MECÂNICA APLICADA – 5º Período de Engenharia Civil
REVISAO GERAL
GRANDEZA ESCALAR
É caracterizada por um número real. Como, por exemplo, o tempo, a
massa, o volume, o comprimento, etc.
GRANDEZA VETORIAL
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três
elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que possui
intensidade, direção e sentido. Em problemas de estática é muito comum a
utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento.
A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza
uma grandeza vetorial. Para descrever a posição de uma cidade A em relação à
outra cidade B, é insuficiente dizer que ambas estão separadas por uma
distância de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer, por exemplo,
que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A.
A força também é caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando
se empurra uma peça de móvel através do chão aplica-se na mesma uma força
com intensidade suficiente para mover o móvel e com a direção desejada para
o movimento.
REPRESENTAÇÃO DE UMA GRANDEZA VETORIAL
Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta,
que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido. Graficamente
o módulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta, a direção é
definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação
da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta.
A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao
longo dos cabos de fixação de um poste, o ponto O é chamado de origem do
vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta.
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LEI DOS SENOS
Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei dos senos
é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são
proporcionais”.
LEI DOS COSSSENOS
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei
dos cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da
medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois,
menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do
ângulo oposto ao primeiro lado”.
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SOMA VETORIAL – REGRA DO PARALELOGRAMO
O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial
com a aplicação da regra do paralelogramo.
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EXEMPLO 01)
O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o
módulo e a direção da força resultante.
SOLUÇÃO
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EXEMPLO 02)
Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30KN.
Encontre suas componentes nas direções AC e BC.
SOLUÇÃO
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EXERCICIOS PROPOSTOS
1) O elo da figura está submetido às forças F1 e F2, determine a intensidade e
a orientação da força resultante.
SOLUÇÃO
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2) A chapa está submetida a duas forças Fa e Fb. Se ϴ=60º, determine a
intensidade da força resultante e sua intensidade em relação ao eixo horizontal.
SOLUÇÃO
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3) Duas forças são aplicadas a fim de remover a estaca mostrada. Determine o
ângulo ϴ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada
verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N.
SOLUÇÃO
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4) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores
de Fa e Fb de modo a produzir uma força resultante de 950N orientada no eixo
X positivo, considerando ϴ=50º.
SOLUÇÃO
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5) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2.
Determine o módulo e a direção da força resultante.
SOLUÇÃO
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6) A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo que se
a força resultante é igual a 10KN e está orientada ao longo do eixo x positivo.
Determine a intensidade das forças Fa e Fb, considerando ϴ=15º.
SOLUÇÃO
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7) O gancho da figura está submetido às forças F1 e F2, determine a intensidade
e a orientação da força resultante.
SOLUÇÃO
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8) Determine o ângulo θ e a intensidade de Fb de modo que a resultante das
forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N.
SOLUÇÃO
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9) Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a
intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo
do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 1kN.
SOLUÇÃO
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10) Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das
forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
SOLUÇÃO
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PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA
1º A ação de um sistema de forças não se altera se a ele acrescentarmos, ou
dele subtrairmos, um sistema equilibrado de forças.
2º A condição necessária e suficiente para que duas forças constituem um
sistema equilibrado é que elas sejam colineares, tenham o mesmo módulo e
sentidos contrários.
3º A ação de duas forças aplicadas num mesmo ponto é equivalente à ação de
uma força única, aplicada nesse ponto, representada pela diagonal do
paralelogramo formado pelos vetores representativos daquelas duas forças.
4º A ação de um corpo sobre outro corresponde sempre uma reação igual e
contrária, deste corpo sobre o primeiro.
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CONSEQUENCIAS IMEDIATAS DOS PRINCIPIOS DA ESTÁTICA
No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, podem supor-se as forças
aplicadas em qualquer ponto das respectivas linhas de ação.
Porem quando os problemas envolvem os esforços internos ou
deformações de um corpo, os mesmos podem sofrer uma compressão ou tração.
MOMENTO DE UMA FORÇA
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, fornece
uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno
do ponto ou do eixo.
Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido.
É determinado através da equação:
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M = F x d onde,
M= momento
F= força
d= distância.
Rotação no sentido horário – Momento negativo
Rotação no sentido anti-horário – Momento positivo
MOMENTO DE UM BINÁRIO
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade,
sentidos opostos e separadas por um distância d. O efeito de um binário é
proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido.
A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero.
Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto
não é zero. Pois as forças tendem a girar o corpo.
EXEMPLO 01)
Determine o momento da força em relação ao ponto O.
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SOLUÇÃO
EXEMPLO 02)
Determine o momento da força em relação ao ponto O.
SOLUÇÃO
EXEMPLO 03)
Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D..
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SOLUÇÃO
EXEMPLO 04)
Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada
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em relação ao ponto A.
SOLUÇÃO
VARIAÇÃO DO MOMENTO DE UM SISTEMA COM CENTRO DE
REDUÇÃO
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Admita-se que um dado sistema de forças se reduz no ponto B à
resultante R e o momento Mb. Pode-se transportar essa força R para um outro
ponto A, desde que se considere o seu momento de transporte (R x d) do ponto
B para o ponto A. Nessas condições o sistema é equivalente ao sistema inicial.
Portanto o Ma é o momento do sistema dado, em relação ao ponto a, pode-se
escrever:
Ma = Mb + R x d
EXEMPLO 01)
Substitua as três forças mostradas na figura por uma força resultante e um
momento equivalente em relação ao ponto O.
SOLUÇÃO
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EXEMPLO 02)
Uma força vertical de 100 N é aplicada na extremidade de uma alavanca que
está fixa em O. Determine:
a) O momento da força de 100 N em relação ao ponto O;
b) A intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo
momento em relação ao ponto O;
c) A menor força em A que produz o mesmo momento em relação ao ponto O;
d) A que distância do eixo deverá estar uma força vertical de 240 N de modo a
produzir o mesmo momento em relação ao ponto O,
e) Se alguma das forças obtidas nas alíneas b) c) e d) são equivalentes à força
original.
SOLUÇÃO
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CARGAS DISTRIBUÍDAS
Até o presente momento consideramos em nossas aulas apenas forças
concentradas, isto é, que atuam em um único ponto do corpo.
Na realidade, a ação de uma força é sempre distribuída continuamente,
quer por um volume, quer sobre uma superfície.
Dessa forma a ação de infinitas resultantes atuando em todas as
partículas de um corpo ou em todos os pontos da superfície de contato entre
dois corpos.
A força concentrada é apenas uma abstração, e pode ser considerada
como a resultante de um sistema contínuo de esforços elementares. A
substituição desse sistema contínuo pela sua resultante – isto é, hipótese de
força concentrada – é um procedimento somente valido nos problemas de
estática dos corpos rígidos. Não obstante, quando uma força se distribui sobre
uma superfície de dimensões muito pequenas, pode-se, muitas vezes, admitir
essa superfície reduzida a um ponto, mesmo na estática dos corpos
deformáveis, por ser desprezível o erro introduzido nos resultados.
Os três tipos mais utilizados de cargas distribuídas são:

