ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
AGRUPAMENTO DE MATEMÁTICA
m axi
minus
FICHA DE TRABALHO
escola sec.
de maximinos
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. Calcula sen ( a + b ) , sabendo que a e b são dois ângulos agudos e que sen a =
2. Resolve, em R, as equações trigonométricas cos x cos(2 x) − sen x sen(2 x) =
10
5
.
e cos b =
10
5
1
2
3. Resolve, no intervalo [ 0; 2π ] , a equação sen ( 3 x ) − 2 sen x = 0
4. O gráfico ao lado foi obtido por transformação do gráfico da função y = sen x .
Escreve uma expressão analítica que define a função representada graficamente:
5. O gráfico ao lado foi obtido por transformação do gráfico da função y = cos x .
Escreve uma expressão analítica que define a função representada graficamente:
6. Calcula os seguintes limites:
3π 

cos  x −

2 

b) lim
x →0
3x
tg (2 x)
a) lim
x →0
x
sen(2 x)
x →0
tg x
c) lim
sen 2 (2 x)
x + tgx
g) lim
x →0 senx
x → 0 x 2 cos x
h) lim
f) lim
x→
π
2
1
x


d) lim  x sen 
x →∞
1 − ex
x →0 sen (2 x )
e) lim
cos( x − π )
2x − π
7. Define, analiticamente, as assímptotas verticais do gráfico da função definida por f ( x ) =
1
sen x + 1
8. Determina as derivadas de:
 x −1 
x
 b) e ⋅ cos ( x )
x


a) x 2 + 2 cos 
c)
tg ( 2 x )
d) ln x ⋅ sen x
9. Seja a função real de variável real assim definida: h( x) = 1 − x + sen (2 x )
π 

2
a) Calcula, utilizando dois processos diferentes, h′ 
[ 0; π ]
tem uma única solução x0 ∈ [ 0, 5; 2] e determina um valor aproximado
b) Estuda analiticamente a monotonia de h no intervalo
c) Mostra que a equação h(x)=0
de x0 , por defeito, a menos de uma centésima.
 sen(2 x)

10. Considera a função g definida em R por: g ( x) =  3 x
ln( x + k )
se x < 0
, k ∈ R+
se x ≥ 0
a) Determina k, de modo que a função seja contínua em R
b) Escreve a equação da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa x = −
π
2
c) Seja f ( x) =
1
. O gráfico de f intersecta o gráfico de g numa infinidade de pontos. Determina as
6x
coordenadas do ponto de intersecção que tem maior abcissa negativa.
11. Duas povoações A e B distanciadas 8 km uma da outra estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de
água, localizada em F.
Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura.
A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P
e dois que partem de P, um para A e outro para B.
O ponto P está a igual distância de A e B.
Tem-se ainda que:
- o ponto M, ponto médio de [AB] dista 4 km de F.
 π
 ).
 4
- x é a amplitude do ângulo PAM ( x ∈ 0,
a) Tomando para unidade o quilómetro mostre que o comprimento total da canalização é dado em função de x por:
C ( x) = 4 − 4tgx +
8
cos x
b) Calcule C(0) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento.
c) Mostre que C ′( x) =
− 4 + 8senx
e determine, analiticamente o valor de x para o qual o comprimento total da
2
cos x
canalização é mínimo.
12. A figura representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio.
O canteiro tem uma zona rectangular, que se destina à plantação de flores, e uma
zona relvada, assinalada a sombreado na figura.
Os vértices A , B , C e D do rectângulo pertencem à circunferência que limita o
canteiro.
Na figura estão também assinalados:
- dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que contêm os pontos
médios dos lados do rectângulo
- o centro O da circunferência
 π
 ).
 2
- o ângulo BOF , de amplitude x ( x ∈  0,
a) Mostre que a área (m2) da zona relvada é dada, em função de x , por g ( x) = 25π − 50 sen( 2 x)
b) Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que existe um valor de x compreendido entre
área da zona relvada é 30 m2.
c) Determine, analiticamente, o valor de x para o qual a área da zona relvada é mínima.
π
6
e
π
4
para o qual a
x
2
d) Considere a função h( x) = 50 cos( ) .
Recorrendo à calculadora, determine a solução inteira da inequação g(x) < h(x) no intervalo [0, π].
Explique como procedeu. Apresente os gráficos que considerou para resolver esta questão.
13. Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio [ 0; 2π ] , definida
por f ( x) = x + 2 cos x
A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f
a) Sem recorrer à calculadora, resolve as duas alíneas seguintes.
a1) Mostra que a ordenada do ponto A é
é
5π − 6 3
6
a2) Qual é o contradomínio de f?
π +6 3
6
e que a do ponto B
b) Considere a recta tangente ao gráfico de f no ponto A. Esta recta intersecta o gráfico num outro ponto C.
Recorrendo à calculadora, determina um valor aproximado para a abcissa do ponto C (apresenta o resultado
arredondado às décimas).
Explica como procedeste (na tua explicação, deves incluir o gráfico, ou gráficos, que consideraste para resolver esta questão).
14. Considere as funções f e g de domínio IR, definidas por f ( x ) =
1
+ 2e1− x e g(x) = 2 senx − cos x .
3
a) Utiliza métodos exclusivamente analíticos para resolveres as duas questões seguintes:
a1) Estuda a função f quanto à existência de assímptotas paralelas aos eixos coordenados.
a2) Resolva a equação f ( x) = g (π ) apresentando a solução na forma ln(ke) onde k representa um número
real positivo.
b) Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f(x) > g(x) no intervalo [0,2 π ] .
Explique como procedeu. Apresente os gráficos que considerou para resolver a questão.
15. Na figura estão as representações gráficas de duas funções f e g, de
domínio [ 0; 2π ] , definidas por:
5π 

