DOIS MOMENTOS NOTÁVEIS NA VIDA DA MATEMÁTICA:
O NASCIMENTO E A MAIORIDADE
John A. Fossa
UFRN
[email protected]
Resumo
Definimos a matemática pela sua metodologia de verificação, a axiomatização, originária da escola
pitagórica, provavelmente na época de Platão ou um pouquinho antes. Denominamos outras atividades, que
são geralmente vistas como parte da matemática, de atividades proto-matemáticas. A axiomatização visava a
investigação do número e da forma até o século XIX, quando George Boole, entre outros, abstraiu do
proposto conteúdo da matemática, fazendo dela uma ciência formal. Finalmente, salientamos a importância
das atividades proto-matemáticas, bem como a formalização da matemática, para a Educação Matemática.
Palavras-chave: História da matemática; Matemática antiga; Matemática do século XIX.
Depois de repensar a História da Matemática, cheguei a algumas conclusões um
pouco diferentes das que tenho expressado no passado, especialmente em referência à
matemática antiga. Gostaria de compartilhar estas novas conclusões com vocês, refletindo
sobre elas e as justapondo aos desenvolvimentos da matemática do século XIX, pois, com
isto, podemos tirar algumas conclusões importantes sobre o ensino da matemática.
O Nascimento
Entre os historiadores contemporâneos da matemática, é geralmente aceito que a
matemática nasceu com o homem. Há, de fato, vários artefatos pré-históricos – como ossos
ou chifres riscados em maneiras que indicam seus usos para a contagem (provavelmente)
do tempo – que parecem ser evidências para este ponto de vista. De novo, entre os
etnomatemáticos contemporâneos, é geralmente aceito que a matemática tem acompanhado
o homem nas suas diversas manifestações culturais, manifestando-se de maneiras diferentes
em culturas diferentes. Mais uma vez, há muito que parece ser evidência para esta opinião;
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há, por exemplo, os diversos sistemas de numeração e os diferentes algoritmos usados para
fazer as operações aritméticas.
Apesar da solidariedade dos referidos grupos de estudiosos e apesar das evidências
que eles têm acumulado a favor das suas opiniões, muitos matemáticos rejeitam as
mencionadas teorias desses historiadores e, especialmente, desses etnomatemáticos.
Geralmente, a rejeição das teses históricas e etnomatemáticas pelos matemáticos é
explicada pelo suposto fato, de que os matemáticos são altamente conservadores.
Tudo isto dito, parece-me que a posição dos matemáticos não seja um resultado do
seu suposto conservadorismo, mas de uma percepção de que as referidas teorias têm pouco
a ver com o que eles fazem no dia-a-dia. Por outro lado, os historiadores e etnomatemáticos
procuram uma justificativa convincente para os seus estudos – estudos que são obviamente
ricos e interessantes, mas teoricamente sem embasamento. Assim, infelizmente, gasta-se
muita energia sobre um conflito que é viciado pela falta de uma clara concepção do que
seja a própria matemática.
Para expor mais claramente a natureza da matemática, faço duas perguntas
ingênuas:
1. Quando Mariazinha está fazendo as suas contas na escola, ela está fazendo
matemática?
2. Quando um contador está fazendo as suas contas para, digamos, determinar o
imposto de renda de um cliente, ele está fazendo matemática?
Digo que as perguntas são ingênuas porque escondem uma série de pressupostos que
deveriam ser esclarecidos, especialmente sobre certas ambigüidades na frase "fazendo
matemática". Mesmo assim, porém, essas perguntas serão úteis. Respondemos da mesma
maneira ingênua em que as perguntas foram feitas: Mariazinha "está aprendendo"
matemática e o contador "está usando" matemática! Mas, se insistimos se estas atividades
contam como "fazendo matemática", a única resposta consistente com a posição dos acima
mencionados historiadores e etnomatemáticos é "sim, estão fazendo matemática." Em
contraste, a nossa intuição é responder, no primeiro caso, "talvez!" e, no segundo, "não!"
Mas, em qualquer caso, ficamos hesitantes e sem segurança nas nossas respostas.
Qual a fonte da nossa hesitação? Ou melhor, por que podemos ser levados a pensar
que Mariazinha e o contador estão fazendo matemática? Parece-me que a resposta é porque
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
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eles estão lidando com números e operações numéricas – isto é, conteúdos matemáticos. No
entanto, há dois erros embutidos nessa resposta. O primeiro erro é que, pelo menos desde o
século XIX, como veremos adiante, a matemática não é vista como sendo "sobre" números.
