PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
PADRÕES DE REGULARIDADES:
Uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico
Tânia Aparecida Ferreira Hanke
Belo Horizonte
2008
2
Tânia Aparecida Ferreira Hanke
PADRÕES DE REGULARIDADES:
Uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para a obtenção do título
de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientadora: Dra Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2008
3
Tânia Aparecida Ferreira Hanke
Padrões de regularidades:
uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
Belo Horizonte, 2008.
_____________________________________________________
Eliane Scheid Gazire (Orientadora) - PUC Minas
______________________________________________________
Maria Clara Rezende Frota – PUC Minas
______________________________________________________
Luiz Roberto Dante – UNESP – Rio Claro SP.
4
À minha mãe: Por ter me ensinado a sonhar e a lutar com muita determinação e ética pela
concretização de cada um desses sonhos, colocando Deus sempre a frente de tudo.
Ao Carlos: Pelo amor dedicado à nossa família e pela compreensão diante de tanta ausência.
Ao Lucas e à Bruna: Por serem a realização do meu maior sonho.
5
AGRADECIMENTOS
A todas as pessoas que, de alguma forma, contribuíram para a realização desse
trabalho:
- minha mãe, que durante todo o trabalho de orientação foi minha companheira de
estrada, sempre tão preocupada: “Está dando tudo certo minha filha?”
- meus amigos seminaristas, ao Pe. Adriano, Dona Gê e Maria das Graças, que durante
cada módulo tão bem me acomodaram no Seminário São José.
- minha orientadora, Eliane Scheid Gazire, que de forma tão paciente, compreensiva,
amiga e competente conduziu todo o desenvolvimento dessa pesquisa.
- meu filho Lucas, que, além de torcer muito pelo meu sucesso, fez toda a tradução dos
Standarts (2000) e do resumo dessa pesquisa. Além disso, socorreu-me diante dos atropelos
das digitalizações.
- toda minha família e amigos, pelas orações e força durante o percurso dessa
pesquisa.
- meus colegas do mestrado, em especial: Mara e Murilo, que sempre fizeram parte do
meu grupo de discussões.
- cada um dos professores do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC
Minas, em especial a Professora Maria Clara, pela dedicação e compreensão.
-
todos os alunos e professores do Colégio Berlaar Sagrado Coração de Maria
envolvidos na realização desse trabalho.
- secretária e funcionários do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC
Minas, que sempre estiveram presentes, mesmo que nos bastidores, dando suporte à
realização desse nosso trabalho.
- ao meu marido e meus dois filhos que souberam tão sabiamente conduzir a ausência
da esposa e mãe durante esses anos e, além disso, torcer e vibrar com cada conquista nossa.
A Deus, em especial.
6
“Para alcançar o conhecimento, acrescente
coisas todos os dias. Para alcançar a sabedoria, remova
coisas todos os dias.” (Lao Tse)
7
RESUMO
Diante de tantos problemas no Ensino da Álgebra vivenciados no dia-a-dia da sala de aula,
sentimos necessidade de sistematizar algumas de nossas experiências a partir dessa pesquisa.
Nesse trabalho, a abordagem do estudo de Álgebra tem por base a exploração de padrões e
regularidades com o objetivo de fomentar o desenvolvimento do pensamento algébrico dos
alunos favorecendo a capacidade de generalização e compreensão da linguagem algébrica.
Nosso primeiro passo no desenvolvimento desse trabalho foi a construção de um quadro
teórico, com a utilização de autores como Eves (2004), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993),
Linz e Gimenez (1997), Usiskin (1995), Devlin (2002), entre outros, para entender questões
sobre a história da Álgebra, a educação algébrica e a exploração de padrões de regularidades.
Além disso, foram pesquisados documentos oficiais, como Standarts (2000), PCNs (1998) e
PCNs+ (2002), a respeito desse tema, para viabilizar a discussão sobre as perspectivas para o
desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem algébrica. Ao terminar esse estudo,
investigamos, nos livros didáticos, como estão sendo abordados os conteúdos algébricos
nessas coleções e qual a importância dada nas atividades propostas ao desenvolvimento do
pensamento algébrico, fazendo uma relação entre o encontrado nos livros didáticos e na
pesquisa referencial. O produto final de nossa pesquisa é apresentado por meio de um
Caderno de Atividades (CA), composto por 32 atividades elaboradas a partir de padrões de
regularidades, que proporcionam a alunos da Educação Básica o desenvolvimento do
pensamento algébrico na sala de aula. Algumas delas foram aplicadas com caráter
exploratório-investigativo e posteriormente analisadas nessa pesquisa com o objetivo de
verificar a sua potencialidade e instrumentalizar o professor quanto às possibilidades
diferenciadas de trabalho no cotidiano escolar.
Palavras-chave: Pensamento algébrico, padrões, linguagem simbólica, atividades.
8
ABSTRACT
Taking into account the many problems faced by Algebra Teaching in the context of
Brazilian Basic Education, we think it is necessary to systemize some of our experiences
based on this research. In this research, the Algebra studying boarding is based on the
exploration of patterns and regularities with the objective of improving the development of
the students’ Algebraic thought, making the capacity of generalization and comprehension of
the Algebraic language more manageable for them. Our first step in the development of this
research was the construction of a theoretical board, based on the work of authors such as
Eves (2004), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), Linz e Gimenez (1996), Usiskin (1995),
Devlin (2002), among others – our main aim is to understand questions about the Algebra
history, the Algebraic education and the exploration of patterns of regularities. Moreover,
official documents such as Standarts (2000), PCNs (1998) and PCNs+ (2002) were
investigated based on this theme to make it possible for us to discuss about the perspectives of
the development of the Algebraic thought and the Algebraic language. After finishing the
study, we analyzed how the Algebraic topics are being developed in recent textbooks and
which importance they give to the activities proposed for the development of the Algebraic
thought, establishing a relationship between what was found in the textbooks and in the
research done for this study. The final product of our research is presented as an Activity
Book (AB), composed of 32 activities produced from patterns of regularities, which provide
the development of Algebraic thought by students enrolled in Basic Education in the Brazilian
context. Some of these activities were applied with exploratory and investigative character
and later analyzed with the objective of verifying its potentiality to make the educator aware
of the different possibilities of work in the school routine.
Keywords: Algebraic thought, patterns, symbolic language, activities.
9
LISTA DE ABREVIATURAS
FAPAM – Faculdade de Pará de Minas
CBSCM – Colégio Berlaar Sagrado Coração de Maria
UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais
OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática
SBM – Sociedade Brasileira de Matemática
MEC – Ministério da Educação
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
PNLD – Programa Nacional do Livro Didático
NCTM – National Council of teachers of Mathematics
CA – Caderno de Atividades
IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
FAPERJ - Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro
MMM – Movimento da Matemática Moderna
CNE – Conselho Nacional de Educação
MMC – Mínimo Múltiplo Comum
DNA – Deoxyribonucleic acid (Ácido desoxirribonucleico - tradução nossa)
PCN+ – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio.
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática
10
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Livros Didáticos para o Ensino Fundamental séries finais..............................24
Quadro 2: Encontros realizados............................................................................................35
Quadro 3: Encontros para realização de atividades com grupos ......................................37
Quadro 4: Planilha de Registro de observações in loco ......................................................39
Quadro 5: As civilizações e o desenvolvimento da Álgebra................................................43
Quadro 6: símbolos atuais x símbolos gregos ......................................................................44
Quadro 7: Os significados das letras em Álgebra e sua finalidade....................................61
Quadro 8: Atividades matemáticas.....................................................................................106
11
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Questão 8 ..................................................................................................................28
Figura 2: Questão 23 ................................................................................................................28
Figura 3: Questão 1 ..................................................................................................................28
Figura 4: Questão extraída da primeira etapa do vestibular 2004 UFMG................................29
Figura 5: Questão extraída da primeira etapa do vestibular 2005 UFMG................................29
Figura 6: Demonstração intuitiva da soma dos ângulos internos de um polígono ...................31
Figura 7: Questionário sobre as ações dos alunos diante das atividades propostas .................41
Figura 8: Coleção “Tudo é Matemática” - 7ª série, p. 165.......................................................49
Figura 9: Estrela do Mar...........................................................................................................65
Figura 10: Alvéolos Pulmonares ..............................................................................................65
Figura 11: “O Sol e a lua” - 1948 .............................................................................................66
Figura 12: Nado Sincronizado..................................................................................................66
Figura 13: Notas Musicais........................................................................................................67
Figura 14: A arte do crochê ......................................................................................................67
Figura 15: Máquinas programadas ...........................................................................................80
Figura 16: Trinômio do 2º Grau ...............................................................................................81
Figura 17: problema proposto ..................................................................................................85
Figura 18: Quadrados na função quadrática .............................................................................87
Figura 19: Técnica de completar quadrados.............................................................................87
Figura 20: Ladrilhos .................................................................................................................98
Figura 21: Trinômio do quadrado perfeito ...............................................................................99
Figura 22: Ladrilhos II..............................................................................................................99
Figura 23: Seqüência de números ímpares .............................................................................100
12
Figura 24: Máquina do mais 3................................................................................................101
Figura 25: Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura .....107
Figura 26: Atividade Triângulo de Pascal ..............................................................................109
Figura 27: Atividade Mesas x Cadeiras..................................................................................122
Figura 28: Mosaicos ...............................................................................................................129
13
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Gráfico 1: Abordagens algébricas na Coleção Matemática .....................................................74
Gráfico 2: Abordagens algébricas na coleção Tudo é Matemática ..........................................78
Gráfico 3: Abordagens algébricas na coleção A Conquista da Matemática a + nova..............83
Gráfico 4: Abordagens algébricas na coleção Matemática Paratodos.....................................89
Gráfico 5: Abordagens algébricas na coleção Matemática hoje é feita assim .........................97
Foto 1: Aplicação da atividade: Diagonais - 8ª série, em outubro de 2005............................104
Foto 2: Aplicação da atividade: Torre de Hanói - 8ª série em março de 2008.......................104
Foto 3: Desenvolvimento da atividade Triângulo de Pascal ..................................................111
Foto 4: Apresentação de um aluno do grupo 7 da atividade Triângulo de Pascal no seminário
................................................................................................................................................118
Foto 5: As alunas debatendo sobre a questão .........................................................................124
Foto 6: Grupo 1, na discussão da atividade ............................................................................125
14
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................16
2 PERCURSO DA PESQUISA .............................................................................................21
2.1 O caminho trilhado.........................................................................................................21
3 EVOLUÇÃO DA ÁLGEBRA E DA EDUCAÇÃO ALGÉBRICA ASPECTOS
RELEVANTES .......................................................................................................................43
3.1- Linguagem algébrica x pensamento algébrico ...........................................................50
3.2 - Concepções da Álgebra................................................................................................54
3.2.1 - Álgebra como aritmética generalizada.................................................................56
3.2.2 - Álgebra como estudo para resolver certos tipos de problemas (Resolução de
equações ) .........................................................................................................................57
3.2.3 - Álgebra como estudo das estruturas......................................................................58
3.2.4 - Álgebra como estudo de relações entre grandezas................................................60
3.3 - Importância dos padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico ...................63
4 ANÁLISE DO ASPECTO ALGÉBRICO NAS COLEÇÕES DE LIVROS
DIDÁTICOS DAS SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL.............................71
4.1 – Coleção: Matemática, autor Edwaldo Bianchini .......................................................72
4.1.1 – Caracterização da obra..........................................................................................72
4.1.2 - Análise da abordagem algébrica na obra...............................................................73
4.2 – Coleção: Tudo é Matemática, autor Luiz Roberto Dante ..........................................76
4.2.1 – Caracterização da obra: ........................................................................................76
4.2.2 - Análise da abordagem algébrica na obra...............................................................78
4.3 – Coleção: A Conquista da Matemática: a + nova, autores José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci e José Ruy Giovanni Júnior ..................................................................82
4.3.1 - Caracterização da obra ..........................................................................................82
4.3.2 - Análise da abordagem algébrica na obra...............................................................83
4.4 – Coleção: Matemática paratodos, autores Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis .......88
4.4.1 - Caracterização da obra ..........................................................................................88
4.4.2 - Análise da abordagem algébrica na obra...............................................................89
15
4.5 – Coleção: Matemática hoje é feita assim, autor Antonio José Lopes Bigode ..............96
4.5.1 - Caracterização da obra ..........................................................................................96
4.5.2 - Análise da abordagem algébrica na obra...............................................................97
5 A EXPERIÊNCIA E A ANÁLISE DOS DADOS...........................................................103
5.1 Atividades Matemáticas...............................................................................................105
5.2 Relatos das atividades ..................................................................................................109
5.2.1 Atividade I – Triângulo de Pascal .........................................................................109
5.3 Atividade II – Mesas & Cadeiras .................................................................................122
5.4 Atividade III – Mosaicos...............................................................................................129
CONSIDERAÇÕES FINAIS...............................................................................................138
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................141
ANEXOS ...............................................................................................................................145
Anexo 1 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática - Edwaldo
Bianchini.............................................................................................................................145
Anexo 2 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Tudo é Matemática -
Luiz
Roberto Dante ....................................................................................................................148
Anexo 3 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: A conquista da Matemática Castrucci, Giovanni e Júnior .............................................................................................151
Anexo 4 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática Paratodos Imenes & Lellis...................................................................................................................154
Anexo 5 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática hoje é feita
assim - Antonio José Lopes Bigode ....................................................................................157
APÊNDICE ...........................................................................................................................160
Apêndice A – Caderno de Atividades .................................................................................160
16
1 INTRODUÇÃO
Após vários anos de experiência profissional em escolas públicas e particulares,
lecionando para alunos dos ensinos Fundamental, Médio e Superior, temos percebido uma
aversão, pela maioria dos alunos, à compreensão de conteúdos algébricos. Muitas vezes,
ansiosos por ficarem “livres” de determinadas tarefas, os alunos se apóiam em regras práticas
(decoradas), sem o menor significado, mas que darão a resposta certa (desejada pelo
professor) para aquela situação problema. O professor, por sua vez, percebendo a comodidade
da situação, adere-se à “lei do menor esforço”, utilizando-se da prática presente na quase
totalidade de nossos livros didáticos, ou seja, técnica- algorítmo / prática-exercício. (LINS e
GIMENEZ, 1997).
