Respostas
Comentadas da
Prova do ENEM
Matemática e suas
Tecnologias
(2º dia - Questões de 46 a
90)
Questão 46
Nas quatro capitais colocadas no gráfico, vemos que o item “Alimentação e
Bebidas” foi o que teve a maior variação: pouco mais de 1,5% no Rio de Janeiro, entre
2,0% e 2,5% em Porto Alegre, pouco acima de 2,0% em São Paulo e entre 2,0% e 2,5%
em Brasília.
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 47
Como o enunciado diz que o ano 1 a.C. do calendário atual corresponde ao ano 0
do calendário astronômico, temos:
Ano 3 a.C do calendário atual → ano - 2 do calendário astronômico.
Ano 2 a.C do calendário atual → ano - 1 do calendário astronômico.
Ano 1 a.C do calendário atual → ano 0 do calendário astronômico.
Ano 1 d.C do calendário atual → ano 1 do calendário astronômico.
Ano 2 d.C do calendário atual → ano 2 do calendário astronômico.
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 48
Vamos calcular os preços que seriam pagos por João e Maria em cada um dos
pacotes:
João:
Pacote 1: 7 x R$40,00 = R$280,00
Pacote 2: R$80,00 + 7 x R$10,00 = R$150,00
Pacote 3: R$60,00 + 3 x R$15,00 = R$105,00
Maria:
Pacote 1: 4 x R$40,00 = R$160,00
Pacote 2: R$80,00 + 4 x R$10,00 = R$120,00
Pacote 3: R$60,00
Portanto, a alternativa correta é a opção E.
Questão 49
Observemos que a figura II é obtida a partir de uma rotação de 180º da figura I
em torno da reta em vermelho:
Fazendo o mesmo com a figura III, temos:
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 50
Com a informação de que a média das 5 equipes foi de 2 pontos, podemos
encontrar a soma das notas das equipes D e E:
NA + NB + NC + ND + NE
=2
5
2 + 2 + 2 + ND + NE = 2 ⋅ 5
ND + NE = 4
Como as notas variam de 0 a 3, concluímos que ou as duas equipes fizeram 2
pontos cada ou uma equipe fez 1 ponto e a outra fez 3 pontos. Em qualquer das duas
situações, tanto a moda como a mediana serão iguais a 2,0.
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 51
O texto diz que o remédio aumenta por um tempo a quantidade de uma
substância já existente no corpo do indivíduo e que depois esta quantidade retorna ao
nível normal.
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 52
Começamos identificando as posições em que é possível chegar com apenas um
movimento:
Em abóbora, as posições em que é possível chegar com dois movimentos:
Observe que não é possível alcançar a casa C1 de nenhuma das posições
marcadas. Portanto, não é possível chegar a C1 com apenas três movimentos.
Mas é possível chegar com quatro movimentos. Uma das possibilidades é fazer a
sequência H8→H2→G2→G1→C1:
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 53
O montante após x meses é dado pela soma do capital inicial (5.000) com os
juros acumulados no período. Usando a fórmula para cálculo de juros no sistema de

