Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Grandezas Periódicas Não Sinusoidais
Paulo Moisés Almeida da Costa - 1999
Fenómenos estranhos???
•
Numa fábrica avaria-se o transformador quando novos
motores são instalados.
•
Não é possível, numa instalação industrial instalar mais
baterias de condensadores pois estas queimam-se e/ou as
suas protecções disparam.
•
Os serviços técnicos não garantem o correcto funcionamento
de um determinado equipamento electrónico (computador,
fotocopiadora…) porque existe uma tensão muito elevada
entre fase e neutro.
•
Disjuntores que disparam sem razão aparente pois ao se
proceder á medição da intensidade da corrente esta
encontra-se com valores admissíveis.
• Mas afinal, o que se passa???
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2
As cargas de um sistema
•
Num Sistema Eléctrico existem dois tipos de cargas:
–
As cargas lineares, que são aquelas que apresentam
uma corrente sinusoidal quando alimentadas por uma
tensão sinusoidal.
–
As cargas não lineares, que são aquelas que apresentam
uma corrente não sinusoidal (distorcida) quando
alimentadas por uma tensão sinusoidal.
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3
As cargas lineares
•
Existem só três tipos base de cargas lineares que são:
–
As cargas puramente resistivas
–
As cargas Puramente indutivas
–
As cargas puramente capacitivas
• E, por exemplo, um motor de indução será
uma carga não linear?
IT
IR
IL
O circuito equivalente do motor de indução é a série de uma
bobina pura com uma resistência, ou seja a combinação de dois
elementos lineares.
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4
As cargas lineares
•
O diagrama fasorial correspondente ao circuito equivalente
anterior é:
+ 90
IR
UT
180
0
IL
f
IT
- 90
•
Portanto, podemos constatar a existência de um
desfasamento entre a tensão e a corrente ( mas ambas se
mantêm sinusoidais):
V
I
time
0o
60
O
o
180 o
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360 o
5
As cargas lineares
•
Portanto:
–
As cargas lineares ou os conjuntos de cargas lineares
associadas não originam harmónicos, resumindo-se a sua
acção á criação de um maior ou menor desfasamento
entre tensão e corrente.
–
Actualmente, a maioria dos conjuntos de
exclusivamente contêm elementos não lineares.
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cargas
6
As cargas não lineares
•
As cargas não lineares tiveram um incremento enorme nos
últimos anos, em especial devido ao desenvolvimento da
electrónica.
•
Como exemplo veja-se o comportamento de um rectificador
de onda completa que é um dos dispositivos mais
frequentemente utilizado nos equipamentos electrónicos:
Tensão
Corrente
Carga
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7
As cargas não lineares
• Algumas cargas não lineares:
•
–
Computador pessoal
–
Máquinas ferramenta
–
Reguladores electrónicos de velocidade
–
Carregadores de baterias
–
Equipamentos médicos electrónicos
–
Lâmpadas de descarga
–
Balastros electrónicos
–
Fornos de arco
–
...
As cargas não lineares distorcem as formas de onda
das grandezas eléctricas, conduzindo ao surgimento
dos harmónicos.
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8
Os Harmónicos
•
As grandezas eléctricas periódicas não sinusoidais, podem
ser estudadas recorrendo ao Teorema de Fourier, o qual
diz que:
–
Uma grandeza periódica não sinusoidal, desde que a sua
função representativa, g(t), obedeça a certas condições
de continuidade pode ser decomposta numa série de
termos harmónicos com frequências que são múltiplos
inteiros da frequência da função original.
–
As condições de continuidade são as condições de
Dirichlet:
• A função g(t) é finita.
• A função apresenta um número limitado de pontos
de descontinuidade e de extremos.
–
A série de termos
sinusoidal tem a forma:
harmónicos


h 1
h 1
com variação
g (t )  A0   Bh cos(h * w * t )  Ch sen(h * w * t )
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9
Os Harmónicos
•
A expressão anterior é designada por forma trigonométrica
da série de Fourier, onde:
–
–
–
–
•
•
•
•
h representa a ordem do harmónico
w representa a pulsação
t representa o tempo
A0, Bh e Ch representam os coeficientes da série de
Fourier.
