CADERNO DE MATEMÁTICA
decimais). Todo número racional pode ser escrito
na forma a / b.
NOVO ENEM (I)
•Conhecimentos numéricos:operações em
conjuntos numéricos (naturais, inteiros,racionais e
reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração,
razões e proporções,porcentagem e juros,
relações de dependência entre grandezas,
sequências e progressões,princípios de contagem.
4. Números Irracionais
É formado pelas dízimas não-periódicas. Os
números irracionais não podem ser expressos na
forma a / b.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Todo conjunto numérico é expresso por uma
letra (IN, Z, IR, ...), caso essa letra venha com um
asterisco sobrescrito, deste conjunto se exclui o
zero (0), se vier um sinal de mais (+) subscrito,
deste conjunto se excluem os números negativos
e se vier um sinal de menos ( – ) subscrito, deste
conjunto se excluem os números positivos.
1. Números Naturais
Exemplos
2 ; 3 ;   3, 141592... ; e  2,718281...
 OBSERVAÇÃO

É formado pela cardinalidade dos conjuntos.
N  0;1; 2; 3; 4; ...
Naturais não-nulos:
a

Q   / a  Z e b  Z* 
b

Um número jamais poderá ser racional
irracional ao mesmo tempo. Ou seja, os
conjuntos Q e I não possuem elementos em
comum,
N*  1; 2; 3; 4; ... 
N*  N
QI .
5. Números Reais
Inclui todos os conjuntos anteriormente citados.
Os únicos números que não fazem parte deste
conjunto são as raízes de índices pares de
números negativos.
2. Números Inteiros
É formado pelos números naturais juntamente
com os inteiros negativos.
R QI
Z  {...,  3,  2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Inteiros não-nulos:
Z *  Z  {0}
Inteiros não-negativos:
Z   {0,1,2,3,...}
= IN
Inteiros
não-positivos:
Z   {...,3,2,1,0}
Inteiros positivos:
Z *  {1,2,3,...} = IN*
Inteiros negativos:
Z *  {...,3,2,1}
3. Números Racionais
Incluem-se neste conjunto os números
inteiros, os decimais exatos (finitos) e as
dízimas periódicas (infinitas com repetição de
 OBSERVAÇÃO
 Apenas dois tipos de números não são reais,
são eles as raízes de índice par de números
negativos e o resultado de uma divisão por
zero.
6. Operações entre os conjuntos numéricos
Se a e b são números naturais então:
• a  b é natural
• a  b pode ser natural ou inteiro
• a  b é natural
• a  b pode ser natural ou racional
Se a e b são números inteiros então:
• a  b é inteiro
• a  b é inteiro
• a  b é inteiro
• a  b pode ser inteiro ou racional
Se a e b são números racionais então:
• a  b é racional
• a  b é racional
• a  b é racional
• a  b é racional
Se a e b são números reais então:
• a  b é real
• a  b é real
• a  b é real
• a  b é real
em
Dado um número natural n escrito decomposto
seus
fatores
primos
n  (a1 ) k1 .(a2 ) k2 . ... .(an ) kn podemos dizer que o
número de divisores naturais é dado pela fórmula:
D(n)  (k1  1).(k 2  1). ... .(k n  1) , onde o D(n)
é o número de divisores naturais de n.
Exemplo
2
120 = 2 .3.5, ou seja D(120) = (2+1).(1+1).(1+1) =
3.2.2 = 12 divisores naturais.
 OBSERVAÇÃO
 OBSERVAÇÕES


10. Número de divisores
Admita sempre nas divisões a  b que b  0 .
As operações entre números irracionais
podem dar resultados dentro do conjunto dos
irracionais ou então dos racionais.
7. Divisibilidade inteira

Caso se esteja procurando o número de
divisores inteiros de um número n basta
multiplicar o número de divisores naturais por
2, pois devemos adicionar a esses números
os seus opostos.
Exemplo
Dizemos que um número p é divisível por outro
número q, quando p é múltiplo de q ou quando na
divisão inteira de p por q obtemos resto igual a
zero (0). Assim teremos que se p é divisível por q,
q divide p ou p = k.q, onde k  Z.
No caso de 120, o número de divisores
inteiros será 12.2 = 24 divisores inteiros.
Exemplo
Teorema: O mínimo múltiplo comum (MMC)
entre n e m é o menor valor inteiro que seja
múltiplo simultaneamente de n e m.
15 é divisível por 3, pois 15 é múltiplo de 3, ou
o resto da divisão de 15 por 3 é zero, ou ainda 15
= 5.3.
Critérios de Divisibilidade
8. Números primos
Um número n é dito primo quando possui
quatro divisores inteiros o próprio número n, o
número – n, o número 1 e o número – 1.
Ex: 13 é um número primo, pois apenas o 13, 13, 1 e -1 são seus divisores inteiros.
9. Decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos
significa encontrar quais são os números primos
que multiplicados formam o número em questão.
2
2
Ex: 23100 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11.
 OBSERVAÇÃO

Cada número tem uma única decomposição
em fatores primos.
11. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo
Divisor Comum (MDC)
Uma forma prática de encontrar esse valor é
fatorar os dois números em seus fatores primos e
o MMC será o produto dos fatores comuns,
com maior expoente e não-comuns.
Exemplo
Calcular o MMC entre 120 e 2772. Escritos na
3
forma fatorada temos que 120 = 2 .3.5 e 2772 =
2 2
2 .3 .7.11. Assim o MMC será o produto dos
3
2
fatores comuns com maior expoente (2 e 3 ) e os
fatores não-comuns (5, 7 e 11).
MMC120,2772  23.32.5.7.11  27720
Teorema: O máximo divisor comum (MDC)
entre n e m é o maior valor inteiro que divida
simultaneamente n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é
fatorar os dois números em seus fatores primos e
o MDC será o produto dos fatores comuns com
menor expoente.
Exemplo
Calcular o MDC entre 120 e 2772. Escritos na
3
forma fatorada teremos que 120 = 2 .3.5 e 2772 =
2 2
2 .3 .7.11. Assim o MDC será o produto dos
2
fatores comuns com menor expoente (2 e 3).
MDC120,2772  22.3  12
Dízima composto
 OBSERVAÇÕES



MMC(n, m).MDC(n, m)  n.m
Todo MÚLTIPLO do MMCa, b  é múltiplo
comum de a e b
A geratriz de uma dízima composta é
O produto
Todo DIVISOR do
MDCa, b é divisor
comum de a e b . Assim para calcular o
número de divisores comuns entre dois
números a e b devemos calcular quantos
divisores possui o
uma fração da forma
, onde:
n
parte não-periódica seguida do
período, menos a parte não-periódica.
d
tantos noves quantos forem os
algarismos do período seguidos de tantos
zeros quantos forem os algarismos da
parte não-periódica.
MDCa, b .
Exemplo:
12. Primos entre si
Dois números são chamados de números
primos entre si quando o MDC entre eles é igual a
um (1), ou seja não existe nenhum número (a
exceção do um) que divida de forma inteira os
dois números ao mesmo tempo.
Exemplo
3
54 e 25 são primos entre si, pois 54 = 3 .2 e 25
= 5 . Assim MDC(54, 25) = 1.
2
12,53262626... = 12 + 0,53262626... =
OBS: Geratriz de uma Dízima Periódica
É possível determinar a fração (número racional)
que deu origem a uma dízima periódica.
Denominamos esta fração de geratriz da dízima
periódica.
Procedimentos para determinação de uma
dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma
fração que tem para numerador o período
e para denominador tantos noves quantos
forem os algarismos do período.
Exemplos:
Exercício de Aula
01) Calcule as frações geratrizes irredutíveis das
dízimas periódicas:
a)
0,444...
b)
0,454545...
c)
0,2777...
d)
1,555...
e)
0,2777...
f)
0,32888...
g)
0,7565656...
h)
1,2737373...
Exercício de Aula
04) Racionalize as expressões:
a)
13. Racionalização
b)
Racionalizar uma expressão consiste em tornar o
seu denominador um número racional. Vejamos
os principais casos de racionalização.
c
a
1° caso) Expressões do tipo
Exemplo
02) Racionalize as expressões:
3
2
6
3
a)
b)
3
2 3
2 1
5 1
ATIVIDADES (CONJUNTOS NUMÉRICOS)
01) (Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora
de televisão duas luzes “piscam” com
freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes
por minuto. Se certo instante as luzes piscarem
simultaneamente, após quantos segundos elas
voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
2
5
c)
c)
2
2 1
d) 15
e) 30
2º caso) Expressões do tipo
n
c
a
Exemplo
03) Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
1
2
3
5
3
02) (UNIT) Três torneiras defeituosas pingam em
intervalos regulares de tempo. A primeira
pinga a cada 2 minutos, a segunda, a cada 3
minutos, e a terceira, a cada 5 minutos. Um
menino observou que, às 14 h 5 min, as três
torneiras pingaram ao mesmo tempo. Se a
mesma regularidade for mantida, as três
torneiras também pingarão juntas às:
a) 14 h e 30 min
b) 14 h e 45 min
3
c) 15 h e 10 min
d) 15 h e 35 min
5 1
4
2
3º caso) Expressões do tipo
e) 15 h e 55 min
c
a b
03) (Ucsal) Uma escola programou uma visita a
um museu, com 117 rapazes e 99 moças.
Para entrar em uma determinada sala, de
visitação restrita, todos eles foram divididos
em grupos, de tal modo que:



todos os grupos tinham pessoas de um mesmo
sexo.
todos os grupos tinham o mesmo número de
pessoas.
o número de pessoas por grupo era o maior
possível.
Nestas condições,
formados foi:
o
número
de
grupos
a) 14
b) 18
c) 12
d) 24
a) 9
b) 11
c) 13
d) 18
e) 24
04) (UNIT)
O número máximo de fragmentos diferentes
que
podem
ser
assim
obtidos
correspondem a:
06) É comum representar determinadas situações
através de gráficos de barras de setores ou de
segmentos. Por exemplo: o gráfico de setor abaixo
representa o número de vitórias (V), empates (E) e
derrotas (D) de um time de futebol em 40 partidas
disputadas.
0,111 111 111... vale:
a) 0,111 111 111...
b) 0,333 333 333...
c) 0,555 555 555...
d) 0,777 777 777...
e) 0,999 999 999...
05)(FUVEST-SP) Trechos complementares de
duas cadeias de nucleotídeos de uma molécula de
DNA. Observe que uma cadeia se dispõe em
relação à outra de modo invertido.
3º
5º
C
A
T
G
A
G
G
T
T
A
G
a) 16V, 16E e 8D
b) 18V, 18E e 4D
C
5º
C
Com base no gráfico, qual foi o número de
vitórias, empates e derrotas desse time nos 40
jogos?
C
3º
c) 14V, 14E e 12D
d) 16V, 14E e 10D
e) 20V, 15E e 5D
(Adaptado de LOPES, Sônia. Bio 3. São
Paulo: Saraiva, 1993)
Considere as seguintes condições para a
obtenção de fragmentos de moléculas de
DNA:
- todos os fragmentos devem ser formados por
2 pares de bases nitrogenadas;
- cada fragmento deve conter as quatro
diferentes bases nitrogenadas.
07) A seguir, estão três afirmativas sobre números
reais:
I.
O número 2,325666… é racional.
II. O número
7 pode ser escrito na forma
p
, na qual p e q são inteiros, com q  0.
q
III. O valor de m 
(3) 2
é –1 ou 1.
3
O número de afirmativas corretas é:
a) 0
06-A
07-B
08-A
09-E
10-B
b) 1
c) 2
d) 3
PORCENTAGEM
Utilizamos o calculo de porcentagem
constantemente no nosso cotidiano .toda
fração de denominador 100, representa uma
porcentagem, como diz o próprio nome por
cem.
08) (UNIT) Dois relógios tocam uma música
periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o
outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram
(simultaneamente. às 10 horas, que horas estarão
marcando os relógios quando voltarem a tocar
juntos (simultaneamente. pela primeira vez após
as 10 horas?
Exemplo:
12/100 é igual a 0,12 que multiplicado por 100
será igual a 12%
5/100 é igual a 0,05 que multiplicado por 100
será igual a 5%
a) 10 horas e 31 minutos
b) 11 horas e 02 minutos
Observe que o símbolo % que aparece nos
exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos
perceber que este símbolo % aparece com
muita freqüência em jornais, revistas, televisão
e anúncios de liquidação, etc.
c) 13 horas e 30 minutos
d)
17 horas
09) (UNIT) Uma faculdade dispõe de 66
computadores para serem utilizados em aulas
práticas por seus 108 alunos. Qual o maior
número de equipes que podemos formar de tal
modo que cada uma tenha o mesmo número de
computadores?
RAZÃO
Chama-se de razão entre dois números racionais
a e b, com b  0 , ao quociente entre eles. Indicaa
se a razão de a para b, por
ou a : b .
b
a) 11
b) 18
c) 21
Exemplo:
d) 8
e) 6
10) Do Parque Halkfeld partem, às 5 horas da
manhã, três ônibus A, B e C. Sabendo-se que os
ônibus A, B e C voltam ao ponto de partida,
respectivamente, a cada 30, 45 e 50 minutos, o
próximo horário, após as 5 horas, em que os três
ônibus partirão juntos será às:
Na sala da 3ª Série de um colégio há 20 rapazes e
25 moças. Encontre a razão entre o número de
rapazes e o número de moças. (lembrando que
razão é divisão)
20  5 4
 (Indica que para cada 4 rapazes existe
25  5 5
5 moças)
a) 7 horas e 30 minutos;
Lendo Razões:
b) 12 horas e 30 minutos;
2
, lê-se, 2 está para 5 ou 2 para
5
5.
c) 15 horas;
d) 20 horas;
Termos de uma Razão:
e) 11 horas da manhã do dia seguinte.
GABARITO
01-A
02-D
03-E
04-B
05-B
Grandezas Especiais
a  Antecedente
b  Consequente
 Escala, é a razão entre a medida no desenho e
o correspondente na medida real.
Escala 
Medida do desenho
Medida real
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes
Claros e Viçosa é representada por um segmento
de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é
de 4320 km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo
4320 km = 432 000 000 cm
Escala 
7,2cm
1

432000000 60000000
 Velocidade média é a razão entre a distância a
ser percorrida e o tempo gasto. (observe que
neste caso as unidades são diferentes)
Velocidade 
Distância
Tempo
Exemplo: Um carro percorre 320 km em 4h.
Determine a velocidade média deste carro.
Velocidade 
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
120 5 40 5
 e

48 2 16 2
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse
120 40
caso, podemos afirmar que a igualdade

48 16
é uma proporção.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não
nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam
uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for
igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
Os números a, b, c e d são os termos da
proporção, sendo:
 Densidade demográfica é a razão entre o
número de habitantes e a área.
Densidade demográfica 
PROPORÇÃO
a c
  a b  c d
b d
320
 80
4
Velocidade= 320/4 = 80
 b e c os meios da proporção.
 a e d os extremos da proporção.
Nº de habi tantes
Área
Exemplo: O estado do Ceará tem uma área de
148.016 km2 e uma população de 6.471.800
habitantes. Dê a densidade demográfica do
estado do Ceará.
Densidade 
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é
5 8
  1 (Dizemos que as razões são inversas).
8 5
6.471.800
 43,72 hab / km2
148.016
 Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
5 8
e
8 5
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
Produto dos
meios = 4.30 =
3 30 120

4 40 Produto dos
extremos = 3.40
= 120
De modo geral, temos que:
a c
  ad  bc
b d
Daí, podemos enunciar a propriedade
fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos.
 Resolução
proporções
de
problemas
envolvendo
Exemplo:
Média geométrica ou média proporcional
a b
 , o número b
b c
é denominado média geométrica ou média
proporcional entre a e c.
Dada uma proporção contínua
Exemplo: Determine a média geométrica positiva
entre 5 e 20.
5 b
  5  20  b  b  100  b2
b 20
b  100  b  10
3
Numa salina, de cada metro cúbico (m ) de água
3
salgada, são retirados 40 dm de sal. Para
3
obtermos 2 m de sal, quantos metros cúbicos de
água salgada são necessários?
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades das proporções
Solução:
1ª propriedade:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao
volume de água salgada. Indicamos por x a
quantidade de água salgada a ser determinada e
armamos a proporção:
1m3
40dm3
1m3
40dm3


Quantidade de água salg ada
Quantidade de sal
x
a c

b d
3
0,04dm3
Demonstração
Considere a proporção:
2m3
3
Lembre-se que 40dm = 0,04m .
1m3
Numa proporção, a soma dos dois primeiros
termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o
4º (ou 3º).

x
2m3
Adicionando 1 a cada membro obtemos
a
c
1  1
b
d
ab cd

b
d
(aplicando a propriedade
fundamental)
1  2  0,04  x
0,04  x  2
x
2
 50m3
0,04
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a
diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Proporção contínua
Proporção contínua é toda a proporção que
apresenta os meios iguais.
a b

b c
Demonstração
Considere a proporção:
a c

b d
ac c a
 
bd d b
Subtraindo 1 a cada membro obtemos:
a
c
 1   11
b
d
ab c d

b
d
5ª propriedade:
Numa proporção, o produto dos antecedentes está
para o produto dos consequentes, assim como o
quadrado de cada antecedente está para
quadrado do seu consequente.
3ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está
para a soma dos consequentes, assim como cada
antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Demonstração
Considere a proporção:
a c

b d
Multiplicando os dois membros por
a
, temos:
b
a a c a
a2 a  c
    2 
b b d b
bd
b
a c

b d
Permutando os meios, temos:
a b

c d
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
ac bd

c
d
Permutando os meios, finalmente obtemos:
ac c a
 
bd d b
Assim:
a  c a2 c2


b  d b2 d 2
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida
para qualquer número de razões. Exemplo:
a  c  e a2 c2 e3



b  d  f b2 d 2 f 3
4ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes
está para a diferença dos consequentes,assim
como cada antecedente está para o seu
consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
a b

c d
De forma análoga, temos:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de
razões iguais. Assim:
2 4
6
é uma proporção múltipla.


5 10 15
a c e
  , de
b d f
acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos
escrever:
Dada a série de razões iguais
a  c  e a c e
  
bd  f b d f
GRANDEZAS
5min  100 kg
Entendemos por grandeza tudo aquilo
que pode ser medido, contado. As grandezas
podem ter suas medidas aumentadas ou
diminuídas.
10min  200 kg
Quando triplicamos o tempo, a produção
também triplica.
Alguns exemplos de grandeza: o volume,
a massa, a superfície, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a
produção.
5min  100 kg
15min  300 kg
Assim:
É comum ao nosso dia-a-dia situações em
que relacionamos duas ou mais grandezas. Por
exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio",
quanto maior for a velocidade, menor será o
tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são
a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro
fundido comum, quanto maior for o tempo de uso,
maior será a produção de ferro. Nesse caso, as
grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido
de acordo com a tabela abaixo:
Duas grandezas variáveis dependentes
são diretamente proporcionais quando a razão
entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão
entre os valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores
de uma grandeza é igual a razão entre os dois
valores correspondentes da outra grandeza.
5 100 1