f ( x ) = sen ( 2 x ) e g ( x) = cos  2 x −

6 

Os pontos P1 , P2 , P3 e P4 são a intersecção dos gráficos f e g.
A abcissa do ponto P1 é
π
3
a) Mostra que são perpendiculares as rectas tangentes aos gráficos de f e de g no ponto P1 .
b) Determina as coordenadas de P2 .
c) Define, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
16. Determina, no intervalo [-π,π], relativamente à função real de variável real
a) os intervalos de monotonia e os extremos relativos.
b) os pontos de inflexão
c) lim
x →0
f ( x ) = e − x (cos x + senx )
f ( x)
(caso exista)
x
17. Seja a função real de variável real definida por:
a) Determina o domínio da função
b) Calcula as assímptotas do gráfico de g.
c) Estuda a monotonia de g.
g ( x) = cos x + ln (cos x ) com x ∈ [− 2π ,2π ]
 5 cos(2 x)
⇐x>0

18. Seja a função real de variável real tal que: f ( x ) = 
x
e − x − 1 ⇐ x ≤ 0

a) Prova que a função é descontínua em x=0.
b) Determina as assímptotas do gráfico de f.
c) Caracteriza a função derivada da função dada.
19. Escreve uma equação da tangente ao gráfico de y = cos xsenx + 2tgx no ponto π/4
SOLUÇÕES:
2kπ
7π 11π 
π 1
 π 5π

, k ∈ Z 3. 0; ; ; π ; ;
5. 2 + cos x
 4. y = sen  x +  −
9
3
6 6 
2 2
 6 6

1
1
3π
2
x −1
6. a) 2 b) −
c) 2 d) 1 e) −
f) 4 g) 2 h) ½ 7. x =
+ 2kπ , k ∈ Z 8. a) 2 x − 2 sen
3
2
2
x
x
1
sen x
x
b) e ( cos x − sen x ) c)
d)
+ ln x × cos x
2
x
cos (2 x) ⋅ tg (2 x)
1.
7 2
10
2.
x=±
π
+
 π
 5π 
 π 5π 
0; 6  e em  6 ; π  e decrescente  6 ; 6 
9. a) -3 b) crescente em
c)
c)
x0
1,38 10. a) e 2 / 3
b)
y=
4
2
x+
3π
3
2 
π
 7π
;−
−
 11. b) g (0) = 12 ; a canalização tem a forma ⊥ e o seu comprimento é 12km c) x =
6
 12 7π 
12. c)
x=
π
d) x = 1
4
 5π − 6 3

; 2π + 2 
Dg′ = 
6


1
14. a1) y =
a2) ln (3e)
3
13. b)
13. a2)
b) Através do gráfico pode concluir-se que as soluções pedidas são: 0, 1, 4, 5 e 6
15. c)
14. b)
 5π
3
 ; −

2 
 6
c)
0≤ x≤
5π

∧ cos  2 x −
3
6

π

 ≤ y ≤ sen ( 2 x )

16. a) crescente: [-π,0]; decrescente: [0,π]; máximo: 1 (x=0); mínimo:
3π
 3π
4
,
−
2
e
 4

b)  −

3 
π
−

π
 e  , 2e 4

4


 π π




3
− e π (x= -π) e −
1
(x= π)
eπ
c) Não existe o limite

3π
π
17. a) − 2π ,− π  ∪  − ,  ∪  π ,2π  b) Equações de assimptotas verticais: x = ±
e x=±
2
2
2   2 2  2


c) Máximo: 1 (x= -2π, x=0 e x=2π) ;

3   π
 − 10 xsen(2 x) − 5 cos(2 x)
⇐x>0

18. b) x=0 e y=0 c) f ′( x) = 
x2
− e − x ⇐ x < 0

19. y=4x-π+5/2
 π
 3

Decrescente: − 2π ,− π e 0,  e crescente: − ,0 e  π ,2π 
2   2

 2  2
