A DEMONSTRAÇÃO, PROVA E ARGUMENTAÇÃO NO
ENSINO DA MATEMÁTICA
Marcilene Moreira dos Santos Silva
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
79750-000, Nova Andradina, MS
[email protected]
Antonio Sales
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
79750-000, Nova Andradina, MS
[email protected]
RESUMO: Este artigo é um estudo do uso da demonstração e da prova no contexto escolar.
Procura diferenciar a prova, a demonstração e a argumentação, tendo como base Arsac e
Chevallard. É também o resultado de um levantamento teórico e da realização de uma
pesquisa de campo com professores que atuam no ensino fundamental, para entender qual o
valor que eles atribuem ao processo de argumentar ou demonstar durante as aulas de
matemática. Como resultado observou-se que o valor formativo da argumentação não é
evidente para os professores embora todos sejam licenciados em matemática.
Palavras-chave: Prova. Demonstração. Argumentação.
Introdução
Quando se trata de validação matemática, podemos falar em demonstração, pois esta
tem como função a comprovação de diversas asserções. Comprovação esta que depois de
demonstrada não pode deixar espaço para dúvida. Segundo Arsac ela se divide em
demonstração formal, prova e argumentação e diferenciá-las não é algo tão fácil pois,
normalmente, elas se entrelaçam. Este artigo é um levantamento teórico sobre o tema e a
pesquisa de campo realizada com profissionais da educação mostra a confusão que existe
entre esses três conceitos.
Demonstração, um caso particular de prova
O ato de demonstrar em matemática, nem sempre se encontra presente em salas de
aula. Para Gilbert Arsac (apud. Sales, 2009), isso se dá devido ao fato de que nem sempre esta
visão se encontra clara para professores que atuam na educação básica. Demonstração, prova
e argumentação se entrelaçam não havendo, para eles, uma distinção entre elas. Demonstrar é
argumentar, visando responder a pergunta: ”por que é verdadeiro?”. Esta possui rigor e
formalidade enquanto argumentar não tem a preocupação com a validade da tese ou, melhor
dizendo, aplica-se ainda que não se conheça o desfecho. Argumentação e prova podem ser
colocadas como etapas da demonstração, se assemelham e se diferem da demonstração nos
seguintes pontos:
A demonstração é teórica e restrita a uma comunidade em particular, que tenha uma
linguagem em comum, partindo de axiomas (postulados) e teoremas tem por fim uma única
verdade sem deixar espaço para dúvidas a respeito de sua validação. Enquanto a
argumentação não fica limitada a um campo do saber. A demonstração visa uma comunidade
especial que se interessa pelo estudo da matemática. A prova e a argumentação não têm a
necessidade de formalismo, e seus pressupostos ainda não necessitam estar estabelecidos.
Estas partem de objetos sensíveis pertencentes ao mundo real, podendo ser palavras,
desenhos, gestos, e esboço (SALES, 2009). Um exemplo de prova é apresentado quando se
utiliza dobradura para se provar que os ângulos internos de um triângulo somam 180º. A
argumentação é toda tentativa de convencer aguém de que se está na direção da verdade. É
toda ação de justificar ainda que não corretamente. Seu valor formativo não está na verdade
de defende ou na ausência da verdade, quando ocorre um equívoco, mas na contribuição para
o processo de construção de um raciocínio lógico-dedutivo ou lógico-indutivo.
Se for para se classificar em ordem do mais abrangemte para o menos abrangente,
podemos partir primeiro da argumentação. Para a comprovação de uma asserção pode-se
utilizar a prova e, por fim, conclui-se com a demonstração. Com isso podemos dizer que a
demonstração é um caso particular de prova, ou melhor, um subproduto desta, destinada a um
grupo em especial e possui característica própria, possuindo formalismo e tem caráter
cientifico e técnico.
A demonstração na visão de profissionais que atuam na educação básica
Para complementar este trabalho procedemos a uma pesquisa de campo
entrevistando três professores de escolas públicas de Nova Andradina. São docentes que
atuam no ensino fundamental. Mais precisamente, que lecionam no 9º ano. A entrevista foi
gravada e depois transcrita. Na entrevista procuramos entender qual a visão dos docentes em
relação a demonstração em matemática, prova ou argumentação. Para isso em nossa entrevista
direcionamos para o acso particular da demonstração do teorema de Pitágoras. Partimos do
pressuposto de que devido ao fato de ser este um teorema muito conhecido estaríamos
eleminando algumas variáveis intervenientes..
