PROPOSTA DE APLICAÇÃO DOS TÓPICOS DE GRAVITAÇÃO
BASEADA NA PESQUISA DE MINERAIS
Amauri Marques dos Reis
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
RESUMO: Este artigo propõe a criação de um material didático complementar para o ensino de
tópicos de gravitação nos cursos técnicos de Mineração e Geologia, ao buscar o desenvolvimento de
um conjunto de aplicações teóricas baseadas em trabalhos profissionais que se utilizam da
Gravimetria, parte da Geofísica que estuda a relação das rochas com o campo gravitacional terrestre.
Para exemplificar a possibilidade de integração da prática escolar apresenta-se aqui como se
dá a relação do campo terrestre com a deformação da mola de um gravímetro e também a visualização
de mapas e perfis gravimétricos relacionados com a densidade das rochas
A proposta almeja que novos materiais didáticos de apoio aos professores possam se associar
aos conhecimentos de gravitação já existentes nos livros tradicionais de Física do Ensino Médio,
contextualizando-os com situações profissionais existentes na pesquisa de recursos minerais valiosos.
PALAVRAS-CHAVE: Gravimetria; Transposição Didática; Tópicos de Gravitação.
1- Introdução
Nos livros didáticos do Ensino Médio tradicional, encontra-se normalmente a análise
histórica dos conceitos de gravitação, mostrando as descrições do sistema solar desde a
Antiguidade, culminando com a Lei da Gravitação Universal feita por Newton e finalizando
com algumas de suas aplicações.
Para o detalhamento dessa lei, os textos encontrados nos livros didáticos, em sua
maioria, usam os exemplos do campo gravitacional nas proximidades da superfície da Terra e
a análise de corpos em órbita, sempre baseando em exemplos bem elaborados, mas que não
são contextualizados com as questões vividas no universo profissional dos técnicos de
mineração ou de geologia.
A proposta de associar as aulas de Física dos cursos técnicos de mineração e de
geologia com os conhecimentos de Gravimetria baseia-se na possibilidade de criar um
material contextualizado com a pesquisa de minerais valiosos. A pesquisa mineral é uma das
vertentes profissionais que os técnicos poderão ocupar no futuro. Consequentemente é
apresentada uma proposta para demonstrar que os conhecimentos presentes nas aulas de
Física tradicionais podem ser sintonizados com o mundo profissional, e esta é uma
necessidade trazida pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional nº 9.394/96
(BRASIL, 1996).
Esse material didático complementar proposto busca estudar os conceitos dos tópicos
de gravitação com exemplos retirados de dados da superfície da Terra, de modo que os alunos
possam visualizar aplicações das medidas do campo gravitacional e relacioná-las com a
densidade das rochas do interior do planeta.
Durante o decorrer do artigo são elaborados alguns exemplos para mostrar situações
contextualizadas com ensino de gravitação, tais como:
•
A relação do campo gravitacional com a deformação da mola de um gravímetro
(aparelho de grande complexidade e precisão), na qual este é tratado como uma mola
simples que obedece a Lei de Hooke, mostrando a dependência linear do valor do
campo gravitacional com a deformação da mola usada para medi-lo;
•
O tratamento do campo gravitacional em relação a um ponto de referência, mostrando
um mapa gravimétrico de uma região, que possibilita comparar os valores das
densidades das rochas abaixo da superfície a partir do campo gravitacional externo a
superfície;
•
A possibilidade de se obter a profundidade dos corpos rochosos, a partir da
sinuosidade das curvas geradas por corpos rochosos baseados em modelos esféricos;
•
A análise de três perfis esquemáticos baseados em modelos de camadas planas, nos
quais é possível perceber como estruturas rochosas ficam representadas pela relação
entre campo gravitacional em função da distância.
