Módulo VII - 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle:
Princípio de Conservação da Massa. Regime Permanente.
Conservação da Massa
A massa, assim como a energia, é uma propriedade que se conserva, e
não pode ser criada nem destruída durante um processo. Em sistemas
fechados, o princípio de conservação da massa é usado implicitamente pela
exigência de que a massa do sistema permaneça constante. Em volumes de
controle, ou sistemas abertos, a massa pode atravessar a fronteira do sistema
e devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume
de controle.
Vazão Mássica e Vazão Volumétrica
Vazão mássica ou fluxo de massa, ṁ, é a quantidade de massa que
escoa através de uma área por unidade de tempo. Esse fluxo de massa pode
ser expresso por:
̇
[
∫
]
onde ρ é massa específica do fluido escoando, V n é a componente da
velocidade normal a secção de área transversal ao escoamento e A c é a
secção de área transversal ao escoamento.
A velocidade nunca é uniforme ao longo da secção transversal de um
tubo, devido à condição de não-deslizamento nas paredes. Para isso,
definimos a velocidade média de escoamento dado por:
∫
Finalmente, para um escoamento com fluido incompressível ou para
escoamento compressível com ρ uniforme temos:
[
̇
]
De maneira semelhante, vazão volumétrica é o volume de fluido
escoando através de uma área por unidade de tempo.
̇
[
∫
]
Conservação da Massa para um Volume de Controle
A transferência líquida de massa, ou do fluxo de massa, para ou de um
volume de controle durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida
da massa, ou do fluxo de massa, total dentro do volume de controle durante Δt.
∑
∑
[
]
∑ ̇
∑ ̇
[
]
onde os subscritos e e s representam os valores que estram e saem do
volume de controle.
Para um escoamento unidimensional temos que:
∑
∑
∑
∑
[
]
Já para o caso de escoamento permanente, durante o processo, a
quantidade de massa contida dentro do volume de controle não muda com o
tempo. Assim a quantidade de massa que entra em um volume de controle tem
que ser igual a quantidade que sai.
∑ ̇
∑ ̇
No caso do escoamento em regime permanente com corrente única,
como ocorre em muitos dispositivos de engenharia, a equação se reduz para:
̇
̇
Para fluidos incompressíveis a massa específica não tem variação
considerável no decorrer do processo e com isso podemos reduzir ainda mais
a equação para:
∑ ̇
∑ ̇
Neste caso também é comum a presença de apenas uma corrente:
̇
̇
Não podemos deixar de comentar que não existe o princípio de
conservação de volume e portanto as vazões volumétricas podem ser
diferentes.
Conservação da Energia para um Volume de Controle
O desenvolvimento do balanço de energia para um volume de controle
pode ser obtido modificando-se o balanço da taxa de energia para sistema
fechado de forma a levar em conta a transferência de energia, chegando a:
̇
̇
̇ (
)
̇ (
)
onde e
representam a taxa líquida de transfer ncia de energia por
calor e trabalho através da fronteira do volume de controle no instante t. Os
dois demais termos representam as taxas de transferência de energia interna,
cinética e potencial dos fluxos de entrada e saída.
tra alho para volume de controle é convenientemente separado em
duas contri ui es. ma associada press o do fluido medida que a massa
é introdu ida nas entradas e removida nas saídas, e outra designada por VC
que inclui todos os outros efeitos. Para o primeiro efeito a equação é dada por:
̇
̇
̇
̇
Com isso o taxa de energia por trabalho total é dada por:
̇
̇
̇
̇
̇
Portanto para um escoamento unidimensional a taxa de energia para um
volume de controle é:
̇
̇
̇ (
̇
̇
̇ (
)
̇ (
)
̇ (
)
)
Como ocorre para a conservação da massa, na prática podem existir
vários locais na fronteira através dos quais a massa entra e sai.
̇
̇
∑ ̇ (
)
∑ ̇ (
)
Para regime permanente, isto é, sem variação com o tempo temos:
̇
̇
̇
∑ ̇ (
∑ ̇ (
)
̇
)
∑ ̇ (
)
∑ ̇ (
)
Para regime permanente com uma entrada e saída, o fluxo de massa é
idêntico, resumindo-se para:
̇
̇
)
̇ *(
(
)
(
)+
Se o fluido sofrer uma variação desprezível em suas energias cinética e
potencial enquanto escoa através de um volume de controle e equação de
energia se reduzirá a:
̇
̇
̇(
)
̇
̇
̇(
)
Exemplos
1) Um aquecedor de água operando em regime permanente possui duas
entradas e uma saída. Na entrada 1, o vapor d’água entra a p1 = 7 bar, T1 =
200°C com vazão mássica de 40 kg/s. Na entrada 2, água líquida a p 2 = 7
bar, T2 = 40°C entra através de uma área A2 = 25 cm2. Líquido saturado a 7
bar sai em 3 com uma vazão volumétrica de 0,06 m 3/s. Determine a vazão
mássica na entrada 2, em kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s.
