Universidade da
Beira Interior
AULA 11
MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA
PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM
FRENTE ABRUPTA
João Leal (UBI)
IST, Lisboa
2006
Universidade da
Beira Interior
Observações experimentais
clear water
o modelo conceptual tem que
incluir o transporte de
sedimentos
sheet-flow
Vista lateral
Planta
o escoamento pode ser conceptualizado como
2 camadas de transporte (clear water + sheet-flow)
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Beira Interior
MODELO CONCEPTUAL
(morfodinâmico)
h
hw
hc
uw
clear water
uc
sheet-flow
zb
immobile bed
Depth average
theory

C  Cc hc uc ( x )  uc ( y )
2
  w 1   s  1 C 
2

w h w
Cc
ub = 0
u  uc hc  uwhw  h
C w= 0
C b= 1 - p
h u( x )  u ( y )
2
2

w h w + c h c
NOTA:
 u x  

u
u y  
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Beira Interior
EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
U F  U  G  U 
MORFODINÂMICO
t
Variáveis dependentes
 zs 
 u h 
( x) 
U
u( y ) h 


 ze 

x

S
y
Vectores de fluxo
hu( y )
hu( x )








wuw( x ) uw( y ) hw  c uc ( x ) uc ( y ) hc 
 wuw( x ) 2 hw  c uc ( x ) 2 hc   
F U  

 G U  
2
2

u
u
h


u
u
h
c c( x) c( y ) c 
 wuw( y ) hw  c uc ( y ) hc   
 w w( x ) w ( y ) w




Chu( y )
Chu( x )





  g w hw2  2w hw hc  c hc 2
Termos de fonte
0




  g   w hw  c hc  zb  bc ( x ) 


x
S

z
  g   w hw  c hc  b  bc ( y ) 
y




0



2
Variáveis dependentes
cota da sup. livre
caudal mássico por
unidade de largura
zs  h  zb
uh
ze  1  p  zb  Cc hc
cota do fundo equivalente aos
sedimentos acumulados na coluna de água
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EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
HIDRODINÂMICO
U F  U  G  U  U
U
U



 A  U
 B  U
S
t
x
y
t
x
y
Termos de fonte
Variáveis dependentes
Vectores de fluxo
 h 


U   u( x ) h 


u( y ) h 


hu( x )


hu( y )




2
2

F  U   u( x ) h  gh 2  G  U  
u( x ) u( y ) h 




u( y ) 2 h  gh 2 2 
 u( x ) u( y ) h 



0

A  U    gh  u x  2

 u x  u y 

1
2u x 
u y 
0 

0 

u x  

A
u  gh 
  x




u x 


u  gh 
  x 


0

B  U    u x  u y 


2
 gh  u y 




0


zb


S    gh
bc ( x )  
x


  gh zb  

bc ( y )  

y

0
u y 
0

1 
u x  


2u y  

B 
u
 gh 
y






u y 


u

  y   gh 
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ESQUEMA DE MACCORMACK
 O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no
âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação
aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos
esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia.
 Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os
esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que
tendem a suavizar essas descontinuidades.
 O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante
de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à
classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante
uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.
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Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
x  x
Diferenças Finitas
U F

0
t x
t  t
Uin1 

1 p
Ui  Uic
2
Previsão
 n t n
n
U

F

F
i
i

1
i

x
p
Ui  
U n  t F n  F n
i 1
 i x i

Correcção




 n t p
p
U

F

F
i 1
se n  2, 4,...
 i x i
c
Ui  
U n  t F p  F p
se n  3,5,...
 i x i 1 i


se n  2, 4,...


se n  3,5,...
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas,
respectivamente, nos passos de previsão e de correcção
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Beira Interior
tempo
(t )
n+ 1
correcção
(progressivas)
n
previsão
(regressivas)
n 1
n
i 1
i
i +1
FRONT. DE JUSANTE
n+ 1
FRONT. DE MONTANTE
x
barragem
ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
1
0
1
2
CONDIÇÕES INICIAIS
3
m c 1 m c m c +1
m x 1 m x
espaço
(x )
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ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
x  x
Diferenças Finitas
t  t
y  y
U F G