Esses processos podem ser eficientes na resolução de equações, quando utilizados com
algum significado, ou seja, com clareza quanto à validade dos procedimentos. Entretanto,
quando os alunos aplicam qualquer que seja o método sem compreensão, sem encontrar um
significado para aquilo que fazem, cometem erros graves. Esses erros podem ser provenientes
tanto do fato de efetuar troca de termos dos membros da equação sem alterar a operação,
como alterar indevidamente o sinal dos coeficientes. Muitas vezes, esses alunos, usam um
procedimento sem o menor sentido: “Mudou de lado, muda o sinal”, apenas obedecendo a
comandos e ignorando o significado daquilo que estão fazendo.
Uma outra concepção equivocada no ensino da Álgebra é o sentido da “letra”, que,
para a maioria dos alunos, representa algo desconhecido (incógnita), onde, sempre que
usamos algumas manipulações algébricas, determinaremos seu valor. É muito comum um
aluno, ao se deparar com a expressão x 2 – 2x + 3, questionar ao professor: é para calcular o
valor de “x”? A idéia da “letra” como algo que varia em função de... é ignorada por nossos
alunos.
Nossa experiência profissional mostra que as dificuldades apresentadas em Álgebra
por alunos da 7ª série do Ensino Fundamental são as mesmas apresentadas por alunos do
Ensino Médio e mesmo no Ensino Superior. Em geral, usam processos mecânicos na
resolução de qualquer tarefa algébrica. Essas dificuldades encontradas por nossos alunos na
aprendizagem de Álgebra pode ser resultado de um processo ensino-aprendizagem baseado
17
apenas em procedimentos e regras que limita sua capacidade de compreender os conceitos, as
representações e as atividades que são importantes neste domínio do conhecimento.
Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), a maioria dos professores ainda trabalha
a Álgebra de forma mecânica e automatizada, dissociada de qualquer significado social e
lógico, enfatizando, simplesmente, a memorização e a manipulação de regras, macetes,
símbolos e expressões. Na escola, ela nem ao menos é percebida como generalização de
operações numéricas elementares, o que ajudaria muito na compreensão da lógica matemática
e na aprendizagem da Álgebra.
A concepção que muitos educadores possuem em relação à Álgebra exerce forte
influência na percepção sobre o processo ensino-aprendizagem. É bom lembrar que a geração
que hoje está à frente de nossas salas de aula, é, na sua maioria, fruto de uma escola que viveu
o declínio do Movimento da Matemática Moderna1 (nas décadas de 70 e 80) quando a
Álgebra assumiu a versão “cálculo literal”. Um outro fator que ao nosso ver tem forte
influência na aprendizagem da Álgebra é o livro didático, que desempenha um papel
fundamental na abordagem e no direcionamento dos conteúdos matemáticos. Na cidade onde
exerço minha profissão, 95% dos educadores têm no livro didático sua única fonte de
pesquisa, utilizando-o, inclusive, como ferramenta que norteia todo seu trabalho.
Há mais ou menos cinco anos, assistindo a uma palestra do prof. Imenes2, foi sugerido
pelo palestrante que elaborássemos atividades que introduzissem o pensamento algébrico por
meio de seqüências e padrões geométricos, buscando estabelecer um significado a conceitos
abstratos até então tratados fora de um contexto. A partir daí, elaborei algumas atividades
investigativas com o objetivo de proporcionar aos alunos experiências que desenvolvam a
capacidade de analisar padrões, sejam eles: geométricos, numéricos, figurativos e/ou lineares,
identificar regularidades, descrever relações e representar simbolicamente. Meu intuito era
que o aluno conseguisse vislumbrar o processo de construção de uma linguagem algébrica
1
Movimento da Matemática Moderna: proposta de reforma para o ensino da Matemática que priorizava a
unificação da Matemática por meio da teoria dos conjuntos e do estudo de suas estruturas fundamentais. As
idéias do MMM seguiam a corrente Bourbakista (adeptos das idéias de um grupo de matemáticos Ecole
Normale Supérieure in Paris do séc XX que usavam o pseudônimo Bourbakin), e, por outro lado, se apoiavam
também na teoria de Piaget e na importância do aspecto psicológico do ensino e da aprendizagem que até então
estava sendo renegado.
2
Luiz Márcio Imenes – professor de Matemática, autor de livros didáticos, integrante da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM)- Palestra proferida no auditório da FAPAM – Faculdade de Pará de Minas, no
dia 17 de junho de 2003.
18
antes de trabalhar com as regras do transformismo algébrico na tentativa de dar um
significado à Álgebra.
Apliquei essas atividades em várias turmas, porém, sem fazer a devida sistematização.
Apesar de muitos alunos, diante da primeira experiência com esse tipo de trabalho, não
conseguirem entender o nosso propósito e nem ao menos fazer um elo entre a tarefa e o
conteúdo trabalhado, essas foram experiências positivas, uma vez que conseguimos
diagnosticar, com facilidade, o nível do pensamento algébrico de cada aluno. E, uma vez
diagnosticado o seu nível do pensamento algébrico, é sempre muito mais fácil conduzir o
processo ensino-aprendizagem.
Portanto, diante de tantos problemas apontados no Ensino da Álgebra, e vivenciando
na nossa prática docente experiências positivas, porém de forma isolada na construção do
pensamento algébrico, sentimos necessidade de sistematizar essas experiências a partir dessa
pesquisa.
Para direcionarmos nosso trabalho, levantamos alguns questionamentos:
•
Os alunos devem começar no ensino da Álgebra de modo intuitivo e motivador
com atividades que contemplem as concepções da Álgebra desde os primeiros anos
da escolarização?
•
A exploração de padrões seria uma ferramenta eficaz no desenvolvimento do
pensamento algébrico?
•
Tendo os livros didáticos uma grande influência no processo ensino/aprendizagem,
as atividades propostas nesse suporte têm explorado a utilização de padrões no
ensino da Álgebra?
•
Como o professor poderá conduzir a construção de uma linguagem algébrica
significativa usando atividades que exploram padrões de regularidade como
ferramenta eficaz no processo ensino/aprendizagem da Álgebra?
19
A partir desses questionamentos, decidimos investigar a abordagem do estudo da
Álgebra, tendo por base a exploração de padrões com o objetivo de fomentar o
desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, favorecendo a capacidade de
generalização e compreensão da linguagem algébrica.
Para isso, organizamos nosso trabalho em seis capítulos descritos da seguinte forma:
Neste capítulo introdutório, fizemos, além de uma descrição sobre cada capítulo da
pesquisa, uma pequena introdução do trabalho levantando nossa problemática e argumentando
sobre a relevância do tema.
No segundo capítulo, apresentamos o percurso da pesquisa, indicando o objetivo
principal de nosso trabalho, a metodologia utilizada e todo caminho trilhado.
No capítulo três, fazemos um breve relato sobre a história da Álgebra e da Educação
algébrica, dando ênfase ao desenvolvimento do pensamento algébrico conduzido a partir de
experiências com padrões de regularidades. Para isso, nos referenciamos em alguns
documentos oficiais como: Principles and Standarts for School Mathematics3 (NCTM, 2000)
e Parâmetros Curriculares Nacionais4, como, por exemplo, PCNs (1998), PCNs+ (2002) e a
pesquisadores, como Devlin (2002), Perez (2006) e Modanez (2003) que dissertam sobre o
tema.
No quarto capítulo, descrevemos uma análise do aspecto algébrico das atividades
apresentadas em cada uma das cinco coleções de livros didáticos escolhidos para nossa
investigação.
No capítulo cinco, narramos a aplicação de três atividades que exploram padrões de
regularidades com intuito de promover o desenvolvimento do pensamento algébrico e
apresentamos algumas análises feitas a partir das observações e registros coletados.
3
Documento redigido em 2000 pela National Council of Teachers of Mathematics (associação de educadores
que objetivam uma melhor aprendizagem em Matemática). A partir desse momento na exposição da pesquisa
utilizaremos o termo Standart para denominar esse documento. Todas as citações na íntegra deste documento
foram já traduzidas pela pesquisadora.
4
PCNs (1998) Documento do CNE/MEC: legal, aprovado e homologado em 1998 que orienta o Ensino
Fundamental atualmente no Brasil. PCNs+ (2002) Documento do CNE/MEC: legal, aprovado e homologado em
2002 que traz orientações educacionais complementares aos PCNEM – Parâmetros Curriculares para o Ensino
Médio – Ciência da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
20
As considerações finais são pontuadas no sexto capítulo, onde apresentamos, além dos
resultados da pesquisa, fatos relevantes vivenciados por nós durante a aplicação dessas
atividades com o intuito de contribuir com o trabalho do professor em sala de aula.
