PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
1. Resolva em IR a inequação
2x +1
≤ 5 x e apresente a solução em forma de intervalos
3x
reais.
Ora,
2x +1
2x +1
2x +1
≤ 5x ∧
≥ −5 x
≤ 5x ⇔
3x
3x
3x
⇔
−15 x 2 + 2 x + 1
15 x 2 + 2 x + 1
≤ 0∧
≥0
3x
3x
C.A.:
−15 x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x =
−15 x + 2 x + 1
3x
2
−15 x + 2 x + 1
3x
2
−2 ± 4 + 60
1
1
⇔ x=− ∨x=
−30
5
3
-
-1/5
0
-
+
0
+
-
0
+
0
-
s/s
+
+
1/3
0
+
+
+
0
-
−15 x 2 + 2 x + 1
 1  1

≤ 0 ⇔ x ∈  − ; 0  ∪  ; +∞ 
3x
5
3

 

−2 ± 4 − 60
→ Impossível
30
∴ 15 x 2 + 2 x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℜ
15 x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x =
Logo,
15 x 2 + 2 x + 1
≥ 0 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 0 → x ∈ ]0; +∞[
3x
2x +1
  1  1

≤ 5 x ⇔ x ∈   − ;0  ∪  ; +∞   ∩ ]0; +∞[
3x

  5  3
1

⇔ x ∈  ; +∞ 
3

José Maria G. Martins
1
2. Considere a função de variável real f ( x) =
2x + 3
−2.
5x + 4
2.1. Determine o domínio da função.
D f = {x ∈ℜ : 5 x + 4 ≠ 0}
4

= x ∈ ℜ : x ≠ − 
5

 4
= ℜ \ − 
 5
2.2. Determine o seu contradomínio.
CD f = D f −1
f −1 ( x ) = ?
2x + 3
−2 = y
5x + 4
2x + 3
⇔
= y+2
5x + 4
⇔ 2 x + 3 = 5 xy + 10 x + 4 y + 8
⇔ x(2 − 5 y − 10) = 4 y + 5
4y + 5
⇔ x=−
5y + 8
f ( x) = y ⇔
4x + 5
5x + 8
∴ CD f = D f −1 = {x ∈ℜ : 5 x + 8 ≠ 0}
f −1 ( x ) = −
8

=  x ∈ℜ : x ≠ − 
5

 8
= ℜ \ − 
 5
2.3. Determine os zeros da função.
2x + 3
−2=0
5x + 4
−8 x − 5
⇔
=0
5x + 4
⇔ −8 x − 5 = 0 ∧ x ∈ D f
f ( x) = 0 ⇔
⇔ x=−
5
8
ou então,
f ( x) = 0 ⇔ x = f −1 (0)
0+5
⇔ x=−
0+8
5
⇔ x=−
8
 5
∴ S = − 
 8
José Maria G. Martins
2