O segundo erro é que não é legitimo definir a matemática pelo seu proposto conteúdo. O
mesmo acontece com o conceito de ciência. Defini-la por estipular seus propostos
conteúdos ou trivializa o conceito ou o torna estreito demais. Assim, a ciência é definida
pela sua metodologia de verificação, nomeadamente, a verificação empírica. Devemos
fazer o mesmo em relação ao conceito de matemática, definido-a pela sua metodologia de
verificação. De fato, a metodologia de verificação, no caso da matemática, é bastante clara.
É o método dedutivo, ou, mais precisamente, o método axiomático. Assim, defino a
matemática como sendo as áreas de investigação que validam as suas proposições através
do método axiomático.
Interessantemente, apesar do fato da matemática ser eventualmente vista, no mundo
antigo, como a ciência (num sentido lato) do número e da forma, parece que não houve uma
só disciplina identificada como "matemática" até a época dos pitagóricos. Houve, sim, uma
multiplicidade de práticas inter-relacionadas, mas, independentes umas das outras: uma
ciência que os gregos mais tarde chamariam de "logística", uma geometria largamente
ocupada com o cálculo de áreas e volumes de várias figuras, uma ciência de planejamento
que Aristóteles chamou de economia doméstica, e assim por diante. São inter-relacionadas
pelo fato de que era o conhecimento de número e das operações aritméticas que era
necessário para lidar com estas práticas. Mas, foi possível vê-las como uma única disciplina
– a matemática – somente quando várias dessas práticas foram transformadas pela adoção
do método axiomático.
Evidentemente, as práticas que antecederam o surgimento da matemática e que
possibilitaram esse surgimento mantiveram relações estritas com a própria matemática e, de
fato, eram chamadas – e continuam a ser chamadas – de matemática. No entanto, essas
práticas são chamadas de matemática por extensão e não porque se enquadram no próprio
significado deste termo. Geralmente, isto não acarreta grandes problemas, mas em algumas
ocasiões, como o contexto da presente discussão, gera confusões. Assim, referirei a essas
práticas como atividades proto-matemáticas.
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O prefixo "proto" indica o papel que as referidas atividades tinham no
desenvolvimento da matemática. Sem elas, certamente teria sido impossível que a
matemática surgisse. Agora, no entanto, podemos tentar precisar o "nascimento" da
matemática, uma vez que não exigimos precisão demais! Há indícios de que os babilônios
tinham algumas noções de dedução, mas até o presente momento não temos informação
suficiente para fazer um julgamento mais ajuizado sobre isto. O que sabemos é que a
dedução foi desenvolvida na escola pitagórica e o método axiomático fez parte da doutrina
da Academia platônica. O próprio Platão parece ter tido uma boa compreensão do método1
e Aristóteles abordou o mesmo bastante detalhadamente nos seus escritos lógicos. Talvez a
mais conhecida obra axiomática dos gregos seja Os Elementos de Euclides. No entanto, na
época de Euclides, o método já era bem estabelecido como definitivo para a matemática.
De fato, noutro lugar2 mostrei como a "álgebra geométrica" dos gregos não foi tanto o
resultado da descoberta da incomensurabilidade, mas da necessidade de enquadrar a
aritmética num sistema axiomático.
É, porém, necessário ter o cuidado de não supor que o prefixo "proto" quer dizer
inferior. As atividades proto-matemáticas dos babilônios, de fato, eram muito sofisticadas,
pois chegaram, por exemplo, a uma descrição paramétrica que gera todos os triângulos
pitagóricos primitivos (e somente eles) e, também, aplicaram suas práticas à administração
de um grande império e à astronomia. Como já indicamos, sem toda esta experiência protomatemática, a matemática propriamente dita não poderia ter surgido.
É também necessário reconhecer que as atividades proto-matemáticas não
desapareceram com o advento da matemática, nem que foram localizadas apenas em
algumas culturas. Desta forma, houve – e continua havendo – vários conjuntos, mais ou
menos independentes, de atividades proto-matemáticas entre os vários grupos e subgrupos
de seres humanos. Assim, defino a etnomatemática como o ramo da História da Matemática
que investiga as várias atividades proto-matemáticas.3 Dada a minha definição de
matemática, pode parecer estranho que defino a etnomatemática como um ramo da História
da Matemática, mas deve estar claro que a História da Matemática precisa levar em conta
1
Ver Erickson e Fossa (no prelo).
