvolver apenas a técnica de representação de pontos no
138
sistema cartesiano ortogonal. Essa nova técnica supõe um avanço em relação à
anterior, pois se espera que, ao construir o gráfico por meio de suas propriedades,
seja possível analisá-lo e encontrar sua representação algébrica quando necessário.
O trabalho de Duval (2010) mostra que essa conversão entre as
representações algébrica e gráfica não é simples e não se obtêm os mesmos
resultados nos dois sentidos. Em geral, a passagem da representação gráfica para a
representação algébrica exige outros conhecimentos como, por exemplo, dispor de
um método de solução de sistemas de três equações e três incógnitas.
Após resolver e propor algumas tarefas, segue uma breve explanação
referente ao vértice da parábola que é definido como valor máximo ou mínimo. As
tarefas de aplicação dessas noções podem auxiliar a compreender a sua
funcionalidade e a criar imagens mentais quando da introdução da noção de
derivada no Ensino Superior, antes da generalização das propriedades para outros
tipos de funções.
Por fim, as autoras tratam do estudo do sinal da função quadrática, o que lhes
permite introduzir a noção de inequação do 2º grau. Esta corresponde a um
conhecimento prévio esperado dos estudantes ao iniciar o Ensino Superior, pois
esse saber é necessário quando se deseja determinar o domínio de algumas
funções.
Na sequência, apresentamos uma breve análise da obra de Dante (2009)
para o Ensino Médio.
139
5.4 ANÁLISE DA OBRA DE DANTE (2009) – MATEMÁTICA – VOLUME ÚNICO
Ao introduzir o estudo da noção de função quadrática, o autor utiliza uma
situação-problema que, como na proposta para o Ensino Fundamental, é uma tarefa
clássica sobre área. Podemos dizer que a escolha de uma situação contextualizada
intramatemática pode auxiliar a introdução da nova noção, pois se trata de um
conhecimento prévio suposto disponível, que poderá ficar mais rico e elaborado em
termo de significado, conforme destaca Moreira (2005).
Após esse trabalho, Dante (2009) considera diversas tarefas em que a noção
de função quadrática é colocada como disponível e necessária para modelar e
resolver tarefas intra e extramatemáticas como, por exemplo, situações associadas à
geometria, à física e ao esporte. O autor também supõe que os conhecimentos
sobre função quadrática, já desenvolvidos no Ensino Fundamental, possam ser
mobilizados na solução de tarefas que exigem o nível disponível desse saber para a
sua modelagem e solução, o que expõe a ênfase dada ao autor a esse tipo de
tarefa.
O autor revisita as técnicas “completamento de quadrado” e “Bhaskara”,
introduzidas Ensino Fundamental para determinar os zeros da função quadrática,
ressaltando que essas técnicas já foram estudadas no nono ano do Ensino
Fundamental, quando se iniciou o estudo das equações do 2º grau. Nesse momento,
a autor faz uma conexão com o desenvolvimento histórico da noção de equação
quadrática, um dos problemas que motivou o estudo dessas equações, ou seja, a
determinação de dois números conhecendo sua soma s e seu produto p. Nesse
caso, o autor explicita para os leitores um dos recursos indicados nos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental, isto é, utilizar recursos da história da
matemática para introduzir diferentes noções e conceitos.
Além dessas técnicas, o autor introduz um novo olhar para determinar os
zeros da função, o vértice e seu valor máximo ou mínimo, que é a forma canônica da
função quadrática. A explicitação da nova técnica se dá por meio de um discurso
tecnológico específico que permite que professores e estudantes comparem com as
140
técnicas anteriores e escolham aquela que lhes parece mais simples e adequada
quando da solução das diferentes tarefas que lhes são proposta.
Para introduzir o gráfico da função quadrática, o autor recorre à noção de
parábola, conforme a definição desenvolvida no quadro da geométrica analítica. O
gráfico é explorado na forma canônica do tipo
, o que auxilia a
compreender e visualizar a relação entre a variação dos parâmetros e a variação da
posição do gráfico no sistema cartesiano ortogonal. Esse estudo pode auxiliar na
análise dos gráficos de outras funções, em especial, no estudo da variação de uma
função por meio de seu gráfico e do gráfico de sua derivada para os estudantes que
têm acesso ao Ensino Superior.
Na figura abaixo, o autor considera as possíveis configurações associadas à
variação dos parâmetros, utilizando um discurso tecnológico para explicitar as
mudanças que podem ser observadas por meio do ostensivo visual e gráfico.
141
Figura 46: Gráfico e a associação à variação dos parâmetros. (DANTE, 2009, p.83)
Ainda no mesmo capítulo, é abordado o estudo do sinal da função quadrática,
que será considerado como conhecimento prévio disponível para a introdução da
noção de inequações do 2º grau e inequações simultâneas, inequação-produto e
inequação-quociente. Podemos ainda considerar que o autor trata de modo implícita
da noção de derivada da função quadrática ao definir taxa de variação dessa função
sob o ponto de vista taxa conforme Thurston (1994). Para as aplicações da noção de
função quadrática, Dante dá ênfase às tarefas sobre Movimento Uniformemente
Variado (MUV), o qual nem sempre é desenvolvido, na disciplina de física, ao
142
mesmo tempo em que se introduz a noção de função quadrática e suas
propriedades, podendo, assim, representar um elemento complicador em função da
não disponibilidade desse conhecimento.