2- Referenciais teórico-pedagógicos
No decorrer dos últimos anos houve uma grande contribuição ao processo
educacional, principalmente após a implantação do Programa Nacional do Livro Didático
para o Ensino Médio (PNLEM), que recomendou coleções didáticas sintonizadas com a
política educacional vigente, priorizando o conteúdo de qualidade. Ainda assim, os livros
recomendados pelo PNLEM não estabelecem relação com as características específicas de
cada localidade, uma vez que estas devem estar envolvidas nas rotinas de sala de aula,
conforme orientação de Núñez:
O professor deve desenvolver saberes e ter competências para superar as limitações próprias dos
livros, que por seu caráter genérico, por vezes, não podem contextualizar os saberes como não
podem ter exercícios específicos para atender às problemáticas locais. É tarefa dos professores
complementar, adaptar, dar maior sentido aos bons livros recomendados pelo MEC. (NÚÑEZ,
2003, pág.3)
Por razões como a citada acima, as propostas apresentadas neste artigo para suprir
parte das carências dos livros didáticos são baseadas nos conceitos de Aprendizagem
Significativa de David Ausubel e de Transposição Didática de Yves Chevallard, que
fornecem teorias para o entendimento da estrutura cognitiva dos alunos e como elaborar
materiais didáticos a partir de um conhecimento não acessível, de maneira imediata, aos
estudantes.
A teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel (2003) preconiza que os alunos
conseguem mais facilmente adquirir novos conhecimentos pela interação dos conteúdos
apresentados em classe com os conceitos já existentes na estrutura cognitiva dos alunos
(conceitos subsunçores), para que estes sirvam como âncoras para a aprendizagem.
As premissas básicas de tal teoria são: o aluno deve ter uma pré-disposição em
aprender e a ele deve ser oferecido material significativo. A hipótese apresentada pela
proposta é que os alunos dos cursos técnicos de mineração e de geologia se interessam pela
Gravimetria, a qual poderá servir como organizador prévio do estudo dos tópicos de
gravitação.
Organizadores prévios são materiais introdutórios com um nível mais alto de
abstração, generalidade e inclusividade, para servir de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o
que deveria saber, cuja relevância é mostrada na citação a seguir:
1. A importância de se possuírem idéias relevantes, ou apropriadas, estabelecidas, já disponíveis
na estrutura cognitiva, para fazer com que as novas idéias logicamente significativas se tornem
potencialmente significativas e as novas idéias potencialmente significativas se tornem realmente
significativas (i.e., possuírem novos significados), bem como fornecer-lhes uma ancoragem
estável.
2. As vantagens de se utilizarem as idéias mais gerais e inclusivas de uma disciplina na estrutura
cognitiva como idéias ancoradas ou subsunçores, alteradas de forma adequada para uma maior
particularidade de relevância para o material de instrução. Devido à maior aptidão e especificidade
da relevância das mesmas, também usufruem de uma maior estabilidade, poder de explicação e
capacidade integradora inerentes.
3. O fato de os próprios organizadores tentarem identificar um conteúdo relevante já existente na
estrutura cognitiva (e estarem explicitamente relacionados com esta) e indicar, de modo explícito,
a relevância quer do conteúdo existente, quer deles próprios para o novo material de
aprendizagem. (AUSUBEL, 2003, p. 12)
Entretanto os tópicos de gravitação tratados rotineiramente em sala de aula são
distintos dos temas abordados na Gravimetria. Uma consequência de tal fato reflete-se na
impossibilidade de se estudá-la diretamente nas aulas de Física com os alunos dos cursos
técnicos. Por isso, para que se possa fazer a ligação entre conhecimentos é necessário fazer
uma re-contextualização, tornando os conhecimentos de Gravimetria possíveis de ser
assimilados pelos alunos.
Para fazer a mudança dos saberes científicos é bom ter o conhecimento do conceito de
transposição didática de Yves Chevallard, que parte da mudança do saber científico ao saber
ensinado em sala de aula.
Chevallard (apud BROCKINGTON e PIETROCOLLA, 2005) faz uma distinção entre
três esferas do saber: o Saber Sábio, o Saber a Ensinar e o Saber Ensinado
O Saber Sábio está relacionado ao mundo dos cientistas, logo uma percepção
necessária para elaboração deste trabalho é que o conhecimento de Gravimetria aplicado à
pesquisa de minerais de valor econômico encontra-se com os geólogos, geofísicos e com
outros profissionais que trabalham no estudo real da superfície da Terra. Esse conhecimento
de ponta em alguns casos não é publicado por sigilo e, em outros, está restrito a publicações
em revistas especializadas, anais de congressos e periódicos científicos.