15 300 3
10 200 1


20 400 2
 Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de
"1000 metros contra o relógio", mantendo em cada
volta uma velocidade constante e obtendo, assim,
um tempo correspondente, conforme a tabela
abaixo.
Tempo (minutos)
Produção (Kg)
5
100
Velocidade (m/s)
Tempo (s)
10
200
5
200
15
300
8
125
20
400
10
100
16
62,5
20
50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção
também duplica.
Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade.
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no
sistema métrico decimal, devemos lembrar que
cada unidade de volume é 1.000 vezes maior
que a unidade imediatamente inferior.
5 m / s  200 s
10 m / s  100 s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo
fica reduzido à quarta parte.
 Medidas de capacidade
5 m / s  200 s
A quantidade de líquido é igual ao volume
interno de um recipiente, afinal quando enchemos
este recipiente, o líquido assume a forma do
mesmo. Capacidade é o volume interno de um
recipiente.
20 m / s  50 s
Assim:
Duas
grandezas
variáveis
dependentes
são inversamente proporcionais quando a razão
entre os valores da 1ª grandeza é igual
ao inverso da
razão
entre
os
valores
correspondentes da 2ª.
A unidade fundamental de capacidade chama-se
litro.
Na tabela, a razão entre dois valores de uma
grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois
valores correspondentes da outra grandeza.
1l = 1dm
Razão inversa
10 5