Na sequência, apresentamos uma breve discussão sobre as necessidades de
trabalho com a noção de função quadrática nos cursos de ciências exatas na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I nos primeiros anos do Ensino Superior.
5.5 ANÁLISE DA OBRA DE STEWART (2000) – CÁLCULO – VOLUME I
O primeiro capítulo da obra de Stewart (2000) trata de Funções e Modelos e
inicia com o subtítulo: “Quatro maneiras de representar uma função”, as quais,
segundo o autor, são: verbalmente descritas com palavras; numericamente, por
meio de tabelas de valores; visualmente, através de gráficos: e algebricamente,
utilizando uma fórmula explícita. Isto nos permite dizer que encontramos, nesse
caso, a necessidade do autor de explicitar os ostensivos necessários para o
desenvolvimento da noção de função, mesmo não utilizando essa nomenclatura.
O autor afirma na introdução que é proveitoso ir de uma representação para a
outra, se a função puder ser representada das quatro maneiras. Em outras palavras,
podemos visualizar nessa afirmação a questão da conversão de representações,
mesmo que não seja enunciada nesses termos, a qual é considerada por Duval
(2010) como um meio eficaz para o acesso ao objeto.
Assim, consideramos que mesmo não tendo essa intenção explicitamente, a
obra de Stewart (2000) é moderna e leva em conta pesquisas recente de Educação
Matemática, ao tratar a questão da articulação entre as diferentes formas de
conhecimento, em particular, das representações de um mesmo objeto matemático
que vem sendo alvo de diversas pesquisas nos últimos anos.
Observamos ainda que o autor, também na introdução, relatou que ele e seu
assistente dedicaram um bom tempo para pesquisar dados do mundo real em
bibliotecas, contatando companhias e agências governamentais e a internet para
143
introduzir, motivar e ilustrar os conceitos do cálculo. Essa colocação do autor coloca
em evidência a sua preocupação com as questões do ensino e da aprendizagem de
Cálculo, o qual é considerado uma das disciplinas mais problemáticas para os
estudantes que iniciam o Ensino Superior.
O autor também aborda funções definidas por partes, simetrias, funções
crescentes e decrescentes, função linear quando tratam de modelos lineares,
funções polinomiais, apresentando o gráfico de uma função quadrática e de uma
função cúbica, entre outras. Como podemos observar, na figura abaixo, o autor
supõe que os conhecimentos associados à noção de função polinomial, suas
representações e suas propriedades sejam disponíveis para os estudantes que
iniciam o Ensino Superior, deixando a cargo dos discentes o estudo mais
aprofundado quando estes sentirem esta necessidade.
Observamos, assim, que, para os cursos de Licenciatura, é necessário que o
professor motive seus estudantes para revisitar a noção de função quadrática, a qual
servirá de base para formar as imagens mentais associadas às novas noções a
serem introduzidas. Além disso, tal retomada no conteúdo pode auxiliar os alunos a
compreenderem as possibilidades de aplicação dessa função tanto em tarefas
intramatemáticas como extramatemáticas, tal como as identificadas nos livros
didáticos escolhidos para nossas análises tanto para o Ensino Fundamental como
para o Ensino Médio.
No capítulo que segue, introduz as noções de Limite e Derivada onde o objeto
função é utilizado explicitamente nas tarefas propostas e o foco está na noção de
limite e derivada de uma função.
Diante dessas considerações, podemos concluir que a forma como a noção
de função quadrática pode ser revisitada no Ensino Superior depende dos
conhecimentos prévios disponíveis para as diferentes turmas de estudantes, das
expectativas das instituições de Ensino Superior, dos cursos onde ela pode ou deve
ser abordada, bem como das condições e restrições encontradas pelos professores
para o desenvolvimento desse trabalho.
144
Na sequência, apresentamos algumas considerações sobre as análises
efetuadas.
5.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Ao longo deste capítulo, demonstramos o tratamento dado à noção de função
quadrática em alguns materiais, através da análise de quatro livros didáticos. Isto
nos permitiu relatar as diferentes formas de abordagem nos Ensinos Fundamental,
Médio e Superior para os conceitos trabalhados nesta pesquisa. Para tanto,
elaboramos cinco questões norteadoras, as quais são relembradas a seguir.
1. Quais os quadros (numérico, algébrico, aritmético algébrico e geométrico)
são utilizados nos enunciados das tarefas, resolvidas e propostas, como
também nas suas soluções?
2. Quais as técnicas desenvolvidas no processo de resolução dessas
tarefas?
3. Quais os conhecimentos prévios esperados dos estudantes, para a
introdução da noção de equação quadrática no ensino fundamental e para a
noção de função quadrática no Ensino Médio?
4. Quais os ostensivos e não ostensivos privilegiados nas técnicas
propostas?
5. Existe uma coerência entre as relações institucionais esperadas, ou seja,
entre o que é proposto para o Ensino Fundamental, o Ensino Médio e Ensino
Superior?