Ao termo A0 dá-se o nome de termo contínuo
Ao termo de primeira ordem, h=1, dá-se também o nome de
termo fundamental.
Os restantes termos são designados por termos harmónicos.
A determinação dos coeficientes faz-se usando as
seguintes expressões:
A0 
T
2
1
* g (t )dt
T T

Bh 
T
2
2
* g (t ) * cos(h * w * t )dt
T T

Ch 
2
2
T
2
2
* g (t ) * sen(h * w * t )dt
T T

para h  1,2,3,...
para h  1,2,3,...
2
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10
Os Harmónicos
• Note-se que, a expressão anteriormente
apresentada para a série de Fourier é
aquela que se adapta ao caso de
grandezas com variação não sinusoidal e
periódica no domínio do tempo.
• Mas e quando a grandeza tiver variação
no domínio do espaço?
•
Antes de tudo, que grandezas podem ter variações não
sinusoidais no espaço???
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11
Grandezas com variação no espaço
• A força magnetomotriz de uma bobina
simples:
•
Nesta abordagem vamos considerar uma máquina eléctrica
rotativa ideal a qual apresenta:
–
Coroas
magnéticas
estatórica
e
rotórica
com
permeabilidade infinita, cujas perdas magnéticas por
histerese e por correntes de Foucault são nulas.
–
Entreferro perfeitamente constante e muito pequeno
comparativamente com o diâmetro do estator e do
rotor.Assim, não existirá dispersão magnética, sendo a
indução magnética na superfície exterior do rotor é
igual á da superfície interior do estator.
–
Enrolamento regularmente disposto sobre as superfície
cilíndrica exterior do rotor ou cilíndrica interior do
estator e com dimensões radiais desprezáveis, o que
permite substituir os enrolamentos reais dispostos nas
ranhuras do estator e do rotor por condutores
pontiformes ou lâminas de cobre com espessura
infinitesimal, que conduzem a correntesó na direcção
axial paralelamente ao eixo num e noutro sentido,
segundo o que fariam os condutores reais.
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12
Grandezas com variação no espaço
•
Bobina de passo diametral:
•
Seja um enrolamento de excitação com dois condutores
equidistantes, um por pólo, dispostos num estator, pelos
quais se faz passar uma mesma corrente I, com um sentido
que se afasta do observador num e que se aproxima no
outro.Estes dois condutores formam uma única espira de
passo diametral.
•
Para qualquer linha de indução que possamos traçar, a
f.m.m. total criada pela espira tem o valor I:
f .m.m.  I
•
( A.esp )
Esta f.m.m. é igual, por outro lado, á soma algébrica das
tensões magnéticas ao longo da linha de indução.
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13
Grandezas com variação no espaço
•
Como admitimos que a permeabilidade das coroas magnéticas
é infinita (relutância magnética nula), a tensão magnética
correspondente ás mesmas será nula e portanto só temos de
considerar a tensão magnética dos entreferros, um na zona
N e outra na zona S, pelo que:
FaN  FaS  I
•
Na zona N, o fluxo dirige-se do estator para o rotor, polo
Norte, e na zona S do rotor para o estator, pólo Sul.
•
Como a largura dos pólos é a mesma e os entreferros são
iguais, temos que, tendo em conta os sentidos do fluxo:
F aN   FaS
•
E portanto, podemos concluir que:
FaN 
•
1
I
2
e
1
FaS   I
2
Representando em esquema planificado o valor da f.m.m.
correspondente a cada ponto do entreferro obteremos para
a representação gráfica de f.m.m = f() o seguinte:
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14
Grandezas com variação no espaço
•
Temos portanto a onda de f.m.m. (ou tensão magnética) ao
longo do entreferro. (  a variar entre 0 e 2).
•
Se em vez de uma única espira considerarmos uma bobina
com N espiras, que idealmente admitimos como tendo
dimensões infinitesimais (bobina concêntrica), a f.m.m. total
será:
f .m.m.  N * I
•
A tensão magnética ao longo do entreferro será:
FaN 
NI
2
e
FaS  
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NI
2
15
Grandezas com variação no espaço
•
Bobina com passo não diametral (encurtado):
•
É aquela bobina cujo passo é inferior ao passo polar, ou seja
a 180º eléctricos.
