A penetração de campos em meios condutores
I. INTRODUÇÃO
Os fenômenos eletromagnéticos que variam no tempo são
abordados na magnetodinâmica. A equação de maior
interesse e que caracteriza o domínio da “quase-estática” é:
r
r
∂B
∇×E = −
∂t
(1)
De acordo com a equação (1), a variação temporal da
indução magnética B cria um campo elétrico E. A equação
acima contempla duas importantes leis: a lei de Faraday e a
lei de Lenz. Sua forma mais conhecida é
e(t ) = −
dΦ
,
dt
(2)
conhecida como lei de Faraday. O sinal negativo do
segundo membro da equação (1) é decorrente da lei de
Lenz.
Para se ter uma idéia da vasta gama de aplicações da
equação (1), vale citar:
• a lei de Faraday está relacionada com o princípio de
conversão de energia para a forma elétrica;
• a lei de Lenz está relacionada às correntes induzidas que
circulam em meios condutores.
Os problemas abordados pela magnetodinâmica são,
praticamente, todos tridimensionais devido à ortogonalidade
entre os campos vetoriais B e E.
II. A PENETRAÇÃO
CONDUTORES
DE
CAMPOS
EM
MEIOS
A teoria da penetração de campos explica o comportamento
no espaço e no tempo das grandezas eletromagnéticas em
meios condutores, ferromagnéticos ou não.
Partindo-se das equações de Maxwell, é possível obter
equações diferenciais parciais de 2ª ordem que expressam
as variações no espaço e no tempo dos campos vetoriais H,
B, E e J.
r
r
∂P
∇ 2P = σµ
∂t
(3)
σ : a condutividade elétrica do meio onde se analisa o
fenômeno da penetração;
µ : a permeabilidade magnética.
O campo vetorial genérico P assume o papel das variáveis
H, B, E e J.
A equação acima é conhecida como a equação da difusão
para campos eletromagnéticos.
Para facilitar a análise do conjunto de equações que
descreve o fenômeno de penetração - ou atenuação - de
campos em meios condutores, são feitas duas hipóteses
simplificadoras:
• O campo vetorial cuja atenuação está sendo analisada
varia senoidalmente;
• A região condutora onde ocorre a atenuação do campo é
um bloco semi-infinito, limitado pelo plano xy, como
mostra a ilustração da Fig. 1.
• A redução do comprimento das setas à medida que
aumenta a distância da superfície do bloco sugere a
atenuação do campo P. A inversão na direção das setas
sugere a primeira inversão de fase da onda senoidal que
representa o campo genérico P.
• O campo P se extingue logo após a primeira inversão de
fase.
Figura 1 – Atenuação e inversão de fase do campo P.
III. A EQUAÇÃO DE DIFUSÃO PARA J
Essa escolha baseia-se na importância para a ciência e
engenharia que se atribui à análise da distribuição das
correntes induzidas em meios condutores e seus efeitos
que, na prática, se manifestam através de:
• dissipação de energia sob a forma de calor no meio
condutor;
• alteração da distribuição do campo na região condutora e
em seu entorno, devido à reação do campo magnético
criado pelas correntes induzidas;
• produção de forças e torques devido à interação entre os
campos indutor e induzido.
A equação da difusão quando formulada em termos de J
assume a forma
∂J
∂t
∇ 2J = σµ
(4)
ou
∇ 2 J − σµ
∂J
= 0.
∂t
(5)
A profundidade de penetração δ em um meio condutor é
definida como
δ=
2
σµω
,
(6)
onde ω é a frequência da pulsação do campo indutor
externo. A equação (5) reformulada em termos da
profundidade de penetração assume a seguinte forma:
∇ 2J − j
2
δ
2
J = 0.
(7)
onde j é o operador que imprime uma rotação de + 90º.
A solução da equação (7) é muito difícil e, para facilitar a
análise do fenômeno de circulação de correntes, somente o
fluxo de correntes induzidas em uma dimensão será
considerado.
