UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROJETO NOVO INGRESSO – 2006
DISCIPLINA MATEMÁTICA BÁSICA 2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – Lista 1
Prof. Florêncio F. Guimarães Filho
1) Dados dois pontos A , B da reta orientada, define-se a distância orientada ρ ( A , B ) pondo
ρ ( A , B ) = d ( A , B ) , se A estiver à esquerda de B e ρ ( A , B ) = −d ( A , B ) , se A estiver à direita de B e
ρ ( A , B ) = 0 , se A = B . Prove que se tem ρ ( A , B ) + ρ (B , C ) + ρ (C , A ) = 0 , para quaisquer pontos A , B , C
da reta.
2) Sejam a = 27 , c = 41 as coordenadas dos pontos A , B situados sobre uma reta orientada. Determine as
coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em 7 partes iguais.
3) Diz-se que um ponto X divide o segmento AB na média e extrema razão (ou na divisão área) quando se
d (A , B ) d (A , X )
=
. Geometricamente isto significa dividir o segmento AB em dois segmentos de modo
tem
d (A , X ) d (X , B )
que os comprimentos obtidos estejam na seguinte proporção: AB está para o maior assim como o maior está
para o menor.
A
B A
X X
B
Sejam a < x < b respectivamente as coordenadas do ponto A , X , B no eixo E . Supondo que o ponto X
divide o segmento AB na média extrema razão calcule x em função de a , b . Ache o valor de x para o caso
a = 0 e b = 1.
4) Usando a igualdade d( X , Y ) = x − y
equações:
a) x − 2 = 3
na reta, encontre, justificando, o conjunto solução das seguintes
b) x − 2 < 3
c) x − 2 > 3
d) x + 6 ≤ 8
e) x − a = r , r > 0
f) x − a < r , r > 0
g) x − a > r , r > 0
h) x + 17 = x − 9
i) x − 3 = 2 x − 8
j) x − 3 + x − 8 = 5
k) x − 3 + x − 8 < 5
l) x − 3 + x − 8 > 5
m) x − 3 − x − 8 = 5
n) x − 8 − x − 3 = 5
o) x − 8 − x − 3 < 5
p) x − 8 − x − 3 > 5
5) Esboce o conjunto dos pontos da reta cujas coordenadas x satisfazem a cada uma das condições abaixo.
a) x − 2 + x − 4 = 2x − 3
b) x − a + x − b = b − a , a < b
g) x − a − x − b = b − a , a < b .
h) x − a − x − b = a − b , a < b .
6) Sabe-se que f : R → R é uma isometria, que f (0) = b e f (1) = c , onde c < b .
a) Ache o valor de c em função de b.
b ) Determine a expressão de f (x ) em função de b, para todo x ∈ R .
7) Na figura abaixo, o retângulo está dividido em quadrados e o lado maior está dividido na média e extrema
razão. Cada figura dentro do quadrado é uma redução da figura no quadrado anterior.
Resolva:
a) Se o lado menor do retângulo mede 1 ache o valor x do lado maior
b) Mostre que o retângulo maior é semelhante ao retângulo menor obtido dele quando se retira o quadrado.
c) Conclua que em todos os retângulos o lado do quadrado divide o lado maior na média e extrema razão.
d) Qualquer retângulo pode ser ampliado e ficar semelhante à figura inicial.
Obs: Conchas, caracóis, chifres de animais e outras figuras geométricas da natureza são modelados por esta
proporção. Observe que por esse padrão, se cada quadrado é uma etapa da construção, sempre há um
espaço reservado para a construção da etapa seguinte. A figura permanece no retângulo maior e não invade
as regiões anteriores. Este modelo pode explicar o crescimento de bons chifres em animais. As pontas que
servem como defesa não encostam em outras partes, e nenhum dos dois chifres invade a região do outro.
Animais que não desenvolveram, através da evolução, chifres por este modelo desenvolveram algum tipo de
atrofia e provavelmente não sobreviveram.
8) O objetivo deste exercício é dar uma prova algébrica de as únicas isometrias da reta são as translações e
as simetrias. Uma prova geométrica deste resultado está dada na solução do Ex. 2.6, pág. 219 do livro texto.
Seja f : R → R uma isometria da reta, isto é, f (x ) − f (y ) = x − y para todo x , y ∈ R . Prove as seguintes
etapas que constituirão a demonstração:
a) Dada a isometria f : R → R , defina g : R → R pondo g (x ) = f (x ) − f (0) , para todo x ∈ R . Mostre que
g é também uma isometria.
b) Mostre que g (x ) = x , para todo x ∈ R e conclua dessa igualdade que g (1) = ±1 .
c) Mostre g (x ) 2 = x 2 , para todo x ∈ R .
d) Eleve ao quadrado ambos os membros da igualdade g (x ) − g (y ) = x − y e conclua que g (x ) ⋅ g (y ) = xy
para todo x , y ∈ R .
e) Faça x = 1 na igualdade g (x ) ⋅ g (y ) = xy e use g (1) = ±1 para concluir que só há duas possibilidades: i)
g (x ) = x para todo x , se g (1) = 1 ou ii) g (x ) = −x para todo x , se g (1) = −1 .
f) Ache f (x ) em cada caso i) e ii) e conclua que f é uma translação ou uma simetria.
g) Reescreva toda a demonstração juntando os passos, mas sem descrever os itens.
Sugestões e respostas.
1) Mostre que se a , b são as coordenadas dos pontos A , B , respectivamente, então ρ ( A , B ) = b − a . 2)
5 −1
5 −1
; x =
. 4) a)
2
2
{a − r , a + r } ; f) (a − r , a + r ) ; g)
x 1 = 29 , x 2 = 31 . x 3 = 33 , x 4 = 35 , x 5 = 37 , x 6 = 39 . 3) x = a + (b − a )
{−1,5} ;
b) (−1,5) ; c) (−∞,−1) ∪ (5,+∞) ; d) [−14 ,2] ; e)
(−∞, a − r ) ∪ (a + r , ∞) ; h) −4 ; i) 13 e 19 / 3 ; j) [3,8] ; k) Φ ; l) (−∞,3) ∪ (8,+∞) ; m) (8,+∞) ; n) (−∞,3) ;
o) (3,+∞) ; p) Φ ; 5) a) x = 2,5 . Divida a reta em 4 regiões: x ≤ 1,5 ; 1,5 < x < 2 ; 2 ≤ x ≤ 4 e x > 4 . Ache
as soluções de cada região e reúna todas as soluções; b) [a , b ] ; c) [b , ∞) ; c) (−∞ , a ] ;
6) a) De f (1) − f (0) = 1 − 0 = 1 obtemos b − c = 1 . Como c < b , temos b − c = 1 , isto é, c = b − 1 ; b)
Como f (0) > f (1) , segue-se que f inverte a orientação da reta. Logo f é uma simetria e f (x ) = 2a − x ,
para todo x ∈ R . Fazendo x = 0 encontramos 2a = b , portanto f (x ) = b − x , para todo x ∈ R .
1+ 5
= 1,618 , aprox.; b) A razão dos lados do retângulo maior é x. A razão dos lados do
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retângulo da direita é 1 /(1 − x ) . Da divisão áurea temos x / 1 = 1 /(1 − x ) , logo esses retângulos são
7) a) x =
semelhantes; d) Qualquer retângulo está dividido pela razão áurea, logo é semelhante ao maior.