Quadro 2: Questões que norteiam a pesquisa
Nossa análise nos permitiu constatar que os livros escolhidos para o Ensino
Fundamental, Dante (2008), e para o Ensino Médio, Stocco & Diniz (2010) e Dante
(2009), abordam todos os quadros: numérico, algébrico, aritmético algébrico e
geométrico, sendo que nas obras de Dante tanto para o Ensino Fundamental como
para o Ensino Médio há uma maior articulação entre os quadros geométricos e
algébricos. Consideramos também que as tarefas identificadas no capítulo IV como
sendo aquelas habitualmente desenvolvidas no Ensino Fundamental, tais como
esboçar o gráfico, determinar o vértice, as raízes e o máximo e mínimo de uma
função quadrática, são trabalhadas na obra de Dante (2008).
145
Para o Ensino Médio, nas obras de Dante (2009) e de Stocco & Diniz (2010),
além do trabalho com as tarefas citadas acima, há outras tarefas no estudo da
noção de função quadrática como, por exemplo, dados três pontos do gráfico de
uma função quadrática, determinar a sua representação simbólica. Porém, Dante
(2009) segue as sugestões das Orientações Curriculares para o Ensino Médio
(BRASIL, 2006), trabalha com a função quadrática na forma canônica, possibilitando
cumprir mais uma tarefa esperada para o Ensino Médio: o estudo do deslocamento
do gráfico de uma função quadrática quando variamos os coeficientes a, b e c.
Em relação às técnicas, a fórmula resolutiva da equação do 2° grau também
denominada de fórmula de Bhaskara é, em geral, mais aplicada para encontrar as
raízes da equação quadrática e a fórmula de vértice para os máximos e mínimos da
mesma. Na obra de Stocco & Diniz (2010) essa técnica é privilegiada.
Nossa experiência mostra que os estudantes, em geral, abandonam as outras
técnicas, após apreender a fórmula de Bhaskara. Assim, cabe ao professor
desenvolver um discurso que justifique as diferentes técnicas, bem como a
proposição de outras tarefas que mostrem a importância de cada uma delas.
Ressaltamos ainda que os não ostensivos equação quadrática e a função
quadrática são fundamentais para o desenvolvimento das tecnologias associadas às
técnicas utilizadas e para as articulações de quadros propostas e que, para o
trabalho matemático em jogo, são manipulados os ostensivos figural, gestual,
discursivo, gráfico, escritural. Observamos, que para introdução da noção de função
quadrática, o ostensivo figural, que é a representação de uma figura geométrica, e
escritural, que é a representação algébrica da área e perímetro dessa mesma figura,
são os mais manipulados, mas as técnicas aplicadas requerem, em geral, outros
ostensivos e não ostensivos para o seu planejamento, a sua execução, justificativa e
para o seu controle.
Normalmente, para a introdução da noção de equação quadrática no Ensino
Fundamental e para a noção de função quadrática no Ensino Médio, o nível de
conhecimento esperado é o mobilizável. Isto porque os estudantes precisam
146
mobilizar conhecimentos prévios, como o valor numérico de uma função, a
representação gráfica de uma função em um sistema cartesiano ortogonal e as
noções de perímetro e área, ainda que se faça necessário, muitas vezes, que o
professor revisite esses conceitos.
Para o Ensino Superior, é esperado do estudante o nível disponível em
relação às noções de equação quadrática e função quadrática assim como das
outras noções que lhe são associadas. Faz-se preciso ainda dispor de algumas
situações de referência como, por exemplo, determinar a área máxima, que
permitam identificar uma tarefa correspondente a uma situação contextualizada e
modelá-la por meio de uma função quadrática.
Observamos na obra de Stewart (2000), escolhida como representante de
uma relação institucional usual para o Ensino Superior, que as tarefas nela
propostas não apresentam nenhum caminho ou ferramenta para auxiliar a identificar
a função que permite modelar a tarefa proposta.
Por fim, pudemos considerar que existe coerência entre as relações
institucionais esperadas e existentes para os Ensinos Fundamental e Médio,
verificadas nas obras analisadas. Isto ocorre em particular nas de Dante (2008 e
2009) que vêm ao encontro das propostas e orientações desenvolvidas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais.
Já para o Ensino Superior ressaltamos que o trabalho desenvolvido nos
Ensino Fundamental e Médio é suposto disponível e, assim, as funções, em nosso
caso, a função quadrática, são consideradas como uma ferramenta explícita do
trabalho matemático a ser desenvolvido. O autor analisado apenas alerta para a
importância das diferentes representações das funções, mas não propõe nenhuma
tarefa específica. Assim, fica a cargo dos professores, em função dos
conhecimentos prévios de seus estudantes, revisitarem determinadas noções ou
propor aos discentes que façam essa tarefa, utilizando um material adequado do
Ensino Médio.
147
Nesse sentido, lembramos que nem tudo pode ser revisto e que os
estudantes devem ser responsáveis e ter certa autonomia para sanar suas
dificuldades. Em especial, quando se trata de estudantes do Ensino Superior, afinal,
o objetivo do Ensino Médio é formar um cidadão autônomo e responsável por seu
próprio desenvolvimento.
Na sequência, apresentaremos as considerações finais e as perspectivas
futuras para o presente trabalho. Com ele, esperamos poder auxiliar os professores
a repensar e efetuar suas escolhas em relação à abordagem que podem
desenvolver sobre a noção de equação quadrática e de função quadrática em razão
dos conhecimentos prévios de seus diferentes grupos de estudantes.