IV. ANÁLISE
INDUZIDAS
UNIDIMENSIONAL
DE
CORRENTES
Na ilustração, um campo elétrico externo e alternado E0 se
distribui ao longo de toda a camada de ar adjacente à
fronteira superior do bloco condutor; E0 possui somente
uma componente, na direção x.
Figura 2 – E e J na fronteira ar-condutor.
Devido à continuidade da componente tangencial de E0
• E0 também está presente na parte interna da fronteira,
como mostra a ilustração;
• No ar, tem-se σ=0 e, portanto, J0=0.
• Na parte interna do bloco a condutividade σ não é nula e
flui uma corrente associada ao campo elétrico E0 é
J 0 = σE 0 .
(8) [Lei de Ohm]
------------------------------------------------------------------------------
• J0 possui somente uma componente, Jx, na direção x.
• Jx não varia nas direções x e y, mas varia com a distância
z da superfície do bloco condutor.
Fig. 3 – Jx varia com a profundidade z.
• Essa variação é descrita por uma forma particular da
equação de difusão:
∂ 2J x (z)
∂z
2
−j
2
δ
2
J x ( z ) = 0.
(9)
A solução dessa equação é
J x ( z, t ) = J0e
−z
δ
cos(wt − z ).
δ
(10)
• A equação (10) representa uma onda senoidal com
amortecimento.
• A amplitude da onda é J0e-z/t e sua fase é –z/δ.
• À medida que E e J penetram no bloco, a amplitude da
onda diminui, ocorrendo também uma mudança na fase,
como ilustra a Fig. 4.
Figura 4 - Atenuação e defasagem de J com a profundidade.
Amplitude de Jx
Quando z = δ, a amplitude é
J 0e
−δ
δ
=
J0
≅ 0,37J0 ,
e
(11)
• Na profundidade δ, Jx é somente 37% do valor da
corrente na superfície do bloco.
• Jx se torna desprezível para z=3δ, e sua magnitude é algo
em torno de 5% do seu valor na superfície.
• Esse fenômeno é conhecido como efeito
pelicular.
Fase de Jx
Para entender melhor a questão do atraso de fase que
ocorre à medida que se penetra no bloco condutor, vale
observe novamente a equação (10):
J x ( z, t ) = J0e
−z
δ
cos(wt − z ).
δ
(10)
• O argumento da função cosseno varia à medida que a
profundidade z aumenta.
• Essa variação do argumento (wt-z/δ) faz o cosseno variar
entre -1 e +1.
• Sejam z1 e z2 duas profundidades tais que
• Para z=z1, cos(wt-z1/δ)=+1
• Para z=z2, cos(wt-z2/δ)=-1. A variação de J é:
Fig. 5 – Correntes em diferentes profundidades.
• A amplitude de J2 é menor devido à atenuação;
• A defasagem entre J1 e J2 é de 180 graus.
• Quando se considera o efeito combinado da atenuação
exponencial e do atraso de fase, a imagem geométrica e
temporal da equação (10) é a de um movimento
harmônico amortecido, conforme ilustração da Fig. 6.
Figura 6 – Analogia entre fenômenos.
• Tal imagem é análoga à de uma corda com uma
extremidade fixada a uma parede e a outra extremidade
submetida a um movimento variável de sobe e desce.
• Tem-se assim a propagação de uma onda que se atenua
e cujo movimento se extingue no ponto de fixação.
• A análise do fenômeno de penetração de campos
apresentada acima é igualmente válida para os campos
vetoriais H, B e E.
• A profundidade de penetração δ é a mesma para esses
outros três campos vetoriais; todos sofrem a mesma
atenuação e se extinguem na mesma profundidade z.
• Os campos H e B são perpendiculares a J e E.
• Essa ortogonalidade é expressa matematicamente pelo
operador rotacional que liga [ J com H ] e [ E com B ].
Figura 7 – Ortogonalidade entre campos vetoriais.
V. UM SISTEMA DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA
Uma vista tridimensional do acionador empregado em um
sistema de levitação magnética é apresentada na Fig. 8.
• O acionador é formado por um núcleo em forma de E, um
enrolamento e uma armadura móvel. O material que
constitui o núcleo é ferromagnético (µr=2500) e isolante.