Resolução:
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ3 = ρ3A3V3 = (A3V3/v3)
ṁ1 + ṁ2 = (A3V3/v3)
Da tabela v3 = 1,108x10-3 m3/kg
40 + ṁ2 = (0,06/1,108x10-3)
ṁ2 = 14,15 kg/s
ṁ2 = (A2V2/v2)
Da tabela v2 = 1,0078x10-3 m3/kg
14,15 = (0,0025 V2/1,0078x10-3)
V2 = 5,7 m/s
ρ1A1V1 + ρ2A2V2 = ρ3A3V3
(A1V1/v1) + (A2V2/v2) = (A3V3/v3)
2)
vapor d’água entra em uma tur ina operando em regime permanente com
uma vazão mássica de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de
1000 kW. Na entrada, a pressão é de 60 bar, a temperatura é 400°C e a
velocidade é 10 m/s. Na saída, a pressão é 0,1 bar, o título é 0,9 e a
velocidade é 30 m/s. Calcule a taxa de transferência de calor entre a turbina
e a vizinhança em kW.
Resolução:
̇
̇
̇ *(
)
(
)
(
)+
z1 = z2
Das tabelas termodinâmicas na entrada para vapor superaquecido h1 = 3177,2
kJ/kg e na saída há mistura de vapor e líquido que dá h2 = 2345,4 kJ/kg
̇
(
(
)
) *(
)
(
)(
)+
̇
Exercícios Propostos
1) Um computador deve ser resfriado por um ventilador com uma vazão
volumétrica igual a 0,34 m3/min. Determine o fluxo de massa de ar através
do ventilador a uma altitude de 3400 m onde a massa específica do ar é de
0,7 kg/m3. Se a velocidade média do ar não exceder os 110 m/min,
determine também o diâmetro da carcaça do ventilador.
Resposta: 0,238 kg/min; 0,063 m
2) Os requisitos mínimos de ar fresco de um prédio residencial são
especificados como 0,35 de renovação de ar por hora (ASHRAE, Standard
62, 1989). Ou seja, 35% de todo o ar contido em uma residência deve ser
substituído por ar fresco externo a cada hora. Se a exigência de ventilação
de uma residência de 200 m2 com 2,7 m de altura deve ser atendida
totalmente por um ventilador, determine a vazão em litros/min do ventilador
que precisa ser instalado. Determine também o diâmetro do duto se a
velocidade do ar não deve exceder 6 m/s.
Resposta: 3150 l/min; 0,106 m
3) Um tanque de mistura contém 3000 lb (1360,8 kg) de água líquida. O
tanque é equipado com dois tubos de entrada, um tubo para a distribuição
de água quente a uma vazão mássica de 0,8 lb/s (0,36 kg/s) e um outro
para a distribuição de água fria a uma vazão mássica de 1,3 lb/s (0,59 kg/s).
A água sai através de um único tubo de saída a uma vazão mássica de 2,6
lb/s (1,2 kg/s). Determine a quantidade de água, em lb, no tanque após uma
hora.
Resposta: 1200 lb
4) Sob condições de regime permanente, um fluxo de água líquida a 20°C e 1
bar é misturado com um fluxo de etileno glicol (M = 62,07) de maneira a
formar uma mistura refrigerante com 50% de glicol em massa. A vazão
mássica molar da água é de 4,2 kmol/min. A massa específica do etileno
glicol é 1,115 vezes maior que da água. Determine:
a) a vazão mássica molar, em kmol/min, e a vazão volumétrica, em m3/min,
do etileno glicol na entrada.
b) os diâmetros, em cm, de cada um dos dutos de alimentação se as
velocidades são iguais a 2,5 m/s.
Resposta: 1,219 kmol/min; 0,068 m3/min; 2,54 e 2,4 cm
5) Ar em regime permanente em um tubo de 28 cm de diâmetro a 200 kPa e
20°C com uma velocidade de 5 m/s. O ar é aquecido a medida que escoa e
sai do tubo a 189 kPa e 40°C. Determine:
a) a vazão volumétrica na entrada,
b) o fluxo de massa de ar e
c) a velocidade e a vazão volumétrica de saída.
Resposta: 0,3079 m3/s; 0,7318 kg/s; 5,94 m/s; 0,3654 m3/s
6) Ar em regime permanente a 200 kPa, 52°C e uma vazão mássica de 0,5
kg/s entra em um duto isolado com diferentes áreas de seção transversal de
entrada e saída. Na saída do duto, a pressão do ar é de 100 kPa, a
velocidade é de 255 m/s e a área da seção transversal é de 2x10 -3 m2.
Admitindo o modelo de gás ideal, determine:
a) A temperatura do ar na saída, em °C.
b) A velocidade do ar na entrada, em m/s.
c) A área da seção transversal da entrada, em m2.
Resposta: 82°C; 355 m/s; 6,57x10-4 m2