UNESP - Universidade Estadual Paulista
FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
Matéria: CDI-2
Professor : José Ricardo Zeni
Leis de Kepler
Nome
Michael Macedo Diniz
Ismael Soares Madureira Junior
José Roberto Loureiro Costa
06115
03015
06110
Índice
1. Introdução
03
2. Objetivo
04
3. Fundamentação Teórica
04
3.1 Considerações preliminares
04
3.2 Primeira lei de Kepler
05
3.3 Segunda Lei de Kepler
08
3.4 Terceira Lei de Kepler
09
4 Conclusão
11
5 Apêndice
12
6.Bibliografia
13
2
2. Introdução
Vamos mostrar o poder dos métodos vetoriais quando aplicados à dedução de três leis físicas
clássicas.
Johannes Kepler (1571-1630), após uma vida inteira de estudos,
organizou as leis empíricas que governam os movimentos dos planetas.
Kepler conseguiu deduzir as três leis do movimento planetário que hoje
levam o seu nome a partir de uma extensa rede de dados obtidos por um
outro astrônomo chamado Tycho Brahe (1546-1601).
As leis de Kepler são validas para planetas orbitando o sol; para
satélites, naturais ou artificiais, em órbita em torno da Terra ou de qualquer
outro corpo celeste de massa considerável.
Johannes Kepler
Estas leis podem ser enunciadas como a seguir:
Primeira lei : A órbita de cada planeta é uma elipse que tem o Sol em um dos focos.
Segunda lei: As áreas varridas pelo raio vetor que une o Sol ao planeta são proporcionais ao
tempo gasto para percorrê-las.
Terceira lei: Se o tempo necessário para um planeta percorrer uma vez sua órbita elíptica é T e
se o eixo maior da elipse é 2a, então T2 = Ka3 para alguma constante K.
Cerca de 50 anos mais tarde, Sir Issac Newton ( 1642-1727) provou que as leis de Kepler eram
conseqüência da lei da gravitação universal de Newton e da segunda lei do movimento. Os resultados
obtidos por ambos foram monumentais, porque as leis como que justificavam todas as observações
astronômicas feitas até então.
Demonstraremos as leis de Kepler a partir das leis de Newton utilizando vetores. Como a força
da gravidade exercida pelo Sol sobre um planeta excede de muito a força exercida por outros corpos
celestes, desprezaremos todas as outras forças que atuam sobre um planeta. Deste ponto de vista,
temos apenas dois objetos a considerar: o Sol e um planeta que se move em torno dele.
3
2. Objetivo
Mostraremos neste trabalho uma idéia matemática do que representa as três leis de Kepler, para
isso, utilizaremos ferramentas encontradas no cálculo, lembrando assim o modo como Newton provou
a veracidade das leis de Kepler.
Não será fácil a compreensão imediata das provas, pois exige um conhecimento amplo de
cálculo, porém daremos uma ênfase no que se diz respeito a matemática e assim mostraremos como
uma ferramenta importantíssima como o cálculo pode provar e explicar os fenômenos não só do
mundo como do universo.
3 - Fundamentação Teórica
3. 1-Considerações preliminares
É conveniente introduzir um sistema de coordenadas com o
v
Sol na origem O, conforme ilustrado ao lado. O ponto P representa o
planeta. Para simplificar a notação, denotaremos o vetor posição de
r
P por r , e não por r (t), e representaremos por v e a a velocidade,
r ’(t), e a aceleração, r ’’(t), respectivamente.
Antes de provar as leis de Kepler, mostraremos que o movimento de um planeta se processa em
um plano ( isto é, a órbita é uma curva plana). Fazendo r =ll r ll, então u = (1/r) r é um vetor unitário
na mesma direção que r . De acordo com a lei da gravitação de Newton a força F da atração
gravitacional do sol sobre o planeta é dada por:
F = −G
Mm
u
r2
Sendo M a massa do Sol, m a massa do planeta e G uma constante gravitacional.
4
Segunda lei de movimento de Newton: A força F que atua sobre um objeto de massa
constante m está relacionada com a aceleração a do objeto como segue: F = m a .
Igualando essas duas expressões de F e resolvendo em relação a a , obtemos:
a =-
GM
u
r2
( 1)
Isso mostra que a é paralelo a r = r u e, então, r x a = 0 . Além disso, como v x v = 0 ,
temos que:
( )
d
dv dr
r ×v = r ×
+
×v = r×a + v×v = 0
dt
dt dt
Segue-se que:
r ×v = c
(2)
Para um vetor constante c . O vetor c desempenhará um
papel importante na prova das leis de Kepler, pois esta relacionado ao
momento angular do planeta. A equação
dc
= 0 é a lei de
dt
conservação do momento angular para força central.
Como r × v = c , o vetor r é ortogonal a c para todo valor de t.
