UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍIRITO SANTO
COLEGIADO DO CURSO DE MATEMÁTICA
PROJETO NOVO INGRESSO – 2004
DISCIPLINA MATEMÁTICA BÁSICA II
Exercícios Complementares – Lista 4
Prof. Florêncio F. Guimarães Filho
Vetores e produto interno
1) Dados o centro O e o vértice A de um quadrado, ache as coordenadas dos outros vértices
para
a) O = (15, 21) e A = (75,−82) .
b) O = ( 3 + 1, 2 ) e A = (1 + 2 + 3 , 2 + 3 ) .
2) Dados o centro O e o vértice A de uma hexágono regular, determine os outros vértices para
a) O = (0,0) e A = (3,4)
b) O = (4,7) e A = (6,8)
3) Ache as coordenadas do vértice C de um paralelogramo ABCD sabendo-se que A = (3,4) ,
B = (8,9) e D = (−2,6) .
4) Mostre que AB + BC + CD + DA = 0 . Em geral mostre que A 1 A 2 + A 2 A 3 + L + A n A 1 = 0 .
4) Num triângulo ABC seja M o ponto médio do lado AC , seja N o ponto médio do lado
BC e seja G o ponto de interseção das medianas AN e BM .
a) Mostre que GA + GB + GC = GA + 2 ⋅ GN = GB + 2 ⋅ GM
b) Conclua que GA + GB + GC = λ ⋅ GA = µ ⋅ GB .
c) Conclua que λ = µ = 0 . Portanto GA + GB + GC = 0 .
C
N
M
G
A
B
d) A partir do item anterior demonstre o Teorema do Baricentro: Num triângulo, as
medianas se encontram num ponto, denominado baricentro. Além disso, o segmento que
liga o vértice ao baricentro é o dobro do segmento que liga o baricentro ao ponto médio
do lado oposto.
5) Prove a recíproca do teorema do baricentro: Num triângulo ABC , se P é um ponto tal que
PA + PB + PC = 0 , então P é o baricentro do triângulo.
6) Num triângulo ABC sejam M o ponto médio do lado AC e N o ponto médio do lado BC .
a) Mostre que MN =
1
⋅ AB .
2
b) Mostre que se P é um ponto sobre o lado BC tal que MP = λ ⋅ AB , então P = N e
λ = 2.
C
M
N
A
B
c) Demonstre o Teorema da Base Média: Num triângulo o segmento que liga os pontos
médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado. Reciprocamente, a reta que paralela
à base e passa pelo ponto médio de um lado corta o outro lado no ponto médio deste.
7) Mostre que num quadrilátero ABCD , se M , N , R, S são os pontos médios dos lados
AB, BC , CD, DA , respectivamente, então o quadrilátero MNRS é um paralelogramo.
8) Use a igualdade 12 2 + 5 2 = 13 2 para construir um triângulo isósceles retângulo ABC de lado
igual a 13 e cujo vértice é A = (−3,7) .
)
9) Dados os pontos A = (2,2) , B = (2 + 3 ,1) e B = (2 − 3 ,−1) , ache os ângulos A , B̂ , Ĉ .
10) Dados A = (3,−1) , B = (−5,9) e C = (12,6) , descubra quais ângulos do triângulo ABC são
agudos.
11) Sejam u e v vetores de mesmo comprimento.
a) Mostre que u + v e u − v são ortogonais.
b) Mostre que ang(u , u + v) = ang(u + v, v) .
c) Conclua que as diagonais de um losango são perpendiculares e também são bissetrizes
dos lados.
Obs: Diz-se que os vetores (elementos algébricos) são ortogonais quando seu produto
interno é igual a zero, isto é, quando os segmentos orientados correspondentes (elementos
geométricos) são perpendiculares.
12) Dados os pontos A = (−1,2) , B = (−7,10) e C = (4,14)
a) Ache o vetor w igual a soma dos unitários dos vetores AB e AC .
b) Determine a equação paramétrica da bissetriz das retas AB e AC .
13) Usando vetores ache a equação das bissetrizes:
a) das retas que passam por P = (2, 3) e são paralelas respectivamente aos vetores
u = (24 , 7) e v = (20,15) .
b) das retas dadas pelas equações 4 x + 3y = 10 e 6 x − 8y = −10 .
c) das retas AB e AC , onde A = (1,1) , B = (3, 2) e C = (3, − 3) .