•
Neste caso, as superfícies correspondentes á zona de onde
o fluxo sai (pólo Norte) e á zona onde entra (pólo Sul) serão
desiguais, e como o fluxo magnético é conservativo, teremos
que a induções e as f.m.m. no entreferro de cada uma
destas zonas deixarão também de ser iguais.
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16
Grandezas com variação no espaço
•
Para este caso, as equações que ligam as f.m.m’s
correspondentes ao entreferro em cada uma das zonas
serão, considerando uma só espira:
FaN  FaS  I
e
FaN extensão do arco zona S

FaS extensão do arco zona N
•
Note-se que a forma de onda da f.m.m. do entreferro
continua a ser rectangular.
•
No entanto, os rectângulos parciais correspondente á zona
N e á zona S têm diferentes altura e cumprimento.
•
A área dos rectângulos parciais é, no entanto, igual.
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17
Grandezas com variação no espaço
•
Admitamos agora que temos duas bobinas diametrais,
dispostas em série e que por elas passam correntes com os
sentidos representados na figura que se segue.
•
Então, a f.m.m. originada terá um andamento no espaço
como o representado na mesma figura.
•
Portanto, a f.m.m. obtida surge,
andamento não sinusoidal no espaço.
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também,
com
um
18
Grandezas com variação no espaço
•
Admitamos agora que temos duas bobinas encurtadas,
dispostas em série e que por elas passam correntes com os
sentidos representados na figura que se segue.
•
Como resultado teremos uma forma de onda da f.m.m., que
se pode obter pelo teorema da sobreposição, com um
andamento no espaço do tipo:
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19
Grandezas com variação no espaço
•
Se tivermos várias bobinas com N espiras cada, ligadas em
série e desfasadas ao longo do passo polar formando uma
bonina múltipla, temos que o andamento da f.m.m. criada
por essa bobina múltipla será:
•
E, uma vez mais, podemos constatar um andamento não
sinusoidal para a f.m.m. originada. (Usando o teorema da
sobreposição)
•
Para este caso, a f.m.m obtida tem uma forma escalonada
e o valor da f.m.m. máxima vale:
q
N rq I q
q 1
2
FM  
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20
Grandezas com variação no espaço
•
Onde:
•
q - é número de bobinas elementares em série que
constituem a bobina múltipla.
•
Nrq - é o número de espiras de cada uma das bobinas
elementares.
•
Iq - é a corrente que passa nas referidas bobinas
•
Se todas as bobinas elementares em série possuírem o
mesmo número de espiras, Nr, a f.m.m. máxima no
entreferro será:
FM  q
•
N r I N1 I

2
2
Sendo N1 o número de espiras total da bobine múltipla.
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21
Grandezas com variação no espaço
•
Para as grandezas com variação não sinusoidal no espaço, a
série de Fourier assume a forma:


h 1
h 1
g ( )  A0   Bh cos(h * )  Ch sen(h * )
•
sendo os diferentes coeficientes da série determinados
pelas seguintes expressões:
A0 
T
2
1
* g ( )d
T T

Bh 
T
2
2
* g ( ) * cos(h * )d
T T

Ch 
2
2
T
2
2
* g ( ) * sen(h * )d
T T

para h  1,2,3,...
para h  1,2,3,...
2
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22
Um Exemplo...
•
Como concluímos anteriormente, uma bobine simples com Nr
espiras de uma máquina ideal, ao ser percorrida por uma
corrente contínua de valor I, origina uma onda rectangular
de f.m.m. com amplitude:
F
•
Nr * I
2
Ora, conhecendo a onda de f.m.m., por aplicação do
teorema da Ampére, podemos calcular o campo magnético
que que se terá na máquina:
Fa  H a * a
•
sendo a o entreferro
•
Por outro lado, no ar:
Ba  0 * H a
•
pelo que:
Ba 
0
N *I
* Fa  0 r
a
2 *
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23
Um Exemplo...
•
Ora, se o entreferro for constante, então as formas de
onda da indução e do fluxo magnético terão um andamento
rectangular semelhante á onda da f.m.m..
•
Esta onda de indução poderá então ser decomposta numa
série de Fourier, a qual, tomando como origem dos ângulos a
origem do rectângulo será:
B 
4
1
1
* B * ( sen   sen (3 * )  sen (5 * )  ...)