juros simples  J =

C ⋅i⋅ t
 , tem-se:
100 
M(x) = C + J → M(x) = 5000 +
5000 ⋅ 3 ⋅ x
→ M(x) = 150x + 5000
100
A função que relaciona o montante com o tempo é uma função afim, crescente,
que intercepta o eixo M em um ponto de ordenada igual a 5000.
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 54
Se um período de 8 anos terrestres equivale a 5 ciclos de Vênus, um período de
48 anos terrestres (48 = 6 x 8) equivale a 6 x 5 = 30 ciclos de Vênus.
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 55
Do gráfico retiramos as seguintes informações:
Quantidade de alunos com média 4,0: 4.
Quantidade de alunos com média 5,0: 10.
Quantidade de alunos com média 6,0: 18.
Quantidade de alunos com média 7,0: 16.
Quantidade de alunos com média 8,0: 2.
Há, portanto, 50 alunos. Destes, 18+16+2 = 36 alcançaram média maior ou igual
a 6. A porcentagem de aprovados, então, é de:
36
× 100% → 72%
50
Portanto, a alternativa correta é a opção E.
Questão 56
Os agricultores das lavouras de amêndoas da Califórnia alugarão 1,4 milhão de
colméias, ao custo de 150 dólares cada. Logo, o valor a ser gasto é de:
150 × 1,4 milhão
→ 210 milhões
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 57
Para que as formas comportem a mesma quantidade de massa de bolo é preciso
que tenham o mesmo volume. Logo:
Vparalelepípedo = Vcilindro
L2 ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h
L =r π
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 58
A cada 34 atropelamentos ocorreram 10 mortes. Logo, em cada 34
atropelamentos, NÃO ocorreram mortes em 24. A probabilidade pedida, então, é igual
a:
p=
24 12
=
34 17
Portanto, a alternativa correta é a opção E.
Questão 59
Encontrar uma vez o semáforo com a luz verde acesa tem probabilidade igual a:
p=
tempo de luz verde
25
1
=
=
tempo total do ciclo 100
4
Logo, a probabilidade de que isso ocorra nas duas vezes é:
p=
1 1
1
× =
4 4 16
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 60
Ao final da 4ª etapa a cozinheira pode marcar 8 minutos em uma ampulheta e 3
minutos na outra, totalizando os 11 minutos que precisa marcar.
Ela marca primeiro 3 minutos, virando a segunda ampulheta e deixando a
primeira parada. Esta é a 5ª etapa.
Depois, ela vira a primeira ampulheta, para marcar os outros 8 minutos. Esta é a
6ª etapa.
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 61
Analisando o gráfico, vemos que a ordenada do ponto do gráfico do cenário
otimista quando a abscissa é 2009 é um valor entre 516.000 e 616.000, levando
diretamente à resposta.
Se desejarmos encontrar um valor aproximado para esta ordenada, como os
gráficos são retas, podemos trabalhar com a seguinte proporcionalidade:
empregos em 2009 − empregos em 2006 empregos em 2010 − empregos em 2006
=
2009 − 2006
2010 − 2006
Para o cenário otimista, temos:
x − 353,8 662,0 − 353,8
=
3
4
Vamos aproximar 353,8 para 360 e 662,0 para 600, de modo a encontrar uma
boa estimativa para x.
x − 360 660 − 360
=
3
4
Resolvendo, encontramos x = 585.
Concluímos, então, que a alternativa correta é a opção E.
Questão 62
Como a quantidade de óleo é diretamente proporcional à quantidade de pneus,
podemos montar uma proporção para saber a massa de óleo que seria produzida pelos
20 milhões de pneus:
200 pneus
-----
530 kg de óleo
20.000.000 pneus
-----
M
Encontramos M = 53.000.000 kg, que é o mesmo que 53.000 toneladas.
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 63
O lucro é a diferença entre a receita e o custo. Portanto:
L(x) = R(x) − C(x)
L(x) = 0,7x − (1 + 0,1x)
L(x) = 0,6x − 1
A função lucro é uma função afim em que o coeficiente de x é positivo.