Embora os entrevistados tenham assinado o termo de livre consentimento
procuramos preservar sua identidade, evitando expô-los. Os nomes foram omitidos, tratamos
a todos como se fossem do gênero masculino e os designamos por letras maiúsculas do
alfabeto.
As perguntas foram as mesmas para todos os professores e nos parágrafos seguintes
registramos as falas deles e o nosso entendimento a partir delas.
Entrevista com o Professor A
Entrevistador:
— O livro que adota traz alguma demonstração matemática? Se sim, qual aa
demonstração?
Professor A
— As que me lembro a da equação do segundo Grau (fórmula de Báskara) que vem
demonstrada, também a fórmula de Pitágoras, o qual não tenho utilizado ainda esse ano, mas
tenho utilizado no ano passado e dentre outras demonstrações. Apesar de que utilizo o livro
didático somente para os alunos fazerem atividades em casa, pois em sala de aula minhas
atividades não são de acordo com o livro.
Entrevistador:
— Você demonstra o teorema de Pitágoras? De que forma?
Professor A
—A demonstração de Pitágoras não somente nesse livro como nos demais é utilizado
um triângulo retângulo de lado maior medindo 5cm, e catetos medindo 3 e 4 cm. Costumo
demonstrar na lousa utilizando esse triângulo retângulo de lados medindo 5,4,3 cm, onde o
lado de 5 cm é a hipotenusa e os outros lados são os catetos adjacente e oposto com os quais
se formam o ângulo reto (90º). Se um lado é de 3 cm ele forma um quadrado de área igual a
9cm2, se o outro é de 4 cm forma um quadrado de lado 4cm e área 16cm2, se o outro é 5usa
área será de 25cm2. Dessa forma será possível provar que o quadrado da hipotenusa é igual a
soma do quadrado dos catetos adjacente e oposto. È bem simples que até mesmo os alunos
não sentem dificuldade, até mesmo porque antes de fazer a demonstração procuro levá-los até
a sala de tecnologia onde eles assistem a um vídeo mostrando passo a passo a demonstração
do teorema de Pitágoras. O objetivo desse vídeo é fazer uma introdução sobre o teorema
despertando o interesse e ao mesmo tempo motivando o aluno.
Análise
Com base em Arsac (apud SALES, 2009) esta forma de demonstração empírica
citada pelo professor A, não seria precisamente considerada como demonstração pelos
matemáticos e sim como uma prova. Na visão desse teórico uma prova tem valor relativo,
serve apenas para o grupo que a aceita, que foi convencido pelo argumento. Prova “é um
processo que tem por objetivo assegurar a validade de uma asserção ou uma decisão”. Sem se
preocupar com a formalidade e a teoria, muitas vezes utilizando apenas objetos concretos para
sua validação. O que não é suficiente para a comprovação de uma demonstração formal.
Nessa perspectiva em que a demonstração é um subproduto de uma prova, esse professor não
demonstra tendo em vista que a formalização.
Entrevistador:
—Você acredita que é importante estar demonstrando para o aluno do ensino
fundamental? Por quê?
Professor A
— Sim é importante porque o próprio nome já diz ensino fundamental. E o que é
ensino fundamental? É a base, pois o aluno tem que chegar ao ensino médio preparado, então
é muito importante. Você demonstrando ele não irá mais se esquecer do que aprendeu,
quando chegar ao ensino médio e a professora falar no teorema de Pitágoras ele irá lembrar
que já foi demonstrado no ensino fundamental. Posso falar que tenho experiência, pois
trabalho com o ensino fundamental e o médio. E outra é importante estar demonstrando
porque muitas vezes o aluno não pergunta. Ele fica apático na aula porque ele não conhece o
conteúdo então não será capaz de perguntar, pois só quando você passa a ter conhecimento do
conteúdo terá duvidas e irá surgir os “por quês’’.