Ver Fossa (2003).
3
Em contraste, defino a Etnomatemática como o estudo do papel da matemática e/ou das várias
etnomatemáticas dentro da sociedade.
2
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
5
aquelas atividades das quais a matemática emergiu. Ainda mais, as atividades protomatemáticas não somente são importantes porque possibilitaram o nascimento da
matemática, mas também têm uma importância contínua na vida quotidiana das pessoas.
Assim, a etnomatemática, como um campo de investigação, tem a mais alta importância
para a compreensão do homem e a sua cultura.4
A Maioridade
Segundo o conceito aristotélico de axiomatização, os axiomas são proposições
intuitivamente verdadeiras. Essa atitude perdurou até o século XIX, quando vários
acontecimentos levaram os matemáticos a desenvolver uma nova concepção da sua
disciplina. Houve, por exemplo, a sempre crescente preocupação com o rigor no
estabelecimento dos fundamentos do Cálculo. Isso, culminando na chamada "aritmetização
da análise", contribuiu para a visão da matemática como uma "ciência" formal. Além disso,
a descoberta das geometrias não-euclideanas mostrou que consistência não é sinônimo de
verdade.5 Mais tarde, os paradoxos da Teoria dos Conjuntos vieram a fortalecer a nova
atitude.
A nova visão da matemática é que os axiomas são pontos de partida arbitrários, dos
quais os matemáticos começam a fazer suas deduções. Desta forma, a matemática abstrai
da questão da verdade das suas proposições, preocupando-se apenas com a validade das
deduções e/ou a adequação dos axiomas para a tarefa específica sob consideração, seja ela
teórica ou aplicada. Tem, é verdade, vozes dissidentes, como a de L. E. J. Brouwer, que
queria fundamentar a matemática na intuição kantiana, ou, atualmente, Philip Kitcher, que
quer fundamentar a matemática no empirismo. No entanto, a visão majoritária parece ser de
que a matemática é uma "ciência" formal.
Uma outra grande contribuição para o desenvolvimento da nova visão da
matemática ocorreu entre alguns algebristas ingleses em meados do século XIX. O conflito
sobre "números impossíveis" é sintomático da situação nesta época. "Números impossíveis"
4
De fato, estou atualmente investigando, junto com um colega, a possibilidade da etnomatemática ser
caracterizada como o estudo de grafic design, ou seja, da produção de signos permanentes. É esta capacidade
que distingue o homo sapiens de outras espécies de homens e que lhe deu uma enorme vantagem seletiva, a
ponto de eliminar as outras espécies. Se isso estiver correto, a etnomatemática será a ciência que caracteriza a
nossa espécie.
5
Para mais detalhes, ver Fossa (2001).
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
6
foi a designação dada a números negativos e números complexos. A grande maioria dos
matemáticos recusou levar esses números a sério. Alguns até usavam os números negativos
como ficções convenientes – por exemplo, representando o conceito de débito –, enquanto
outros simplesmente os ignoravam ou os taxavam de "sem sentido". Os números
complexos eram considerados ainda mais monstruosos, porque não pareciam ter qualquer
aplicação ou modelo no mundo físico. Finalmente, o matemático irlandês, William Rowan
Hamilton, mostrou como os números complexos podem ser usados para descrever rotações
e elaborou a aritmética deles como pares ordenados. Ao mesmo tempo, um pequeno grupo
de algebristas ingleses, liderado por George Peacock, conseguiu incorporar os números
negativos à álgebra, tornando essa área de pesquisa mais coerente e mais geral.
A incorporação dos números impossíveis à álgebra foi parte de um movimento geral
que tornava a álgebra sempre mais formal. O passo decisivo, porém, ocorreu com a lógica
de George Boole, um contemporâneo, mais moço, de Peacock e Hamilton. Até a época de
Boole, a álgebra era vista como uma maneira conveniente de resumir as propriedades
aritméticas dos números naturais (ou dos racionais positivos). Boole, porém, desenvolveu
um formalismo em que algumas das regras aritméticas comuns não são satisfeitas. Ainda
mais, deu explicitamente pelo menos duas interpretações completamente distintas para esse
formalismo.
Assim, foi com o trabalho de Boole que a matemática chegou a sua maioridade,
pois, como ele reconheceu, a matemática não podia ser mais vista como sendo "sobre"
número e forma. Desta maneira, a partir do Boole,6 a matemática passa a ser vista como
sendo completamente abstrata e de natureza formal, envolvendo questões de verdade e
falsidade somente em suas aplicações.