3
5
•
Portanto podemos decompor a onda rectangular de indução
numa soma de ondas sinusoidais, a primeira com o mesmo
número de pares de pólos que a onda rectangular e as
restantes, harmónicos, com amplitudes decrescentes e
número de pólos múltiplo impar da fundamental.
•
A figura que se segue representa a situação referida:
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24
A série de Fourier finita
•
Nas aplicações reais da análise harmónica, surgem muitas
situações em que a função periódica representativa da
grandeza física em estudo apenas é conhecida num conjunto
discreto de N pontos equidistantes.
•
O facto de se considerar os pontos equidistantes liga-se
com o facto dessa situação facilitar os cálculos a efectuar.
•
Por facilidade de exposição considera-se que o número total
de pontos é par, e logo N = 2 * n.
•
Como a função é periódica, para um qualquer k do intervalo
teremos gk(k) = gk(k+nN).
•
O domínio de estudo da função é dividido em N intervalos
de comprimento t = T/N, porque ao período da função
correspondem N pontos.
•
O valor do tempo em cada ponto do intervalo será:
tk=k * t com k
•

{0,1,2,…,N-1}
A expressão para a série de Fourier finita é:
M
M
h 1
h 1
g k (tk )  A0   Bh * cos(h * w * tk )   Ch * sen(h * w * tk )
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25
A série de Fourier finita
•
Os coeficientes da série, neste caso, são dados pelas
expressões que se seguem:
1 N 1
A0  *  g k (tk )
N k 0
•
2 N 1
h * 2 * * k
Bh  *  g k (tk ) * cos(
)
N k 0
N
para
h  1,2,...M
2 N 1
h * 2 * * k
Ch  *  g k (t k ) * sen(
)
N k 0
N
para
h  1,2,...M
Note-se que o número de termos a adoptar na aproximação,
2*M+1, tem de ser igual ou inferior ao número de pontos N,
ou seja, a maior ordem para os termos harmónicos tem de
ser igual ou inferior ao maior inteiro contido em:
N 1
M 
2
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26
As propriedades da série de Fourier
•
Podemos utilizar a simetria das formas de onda
representativas das grandezas em estudo para simplificar a
análise harmónica a efectuar.
•
Componente contínua
» O termo contínuo da série de Fourier,
A0, é o valor médio algébrico da função
g(t) no período T.
» Este termo só parece quando a forma de
onda representativa da grandeza em
estudo apresenta semi-ondas positiva e
negativa diferentes.
•
A forma de onda que se apreenta
ao lado, tem valor médio nulo,
não existindo termo contínuo.
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27
As propriedades da série de Fourier
•
Função par:
» É
aquela
que
é
simétrica
relativamente
ao
eixo
das
ordenadas, tal que g(t) = g(-t).
» A série de Fourier representativa
destas funções só contém termos
em coseno e o termo contínuo, pelo
que ch= 0.
•
Função ímpar:
•
É uma função simétrica relativamte á
origem, tal que g(t)=-g(-t).
•
Verifica-se que a série de Fourier
representativa desta função só
contém termos em seno, pelo que A0=0 e Bh=0.
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28
As propriedades da série de Fourier
•
Simetria para a semi-onda:
•
Quando a função g(t) representa uma grandeza periódica,
com período T, com uma forma de onda em que a semi-onda
positiva é idêntica á semi-onda negativa, a respectiva série
de Fourier só contém termos de ordem ímpar, ou seja:
h  2* n 1
•
Note-se que sendo g(t) uma grandeza
alternada pura, por definição o seu
valor médio é nulo, pelo que não existe
termo contínuo na respectiva série de
Fourier, A0=0.
g(t)+g(t+T/2)=0
» Quando a função é periódica e tal que
se verifica que g(t)-g(t+T/2)=0 temos
que a série de Fourier só contém termos
de ordem par incluíndo o termo contínuo.