Meu objetivo não é somente passar as fórmulas em si, é importante que o aluno passe
a ter um conhecimento de como se chegou naquela fórmula. O ensino médio irá
complementar o fundamental com um grau de dificuldade maior, e mesmo assim alguns
alunos ainda chegam ao terceiro ano do ensino médio sem conhecer o teorema de Pitágoras,
sem saber quem foi Pitágoras. Tenho mudado muito a minha didática de trabalho, e vi que
demonstrando tenho despertado o interesse dos alunos e eles têm se mostrado mais
compromissados com a aula.
Análise
Observa-se que o professor A está preocupado não somente em mostrar a formula,
mas em demonstrar, embora tenha deixado transparecer ao responder a segunda questão não
conhecer a distinção entre demonstração e prova. Aliás, devemos admitir que seria mesmo de
esperar essa dificuldade uma vez que essa diferenciação normalmente não é discutida nos
cursos de licenciatura. Em nossos cursos não valorizamos a argumentação e não damos
destaque às provas empíricas.
Entrevista com o professor B
Entrevistador:
— O livro que adota traz alguma demonstração matemática? Se sim, qual a
demonstração?
Professor B
— Faz cinco anos que atuo em sala de aula e os primeiros contatos que tive foram
com a coleção do Geovani Castrucci que trabalha no ensino fundamental do 6º ao 9º. Esses
livros trazem as demonstrações e os conteúdos mais relevantes para a matemática. No inicio
quando comecei a trabalhar até tentei utilizar as demonstrações dos livros de uma forma mais
simples para que o aluno pudesse entender, mas acontece que o aluno não está preparado
principalmente no ensino fundamental no 3º e 4º ciclo para entender as demonstrações. Ele
não tem abstração suficiente, com isso você acaba tendo aulas frustrantes. O aluno não
consegue entender o que você esta falando. Ele não consegue imaginar para que serve aquilo,
com isso acaba havendo um distanciamento entre professor e aluno. Cria certo receio do
professor e esse receio cria um distanciamento da matemática.
Além desse livro do Castrucci já trabalhei uns dois anos com os livros de Gelson
Iezzi que é uma coleção reformulada da coleção dos 12 livros e existem várias demonstrações
retiradas dessa coleção. Na coleção de 2007/2008 foi trabalhada nas series iniciais ficou um
pouco frustrante as imagens e as figuras eram bem simples, mas elas não levavam os alunos a
raciocinar, não tendo assim uma aproximação do conteúdo e figuras. Por fim posso dizer que
os livros didáticos trazem demonstrações, mas acredito que fica um pouco abstrato para o
aluno entender para que serve e de que forma ele estaria trabalhando essa demonstração.
Análise
O excesso de rigor no tratamento matemático na educação básica é um tanto
frustante. Se no curso de licencitaura o futuro professor tivesse a oportunidade de discurtir as
relaçoes entre argumenatção, prova e demonstração e o valor formativo de cada uma delas é
de se esperar que trabalhasse melhor essas questões no ensino funadmental.
Tendo uma formação marcada pelo rigor nas aulas de matemática e por uma suposta
ausência de rigor na disicplinas pedagógicas
bacharelado para ser professer matemática.
Entrevistador
esse professor recebe uma formação de
— Você demonstra o teorema de Pitágoras? De que forma?
Professor B
Os livros trazem sim a demonstração do teorema de Pitágoras, mas como havia dito
requer muita habilidade e competência dos alunos, então sempre procuro a minha didática
para ensinar como se chega ao teorema de Pitágoras. Procuro exemplificar para o aluno para
que serve o teorema e não demonstrar como se chega na formula. Isso porque a formula é só
aplicação, e a aplicação no momento acredito que não é tão importante para o aluno, pois a
formula já esta pronta é só jogar os números e no máximo o que o aluno pode errar é nos
cálculos. Então é mais importante o aluno entender para que serve o teorema de Pitágoras.
Prefiro mostrar na lousa conteúdos paralelos, até chegar ao teorema, pois assim o aluno irá
conseguir enxergar melhor o conteúdo. Acredito que você tem que dar valores ao teorema
para somente depois estar demonstrando e existe um tempo para isso.