O Saber a Ensinar trata da primeira mudança do conhecimento científico. Reflete-se
na literatura oferecida aos professores e aos alunos para uma linguagem mais próxima da
realidade destes. O conhecimento passa a ter novas estruturas, que devem conter a forma
didática para apresentá-lo aos alunos. Esses textos modificados vão aparecer em materiais
como os livros didáticos, os roteiros de estudo, os guias de laboratório, dentre outros materiais
educacionais (PAIS, 2008).
Finalmente, o Saber Ensinado, que é a parte final da transposição didática, não
coincide com aquele apresentado pelos professores e recebido pelos alunos, o Saber a
Ensinar. Consequentemente, os saberes ensinados na escola são formulados pela interação
entre o sistema escolar, o conhecimento científico e o entorno social. Portanto, para
elaboração desta proposta foi levado em conta a noosfera, a qual pode ser entendida a partir
da análise da citação a seguir:
O estudo da trajetória percorrida pelo saber escolar permite visualizar as influências recebidas do
saber científico, bem como de outras fontes. São influências que moldam não só o aspecto
conceitual como também didático, em consequência da defesa do pressuposto que as praxeologias
matemáticas e didáticas são indissociáveis. O conjunto das fontes de influências que atuam na
seleção dos conteúdos que deverão compor os programas escolares e determinam todo o
funcionamento do processo didático recebeu de Chevallard, o nome de noosfera, da qual fazem
parte cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes da
educação. O resultado do trabalho seletivo da noosfera resume-se não só à determinação dos
conteúdos, como também influencia a estruturação dos valores, dos objetivos e dos métodos que
conduzem a prática de ensino. (PAIS, 2008, p. 16)
Espera-se que a partir dos conceitos tratados neste artigo, os professores possam criar
materiais alternativos e de apoio didático para que seus alunos retenham mais facilmente as
informações referentes ao estudo dos tópicos de gravitação na sua estrutura cognitiva.
A seguir, apresentam-se quatro possibilidades de integrar o conhecimento existente
hoje nos livros didáticos e o conhecimento científico relacionado à Gravimetria em um novo
material didático para os cursos técnicos em mineração e geologia: “Determinando
experimentalmente a aceleração da gravidade”, “Gravidade relativa”, “Análise de um perfil
gravimétrico” e “Associação de perfis gravimétricos e rochas abaixo da superfície”
Essas possibilidades para integrar os conhecimentos profissionais transpostos ao
ambiente escolar têm finalidades como:
• Mostrar que a formulação da Lei de Atração dos Corpos da Gravitação Universal é
usada por profissionais da pesquisa mineral;
• Apontar a importância de pequenas flutuações dos valores do módulo do campo
gravitacional para a vida profissional de trabalhadores que pesquisam rochas e
minerais valiosos.
3- Determinando experimentalmente a aceleração da gravidade
Em trabalhos práticos, para analisar pontos internos à superfície deve-se levar em
conta a necessidade de instrumentos que dêem respostas a perguntas como:
• Qual a grandeza que se pode medir na superfície que dê informações sobre o que há
abaixo da superfície?
• Como interpretar os seus resultados?
Para responder a primeira pergunta pode-se afirmar que as rochas possuem
propriedades elétricas, magnéticas, dentre outras, que podem ser medidas através de
interações de campos elétricos e magnéticos gerados artificialmente ou mesmo campos de
origem natural.
Como a variação do campo gravitacional em um ponto da superfície terrestre depende
da densidade nas rochas abaixo do solo, uma grandeza a ser medida na superfície para estimar
o valor da densidade das rochas é o módulo do campo gravitacional.
A resposta para a segunda pergunta se dá a partir das análises e interpretações de
mapas e perfis que são comparados a outros que têm configurações já conhecidas. No caso da
Gravimetria serão gerados mapas e perfis criados através da medida do campo gravitacional
na superfície e corrigidos para uma mesma latitude e altitude.
Para a determinação do campo gravitacional com pouca precisão, existem várias
maneiras como o movimento harmônico de um pêndulo simples e o tempo de queda-livre de
um objeto, porém nos trabalhos gravimétricos são necessários valores do campo determinados
com rapidez e precisão, razões pelas quais se usa o gravímetro.