0
t x y
Uin,j1 

1 p
Ui , j  Uic, j
2
Previsão
Uip, j
t
 n
U

i
,
j

x

 U n  t
 i , j x

 U n  t
 i , j x

t
 Uin, j 
x

F
n
i 1, j
F
n
i, j

 Fin1, j

F
 Fin, j

F
 Fin1, j

n
i 1, j
n
i, j
t
x
t

x
t

x
t

x
 Fin, j 

Correcção
G
n
i , j 1
 G in, j

se n  2, 6,...
G
n
i , j 1
 G in, j

se n  3, 7,...
G
n
i, j
 G in, j 1

se n  4,8,...
G
n
i, j
 G in, j 1

se n  5,9,...
Uic, j
t
 n
 Ui , j  x

 U n  t
 i , j x

 U n  t
 i , j x

t
Uin, j 
x

F
p
i, j

F
 Fi ,pj

F
 Fi p1, j

F
 Fi ,pj

p
i 1, j
p
i, j
t
x
t

x
t

x
t

x
 Fi p1, j 
p
i 1, j
G
p
i, j
 G ip, j 1

se n  2, 6,...
G
p
i, j
 G ip, j 1

se n  3, 7,...
G
p
i , j 1
 G ip, j

se n  4,8,...
G
p
i , j 1
 G ip, j

se n  5,9,...
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas,
respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos
fluxos segundo x (F) e segundo y (G)
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Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
y
i ,j +1
p
y
i ,j +1
c
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
p
i -1,j
c
c
p
i ,j -1
Tempo de cálculo n
Tempo de cálculo n +1
y
i ,j +1
y
i ,j +1
p
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
c
i +1,j
x
i ,j
i ,j -1
p
p
c
i ,j -1
Tempo de cálculo n +2
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
p
p
i ,j -1
Tempo de cálculo n +3
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema
de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na
presença de descontinuidades.

a)
b)
SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN
 3,0
3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
-1,0
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema primeira ordem (Godunov)
simula mal (“adoça”) as descontinuidades
c)
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de segunda ordem (MacCormack)
Simula bem as descontinuidades mas
apresenta oscilações numéricas
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a)
b)
CORRECÇÃO DE ALTA
RESOLUÇÃO TVD

3,0

3,0
dos
2,5
 A tentativa de eliminar as2,5oscilações numéricas resultantes
termos de ordem superior
que
2,0 deu origem aos esquemas TVD
2,0
garantem que a variação1,5
total das sucessivas soluções
1,5 numéricas
n 1
n
não aumenta no tempo, ou
1,0 seja, TV  U   TV  U 
1,0
-1,0
-0,5
1,0
0,5
geramdistância
novos
0,0
 Esta propriedade garante que não se
-1,0
-0,5
0,0
mínimos ou
máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não
são decrescentesb)ou crescentes, respectivamente.c)

1,0
0,5
distância
3,0

3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de MacCormack sem TVD
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de MacCormack com TVD
1
0,5
distânc
Universidade da
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CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações.
A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da
linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida
por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por
matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados
através da solução do problema de Riemann entre duas células de
cálculo adjacentes.
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição
de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a
convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias).
 A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema
de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico,
aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa,
é convergente, então converge para uma solução fraca
(descontínua).
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida,
podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para
que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição
de entropia:
 k  Uesquerda   Sdes   k  U direita 
0,5
esquema de MacCormack sem condição de
entropia (choque não físico)
Y [m]
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-8
-6
-4
-2
0
2
x [m]
4
6
8
10
12
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em
conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na
introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas
centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo
de dissipação artificial auto-adaptativo
Uin,j1 
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y






Universidade da
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Uin,j1 
Din1 2, j
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y




1 3 k
 t k
  i 1 2, j ik1 2, j 1 
ai 1 2, j
2 k 1
 x
Condição de entropia



k
 eik1 2, j
1


i

1
2,
j
 

Valores próprios da matriz aproximada Ai 1 2, j
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
Coeficientes da linearização de Ai 1 2, j
Din, j 1 2
Vectores próprios da matriz aproximada Ai 1 2, j
1 3 k
 t k
  i , j 1 2 ik, j 1 2 1 
ai , j 1 2
2 k 1
 x
Condição de entropia

k
 eik, j 1 2
1


i
,
j

1
2
 

Valores próprios da matriz aproximada Bi , j1 2
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
Coeficientes da linearização de Bi , j1 2
Vectores próprios da matriz aproximada Bi , j1 2
Universidade da
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com
secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas
conhecidas aproximações de Roe
direcção x
ci 1 2, j 
u x i 1 2, j 
u y i 1 2, j 
direcção y
hi 1, j  hi , j 

g
2
hi 1, j u x i 1, j  hi , j u x i , j
hi 1, j  hi , j
hi 1, j u y i 1, j  hi , j u y i , j
hi 1, j  hi , j
ci , j 1 2 
u x i , j 1 2 
u y i , j 1 2 
hi , j 1  hi , j 