148
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS
As informações obtidas nos capítulos anteriores nos permitiram finalizar este
estudo com algumas considerações que buscam responder as questões colocadas
no início da pesquisa. Além disso, ponderaremos também perspectivas futuras com
o intuito de que a reflexão aqui desenvolvida possa ter continuidade em trabalhos
futuros.
Nossa questão central de pesquisa era saber se o estudo das relações
institucionais esperadas e existentes para o ensino e a aprendizagem da noção de
função quadrática tem como auxiliar a compreender quais as tarefas trabalhadas no
Ensino Médio podem servir de apoio ao trabalho com esta função no Ensino
Superior. Dessa forma, analisamos as relações institucionais esperadas para a
introdução da noção da função quadrática, via documentos oficiais, que nos
possibilitaram identificar quais as propostas institucionais dos locais estudados, a
partir, principalmente, das contribuições teóricas de Bosch e Chevallard (1999).
Segundo esses autores, cada instituição tem uma forma de prática da matemática.
Verificamos que os documentos oficiais também podem ser considerados como uma
instituição que, conforme demonstramos, indicam diferentes maneiras de trabalho
com uma determinada noção.
Em relação às análises das propostas institucionais observamos que, para o
Ensino Fundamental, temos o PCN (BRASIL, 1997) que recomenda o trabalho com
equação quadrática apenas após o trabalho com situações-problemas. Estas devem
permitir que os estudantes desenvolvam suas próprias estratégias, utilizando seus
conhecimentos prévios disponíveis para então trabalhar as técnicas convencionais
de resolução. Esse documento já traz uma orientação de que conteúdos trabalhar
nas diferentes séries, incluindo exemplos específicos de como tratar determinadas
noções para atender à proposta de desenvolvimento de determinadas capacidades
com os estudantes do Ensino Fundamental.
149
Para comparar o trabalho proposto pelos documentos oficiais, escolhemos o
livro didático de Dante (2008), o qual foi avaliado à luz das propostas indicadas nos
documentos oficiais. A obra é norteada pela metodologia e pelas estratégias de
ensino-aprendizagem indicadas, procurando estimular a experimentação e a
reflexão, incentivando os estudantes a recorrerem a suas vivências e a conversar
sobre Matemática. Ainda ao encontro das relações institucionais apresentadas no
PCN (BRASIL, 1997), verificamos que a obra apresenta a introdução de função
quadrática de forma articulada com conhecimentos prévios adequados ao nível de
escolaridade.
No decorrer do trabalho, consideramos também que o estudo da “equação
quadrática” e a introdução da noção de “função quadrática e suas representações”,
conforme proposta e desenvolvimento apresentados na obra de Dante (2008). Isto
respondeu parte da segunda questão que trouxemos, a qual trata da transição do
Ensino Fundamental para o Ensino Médio, como segue: “Quais as relações
institucionais existentes para o ensino e a aprendizagem da noção de função
quadrática e como elas se articulam com as mesmas relações para a noção de
equação quadrática desenvolvida no Ensino Fundamental e a noção de derivada no
Ensino Superior?”.
Tal como demonstramos, o trabalho que se supõe ter sido
desenvolvido no Ensino Fundamental auxilia no tratamento da noção de função
quadrática no Ensino Médio, incluindo a questão da articulação e flexibilização dos
conhecimentos matemáticos desenvolvidos no Ensino Fundamental e retrabalhados
no Ensino Médio.
Observamos aqui que a utilização do quadro geométrico como recurso para a
contextualização é uma ferramenta importante que deve ser revisitada nos Ensinos
Médio e Superior e que auxilia na proposta de novos contextos e na formação das
imagens mentais pelos estudantes. Consideramos que a relação institucional
existente, da forma como é desenvolvida na obra analisada, prepara o estudante no
Ensino Fundamental para incorporar a noção de função quadrática no Ensino Médio
e para suas aplicações nas etapas posteriores.
Considerando mais especificamente o Ensino Médio, analisamos duas obras,
a saber: Stocco & Diniz (2010) e Dante (2009), a partir das quais pudemos constatar
150
que ambas seguem a proposta do PCNEM (BRASIL, 2000), PCN + (BRASIL, 2002)
como também das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006). A
última delas norteia o trabalho especificamente da noção da função quadrática, o
que nos mostrou que existe coerência entre as relações institucionais esperadas e
existentes para o Ensino Médio.
Cabe-nos enfatizar que os documentos oficiais para o Ensino Médio não
indicavam os conteúdos matemáticos e a forma de desenvolvê-los. Eles apenas
apresentavam as competências relacionadas à disciplina e propunham um trabalho
articulado e flexível considerando a possibilidade de interdisciplinaridade com
Biologia, Física e Química. Isto significa que eram deixadas a cargo dos professores
as escolhas em termos de conteúdos e formas de trabalho. Todavia, supomos que
as dificuldades apresentadas na implementação dessa nova proposta institucional
condizem com a publicação das Orientações, em 2006, nas quais encontramos
exemplos específicos de como trabalhar determinados conteúdos, após a
identificação dos mesmos, ainda sem constatar o momento em que devem ser
trabalhados, uma vez que isto ainda fica a cargo dos docentes.
