A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO
s
s(t)
S
s+s
s
s
T
Q
vm 
R
W
P
Fazendo
t+t
t
t
t
Q  P : lim
s
t
s ds

dt
t 0 t
ds
vins 
dt
dv
a
dt
Exercício 1: Calcular a velocidade dada a
t
função horária:
s(t ) 
t4
ds
v (t ) 
dt
v(t ) 
1.(t  4)  t.1
(t  4) 2
v(t ) 
t  4t
(t  4) 2
v(t ) 
4
(t  4) 2
Exercício 2: A função horária de um
movimento é dada por: s(t )  t t
Em que instante a velocidade vale 1,5m/s?
s(t )  t t  t.t1/ 2  t 3/ 2
ds
v (t ) 
dt
3 1/ 2 3 t
v(t )  t 
2
2
3 3 t
v(t )  
2
2
Assim :
t  1s
Exercício 3: A inclinação da reta tangente ao
gráfico da função horária de um movimento
no ponto (4,13) é 12. Determinar s(4) em
metros e v(4) em m/s.
s(t )  12t  35
y  y0  m( x  x0 )
s(4)  12.4  35
y  13  12( x  4)
s(4)  48  35  13m
y  12x  48  13
ds
v (t ) 
y  12x  35
dt
s(t )  12t  35
v(t )  12m / s
Ou ainda:
m  ds / dt  12m / s
Exercício 4:Uma torneira lança água em um tanque. O
volume de água nele, no instante t, é dado por V (t )  5t 3  3t litros,
t sendo dado em minutos. Calcular a vazão da água, no
instante t=3 minutos.
Vazão 
dV
L / min
dt
dV
Vazão 
 5.3t 31  3.1.t 11
dt
dV
Vazão 
 15t 2  3
dt
dV
Vazão 
 15.(3) 2  3  15.9  3
dt
Vazão 
dV
 138L / min
dt
Exercício 5: Calcular a taxa de variação da área do círculo
com o raio.
A   .r 2
dA
 2 .r
dr
Pergunta-se: qual
o significado
dessa taxa de
variação?
P  2 .r
Exercício 6: Determinar a taxa de variação do volume da
esfera com o seu raio.
4
V   .r 3
3
dV 4
  .3r 2
dr 3
dV
 4 .r 2
dr
Pergunta-se: qual a relação dessa taxa de variação
para com a esfera?
dV
dr
 (2 .r ).( 2r )
Exercício 7: Uma certa quantidade de gás ideal, mantido a uma
certa temperatura constante, obedece à Lei de Boyle-Mariotte:
PV=25, onde P é a pressão em atmosferas e V é o volume em
litros.
Calcular:
a) A taxa de variação do volume com a pressão, quando esta
valer 5 atmosferas:
dV
25
11
2
 25.  1.P  25.P   2
25
1
dP
P
V
 25 .P
P
dV
25
  2  1L / atm
dP
(5)
b) A taxa de variação da pressão com o volume, quando este
valer 1 litro:
dP
25
 25.  1.V 11  25.V  2   2
dV
V
25
1
P
 25 .V
V
dP
25
  2  25atm / L
dV
(1)
Exercício 8: Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onda
circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de
3cm/s. Calcular a taxa de variação, com o tempo, da área do círculo
limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20 cm.
dr
 3cm / s
dt
dA
?
dt
dA
 2 .r.3
dt
dA
 6 .rcm 2 / s
dt
dA dA dr

.
dt dr dt
dA
 6 .20cm 2 / s
dt
dA
 120 .cm 2 / s
dt
Exercício 9: Um tanque horizontal cúbico tem aresta medindo 2m e a
vazão de água é constante, valendo 0,5m3/s. Determinar a velocidade de
subida do nível da água.