O gravímetro possui uma montagem bastante complexa, mas pode ser esquematizado
por uma mola de constante elástica K. Assim, para medir o campo gravitacional, o gravímetro
é colocado no ponto da superfície que se deseja determinar o campo, verificando a
deformação X da mola, como no esquema a seguir:
1) Posição de equilíbrio desconsiderando o campo gravitacional. 2) Mola deformada pelo peso da massa.
Figura 1: Deformação da mola pelo campo gravitacional.
Fonte: Reis (2010)
Para simular a leitura do gravímetro, na figura anterior, fica representada na situação 1
a posição de equilíbrio da mola sem a atuação do campo gravitacional, enquanto na 2 é
mostrado o sistema em equilíbrio pela ação da força peso, de modo que a resultante das forças
(peso e elástica) é nula. Uma conseqüência dessa representação de equilíbrio é que o módulo
da força elástica é igual ao do peso da massa.
O conjunto de equações anteriores, à direita do desenho, mostra que a aceleração da
gravidade g pode ser medida diretamente, constituindo-se em uma relação linear da
deformação da mola X, em que constante de proporcionalidade é a razão entre a constante
elástica da mola K e a massa de prova m. A partir destas equações é possível calibrar a mola,
de modo que ela possa fazer a leitura direta do módulo do campo gravitacional.
Uma unidade normalmente utilizada nas medidas em estudos gravimétricos é o
miliGal, que é a milésima parte do Gal, nome dado em homenagem a Galileu Galilei,
constituindo na unidade de medida do campo gravitacional no sistema c.g.s (1Gal=1cm/s²).
Como se pode perceber pela unidade de trabalho acima, para fazer a leitura de valores
do campo gravitacional com tamanha precisão, a mola do gravímetro deve ter grande
sensibilidade e estar acoplada a outros mecanismos que permitam seu equilíbrio para leitura
do campo gravitacional absoluto.
Porém, nos trabalhos de pesquisa mineral, nem sempre o que se quer saber é o valor
absoluto do módulo do campo gravitacional em um ponto, mas sua configuração espacial e
confrontar com valores de pontos de referência, por isso são feitas várias medidas em toda a
área da pesquisa mineral. Em seguida serão criados mapas com curvas de mesmo valor de
gravidade relativa, como poderá ser visto no próximo tópico.
4- Gravidade relativa
O campo gravitacional em um ponto é devido à soma vetorial das parcelas geradas por
todas as massas ao seu redor. Consequentemente, o campo gravitacional em um ponto da
superfície terrestre tem seu valor dependente de todas as massas que estão presentes desde a
superfície até a parte central da Terra.
O tópico anterior mostrou que é possível medir o campo gravitacional a partir da
deformação de uma mola e sugeriu que é interessante trabalhar com valores relativos do
campo gravitacional. O tratamento pelo valor absoluto deve ser evitado porque como o campo
varia na ordem de grandeza do miliGal, os mapas gerados a partir dos valores absolutos
ficariam sobrecarregados de informações que dificultariam a visualização e a análise dos
mesmos.
Para a facilitação da análise de mapas gravimétricos, os geofísicos usam valores de
gravidade relativa, que é a diferença dos valores do campo entre os pontos da região e outro
de valor conhecido, que servirá de referência para os trabalhos.
Uma forma de entender a necessidade do uso do conceito de gravidade relativa é
através de um modelo esférico do planeta, como mostrado a seguir, em que os centros de
gravidade das massas m1 a m4 são concêntricos e a massa m5 é colocada para representar uma
descontinuidade portadora da riqueza mineral.
Figura 2: Representação esquemática da Terra
Fonte: Reis (2010)
No modelo, para a determinação do módulo do campo gravitacional usa-se nos
cálculos os valores das massas dos materiais do núcleo interno (m1), núcleo externo (m2), do
manto (m3), da crosta terrestre (m4) e da descontinuidade (m5).
Em cálculos simplificados pode-se até desprezar a massa m5, porém é justamente ela a
procurada na pesquisa mineral, uma vez que é a portadora da riqueza mineral e que mostrará a
anomalia procurada no campo gravitacional, logo é necessário obter o valor de pequenas
variações do campo gravitacional.