O produto final de nossa pesquisa (APÊNDICE A) é apresentado por meio de um
Caderno de Atividades (CA)5, composto por 32 atividades elaboradas a partir de padrões de
regularidades que proporcionam a alunos da Educação Básica o desenvolvimento do
pensamento algébrico facilitando a compreensão da linguagem algébrica.
5
Este Caderno de Atividades encontra-se como apêndice A de nossa pesquisa.
21
2 PERCURSO DA PESQUISA
O estudo da Álgebra, como mostram os autores: Usiskin (1995), Fiorentin, Miguel e
Miorim (1993), Bonadiman (2005), pode ser desenvolvido a partir de diferentes abordagens,
sendo possível, então, seguir diversos caminhos. Nesse trabalho, a abordagem do estudo de
Álgebra tem por base a exploração de padrões e regularidades com o objetivo de fomentar o
desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos favorecendo a capacidade de
generalização e compreensão da linguagem algébrica.
Sendo assim, o produto final almejado foi a elaboração de um caderno de atividades
(CA) que proporcione aos alunos do Ensino Fundamental das séries finais e do Ensino Médio
o desenvolvimento do pensamento algébrico a partir de padrões de regularidades.
2.1 O caminho trilhado
Nessa pesquisa, optamos por uma abordagem qualitativa, pois ela nos permite a
obtenção de dados pelo contato direto do pesquisador com o meio pesquisado. Essa coleta de
dados se processa de forma predominantemente descritiva; os detalhes são tratados de forma
extremamente relevante e há um interesse pelo processo em detrimento dos resultados,
conforme apontam Bodgan e Biklen (1994) e Lüdke e André (1986).
Dentro dessa visão qualitativa, decidimos pelo estudo de caso que, além de utilizar
uma variedade de informações, utiliza uma linguagem e uma forma mais acessível que outros
relatórios de pesquisa. Para Lüdke e André (1986, p.20): “A preocupação aqui é com a
transmissão direta, clara e bem articulada do caso e num estilo que se aproxime da
experiência pessoal do leitor’’.
Em uma pesquisa com essa visão, quanto mais informações, quanto mais detalhes
conseguíssemos coletar, mais rica e segura seria nossa análise dos resultados.
22
Portanto, nossa pesquisa contou com cinco diferentes momentos: a revisão
bibliográfica e a construção do quadro teórico; a análise do aspecto algébrico de algumas
coleções de livros didáticos das séries finais do Ensino Fundamental; a elaboração de
atividades com foco no desenvolvimento do pensamento algébrico a partir de exploração de
padrões; a aplicação de três dessas atividades e a coleta e análise dos dados.
1° Momento: Construção do quadro teórico
Nosso primeiro passo no desenvolvimento desse trabalho foi pesquisar em Eves
(2004), Boyer (2001) e Struik (1997) questões sobre a história da Álgebra e em Fiorentini,
Miorim e Miguel (1993) questões sobre a educação algébrica, em especial no Brasil. Em
seguida, nos reportamos a Linz e Gimenez (1997), Usiskin (1995), Fiorentini et al (2006),
Modanez (2003), Bonadiman (2005), Nakamura (2003), Perez (2006) e nos PCNs (1998) para
discutir perspectivas para a construção da linguagem algébrica e do pensamento algébrico.
Essas leituras, em especial Usiskin (1995), nos conduziu a um aprofundamento sobre
as diferentes concepções da Álgebra. Para esse estudo, nos referenciamos a Modanez (2003),
aos PCNs (1998), aos Standarts (NCTM, 2000), a Freitas(2002) e aos PCNs+ (2002).
Buscamos em Devlin (2002), Davis & Hersh (1995), Vale et al. (2007), argumentos
que apontam o estudo a partir de padrões como uma das ferramentas eficazes no
desenvolvimento do pensamento algébrico. E a partir desse estudo, levantamos sobre a
perspectiva para o ensino da Álgebra nos documentos oficiais PCNs (1998), PCNs+ (2002),
Guia de Livros Didáticos – PNLD (2005 e 2008) e Standarts (NCTM, 2000), procurando
verificar como esses documentos se reportam à questão do desenvolvimento do pensamento
algébrico a partir de generalização de padrões.
Ao terminar esse estudo, sentimos necessidade de investigar nos livros didáticos:
como é a abordagem às concepções algébricas, qual a incidência de atividades apresentadas
em cada uma das quatro concepções, e se nas atividades apresentadas o autor propõe a
exploração de padrões para conduzir o desenvolvimento do pensamento algébrico.
23
2º Momento: Análise do aspecto algébrico de algumas coleções de livros didáticos
Hoje, a diversidade de publicações de livros didáticos é imensa. Esse fato nos levou a
selecionar alguns para análise. Para essa escolha, estabelecemos alguns critérios:
•
O fato de existir, hoje, no mercado, livros com propostas diferenciadas de ensino, o
primeiro critério seria, então, escolher livros que tivessem uma perspectiva mais
inovadora e outros com propostas mais tradicionalistas. Muito nos ajudou nessa
seleção uma leitura prévia no Guia dos Livros Didáticos Matemática: séries finais
do Ensino Fundamental - PNLD Programa Nacional do Livro Didático (2005 e
2008).
•
O segundo critério foi optar por livros adotados nos últimos dez anos pelas escolas
públicas e particulares do município de Pará de Minas6.
•
Por último, como os livros didáticos têm uma influência muito grande na
concepção de muitos educadores sobre o processo ensino-aprendizagem de
Matemática, selecionei cinco que são tidos como referência para pesquisa dos
educadores de Pará de Minas.
A partir desses critérios, selecionamos as cinco coleções que foram analisadas,
conforme mostra o quadro abaixo:
6
Pará de Minas é uma cidade localizada a 70 Km de Belo Horizonte, com uma população de aproximadamente
80.000 habitantes. Durante minha vida profissional, tive oportunidade de trabalhar nos mais diversos níveis de
escolarização (fundamental, médio e superior) com as mais diversas classes sociais e nas três redes de ensino:
municipal, estadual e particular. Isso me proporcionou uma visão bastante ampla do ensino de Matemática nessa
cidade.
24
Nº
Coleção
Autor
Editora
Ano
01
Matemática
Edwaldo Bianchini
Moderna
2006
02
Tudo é
Luiz Roberto Dante
Ática
2002
A Conquista da
Matemática: a +
nova
Matemática
Paratodos
José Ruy Giovanni
BeneditoCastrucci
José Ruy Giovanni Jr.
Luiz Márcio Imenes
Marcelo Lellis
FTD
2002
Scipione
2002
Matemática
hoje é feita assim
Antonio José Lopes
Bigode
FTD
2006
Matemática
03
04
05
Quadro 1: Livros Didáticos para o Ensino Fundamental séries finais
A análise dessas coleções foi feita em duas etapas:
Em uma primeira etapa, detectamos o número de atividades no campo da Álgebra
presentes em cada série e, mais tarde, em cada coleção. Ao fazer essa sondagem,
categorizamos cada atividade em uma ou outra concepção algébrica. Algumas atividades
apresentam duas, três ou até as quatro concepções e, ao categorizá-las, optamos por incluí-las
na concepção que recebesse maior ênfase no desenvolvimento da atividade.
Ao final, tínhamos um quadro com um somatório da abordagem algébrica atribuída
em cada coleção ( Ver ANEXOS). Fizemos também um levantamento no manual do professor
de cada uma das coleções analisadas com o intuito de verificar se o autor comunga das idéias
em documentos oficiais e de pesquisadores referenciados nessa pesquisa.
Abaixo, apresentamos a tabela que utilizamos para quantificar e classificar atividades
algébricas presentes em cada livro de cada coleção analisada.
25
TABELA 1
Concepções abordadas nos livros didáticos estudados
Tipo de atividade
ada
Genraliz
ca
Padrões numéricos
Generalização de
Propriedades
Total
Problemas envolvendo
cálculo de área de
figuras planas,
teoremas,...
Resolva a equação,
inequação, sistema...,
verificar raiz
Resolução de Equações
Aritméti
Concepção
Relação com
discriminante, soma e
produto, vértice da
parábola....
Determine as medidas
indicadas nas figuras
Problemas de
interpretação
Condição de existência
Aplicação princípios de
equivalência
Total
Cálculo numérico
Reconhecimento e
classificação de
polinômios, TQP...
Operações com
polinômios, frações
algébricas.
Total
entre grandezas
Estudo de Relações
Estudo de Estruturas
Escrita simbólica de
expressões
Demonstrações
Problemas ( cálculo de
nº diagonais,
Construção de gráficos
Domínio, imagem,
zeros, ponto de máximo
e mínimo
Estudo de sinal
Total
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
26
De posse desse levantamento, fizemos uma última tabela unificando as atividades em
suas respectivas concepções para cada coleção analisada, conforme apresentamos abaixo:
TABELA 2
Análise Global
Concepções da Álgebra/ Coleção
01
02
03
04
05
Aritmética Generalizada
Resolução de equações
Estudo das Estruturas
Estudo das Relações entre grandezas
Com essas informações, foi possível apontar, em cada coleção, a incidência de
atividades que contemplam cada uma das quatro concepções algébricas.
Na segunda etapa, procuramos descrever, em cada uma das coleções, como o autor
aborda os conteúdos algébricos. Além disso, procuramos responder às seguintes questões: a
obra se preocupa em proporcionar ao educando experiências com uso das distintas
interpretações dadas a uma variável? Como e quando a coleção faz uso de padrões numéricos,
figurativos, geométricos e/ou outros para abordar conceitos algébricos?
Para essa verificação, nos reportamos, além dos resultados coletados por meio da
análise dos livros, a documentos oficiais referenciados em nosso quadro teórico como: os
PCNs (1998), os Standarts (NCTM, 2000) e o Guia dos Livros Didáticos Matemática- séries
finais do Ensino Fundamental, PNLD (2005 e 2008).
Nesse momento, fizemos um confronto entre as duas vertentes: o que os documentos
oficiais apontam como caminho eficaz para a construção do pensamento algébrico e o que os
livros didáticos, principal referencial dos educadores, oferecem como atividades algébricas
nas séries finais do Ensino Fundamental.
27
Como apresentação de um produto final, elaboramos algumas atividades que têm,
como objetivo principal, a generalização de regularidades a partir de padrões. Essas
generalizações deveriam conduzir o aluno ao estabelecimento de alguma propriedade e/ou
uma relação entre grandezas de forma linear, quadrática ou exponencial.
3º Momento: Elaboração de atividades
Como professora de Matemática já há 17 anos, uma das coisas que sempre nos
incomodou foi a aversão que a maioria dos alunos tem pela Álgebra. Isso nos fez durante
esses anos, buscar metodologias diferenciadas de trabalho com o intuito de amenizar tal
problema. Participamos de vários encontros, palestras, seminários, congressos na área da
Educação Matemática, fizemos uma especialização em Educação Matemática, sempre com
esse propósito buscar metodologias novas de ensino que pudessem nos auxiliar em nosso
trabalho.
Em 2003, ano em que lecionávamos em três escolas diferentes, no Ensino
Fundamental – séries finais na Escola Estadual Manoel Batista e no Colégio Berlaar Sagrado
Coração de Maria - CBSCM e no Ensino Superior da FAPAM - Faculdade de Pará de Minas
com as disciplinas Fundamentos I e II e Metodologia do Ensino da Matemática, fomos
convidadas a assumir o Ensino Médio do Colégio Berlaar Sagrado Coração de Maria.