16 8
Razão inversa
100 8

62,5 5
8 2

20 5
125 5

50 2
 Medidas de superfície
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões,
enquanto área é a medida dessa grandeza,
portanto, um número.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de
aresta.
3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Unidade
Múltiplos
Fundamen
Submúltiplos
tal
quilolit hectolit decalit
decilitr centilit mililitr
litro
ro
ro
ro
o
ro
o
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
0,001
1000l 100l
10l
1l
0,1l 0,01l
l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
Metro Quadrado
Relações de equivalências: 1l = 1dm
3
1ml = 1cm
3
1kl = 1m
A unidade fundamental de superfície chamase metro quadrado.
Transformação de unidades
2
O metro quadrado (m ) é a medida
correspondente à superfície de um quadrado com
1 metro de lado.
3
Na transformação de unidades de capacidade, no
sistema métrico decimal, devemos lembrar
que cada unidade de capacidade é 10 vezes
maior que a unidade imediatamente inferior.
essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².
a) 22cm² e 44cm²
b) 20cm² 46cm²
c) 21cm² e 45cm²
d) 24cm² e 42 cm²
e) 23cm² e 43cm²
ATIVIDADES (PORCENTAGEM ,RAZÃO E
PROPORÇÃO)
6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³
e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.
1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de
trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando
8 dias a mais?
a) 17cm³ e 28cm³
b) 18cm³ e 27cm³
c) 19cm³ e 28cm³
d) 20cm³ e 27cm³
e) n.d.a
a) R$ 12.300,00
b) R$ 10.400,00
c) R$ 11.300,00
d) R$ 13.100,00
e) R$ 13.200,00
2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m
de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a
sombra projetada por uma torre de 130 m de
altura?
a) 290m
b) 390m
c) 490m
d) 590m
e) 690m
3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3.
Achar estas idades sabendo que sua soma é 35
anos.
a) 14 e 20 anos
b) 14 e 21 anos
c) 15 e 20 anos
d) 18 e 17 anos
e) 13 e 22 anos
4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava
R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do
seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo preço foi
novamente diminuído em p% do seu valor ,
passando a custar R$ 211,60 . O preço desse
artigo em 31. 03 . 95 era :
a) R$ 225,80
b) R$ 228,00
c) R$ 228,60
d) R$ 230,00
e) R$ 230,80
5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar
7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros
simples de 6% durante 5 anos e o montante a
juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e
recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o
capital inicial ?
a) R$ 50.000
b) R$ 60.000
c) R$ 70.000
d) R$ 80.000
e) R$ 90.000
8) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo
vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por
cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém
que apostou no cavalo vencedor foi de:
a) 800%
b) 90%
c) 80%
d) 900%
e) 9%
9) (FEI) O custo de produção de uma peça é
composta por : 30% para mão de obra , 50% para
matéria prima e 20% para energia elétrica .
Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço
de mão de obra , 35% no preço de matéria prima
e 5% no preço da energia elétrica, o custo de
produção sofrerá um reajuste de:
a) 60%
b) 160%
c) 24,5%
d) 35%
e) 4,5%
10) (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de
novembro de 1990 o preço do quilograma de
mercadorias num determinado "sacolão" sofreu
um aumento de 275% . Se o preço do quilograma
em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o
preço em 10 de fevereiro ?
a) Cr$ 19,00
b) Cr$ 18,00
c) Cr$ 18,50
d) Cr$ 19,50
e) Cr$ 17,00
11) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação
seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um
ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$
1000 ; e que sejam colocadas em circulação
moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado
novo . Qual será então o preço , em cruzados
novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00
?
a) NCZ$ 0,20
b) NCZ$ 0,30
c) NCZ$ 0,40
d) NCZ$ 0,50
e) NCZ$ 0,60
12) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de
Pedro . A diferença entre os salários é de R$
500,00 . O salário de Antônio é:
a) R$ 5500,00
b) R$ 4500,00
c) R$ 4000,00
d) R$ 5000,00
e) R$ 3500,00
13) (FUVEST) Numa certa população 18% das
pessoas são gordas , 30% dos homens são
gordos e 10% das mulheres são gordas . Qual a
porcentagem de homens na população ?
a) 30%
b) 35%
c) 40%
d) 45%
e) 50%
14) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são
estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são
brasileiros , qual é a população total ?
a) 1.360.000
b) 13.600.000
c) 136.000.000
d) 10.531.840
e) 105.318.400
15) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria
sofre anualmente um acréscimo de 100% .
Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui
a 3 anos o preço será.
a) R$ 300,00
b) R$ 400,00
c) R$ 600,00
d) R$ 800,00
e) R$ 1000,00
16) (FGV) Se uma mercadoria sofre dois
descontos sucessivos de 15% e depois um
acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao
preço inicial:
a) aumentou de 22%
b) decresceu de 21,97%
c) aumentou de 21,97%
d) decresceu de 23%
e) decresceu de 24%
17) (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo
tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por
R$ 25,00 o par . Com este preço , tem havido uma
demanda de 2000 pares mensais . O fabricante
pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as
vendas sofrerão uma queda de 200 pares . Com
esse aumento no preço de venda seu lucro
mensal:
a) cairá em 10%
b) aumentará em 20%
c) aumentará em 17%
d) cairá em 20%
e) cairá em 17%
18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele
passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu
peso atual é:
a) inferior a 30 kg
b) 75 kg
c) 50 kg
d) superior a 75 kg
e) 40 kg
19) (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter
38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado
de tal maneira a aumentar seu peso em apenas
15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era
seu peso original ?
a) 50 kg
b) 60 kg
c) 70 kg
d) 80 kg
e) 40 kg
20) (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65%
dos quais são do sexo masculino , todos os
estudantes foram convidados a opinar sobre o
novo plano econômico do governo . Apurados os
resultados , verificou-se que 40% dos homens e
50% das mulheres manifestaram-se
favoravelmente ao plano . A porcentagem de
estudantes favoráveis ao plano vale:
a) 43,5%
b) 45%
c) 90%
d) 17,5%
e) 26%
21) (PUC) Em uma certa comunidade existem
200.000 professores de 1º e 2º graus que
trabalham na rede oficial do Estado, 25.000
professores de 1º e 2º graus que trabalham na
rede particular de ensino e 12.000 professores de
3º grau . Se 2,5% dos professores da rede oficial
trabalham na rede particular , se 0,25% dos
professores da rede oficial trabalham no 3º grau ,
e se 2% dos professores da rede particular
trabalham no 3º grau , quantos professores possui
essa comunidade , se apenas 200 professores
trabalham , simultaneamente , na rede pública ,
particular , e no 3º grau ?
a) 213200
b) 231200
c) 212300
d) 223100
e) 231000
22) (ESPM) O salário médio de uma indústria de
354 funcionários é de R$ 3.300,00 . Se a indústria
der um aumento de 20% para cada funcionário
que possui , qual será o novo salário médio ?
a) R$ 3.690,00
b) R$ 369,00
c) R$ 396,00
d) R$ 3.960,00
e) n.d.a
23) (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um
litro de gasolina teve 320% de aumento. Como
esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele
passou a ser:
a) R$ 0,80
b) R$ 1,05
c) R$ 1,50
d) R$ 2,80
e) R$ 2,85
24) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura
de leite natural e de leite de soja num total de 200
litros , dos quais 25% são de leite natural . Qual é
a quantidade de leite de soja que deve ser
acrescentada à essa mistura para que ela venha a
conter 20% de leite natural ?
a) 40
b) 43
c) 48
d) 50
e) 60
25) (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma
conta de poupança conjunta . Do total do saldo ,
Ana tem 70% e Lúcia 30% . Tendo recebido um
dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer
um depósito exatamente igual ao saldo na
caderneta . Por uma questão de justiça , no
entanto , ele disse às meninas que o depósito
deveria ser dividido igualmente entre as duas .
Nessas condições , a participação de Ana no novo
saldo:
a) diminui para 60%
b) diminuiu para 65%
c) permaneceu em 70%
d) aumentou para 80%
e) é impossível de ser calculada se não
conhecermos o valor
26) (ESPM) O preço do papel sulfite , em relação
ao primeiro semestre de 1989 , teve um aumento
de 40% em agosto e um outro de 32% em
setembro . No mês de novembro , teve um
desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel
se ele fosse único?
a) 37%
b) 38,6%
c) 36,8%
d) 35,4%
e) 34,5%
27) Um automóvel com velocidade de 80 km/h
demora 3h para percorrer uma certa
distância.Quanto o tempo demorará para percorrer
a mesma distância um outro auto cuja velocidade
é de 120 km/h?
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 4 horas
d) 5 horas
e) 6 horas
28) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de
25 dentes. Quantas voltas dará esta última
quando a primeira der 175 voltas.
a) 10 voltas
b) 110 voltas
c) 210 voltas
d) 310 voltas
e) 410 voltas
GABARITO
dias. Em quantos dias 40 operários construiriam
essa casa? (R: 90)
01-E
08-A
15-D
22-D
02-B
09-C
16-B
23-B
03-B
10-D
17-C
24-D
04-D
11-D
18-E
25-A
05-D
12-B
19-D
26-B
06-B
13-C
20-A
27-A
07-A
14-B
21-B
28-C
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para
resolver problemas que envolvam quatro valores
dos quais conhecemos três deles. Devemos,
portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de
água em 20 minutos. Quantas horas levará para
despejar 600 litros? (R: 4)
8) Na construção de uma escola foram gastos 15
caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões
de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo
trabalho? (R: 10)
9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma
parede de 35 m². Quantos litros são necessários
para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)
10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60
km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará,
aumentando a velocidade média para 80 km/h?
(R:3)
11) Para se obterem 28 kg de farinha, são
necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas
do mesmo trigo são necessários para se obterem
7 kg de farinha? (R:10)
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas
da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes
em correspondência.
12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias.
Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a
mesma casa? (R:10)
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas
voltas dará em 28 minutos? (R:112)
2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação
de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6
eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)
3) Com 6 pedreiros podemos construir um a
parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3
pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)
regra de três composta é utilizada em problemas
com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Passos utilizados numa regra de três composta:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas
da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes
em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e isole a variável em um
dos membros da equação para resolver .
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6
horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000
refrigerantes? (R: 8)
5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18
dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o
mesmo armário? (R:8)
6) Trinta operários constroem uma casa em 120
1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias,
trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos
produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por
dia? (R=5600)
2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em
16 dias. Quantos pedreiros serão necessários
para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)
3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias,
correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros
percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por
dia? (R=4340)
4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas
por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão.
Quantas caixas serão feitas por 15 operários que
trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)
i/j= 100/c.t
100j= c.i.t
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
(JUROS SIMPLES)
5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia,
levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas
máquinas serão necessárias para executar o
mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia
durante 12 dias? (R=8)
6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360
camisas em 3 dias quantos alfaiates são
necessários para que sejam feitas 1080 camisas
em 12 dias ? (R=6)
7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias
pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria
uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por
dia? (R=8)
8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos,
trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias.
Quantas horas deverá trabalhar por dia para
fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)
JUROS SIMPLES
Quando se deposita ou empresta uma certa
quantia, denominada capital por um certo tempo,
recebe-se como compensação outra quantia ,
chamada juros.
Capital __c___ (quantia emprestada)
Taxa____ i___ (porcentagem envolvida)
Tempo___t___ (período do empréstimo)
Juros____j____(a renda obtida)
Os problemas sobre juros simples podem ser
resolvidos por meio de uma regra de três
composta. Na pratica são resolvidos através de
formula.
Exemplo:
O capital 100 em 1 ano produz i
O capital c em t anos produzira j
Capital______tempo______juros
100_________1____________i
c___________ t____________J
I/j=100/c.1/t
01-A pessoa A comprou um apartamento por
R$ 50.000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A
pessoa B comprou um apartamento por
R$ 85.000,00 e alugou-o a R$ 1105,00 mensais.
Qual das duas pessoas está fazendo melhor
negócio?
02-A que taxa simples deve ser aplicado um
capital para que no fim de 10 meses produza um
rendimento igual a 3 de si próprio?
5
03-Certo capital, acrescido aos juros de 8 meses,
eleva-se a R$ 56.000,00. O mesmo capital
aplicado à mesma taxa simples, durante 1 ano e
6 meses, atinge R$ 76.000,00. Qual é o capital?
Qual é a taxa?
04-Um capitalista dispõe de R$ 30.000.000,00.
Prevendo mais um pacote econômico do governo,
no qual ocorreria confisco de dinheiro em alguns
setores ligados ao ganho de capital, resolve
diminuir suas prováveis perdas aplicando seu
dinheiro em diferentes operações: 2 deste em
5
ouro, cujo rendimento previsto é de 7% am; 1
4
deste em caderneta de poupança, cujo
rendimentos previsto é de 8% am; e o restante em
aplicações a curto prazo, cujos rendimentos
previstos são de 8,5% am. Qual o valor total do
juro simples que essa pessoa irá ganhar depois de
2 meses, caso não haja confisco?
05-Uma pessoa dividiu seu capital de
R$ 90.000,00 em duas partes, aplicando-as a
taxas diferentes, e observou que, para prazos
iguais, o juro produzido era também igual.
encontre o valor de cada parte, sabendo que, se
a primeira parte tivesse sido aplicada à taxa da
segunda e vice-versa, no final de 2 meses o juro
simples seria, respectivamente R$ 3.200,00 e
R$ 5.000,00.
06-Calcule o montante simples obtido a partir da
aplicação de um capital de R$ 10.000,00, sob as
seguintes condições:
a) taxa: 15% am; prazo 4 meses.
b) taxa: 108% aa; prazo 5 meses.
07-Um capital de R$ 150.000,00 foi aplicado à
taxa de juro simples de 40% ao trimestre, durante
1 ano. Qual o montante obtido no final dessa
aplicação?
08-Que capital inicial, aplicado à taxa de juro
simples de 72% aa eleva-se a R$ 131.600,00 em
1 ano, 2 meses e 20 dias?
09-Depositei a quantia de R$ 72.000,00 em um
banco que remunera seus clientes à taxa simples
de 36% aa. Depois de um certo tempo, verifica-se
que meu saldo nesse banco era de R$ 73.800,00.
Por quantos dias deu-se essa aplicação?
GABARITO
01-A
02-6% am
03-C  R$ 40.000,00; i  5% am
04-J  4.665.000,00
05-C1  R$ 40.000,00 e C2  R$ 50.000,00
06-a) R$ 16.000,00
07-R$ 390.000,00
08-R$ 70.000,00
10-A soma de um capital, aplicado durante 110
dias à taxa de juro simples de 7% aa, com seu
juro é igual a Cr$ 2.553,47. Determine o valor do
juro, considerando o ano com 360 dias.
09-25
11-Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a
R$ 42.000,00. Caso esse capital tivesse sido
aplicado por 10 meses, à mesma taxa simples,
teria se elevado a R$ 54.000,00. Encontre esse
capital e essa taxa.
12-i  0,25 am
12-Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a
3
de si próprio. Qual foi a taxa de juro simples
2
considerada?
13-Encontre a taxa mensal simples a que esteve
aplicado um capital de R$ 48.000,00, o qual, em
3 meses e 20 dias, elevou-se a R$ 52.400,00.
14-Uma loja oferece um aparelho por R$ 500,00,
a vista. Na compra desse aparelho a prazo, pedese 20% do valor a vista, como entrada, e mais um
pagamento de R$ 550,00 no prazo de 2 meses.
Que taxa de juro simples a loja está cobrando
nessa operação?
15-Uma determinada mercadoria é vendida em
uma loja por R$ 300,00 a vista. Nas compras a
prazo, a loja aplica um reajuste no saldo a pagar
com base na taxa simples de 19,5% am. Um
cliente propões a compra da mercadoria dando
R$ 100,00 de entrada e o restante em 2 meses.
Qual o valor desse pagamento para 2 meses?
16-Que taxa mensal de juro simples faz com que
um capital triplique de valor em 2 anos e 1 mês?
17-Em quanto tempo o montante relativo à
aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de 30% am, se
iguala ao montante relativo à aplicação de
R$ 40.000,00 a 120% aa de juro simples?
18-Um capital (C1) supera outro (C2) em 20%. Os
dois foram aplicados a juro simples a taxas de
10% am e 7% am, respectivamente, e produziram
juntos, em um mesmo prazo,um montante de
R$ 205.000,00. Pede-se determinar esse prazo,
sabendo-se que o juro do capital C2 supera C1 em
R$ 25.000,00.
b) R$ 14.500,00
dias
10-Cr$ 53,47
11-R$ 30.000,00
13-i  2,5% am
14-18,75% am
15-R$ 278,00
16-8% am
17-10
meses
18-10 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum
no sistema financeiro e portanto, o mais útil para
cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros
gerados a cada período são incorporados ao
principal para o cálculo dos juros do período
seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que
os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)
n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na
mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de
juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta
diminuir o principal do montante ao final do
período:
J=M-P
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. começando por P
e razão J = P.i.n
No regime de juros compostos:
n
M( n ) = P . ( 1 + i ) ==> P.G. começando por
n
P e razão ( 1 + i )
03- Responda os itens seguintes referentes a juros
compostos.
A) Se uma dívida foi contraída a juros
compostos, à taxa anual de 44%, então
ao final de 2 anos, se não forem feitos
pagamentos, ela terá o seu valor
aumentado em quantos percentuais.
B)O juro produzido por um capital de R$ 4
000,00, aplicado a juros compostos por 2
meses e à taxa de 3% ao mês, é quanto.
Portanto:
C) Um capital, aplicado a juros compostos e
à taxa de 20% a.m., produziu ao final de
3 meses o montante de R$ 2.160,00 . O
valor desse capital era :
Num regime de capitalização a juros simples o
saldo cresce em progressão aritmética .
Num regime de capitalização a juros compostos
o saldo cresce em progressão geométrica
D) Um comerciante comprou 180 cadernos
de um certo tipo ao preço de R$ 5,00
cada. Se ele vender
ATIVIDADES (SALA DE AULA)
JUROS COMPOSTOS
1
do total de
3
cadernos a R$ 7,00 cada e aplicar o
capital resultante a juros compostos, à
taxa de 3% ao mês, durante 2 meses,
obterá o montante de:
01-(UNIT) Um capital de R$ 20 000,00 foi aplicado
a juros simples, à taxa mensal de 3,125%, e ao
final de 4 meses foi sacado o montante produzido.
Esse montante foi então aplicado a juros
compostos por um período de 2 anos, obtendo-se
ao final desse período o montante de R$ 32
400,00.A taxa anual da segunda aplicação foi de
E) Considerando que uma pessoa dispõe de um
capital de R$ 15 000,00 e pretende
investi-lo pelo prazo de 1 ano, se o capital
for aplicado a juros compostos, então, para
que seja obtido o montante de
R$ 17 150,00 , a taxa anual de aplicação
(A)30%
deverá ser de :
(B)27,5%
(C)25%
SEQÜÊNCIAS
(D)22,5%
1. Conceito
(E)20%
0
02-(UNIT) Em 1 de abril de 2003, Janete abriu
uma caderneta de poupança com a quantia de R$
800,00.Nos dois meses subseqüentes as taxas de
rendimento da poupança foram de 1,5% e
1,4%.Se nesse período ela não fez qualquer
retirada, o seu saldo no dia
era
(A)R$ 823,36
(B)R$ 827,48
10 de junho de 2003
É uma sucessão de termos que ocupam uma
ordem fixa.
Ex:
2; 6;18; 54;162;...
1; 2; 4;1; 2; 4;1; 2; 4;....
dom, seg, ter , qua, qui, sex, sab
Chamaremos o termo que ocupa a posição
uma seqüência por
(C)R$ 832,34
(D)R$ 834,26
(E)R$ 836,16
n de
an (lê-se a índice n ).
Exercício de Aula
1) Se hoje é quinta, daqui a 100 dias que dia da
semana será?
2. Termo Geral de uma Seqüência
É uma expressão matemática que relaciona o
termo an com a posição n que ele ocupa na
Exe:
1; 4; 7; 10; ... é uma PA de razão r  3
seqüência.
an  3n  2n
2
Ex:
É uma seqüência numérica na qual cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior
somado com uma razão constante r .
8; 6; 4; 2; ... é uma PA de razão r  2
Exercício de Aula
2) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
an  2 n  2n .
2; 2; 2; 2; ... é uma PA de razão r  0
2. Fórmula do termo geral
an  a1  n 1.r
3. Fórmula de Recorrência
É uma expressão matemática que relaciona
cada termo an com outros termos da seqüência.
Exercícios de Aula
3) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
definida por
4) Sendo
a1  5
.