Lições para a Didática da Matemática
A investigação dos dois momentos notáveis na vida da matemática, o seu
nascimento e a sua maioridade, nos permitiu esboçar uma boa concepção do que seja a
matemática. Podemos agora extrapolar destes dados estritamente históricos para considerar
o que eles nos dizem sobre a pedagogia da matemática.
6
Para mais informação sobre George Boole e a sua mulher, Mary Everest Boole, ver dos Anjos, Costa e
Fossa (2001), dos Anjos e Fossa (2002) e Sousa e Fossa (2004).
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
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Em primeiro lugar, vimos que historicamente foi importante, por assim dizer, criar
uma massa crítica de conhecimentos na forma de atividades proto-matemáticas, antes que a
matemática pudesse emergir. Acredito que o mesmo fenômeno acontece na aprendizagem
da matemática. Da mesma forma que o domínio do conceito de número e das operações
aritméticas era a chave para que certas classes restritas da Antigüidade pudessam lidar com
as atividades proto-matemáticas, número e operações aritméticas são fundamentais para
todos os nossos alunos, porque sem essas habilidades a verdadeira matemática não poderá
emergir no seu pensamento. Assim, é absolutamente necessário que o aluno tenha uma
compreensão sólida do nosso sistema de numeração e que interiorize as tabuadas referentes
às operações básicas, a ponto de poder reproduzi-las imediatamente e sem hesitação. Em
conseqüência, devemos rejeitar as teorias educacionais que alegam que não importa qual
seja o conteúdo das aulas de matemática. Importa, sim!
Em segundo lugar, uma olhada rápida às várias etnomatemáticas revela que as
atividades proto-matemáticas são quase sempre voltadas para a resolução de algum
problema prático da vida quotidiana. Este tipo de atividade é, de fato, essencial para o
desenvolvimento de um espírito capaz de fazer a matemática e gostar da matemática.
Assim, enquanto é provavelmente mais prudente utilizar atividades estruturadas como a
espinha dorsal da didática da matemática do ensino fundamental – pois esses tipos de
atividades promove a compreensão mencionada no parágrafo anterior –, na medida em que
o aluno crescer, estas atividades devem ser substituídas por atividades de resolução de
problemas.
Em terceiro lugar, devemos lembrar que a nossa meta é chegar à matemática, ou
seja, aos sistemas axiomatizados. A maioria dos educadores da matemática parecem ter
esquecido este ponto fundamental. Para ao menos um deles, porém, esta meta é muito clara.
Referimos a Zoltan P. Dienes7. Dienes sempre argumentou que o aluno deveria
eventualmente chegar à axiomatização, embora a viagem, começando com atividades
estruturadas e material concreto, seja bastante comprida. É fácil esquecer desta meta devido
à distinção entre o contexto de descoberta e o contexto de justificação, o que afirma que o
contexto de descoberta não é axiomático.8 Muitos educadores parecem pensar que a
7
Para mais sobre Dienes, ver Fossa (2002) e Fossa 2003).
Esta, a formulação tradicional da posição, é forte demais, pois, às vezes o contexto de descoberta é, de fato,
axiomático.
8
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
8
mencionada distinção implica que a axiomatização é meramente uma maneira conveniente
de organizar e apresentar os resultados matemáticos. Isso, porém, é completamente falso. O
método axiomático, como já vimos, é a metodologia de validação de proposições
matemáticas e, portanto, é essencial à matemática. Todos os nossos alunos deveriam, pelo
menos, apreciar como sistemas axiomáticos funcionam.
Finalmente, lembramos que Boole deu duas interpretações distintas a um só sistema
formal e que isto mostra a nova visão da matemática. Esse procedimento é implícito no
ensino usando atividades estruturadas, pois, nesta metodologia de ensino, várias atividades
que instanciam uma só estrutura matemática são usadas para que o aluno possa abstrair das
atividades para a estrutura. O mesmo processo pode ser incorporado na metodologia de
ensino que usa atividades de resolução de problemas. A mesma estrutura matemática pode
ser utilizada para resolver problemas em contextos bastante diferentes. Isso pode ser feito
sem o uso explícito da axiomatização. O que deveria ser explícito, porém, é que a mesma
estrutura está sendo usada para resolver problemas distintos. De fato, isso deveria ser
temático em todo o ensino da matemática, dos primeiros dias na escola básica até o ensino
superior. Essa temática não somente ressalta a natureza abstrata e estrutural da matemática,
mas também ajuda o aluno a desenvolver habilidades importantes.