g
2
hi , j 1 u x i , j 1  hi , j u x i , j
hi , j 1  hi , j
hi , j 1 u y i , j 1  hi , j u y i , j
hi , j 1  hi , j
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e
os coeficientes resultantes da linearização são dados por
ai1,3
1 2, j
matriz Ai 1 2, j
 u x i 1 2, j  ci 1 2, j
ei1,3
1 2, j
1,3
i 1 2, j 
 1 


  ai1,3
1 2, j 


u
  y i 1 2, j 
hi 1, j  hi , j
2
i21 2, j 
1

matriz Bi , j1 2
ai1,3
, j 1 2  u y i , j 1 2  ci , j 1 2
ai21 2, j  u x i 1 2, j
ei21 2, j
 0 


 0 
ci 1 2, j 


ei1,3
, j 1 2

1


1


 u x i , j 1 2 


1,3
 ai , j 1 2 


ai2, j 1 2  u y i 1 2, j
ei2, j 1 2
 0 


 ci , j 1 2 
 0 



 hi 1, j u x i 1, j  hi , j u x i , j  u x i 1 2, j hi 1, j  hi , j 
 
 
 

2ci 1 2, j 


 hi 1, j u y i 1, j  hi , j u y i , j  u y i 1 2, j hi 1, j  hi , j 
 
 
 

ci 1 2, j 
1,3
i , j 1 2 
hi , j 1  hi , j
2
i2, j 1 2 

1

1

 hi , j 1u y i , j 1  hi , j u y i , j  u y i , j 1 2 hi , j 1  hi , j 
 
 
 

2ci , j 1 2 


 hi , j 1u x i , j 1  hi , j u x i , j  u x i , j 1 2 hi , j 1  hi , j 
 
 
 

ci , j 1 2 
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983)
escreve-se
1,3
i 1 2, j
 a1,3
 i 1 2, j

1,3
 i 1 2, j

se
1,3
ai1,3
1 2, j  i 1 2, j
se
1,3
ai1,3
1 2, j  i 1 2, j

1,3
i , j 1 2

1,3
1,3
1,3
1,3


1,3
i 1 2, j  max 0, ai 1 2, j  ai , j , ai 1, j  ai 1 2, j 
 a1,3
 i , j 1 2

1,3
 i , j 1 2

se
1,3
ai1,3
, j 1 2  i , j 1 2
se
1,3
ai1,3
, j 1 2  i , j 1 2


1,3
1,3
1,3
1,3


1,3
i , j 1 2  max 0, ai , j 1 2  ai , j , ai , j 1  ai , j 1 2 
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Existem diversos limitadores que podem ser utilizados, como sejam o
de Van Albada, o “minmod”, o “superbee” ou o de Van Leer, entre
outros. Por exemplo, o limitador de Van Leer é dado por
ik1 2, j 
rik1 2
rik1 2, j  rik1 2, j
1  rik1 2, j

t k

aik1 2 s 1 
ai 1 2 s  ik1 2 s
x




t k  k
aik1 2 1 
ai 1 2  i 1 2

x


com
1 se aik1 2  0
s
k
1 se ai 1 2  0
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Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem
apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O
sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração
de duas camadas de transporte com propriedades distintas e, ainda,
devido à existência de mais uma equação referente à conservação da
massa de sedimentos.
 A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a
determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores
próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do
sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.
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ESTABILIDADE NUMÉRICA
 O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos,
tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-FriedrichsLewy.
 Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte
forma:
t  Cr 
xy
 max
x 2  y 2
Passo de tempo
Número de Courant
Valor máximo das características no
instante de tempo anterior
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ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
 Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais
em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário
ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de
forma ao sistema ser fisicamente conservativo.
 Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará
U F  U  G  U 


S
t
x
y
Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente
conservativo.
escreve-lo na forma conservativa
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Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais
prismáticos com secção rectangular e sem atrito
variáveis
primitivas
variáveis
conservativas
h  hu

0
t
x
h q

0
t x


q  q2 h  gh2 2

0
t
x


u  u2 2  gh

0
t
x
NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos
mas o segundo não é fisicamente conservativo.
U FU

0
t
x
Formulações conservativas VS. não-conservativas
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Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque
Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções
descontínuas de sistemas de leis de conservação
hiperbólicos
F  Si U

