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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
PLANO DE ENSINO
Código MAT
01084
Nome
Métodos Aplicados de Matemática III
Créditos/horas-aula Súmula
04 / 60
Semestre
2010-1
Números complexos. Funções complexas. Diferenciação. Funções analíticas.
Integração de contorno. Teoria de resíduos. Representação conforme.
Aproximações assintóticas. Transformadas inversas de Fourier e Laplace.
Funções especiais. Produtos infinitos.
Curso:
Bacharelado em Matemática –
ênfase Matemática Aplicada e
Computacional
Professor Responsável
Etapa:
Pré-Requisitos:
5ª
MAT01012 Métodos Aplicados de Matemática II ou
MAT01321 Métodos de Matemática Aplicada II
Marco Túllio Menna Barreto de Vilhena
Objetivos:
Fornecer treinamento em técnicas matemáticas para disciplinas de modelagem em
Matemática Aplicada.
Metodologia e Experiências de Aprendizagem:
Aulas teóricas.
Conteúdo Programático:
1. Função analítica: Limite. Continuidade. Derivada. Fórmula de derivação. Condição de
Cauchy-Riemann. Funções analíticas. Funções harmônicas.
2. Funções elementares: A função exponencial e propriedades. Funções trigonométricas e
propriedades. Funções hiperbólicas. A função logarítmica. Ramos. Propriedades dos
logaritmos. Expoentes complexos. Funções trigonométricas inversas.
3. Integral: Integral definida. Caminhos. Integral curvilínea. O Teorema de Cauchy-Goursat.
Um teorema preliminar. Demonstração do Teorema de Cauchy-Goursat. Domínios
simplesmente conexos e multiplamente conexos. Integral indefinida. A fórmula integral de
Cauchy. Derivada de função analítica. Teorema de Morera. Módulos. Máximo de funções.
O Teorema Fundamental da Álgebra.
4. Série de potências: Séries de Taylor. Séries de Laurent. Propriedades de séries.
Convergência uniforme. Integração e derivação de séries de potências. Unicidade de
representações por séries de potências. Multiplicação e divisão. Zeros de funções
analíticas.
5. Resíduo e Pólo: Resíduo. O Teorema do resíduo. Pólo. Quociente de funções analíticas.
Cálculo de integrais reais impróprias. Integrais impróprias envolvendo funções
trigonométricas. Integrais definidas de funções trigonométricas. Integração em torno de
um ponto de ramificação. Princípio do argumento e Teorema de Rouché. Exemplos.
6. Transformação por funções elementares: Funções lineares. A função potencia. A função
recíproco de complexo. O ponto no infinito. A transformação linear fracionária.
Transformações lineares fracionárias especiais. A função raiz quadrada.
7. Transformação conforme: Preservação de ângulo. Propriedades adicionais. Rotação da
tangente. Transformação conforme. Harmônicos conjugados. Funções inversas.
Transformação de funções harmônicas. Transformação de condições de contorno.
8. Aplicação de transformação conforme: Temperaturas estacionárias. Temperaturas
estacionárias numa parede. Temperaturas num quadrante com parte de uma fronteira
isolada.
Cronograma de Atividades:
Primeira semana:
Função analítica: Limite. Continuidade. Derivada. Fórmula de derivação.
Condição de Cauchy-Riemann.
Segunda semana:
Funções analíticas. Funções harmônicas. Funções elementares: A função
exponencial e propriedades.
Terceira semana:
Funções trigonométricas e propriedades. Funções hiperbólicas. A função
logarítmica. Ramos. Propriedades dos logaritmos. Expoentes complexos.
Funções trigonométricas inversas.
Quarta semana:
Integral: Integral definida. Caminhos. Integral curvilínea. O Teorema de
Cauchy-Goursat. Um teorema preliminar.
Quinta semana:
Demonstração do Teorema de Cauchy-Goursat. Domínios simplesmente
conexos e multiplamente conexos. Integral indefinida.
Sexta semana:
A fórmula integral de Cauchy. Derivada de função analítica. Teorema de
Morera. Módulos. Máximo de funções. O Teorema Fundamental da Álgebra.
Sétima semana:
Aula de Exercícios e Primeira Verificação
Oitava semana:
Feriado Tiradentes; Série de potências: Séries de Taylor. Séries de Laurent.