Observamos ainda que, em 2004, iniciou o Programa Nacional do livro
Didático para o Ensino Médio, o qual prevê a distribuição de livros, fato que ocorre
somente em 2006 para toda a população de estudantes dessa etapa escolar. Dessa
forma, o livro didático passou a ser uma referência para a identificação das relações
institucionais existentes, uma vez que ele segue as propostas institucionais e é
avaliado à luz das mesmas.
As análises das duas obras escolhidas nesta pesquisa mostraram que os
autores destas procuram atender às orientações. Assim, pudemos considerar que as
relações institucionais existentes estão em conformidade com as relações
institucionais esperadas e essas obras são uma das formas que professores e
estudantes
dispõem
para
desenvolvimento
de
seus
cursos
e
pessoal
respectivamente.
Destacamos ainda que a obra de Dante (2009), ao trabalhar com a função
quadrática na forma canônica, como é indicado nas Orientações Curriculares para o
151
Ensino Médio (BRASIL, 2006), introduz o estudo do movimento dos gráficos dessa
função em relação à variação dos coeficientes. No entanto, como as noções de
limite e derivada, na obra, não são desenvolvidas, o autor não articula esses
conhecimentos, deixando para o Ensino Superior a utilização das noções sobre
função quadrática desenvolvidas no Ensino Médio como apoio para a introdução de
novas noções, quando necessárias. Apesar de não tratar a questão do limite e da
derivada de uma função, o autor introduz a noção de taxa de variação que também é
um conhecimento que pode ser explorado quando da introdução dessas noções no
Ensino Superior.
A obra de Stocco & Diniz (2010) segue praticamente a mesma sequência,
mas não trata da questão de forma canônica para o estudo da variação do gráfico da
função quadrática. Além disso, as autoras privilegiam a fórmula de Bhaskara,
ressaltando que a mesma é genérica, pois permite resolver qualquer tipo de
equação quadrática. Apesar de introduzir as noções de limite e derivada no Ensino
Médio, as autoras não utilizam essas noções para estudar as propriedades gráficas
da função quadrática. Observamos, aqui, que não se trata de uma proposta para ser
desenvolvida no Ensino Médio.
Com relação ao Ensino Superior, constatamos que, para as quatro
universidades que tivemos a grade curricular e os planos de ensino, é proposta uma
revisita as noções de funções introduzidas no Ensino Médio, mas apenas uma
instituição considera que esse trabalho seja desenvolvido de forma articulada com a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, isto é, a disciplina de Cálculo deve servir
de contexto para esse trabalho.
Encontramos, assim, uma proposta de contextualização intramatemática que
difere da simples revisita aos conteúdos já trabalhados em etapas anteriores da
escolaridade.
Isto
pode
auxiliar
na
introdução
de
novos
conhecimentos,
aproveitando os saberes prévios que, não sendo disponíveis, podem ser mobilizados
nessas novas atividades e, desse modo, tornarem-se mais ricos e diferenciados em
termos de significados.
152
Nossa experiência de ensino tem mostrado que revisitar, em disciplinas
separadas, noções que já foram trabalhadas no Ensino Médio da mesma forma
anterior, ou seja, sem estar associada ao conteúdo da disciplina para a qual
desejamos utilizar a definição como ferramenta explícita, não tem dado resultado.
Assim, mesmo para aqueles estudantes com os quais se está introduzindo a noção
pela primeira vez, o estudo articulado com o novo conhecimento poderá auxiliá-los
na compreensão de sua aplicação e, como nem tudo pode ser revisitado no Ensino
Superior, podemos sugerir uma das duas obras aqui analisadas para o Ensino
Médio como material de apoio para o estudo autônomo. Cabe-nos lembrar de que se
espera do estudante, ao final de Ensino Médio, que tenha sido preparado para a
autonomia e para ser responsável por seu próprio projeto de estudo.
Em geral, no Ensino Superior, a obra de Stewart (2000) é indicada na maioria
dos planos de ensino pesquisados, o que justifica a sua escolha para analisar a
relação institucional existente. Verificamos que nessa obra a noção de função em
geral é revisitada de uma maneira pouco profunda, isto é, são apresentados apenas
os ostensivos de representação das diferentes funções que se supõem que tenham
sido trabalhadas de forma articulada e flexível no Ensino Médio.
Como já demonstramos, segundo os planos de ensinos e a grades
curriculares
analisados,
entendemos
que
as
universidades
perceberam
a
necessidade da retomada desses conteúdos para a introdução do conceito de limite
e derivada, adotando uma disciplina precedente à Disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral I ou inserindo, no plano desta, a revisão do conceito de função quadrática.
Desse modo, fica a cargo dos professores encontrarem novas formas de trabalho
que auxiliem os estudantes a dominarem esse conteúdo e saber aplicá-lo de forma
disponível quando da introdução de novos conhecimentos.