• A armadura móvel possui 1,0 cm de altura e a
profundidade do dispositivo, na direção z, é de 6,0 cm. O
comprimento do entreferro é 2,0 milímetros.
• O acionador é excitado por uma corrente de 5,0 ampères
que circula em um enrolamento de 600 espiras.
Figura 7 – Acionador magnético
O modelo bidimensional do acionador é mostrado na Fig. 8.
• O objetivo da análise é examinar como a frequência de
operação afeta o funcionamento do acionador.
• A força que age no prato móvel é calculada para
diferentes frequências de operação
• Também é feita uma análise da distribuição das correntes
induzidas que surgem no prato.
• Um item muito importante para a análise é a profundidade
de penetração - que é definida a partir dos valores da
condutividade elétrica σ e permeabilidade magnética µ.
• O meio material que forma o prato móvel é uma liga de
níquel com
σ=1,0x106 S/m
µr=600
• A condutividade pode ser comparada à do cobre, que é
57,7x106 S/m. Também a permeabilidade magnética deve
ser comparada às permeabilidades das ligas de ferro
doce e ferro-silício que valem 5000 e 7000,
respectivamente.
• Ou seja, a região onde é feita a análise da formação de
correntes
induzidas
possui
condutividade
e
permeabilidade magnética relativamente baixas. Esperase, pois, que a profundidade de penetração seja
relativamente grande.
Figura 8 – Modelo bidimensional do acionador.
VI. RESULTADOS NUMÉRICOS
(a) Mapeamento da distribuição das correntes induzidas
Na análise bidimensional, as correntes induzidas fluem na
direção z, ou seja, entrando no plano do papel.
Figura 9 – Efeito da frequência na distribuição de correntes
induzidas.
• Nesse
mapeamento,
observa-se
um
aumento
considerável das correntes mais intensas nas
proximidades da borda superior do prato, quando a
frequência muda de 60 para 120 Hz. Por outro lado, as
diferenças das distribuições associadas às frequências de
120 e 300 Hz são quase imperceptíveis.
• Para operação em corrente alternada, a força líquida que
age no prato móvel é o resultado da interação de dois
campos magnéticos. O primeiro é criado pela corrente de
5,0 ampères que circula no enrolamento principal; o
núcleo em E, altamente permeável, permite a circulação
desse campo que cruza o entreferro e procura penetrar no
prato móvel. O outro campo magnético é criado pelas
correntes induzidas se opõe à penetração do fluxo
magnético no prato móvel.
Figura 10 – Efeito da frequência na força que age no prato
móvel.
Quando a frequência é nula, não existe reação à
penetração do fluxo no prato móvel; no caso, a força que
tende a elevar o prato é de 859,95 N. Já na operação em
corrente alternada, mesmo para frequências bem baixas, o
campo devido às correntes induzidas – o campo induzido começa a bloquear a penetração do fluxo e a força líquida
que age sobre o prato cai bruscamente. A observação
atenta do gráfico mostra que para uma frequência tão baixa
quanto 3 Hz a força líquida cai para 429,74 N. Esse valor
representa algo em torno de 50% da força para operação
em corrente contínua.
Embora o aumento da frequência de operação tenha uma
influência pequena no valor da força líquida desse
acionador, outras grandezas podem sofrer alteração
considerável. É o que mostra o gráfico da Fig. 11, que
representa o aumenta das perdas ôhmicas à proporção que
a frequência de operação aumenta.
Figura 11 – Perdas ôhmicas devido às correntes induzidas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] J.P.A. Bastos, Eletromagnetismo para engenharia:
estática e quase-estática, Editora da UFSC, Florianópolis,
2004, 1ª ed, p. 227-256.
[2] 2D Case Study (Static Problems – Translational
Geometry), E-core actuator, Infolytica Co., Available:
http://www.infolytica.com/en/markets/appspec/cstudies/Ecore%20actuator_2Dcs.pdf.
[3] D. Meeker, FEMM 4.0 Magnetics and Electrostatics,
Reference manual, (2006). Available: http://femm.fostermiller.net/wiki/HomePage.