Portanto, seu gráfico é uma reta ascendente. O termo independente -1 indica a ordenada
do ponto em que a reta corta o eixo L.
O único gráfico que atende estas condições é o da opção B.
Questão 64
Vamos calcular os custos que o executivo e sua esposa teriam em cada uma das
empresas.
Executivo:
Empresa W: 2,40 x 5 + 3,00 → R$15,00.
Empresa K: 2,25 x 5 + 3,80 → R$15,05.
Empresa L: 2,50 x 5 + 2,80 → R$15,30.
Para o executivo, é mais vantajoso optar pela empresa W.
Esposa:
Empresa W: 2,40 x 15 + 3,00 → R$39,00.
Empresa K: 2,25 x 15 + 3,80 → R$37,55.
Empresa L: 2,50 x 15 + 2,80 → R$40,30.
Para a esposa do executivo, é mais vantajoso optar pela empresa K.
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 65
Vamos começar calculando o total depositado em 5 dias: 1 + 5 + 10 + 25 + 50 =
91 centavos.
Em uma quantidade n (n inteiro) de 5 dias devemos ter 91 ⋅ n ≤ 9505 . A
divisão de 9505 por 91 tem quociente 104 e resto 41. Concluímos, então, que se
passaram 104 x 5 = 520 dias e faltam 41 centavos.
Ora, 41 = 1 + 5 + 10 + 25. Logo, são necessários mais 4 dias, totalizando 524
dias.
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 66
Dividindo por 12 os 523 milhões anuais, encontramos um valor médio mensal
para todo o grupo de 180 mil trabalhadores. Dividindo este valor por 180 mil,
encontramos a renda média mensal de cada trabalhador. Então:
523.000.000 52.300 52.300
=
=
≅ 242
12 ⋅ 180.000
12 ⋅ 18
216
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 67
Analisando o gráfico, vemos que:
São necessários 1000 litros de água para cada quilograma de milho.
São necessários 1500 litros de água para cada quilograma de trigo.
São necessários 2500 litros de água para cada quilograma de arroz.
São necessários 5000 litros de água para cada quilograma de carne de porco.
São necessários 17000 litros de água para cada quilograma de carne de boi.
A média de litros de água por quilograma para a quantidade pedida no enunciado
é dada por:
M=
1000 ⋅ 100 + 1500 ⋅ 100 + 2500 ⋅ 100 + 5000 ⋅ 100 + 17000 ⋅ 600
100 + 100 + 100 + 100 + 600
M=
100.000 + 150.000 + 250.000 + 500.000 + 10.200.000
1.000
M = 100 + 150 + 250 + 500 + 10.200
M = 11.200
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 68
Considere a figura abaixo. Os segmentos de medidas 12 e r’ são catetos de um
triângulo retângulo em que o ângulo oposto a r’ mede 30º. Com a função tangente
vamos calcular r’:
tg30º =
r'
12
3
r'
=
3
12
r' = 4 3 m
Portanto, o raio da base superior do reservatório é 2 3 + 4 3 = 6 3 m. E a
área é:
A = π ⋅ R²
A = π ⋅ (6 3)²
A = 108π m²
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 69
Na figura abaixo destacamos dois triângulos semelhantes: ABC e ADE.
Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, tem-se:
b d
=
a c
Mas o enunciado diz que d =
2d'
b
= 3
a
c
→
2d'
. Logo:
3
b 2d'
=
a 3c
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 70
O enunciado nos dá a seguinte equivalência:
1 cm = 120 dpi
Assim, as dimensões da foto são:
15 cm = 1800 dpi
e
20 cm = 2400 dpi
E a quantidade de pixels é:
1800 × 2400 = 4.320.000 = 4,32 × 106
Portanto, a alternativa correta é a opção E.
Questão 71
O total desmatado nos 12 meses que se encerraram em 31 de julho de 2008 foi
64% superior a 4.974 km². Portanto, a área desmatada é dada por:
1,64 ⋅ 4974 km²
A área desmatada no estado do Mato Grosso corresponde a 56% deste valor:
0,56 ⋅ 1,64 ⋅ 4974 km²
Como 0,56 ⋅ 1,64 = 0,9184 , uma boa estimativa seria calcular 0,9 ⋅ 5000 ,
resultando em 4500 km². Logo, o valor exato é um pouco maior que 4500 km² (mas não
chega a 4700 km²).
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 72