Isto implica que a curva descrita por P jaz em um plano; isto é, a órbita do planeta é uma curva plana,
conforme ilustrado na figura ao lado.
3.2- Prova da Primeira lei de Kepler
Vamos agora provar a primeira lei de Kepler. Podemos supor que o movimento do planeta
ocorre no plano-xy. Neste caso, o vetor c é perpendicular ao plano-xy,; admitimos ainda que c tenha
a mesma direção do eixo-z positivo, conforme figura acima.
Como r = r u , usando a propriedade da derivada do produto,vemos que :
5
v=
dr
d u dr
=r
+ u
dt
dt dt
A substituição em c = r × v e a aplicação de propriedades do produto vetorial dá
c = ru × r
( )
du dr
du
dr
+ u = r2 u ×
+ r u ×u
dt dt
dt
dt
Como u x u = 0, isto se reduz a
c = r2 u×
du
dt
(3)
Utilizando (3) e (1) juntamente com ( ii ) e (vi) das propriedades do produto vetorial que se
encontram no apêndice 1 temos.
GM
du
u × r2 u ×
2
r
dt
a×c =
−
= − GM
u× u×
= − GM
u⋅
du
dt
=
=
(
)
du
du
u − u ⋅u
dt
dt
Como ll u ll = 1, decorre do teorema do apêndice 2, que u . ( d u /dt) = 0.
disso, u ⋅ u = u
2
Além
= 1 então, a ultima fórmula de a x c se reduz a:
a × c = GM
(
du
d
=
GM u
dt
dt
)
Pode-se escrever também,
a×c =
( )
dv
d
×c = v×c
dt
dt
6
e consequentemente,
( ) ( )
d
d
v × c = GMu
dt
dt
Integrando ambos os membros desta equação, temos:
v × c = GM u + b
(4)
Onde b é um vetor constante, dito vetor de Laplace. Veremos a seguir que a direção do vetor
b é a direção do eixo maior da elipse.
O vetor v x c é ortogonal a c e, assim, está no plano-xy. Como u também está no plano-xy,
segue-se, de ( 4), que b está no plano-xy.
Até aqui, nossa demonstração não tem dependido das
posições dos eixos x e y. Escolhamos agora um sistema coordenado
tal que o eixo-x positivo tenha a direção do vetor constante b ,
conforme Figura ao lado.
Sejam (r, ) as coordenadas polares do ponto P, com
b
c
O
v
r
r = ll r ll. Segue-se que
P(r, )
u ⋅ b = u ⋅ b ⋅ cos θ = b cos θ .
u
Onde b = ll b ll. Fazendo c = ll c ll, e usando (2), juntamente com propriedades dos produtos
escalar e vetorial, e também ( 4), obtemos:
( )
( ) ( )(
)
( ) ( )
c 2 = c ⋅ c = r × v ⋅ c = r ⋅ v × c = r u ⋅ GM u + b = rGM u ⋅ u + r u ⋅ b = rGM + rb cosθ
Resolvendo a última equação em relação a r, obtemos:
r=
c2
GM + b cos θ
Dividindo o numerador e o denominador por GM, obtemos:
r=
p
1 + e cos θ
(5)
7
Sendo p = c2/(GM) e e = b/(GM). Pelo apêndice 3 o gráfico desta equação polar é uma cônica
com excentricidade e e foco na origem. Como a órbita é uma curva fechada, segue-se que 0 < e < 1 e
que a cônica é uma elipse. Com isto completamos a prova da primeira lei de Kepler.
3.3-Prova da segunda lei de Kepler
Provemos agora a segunda lei de Kepler. Podemos
admitir que a órbita do planeta seja uma elipse no plano-xy.
u
Seja r = f( ) a equação polar da órbita, com o centro do sol
P0
P
A
0
no foco O. Denotemos por P0 a posição do planeta no
instante t0 e P sua posição no instante t
figura ao lado.
0
e
r=f( )
t0. Conforme
denotarão os ângulos medidos do
eixo-x positivo para OP0 e OP, respectivamente.
Pelo teorema III do apêndice 4, área A varrida por OP no intervalo de tempo [ t0,t] é
A =
θ
θο
dA
d
=
dθ
dθ
θ
θο
1 2
r dθ
2
1 2
1
r dθ = r 2
2
2
Isto e a regra da cadeia nos dão dA = dA dθ = 1 r 2 dθ
dt dθ dt 2
dt
(6)
Notemos em seguida que, como r = r cos θ i + rsenθ j + 0k , o vetor unitário u =(1/r) r pode expressarse na forma:
u = cos θ i + senθ j + 0k
Conseqüentemente,
du
dθ
dθ
= − senθ
i + cos θ
j + 0k
dt
dt
dt
8
Por um cálculo direto pode-se mostrar que
d u dθ
=
k
dt
dt
Se c é o vetor obtido na prova da primeira lei de Kepler, então, por (3) e pela última equação.