Nessa época, após aceitar o convite para atuarmos nesse segmento de ensino, uma de
nossas iniciativas foi cadastrar o CBSCM para participar anualmente da Olimpíada Brasileira
de Matemática (OBM). A princípio, o cadastro se deu apenas pelo fato de um de nossos
alunos do Ensino Médio mostrar muito interesse em participar de tal evento. Então, em
função do interesse desse aluno, procuramos conhecer como funcionava, qual o propósito da
olimpíada... e aí, a partir do cadastro da escola, começamos a receber a revista Eureka!7.
7
EUREKA! Revista editada semestralmente pela SBM - Sociedade Brasileira de Matemática e o IMPAInstituto de Matemática Pura e Aplicada com o apoio do CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico, do Instituto do Milênio – Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira, da
Academia Brasileira de Ciências e FAPERJ, distribuída gratuitamente a todas as escolas cadastradas na OBM –
Olimpíada Brasileira de Matemática. A revista apresenta uma coletânea de problemas da OBM com sugestões de
resolução e problemas de outras olimpíadas de Matemática como: Olimpíada Iberoamericana, Olimpíada de
Maio, Olimpíada Internacional de Matemática etc.
28
Isso nos proporcionou um contato direto com questões formuladas para tais eventos. E
nesse contato, uma coisa que muito nos chamou a atenção foi a grande incidência de questões
que para resolver de forma rápida e eficaz, o aluno precisaria observar a seqüência, o desenho
ou mesmo o problema, identificar regularidades, estabelecer um padrão e, a partir daí,
resolver tal questão. Entre elas, apresentamos a seguinte questão publicada na revista
EUREKA! nº 198 :
Figura 1: Questão 8
Veja essas duas publicadas na revista EUREKA! nº 229:
Figura 2: Questão 23
Figura 3: Questão 1
8
9
SBM. XXV Olimpíada Brasileira de Matemática – Enunciados e Soluções. Eureka!. N. 19, p.7, 2004.
SBM. XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática – Enunciados e Soluções. Eureka!. N. 22, p.7 e 21, 2005.
29
Essas são questões cujo objetivo é verificar a potencialidade do aluno no que diz
respeito a estabelecer padrões e, a partir deles, construir uma regra para depois resolver o
problema.
Nessa mesma época, começamos a pesquisar junto às universidades, em especial à
UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais, os tipos de questões que estavam sendo
abordadas em provas de Matemática, pois o foco principal dos nossos alunos do 3º ano é a
aprovação no vestibular dessa instituição. E, ao fazer o levantamento das últimas provas da
UFMG, nos deparamos com questões do tipo:
Figura 4: Questão extraída da primeira etapa do vestibular 2004 UFMG10
E ainda:
Figura 5: Questão extraída da primeira etapa do vestibular 2005 UFMG11
10
UFMG. Prova de Matemática – Caderno 1. Disponível em:
http://www.ufmg.br/copeve/download/pdf/2004/1Matematica-cad1.pdf. Acesso em: 27 jun. 2008.
11
UFMG. Prova de Matemática – Caderno 1. Disponível em:
http://www.ufmg.br/copeve/download/pdf/2005/matematica%201a%20etapa%20cad%201.pdf. Acesso em: 27
jun. 2008.
30
Como nas questões apresentadas anteriormente extraídas da Revista EUREKA!, essas
também apresentam a mesma característica, ou seja, para uma resolução mais rápida e eficaz,
é necessário que o aluno identifique alguma regularidade e, a partir daí, generalize e resolva a
questão.
Diante de todos esses acontecimentos, fomos motivadas a desenvolver algumas
atividades em sala de aula que preparassem nosso aluno para esses desafios, já que o material
didático utilizado na escola onde atualmente lecionamos para o Ensino Fundamental e Médio,
não contempla tais questões.
A partir daí, para cada conteúdo que abordamos em sala de aula, tentávamos elaborar
alguma atividade com características de busca de regularidades, identificação de padrões e
construção de generalizações com o intuito de dar significado ao conteúdo, motivar os alunos
e promover o desenvolvimento dos vários aspectos da Álgebra.
Logo, a elaboração das atividades presentes em nosso CA se deu de forma gradativa e
com uma pesquisa em várias fontes: OBM, vestibulares da UFMG, livros didáticos, entre eles
os produzidos por:
Dante (2002), Bigode (2006) e livros relacionados à Educação
Matemática: Barbosa (1993), Carvalho (1997), Sampaio (2005) e Devlin (2002).
Alguns dos padrões utilizados na elaboração dessas atividades podem ser encontrados
em livros didáticos, em questões de olimpíadas ou em para-didáticos. Porém, não aparecem
com a sistematização e organização de um grupo de atividades de forma a explorar a
possibilidade de um trabalho com padrões como o que aqui apresentamos. Por exemplo,
quando elaboramos a atividade “soma dos ângulos internos de um polígono”, nossa inspiração
veio da abordagem apresentada abaixo, que, utilizando-se do mesmo raciocínio, demonstra
intuitivamente para um aluno de 7ª série a fórmula, porém, em uma perspectiva de
investigação de padrões (FIGURA 6).
31
Figura 6: Demonstração intuitiva da soma dos ângulos internos de um polígono12
A análise do aspecto algébrico das atividades presentes nas coleções de livros do
Ensino Fundamental, o estudo feito em documentos oficiais como PCNs (1998), PCNs+
(2002), os Standarts (NCTM, 2000) e o Guia dos Livros Didáticos – PNLD (2005 e 2008)
serviram, portanto, como subsídios e ferramentas para potencializar e sistematizar a aplicação
dessas atividades.
Algumas dessas atividades foram aplicadas em níveis diferenciados de ensino e, claro,
com objetivos específicos. A atividade Torre de Hanói (Apêndice A, atividade 15), por
exemplo, utilizamos em uma turma de 8ª série do Ensino Fundamental do CBSCM e com
12
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ed. Ática, 2002, p.136.
32
alunos do 2° período da FAPAM na disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática e
tivemos resultados bastante interessantes em ambas as turmas.
4º Momento: Aplicação das atividades
A seleção:
Todas as atividades elaboradas foram aplicadas nos últimos três anos nas turmas em
que trabalhamos. A cada aplicação que fazíamos, analisávamos potencialidades e fragilidades
da atividade e providenciávamos alguma correção ou adaptação com o intuito de aprimorá-la.
Três dessas atividades foram por nós selecionadas para uma aplicação com um registro
sistemático na coleta de dados e análise para essa pesquisa. Os critérios utilizados para
seleção dessas atividades foram:
•
Exploração de padrões diferenciados
•
Adequação privilegiando os dois níveis da educação básica
•
Ligação da atividade com algum conteúdo trabalhado na época de aplicação em
sala de aula.
A partir desses critérios pré-estabelecidos, selecionamos as três atividades: atividade I
- o Triângulo de Pascal, adequada para uma turma de 2° ano do Ensino Médio, atividade essa
que aborda generalização da aritmética conduzindo à elaboração de propriedades e
generalização de relações exponenciais; atividade II - Mesas & Cadeiras apropriada para
turma das séries finais do Ensino Fundamental, que conduz a uma generalização de relações
lineares e a atividade III - Mosaicos também adequada para as séries finais do Ensino
Fundamental que aborda, além da generalização de relações lineares, a generalização de
relações quadráticas.
Nosso campo de investigação
A escola selecionada como campo de investigação foi o Colégio Berlaar Sagrado
Coração de Maria (CBSCM). Uma escola confessional católica situada no centro de Pará de
Minas que atende hoje cerca de 450 alunos, distribuídos nos segmentos de Educação Infantil
33
(berçário ao 2° período) e todos os níveis da Educação Básica. A maioria dos alunos tem um
nível sócio-econômico bom. A escola conta hoje com cerca de 50 educadores diretos e
indiretos.
Fazemos parte do corpo docente dessa instituição desde 1996, onde temos uma boa
receptividade, por parte da equipe diretiva e do corpo discente, em todas as atividades no
âmbito educacional que já propusemos. Tão logo iniciamos nosso mestrado, a escola abriu as
portas para todo o trabalho que desejássemos ali fazer. Assim que delineamos nosso campo de
trabalho, vimos ser esse um ambiente adequado à nossa investigação, já que nossos alunos do
Ensino Médio apresentam muitas deficiências na aprendizagem da Álgebra e, uma pesquisa
nesse campo contribuiria muito em nossas discussões do grupo de estudo13.
Selecionando os sujeitos:
Os sujeitos selecionados para essa investigação foram 31 alunos que cursavam o 2º
ano do Ensino Médio no CBSCM, em 2005, e 11 alunos que cursavam a 7ª série do Ensino
Fundamental no CBSCM, em 2008.
A escolha por uma turma do Ensino Médio e outra do Fundamental deu-se com o
objetivo de analisar o desenvolvimento do pensamento algébrico de discentes em níveis
diferentes. A coleta de dados efetuada uma em agosto 2005 e outra em março 2008 nos
proporcionou momentos diferenciados de investigação.
Em 2005, quando cursava algumas disciplinas no mestrado, foi proposto um trabalho
onde deveríamos relatar uma experiência com atividades investigativas vivenciando o
desenvolvimento de algum processo matemático. Na época, o processo por nós escolhido foi
o de generalização de padrões e a atividade aplicada foi Triângulo de Pascal.
Essa turma, um 2º ano do Ensino Médio, era composta por trinta e um alunos, todos
com idade entre 16 e 18 anos, a maioria com bom nível socioeconômico, onde pelo menos
uns dez já estavam na escola desde os 2 anos, e nós já desenvolvíamos um trabalho de
13
Grupo formado pelo corpo docente do CBSCM que se reúne no último sábado de cada mês para discutir
questões pedagógicas e fazer planejamentos. É nesse encontro que nos reunimos por área para discutirmos
questões de nossa disciplina. A área de Matemática é composta por três educadoras uma para cada segmento:
Ensino Fundamental séries iniciais, Ensino Fundamental séries finais e Ensino Médio.
34
Matemática com a maioria desde a 6ª série. Cinqüenta por cento da turma tinha um ótimo
raciocínio lógico, onde podíamos desafiá-los o tempo todo, contando sempre com uma
resposta positiva; quarenta por cento eram alunos que só respondiam a comandos,
apresentando muita dificuldade em pensar matematicamente. Suas respostas eram sempre
ligadas a questões técnicas com respostas mecânicas, sem argumento lógico, sem crítica. Os
outros dez por cento eram alunos com grande defasagem de conteúdos, que não respondiam
nem a questões práticas.
O tema escolhido, Triângulo de Pascal, além de atender aos critérios por nós
estabelecidos, atendia também ao desenvolvimento do conteúdo trabalhado com a turma
naquela época. Essa escola, sendo uma instituição de ensino particular, é muito cobrada por
parte de toda a comunidade escolar no quesito “vencer” o conteúdo. E, de repente ‘‘usar’’
tantas aulas para realização desse trabalho poderia ser interpretado por muitos pais e alunos
como perda de tempo, o que, felizmente, nesse caso, não aconteceu.
Para a aplicação da atividade I – Triângulo de Pascal, dividimos a turma em 8 grupos,
assim distribuídos:
1º Grupo: Flávia, Clarissa, Fernanda e Thais Cristina
2º Grupo: Caroline, Rafaela, Roberta e Carla
3º Grupo: Thaís Pâmela, Ludmila, Amanda e Ana
4° Grupo: Letícia, Isabela G., Ana Paula e Werner
5º Grupo: Luiz Felipe, Guilherme, André e Marcos
6° Grupo: Isabela, Renata, Patrícia e Samira
7° Grupo: Felipe, Viviane e Rafael
8° Grupo: Mônica, Lívia, Lorena e Marina14
Como já lecionávamos para esses alunos desde a 6ª série do Ensino Fundamental, não
foi necessário estabelecer um critério para a formação dos grupos uma vez que já tínhamos
esses grupos formados e com todas as experiências vivenciadas anteriormente tendo respostas
sempre positivas.