Essas pequenas variações são materializadas nos valores da gravidade relativa, a qual
tem a sua determinação representada pelo desenho a seguir, nos quais são feitas medidas em
um ponto com o valor do campo gravitacional g2 e compará-la a outro ponto cujo campo é g1.
Observa-se que na situação 2 é colocada uma maior quantidade de massa para gerar
um maior campo gravitacional em tal ponto, podendo assim comparar os valores como nos
cálculos a seguir:
Figura 3: Esquema para o cálculo da gravidade relativa
Fonte: Reis (2010)
em que ∆g é denominado gravidade relativa, K é a constante elástica da mola, X a
deformação e m a massa de prova.
Essa equação mostra que é possivel fazer a leitura direta do valor da gravidade
relativa, deste modo pode-se adotar o valor da gravidade do ponto de referência como sendo
zero. Uma consequencia são que pontos que possuam maiores massas, como corpos rochosos
de maiores densidades darão valores de gravidade relativa positivos, enquanto os de menores
densidades darão valores negativos.
Tomando-se valores de gravidade relativa em diversos pontos dos alvos em que se faz
a pesquisa mineral, similarmente como se traçam curvas de nível quando se faz mapas
altimétricos, faz-se mapas de linhas de mesmo valor da gravidade relativa. Esses mapas
mostram um plano hipotético que considera os valores de gravidade relativa corrigidos para
uma mesma altitude e latitude, possibilitando a comparação entre eles, como mostrado no
mapa a seguir:
Figura 4: Mapa de linhas de mesmo valor do campo gravitacional.
Fonte: Adaptado de Pinto; Ussami; Côgo de Sá (2007)
É possível notar que existem linhas com o valor da gravidade relativa negativo. Isso
implica que nesta região deve haver rochas próximas a superfície de menor densidade que o
valor de referência. Analogamente, nas curvas com valores positivos está associada com
rochas mais densas.
Uma consequencia para a pesquisa mineral está no fato que se os profissionais
quizessem pesquisar rochas com densidades menores deveriam concentrar seus trabalhos na
região de gravidade relativa negativa, em caso contrário na região de gravidade relativa
positiva.
Esses mapas são as bases para os perfis gravimétricos, os quais são elaborados a partir
das curvas e permitem inferir a profundidade e as massas dos corpos rochosos, desde quando
comparados com formas de corpos rochosos já conhecidos, como veremos no próximo tópico.
4- Análise de um perfil gravimétrico
Para analisar as respostas de corpos de massas e profundidades diferentes em um
perfil gravimétrico, pode-se analisar o esquema a seguir de uma seção de uma superfície,
obtidos através de distâncias horizontais iguais (L=10m). Há então a simulação das medidas
do campo gravitacional para dois corpos, um de massas m1 e outro m2=4m1, sendo que o
corpo de massa m2 está a uma profundidade duas vezes maior do que o de massa m1.
A análise do campo gravitacional é mostrado a seguir:
A distância das massas a um ponto da superfície é
·, o campo gerado por uma massa esférica é
dado
por
logo
e
consequentemente
Figura 5: Representação da prundidade das massas m1 e m2
Fonte: Reis (2010)
Uma vez que usa-se o gravímetro na vertical, não interessa para fins de pesquisa
mineral a variação do campo gravitacional com a horizontal, portanto a análise é feita para a
componente vertical do campo. Vê-se a seguir a decomposição e o cálculo da componente
vertical do campo gravitacional:
Em que gpy é a componente vertical do campo gravitacional em um ponto
da superfície, m é a massa geradora do campo, h é a profundidade do
centro de gravidade da massa e α é o ângulo entre h e r.
Figura 6: Componente vertical do campo gravitacional
Fonte: Adaptado de Reis (2010)
Caso fosse feita a análise para o ponto P5, seria verificado que a razão entre as massas
e os quadrados das distâncias a esse ponto é a mesma para ambas as massas.
Consequentemente, o campo gravitacional em tal ponto não traria informações precisas de
qual das massas produziria tal campo.