g(t)-g(t+T/2)=0
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29
As propriedades da série de Fourier
•
As propriedades envolvendo as
resumidas numa tabela do tipo:
g(t)+g(t+T/2)=0
g(t)-g(t+T/2)=0
simetrias
podem
Função ímpar
Função par
A0=0; Bh=0
Ch=0
C2h=0
A0=0; B2h=0
C2h+1=0
B2h+1=0
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ser
30
Os efeitos dos harmónicos
•
Os harmónicos acarretam:
•
Mau funcionamento dos equipamentos
•
Sobreaquecimentos
•
Diminuição da fiabilidade dos sistemas
•
Problemas de segurança
•
Diminuição do tempo de vida dos equipamentos
•
Interferências
•
Medições erradas
•
Desperdícios de energia
•
Desclassificação de máquinas
•
…
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31
A sequência dos harmónicos
•
Dependendo da ordem de cada harmónico, assim este poderá
ter uma sequência positiva, negativa ou nula.
•
O quadro que se segue apresenta a sequência para alguns
harmónicos:
•
Harmónico
h=1
h=2
Frequência
50
100
Sequência
+
-
h=3
h=4
h=5
h=6
h=7
150
200
250
300
350
0
+
-
0
+
Normalmente, os termos harmónicos de ordem par não são
comuns em sistemas de energia.
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32
Os efeitos dos harmónicos
•
Os harmónicos têm efeitos nefastos:
Efeitos
Sequência
Rotação
Positiva
Directa
Sobreaquecimentos
Inversa
Sobreaquecimentos e menor rendimento
Nenhuma
Somam-se no condutor de neutro
Negativa
Nula
•
Portanto, nas máquinas eléctricas, a presença dos
harmónicos origina uma diminuição do rendimento da
máquina diminuição essa que se deve não só á
existência de campos girantes com sentido de
rotação contrário ao do campo fundamental mas
também ao aumento das perdas no cobre e no ferro
da máquina.
•
Este aumento das perdas
desclassificação das máquinas.
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leva
á
chamada
33
Os efeitos dos harmónicos
•
Nas máquinas eléctricas, as perdas podem ser divididas,
fundamentalmente, em três grandes grupos:
–
–
–
As perdas no cobre.
As perdas no ferro.
As perdas mecânicas.
•
É óbvio que uma máquina deve ter as suas perdas tão
pequenas quanto possível num contexto técnico-económico.
•
Por outro lado, quando uma máquina é projectada para, no
máximo, funcionar com um determinado nível de perdas, é
óbvio que tal valor não deve ser ultrapassado em regime
permanente.
•
As perdas da máquina, como sabe, condicionam o seu
aquecimento, e em consequência o maior ou menor esforço
solicitado aos materiais isolantes.
•
Mais ainda, o maior ou menor aquecimento da máquina tem
também implicações directas sobre os valores das
impedâncias dos seus circuitos eléctricos, e logo sobre as
suas quedas de tensão internas.
•
Como será que os harmónicos provocam o aumento de
perdas nas máquinas???
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34
Os efeitos dos harmónicos
•
•
As perdas no cobre:
–
São perdas que existem em todos os circuitos eléctricos
da máquina quando percorridos por correntes eléctricas.
–
São perdas provocadas pelo efeito de Joule e logo
dadas por R*I2.
–
A resistência R, de cada enrolamento, tem de ser o
valor “a quente”.
–
No caso dos enrolamentos das máquinas percorridos por
correntes alternadas, o valor da resistência destes
deve ainda ter conta o efeito pelicular.
A influência dos harmónicos sobre as perdas no cobre:
–
As perdas no cobre, como se pode concluir
expressão R*I2 são directamente proporcionais
quadrado da corrente.
–
Se a corrente eléctrica que circula nos enrolamentos da
máquina for não sinusoidal, o seu valor eficaz será dado
pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores
eficazes dos respectivos termos harmónicos (incluindo o
fundamental) e do termo contínuo. Ou seja:
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da
ao
35
Os efeitos dos harmónicos
I
 Ih
2
h 0
•
Como facilmente se conclui da expressão, sendo a corrente
não sinusoidal, e portanto contendo termos harmónicos, o
seu valor eficaz será superior ao que seria se fosse
sinusoidal (só termo fundamental).
•
Claro que em consequência desse acréscimo na corrente se
tem um acréscimo nas perdas.