14) Ache o pé da perpendicular baixada do ponto P = (5,8) sobre a reta 3x − 2y = 25 .
15) Ache um vetor v perpendicular à reta r e um vetor u paralelo à reta r :
a) dada pela equação 3x − 7 y = 8 .
b) que passa pelos pontos A = (2,3) e B = (7,−2)
c) que passa pelo ponto P = (1,1) e é paralela à reta 5 x − y = 1 .
16) Ache uma equação paramétrica para a reta que passa pelo ponto
a) A = (3,−1) e é paralela à reta 2 x − 3 y = 7
b) A = (5,4) e é perpendicular à reta x + 2 y = 5
17) Dados o paralelogramo ABDC ponha AB = u , AC = v . Logo AD = u + v e BC = v − u .
2
2
2
2
a) Prove que u + v + u − v = 2 ⋅  u + v 


b) Conclua que a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual ao dobro da
soma dos quadrados das suas diagonais.
18) Mostre que se duas medianas de um triângulo são iguais então o triângulo é isósceles.
19) Determinar a equação da reta tangente à elipse Ε dada por
x2
a2
+
y2
b2
=1
num ponto
de Ε . Para isto, considere a transformação T , do plano no plano, dada pela
regra ( x , y) → (ax , by) .
a) Mostre que se x 2 + y 2 = 1 então o ponto (ax , by) pertence à Ε .
P = (x 0 , y 0 )
x0 y0
,
) pertence à circunferência x 2 + y 2 = 1 .
a b
c) Conclua que T transforma a circunferência unitária em Ε .
b) Mostre que Q = (
d) Mostre que a equação da tangente à circunferência no ponto Q é dada
por
x0x y0y
+
= 1.
a
b
e) Conclua que a equação da reta tangente à elipse no ponto P é dada por
xx 0
a
2
+
yy 0
b2
=1.
20) Resolva os exercícios do livro texto de números: 18.1, 18.2, 18.4, 18.6, 19.1, 19.2, 19.8,
19.10, 21.3, 21.4.
Sugestões e Respostas
1a) B = (118, 81) , C = (9,124) , D = (−88, − 39) .
b) B = (1 + 2 , 2 2 ) , C = (1 + 3 − 2 , 2 − 3 ) , D = (2 3 + 1, 0)) .
2) Ache as coordenadas de u = OA e calcule u * , a rotação de u de um ângulo de 90º em torno
da origem, no sentido anti-horário. Use a fórmula OB = u cos 60º+u * sen 60º para determinar o
vértice B , continue dessa forma para achar todos os vértices. Você também pode achar o
3 3 −4 4 3 +3
,
).
2
2
10 − 3 3 5 − 4 3
F=(
,
) . b)
2
2
3 13
E = (3 +
,
− 3) ,
2 2
vértice C observando que OC = OD + OB e que OD = −OA . Resp: a) B = (
3 3 − 10 4
,
2
3 15
B = (5 −
,
+
2 2
3 15
F = (5 +
, −
2 2
C=(
4−3 3 −3−4 3
3 −5
E=(
,
) , D = (−3, − 4) ,
),
2
2
2
3 13
D = (2, 6) ,
3) ,
C = (3 −
,
+ 3) ,
2 2
3) .
3) D = (−7,1) .
5) Subtraia as igualdades PA + PB + PC = 0 e GA + GB + BC = 0 .
6) Aplique o exercício 1) no quadrilátero MNBA . Vá eliminando os outros vetores até encontrar
a relação entre MN e AB .
7) Use o teorema da base média.
8) Use que a soma de ponto + vetor = ponto e a rotação de 90º de vetores.
9) Â = 90º , B = 30º , C = 60º .
10) Use que cos θ =
12a)
(
64 112
,
).
65 65
〈u, v 〉
u⋅v
. Resp: O ângulo  é obtuso, B̂ e Ĉ são agudos.
b) x = −1 + 4 t , y = 2 + 7t .
13a) x = 2 + 2t , y = 3 + t . b) 7 x − y = 5 . c) x = 1 + 3t , y = 1 − t .
14) P = (11, 4)
15a) v = (3,−7) e u = (7,3) . b) u = AB = (5, − 5) , v = (−5, 5) . c) v = (5, − 1) , (u = (1,5) .
16a) x = 3 + 3t , y = −1 + 2t . B) x = 5 − 2t , y = 4 + t .
18) Se u = AC , e v = BC então as medianas são u −
v
2
u
2
e v− .