Conclusão
Em resumo, vimos que a matemática provavelmente nasceu entre os primeiros
pitagóricos e é essencialmente axiomática. Também vimos que há um grupo de atividades
muito importantes, tanto no passado quanto atualmente, que batizamos de atividades protomatemáticas. A reflexão sobre a relação entre a matemática e as atividades protomatemáticas, e, especialmente, a reflexão sobre a re-conceitualização desta relação feita no
século XIX, nos leva a uma compreensão do que seja a matemática e isto, por sua vez, nos
leva a algumas conseqüências para o ensino da matemática. Estas conseqüências não são
inteiramente novas, mas são importantes na construção de uma pedagogia eficaz da
matemática.9
9
Agradeço à colega, Profa. Isabel Cristina Rodrigues de Lucena, pela sua ajuda na correção do português do
presente trabalho.
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
9
Referências Bibliográficas
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do Pensamento". In: John A. FOSSA (Ed.). Anais do IV Seminário Nacional de História da
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DOS ANJOS, Marta Figueredo e John A. FOSSA. "O Método de Boole". In: Luiz M.
CARVALHO e Luiz C. GUIMARÃES (Orgs.). História e Tecnologia no Ensino de
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ERICKSON, Glenn W. e John A. FOSSA. A Linha Dividida: Uma Abordagem Matemática
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História e Tecnologia no Ensino de Matemática. CD-ROM. Rio de Janeiro: IME-UERJ,
2004.
______. "A História da Teoria dos Números de Pitágoras a Fermat." In: Marcos V.
TEIXEIRA e Sergio R. NOBRE (Eds.). Anais do V SNHM. Rio Claro: SBMat, 2003a.
______. "On the Ancestry of Z. P. Dienes's Theory of Mathematics Education". Revista
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______. "O Programa de Dienes". In: Luiz M. CARVALHO e Luiz C. GUIMARÃES
(Orgs.). História e Tecnologia no Ensino de Matemática. Vol. 1. CD-ROM. Rio de Janeiro:
IME-UERJ, 2002.
______. "O Que Há de Errado com o Quinto Postulado de Euclides". In: John A. FOSSA.
Ensaios sobre a Educação Matemática. Belém: Editora da UEPA, 2001.
SOUSA, Giselle Costa de e John A. FOSSA. "As 'Vidas Paralelas' de George Boole". In:
Luiz Mariano CARVALHO e Carlos A. de MOURA (Eds.). Anais do Segundo Colóquio de
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
10
História e Tecnologia no Ensino de Matemática. CD-ROM. Rio de Janeiro: IME-UERJ,
2004.
Anais do VIII ENEM – Mesa Redonda
11
Alguns problemas na História da Matemática. Caminhos
tradicionais para a resolução: a insistência e abandono. Novos e
revolucionários caminhos: soluções e novas perspectivas
Sergio Nobre∗
O objetivo deste trabalho é apresentar uma análise sobre o desenvolvimento
histórico de alguns problemas da matemática, cujas soluções foram perseguidas durante
anos, e até séculos, com base na experiência acumulada a partir da resolução de outros
problemas, mas que, porém não se chegou a resultados que foram aceitos pela comunidade
científica. O século XIX é o período onde muitos destes problemas obtiveram uma
compreensão teórica mais aprimorada, e alguns resultados alcançados serviram como base
para a ciência moderna. No âmbito educacional, esta apresentação tem como objetivo
evidenciar que a construção teórica da Matemática teve seu desenvolvimento tanto por
caminhos tradicionais, onde foram seguidas idéias que brilharam no passado e que também
serviram (e ainda servem) para resolver problemas que surgiram em tempos mais
avançados, como também foi necessário o abandono dos caminhos tradicionais para serem
trilhados novos e revolucionários caminhos, os quais possibilitaram a criação de uma nova
mentalidade científica. Para o Professor de Matemática, que, muitas vezes, segue os
manuais tradicionais onde o conteúdo científico é apresentado de forma "pronta e acabada",
o conhecimento sobre a existência de tropeços históricos para o desenvolvimento de
determinados assuntos pode vir a tornar-se um estímulo em seu caminhar educacional.
∗
Professor do Departamento de Matemática da UNESP - campus de Rio Claro.