Nona semana:
Propriedades de séries. Convergência uniforme. Integração e derivação de
séries de potências. Unicidade de representações por séries de potências.
Multiplicação e divisão. Zeros de funções analíticas.
Décima semana:
Resíduo e Pólo: Resíduo. O Teorema do resíduo. Pólo. Quociente de funções
analíticas. Cálculo de integrais reais impróprias. Integrais impróprias
envolvendo funções trigonométricas.
Décima primeira semana:
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Integrais definidas de funções trigonométricas. Integração em torno de um
ponto de ramificação. Princípio do argumento e Teorema de Rouché.
Exemplos.
Décima segunda semana:
Exercícios e Segunda Verificação
Décima Terceira semana:
Transformação por funções elementares: Funções lineares. A função potencia.
A função recíproco de complexo. O ponto no infinito. A transformação linear
fracionária. Transformações lineares fracionárias especiais. A função raiz
quadrada. Outras funções irracionais. Aula de Exercícios.
Décima Quarta semana:
Transformação conforme: Preservação de ângulo. Propriedades adicionais.
Rotação da tangente. Transformação conforme. Harmônicos conjugados.
Funções inversas. Transformação de funções harmônicas. Transformação de
condições de contorno.
Décima quinta semana:
Aplicação de transformação conforme: Temperaturas estacionárias.
Temperaturas estacionárias numa parede. Feriado Corpus Christi
Décima sexta semana :
Temperaturas num quadrante com parte de uma fronteira isolada.
Décima Sétima semana:
Aulas de exercícios
Décima oitava semana:
Exame e Resultados
Décima nona semana:
Recuperação e Resultados.
Critérios de Avaliação:
O Conteúdo Programático da disciplina será dividido em 3 unidades de ensino,
também chamadas de áreas: a primeira consiste nos itens 1-3 do Conteúdo Programático, a
segunda nos itens 4-5 e a terceira nos itens 6-9. A aprendizagem em cada área será avaliada
independentemente.
Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de ter uma
freqüência mínima de 75%, que o aluno obtenha em cada área nota igual ou superior a 5,0
(cinco) e tenha uma média aritmética (V1+V2+V3)/3 das três áreas igual ou superior a 6,0
(seis).
A atribuição dos conceitos aos alunos aprovados ocorrerá em correspondência com a
nota final, que é a média aritmética das três notas de área:
•
Com freqüência igual ou superior a 75%:
Aprovação: A – média igual ou superior a 9,0;
B – média igual ou superior a 7,5 e inferior a 9,0;
C – média igual ou superior a 6,0 e inferior a 7,5;
Ao aluno já aprovado pelo critério exposto acima, será facultada a oportunidade de
melhorar o seu conceito final, através da realização de uma prova e apenas uma recuperação
de uma área. Neste caso valerá a nota mais alta entre as duas.
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Atividades de Recuperação:
O aluno que não tiver sido aprovado no critério acima, mas que cumpriu a exigência
do Artigo 134 do RGU e que tiver média aritmética das três notas de prova superior ou igual a
3,0 (três), poderá fazer uma prova de recuperação em uma das seguintes modalidades:
i) Prova de recuperação de uma única área, que substituirá a nota da área correspondente,
utilizando o critério de aprovação acima. Esta modalidade só é permitida ao aluno que
tiver obtido apenas uma nota inferior a 5,0 (cinco).
ii) Exame, cujo conteúdo abrangerá toda a matéria da disciplina. Esta modalidade é
obrigatória ao aluno que tiver obtido duas ou mais notas inferiores a 5,0 (cinco).
O aluno que prestar o exame será aprovado se obtiver nota no exame superior ou igual
a 6 (seis), sendo atribuído o conceito C se a nota do exame for inferior a 9,0 (nove) e B se a
nota do exame for superior ou igual a 9,0 (nove).
Bibliografia Básica:
1. CHURCHILL, R. V.. Variáveis complexas e suas aplicações, McGraw-Hill, 1996
Bibliografia Complementar:
1. MARTIN, A., MOSKOWITZ, A., A course in complex analysis in one variable, World
Scientific, 2002.
2. BAK, J., NEWMAN, D. J.. Complex analysis, Second edition, Springer, 1997.
3. CARRIER, F. G., KROOK, M., PEARSON, C. E., Functions of a complex variable,
McGraw-Hill, 1966
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