an  2.an 1  3; n  2
a
seqüência
definida
Exercícios de Aula
7) Calcule o 26º termo de seqüência
1; 4; 7;... .
8) Calcule a razão de uma PA de 20 termos em
que o 1º termo é igual a 6 e o último termo é
igual 82.
por
a1  1, a2  1
, calcule a55 .

an1  an2 .an ; n  2
9) Em uma PA, o 6° termo é igual a 40 e o 13°
termo é igual a 26. Calcule sua razão e o
primeiro termo.
4. Soma dos Termos
Sendo
seqüência
dada
por
a1; a2 ; a3 ; ...; an  , a soma dos n primeiros
termos
a
dessa
Sn  a1  a2
seqüência
 a3  ...  an .
é
dada
por
10) Qual a quantidade de múltiplos de 3 que
existe entre os números 40 e 1000?
3. Interpolação Aritmética
Exercícios de Aula
5) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
seqüência
definida
por
a1  a2  1
.

an 1  an 1  an ; n  2
6) Calcule o 10º termo da seqüência cuja soma
é definida por
S n  2n  3 .
Consiste em inserir meios aritméticos entre
dois extremos ( a e b ) de tal modo que todos os
números formem uma PA.
a; 
 meios aritméticos 
; b
11) Inserindo 12 meios aritméticos entre 13 e 78,
qual a razão da PA formada?
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
12) Ao inserir n meios aritméticos entre 1 e n 2 ,
1. Conceito
determine a razão da PA formada.
n primeiros termos é dada por Sn  2n 2  3n ,
4. Propriedades
n  N* é:
a) Uma PA de três termos pode ser escrita como:

x  r; x; x  r 
b) Em qualquer PA todo termo, a partir do 2°, é a
média aritmética dos vizinhos.
..., an1; an ; an1;...
an1  an1
 an 
ou an  an1  an1  an
2
c) Numa PA finita a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma
dos extremos.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1. Definição
É toda seqüência numérica onde cada termo a
partir do segundo é igual ao anterior multiplicado
por uma constante (razão).
a)
b)
a1; a2 ; a3 ;...; an2 ; an1; an 

a1  an  a2  an1  a3  an2  ...
c)
d)
Exercícios de Aula
13) (UCS) O produto de três números em PA é
1989 a soma deles é 39. O menor destes
números é:
e)
f)
2; 6; 18; 54; 162
é uma PG de razão
q  3.
 1;  3;  9;  27;... é uma PG de razão
q  3.
1 
1

 8; 4; 2;1; ; ... é uma PG de razão q  .
2
2 

120;  60;  30; 15;... é uma PG de
1
razão q  .
2
5; 5; 5; 5; ... é uma PG de razão q  1 .
5; 10; 20;  40;... é uma PG de razão
q  2 .
14) Calcule o valor de x para que x  1 , 5x  3 ,
2 x  7 formem nesta ordem uma PA. Calcule
também a razão da PA obtida.
5. Soma dos n primeiros termos
PA a1 ; a2 ; a3 ;...; an  de razão r
Sn
a  a .n
 1 n
2
Exercícios de Aula
15) Calcular a soma dos 20 primeiros múltiplos de
6 maiores do que 40.
 OBSERVAÇÃO
 Uma PG é chamada de convergente quando
seus termos se aproximam cada vez mais de
zero (0). Uma PG convergente tem a razão
1  q  1 .
2. Fórmula do termo geral de uma PG
Seja a seqüência
a1; a2 ; a3 ;...; an ;... .
an  a1.q n1
Exercícios de Aula


01) Qual o 101º termo da P.G. 1; 2 ;2;... ?
16) (UFBA) Em uma seqüência, o termo geral é
an  2n  1, para n  N* . Calcule a soma
dos 100 primeiros termos dessa seqüência.
17) (UCS) O quinto termo de uma PA cuja soma dos
02) Em uma P.G. de 10 termos, sabe-se que o 5º
termo é 5 e o 9º termo é 20. Se a razão da
P.G. é positiva, qual o último termo?
03) Numa P.G. a soma do 3º termo com o 5º
termo é igual a 360 e a soma do 4º com o 6º
termo é igual à 1080. Qual a razão e o 1º
termo dessa P.G.?
5. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG
A soma dos
Sn 
3. Interpolação Geométrica
Consiste em inserir meios geométricos entre
dois extremos ( a e b ) de tal modo que todos os
números formem uma PG.


a1 q n  1
, com q  1
q 1
08) Determine a soma:
a)
a;  meios geométrico s ; b
n primeiros termos da P.G.
a1; a2 ; a3 ;...; an  é dada por:
b)
dos dez primeiros termos da P.G.
dos termos da P.G.
1;2;4;...;2 
3;6;...
10
09) A soma dos termos de uma P.G. finita é 728.
04) Cinco meios geométricos foram inseridos
entre 4 e 2916. Qual a razão da P.G. obtida?
Sabendo que
an  486 e que q  3 . Qual o
1º termo dessa seqüência?
4. Propriedades da P.G.
6. Soma infinita dos termos de uma PG
convergente
1ª) Uma P.G. de três termos pode ser escrita na
forma:
A soma de todos os infinitos termos de
uma PG a1 ; a2 ; a3 ; ... de razão  1  q  1 é
dada por:
x

 ; x; x.q 
q

2ª) Na P.G.
a1; a2 ;...; an1; an ; an1;...
S 
temos
a1
1 q
que:
an
a
 n1
an1
an
Exercícios de Aula
10) (FESP-SP) O valor de x na equação
Exercícios de Aula
05) Três números estão em P.G. de forma que o
produto entre eles é 729 e a soma é 39. Quais
são esses números?
06) Sabendo que x, x + 9 e x + 45 formam nessa
ordem uma
determine x.
P.G.
de
termos
não-nulos,
07) Considere uma seqüência de quatro números
tais que:
 os três primeiros formam um progressão
aritmética de razão 3;
 os três últimos formam uma progressão
geométrica;
 o primeiro número é igual ao quarto.
A soma desses quatro números é
x
x x
    40 é:
2 4
1 1 1

, , calcule a
 2 6 18 
11) (FESP-SP) Da PG  , ,
soma de todos os termos:
ATIVIDADES DE REVISÃO
(SEQUÊNCIAS , P.A. e P.G.)
01-(UNIT)Uma progressão geométrica de 6
termos é tal que a soma dos três primeiros é 9 e
a soma dos três últimos
e 72. O 4º termo dessa progressão é um número
C)
(A)divisível por 8
D)
(B)múltiplo de 9
(C)negativo
E)
(D)cubo perfeito
(E)quadrado perfeito
02-(UNIT)Um triângulo retângulo é tal que o cateto
menor mede 15 cm e as medidas de seus lados
são numericamente iguais aos termos de um
progressão aritmética. A área desse triângulo é ,
em centímetros quadrados,
(A) 150
(B) 157,5
(C) 179
1  p 16
1 p2
1  p 16
1 p2
1  p 20
1 p 4
05-(FUVEST) Sejam a, b, c três números
estritamente positivos em progressão aritmética.
Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A =
(-a, 0). B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o
valor de b é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
5
4
3
2
1
06-A figura indica uma seqüência de quadrados
cujos lados medem, respectivamente, 1, 2 e 3 cm:
(D) 175,5
(E) 180
03-(UNIT)Se a seqüência
 2  x, x  2, y,...
é
0
uma progressão aritmética de razão 4, o 10
termo
da
progressão
geométrica
 y x yx 
,... 
 , ,
 24 8 2