Por fim, destacamos que este estudo nos ofereceu os subsídios necessários
para que pudéssemos responder à última questão proposta: “Quais conhecimentos
desenvolvidos no Ensino Médio podem servir de apoio ao trabalho com a função
quadrática no Ensino Superior, em particular, quando se considera a noção de
derivada de uma função polinomial?”. Para respondê-la, partiremos das análises das
relações institucionais esperadas e existentes. Então, expomos que, se as mesmas
153
são trabalhadas da forma como está previsto nos documentos, os professores e
estudantes poderiam utilizar as técnicas desenvolvidas no Ensino Médio de forma
articulada quando da introdução de novas noções. Esse trabalho flexível pode servir
como meio de controle que serve tanto para dar segurança aos estudantes assim
como para auxiliá-los a compreender a necessidade de introdução de novas noções.
Por exemplo, aquele estudante que sabe determinar o vértice de uma função
quadrática não precisa da noção de derivada para realizar essa tarefa, mas ela
serve de meio de apoio para a introdução dos máximos e mínimos de uma função
qualquer e, em particular, das funções polinomiais que, em geral, são trabalhadas no
início da introdução ao Cálculo Diferencial e Integral.
Ressaltamos, então, a relevância existente no fato de desenvolver e mostrar
para os estudantes que as diferentes técnicas associadas a uma mesma noção, são,
muitas vezes, meios de controle distintos, ainda que possam parecer, em alguns
casos, desnecessárias. Em outras palavras, uma técnica pode ser escolhida para a
resolução da tarefa e outra pode ser utilizada para verificar se os resultados
encontrados estão coerentes e corretos. Como um exemplo, podemos construir o
gráfico de uma função quadrática, utilizando a noção de derivada e utilizar as
propriedades dessa função para verificar a coerência entre os resultados
encontrados.
Esse trabalho de controle nos parece pouco empregado, em particular, nas
propostas institucionais esperadas e existentes. Encontramos, muitas vezes, várias
técnicas para tratar uma mesma noção, mas não costumamos destacar a
importância de utilizar pelo menos duas para resolução e controle dos resultados
encontrados.
Nesse sentido, cabe-nos também dizer que a questão do controle é pouco
lembrada, pois, ao terminar de resolver uma tarefa, podem-se encontrar soluções
absurdas que poderiam ser confirmadas com uma simples substituição dos
resultados na função utilizada. Certamente, para as tarefas que exigem o nível
disponível, esse controle é mais delicado, o que pode ser uma restrição à
proposição desse tipo de tarefa nos Ensinos Fundamental e Médio.
154
Isso nos conduz a considerar que as dificuldades dos estudantes podem
aumentar, quando se introduz um novo conceito ou uma noção por meio de
situações contextualizadas. Lembremos-nos do trabalho de Gouveia (2007), que
mostra a importância de um estudo centrado no nível técnico antes de serem
propostas tarefas que exigem os níveis mobilizável e disponível, ratificando que a
diferença entre eles está diretamente associada ao pedido explícito ou não de
aplicação de uma determinada noção.
Diante das constatações expostas, podemos supor que, se os estudantes que
iniciam o Ensino Superior dispusessem das técnicas associadas às noções que se
espera que tenham sido desenvolvidas nos Ensinos Fundamental e Médio, não
teríamos tantos problemas em determinadas disciplinas, pois poderíamos trabalhar
os níveis mobilizável e disponível por meio de tarefas associadas ao contexto
dessas disciplinas. Observamos que as análises e considerações aqui apresentadas
correspondem ao desenvolvimento ideal dos estudantes. Logo, cada professor deve
conhecer essas relações para que possa preparar testes diagnósticos e, assim,
desenvolver estratégias específicas para o trabalho com as diferentes turmas.
Faz-se importante lembrar, como já ressaltamos anteriormente, que nem tudo
pode ser revisto e que os estudantes devem ser responsáveis e ter certa autonomia
para sanar suas dificuldades. Em especial, quando se trata de estudantes do Ensino
Superior, afinal, o objetivo fundamental do Ensino Médio é formar um cidadão
autônomo e responsável por seu próprio desenvolvimento.
Consideramos
ainda
que,
nos
documentos
estudados,
existe
uma
preocupação em auxiliar o professor em suas práticas, porém, há a necessidade de
novas publicações para explicar melhor o trabalho a ser realizado pelos professores
e a metodologia a ser aplicada, a partir de sugestões e abordagens. Dessa maneira,
ponderamos que fica a cargo dos cursos de formação e capacitação de professores
auxiliar esses profissionais nessa tarefa, em especial, quando se considera que as
diferentes turmas de um mesmo professor podem apresentar necessidades distintas
quando do desenvolvimento de um determinado conteúdo matemático.
155
Portanto, esta pesquisa nos ofereceu algumas ferramentas necessárias para
a construção de testes diagnósticos à identificação das noções que apresentam
dificuldades para os estudantes do Ensino Superior dos diferentes cursos em que a
matemática integra o currículo. Essa constatação nos conduz à perspectiva futura de
efetuar o presente estudo com turmas de licenciatura em matemática, de
administração e de engenharia, considerando as necessidades específicas de cada
grupo e, assim, propor novas estratégias e metodologias de trabalho que possam
auxiliar os professores na proposta de abordagens de um mesmo conteúdo
matemático de forma contextualizada e integrada ao curso específico.