•
Por outro lado, a existência de harmónicos nas grandezas
eléctricas das máquinas também altera o valor da
resistência dos circuitos eléctricos devido ao efeito
pelicular.
•
Efeito pelicular é a designação dada ao fenómeno que
implica o aumento da resistência de um condutor face ao
aumento da frequência da corrente que o percorre.
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36
Os efeitos dos harmónicos
•
A corrente contínua tende a distribuir-se uniformemente
por toda a secção recta de um condutor.
•
No entanto, quando a frequência aumenta o campo
magnético próximo do centro do condutor aumenta a
reactância local.
•
Como
consequência,
a
corrente
tende
a
circular
preferencialmente pela periferia do condutor diminuindo-se
assim a área efectiva de circulação da corrente e em
consequência aumentando-se o valor da resistência e das
perdas no cobre.
•
Note-se que as perdas no cobre, tendo em conta a
circulação das correntes harmónicas e o aumento do valor
da resistência, serão dadas por:
Pcu  R0 * I 0  R1 * I1  R2 * I 2  R3 * I3  R4 * I 4  ...
2
2
2
2
2
que, como é lógico serão superiores ao valor:
Pcu  R1 * I1
2
que seria o valor das perdas se só existisse o termo
fundamental.
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37
Os efeitos dos harmónicos
•
As perdas no ferro:
•
As perdas no ferro são aquelas que se verificam por
histerese e por correntes de Faucault e que são devidas á
variação da densidade de fluxo no ferro das máquinas.
•
A variação no tempo do fluxo magnético origina o
aparecimento de um campo eléctrico no seio dos materiais
magnéticos.
•
Estes podem constituir circuitos fechados, nos quais se
induzem f.e.m.’s proporcionais á frequência do fluxo
magnético indutor.
•
Estas f.e.m.´s. vão depois originar correntes eléctricas, as
correntes de Faucault, que ao percorrerem os circuitos
fechados, geram perdas por efeito de Joule.
•
A energia assim dissipada constitui as perdas por correntes
de Faucault.
•
As perdas por correntes de Faucault, com boa aproximação,
podem ser expressas por:
PF  K f * (Bmax * f * )2
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38
Os efeitos dos harmónicos
onde  é a espessura das chapas, Bmax a indução máxima, f
a frequência e Kf uma constante de proporcionalidade cujo
valor depende das unidades usadas, do volume do ferro e da
sua resistividade.
•
Quando o campo magnético é não sinusoidal, e portanto
contém termos harmónicos, então o fluxo magnético variável
no tempo (ou espaço) conterá também, além do termo
fundamental, um conjunto de termos harmónicos.
•
As f.e.m.’s induzidas no material
igualmente uma componente fundamental
termos harmónicos, sucedendo o mesmo
por estas originadas sobre o circuitos
formam no material magnético.
•
As perdas devido ás correntes de Faucault serão então
dadas pela soma das perdas provocadas pela componente
fundamental com as perdas originadas por cada uma das
componentes harmónicas.
•
Note-se que a resistência dos referidos circuitos fechados
aumenta á medida que aumenta a frequência dos sucessivos
termos harmónicos, devido ao efeito pelicular.
•
Por outro lado, note-se também que o valor de Bmáx diminui
á medida que aumenta a ordem do harmónico,e ainda que o
valor das constantes kf também se altera.
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magnético terão
e um conjunto de
com as correntes
fechados que se
39
Os efeitos dos harmónicos
•
As perdas por histerese são frequentemente referidas no
estudo das máquinas eléctricas, uma vez que em conjunto
com as perdas por correntes de Faucault representam as
designadas perdas no ferro de uma determinada máquina.
•
Mas a que se devem estas perdas???
•
Estas perdas podem ser calculadas pela expressão:
n
Phist  Khist * f * Bmax
onde Khist é uma constante de proporcionalidade que depende
das características e volume do ferro e das unidades
usadas. O expoente n varia entre 1,5 e 2,5, sendo um valor
frequente o 2.
•
De onde se pode concluir a sua dependência directa da
frequência, ou seja, se um determinado material magnético
é magnetizado por meio de uma corrente contínua, as
perdas por histerese são nulas…
•
Porquê???