Para ter mais informações sobre a profundidade da massa, usa-se a configuração
espacial do campo devido a massa abaixo da superfície. É possível notar que à medida que se
afasta do ponto P5, a razão entre as massas e o quadrado da distância varia mais lentamente
para a massa mais profunda, logo o campo variará similarmente.
Objetivando materializar as observações acima foram lançados em planilha eletrônica
os seguintes dados relativos aos pontos Pi da figura 5: m1=106kg, m2=4x106kg, h=10m, a
constante gravitacional G=6,7x10-11N.m2/kg² e L=10m. Deste modo foram obtidos dois perfis
gravimétricos, enquanto a curva inferior refere-se a massa m1, a superior é obtida pelos
valores de m2.
Figura 7: Perfis gravimétricos de m1 e de m2
Fonte: Adaptado de Reis (2010)
Como se percebe pela figura anterior o módulo da componente vertical do campo
gravitacional devido a qualquer uma das duas massas em P5 possui o mesmo valor. Porém, a
medida que se vai afastando em direção aos demais pontos o valor do campo gravitacional
devido a maior massa (m2) varia mais suavemente.
Considerando que a densidade das rochas mineralizadas sejam maiores que as rochas
encaixantes, elas oferecerão uma curva com a convexidade para cima, sendo a curvatura mais
suave quanto mais profunda estiver a rocha.
4- Associação de perfis gravimétricos e rochas abaixo da superfície
Os três esquemas a seguir representam associações rochosas com seus devidos perfis
gravitacionais.
Esquema 1
Esquema 2
Esquema 3
Figura 8: Modelos de perfis gravimétricos
Fonte: Adaptado de Reis (2010)
O esquema 1 mostra uma camada rochosa aproximada por uma placa horizontal
infinita, pois tem seu comprimento e largura muito maiores que sua espessura e a parte
analisada está longe das borda. A equação usada para calcular o módulo do campo
gravitacional gerado na superfície por esse tipo de camada segundo Cargnelutti (2007) é:
onde g é o módulo do campo gravitacional, ρ é a densidade média estimada das rochas e h é a
espessura da camada rochosa. Consequentemente, na parte superficial se puder considerar a
densidade e altura da camada constantes, o campo resultante também será constante como no
gráfico do esquema 1.
O esquema 2, aproxima-se mais das rochas existentes e
tem um bom nível de
aproximação de algumas ocorrências rochosas encontradas na natureza, tais como a
sobreposição de camadas de rochas sedimentares, falhamentos e dobramentos. A figura
mostra a superposição de dois planos de massas diferentes (m1 e m2) e densidades (ρ1 e ρ2)
diferentes superpostos. Assim o campo à esquerda sofre uma maior influencia da massa m1,
aproximando da curva de uma única camada horizontal, passa a aumentar gradualmente na
parte central pela influência da massa m2, chegando à direita novamente com a configuração
similar a inicial, porém gerada por duas camadas.
O esquema 3 mostra uma associação rochosa comum na prospecção de petróleo, que é
bem conhecida pelos geólogos. O petróleo é associado na com frequência aos domos salinos
(material composto essencialmente por cloreto de sódio) que tem menor densidade do que as
rochas sedimentares em suas proximidades. O gráfico então mostra a queda do módulo do
campo gravitacional nas proximidades do domo salino.
A partir destes esquemas e outros mais sofisticados, há a associação do campo
gravitacional com as rochas que estão abaixo da superfície e os pesquisadores poderão tomar
as decisões dos lugares nos quais deverão ser concentrados os futuros trabalhos de pesquisa
mineral.
5- Conclusões
Espera-se que os professores, a partir dos conceitos apresentados nesta proposta sejam
capazes de reorientar sua prática educativa, podendo contextualizar os temas abordados em
sala de aula com os trabalhos profissionais, neste caso, em especial em estudos relacionados a
pesquisa de recursos minerais valiosos pela Gravimetria.
Como se presume que os técnicos de mineração se interessam pela pesquisa mineral,
esta proposta possibilita algumas aplicações profissionais no conteúdo de Física, que poderá
fornecer aos professores a possibilidade da criação de exercícios embasados na Gravimetria,
relacionando principalmente o campo gravitacional externo com as rochas abaixo da
superfície terrestre.
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