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ANEXO 1: Plano de Aula da Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
UFPE
PROGRAMA DE DISCIPLINA
MODELO PROACAD 12/84
DADOS DA DISCIPLINA
CÓDIGO
NOME
MA 053 MATEMÁTICA L1A
CARGA HOR. SEMANAL Nº DE
TEÓRICA
PRÁTICA CREDITO
4
0
CARGA HOR
GLOBAL
4
60
EMENTA
.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Propriedades e operações com números naturais, inteiros, racionais e reais.
Equações polinomiais e números complexos. Funções: lineares, quadráticas,
exponenciais, logaritmo e trigonométricas. Sistemas de equações lineares:
método de eliminação de Gauss. Matrizes e determinantes.
Referências Bibliográficas:
Spivak M., Cálculo Infinitesimal, vol. 1
Lima E.L., Coordenadas no Plano
Lima E.L., Coordenadas no Espaço
Lima E.L., Logaritmos
do Carmo M.P., Morgado A C. e Wagner E., Trigonometria/Números
Complexos
DEPARTAMENTO A QUE PERTENCE A DISCIPLINA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
_________________________________________________
Assinatura do Chefe do Departamento
HOMOLOGADO PELO COLEGIADO DE CURSO OU ÁREA
CURSO DE MATEMÁTICA
______________________________________________
Assinatura do Coordenador do Curso ou Área
165
ANEXO 2: Plano de Aula da Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
UFPE
PROGRAMA DE DISCIPLINA
MODELO PROACAD 12/84
DADOS DA DISCIPLINA
CÓDIGO
NOME
MA 016 CÁLCULO L1A
CARGA HOR. SEMANAL Nº DE
TEÓRICA
PRÁTICA CREDITO
4
0
CARGA HOR
GLOBAL
4
60
EMENTA
.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Limites e continuidade de funções: definições, exemplos, propriedades, teoremas. Derivada:
definição, interpretação geométrica e física, exemplos, propriedades, regras de derivação, regra
da cadeia, derivação implícita, derivadas de funções algébricas, derivada de ordem superior,
derivadas de funções trigonométricas, derivadas de funções inversas, derivadas de funções
exponencial e logaritmica. Aplicações da derivada: significado do sinal da derivada primeira,
crescimento e decrescimento de uma função, esboço de gráficos de funções reais, significado
do sinal da derivada segunda, estudo da concavidade de uma função, teoria de máximos e
mínimos, problemas de máximos e mínimos, teorema de Rolle e teorema do valor médio,
teorema do valor generalizado, esboço de gráficos de assíntotas horizontais, verticais e
inclinadas, gráficos de funções, aplicações à economia. Integrais definidas: área, definição e
propriedades, teorema do valor médio para integrais definidas, teorema fundamental do
cálculo. Integrais indefinidas: definição, primitivas, propriedades, mudanças de variável.
Técnicas de integração: integração por substituição, integração por partes, substituições
trigonométricas. Expressões quadráticas, frações parciais, integração de funções racionais de
senos e cossenos e outras integrais trigonométricas.
DEPARTAMENTO A QUE PERTENCE A DISCIPLINA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
_________________________________________________
Assinatura do Chefe do Departamento
HOMOLOGADO PELO COLEGIADO DE CURSO OU ÁREA
CURSO DE MATEMÁTICA
______________________________________________
Assinatura do Coordenador do Curso ou Área
166
ANEXO 3: Plano de Aula da Universidade Presbiteriana Mackenzie - MACK
Matemática Básica I
Código:
100.1112.9
Disciplina:
Matemática Básica I
Carga Horária:
04
Teoria:
04
Prática:
--
Etapa:
Primeira
Professor:
Carlos Alberto Marcondes dos Santos
Objetivos:
Gerais:
A disciplina visa desenvolver conteúdos já conhecidos dos alunos sob
uma ótica diferenciada, pensando nos recursos, ferramentas e
diferentes estratégias metodológicas de abordar assuntos, que o aluno
necessitará quando estiver desempenhando o seu papel de educador.
Essa disciplina também tem por objetivo complementar a formação do
aluno ingressante, indicando diferentes formas de abordar conteúdos
desenvolvidos no ensino médio.
Específicos:
Rever conceitos algébricos e conteúdos da trigonometria.
Ementa:
Relações Métricas e Trigonométricas nos triângulos retângulos.
Estudos das funções trigonométricas. Funções polinominais do 1º e do
2º grau. Aplicações.
Metodologia:
Aulas
Listas de exercícios
expositivas
167
Critério
Avaliação:
de
No decorrer do semestre letivo, serão aplicadas duas avaliações escritas
(P1 e P2). A média das avaliações intermediárias (AI) do aluno será
calculada a partir da média aritmética dessas avaliações, conforme a
expressão:
AI=(P1+P2)/2
A Média Final (MF) será obtida conforme a expressão seguinte:
MF=(0,6AI+0,4PAF)
O aluno será aprovado com MF maior ou igual a 5,5 e 80% de
freqüência.
Caso a freqüência seja menor que 80% e maior ou igual a 75% será
necessária MF maior ou igual a 7,0.
Conteúdo
Programático:
Álgebra Expressões numéricas e algébricas Conjuntos numéricos
Fatoração Equações de 1° e 2° graus Sistemas de equações de 1° e 2°
graus Funções: Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem Funções:
Injetora, Sobrejetora e Bijetora Funções: Constante, Identidade, Linear
e Afim Sinal de uma Função Afim Inequação de 1° grau Função
quadrática Inequação de 2° grau Função modular Função composta e
função inversa Trigonometria.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo Circunferência
trigonométrica (Ciclo Trigonométrico) Funções trigonométricas; seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante Relações
fundamentais da trigonometria. Identidades trigonométricas
Bibliografia:
Básica:
IEZZI, G; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar.