14
Esses nomes são fictícios, como forma de preservar a identidade dos sujeitos da pesquisa.
35
Na aplicação dessa atividade, tivemos 5 encontros. Em cada um desses encontros foi
proposta uma atividade para o grupo e traçados alguns objetivos. As datas, os objetivos e
tarefas propostas e desenvolvidas nos encontros estão sintetizadas no quadro abaixo:
ENCONTROS
1º Encontro
23/08/2005
2º Encontro
24/08/2005
3º Encontro
30/08/2005
4º Encontro
31/08/2005
5º Encontro
03/09/2005
OBJETIVOS
TAREFAS DESENVOLVIDAS
Tempo
Orientar os alunos
sobre a realização
do trabalho
Promover um
momento de
discussão para
realização da
primeira etapa do
trabalho
Verificar o nível
de linguagem
algébrica
apresentada pelo
grupo
Verificar o nível
do raciocínio e do
pensamento
algébrico do
grupo
Promover um
momento de
integração entre
os grupos
Construção do triângulo de Pascal a
partir dos binomiais apresentados;
Elaboração de um relatório constando
todas as observações apontadas pelos
integrantes dos grupos
2 h/a
Coletar
informações sobre
a percepção dos
alunos diante da
atividade
Cada aluno deverá fazer uma auto
avaliação da atividade desenvolvida
1 h/a
apontado aspectos facilitadores e
dificultadores encontrados durante a
realização
Para cada observação descrita o grupo
deverá apontar alguma generalização ou
2 h/a
simetria utilizando nesse momento a
linguagem algébrica
Diante
de
cada
generalização
estabelecida, o grupo deveria provar
2 h/a
matematicamente a identidade
Um ou mais integrante do grupo deveria
expor para a turma uma das observações
2 h/a
feitas pelo grupo, generalizando o fato e
provando a identidade
Quadro 2: Encontros realizados
Todos os encontros aconteceram na própria sala de aula da turma e em nossos
respectivos horários de trabalho.
Para a aplicação das atividades II – Mesas & Cadeiras e III - Mosaicos, optamos por
um trabalho com três trios e uma dupla. Essa experiência foi realizada fora do horário de
aulas.
36
Todas as turmas do Ensino Fundamental séries finais, bem como as turmas do Ensino
Médio dessa escola têm suas aulas com um início às 7:00 da manhã e término às 11:30 e
12:20, respectivamente. Analisando meus horários de aula e os horários da turma escolhida,
era impossível a aplicação das outras duas atividades utilizando as aulas de Matemática da
professora da turma, pois havia incompatibilidade em nossos horários Como já havíamos
aplicado as duas atividades em uma turma de 8ª série em horário normal de aulas e com a
participação de 38 alunos, tínhamos certeza da possibilidade e da potencialidade da atividade.
Nosso propósito aqui, era ouvir, observar e analisar como alunos do Ensino Fundamental
reagem, refletem, discutem e realizam atividades investigativas a partir de uma abordagem de
padrões. Diante de todos esses fatores, optamos pela realização em horário extra-curricular.
Solicitamos, então, que a professora escolhesse dez alunos, obedecendo à
disponibilidade de cada um, para participar de nossa pesquisa. Quando a professora auxiliar
foi escolher os alunos para participarem da atividade, primeiramente ela perguntou quem
gostaria e teria disponibilidade de estar na escola no período da tarde para a realização da
atividade. Um dos alunos que se colocou à nossa disposição para o trabalho foi um aluno de
inclusão da turma com Síndrome de Down, o que nos deixou satisfeitas. Escolhidos esses
alunos (onze no total), encaminhamos um comunicado aos pais, colocando-os a par do
trabalho que seria desenvolvido e informando-os do local, data e horário de sua realização.
Os alunos tinham idade variando entre 12 e 13 anos, sendo que apenas um tinha 15
anos, estando, portanto, fora da faixa etária da turma. Trata-se do aluno de inclusão citado
anteriormente, ao qual chamaremos de Paulo Henrique, que acompanha essa turma desde a 3ª
série, porém, com algumas limitações próprias de sua necessidade especial.
Decidimos por uma aplicação em grupos, sendo assim distribuídos:
1º Grupo: Vítor, Anderson e Rafael
2º Grupo: Bruna, Thalyta e Caroline
3º Grupo: Lucas, Adilson e Paulo Henrique
4º Grupo: Marcelino e Rafael Moreira
37
Contamos com a colaboração da professora de Matemática da turma, Valdirene, para
nos auxiliar na organização e aplicação das atividades. O aluno Lucas Augusto, estudante do
3º ano do Ensino Médio do CBSCM cuidou dos registros em vídeo e fotográficos em todos
nossos encontros. Tivemos três encontros com esses alunos para a realização dessas outras
duas atividades. Encontros esses sintetizados no quadro abaixo:
ENCONTROS
1º Encontro
25/03/2008
2º Encontro
26/03/2008
3º Encontro
27/03/2008
OBJETIVOS
Orientar os alunos
sobre a realização do
trabalho
Verificar os níveis de
desenvolvimento do
pensamento algébrico
e como esses alunos
expressam uma
generalização de
padrão figurativo.
Identificar o tipo de
linguagem utilizada
pelo grupo para
expressar essa
generalização.
Promover um
momento de
integração entre os
grupos
Verificar os níveis de
desenvolvimento do
pensamento algébrico
e como esses alunos
expressam uma
generalização de
padrão de mosaicos.
Identificar o tipo de
linguagem utilizada
pelo grupo para
expressar essa
generalização.
Promover um
momento de
integração entre os
grupos
Coletar informações
sobre a percepção
dos alunos diante da
atividade
TAREFAS DESENVOLVIDAS
Atividade II: Mesas e Cadeiras
• Discussão em grupo
• Responder questões
propostas
• Apresentação à turma
Atividade III: Mosaicos
• Discussão em grupo
• Responder questões
propostas
• Apresentação à turma
Tempo
2 h/a
2 h/a
Auto avaliação do grupo frente às
duas atividades desenvolvidas através
1 h/a
de um questionário
Quadro 3: Encontros para realização de atividades com grupos
38
Os encontros aconteceram em uma das salas de aula do CBSCM, a partir das 13 horas,
nas datas mencionadas.
5° Momento: Coleta e análise dos dados
Na aplicação das atividades, optamos pela utilização da técnica de observação.
Conforme apontam André e Lüdke (1986):
A observação direta permite também que o observador chegue mais perto da
‘‘perspectivas do sujeito’’, um importante alvo nas abordagens qualitativas.
Na medida em que o observador acompanha in loco as experiências diárias
dos sujeitos, pode tentar aprender sua visão de mundo, isto é o significado
que eles atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações. (André e
Lüdke, 1986, p.26)
Para nossa análise, o mais importante é justamente a reação, a atitude, a decisão do
aluno diante de uma situação apresentada. E a observação nos permitiria ver isso tudo de
perto e em detalhes.
André e Lüdke (1986, p.25), quando apontam as potencialidades da técnica de
observação na coleta de dados, levantam algumas fragilidades. Para os autores, “as
observações que cada um de nós faz na nossa vivência diária são muito influenciadas pela
nossa história pessoal, o que nos leva a privilegiar certos aspectos da realidade e negligenciar
outros”.
Para amenizar essa fragilidade, fizemos um planejamento de onde e como se daria a
observação? Quais os sujeitos estariam envolvidos nela? Quais os aspectos seriam relevantes
na observação?
O planejamento e registro das observações se deram de forma diferenciada com os
dois grupos de sujeitos envolvidos na pesquisa.
39
1º Grupo:
Com o primeiro grupo, uma turma do 2° ano do Ensino Médio, sujeitos já bastante
conhecidos por essa pesquisadora, pois éramos professora da turma desde a 6ª série, optamos
por realizar os registros dessa observação sozinha. Os recursos utilizados para o registro
foram: uma planilha de anotações, o relatório elaborado por cada grupo e fotografias.
A planilha de anotações, elaborada por essa pesquisadora e utilizada para registro de
observações e descrição de fala dos alunos no momento de discussão e apresentação, foi
sintetizada e apresentada abaixo:
Data
Atividade
Grupo
Descrição da fala
Quadro 4: Planilha de Registro de observações in loco
Além da planilha e dos relatórios apresentados pelos grupos, solicitamos, por último,
que cada aluno, individualmente, fizesse uma auto-avaliação do desenvolvimento da
atividade. Para isso, ele deveria descrever suas percepções diante de cada momento
vivenciado na tarefa, apontando pontos positivos e negativos do trabalho realizado.
Para a análise, separamos os registros por grupo de trabalho e fizemos um portifólio
para cada grupo contendo a planilha de registro das observações, o relatório do grupo e a
avaliação individual de cada integrante. A partir daí, procedemos à análise, dando ênfase às
diferentes formas de expressar uma idéia apresentada pelos grupos, o nível de pensamento
algébrico de cada grupo, a capacidade de expressar matematicamente uma regularidade, os
aspectos positivos e negativos apresentados e as dificuldades diante da realização de cada
tarefa proposta.
40
2° Grupo:
O segundo grupo, uma turma de 7ª série, eram sujeitos desconhecidos
pedagogicamente por essa pesquisadora. Esse fato nos levou a sentir necessidade da ajuda da
professora titular da turma nos registros das observações. Além disso, queríamos enriquecer
nosso trabalho, incluindo, nele, as percepções de um sujeito, diferentes da nossa. Pois, durante
a observação, por mais que tentamos, não conseguimos nos desligar e não deixar que nossas
vivências nos influenciem a privilegiar determinados detalhes em detrimento de outros.
Antes da aplicação da atividade, fizemos uma reunião com a professora da turma para
combinarmos como faríamos os registros das observações. Acordamos que eu faria o registro
do grupo 01 e 02 e ela dos grupos 03 e 04 e que usaríamos a mesma planilha que nós
havíamos elaborado, quando da observação do 1° grupo.
Além das observações escritas, fizemos um registro em vídeo, pois não conhecíamos o
desenvolvimento cognitivo da turma e não queríamos perder nenhum detalhe do trabalho.
No terceiro encontro com a turma, distribuímos um questionário com uma proposta de
averiguar as ações dos alunos diante de cada atividade proposta. As respostas às questões
apresentadas irão complementar nossa análise do desenvolvimento da atividade. Abaixo, uma
cópia do questionário distribuído a cada grupo (FIGURA 7).
41
Figura 7: Questionário sobre as ações dos alunos diante das atividades propostas
De posse de todo esse material, fizemos um portifólio para cada grupo constando das
planilhas com as observações e descrição de falas de cada grupo, uma folha com as respostas
dadas a cada questão proposta, inclusive com os rascunhos de desenhos utilizados e a folha
com as respostas do questionário. Assistimos ao vídeo várias vezes e fizemos registros das
observações relevantes encontradas nas fitas. Concluído o trabalho, acrescentamos esse
material ao portifólio de cada grupo.
Em seguida, fizemos a análise do desenvolvimento da atividade para cada equipe
dando ênfase à forma de registro utilizada pelos alunos, ao nível de pensamento algébrico, aos
42
argumentos utilizados que justificavam determinado raciocínio, à capacidade de representar
simbolicamente um fato descrito em linguagem usual, às dificuldades apresentadas pelos
grupos no desenvolvimento de cada tarefa proposta e à percepção do grupo diante de
atividades que exploram padrões.