Posso dizer que tenho uma critica indireta aos colegas professores, pois muitos ficam
preocupados com o que o livro traz, nos hoje temos muitos casos de mídia a televisão, por
exemplo, acessos de novos portais proporcionados pelo MEC que trazem novas formas de se
trabalhar a matemática, maneiras diferentes de se abordar um exercício. Podemos citar hoje o
novo ENEM, as Olimpíadas de Matemática, a Gincana de matemática promovida na UEMS o
aluno não tem que entender a demonstração e sim das habilidades que precisam ser
desenvolvidas para chegarem a solução daquele problema.
Então dentre todo esse processo novo que tem a matemática para que serve as
demonstrações dentro da sala de aula a não ser para passar o tempo e fazer com que o aluno
tenha receio da matemática, receio do professor e receio da escola. Quero dizer aquela
distância só irá aumentando. Então é necessário que você trabalhe de uma forma mais
dinâmica abordando os mesmos conteúdos para que a matemática não se torne tão pesada.
Demonstração é matemática pura e isso não é a realidade do aluno, o estudante hoje procura
uma matemática aplicada, uma matemática mais usual, que ele consiga aplicar essa
matemática em seu meio habitual. Com isso posso dizer que não adoto as demonstrações em
sala de aula e nem utilizo as demonstrações dos livros que adoto.
Análise
O professor B dá evidências de estar ciente do que é uma demonstração formal,
embora deixe bem claro que não costuma demonstrar em suas aulas, pois acredita que os
alunos não possuem uma abstração suficiente para compreender uma demonstração. Esse
pensamento da inaptidão do aluno, no entanto, não coincide com o pensamento dos autores
dos PCN segundo os quais os alunos são capazes de fazerem conjecturas, argumentações e
por fim estarem até mesmo demonstrando. O professor diz que não demonstra a formula, pois
essa serve somente para aplicação e acredita que trabalhando com conteúdos paralelos ao
desejado haverá uma melhor compreensão por parte do aluno, prefere não utilizar somente os
livros didáticos. Talvez nele não tenha discutido sobre o valor formativo do processo e
argumentação. Seu ponto de vista reflete as dificuldades pelas quais deve ter passodo como
acadêmico de um curso de licenciatura que se vê cercado de um formalismo estéril em muitas
aulas de matemática.
O professor B, diz que já havia tentado demonstrar em suas aulas, mas tornou-se
frustrante porque os alunos não as compreendem. Esta visão também é reconhecida pelo
trabalho de Villiers (2001) em um trecho de seu texto diz que qual professor que não
experimentou durante sua aula uma situação frustrante ao se deparar com alunos lhe
perguntando “por que temos que demonstrar isso?” Com isso vemos que esta situação é
comum acontecer em sala de aula. No trabalho de Afanasjewa Freudenthal ( apud VILLIERS,
2001), acredita-se que o problema dos alunos quanto a demonstração não deve ser atribuído
somente ao fato da lentidão quanto ao seu raciocínio lógico, mas também ao fato de não
compreender
a verdadeira função da demonstração que como já vimos em capítulos
anteriores sua função é de validação de asserções, não deixando assim espaço para dúvidas.
Dito em outras palavras: ela fossiliza o assunto.
Entrevista com o professor C
Entrevistador:
— O livro que adota traz alguma demonstração matemática? Se sim, qual a
demonstração?
Professor C
— O livro traz todas as definições, mas preciso pesquisar em vários livros para poder
demonstrar, quando vou demonstrar o teorema de Pitágoras utilizo no mínimo três livros até
encontrar demonstração ou algo que me interessa e muitas vezes procuro pesquisar na
internet. Não existe um livro completo. Se for trabalhar tendo como suporte um único um
livro fica muita coisa para trás.
Entrevistador
— Você demonstra o Teorema de Pitágoras? De que forma?
Professor C
— Ele [o livro] demonstra o teorema de Pitágoras sim utilizando as relações métricas
existentes aos triângulos retângulos, mas não utilizo esta forma para demonstrar. Procuro
trabalhar utilizando as áreas dos quadrados de cada lado do triangulo retângulo e somente
depois trabalho a outra forma. Inicio falando sobre quem foi Pitágoras, as contribuições que
deram, as relações do triângulo retângulo mostrando os catetos e a hipotenusa. Para isso
trabalho com data show e cartolinas, então assim eles conseguem ver que a soma do quadrado
da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, e somente depois que demonstrei
tudo isso para eles que falo o teorema para eles assim eles assimilam. Escrevo o teorema em
uma linguagem matemática, ou seja, a2=b2+c2, peço para eles transformar na linguagem
materna, que é a língua portuguesa para mim, então eles falam que a hipotenusa ao quadrado
é igual à soma dos catetos ao quadrado.