Temos que.
u×
(
)
c = r 2 u × du = r 2
c = c = r2
e então,
dθ
k
dt
dθ
dt
(7)
Combinando (6) e (7), vemos que
dA 1
= c
dt 2
(8)
isto é, a taxa a qual A é varrido por OP é constante. Isto estabelece a segunda lei de Kepler.
3.4- Prova da terceira lei de Kepler
Para provar a terceira lei de Kepler, conservaremos a notação usada nas demonstrações das
duas primeiras leis. Em particular, admitiremos que a órbita planetária seja dada pela equação polar
r=
p
1 + e cos θ
com p = c2/ (GM) e e = b/(GM).
Seja T o tempo necessário para que o planeta complete uma revolução em torno do Sol. Por
(8), a área varrida no intervalo de tempo [0,T] é dada por
A =
T
0
dA
dt =
dt
T
0
1
1
c dt = c T
2
2
9
Isto é também igual à área da região plana delimitada pela elipse. Entretanto, sabemos que a
área de uma elipse cujos eixos maior e menor têm comprimentos 2a e 2b, respectivamente, é dada por
ab, conseqüentemente,
1
2πab
cT = πab ou T =
2
c
Pelo apêndice 5, temos que a excentricidade está relacionada aos semi-eixos por
a 2e2 = a 2 − b2
T2 =
Assim,
(
)
(
)
ou b 2 = a 2 1 − e 2
4π 2 a 2 b 2 4π 2 a 4 1 − e 2
=
c2
c2
Da equação da elipse,
1 − e2 =
p
a
e então
4π 2 a 4 p
a
c2
2
Como mostrado na equação 5, p = c /(GM), isto se reduz a
T2 =
T2 =
4π 2 a 3
4π 2
= ka 3 , com k =
GM
GM
Está, assim, completa a prova.
10
5.Conclusão
Não esqueçamos que, em nossa demonstração das leis de Kepler, admitimos que a única força
gravitacional atuando sobre um planeta era a do Sol. Se levarmos em conta forças exercidas por outros
planetas, então podem ocorrer irregularidades nas órbitas elípticas. As irregularidades observadas no
movimento de Urano levaram o astrônomo inglês J. Adams ( 1819 – 1892 ) e o astrônomo fracês U.
Leverrier ( 1811 – 1877 ) a predizerem a presença de um planeta desconhecido, que estaria causando
tais irregularidades. Com base nessas predições, o planeta, posteriormente chamado Netuno, foi
observado pela primeira vez em 1846 pelo astrônomo alemão J. Galle.
Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de
1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do
movimento planetário desafiavam a astronomia e a física de Aristóteles e Ptolomeu. Sua afirmação de
que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos
planetas variavam, mudaram a astronomia e a física.
O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria
decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o
vácuo.
A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois quando
Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como Leis de Newton
e de sua Lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis,
que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.
Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas
devido à presença do Sol.
11
6. Apêndice
1-Propriedades do produto vetorial
i.
bxa=-(axb)
ii.
(ma) x b = m( a x b) = a x (mb)
iii.
ax(b+c)=(axb)+(axc)
iv.
( a + b) x c = (a x c ) +( b x c )
v.
(a x b).c = a.(b x c)
vi.
a x ( b x c ) = ( a.c)b – (a.b)c
2- Teorema I
“ Se r é diferenciavél e r (t ) é constante, então r ’(t) é ortogonal a r (t) para todo t no
domínio de r ’.”
3- Teorema II
“ Uma equação polar que tem uma das quatro formas abaixo representa uma seção cônica. A
cônica é uma parábola se e = 1, uma elipse se 0 < e < 1 ou uma hipérbole se e > 1.”
r=
p
1 ± e cos θ
,
r=
p
1 ± esenθ
4- Teorema III
“Se f é contínua e f( )
pelos gráficos de r = f( ), =
0 em [ , ], onde 0
e = é:
A=
5- Excentricidade
<
2 , então a área A da região delimitada
1
2
[
f (θ )] dθ
α 2
β
“ A excentricidade e de uma elipse é”
e = c/a = (raiz de a ao quadrado menos b ao quadrado)/ a
e2a 2 = a 2 − b2
e=
a2 − b2
a
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08-Bibliografia
•
Livro: Cálculo com Geometria analítica
Autor: Earl W. Swokowski
Editora: Makron Books
Volume 2
2º edição, 1994
•
Livro: Cálculo
Autor: James Stewart
Editora: Thomson Learning
Volume 2
5 º edição
•
http://www.if.ufrgs.br/~kepler/
Acessado em 02 de Julho de 2007
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