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40
Os efeitos dos harmónicos
•
Para um determinado material ferromagnético existe uma
relação peculiar entre a indução magnética e os valores do
campo eléctrico que os cria, a que se dá o nome de CICLO
HISTERÉTICO.
•
O ciclo histerético revela a energia posta em jogo durante o
processo de magnetização do material ferromagnético.
•
Admitamos a magnetização de um determinado material
ferromagnético através da utilização de uma corrente
alternada.
•
Durante essa magnetização, numa primeira fase, a corrente
eléctrica de magnetização na sua alternância positiva vai
crescendo até ao seu máximo valor, e, em consequência o
campo magnético acompanha este crescimento atingindo
também
o seu valor máximo (curva 1).
2
1
Durante esta fase é
consumida uma quantidade
de energia por unidade
de volume do material
dada por:
B
Wmc
1
W

  HdB
V
0
a qual é proporcional á
área
sombreada
na
figura.
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41
Os efeitos dos harmónicos
•
Quando a corrente magnetizante inicia o seu percurso de
diminuição desde o valor máximo da alternância positiva até
zero, o valor do campo vai igualmente diminuindo de H1 até
um valor próximo de zero.
•
Durante esta fase devolve-se uma quantidade de energia
por unidade de volume do material ferromagnético dada por:
B
Wmc
2
2
W

  HdB
V B1
1
A
quantidade
de
energia
devolvida
é
portanto proporcional á
área
sombreada
na
figura ao lado.
• De forma análoga é possível verificar que algo
semelhante ocorre durante a alternância negativa
corrente de magnetização.
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de
da
42
Os efeitos dos harmónicos
•
Conclui-se portanto que durante um ciclo de magnetização,
uma quantidade de energia, proporcional á área do ciclo
histerético, não é devolvida, sendo gasta no trabalho de
orientação dos domínios magnéticos. Parte desta energia é
dissipada sob a forma de calor, constituindo as chamadas
perdas por histerese.
Energia que não é devolvida
num ciclo de magnetização
completo
•
Quando a corrente magnetizante que cria o campo magnético
é sinusoidal, com uma frequência f, existem f ciclos de
magnetização por segundo.
•
Em consequência teremos uma dissipação de energia por
histerese f vezes superior á dissipada num só ciclo.
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43
Os efeitos dos harmónicos
•
Quando a corrente magnetizante é não sinusoidal, e
portanto possui além do termo fundamental alguns termos
harmónicos de frequência múltipla da fundamental, as
perdas
por
histerese
são
dadas
pelas
perdas
correspondentes ao termo fundamental acrescidas das
devidas a cada um dos termos harmónicos.
•
É importante que se tenha presente que o valor máximo
atingido pelas correntes harmónicas é muito inferior ao da
componente fundamental e que a sua frequência é superior
aumentando com a ordem do harmónico.
•
Assim, é fácil de perceber que para a corrente de
magnetização de 5ª ordem, por exemplo, se dão 5f ciclos
de magnetização, mas que, muito provavelmente, a energia
não devolvida no total é inferior á não devolvida para o
termo fundamental, uma vez que o ciclo histerético terá
uma menor área devido ao menor valor da corrente, e logo
menores valores de Hmáx e de Bmáx.
•
A conclusão principal a retirar é que as perdas no ferro
aumentam quando no sistema estão envolvidas grandezas
periódicas não sinusoidais.
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44
Os efeitos dos harmónicos
•
Outros efeitos sobre as máquinas eléctricas…
•
Como constatamos, a presença de grandezas harmónicas nas
máquinas eléctricas conduz a um aumento das perdas globais
das máquinas e consequentemente a um aumento da sua
temperatura de funcionamento, obrigando á desclassificação
destas para se garantir a segurança dos isolamentos.
•
A capacidade de uma determinada máquina para suportar as
consequências dos harmónicos depende dos seus aspectos
construtivos e dos efeitos que os harmónicos produzem,
essencialmente no seu aquecimento extra e em particular
nos sobreaquecimentos localizados que em geral se fazem
sentir nos rotores das máquinas rotativas.
•
Nas máquinas rotativas surgem ainda os problema dos
binários harmónicos motores ou de frenagem e ainda a
possibilidade de vários harmónicos distintos criarem binários
de oscilação pendular.