Retangular

Triangular

Trapezoidal
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EXEMPLO 01)
Calcular o valor da resultante da carga uniformemente distribuída representada
abaixo:
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EXEMPLO 02)
Calcular o valor da resultante da carga triangular distribuída representada
abaixo:
EXEMPLO 03)
Calcular o valor da resultante da carga trapezoidal distribuída representada
abaixo:
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MOMENTO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA
O momento de uma carga distribuída representa a soma de todos os
momentos das forças elementares, em relação a um ponto qualquer, pode ser
obtido com teoremas desde que se conheçam a resultante e o eixo central do
sistema.
EXEMPLO 01)
Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída da
figura abaixo:
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EXEMPLO 02)
Calcular o momento em relação ao ponto D da carga distribuída da figura:
EXEMPLO 03)
Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída
triangular da figura abaixo:
FÓRMULA MOMENTO
MOMENTO DE UM PONTO FORA DA CARGA
Ma = P x L/2 x 2L/3
Mc = P x L/2 (L/3 + a)
Mb = P x L/2 x L/3
Mc = P x L/2 (2L/3 + a)
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EXEMPLO 04)
Calcular o momento em relação aos pontos A, B e C da carga distribuída
Trapezoidal da figura abaixo:
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EQUILIBRIOS DOS SISTEMAS DE FORÇAS
Condições gerais de equilíbrio. Para que um sistema de forças coplanares
seja equilibrado, é necessário e suficiente que sejam satisfeitas de acordo com
as seguintes condições:
1. As somas das projeções de todas as forças do sistema, sobre dois eixos
quaisquer, Ox e Ou, no plano das forças, devem ser nulas.
2. A soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a um
ponto arbitrário, A, do seu plano, deve ser nula.
Essas condições se indicam com as seguintes equações simbólicas:

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑Ma = 0
As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante do
sistema seja nula; a terceira é necessária para que o sistema não seja redutível
a um binário.
Essas condições são também suficientes, pois, satisfeitas as duas
primeiras, o momento do sistema será, o mesmo em relação a qualquer ponto.
As três equações são de grande importância para a mecânica aplicada,
sendo chamadas de equações algébricas redundantes.
APOIOS
São elementos que restringem os movimentos das estruturas e podem ser
classificados em:
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EXEMPLO 01)
Determine as reações nos apoios A e B da viga ilustrada abaixo.
SOLUÇÃO
EXERCICIOS PROPOSTOS
1) Determine as reações nos apoios, sabendo que F = 15 KN e a=1,2m; b=3,5m;
c=2,4m e d=1,6m:
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SOLUÇÃO
2) Determine as reações no apoio A.
SOLUÇÃO
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3) Determine as reações nos apoios.
SOLUÇÃO
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4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e um
momento equivalente no ponto A.
SOLUÇÃO
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5) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante.
Especifique onde a força atua, tomando como referência o ponto B.
SOLUÇÃO
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CENTRO DE GRAVIDADE; CENTRÓÍDE E BARICENTRO
CENTRO DE GRAVIADADE
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho
diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo
gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dW. Esses pesos
formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e a resultante desse
sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro
de gravidade, G.
Equações para localização do centro de gravidade G em relação aos eixos
x, y, e z tornam-se:
̅=
∫
∫
=
∫
∫
CENTRO DE MASSA DE UM CORPO
̅=
∫
∫
Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo,
é importante localizar o centro de massa Cm do corpo. Essa localização pode
ser determinada substituindo-se dW = g x dm ,nas equações anteriores. Como g
é constante, ele é cancelado e, portanto, temos as seguintes equações para o
centro de massa.
̅=
∫
∫
=
∫
∫
̅=
∫
∫
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CENTRÓIDE DE UM VOLUME
Se um corpo é feito de um material homogêneo, então sua densidade ρ
(rho) será constante. Portanto um elemento diferencial de volume dV tem uma
massa dm = ρ x dV. Substituindo essa massa nas equações do centro de massa
e cancelando ρ, obtemos as fórmulas que localizam o centróide C ou o centro
geométrico do corpo; conforme as equações abaixo:
̅=
∫
∫
=
∫
∫
CENTRÓIDE DE UMA ÁREA
̅=
∫
∫
Se uma área se encontra no plano xy e estiver contornada pela curva
y = f(x), então seu centróide estará nesse plano xy e pode ser determinado a
partir de integrais semelhantes às equações do volume:
̅=
∫
∫
=
∫
∫
Essas integrais podem ser avaliadas realizando-se uma integração
simples se usarmos uma faixa retangular para o elemento de área diferencial
CENTRÓIDE DE UMA LINHA
Se um segmento de linha (ou barra) estiver dentro do plano xy e puder
ser descrito por uma curva fina y = f(x), então seu centróide é determinado a
partir de:
̅=
∫
∫
=
∫
∫
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
O centróide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto
coincide com o centro de gravidade somente se o material que compõe o
corpo for uniforme ou homogêneo.

As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centróide
simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de
todas as partes do sistema e o momento da ``resultante´´para o sistema.

Em alguns casos, o centróide está localizado em um ponto que não está
sobre o objeto, como no caso de um anel, onde o centróide está no seu
centro. Além disso, esse ponto estará sobre qualquer eixo de simetria
para o corpo.
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FORMULÁRIO
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EXEMPLO 01)
A figura mostrada no quadro é feita de um pedaço de arame fino e homogêneo.
Determine a localização do centro de gravidade.
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EXEMPLO 02)
Uma barra semicircular uniforme de peso W e raio r é ligada a um pino em A e
repousa sobre uma superfície sem atrito em B. Determine as reações em A e B.
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EXEMPLO 03)
Numa chapa quadrada ABCD, homogênea e de lado a = 24 cm faz um corte
também quadrado EFGH, de lado b = 12 cm. Determine a distância do centro de
massa da chapa cortada à linha de base AD.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Determinar o centro de massa das figuras abaixo:
A)
SOLUÇÃO
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B)
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C)
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D)
E)
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F)
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G)
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H)
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2) Determine a força aplicada no cabo AB.
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3) Determine o centroide da figura abaixo. Considere o eixo xy indicado na
figura.
A)
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B)
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4) Determinar a força aplicada na haste BC da figura abaixo.
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MOMENTO DE INERCIA DE AREA
O momento de inércia de área representa o segundo momento de área
em relação a um eixo. Normalmente ele é usado em fórmulas relacionadas à
força e estabilidade de membros estruturais ou elementos mecânicos.
Se a forma da área for irregular, mas puder ser descrita matematicamente,
então um elemento diferencial precisa ser relacionado e a integração sobre a
área total deve ser realizada para determinar o momento de inércia.
Ix = ʃª y² da
Iy = ʃª x² da
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Se o momento de inércia para uma área for conhecido em relação a um
eixo Centroidal, então seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo
pode ser determinado pelo teorema dos eixos paralelos.
_
I = I + Ad²
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Fórmulas para as figuras mais usadas.
Ix = 1 x b x h³
12
Iy = 1 x b³ x h
12
IX = 1 x b x h³
36
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EXEMPLO 01)
Determine o momento de inércia em relação aos eixos centroidais x e y.
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EXERCICIOS PROPOSTOS
1) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais X e Y da
peça mostrada na figura abaixo:
2) determine o centro de massa da figura:
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TRELIÇAS
Treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas
extremidades.
Treliças planas são aquelas se distribuem em um plano e geralmente são
utilizadas em estruturas de telhados e pontes.
Os elementos de uma treliça atuam como barras de duas forças. Se uma
força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. Se uma força
tende a encurtar o elemento, é chamada de força de compressão.
MÉTODO DOS NÓS
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós
e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a
troca de sinais.
Importante lembrar que somente os jogos de sinais deverão ser feitos nas
equações dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser
inseridas na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem,
ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.
EXEMPLO 01)
Calcular as forças normais N nas barras da viga sobre dois apoios em treliça
representada na figura abaixo:
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EXERCICIOS PROPOSTOS
1) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós nas figuras abaixo:
A)
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B)
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C)
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D)
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E)
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