43
3 EVOLUÇÃO DA ÁLGEBRA E DA EDUCAÇÃO ALGÉBRICA
ASPECTOS RELEVANTES
Para um melhor entendimento dos problemas vivenciados hoje em nossas escolas no
processo ensino aprendizagem da Álgebra, torna-se imprescindível delinearmos a trajetória de
desenvolvimento desse ramo da Matemática, bem como nos referenciarmos a alguns pontos
relevantes da Educação Algébrica no Brasil. Ao nos reportarmos a pontos fundamentais
dessas duas vertentes: Álgebra e Educação Algébrica, teremos uma visão mais sólida e
consistente das mudanças vivenciadas no Ensino da Álgebra facilitando-nos a verificação de
possibilidades de perspectivas futuras.
Como nosso foco de estudo é o desenvolvimento do pensamento algébrico, vamos nos
deter em apresentar alguns pontos na evolução desse pensamento em várias civilizações ao
longo da história. O quadro abaixo nos dará uma visão global desse desenvolvimento em
várias civilizações e em épocas distintas:
Época
Estudiosos
2000 a.C.
Babilônios
1950 a.C.
Egípcios
500 a.C
Gregos
300 d.C.
Diofanto
1500 d.C.
Viète e outros
1600 d.C.
Descartes
Contribuições
Usavam a técnica de completar quadrados para
resolver equações.
Os problemas pareciam enigmas.
Encontramos em alguns papiros a utilização de
símbolos para representação: mais, menos, igual
e incógnitas.
Utilizam a Geometria como ferramenta para se
resolver equações algébricas por método da
aplicação de áreas ou método das proporções
Introduz algumas abreviações para escrita e
resolução de equações algébricas.
Introduz o simbolismo algébrico moderno.
Aprimora o simbolismo algébrico moderno.
Institui a utilização das primeiras letras do
alfabeto (a,b,c) para representação dos
coeficientes numéricos e as últimas (x,y,z) para
as variáveis.
É o pioneiro a utilizar o símbolo· representando
a multiplicação.
Quadro 5: As civilizações e as formas de representação do pensamento algébrico
44
O desenvolvimento do pensamento algébrico conduziu a humanidade à elaboração de
uma linguagem específica para a Álgebra. De acordo com Eves (2004, p.206), citando
Nesselman e seu livro “Die Álgebra der Griechen”, Berlim, 1842, caracterizou três estágios
no desenvolvimento da notação algébrica: Álgebra retórica (apenas palavras), Álgebra
sincopada (mistura de palavras e símbolos) e a Álgebra simbólica (apenas símbolos).
Para Eves (2004) na Álgebra retórica, os argumentos da resolução de problemas são
escritos em “prosa pura”, sem abreviações ou símbolos específicos. Todos os passos para
descrever ou solucionar um problema eram feitos usando a linguagem corrente. Entre os
problemas solucionados na época citamos um retirado da Antologia Grega: “Democares viveu
um quarto de sua vida como criança, um quinto como jovem, um terço como adulto e há 13
anos é ancião. Quantos anos ele tem?” (EVES, 2004, p.225). Embora seja muito simples
resolver esse tipo de problema usando nosso moderno simbolismo algébrico, uma solução
retórica exigia uma atenção mental muito mais elevada.
A Álgebra sincopada é reconhecida pelo uso de algumas abreviações e/ou símbolos
específicos. Encontramos em Diofanto (séc. IV), filósofo grego conhecido como “pai da
Álgebra”, a primeira utilização sistemática de símbolos algébricos. Possuía um sinal especial
para incógnitas, um para o sinal de menos e um para cada potência da incógnita. Porém, de
acordo com Guelli (1997, p.24), nem tudo se valia de símbolos, por exemplo: a igualdade
ainda é expressa em linguagem usual “é igual a”. O quadro abaixo mostra uma relação entre a
linguagem na escrita de equações dos dias atuais e os utilizados por Diofanto, no século IV.
Símbolos atuais
Símbolos de Diofanto
x + 3 = 18
x1 u3 é igual a u18
x +3 = 12 – x
x1 u3 é igual a u12 M x1
x2=4
Q1 é igual a u4
x4 = 8 x 3
QQ1 é igual a C8
Quadro 6: símbolos atuais x símbolos gregos
Fonte: adaptado de GUELLI, O. (1997, p.24)
45
Essa notação algébrica mais desenvolvida conduziu à solução de problemas com
maior grau de complexidade. É importante salientar que, mesmo com a sincopação da
Álgebra, muitas civilizações permaneceram usando a Álgebra retórica por centenas de anos.
Na Europa Ocidental, especificamente, a maior parte dela permaneceu retórica até o século
XV.
A Álgebra simbólica, por sua vez, é marcada pelo momento em que as idéias
algébricas passaram a ser expressas por meio de símbolos. A queda do Império Romano, a
destruição durante as batalhas de vários centros de estudo retardou muito a passagem da
Álgebra sincopada para a simbólica. Apenas por volta do século XVI, com François Viète que
a Álgebra ganha uma nova estrutura – é a introdução do simbolismo moderno, que, mesmo
ainda fazendo uso de algumas formas sincopadas, simplifica as escritas algébricas, denotando
alguns símbolos específicos. Conforme Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) o uso da
linguagem simbólica se consolidou a partir da publicação, por Descartes, em 1637, de seu
livro “La Géométrie”. Nesse livro, Descartes utiliza as primeiras letras do alfabeto ( a, b, c,...)
como quantidades fixas e as últimas letras (x, y , z,...) como incógnitas (e, implicitamente,
como variáveis).
A humanidade precisou de muitos e muitos anos para se libertar do uso de palavras.
Essa passagem da linguagem natural para a linguagem simbólica só foi possível graças ao
desenvolvimento do pensamento algébrico. Isso nos leva a entender o fato de determinadas
civilizações demorarem mais tempo para conceber a utilização total da linguagem simbólica,
afinal, os níveis de estruturação do pensamento algébrico eram diferentes.
No campo da Educação Algébrica, em especial no Brasil, podemos perceber uma
preocupação com o estímulo ao desenvolvimento do pensamento algébrico apenas no final do
século XX. O foco da Educação Algébrica, até então, sempre foi a manipulação de expressões
algébricas obedecendo determinadas regras e, a partir daí, capacitar os alunos a resolver
problemas. Apesar dessa característica comum, épocas distintas apresentaram certas
especificidades que levaram Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) a usar o termo “concepções
da Educação Algébrica” para categorizar cada uma delas.
46
A. Concepção lingüístico pragmática:
De acordo com Fiorentini, Miguel e Miorim (1992), durante todo o século XIX até
meados do século XX, tanto no Brasil como em outros países, prevalece uma educação
voltada à resolução de problemas, quase sempre artificiais que nada tinham a ver com o
cotidiano do aluno. No Brasil, as disciplinas eram ensinadas na escola secundária,
compartimentadas e de forma seqüencial. A aritmética, a Álgebra, a Geometria e a
trigonometria tinham programas e livros diferentes, não existia, portanto, a disciplina
Matemática. Não se tinha muita clareza dos objetivos de cada uma, dizia-se que tudo era
muito importante, sem saber muito bem o porquê. Os próprios autores de livros justificavam
a importância de se estudar esse ou aquele conteúdo, pela relevância que as ‘‘nações mais
avançadas’’ davam aos mesmos.
Em 1931, com a reforma Francisco Campos15, ocorre a primeira organização nacional
da educação no Brasil e a legislação prevê a disciplina Matemática. Ainda de acordo com
Fiorentini, Miguel e Miorim (1992), surgem, então, as primeiras coleções de livros de
Matemática. A abordagem dos conteúdos era mecânica e a Álgebra era sempre tratada com
mais mérito do que a aritmética devido às suas possibilidades na resolução de problemas.
Nessa época, o transformismo algébrico (processo de obtenção de expressões algébricas
equivalentes mediante o emprego de algumas regras), era considerado pré-requisito para uma
Álgebra aplicada. O caminho era sempre esse:
•
Treinar a utilização de regras para manipulação de expressões algébricas;
•
Operacionalização de expressões algébricas;
•
Resolução de equações;
•
Resolução de problemas.
Esse modo de conceber a educação algébrica acreditando que capacitar o aluno com
técnicas ainda que mecânicas seria suficiente para que o mesmo tornasse um hábil
15
Nome da primeira reforma educacional de caráter nacional, realizada no início da Era Vargas (1930-1945), sob
o comando do Ministro da Educação e Saúde, Francisco Campos. Essa reforma, de 1931, foi marcada pela
articulação junto aos ideários do governo autoritário de Getúlio Vargas e seu projeto político ideológico,
implantado sob a ditadura conhecida como “Estado Novo”. (MENEZES e SANTOS, 2002)
47
solucionador de problemas (quase sempre artificiais), foi denominado por Fiorentini, Miguel
e Miorim (1993) de “concepção lingüístico-pragmática”.
B. Concepção fundamentalista-estrutural
Conforme
Moderna,
Fiorentini, Miguel e Miorim (1992), o Movimento da Matemática
que chega ao Brasil na década de 60, vai contrapor a essa concepção, numa
tentativa de unificar os campos da Matemática, não de forma mecânica, excluindo alguns
tópicos e incluindo outros, mas sim, usando elementos considerados unificadores: teoria de
conjuntos, estruturas algébricas e relações que deveriam constituir a base para a construção de
uma nova Matemática.
Com o propósito de capacitar o aluno a aplicar estruturas algébricas em diferentes
contextos, tópicos fundamentais como: conjuntos numéricos, propriedades estruturais,
sentenças abertas e fechadas, conjunto universo e conjunto verdade, equações e inequações de
1° grau, foram colocados como pré-requisitos ao estudo de expressões algébricas, valores
numéricos, operações e fatoração. Com essa mudança, acreditavam dotar o aluno de
argumentos lógicos que justificassem o transformismo algébrico. A Álgebra, nessa época,
ganha um lugar de destaque e, segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), a educação
algébrica ganha uma outra concepção: a “fundamentalista-estrutural”.
Essa concepção reorganiza os tópicos algébricos em uma cadeia linear, colocando um
conteúdo sempre como pré-requisito a outro. Por exemplo: para abordagem do conteúdo de
funções, o aluno deveria ter estudado conjunto e suas propriedades estruturais, sentenças
abertas e fechadas, expressões algébricas, equações, polinômios, fatoração, frações algébricas.
C. Concepção fundamentalista-analógica
Ainda de acordo com Fiorentini, Miguel e Miorim (1992), passados alguns anos, o
ensino da Matemática no Brasil sofre influências da corrente pedagógica do tecnicismo. E aí
48
nos deparamos com um impasse entre o fazer (ênfase tecnicista) e o compreender (ênfase
estruturalista) e os matemáticos e educadores matemáticos começam a questionar o
pressuposto que embasa o ideário modernista. O Movimento da Matemática Moderna, que
não consegue dar conta dessa crise, acaba fracassando e contribuindo para o surgimento de
uma terceira concepção de educação algébrica: a “fundamentalista-analógica”. Essa
concepção tenta efetuar, conforme Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), uma síntese entre a
concepção lingüístico-pragmática e a concepção fundamentalista-estrutural. Para os autores:
[...] essa concepção tenta efetuar uma síntese entre as duas anteriores, uma vez que
procura, por um lado, recuperar o valor instrumental da Álgebra e, por outro, manter
o caráter fundamentalista – só que não mais de forma lógico-estrutural – de
justificação das passagens presentes no transformismo algébrico. (FIORENTINI,
MIGUEL E MIORIM, 1993, p.84)
No final da década de 70, começam a surgir as primeiras mudanças com o objetivo de
corrigir distorções e excessos cometidos ao longo da trajetória do movimento modernista.