Si
F(UR )  F(UL )  Si UR  UL 
com
UR
U FU

0
t
x
UL
x
Formulações conservativas VS. não-conservativas
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Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com variáveis conservativas
qR  qL


hR  hL 
q 2 h  gh 2 2  q 2 h  gh 2 2  Scons q  q 
 R

 R
R
R
L
L
L
L

Scons
ghL
 uR 
hR  hL 
2hR
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Universidade da
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Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com variáveis primitivas
hRuR  hLuL


hR  hL 
u 2 2  gh  u 2 2  gh   Sncons u  u 
 R
 R
R
L
L
L

Sncons
hL2
 uR  2g
hR  hL
hR hL
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Velocidade do
choque S
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facilmente se demonstra que Scons  Sncons
50
40
30
20
10
0
Scons
Sncons
Si
UR
UL
0
5
10
15
20
Força do choque hR/hL
x
CONCLUSÃO:
Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques
erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do
choque
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Exemplo:
0,5
Y [m]
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-8
-6
-4
-2
8
6
4
2
x [m]
solução de Ritter
RUBATS - variáveis dependentes h e q
RUBATS - variáveis dependentes h e u
0
10
12
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MODELO NUMÉRICO
conservação da massa da
mistura
Conservação da quantidade
de movimento da mistura nas
direcções x e y
conservação da massa
de sedimentos
correção TVD
aproximações de Roe
condição de entropia de Harten e Hymen
Limitador de fluxo de Van Leer
viscosidade artificial de Jameson
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VISCOSIDADE ARTIFICIAL
 A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack
traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de
correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial,
mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.
Uin,j1 
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y






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VISCOSIDADE ARTIFICIAL
viscosidade artificial de Jameson (1981)



Din1 2, j  i 1 2, j Ui 1, j  Ui , j  i1 2, j Ui 2, j  3Ui 1, j  3Ui , j  Ui 1, j
2

 2
 2
 2
i 1 2, j  max i , j , i 1, j
 4
i 1 2, j
4

 2
i , j  
 2
 

i 1 2, j
4
 max 0,    
 
u x i 1 2, j  ci 1 2, j
 


 2
 u 
x i, j




 ci , j
zsi 1, j  2 zsi , j  zsi 1, j
z
si 1, j
 2 zsi , j  zsi 1, j

2
2
2
i , j1 2  max i , j , i, j1
 4
i , j 1 2

4

 2
i , j  
 2
2
 

i , j1 2
4


 max 0,   

u y i , j 1 2  ci , j 1 2  


 
4
   1 256
2
   1 4
Din, j 1 2  i , j1 2 Ui , j 1  Ui , j  i, j1 2 Ui , j 2  3Ui , j 1  3Ui , j  Ui , j 1
2
 u 
y i, j
 ci , j


zsi , j 1  2 zsi , j  zsi , j 1
z
si , j 1
 2 zsi , j  zsi , j 1
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
 O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na
resolução numérica de equações.
 Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um
esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação
de um esquema “upwind”.
 No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de
implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em
esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a
sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
 Tendo em conta o problema não homogéneo:
U F  U  G  U 


S
t
x
y
 o esquema de divisão é construído considerando a solução de três
problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma
equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)

U F  U 

 0 t
adv1
t
x
  U

Uinicial  U n


U G  U 

 0  t
adv 2
t
y
  U

Uinicial  U adv1 

U F  U 

 0
t
x

Uinicial  U adv 2 
U
 S U
t
Uinicial
t 2

U adv3
 t

n 1
  U
 U adv 2 
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
 Partindo das equações anteriores demonstra-se que:
Uin,j1  Uin, j 
 
t
t
Fi 1 2, j  Fi 1 2, j 
G i , j 1 2  G i , j 1 2  tS Uis, j
x
y



3
em que Uis, j  1    Uin, j  Uiadv
com
,j

0   1
 Apesar de alguns autores referirem que  = 0 é a pior escolha, ainda
assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que Uis, j  Uin, j
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Discretização de derivadas no termo de fonte
 Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema
relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os
declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas
 Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo

 x

 x
 zbi , j 1  zbi , j  y

y  
 zbi , j  zbi , j 1  y
 zbi 1, j  zbi , j

zb x  
 zbi , j  zbi 1, j
zb

 x
F x   Fi , j  Fi 1, j  x
G y   G i , j 1  G i , j  y
G y   G i , j  G i , j 1  y
se F x  Fi 1, j  Fi , j
se
se
se
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através
da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito
exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o
contorno desse domínio.
 Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada
fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema.
 Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro
condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas.
• As condições físicas são aquelas que podem ser impostas
livremente, e que representam a informação física que se pretende
introduzir no domínio de cálculo.
• As condições numéricas constituem a informação adicional que é
necessária para definir completamente o vector das variáveis
dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições
têm que ser consistentes com as propriedades físicas do
escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser
também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser
especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve
ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto
 O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada
ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as
características do sistema de equações. Assim, não são necessárias
condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas
do tipo:
hm
h  x, y , t  0   
 h j
hsm
zb  x, y, t  0   
 hs j
se x  0
se x  0
se x  0
se x  0
q x   x, y, t  0   0
q y   x, y, t  0   0
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não
é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de
características que entra em cada ponto do contorno depende do facto
de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita.
 As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser
estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase
líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto.
Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o
número de Froude
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede de montante:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
q x  1, y, t   0
q y  1, y, t   0 C 1, y, t   0
uma condição numérica associada a 2
Parede de jusante:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,
associada à fase líquida
q  mx , t   0, 4 2 g h  mx , t   h j 
32
três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
C  x,0, t   C  x,2, t 
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede lateral esquerda:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
q x   x, 0, t   q x   x, 2, t 
q y   x, 0, t   q y   x, 2, t 
C  x,0, t   C  x, 2, t 
uma condição numérica associada a 2
Parede lateral direita:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,
associada à fase líquida



q y  x, my  1, t  q y  x, my  1, t

três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
C  x,0, t   C  x,2, t 
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede que constitui o alargamento:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
q x   mc  1, y, t   q x   mc  1, y, t  com
q y   mc  1, y, t   q y   mc  1, y, t  com
y  bm
y  bm
C  mc  1, y, t   C  mc  1, y, t  com y  bm
uma condição numérica associada a 2
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Instalação Experimental
9.5
1.0
1.0 0.8
1.0
1.0
lift-gate
0.5
downstream
2.0
0.5 0.5 0.8
perspex
wall
2.0
0.2
0.5
2.0
9.7
upstream
LEGEND:
lift mechanism
Planta do canal
localizado no LNEC
video camera
filming area
pressure tranducer
in the lateral wall
pressure transducer
in the bottom
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Condições iniciais
Lift-gate
foram realizados 2 tipos de
ensaios: fundo fixo e fundo
móvel (areia e pedra-pomes)
water
movable bed
0.07 m
0.40 m
Upstream
Downstream
Fundo de areia
(baixa mobilidade)
diâmetro mediano, d = 0.8 mm
densidade, s = 2.65
Fundo de pedra-pomes
(elevada mobilidade)
diâmetro mediano, d = 1.3 mm
densidade, s = 1.40
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Resultados experimentais
AREIA
Vista frontal
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Resultados experimentais
PEDRA-POMES
Vista frontal
Universidade da
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Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs
Componentes da velocidade, u(x) and u(y)
AREIA
zs
Vista lateral
u(x)
Planta
u(y)
Planta
Universidade da
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Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs
Componentes da velocidade, u(x) and u(y)
PEDRA-POMES
zs
Vista lateral
u(x)
Planta
u(y)
Planta
Universidade da
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Resultados numéricos
Cota da sup. livre, zs
T = 20
Areia
Pedra-pomes
Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente:
A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico.
O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal
mais lenta
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Resultados numéricos
Componentes da velocidade, u(x) e u(y)
Areia
T = 20
Pedra-pomes
u(x)
u(y)
Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes.
A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.
Resultados Experimentais vs. Numéricos
Evolução da cota da sup. livre
0.8 0.5 0.5
a)
0
a)
P7
15
T ()
20
P10
P12
15
T ()
20
P10
P12
25
30
numerical
0.3
Zs (-)
Pedra-pomes
P4
10
2.0
P1
5
0.2
0.1
0.0
0
P1
5
P4
10
P7
25
30
numerical
downstream
0.0
1.0
0.1
1.0
1.0
0.2
2.0
Zs (-)
Areia
0.3
upstream
Universidade da
Beira Interior
Resultados Experimentais vs. Numéricos
Evolução da cota da sup. livre
0.8 0.5 0.5
c)
1.0
0.2
0.1
0.0
c)
20
P9
25
30
numerical
0.3
0.2
0.1
2.0
Zs (-)
Pedra-pomes
P6
15
T ()
2.0
P3
10
0.0
0
P3
5
10
P6
15
T ()
P9
20
25
numerical
30
downstream
5
1.0
0
1.0
Zs (-)
Areia
0.3
upstream
Universidade da
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