(A)8
(B)16
(C)32
(D)64
(E)128
04-(FUVEST)
No
plano
cartesiano,
os
comprimentos de segmentos consecutivos da
poligonal, que começa na origem 0 e termina em
B (ver figura), formam uma progressão geométrica
de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos
consecutivos são sempre perpendiculares. Então,
se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
A)
B)
1  p 12
1 p4
1  p 12
1 p2
Prosseguindo o padrão indicado na figura, inferese que a seqüência dos comprimentos x1, x2, x3,
x4, … é uma progressão:
a) aritmética de razão igual a 1 cm.
b) aritmética de razão igual a 0,5 cm.
c) geométrica de razão igual a 0,5 cm.
d) geométrica de razão igual a 1,5 cm.
e) geométrica de razão igual a 2 cm.
07-Um estacionamento cobra R$ 15,00 pela
primeira hora. A partir da segunda hora os preços
caem em progressão aritmética, sendo que o valor
da segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima
segunda é R$ 4,00. Se um automóvel ficar
estacionado 5 horas nesse local, o seu
proprietário gastará
a) R$ 54,10
b) R$ 53,10
c) R$ 51,40
d) R$ 48,50
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética,
então o raio do menor círculo vale:
e) R$ 45,80
08-Observe as cinco primeiras figuras de uma
seqüência infinita.
r
3
a)
3
b)
3/2
c)
3 3
c) 900.
d)
3 /3
d) 841.
e) 3/2
O número de quadradinhos escuros da figura que
ocupa o 59.º lugar nessa seqüência é
a) 3 481.
b) 1 741.
11-Observe a seqüência de figuras abaixo.
e) 600.
09- Numa caminhada, os participantes A e B
desenvolveram os seguintes ritmos:
Intervalodetem
po
(m
inutos)
D
istânciapercorridaemcadaintervalo
(m
etros)
ParticipanteA
ParticipanteB
D
e0a10
D
e10a20
700
680
600
570
D
e20a30
660
540
D
e30a40
640
510
figura 0
figura 1
...
Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada
juntos e de um mesmo ponto, e que as
seqüências estabelecidas foram mantidas, por
ambos, até o final do passeio, a distância, em
metros, entre o participante A e o B, no exato
momento em que B parou de caminhar é:
a) 3330
b) 3610
figura 2
A medida do lado quadrado inicial é 1 unidade.
Nas figuras seguintes, a medida do lado de cada
1
quadrado é
da medida do lado de qualquer
3
quadrado da figura anterior. Com base nessas
informações, qual será a área da figura 20 dessa
seqüência?
c) 3900
20
a)
5
 
9
b)
4
5. 
3
d) 4200
e) 4510
10- Um círculo de área A1 está contido no interior
de outro círculo cuja área é A1 + A2. se o raio do
círculo maior é 3 e os números A1, A2 e A1 + A2
figura 3
20
c)
d)
e)
5
4. 
3
9
 
5
a) 1600
20
b) 1510
c) 1155
20
4
5. 
9
d) 1150
e) 1050
20
12- Na figura, são representados os gráficos
das funções f (x)  (2 / 3) x e g(x)  (1 / 2) x e os
primeiros segmentos verticais com extremos
nos pontos (n, f(n)) e (n, g(n)), onde
n  1, 2, 3...
O limite da soma dos comprimentos de todos
os segmentos assim definidos é:
14- A seqüência de figuras abaixo representa os
cinco primeiros passos da construção do conjunto
de Sierpinski. Os vértices dos triângulos brancos
construídos são os pontos médios dos lados dos
triângulos
escuros
da
figura
anterior.
Denominamos a1 , a2 , a3 , a4 e a5,
respectivamente, as áreas das regiões escuras da
primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras
da seqüência.
a) 1/4.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 1.
13- O número de assinantes de um jornal de
grande circulação no estado aumentou, nos quatro
meses do ano, em progressão geométrica,
segundo os dados de uma pesquisa constantes na
tabela abaixo:
Podemos afirmar que a1, a2, a3, a4 e a5
estão, nessa ordem, em progressão
geométrica de razão:
a) 3/4
M
ê
s J
a
n
e
i
r
oF
e
v
e
r
e
i
r
oM
a
r
ç
oA
b
r
i
l
N
ú
m
e
r
o
d
e
0
0
0
a
s
s
i
n
a
n
t
e
s5
-
6
0
5
0 -
b) 1/2
c) 1/3
d) 1/4
Em relação ao mês de fevereiro, o número de
assinantes desse jornal no mês de abril teve uma
aumento de:
15-O Brasil pode estar perto de atingir a autosuficiência em petróleo.
Embora o consumo tenha aumentado nos últimos
anos, a produção doméstica de petróleo aumentou
num ritmo mais acelerado. Considere a tabela
abaixo, cujos dados estão expressos em milhares
de barris por dia:
Se as taxas de aumento no consumo e na
produção permanecessem constantes ao
longo do tempo, em qual ano se espera que o
consumo se iguale à produção?
a) 2015
Considerando os deslocamentos horizontais
apenas, efetuados a partir da abcissa zero, temos
a abcissa final igual a:
2
4
6
8
XF = 1 - p + p - p + p - p
b) 2005
2
10
12
14
+p -p
2 2
2 7
XF = 1 + (-p ) + (-p ) + … + (-p )
c) 2007
2
Temos uma soma de PG em que a1 = 1, q = -p e
d) 2006
S8 =
e) 2010
16-Um artista plástico pretende fazer uma
montagem fixando, uns sobre outros, quadrados
de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como
mostra a figura abaixo.
a 1 (q 8  1)
q 1
 
8
1  p 2  1
16
16

1  p16
 p  1 1  p
XF =



 p 2 1
 p 2 1 p 2  1 1  p 2
05- alternativa E
2m
Como a, b, c, é uma progressão aritmética, 2b = a
+ c e a área do triângulo ABC é
1
2
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do
quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do
metro quadrado de acrílico é CR$ 6.400,00, o
custo total do material será de:
a) CR$ 34.000,00
a 0 1
b( a  c )
1
2
0 b 1 =
 ab  bc =
=b
2
2
c 0 1
06-A 07-C 08-B 09-C 10-A 11-A 12-E
13-C
14-A
15-C
16-A
b) CR$ 48.000,00
c) CR$ 68.000,00
d) CR$ 96.000,00
e) CR$ 102.000,00
GABARITO
01-A
02-A
03-E
04- Alternativa D
1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
O princípio fundamental da contagem é uma
regra que nos permite determinar o número de
possibilidades
de
ocorrência
de
um
acontecimento.
A regra que utilizamos para chegar a esse
resultado é enunciada da seguinte maneira:
Se um ACONTECIMENTO pode ser analisado
em etapas sucessivas e INDEPENDENTES de
modo que:
06) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes
n2 … nº de possibilidades na 2ª etapa
entre si; todas elas devem ser usadas para
pintar as letras da palavra FATEC, cada letra
de uma só cor, e de modo que as vogais
sejam as únicas letras pintadas com a
mesma cor. De quantos modos pode ser
feito isso?
n3 … nº de possibilidades na 3ª etapa
07) As placas de automóveis são compostas de
n1 … nº de possibilidades na 1ª etapa
três letras e quatro algarismos. Quantas
placas podemos formar utilizando apenas as
cinco vogais (A, E, I, O e U) e os algarismos
pares (0, 2, 4, 6 e 8), sendo que as letras
devem ser distintas?
:
nk … nº de possibilidades na k – ésima
etapa
então
n1.n2 .n3 . ... .nk
possibilidades
de
ACONTECIMENTO.
é
o
número
ocorrência
de
08) Uma senha de computador é composta de
do
duas etapas: na primeira etapa o usuário
deve digitar duas letras entre as 26 do
alfabeto. Caso obtenha êxito no acerto da
senha ele deverá passar para segunda etapa
onde deve digitar três algarismos distintos.
Qual o numero máximo de tentativas
diferentes que o usuário deve fazer para
descobrir a senha?
Exercícios de Aula
01) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto
Alegre passando por São Paulo. Sabendo
que existem 5 roteiros diferentes entre São
Paulo e Recife e 4 roteiros entre Porto
Alegre e São Paulo. De quantas maneiras
diferentes essa pessoa pode fazer a sua
viagem?
02) Uma pessoa lança uma moeda e um dado
2.
Permutação
Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que
entram todos os elementos em cada grupo.
Se não existirem elementos repetidos na permutação
teremos que a permutação (Pn) de n elementos será:
Pn  n !
simultaneamente. Quantas combinações
distintas de resultados existem?
Exercícios de Aula
03) Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos
modos diferentes ela pode se vestir com
essas roupas?
04) Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:
a) Quantos números de três algarismos podemse formar?
b) Quantos números de três algarismos distintos
podem-se formar?
c) Quantos números pares de 4 algarismos
podem-se formar?
05) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:
a) Quantos números de 3 algarismos distintos
podem-se formar?
b) Quantos números pares de 4 algarismos
podem-se formar?
c) Quantos números maiores que 300 e
menores que 1000, com algarismos distintos,
podem-se ser formados
09) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem
formar uma fila indiana?
10) Quantos são os anagramas da palavra ANEL?
11) Sejam os anagramas da palavra BONECA.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Quantos são ao total?
Quantos começam por uma consoante?
Quantos possuem uma seqüência alternada de vogais e
consoantes?
Quantos possuem as letras B e N juntas e nessa ordem?
Quantos possuem as letras B e N juntas e em qualquer
ordem?
Quantos possuem as letras N, E e C juntas e nessa ordem?
Quantos possuem as letras N, E e C juntas e em qualquer
ordem?
Quantos possuem as vogais em ordem alfabética?
Qual a posição ocupada pelo anagrama CBOENA, se
colocados todos eles em ordem alfabética?
12) Colocados em ordem crescente todos os números de 4
algarismos
distintos
formados
utilizando-se
dos
algarismos 3, 5, 6 e 9. Qual a posição ocupada pelo
número 6935?
e)
f)
g)
h)
13) (PUC-SP) Quantos anagramas da palavra ALUNO têm as
vogais em ordem alfabética é?