Um exemplo foi a volta e valorização do ensino da Geometria que havia sido “esvaziada” dos
currículos durante o movimento. A proposta de ensino da Matemática para o 1º grau, além de
defender uma abordagem intuitiva da Geometria, faz alguns apelos a recursos geométricos no
sentido de justificar algumas operações algébricas, como, por exemplo, multiplicação de
polinômios, fatoração algébrica, produtos notáveis etc.
A justificativa ao transformismo algébrico deixa de ser lógica e passa a ser visual. O
que não quer dizer, segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993, p.84) que o aluno não terá
acesso a uma abordagem estritamente simbólica, apenas terá um “estágio (geométrico-visual)
intermediário e/ou concomitantemente à abordagem simbólico-formal”.
A presença dessa concepção ainda é muito marcante nos atuais livros didáticos de 5ª a
8ª séries do Ensino Fundamental, que buscam a justificação de passagens algébricas usando
uma geometrização da Álgebra, como podemos observar na figura a seguir:
49
Figura 8: Coleção “Tudo é Matemática” - 7ª série, p. 165
Um fato comum a todas essas concepções, é que todas tomam como ponto de partida
uma Álgebra simbólica já construída e, em todas, o ensino-aprendizagem da Álgebra reduzse ao “transformismo algébrico”. O ensino da Álgebra é reduzido ao ensino de sua linguagem
pré-estabelecida. O desenvolvimento do pensamento algébrico e a elaboração de uma
linguagem a partir de experiências concretas são descartados, ficando para o aluno a idéia de
que tudo está pronto e a única coisa a fazer é decorar regras sem o menor significado e depois
aplicá-las na resolução de problemas.
A tendência da Educação Algébrica tem sido acreditar que o pensamento algébrico só
se manifesta e desenvolve através da manipulação sintática da linguagem concisa e
específica da Álgebra. Entretanto, essa relação de subordinação do pensamento
algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, tanto no plano histórico quanto no
pedagógico, a linguagem é, pelo menos a princípio a expressão de um pensamento.
(FIORENTINI, MIGUEL E MIORIM, l993. p. 85)
A partir da década de 90, podemos perceber uma nova forma de pensar a
educação algébrica. A preocupação maior deixa de ser com as regras de manipulações
algébricas com uma linguagem pré-estabelecida, o foco principal passa a ser a proposta de
experiências que desenvolvam o pensamento algébrico conduzindo à elaboração de uma
linguagem simbólica.
No que diz respeito à educação algébrica, os PCNs do Ensino Fundamental destacam
que:
Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter,
evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança
e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à
variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os
alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e
50
gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver um estudo da Álgebra apenas
enfatizando as “manipulações” com expressões e equações de uma forma meramente
mecânica. (BRASIL, 1998, p.116)
Pesquisadores como: Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2006), Bonadiman (2005)
Lins & Gimenez (1997), comungando das idéias apresentadas pelos PCNs (1998), não
apostam mais na estrutura de um currículo linear onde o aluno aprende a linguagem algébrica
para depois desenvolver o pensamento algébrico. São unânimes em afirmar que é preciso
proporcionar aos alunos experiências que desenvolvam, paulatinamente, o pensamento
algébrico e, a partir daí, capacitá-los para que construam a linguagem algébrica.
3.1- Linguagem algébrica x pensamento algébrico
O conceito de pensamento algébrico tem sido abordado por diversos autores. É um
conceito controverso, levando Lins & Gimenez (1997, p. 89 ) a referirem que não há consenso
a respeito do que seja “pensar algebricamente”. Para nós as observações, as inferências, os
questionamentos, as estratégias utilizadas por sujeitos diante de uma situação problema
caracterizam o pensamento algébrico.
Tomando isso como pressuposto e nos remetendo à retrospectiva na evolução da
Álgebra, percebemos a existência de um pensamento algébrico em todas as fases de seu
desenvolvimento, até mesmo quando de sua fase retórica onde havia uma ausência total da
linguagem simbólica. A linguagem algébrica utilizada nessa época era uma linguagem
natural. Conforme apontam Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), o pensamento algébrico pode
expressar-se por meio de várias linguagens:
[...] não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode
expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da
linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica para esse
fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza estritamente simbólica.
(FIORENTINI, MIGUEL E MIORIM, 1993, p.88)
Assim como na construção da Álgebra, o pensamento algébrico estava presente em
todos os momentos, mesmo antes do simbolismo algébrico. Na educação algébrica,
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2006) defendem que o pensamento algébrico pode ser
desenvolvido gradativamente, antes mesmo da existência de uma linguagem simbólica. Para
51
isso, apontam alguns aspectos a serem desenvolvidos, os quais são denominados como
caracterizadores do pensamento algébrico:
•
estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos;
•
perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação problema;
•
produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação problema;
•
produzir vários significados para uma expressão numérica
•
interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas
expressões numéricas;
•
transformar uma expressão aritmética em outra mais simples;
•
desenvolver algum processo de generalização;
•
perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias;
•
desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se
matematicamente.
Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), os PCNs (1998) e os Principles and Standarts for
School
Mathematics
(NCTM,
2000)
afirmam
que
seria
adequado
introduzir
o
desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de atividades que assegurem o exercício
dos aspectos caracterizadores desse pensamento.
A proposta apresentada pelos PCNs do Ensino Fundamental, no que diz respeito à
educação algébrica, sugere que:
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar
“abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo
noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais de modo informal, em um trabalho
articulado com aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de
Álgebra mais sólida, rica em significados. (BRASIL, 1998, p.117)
Portanto, não há como sustentar o que ainda percebemos na educação algébrica, ou
seja, o trabalho pautado apenas no transformismo algébrico. Se o objetivo, além de construir
uma linguagem simbólica é desenvolver o pensamento algébrico, a educação algébrica não
pode mais se deter a um único caminho:
expressões – equações – problemas. Nos
encontramos frente a uma nova proposta de educação algébrica, que vai além das
manipulações, que se inquiete com questões sobre o desenvolvimento do pensamento
52
algébrico e com a construção do simbolismo como uma linguagem que expressa uma
generalidade.
Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), para a construção de uma linguagem
que seja significativa para o estudante, torna-se necessário um trabalho reflexivo. Numa
primeira etapa, objetiva-se chegar a uma expressão simbólica por meio da análise de situações
concretas. Na segunda, percorre-se o caminho inverso e somente numa terceira etapa a ênfase
dever recair ao transformismo algébrico. Para os autores:
É esse trabalho reflexivo e analítico sobre situações problema de naturezas diversas,
isto é, sobre o modo como conduzimos e expressamos o nosso pensamento visando a
à resolução de tais situações, que possibilitará a construção de uma linguagem
simbólica que seja significativa para o estudante. (FIORENTINI, MIGUEL E
MIORIM, 1993, p.90)
Eles afirmam ainda, que esse trabalho deve começar nas séries iniciais do Ensino
Fundamental, contrapondo, assim, à idéia de que, para aprender Álgebra, o aluno deve
dominar todo o conteúdo de Aritmética.
Apesar de o ensino da Álgebra, atualmente na maioria das escolas no Brasil, ser
precedido pela Aritmética, para Linz & Gimenez (1997, p.10), essa idéia é “infundada e
prejudicial”, o aluno não precisa, necessariamente, dominar conteúdos da Aritmética para
aprender Álgebra. Para eles, “é preciso começar mais cedo o trabalho com Álgebra, de modo
que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra”
(itálico do autor). Portanto, o desenvolvimento desses dois ramos da Matemática deve
acontecer concomitantemente, pois, ainda para Lins e Gimenez (1997):
O que precisamos fazer é entender de que modo a Álgebra e a aritmética se ligam, o
que elas têm em comum. Feito isso, teremos encontrado uma verdadeira raiz, o que
nos permitirá repensar a educação aritmética e algébrica de forma única. (LINZ &
GIMENEZ, 1997, p. 113)
Portanto, pesquisas atuais, bem como documentos oficiais, defendem que a Educação
Algébrica deverá promover o desenvolvimento do pensamento algébrico desde as séries
iniciais, gradativamente ir construindo a linguagem algébrica, e, a partir daí, assegurar o
domínio e a compreensão dos transformismos algébricos.
53
Com o intuito de alcançar esses objetivos, os PCNs (1998), ao abordarem o ensino da
Álgebra, destacam a importância de se desenvolverem atividades que levem o aluno a :
•
•
•
reconhecer que representações algébricas permitem generalizações sobre
propriedades das operações aritméticas, traduzir situações problemas e
favorecer as possíveis soluções;
traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica
e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das
letras;
utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades
para construir estratégias de cálculo algébrico. ( BRASIL, 1998, p.64)
E mais :
•
•
•
produzir e interpretar diferentes escritas algébricas - expressões, igualdades e
desigualdades – identificando as equações, inequações e sistemas ;
resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro
grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;
observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a
relação de dependência entre variáveis. (BRASIL, 1998, p.81)
Além disso, os PCNs (1998) enfatizam a importância de proporcionar ao educando
atividades que desenvolvam sua capacidade de argumentar, observar, analisar, questionar,
fazer inferências, ou seja, o aluno deve ser um sujeito ativo de seu processo
ensino/aprendizagem. Para isso, afirmam os PCNs (1998), que é preciso mudar o papel do
professor:
Numa perspectiva de trabalho em que se considere o aluno como protagonista da
construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma
faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além de
conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos
alunos, precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos e
procedimentos e alimentar os processos de resolução que surgirem, sempre tendo em
vista os objetivos a que se propõe atingir. ( BRASIL, 1998, p.38)
Usiskin (1995), Bonadiman (2005), Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2006),
Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), Modanez (2003), apresentam uma postura comum no
que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Segundo esses pesquisadores,
sua construção se dá de forma gradativa e alguns processos cognitivos envolvidos na
54
aprendizagem da Álgebra escolar encontram suas raízes no desenvolvimento histórico da
Álgebra como um sistema simbólico.
Os PCNs do Ensino Fundamental (1998, p.116) destacam que “para garantir o
desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em
atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra”.
Os Standarts (NCTM, 2000) apontam para um trabalho pautado em vários temas
algébricos com um mesmo objetivo: o desenvolvimento do pensamento algébrico.
3.2 - Concepções da Álgebra
Uma ferramenta eficaz para esse trabalho, segundo vários pesquisadores, em especial
Usiskin (1995), deve estar pautado em atividades que contemplem as quatro concepções da
Álgebra: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimentos para
se resolver certos tipos de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a
Álgebra como estudo de suas estruturas. Ainda para o autor, quando enquadramos a variável
sobre uma única concepção, colaboramos para que nosso aluno continue com aquela visão
distorcida de que variáveis são letras que representam números. Segundo Usiskin (1995,
p.12), “as variáveis comportam muitas definições, conotações e símbolos. Tentar enquadrar a
idéia de variável numa única concepção implica uma supersimplificação que, por sua vez,
distorce os objetos da Álgebra”.
Segundo Ponte (2007), o grande desafio para o educador matemático, hoje, é levar o
educando a pensar matematicamente, e, para isso, é necessário que, em primeiro lugar,
proporcionemos a esse educando, momentos de vislumbre matemático, onde ele possa
observar, analisar, argumentar, identificar padrões, generalizar, comunicar, formalizar etc, ou
seja, que ele viva em sala de aula momentos de construção da Matemática.