A área a ser cultivada é um retângulos de dimensões a e b. Já a área total é um
retângulo de dimensões (a+x) e (b+x). Conforme o enunciado, a área cultivada deve
representar 80% da área total. Ou seja:
a⋅b =
80
⋅ (a + x) ⋅ (b + x)
100
Desenvolvendo, chegamos a:
4x2 + 4(a + b)x − ab = 0
Como a questão pede o dobro de x, podemos resolver a equação acima para a
incógnita y = 2x. Fica:
y2 + 2(a + b)y − ab = 0
Observando que a solução deve ser necessariamente positiva, obtemos:
y = (a + b)2 + ab − (a + b)
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 73
Como as caixas não se deformam, ficam algumas “folgas”, como sugere o
esquema abaixo, em que cada quadradinho é a face de uma caixa:
Esta é uma vista de cima de uma camada de caixas. Como a altura da carroceria
é 2,1 metros, é possível formar duas camadas, totalizando 20 caixas por viagem. Assim,
para transportar 240 caixas são necessárias 240 ÷ 20 = 12 viagens.
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 74
Se uma porção de 200 g de batatas possui 560 calorias, então cada grama tem
560 ÷ 200 = 2,8 calorias.
Da mesma forma, concluímos que cada grama de sanduíche tem 500 ÷ 250 = 2
calorias.
Logo, em x gramas de sanduíche há 2.x calorias e em y gramas de batatas há
2,8.y calorias. Como x e y são tais que o total de calorias deve ser de 462, tem-se:
2x + 2,8y = 462
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 75
A maior fatia possível é aquela obtida pelo corte que passa pelo centro da
laranja, gerando um círculo de raio 3 cm. Neste caso, a área da fatia em relação à área
da secção transversal do cilindro é:
Área da fatia
Área da sec ção do cilindro
=
π ⋅ 32 − π ⋅ 12
2
π ⋅1
=
8π
=8
π
Portanto, a alternativa correta é a opção E.
Questão 76
Ordenando os 10 resultados, tem-se a seguinte distribuição:
(1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6)
A média é obtida somando-se todos os valores e dividindo esta soma pela
quantidade de valores.
Média =
1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 30
=
=3
10
10
A mediana, como há uma quantidade par de números, é obtida calculando a
média aritmética dos dois termos centrais: o 5º e o 6º:
Mediana =
2+4
=3
2
E a moda é o valor mais freqüente na distribuição:
Moda = 1
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 77
O volume de 625 π cm³ é obtido somando-se o volume do cone de raio 5 cm e
altura 6 cm com o volume do cilindro de raio 5 cm e altura (30-H). Portanto:
Vcone + Vcilindro = 625 π
π ⋅ 52 ⋅ 6
+ π ⋅ 52 ⋅ (30 − H) = 625 π
3
Resolvendo, chegamos a H = 7 cm.
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 78
Nesta questão basta verificar com qual das peças é possível preencher o plano
continuamente. Tal fato ocorre apenas com a peça do item D, conforme a figura abaixo:
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 79
Vamos escrever todas as 24 permutações que podem ser feitas com os
algarismos 1, 2, 5 e 0, destacando em azul aquelas em que nenhum dos algarismos se
encontra na posição correta:
0-1-2-5
1-0-2-5
2-0-1-5
5-0-1-2
0-1-5-2
1-0-5-2
2-0-5-1
5-0-2-1
0-2-1-5
1-2-0-5
2-1-0-5
5-1-0-2
0-2-5-1
1-2-5-0
2-1-5-0
5-1-2-0
0-5-1-2
1-5-0-2
2-5-0-1
5-2-0-1
0-5-2-1
1-5-2-0
2-5-1-0
5-2-1-0
A probabilidade pedida é igual a:
p=
9
3
=
24 8
Portanto, a questão não apresenta opção de resposta.
Questão 80
Para calcular o aumento da velocidade média do atleta de 2006 para 2007, em
percentual, fazemos:
velocidade em 2007 − velocidade em 2006
x 100%
velocidade em 2006
Como a velocidade média é definida como sendo a razão entre a distância
percorrida e o tempo gasto, tem-se:
1500 1500
−
3,58
3,65
x 100%
1500
3,65
 1500 1500  3,65
−
× 100%