Entrevistador:
—Você acredita que é importante estar demonstrando para o aluno do ensino
fundamental? Por quê?
Professor C
— Particularmente tenho uma grande dificuldade de demonstrar para o 6º e 7º ano,
acredito que eles não possuem maturidade suficiente para entender. Quando vou explicar, por
exemplo, as potências no momento que falo a elevado ao quadrado eles perdem o juízo e
perguntam: “Ah! professor, não é numero?”
Então prefiro demonstrar mais somente para o 8º e 9º, pois eles possuem uma
maturidade maior. Mas acredito que é importante estar demonstrando sim.
Análise
O professor C, diz que tem uma grande dificuldade para estar demonstrando para
alunos de 6º e 7º ano. Essa dificuldade tem razão de ser tendo em vista que os alunos desse
nível de escolaridade ainda não vivenciaram atividades dessa natureza e, portanto, não
possuem maturidade intelectual. Normalmente nesse nível de estudo ele não foi alfabetizado
algebricamente e o professor não distinguindo prova de demonstração tenta, quando faz,
começar por esta última que possui rigor algébrico. Como sabemos para demonstrar é
necessária uma simbologia apropriada e uma vivência com o ritual. Considerando que
somente a partir do 8º ano que ele irá iniciar o estudo da álgebra, com os polinômios, é de se
supor que não tenham condições de entender a demonstração. Aparentemente a professora
percebe a demonstração, mas ainda confunde a prova com demonstração.
Considerações Finais
As demonstrações em matemática têm uma grande importância no contexto
educacional, embora esta ainda não se encontre muito clara na visão de profissionais que
estão atuando na área. Isso ocorre pelo fato de não se saber diferenciar demonstração e prova.
Conforme foi visto na perspectiva de Arsac demonstrar é parte de uma prova, prova essa que
serve para convencer certa comunidade em especial, neste caso a comunidade de matemática
da veracidade de certas asserções, não deixando espaço para dúvida. A demonstração é
carregada de formalismo, enquanto a prova se trabalha com materiais concretos e esboço
dentre outros. Essa abordagem facilita a visualização, principalmente dos alunos. Após a
entrevista com professores percebe-se que a maioria dos entrevistados procura trabalhar com
um caso particular para comprovação do teorema de Pitagoras. Neste caso eles estão
utilizando a prova e não a demonstração formal, para esta eles deveriam utilizar as relações
métricas de triângulos retângulos.
Em nenhum caso ficou evidente a preocupação do professor com o valor formativo
do processo de provar, argumentar ou demonstrar. Embora haja um caso em que o professor
evidencie saber a diferença entre os conceitos de prova e demonstração, não houve evidência
em sua fala de que valorize esse processo para a formação do aluno.
A matemática pela matemática, seja em termos de exercícios de fixação, de provas
ou de demonstração, não satisfaz os anseio da sociedade que criou a escola para ensinar
valores intelectuais. Valores que não se reduzem a “ver” como se faz ou como está feito, mas
em pensar sobre, em conjeturar, em obervar regularidades, verificar a validade da conjetura,
construir modelos e, por fim, estabelecer, o aluno mesmo, uma verdade.
Referências Bibliográficas
SALES, Antonio; PAIS, Luiz Carlos. A Argumentação no Estudo da Geometria: Uma
Experiência com Acadêmicos de Licenciatura em Matemática.Goiânia: XIII EBRAPEM,
2009 (GT11 A1). Disponível em< http://www.ebrapem.mat.br/anais.html> Acesso em: 10 set
2009.
VILLIERS, Michael D. de. Papel e funções da demonstração no trabalho com o Sketchpad.
Educação e Matemática nº 63 • Maio/Junho de 2001 Disponível em<
http://www.apm.pt/apm/revista/educ63/Para-este-numero.pdf> Acesso em: 10 set 2009