TUTORIAL – 11B
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
MATEMÁTICA
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns
exemplos de função quadráticas:
1.
2.
3.
4.
5.
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
parábola.
0, é uma curva chamada
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos os pontos assim obtidos.
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
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 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números
reais x, tais que f(x) = 0.
Então, as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2ºgrau ax2 + bx + c
= 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando
, chamado discriminante, a saber:
 quando
é positivo, há duas raízes reais e distintas;
 quando
é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
 quando
é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a
parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
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. Veja os gráficos:
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Imagem
O conjunto-imagem Im, da função y = ax2 + bx + c, onde a
pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
0, é o conjunto dos valores que y
a>0
2ª quando a < 0,
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a<0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo
dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para
os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante,
 = b2 - 4ac, podem ocorrer os seguintes casos:
1º caso -
>0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1
x2). a parábola intercepta
o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y>0
(x < x1 ou x > x2)
y<0
x1 < x < x2
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quando a < 0
y>0
x1 < x < x2
y<0
(x < x1 ou x > x2)
2º caso -
=0
quando a > 0
quando a < 0
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3º caso -
<0
quando a > 0
quando a < 0
Forma fatorada da função quadrática
A forma fatorada é um instrumento muito útil no caso de querermos determinar a função quadrática
a partir de seu gráfico. No caso, f(x) = ax2 + bx + c pode ser escrita como f(x) = a(x – x’)(x – x’’), onde x’
e x’’ são as raízes da função.
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Forma Problemas de Máximo e de Mínimo
Geralmente, problemas envolvendo situações onde se pede o valor máximo ou o valor mínimo nos
conduzem a uma função quadrática, pois seu gráfico, a parábola, é uma curva que possui um ponto de
máximo ou um ponto de mínimo. Na função f(x) = ax2 + bx + c, se a > 0 a parábola tem sua concavidade
(abertura) voltada para cima e, consequentemente, possui mínimo.
Se a < 0, a parábola possui concavidade (abertura) voltada para baixo e, consequentemente,
possui ponto de máximo. Tanto o mínimo quanto o máximo ocorrem no vértice da parábola, cujas
coordenadas já vimos como calcular.
Questões
1. O vértice da parábola y = 2x2 – 4x + 5 é o ponto:
a) (2,5)


b)  1, 11
c) (-1,11)

d) 1, 3

e) (1,3)
2. A função f(x) = x2- 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
3. Se o vértice da parábola dada por y = x2 – 4x + m é o ponto (2,5), então o valor de m é:
a) 0
b) 5
c) -5
d) 9
e) - 9
4. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e
somente se:
a) m = 6 ou m = - 6
b) - 6< m < 6
c)  6  m  6
d) m  6
e) m  6
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5. (UFMG) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é:
a) x < 5
b) 1 < x < 5
c) x > 1
d) x > 5
e) x > 3
6. (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Se
que cada produto é vendido por R$10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter
um lucro de R$44,00 é:
a) 3
b) 10
c) 12
d) 13
e) 15
7. Um retângulo possui perímetro é 10 cm e a medida de um dos lados é x. A área do retângulo, em
função de x, será determinada por
a) A =  x2 + 5x
b) A = x2 – 5x
c) A = x2 – 10x
d) A =  x2 + 10x
e) A =  x2 + 5x + 10
8. (Cesgranrio) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fino com o formato de
parábola
Y = x2 – 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-se a conta deslizar no arame até chegar ao ponto
Q de ordenadas – 6. A distância horizontal percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de p e q)
é:
a) 12
b) 4
c) 6
d) 5
e) 3
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9. (PUC) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste
consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de 100km
em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente.
Observou-se então que, para
velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade,
conforme mostra o gráfico seguinte.
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter
consumido no teste feito à velocidade de 120km/h?
a) 20
b) 2
c) 24
d) 26
e) 28
10. (UFPB) O gráfico da função y = f(x) =
, representado na figura abaixo, descreve a
trajetória de um projétil, lançado a partir da origem.
Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, a altura máxima H e o alcance A do projétil são,
respectivamente:
a) 2 km e 40 km
b) 40 km e 2 km
c) 2 km e 10 km
d) 10 km e 2 km
e) 2 km e 20 k
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Gabarito
1) e
2) c
3) d
4) a
5) e
6) e
7) a
8) b
9) d
10) d
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