×
3,65  1500
 3,58
1  3,65
 1
−
× 100%

×
1
 3,58 3,65 
3,65 − 3,58
× 3,65 × 100%
3,58 × 3,65
0,07
× 100%
3,58
7
% ≅ 2%
3,58
Portanto, a alternativa correta é a opção B.
Questão 81
Como 1 m = 103 mm, a quantidade de folhas no empilhamento é:
103
= 104
0,1
Havendo 10 títulos anotados em cada folha, a quantidade de títulos de livros
registrados no empilhamento é:
104 × 10 = 105
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 82
Dos dados apresentados no quadro, interessam apenas os referentes às capitais
da Região Norte:
• Belém: 2º turno.
• Boa Vista: 1º turno.
• Macapá: 1º turno.
• Manaus: 2º turno.
• Palmas: 1º turno.
• Porto Velho: 2º turno.
• Rio Branco: 1º turno.
Das 7 capitais, em 3 tivemos a eleição decida no 2º turno. Colocando em
percentual:
3
× 100% ≅ 42,86%
7
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 83
Esta questão possui problemas sérios em seu enunciado que inviabilizam a
solução.
Começa falando em “produto x”, como se o produto variasse. No entanto,
percebemos, pelo restante do enunciado e pelo gabarito apresentado, que a intenção era
dizer que o que varia é a quantidade produzida, sempre de um mesmo produto.
Depois, dá-se a função “custo de fabricação de cada unidade”. Novamente, para
chegar à resposta apresentada teríamos que considerar que esta função C(x) = 3x²+232
fornece o custo total da produção de x unidades.
Apenas a título de curiosidade, utilizemos este enunciado alternativo:
“A empresa WQTU Cosmético vende x unidades de um determinado produto,
cujo custo de fabricação é dado por 3x² + 232, e o seu valor de venda é expresso pela
função 180x-116. A empresa vendeu 10 unidades do produto, contudo a mesma deseja
saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.
A quantidade de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para obtenção
do maior lucro é:”
Neste caso, como o lucro é a diferença entre receita e custo, teremos:
L(x) = R(x) − C(x)
L(x) = (180x − 116) − (3x2 + 232)
L(x) = −3x² + 180x − 348
Trata-se de uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade
voltada para baixo. Portanto, o valor máximo de L ocorre no vértice. A abscissa do
vértice é dada por:
XV = −
180
= 30
2 ⋅ (−3)
E a resposta seria a alternativa B.
Questão 84
O volume que ainda falta após os primeiros 30 minutos corresponde à diferença
entre os volumes de dois cilindros, ambos de altura h2 e com raios R e r. Portanto:
V = π ⋅ R 2 ⋅ h2 − π ⋅ r2 ⋅ h2
Substituindo R por r 2 e h2 por
h1
, fica:
3
( )2 ⋅ h31 − π ⋅ r2 ⋅ h31
V = π⋅ r 2
V = π ⋅ r2 ⋅
h1
3
Observe que este volume é exatamente 1/3 do volume do cilindro do meio.
Então, se foram necessários 30 minutos para encher o cilindro do meio, são necessários
mais 10 minutos para V, de modo que o tempo total é de 40 minutos.
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 85
Segundo o acordo feito entre o comerciante e o funcionário, para um acréscimo
de 600 reais nas vendas, haverá um acréscimo de 80 reais na quantia recebida pelo
funcionário.
Ao vender 990 reais, o funcionário conseguiu um aumento de 390 reais na
vendas. Desejando que o acréscimo no salário seja proporcional ao acréscimo nas
vendas, deve-se ter:
80
x
=
600 390
Que nos leva a x = 52. Acrescentando os 120 reais, chega-se a um total de
R$172,00.
Portanto, a alternativa correta é a opção C.
Questão 86
Esta questão possui um enunciado incompleto, de modo que não é possível
resolvê-la. Consideremos os seguintes conjuntos:
A: conjunto das mulheres que têm certeza de que os homens odeiam ir ao
shopping.
B: conjunto das mulheres que pensam que os homens preferem mulheres que
façam todas as tarefas da casa.
Temos o seguinte diagrama:
Conjunto A
x
Conjunto B
y
z
w
O problema é que, a julgar pelo gabarito apresentado, assume-se, sem nenhuma
justificativa razoável, que w = 0. Mas, com os dados apresentados, w pode variar de 0 a
84!!
A título de curiosidade, se fosse dada alguma informação que nos permitisse
concluir que w = 0, a solução seria:
x + y + z = 300