Volume 1 - Conjuntos e Funções. São Paulo: Atual Editora, 2004.
IEZZI, G. Fundamentos
Trigonometria.
São
de Matemática Elementar. Volume 3 Paulo:
Atual
Editora,
2004.
Complementar:
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro:
Livros
Técnicos
e
Científicos
Editora,
2001.
MACHADO, A. S. Matemática - Temas e Metas. Volumes 1 e 2. São
Paulo: Atual Editora, 1998.
168
ANEXO 4: Plano de Aula da Universidade Presbiteriana Mackenzie - MACK
Matemática - Matriz Curricular
Cálculo Diferencial e Integral I
Código:
100.1197.8
Carga Horária:
06
Teoria:
06
Prática:
--
Etapa:
1ª
Professor:
Ana Maria Porto Castanheira
Objetivos:
GERAIS
Familiarizar os alunos com funções de uma variável real e seus gráficos,
explorando os conceitos de limite, continuidade, derivadas e suas
diversas aplicações.
ESPECÍFICOS
Após a conclusão da Disciplina, o acadêmico deverá ser capaz de utilizar
os conceitos acima descritos para resolver problemas e para prosseguir
seus estudos.
Ementa:
Metodologia:
Funções
elementares
e
Limite
e
Derivadas
Teorema
do
Valor
Médio
e
algumas
Aplicações
da
Noções de primitiva
seus
de
suas
gráficos
continuidade
aplicações
Derivada
1. O ensino será centrado no estudante. O professor agirá como agente
orientador no raciocínio do estudante nos processos mentais de
investigação e na análise de problemas e situações reais.
2. A dinâmica metodológica será desenvolvida com a utilização de aulas
teóricas acompanhadas de exercícios práticos, com a apresentação e
discussão dos resultados, incentivando a criatividade e a maturação
matemática do estudante.
3- Será cobrada do aluno a participação efetiva através de listas de
exercícios periódicas.
4- Sempre que oportuno será encorajado o uso de softwares que
reforcem a compreensão dos conceitos introduzidos
169
Critério
Avaliação:
de
No decorrer do período letivo, serão aplicadas duas avaliações escritas
(P1 e P2) e as avaliações continuadas, como trabalhos, seminários,
entre outras, de forma que a média das avaliações intermediárias (AI)
do aluno será calculada a partir da média aritmética dessas avaliações,
conforme
a
expressão:
MF
=
3P1
+
3P2
+
4PAF
MF
=
6.
AI
+
4.
PAF
MF ≥ 7,0 e no mínimo 75% de freqüência
MF<
5,5
→
o
aluno
estará
5,5 ≤ MF ≤ 6,9 → 80% de freqüência - aprovado
/
10
/
→
10
aprovado
reprovado
Conteúdo
Programático:
1.
Funções
elementares
e
seus
gráficos.
– Recordação superficial das funções elementares vistas no ensino
médio
e
seus
gráficos.
1.2 – Estudo de outras funções dadas por leis, gráficos ou tabelas.
1.3 – Exercícios do livro texto
2. Limites e continuidade.
2.1 – Noção intuitiva de limite.
2.2 – Propriedades operatórias dos limites. Exercícios do livro texto.
2.3 – Limites envolvendo . Assíntotas. Exercícios do livro texto.
2.4
–
Limites
fundamentais
3. Derivadas
3.1 – Definição; interpretações geométrica e cinemática. Exercícios da
página 154.
3.2 – Regras de derivação e derivada de algumas funções elementares.
Exercícios do livro texto.
3.3 – Regra da cadeia. Exercícios do livro texto.
3.4 – Derivadas implícitas e derivadas de funções inversas. Exercícios
do livro texto.
4. Teorema do Valor Médio
4.1 – Teoremas de Fermat, de Rolle e do valor médio e corolários.
4.2
–
Regra
de
L’HOSPITAL.
Exercícios
do
livro
texto.
4.3 – Problemas de máximo e mínimo. Exercícios do livro texto.
4.4 – Estudo da variação de funções. Exercícios do livro texto.
5. Regras de primitivação- se houver tempo suficienteNoções primeiras
de
integral
Integral definida: Regra de Barrow
Bibliografia:
Básica:
STEWART, J., - Cálculo, Volume I, 5a Edição, Pioneira, São Paulo, 2005.
Complementar:
ÁVILA, G. S. S., Cálculo, Volume 1, 7a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2003
GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Volume l, 5a Edição, LTC, Rio
de
Janeiro,
2001
LEITHOLD, L., Cálculo com Geometria Analítica, Harper & Row, 1977
SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1987
SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Makron Books,
2a ed., 2000
170
ANEXO 5: Plano de Aula da Universidade Federal de Viçosa - UFV
171
172
ANEXO 6: Plano de Aula da Universidade Federal de Viçosa - UFV
173
174
175
ANEXO 7: Plano de Aula da Centro Universitário Fundação Santo André - FSA
176
177