4.
Caso existam elementos repetidos entre aqueles a
serem permutados, devemos excluir aquelas permutas
iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de cada
elemento repetido. Assim teremos:
Utilizando-se de fórmula podemos dizer que a
combinação de n elementos tomados p a p será dado por:
n!
a!. b!. c!. ...
n = número total de elementos
a , b , c , … = número de
Cn, p 
17) Queremos preparar uma salada de frutas que contenha
três frutas diferentes, escolhidas entre um grupo de oito
frutas diferentes (em que duas delas são banana e
maça). Calcule quantas saladas diferentes podemos
preparar.
Exercício de Aula
14) Considere os anagramas da palavra ALAGOAS:
c)
d)
e)
3.
Quantos são ao total?
Quantos começam por vogal e terminam por
consoante?
Quantos começam e terminam com a letra A
Quantos possuem as três letras A juntas?
Quantos possuem as vogais juntas?
n!
n  p !
Exercício de Aula
15) Em uma competição de futebol participam 10 times.
Quantas são as possíveis classificações para os três
primeiros colocados?
Supondo que um dos times seja o Flamengo, quantas
possíveis classificações o incluem entre os três primeiros?
16) Em relação à palavra CONTAGEM:
a)
b)
c)
d)
Ao total;
Tal que a banana seja uma dessas frutas;
Sem utilizar a maça como uma das frutas;
Sem misturar banana com maça;
18) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são
matemáticos. De quantas formas podemos formar
comissões de 10 pessoas de modo que:
An , p 
b)
a)
b)
c)
d)
Arranjos
O arranjo é a forma de arrumar p elementos escolhidos
casualmente entre n elementos possíveis. A ordem em que a
escolha é feita é importante
Utilizando-se de fórmula podemos dizer que o arranjo de n
elementos tomados p a p será dado por:
a)
n!
p ! n  p !
Exercícios de Aula
vezes que aparece cada
elemento
a)
b)
Combinação
A combinação é a forma de arrumar p elementos
escolhidos casualmente entre n elementos possíveis. A
ordem em que a escolha é feita NÃO é importante
Permutação com elementos repetidos
Pna ,b,c ,... 
Quantas dessas “palavras” contêm a letra M?
Quantas dessas “palavras” não contêm a letra T?
Quantas dessas “palavras” apresentam as letras GT juntas
e nessa ordem?
Quantas dessas “palavras” apresentam as letras GT juntas
e em qualquer ordem?
Quantos anagramas podemos formar?
Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar?
Quantas dessas “palavras” começam com E?
Quantas dessas “palavras” terminam com TA?
a)
b)
c)
d)
Nenhum membro seja matemático?
Todos os matemáticos participem da comissão?
Haja exatamente um matemático na comissão?
Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
ATIVIDADES
01-A ilustração abaixo é do mapa de uma região,
onde estão indicadas as cidades A, B, C, D, E, F e
as estradas que ligam estas cidades. Um
vendedor deseja empreender uma viagem
partindo de A para visitar cada uma das outras
cidades, exatamente uma vez, e voltar para A.
Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual
das seguintes afirmações é incorreta?
A
B
E
D
C
F
04-Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste
Brasileiro mostrado na figura, deverá colorir cada
estado com uma cor, tendo disponíveis 4 cores e
podendo repeti-las no mapa. Estados que fazem
divisa entre si devem ter cores distintas. Sabendo
que somente SP e ES não fazem divisa entre si, o
número de formas distintas de colorir o mapa é:
a) Existem 6 trajetos para o vendedor.
b) Se ele começa visitando D existe um
único trajeto.
c) Se ele primeiro visita B então existem três
trajetos.
d) Se ele começa visitando E existe um
único trajeto.
e) Existem três trajetos em que ele visita C
antes de B.
02-No jogo de xadrez, a primeira jogada de cada
um dos 2 jogadores só pode ser executada
com um dos seus 8 peões ou com um dos
seus 2 cavalos, sendo que cada uma dessas
peças tem 2 maneiras distintas de fazer seu
primeiro movimento.No começo do jogo, cada
peão e cada cavalo ocupam posições
distintas. O total de posições distintas que se
pode formar após o primeiro lance, ou seja,
saída de um jogador e resposta do outro, é:
a) 10 .
b) 20 .
c) 40 .
d) 200 .
e) 400 .
03-Certo sistema de telefonia utiliza 8 dígitos para
designar os diversos números de telefones.
Sendo o primeiro dígito sempre 3 e admitindo
que o dígito 0 (zero) não seja utilizado para
o
o
o
designar as estações (2 , 3 e 4 dígitos),
podemos afirmar que a quantidade de
números de telefones possíveis é:
a) 7.290
b) 9.270
c) 72.900
d) 927.000
e) 7.290.000
a) 12.
b) 24.
c) 36.
d) 48.
e) 60.
05-A estação rodoviária de uma cidade é o ponto
de partida das viagens intermunicipais. De uma
plataforma da estação, a cada 15 minutos, partem
os ônibus da Viação Sol, com destino à cidade de
Paraíso do Sol, enquanto da plataforma vizinha
partem, a cada 18 minutos, com destino à cidade
de São Jorge, os ônibus da Viação Lua.A jornada
diária das duas companhias tem início às 7 horas,
e às 22 horas partem juntos os dois ônibus para a
última viagem do dia.O número total de viagens
diárias das duas companhias é:
a) 100
b) 110
c) 112
d) 120
e) 122
06-Num banco de automóvel o assento pode
ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5
posições, independentes da posição do assento.
Combinando o assento e o encosto este banco
assume:
a) 6 posições diferentes
b) 90 posições diferentes
c) 30 posições diferentes
d) 180 posições diferentes
e) 720 posições diferentes
07-Considere a figura abaixo.
a) 64
b) 128
c) 2016
d) 4032
e) 8064
O número de caminhos mais curtos, ao longo
das arestas dos cubos, ligando os pontos A e
B, é:
a)
2.
b)
4.
10-Durante a Copa do Mundo, que foi disputada
por 24 países , as tampinhas de Coca-Cola
traziam palpites sobre os países que se
classificariam nos três primeiros lugares (por
exemplo : 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria ; 3º
lugar, Holanda). Se , em cada tampinha, os três
países são distintos, quantas tampinhas diferentes
poderiam existir?
c) 12.
a) 69
d) 18.
b)
2.024
e) 36.
c) 9562
08-Um turista, em viagem de férias pela Europa,
observou pelo mapa que, para ir da cidade A à
cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e
que, de B até uma outra cidade C, havia duas
rodovias e duas ferrovias. O número de percursos
diferentes que o turista pode fazer para ir de A até
C, passando pela cidade B e utilizando rodovias e
trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 20.
09-Um tabuleiro de xadrez está vazio, conforme
figura abaixo. Se uma pessoa quiser colocar
nesse tabuleiro, simultaneamente, um bispo e um
cavalo, poderá fazê-lo de quantas maneiras
diferentes.
d) 12.144
e) 13.824
11-Uma senha bancária é composta de 3 (três)
dígitos que podem variar de 0 a 9 (zero a nove).
Assinale o que for incorreto.
a) Se uma possível senha é testada a cada
segundo, então todas as possíveis senhas
serão verificadas em menos de 17 minutos.
b) Há mais de mil possíveis senhas distintas.
c) Existem apenas 10 senhas com todos os
dígitos idênticos.
d) Há 720 senhas com todos os dígitos
distintos.
e) Há 100 senhas identificadas com números
menores que o número 100 (cem).
d) 30
12-(FGV-SP) Existem apenas dois modos de
atingir uma cidade X partindo de uma outra A. Um
deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá
atingir X, e o outro é ir até C e de lá chegar a X.
(Veja o esquema.) Existem 10 estradas ligando A
a B; 12 ligando B a X; 5 ligando A a C; 8 ligando
C a X; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma
ligação entre A e C. Determine o número de
percursos diferentes que podem ser feitos para
atingir X pela primeira vez, partindo-se de A.
e) 36
15- Com 12 professores de uma escola da rede
estadual de ensino de Sergipe , sendo 4 de
matemática, 4 de geografia e 4 de inglês,
participam de uma reunião com o objetivo de
formar uma comissão que tenha 9 professores,
sendo 3 de cada disciplina. O número de formas
distintas de se compor essa comissão é:
B
a) 36
A
X
C
13-Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D,
E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma
reta e três outros pontos quaisquer nunca estão
alinhados, conforme a figura.
O número total de triângulos que podem ser
formados, unindo-se três quaisquer desses
pontos, é
a) 24.
b) 112.
c) 116.
d) 120.
e) 124.
14-(FGV-SP) Cada um dos municípios de Alto
Alegre, Bonfim, Cantá, Iracema, Rorainópolis e
Uiramutã vai enviar um representante para
participar de uma reunião em Brasília. Deverão
ficar hospedados em um hotel em quartos de duas
pessoas. O número de maneiras possível de
organizar as duplas é:
a) 3
b) 12
c) 15
b) 108 c) 12 d) 48 e) 64
16-Carlos, aluno de dança de salão da “Academia
de Júlio” e freqüentador assíduo de bailes, ficou
muito entusiasmado com os passos do “fox”, do
“bolero” e do “samba”. Resolveu, então, criar uma
nova dança chamada “sambolerox”, na qual
existem passos das três danças que o
entusiasmaram. Carlos teve a idéia de formar um
grupo de passos, com 5 passos dos nove
conhecidos no “fox”, 4 dos seis conhecidos no
“bolero” e 3 dos cinco conhecidos no “samba”.
Com um grupo formado, Carlos inventou seus
passos de “sambolerox”, misturando 3 passos, um
de cada estilo de dança, sem se preocupar com a
ordem dos mesmos. O número de cada estilo de
dança, sem se preocupar com a ordem dos
mesmos. O número de grupos que Carlos poderia
ter formado e o número de seqüência de passos
de
“sambelorox”
em
cada
grupo
são,
respectivamente,
a)
18900 grupos
“sambelorox” por grupo.
e
60
passos
de
b)
60900 grupos
“samberolox” por grupo.
e
12
passos
de
c)
20 grupos e 60 passos de “samberolox”
por grupo.
d)
60900 grupos
“samberolox” por grupo.
e)
20 grupos e
“samberolox” por grupo.
e
60
passos
de
18900
passos
de
GABARITO
01-D
07-E
13-C
02-E
08-B
14-C
03-E
09-D
15-E
04-D
10-D
16-A
05-C
11-B
06-C
12-160
REVISÃO
01-(ENEM) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a
obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de
1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse
percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da
importação de dísel de petróleo.
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros
de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da
mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a
adição de 3%?
A - 27,75 milhões de litros.
B - 37,00 milhões de litros.
C- 231,25 milhões de litros.
D- 693,75 milhões de litros.
E- 888,00 milhões de litros.
02-(ENEM) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população
economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de
4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a:
A -23.940.
B -32.228.
C -920.800.
D -23.940.800.
E -32.228.000.
03-(ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais,
conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a
soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula
de compasso for
, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias,
sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é
,
poderia ser preenchido com:
A -24 fusas.
B -3 semínimas.
C -8 semínimas.
D -24 colcheias e 12 semínimas.
E -16 semínimas e 8 semicolcheias.
04-(ENEM) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito
dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00,
preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária,
cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do
sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no
qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por
sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de:
A - R$ 90,00.
B - R$ 110,00.
C - R$ 130,00.
D- R$ 150,00.
E- R$ 170,00.
05-(ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido
entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00,
e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das
50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi
o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A- R$ 14,00.
B- R$ 17,00.
C- R$ 22,00.
D- R$ 32,00.
E- R$ 57,00.
06-(ENEM) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com
extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no
Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores
do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico
e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo
(SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões
de litros.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do
aqüífero Guarani é:
A- 1,5 x 10² vezes a capacidade do reservatório novo.
B- 1,5 x 10³ vezes a capacidade do reservatório novo.
C- 1,5 x
vezes a capacidade do reservatório novo.
D- 1,5 x
vezes a capacidade do reservatório novo.
E- 1,5 x
vezes a capacidade do reservatório novo.
07-(ENEM) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes
termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas
diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de
trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato
se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender
às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a
cooperativa deveria:
A- manter sua proposta.
B- oferecer 4 máquinas a mais.
C- oferecer 6 trabalhadores a mais.
D- aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
E- reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
08-(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos
não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos
primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os
resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a
quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
A- 920 kg.
B- 800 kg.
C- 720 kg.
D- 600 kg.
E- 570 kg.
09-(ENEM) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de
605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais
ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7
km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que
um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no
circuito de Spa-Francorchamps, parado no Box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas,
ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
A- 617 kg.
B- 668 kg.
C- 680 kg.
D- 689 kg.
E- 717 kg.
10-(ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi
escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os
times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro
deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas
possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser
calculadas através de:
A- uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B- um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C- um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D- duas combinações.
E- dois arranjos.
11-(ENEM) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que
representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral,
em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço,elas são submetidas a algoritmos de
compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1
KB = 1.000 bytes,1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150
imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no
dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar:
A- um CD de 700 MB.
B- um pendrive de 1 GB.
C- um HD externo de 16 GB.
D- um memory stick de 16 MB.
E- um cartão de memória de 64 MB.
12-(ENEM) Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência
de crescimento, ultrapassando as importações em 2008.Entretanto, apesar de as importações terem se
mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são
inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do
petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos
2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as
exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado
e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a
2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo
(milhões de metros cúbicos)
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a
das
importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que
os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da
diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em
2009?
A- 600 milhões de dólares.
B- 840 milhões de dólares.
C- 1,34 bilhão de dólares.
D- 1,44 bilhão de dólares.
E- 2,00 bilhões de dólares.
13-(ENEM) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco
parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de
desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é,
quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas
em 18 parcelas mensais de R$125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João,ofereceu-lhe emprestar
o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria:
A- renegociar suas dívidas com o banco.
B- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
C- recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
D- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do
cartão de crédito.
E- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do
cheque especial.
14-(ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance
de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de
cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos
por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um
paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais
durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A- 3 doses.
B- 4 doses.
C- 6 doses.
D- 8 doses.
E- 10 doses.
15-(ENEM) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de
esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e
não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3×3,
devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada
jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa
do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças. No tabuleiro
representado ao lado, estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que
uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis.
Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os
círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de:
A- uma só maneira.
B- duas maneiras distintas.
C- três maneiras distintas.
D- quatro maneiras distintas.
E- cinco maneiras distintas.
16-(ENEM) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como
mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol
do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é
de aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
14%
48%
54%
60%
68%
17-(ENEM) O índice de massa corpórea (IMC) é uma medida que permite aos médicos fazer uma avaliação
preliminar das condições físicas e do risco de uma pessoa desenvolver certas doenças, conforme mostra a
tabela abaixo.
IMC
Classificação
Risco de doença
magreza
elevado
normalidade
baixo
entre 25 e 29,9
sobrepeso
elevado
entre 30 e 39,9
obesidade
muito elevado
obesidade grave
muitíssimo elevado
menos de 18,5
entre 18,5 e 24,9
40 ou mais
Internet:<www.somatematica.com.br>.
Considere as seguintes informações a respeito de João, Maria, Cristina, Antônio e Sérgio.
Nome
Massa (kg)
Altura (m)
IMC
João
113,4
1,80
35
Maria
45
1,50
20
Cristina
48,6
1,80
15
Antônio
63
1,50
28
Sérgio
115,2
1,60
45
Os dados das tabelas indicam que
a)
b)
c)
d)
e)
Cristina está dentro dos padrões de normalidade.
Maria está magra, mas não corre risco de desenvolver doenças.
João está obeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado.
Antônio está com sobrepeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado.
Sérgio está com sobrepeso, mas não corre risco de desenvolver doenças.
18-(ENEM) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que
estão buscando alcançar seu peso adequado a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a
escala de obesidade, foi desenvolvida uma fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC).
Esta fórmula apresentada como IMC = m/h², onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.
No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas
aos pesos.
A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que
cada uma das pessoas se posiciona na Escala são
a)
b)
c)
d)
Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso.
Duílio tem IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso.
Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso.
Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na
categoria de peso normal.
e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na
categoria de peso normal.
19- (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro
dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três
Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele
cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.
Revista Veja. Ano 41, no 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?
a)
b)
c)
d)
e)
406
1334
4002
9338
28014
20-(ENEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a
seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da
cabeça da turista é igual a 2 da medida do queixo da esfinge até o alto de sua cabeça. Considere que essas
3
medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da
câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da altura e da esfinge, é representada por b, e
que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por
a)
b d'