 x + y = 216
 y + z = 195

(OBS: 216 é 72% de 300 e 195 é 65% de 300.)
Resolvendo o sistema, encontramos y = 111.
E a resposta seria a alternativa C.
Questão 87
A questão pede o raio da esfera de mesmo volume que o cilindro de raio da base
igual a 12 cm e altura 15 cm:
Vesfera = Vcilindro
4 ⋅ π ⋅ R3
= π ⋅ 122 ⋅ 15
3
Simplificando, chegamos a:
R 3 = 1620
Decompondo 1620 em fatores primos, tem-se:
R 3 = 34 ⋅ 22 ⋅ 5
Logo:
3
R = 34 ⋅ 22 ⋅ 5
3
R = 3 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 5
R = 3 ⋅ 3 60 cm
Portanto, a alternativa correta é a opção D.
Questão 88
Tal qual a questão 83, esta aqui também apresenta problemas incontornáveis em
seu enunciado. Para chegar ao gabarito apresentado, a função de venda
V(x) = −2x2 + 229,76x − 441,84 deveria expressar a venda de todas as x unidades
produzidas pela empresa.
Neste caso, como é dito que o custo é dado pela equação de uma reta crescente
com inclinação 2 e que a despesa fixa é de R$7,00, teríamos:
C(x) = 2x + 7
Assumindo que a queda de 12% ocorra tanto no custo fixo como no custo
variável, a função custo passaria a ser:
C(x) = (2x + 7) ⋅ 0,88
C(x) = 1,76x + 6,16
E a função lucro seria:
L(x) = V(x) − C(x)
L(x) = (−2x2 + 229,76x − 441,84) − (1,76x + 6,16)
L(x) = −2x2 + 228x − 448
E a resposta seria a alternativa A.
Questão 89
A área S pode ser decomposta em dois segmentos circulares de 120º, conforme a
figura abaixo:
Lembrando que a área do segmento de raio R e ângulo α é dada por
A=
2π
α ⋅ R 2 R 2 ⋅ sen(α)
rad teremos:
−
, para α =
2
2
3
 α ⋅ R 2 R 2 ⋅ sen(α) 

S = 2⋅
−
 2

2


2π 
 2π 2
⋅R
R 2 ⋅ sen( ) 

3 
S = 2⋅ 3
−
 2

2




S=
2π 2
3
⋅R −
⋅ R2
3
2
Portanto, a alternativa correta é a opção A.
Questão 90
Indicando por H um filho homem e por M uma filha mulher, os resultados
possíveis para 3 filhos são os seguintes:
1) H – H – H
2) H – H – M
3) H – M – H
4) H – M – M
5) M – H – H
6) M – H – M
7) M – M – H
8) M – M – M
Dois 8 resultados, tem-se exatamente 2 homens em 3 deles. Assim, a
probabilidade, em porcentagem é:
p=
3
× 100% → p = 37,5%
8
Portanto, a alternativa correta é a opção E.