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45
Os efeitos dos harmónicos
•
As perdas mecânicas:
•
As perdas mecânicas das máquinas eléctricas resultam
fundamentalmente de atritos nas escovas e nos mancais e
da potência necessária para fazer o arrefecimento da
máquina (ventilação).
•
No caso das máquinas rotativas, estas perdas podem ser
aumentadas por acção de binários resistentes originados por
harmónicos de sequência negativa.
•
Quando, por exemplo, no circuito eléctrico estatórico do
motor de indução trifásico com o rotor em gaiola de esquilo,
se fazem circular correntes harmónicas, resulta que no
circuito eléctrico rotórico as f.e.m ’s induzidas também
conterão termos harmónicos.
•
Os termos harmónicos das correntes estatóricas, como já
anteriormente constatámos, podem ter uma sequência
positiva, negativa ou nula, e consequentemente, as f.e.m´s
induzidas no rotor também poderão ser de sequência positiva
negativa ou nula, dando origem a correntes nas mesmas
condições.
•
Como consequência, os binários originados na máquina, um
para cada harmónico, podem ter o sentido positivo, negativo
ou nulo, ou seja poderão existir binários motores ou
resistentes.
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46
Os efeitos dos harmónicos
Consequências dos harmónicos nos transformadores:
•
Aumento das perdas por efeito de Joule.
•
Aumento das perdas no ferro.
•
Desclassificação da máquina.
•
Aumento do ruído criado pelo transformador.
•
Por exemplo, um transformador de 1000 kVA que alimente
um rectificador hexafáxico que gera
H5=25%, H7=14%,
H11=9% e H13=8% tem um coeficiente de desclassificação de
k=0,91, ou seja o transformador transforma-se de uma
máquina de 1000 kVA numa máquina de 910 kVA.
•
O coeficiente de desclassificação representa a quantidade
adicional de perdas por calor causadas pelas correntes
harmónicas nos circuitos magnéticos.
•
Consequências dos harmónicos nos transformadores:
•
Aumento das perdas no ferro.
•
Aumento da reactância subtransitória com a frequência.
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47
Os efeitos dos harmónicos
•
Surgimento de binários parasitas.
•
Redução dos rendimentos eléctrico e mecânico.
•
Aumento das perdas
indutores e induzidos.
•
Aparecimento de vibrações anormais.
•
…
nos
enrolamentos
amortecedores,
Os harmónicos sinfásicos (de sequência zero):
•
São aqueles que se somam no condutor neutro, quando este
existe.
•
Quando uma máquina possui o(s) enrolamento(s) em triângulo,
os harmónicos de sequência zero circulam na malha fechada
formada por esse triângulo, provocando aumento das perdas
no cobre.
•
Se a máquina possui o(s) enrolamento(s) em estrela com
neutro acessível, o condutor neutro será percorrido por uma
corrente, mesmo estando o sistema equilibrado (desde que
existam harmónicos sinfásicos)
•
De seguida mostra-se o referido efeito.
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48
Os efeitos dos harmónicos
•
.
Carga
equilibrada
Secundário do
transformador
R
S
Sistema trifásico equilibrado e
sem a presença de harmónicos
sinfásicos.
T
N=OA
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SOMA DAS CORRENTES
NO NEUTRO É NULA.
49
Os efeitos dos harmónicos
•
.
Sistema trifásico equilibrado e
com a presença de harmónicos
sinfásicos.
Secundário do
transformador
Carga equilibrada mas
geradora de harmónicos
de terceira ordem numa
fase.
N
A SOMA DAS CORRENTES
NO NEUTRO NÃO É NULA
APESAR
DA
CARGA
SER
EQUILIBRADA.
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Os efeitos dos harmónicos
R
•
S
T
.
N
R
S
Duas fases com a presença
de terceiros harmónicos
T
N
Três fases com a presença de
terceiros harmónicos
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Bibliografia
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Guedes, Manuel Vaz
Grandezas Periódicas Não Sinusoidais
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - 1992
•
Guedes, Manuel Vaz
Transformadores - Apontamentos
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - 1996
•
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Poluição Harmónica em Redes Industriais
Seminário Final de Licenciatura
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - 1998
•
Chapman, Stephen J.
Máquinas Electricas
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•
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•
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