a c
b)
b 2d

a 3c
c)
b 3d '

a 2c
d)
b 2d '

a 3c
e)
b 2d '

a
c
21- (ENEM) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos,
denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera especificada indicando os milhões de
pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel
fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de
uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão impressos
em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca
de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão tão pequenos, que o olho
não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo.
Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o
valor aproximado de megapixels que a foto terá?
a)
b)
c)
d)
e)
1,00 megapixel.
2,52 megapixels.
2,70 megapixels.
3,15 megapixels.
4,32 megapixels.
22- (ENEM) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama no Chile, ficará o maior telescópio da
superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário
de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho
humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano,
suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
a)
b)
c)
d)
e)
1 : 20
1 : 100
1 : 200
1 : 1 000
1 : 2 000
23-(ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são produtos diferentes, comercializados em
embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os
dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas.
As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por
desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina,
não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à
recomendada, aproximadamente
a)
b)
c)
d)
e)
o triplo.
o dobro.
a metade.
um terço.
um quarto.
24-(ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa
pessoa R$ 120,00 por semana, desde que as vendas se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e,
como um estímulo, também propôs que na semana na qual ele vendesse R$ 1.200,00, ele receberia R$
200,00, em vez de R$ 120,00. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as
vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas
vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 160,00.
R$ 165,00.
R$ 172,00.
R$ 180,00.
R$ 198,00.
25-(ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado
nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março,
36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a)
b)
c)
d)
e)
38000
40500
41000
42000
48000
26- (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou
caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa
propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa
propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a)
b)
c)
d)
e)
9
45
64
81
285
27-(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades
e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos
seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça
três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de
cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é
a)
b)
c)
d)
e)
28-(ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de
formato 10,5 cm  15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal
como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível.
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm
 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de
a)
b)
c)
d)
e)
84 cm
84 cm
42 cm
42 cm
21 cm
 62 cm
 124 cm
 31 cm
 62 cm
 31 cm
29- (ENEM) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um
carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
0,23 e 0,16.
2,3 e 1,6.
23 e 16.
230 e 160.
2 300 e 1 600.
30-(ENEM) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de
diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra
pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.
Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquela que
tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar a pista de diâmetro
a) 68,21 mm.
b) 68,102 mm.
c) 68,02 mm.
d) 68,012 mm.
e) 68,001 mm.
31- (ENEM) O medidor de energia elétrica de uma residência conhecido por “relógio de luz”, é constituído de
quatro pequenos relógios, cujo sentido de rotação estão indicados conforme a figura:
Disponível em: http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do
número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
a)
b)
c)
d)
e)
2614.
3624.
2715.
3725.
4162.
32-(ENEM) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito
quentes (cerca de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem
temperatura em torno dos 6000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima
dos 10000K.
A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.
Estrelas da Sequência Principal
Classe
Temperatura
Luminosidade
Massa
Raio
O5
40000
5 × 10
5
40
18
B0
28000
2 × 10
4
18
7
A0
9900
80
3
2,5
G2
5770
1
1
1
M0
3480
0,06
0,5
0,6
Espectral
Temperatura em Kelvin
Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade
Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem
de grandeza de sua luminosidade?
a)
b)
c)
d)
e)
20000 vezes a luminosidade do Sol.
28000 vezes a luminosidade do Sol.
28850 vezes a luminosidade do Sol.
30000 vezes a luminosidade do Sol.
50000 vezes a luminosidade do Sol.
GABARITO
01-D
09-B
17-C
25-D
02-D
10-A
18-B
26-D
03-D
11-E
19-B
27-C
04-A
12-C
20-D
28-D
05-D
13-E
21-E
29-B
06-E
14-B
22-E
30-E
07-D
15-B
23-C
31-A
08-A
16-D
24-C
32-A