Sumários das aulas
Data
3ª 17/9
5ª 19/9
6ª 20/9
3ª 24/9
5ª 26/9
6ª 27/9
3ª 1/10
5ª 3/10
6ª 4/10
3ª 8/10
5ª 10/10
6ª 11/10
3ª 15/10
5ª 17/10
6ª 18/10
3ª 22/10
5ª 24/10
6ª 25/10
3ª 29/10
5ª 31/10
6ª 1/11
Sumário
Apresentação. Lógica: implicações e quantificadores.
O método dedutivo. Axiomática dos números reais:
axiomas da soma. Os números naturais.
Axiomática dos números reais: as quatro operações;
números positivos e negativos; números racionais;
relação de ordem.
Números naturais. Sucessões. Definições por
recorrência. Demonstrações por indução. Somatórios.
Distância, aproximações, margem de erro. Dízimas.
Vizinhanças. Propriedades dos módulos. Máximo
dum conjunto.
Majorantes, minorantes, supremo e ínfimo dum
conjunto. O axioma do supremo. Pontos aderentes,
pontos isolados e pontos de acumulação.
A relação x<tan x. Dízimas infinitas. Princípio dos
intervalos encaixados. Noção de limite duma
sucessão. Números racionais e dízimas periódicas.
Densidade dos racionais e dos irracionais.
Propriedades dos limties: princípio dos limites
enquadrados, limites e operações algébricas.
Funções. Prolongamento e restrição. Propriedades.
Funções inversas. Raizes.
Composição de funções. Logaritmo e exponencial.
Funções trigonométricas e trigonométricas inversas.
A função de Dirichlet e a função sen(1/x). Noção de
limite duma função num ponto.
Limites laterais. Pontos interiores. Existência do
limite. Limites infinitos.
Limites e operações algébricas. O princípio dos
limites enquadrados. Operações algébricas na recta
acabada. Indeterminações. Continuidade.
Descontinuidades. Prolongamento por continuidade.
Continuidade das raízes, exponenciais, logaritmos e
seno e coseno. Composição.
Teoremas de Bolzano e de Weierstrass.
Contradomínio duma função contínua. Continuidade
da função inversa.
Limites e composição. Noção de derivada: taxa de
variação e recta tangente. Diferenciabilidade e
derivadas laterais.
Regras de derivação. Derivadas das funções
trigonométricas. Aproximação linear e diferenciais.
A regra da cadeia. Derivada da função inversa. As
derivadas do arctan e do arcsen. Diferenciação
logarítmica.
Teoremas de Fermat, Rolle e Lagrange. Aplicação ao
cálculo de derivadas laterais. Funções de classe C^k.
Extremos locais (relativos). Monotonia e pontos
críticos. Concavidade e pontos de inflexão. Limites
no infinito.
Limites no infinito. Assímptotas horizontais e
oblíquas. Indeterminações e a Regra de Cauchy.
Limites de potências. Limites de sucessões. Ordem
de magnitude. Sucessões e funções
assimptoticamente iguais.
Páginas
Exercícios
3 a 16
pag. 14:
1, 6 a 9
16 a 29
pag. 28:
1, 6, 11, 21 a 24
30 a 42
pag 39:
9 a 21
53 a 63
pag. 60:
8 a 18, 24 a 26
63 a 70
pag. 72:
1 a 12, 16 a 23
74 a 92
97 a 99
pag. 96: 19 a 24
pag.111: 14 a 18
92, 93
pag. 95: 5 a 17
100 a 107 pag. 110: 8 a 10, 20
pag. 130: 5, 16 a 25
pag. 141: 5 a 14
pag. 140: 2 a 4, 19 a 23
137 a 153
pag. 153: 6 a 10, 13 a 15
pag. 167: 22 a 25
154 a 190 pag 178: 1 a 16
pag. 193: 1, 6 a 9
117 a 136
190 a 209 pag. 210: 1 a 4, 8 a 12
211 a 228 pag. 225: 6 a 26
230 a 245 pag. 245: 3 a 17, 20
246 a 258 pag. 255: 6 a 9, 14, 18
258 a 284
pag. 268: 22 a 24
pag. 283: 3 a 6, 16 a 26
285 a 301
pag. 294: 21 a 29
pag. 301: 1 a 13, 20
302 a 313 pag. 312: 7, 26 a 50.
314 a 328
pag. 319: 13 a 16, 18 a 20
pag. 326: 5 a 14, 16 a 20
334 a 348
pag. 335: 1 a 5, 19
pag. 344: 1 a 25, 28
349 a 370
pag. 361: 1 a 6, 12 a 35
pag. 377: 1 a 33
370 a 373 pag. 378: 34 a 51
377 a 388 pag. 386: 1 a 32, 36, 37
Sumários das aulas
3ª 5/11
5ª 7/11
6ª 8/11
3ª 12/11
5ª 14/11
6ª 15/11
3ª 19/11
5ª 21/11
6ª 22/11
3ª 26/11
5ª 28/11
6ª 29/11
3ª 3/12
5ª 5/12
O Teorema de Cauchy. Demonstração da Regra de
Cauchy. Primitivas.
Primitivas. Revisões para o teste.
Revisões
Noção de integral; áreas, valor médio e distância.
Interpretação geométrica. Axiomas para o integral.
Teorema do valor médio.
Funções definidas por integrais. Teorema
Fundamental do Cálculo. Regra de Barrow.
Regra de Barrow. Integrais de funções com
descontinuidades. Linearidade. Primitivação por
substituição.
Cálculo aproximado do integral. Somas de Darboux.
Construção do integral: integral inferior e superior.
Integral de Riemann. Integrabilidade das funções
monótonas. Linearidade.
Aplicação: área da região entre dois gráficos. Volume
dum sólido de revolução.
Comprimento do gráfico duma função. Integrais
impróprios. Polinómio de Taylor.
Polinómios de Taylor. Fórmula de Lagrange para o
erro.
Aplicação: classificação de pontos críticos. O limite
quando n tende para infinito. Séries.
Séries: definições e primeiras propriedades. Séries
geométricas.
Séries de termos não negativos. Critério do integral,
critério geral de comparação e critério de
comparação pelo limite. O resto duma série.
374 a 377
pag. 398: 41
388 a 391
391 a 395 pag. 394: 5 a 44
401 a 416
pag 408: 16 a 18
pag. 418: 8 a 10, 13, 14
420 a 427 pag. 430: 1 a 10, 18 a 21
427 a 438 pag. 438: 41 a 50
439 a 442
449 a 452
453 a 463
463 a 472
476 a 489
553 a 562
562 a 574
575 a 585
585 a 598