Para isso, ainda de acordo com o autor, não basta disponibilizar uma lista de exercícios
intermináveis e com um mesmo objetivo. É necessário que as atividades sejam ricas,
significativas e motivadoras.
55
A partir da caracterização do pensamento algébrico acreditamos ser necessário
que o aluno esteja engajado em atividades que contemplem as quatro concepções da Álgebra
para garantir o desenvolvimento do mesmo.
Os PCNs (1998), com relação à Álgebra enfatizam também, a importância de
se desenvolver os diversos aspectos da Álgebra :
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de Álgebra, é
especialmente nas séries finais do Ensino Fundamental que as atividades algébricas
serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá
diferentes funções da Álgebra ( generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação
entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas, aritmeticamente difíceis),
representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros,
variáveis, incógnitas, tomando contrato com fórmulas), compreenderá a
“sintaxe”(regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p.50 e 51 )
O modelo de Ensino da Álgebra apontado pelos Standarts (NCTM, 2000 p. 36)
em todos os segmentos da Educação Básica propõe que os programas instrucionais da préescola ao 3º ano deveria capacitar os alunos a:
•
Entender padrões, relações e funções;
•
Representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos;
•
Usar modelos matemáticos para representar e entender relações quantitativas;
•
Analisar mudanças em vários contextos.
Para Usiskin (1995):
[...] as concepções que temos da Álgebra e a utilização de variáveis estão
intrinsecamente relacionadas. As finalidades da Álgebra são determinadas por, ou
relacionam-se com concepções diferentes da Álgebra, que correspondem à diferente
importância relativa dada aos diversos usos das variáveis. (USISKIN, 1995, p.12-13)
(Grifos do autor).
Essas concepções são categorizadas por Usiskin (1995, p.13) como: “Álgebra como
aritmética generalizada, Álgebra como resolução de equações, Álgebra como estudo das
estruturas e Álgebra como estudo das relações entre grandezas”.
56
3.2.1 - Álgebra como aritmética generalizada
Conceber a Álgebra como uma aritmética generalizada constitui-se como ferramenta
que
pode dar um significado maior à idéia de variável. De acordo com Fiorentini,
Miguel e Miorim (1993), quando a Álgebra é trabalhada sob essa perspectiva, não é
necessário esperar até o 3º ciclo para se iniciar o processo de construção do pensamento
algébrico. Desde os primeiros anos da educação básica, o professor pode explorar atividades
algébricas, ainda que de forma intuitiva.
Segundo Usiskin (1995), a Álgebra, introduzida como uma aritmética generalizada,
proporciona ao educando, além de uma experiência precoce com a mesma, um trabalho
menos doloroso e mais significativo. Em um trabalho inicial, não deve haver preocupação por
parte do professor com a formalização e o rigor matemático. As primeiras experiências devem
acontecer de forma intuitiva e exploradas de maneira bem natural. Um exemplo disso está no
estudo das propriedades operatórias: Questionando uma classe sobre as operações: 5 x 1= ?, 6
x 1=?, 100 x 1 = ? e anotando os resultados, logo que surgir a expressão a x 1 = ? , o aluno
responderá, seguramente, que o resultado é igual a “a”. Nesse momento, a atividade terá
proporcionado, ao mesmo tempo, uma experiência com a generalização de padrões, um
primeiro contato com as “variáveis”, e o aluno estará começando a pensar algebricamente.
Conforme os Standarts (NCTM, 2000, p.91), “quando os estudantes notam que operações
parecem ter propriedades particulares, eles estão começando a pensar algebricamente. (2000,
p.91)
Segundo Usiskin (1995), atividades do tipo: observar uma seqüência e tentar
completá-la, também são muito úteis na abordagem dessa concepção. Exemplificando, temos
a atividade abaixo:
2
3
4
5
5
7
9
A
n
57
Observando a tabela acima, qual é o número que completa corretamente a
seqüência, substituindo o valor de a?
Encontre uma expressão que exprima essa
regularidade para um valor n qualquer.
Para desenvolver atividades desse tipo, o aluno deverá observar e descobrir qual a
regra de formação da segunda coluna, quer dizer: descobrir um padrão e, em seguida,
generalizar e resolver o problema. Para Usiskin (1995), atividades que envolvem padrões são
as que mais auxiliam o desenvolvimento do processo de generalização.
Nessa concepção da Álgebra como aritmética generalizada, percebemos que as
variáveis (letras) são tratadas como generalizadoras de modelos e sua finalidade é apenas
substituir os números.
3.2.2 - Álgebra como estudo para resolver certos tipos de problemas (Resolução de
equações )
Segundo Usiskin (1995), essa concepção talvez seja a que receba maior ênfase pelos
professores autores de livros didáticos, porém, se pautada apenas em métodos, técnicas e
regras que o aluno decora e não encontra o menor significado, perde a sua verdadeira
finalidade. É muito importante atenção e cuidado para que, ao explorar atividades que
abordem resolução de equações, não nos detenhamos apenas no desenvolvimento de métodos
que, muitas vezes, são decorados e camuflam dificuldades, constroem conceitos errôneos que,
depois, podem comprometer todo o desenvolvimento do pensamento algébrico. Nesse
sentido, de acordo com os Standarts (NCTM, 2000, p.38): “se os alunos ocupam-se
excessivamente na manipulação simbólica antes de desenvolverem uma base conceitual para
seu trabalho, eles serão incapazes de fazer mais que manipulações mecânicas”.
Ainda de acordo com o autor, torna-se necessária, principalmente, a construção correta
do conceito de equação, do significado do sinal de igualdade, do significado de equivalência
de equações, e o verdadeiro significado da letra, que, aqui deixa de ser apenas algo que
substitui um número e é concebida como incógnita. As variáveis são tratadas, nesse caso,
como termo desconhecido e o objetivo central é determinar seu valor. Uma ferramenta
poderosa no trabalho dessa concepção é a interpretação geométrica da equação de 1º grau e a
58
construção do conceito de raiz ou solução como sendo a interseção dessa reta com o eixo “x”.
Conceitos que, para nós professores são tão simples (pois já foram enraizados ao
longo de nossa experiência profissional com a Matemática) podem ser vistos pelos alunos
como verdadeiras aberrações quando trabalhadas sem significado. Numa equação, nem
sempre o símbolo +, significa uma adição a ser efetuada. Por exemplo, na equação: 2x + 5 =
9, o símbolo + não indica que devamos adicionar 5 a 2x. Bem diferente disso, a regra nos
manda realizar sempre operações inversas para determinarmos o valor de x. Essa regra da
transposição, usando operações inversas, muitas vezes é assimilada pelo aluno como “muda
de membro, muda sinal”, daí o aparecimento de erros, tais como:
2x = 6
x=6–2
x=4
O sinal do dois é positivo, na transposição de membro fica negativo. Fatos como esses
decorrem, muitas vezes, do uso de regras sem significado e do uso de técnicas matemáticas
desvinculadas de contextos do dia-a-dia.
Um outro fato é o significado que a maioria dos alunos dá ao sinal de igualdade:
acreditam que ele sempre determina “fazer algo” e nunca enxergam esse sinal com uma noção
de equilíbrio, de balança, de equivalência.
Para Kaput (1996), citado por Freitas (2002), pensar a Álgebra como um processo para
resolver equação, implica em realizar manipulação guiada pela sintaxe (regras) e também pela
semântica (significado). Nesse aspecto, as regras sintáticas são usadas para manipular ou
modificar a forma da estrutura algébrica, obtendo equações equivalentes, que proporcionem
sua resolução. Como esse processo requer uma rotina de passos, ele pode levar a uma
mecanização. Por outro lado, ele pode atuar semanticamente sobre o formalismo. Se faltam
cinco do dobro de um número que é igual a nove, então duas vezes esse número daria 4, logo,
o número procurado é o dois.
3.2.3 - Álgebra como estudo das estruturas
59
Conforme afirma Usiskin (1995) o estudo das estruturas nos cursos superiores envolve
estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Contudo,
reconhecemos a álgebra como estudo das estruturas pelas propriedades que atribuímos às
operações com números reais e polinômios. Nesse trabalho, utilizaremos essa nomenclatura
estudo das estruturas para nos referenciarmos às manipulações algébricas como fazem os
PCNs ( 1998).
O trabalho com essa concepção demanda um amadurecimento maior do educando e
uma construção significativa do pensamento pré-algébrico, pois, aqui, as variáveis (letras)
tornam-se um objeto arbitrário de uma estrutura estabelecida por certas propriedades. É
necessário que os alunos tenham facilidade em manipular simbolismos algébricos para
conseguirem lidar abstratamente com técnicas adequadas.
As primeiras experiências que a maioria de nossos alunos tem com essa concepção
acontecem no início do 4º ciclo do Ensino Fundamental, quando são propostas atividades que
buscam simplificações de estruturas algébricas. Aqui, o objetivo não é buscar “um resultado”
para uma determinada expressão, mas, simplesmente, manipular variáveis de uma forma
diferente, usando propriedades tão abstratas quanto a expressão a ser manipulada.
O uso de técnicas ou regras sem sentido, sem significado, dificulta o trabalho, pois, na
maioria das vezes, o aluno não vê objetivo nenhum em simplificar uma expressão, a menos
que seja para determinar o valor da variável. Por exemplo: ao ser solicitado que simplifique a
expressão:
x2 − 5x + 6
, o aluno não admite que a solução seja x - 3, e acaba questionando: é
x−2
para resolver e determinar o valor de x? Episódios como estes demonstram a falta de
significado que o aluno tem das estruturas algébricas, bem como a construção errônea de
conceitos básicos como: a distinção entre equações e expressões algébricas.
A abordagem de atividades baseadas nessa concepção tem como finalidade enriquecer
o entendimento de sistemas que realizam abstrações e proporcionar ao aluno base para a
compreensão de níveis mais abstratos e de formalização. Logo, para Usiskin (1995), torna-se
necessária uma abordagem de cálculo algébrico de maneira significativa e que estimule o
aluno a manipular estruturas, buscando uma justificativa razoável para simplificar, fatorar ou
desenvolver expressões.
60
3.2.4 - Álgebra como estudo de relações entre grandezas
O desenvolvimento do pensamento algébrico, focando essa concepção, é que dá
significado e compreensão para o estudo de funções, no final do 4º ciclo do Ensino
Fundamental. Atividades que estabeleçam relações entre grandezas podem ser exploradas
desde os primeiros anos daquela etapa. Um exemplo disso é um jogo de bolinhas coloridas,
onde se estabelece que cada três bolinhas vermelhas, a criança troca por uma amarela. Isso
nos possibilitaria construir um esquema, como registrado logo abaixo:
Vermelha
Amarela
3
1
6
2
9
3
?
4
?
n
Uma criança, ainda que nos primeiros anos do Ensino Fundamental, consegue
estabelecer uma relação entre o número de bolas amarelas e o número de bolas vermelhas.
Nessa concepção de Álgebra, as letras são tratadas como variáveis para expressar relações de
dependência entre grandezas.
Atividades usando seqüências geométricas (triângulos, quadrados, hexágonos)
confeccionadas usando palitos de fósforo, são um bom exemplo de relações entre grandezas,
que podem ser abordadas, bem antes do aluno ter noção de função, domínio, contra-domínio,
imagem etc. O desenvolvimento de atividades com esse propósito, nas primeiras séries do
Ensino Fundamental, não tem como objetivo a formalização desses conceitos, mas
proporcionar ao aluno a construção da idéia, mesmo que de forma intuitiva, da relação entre
grandezas.
A compreensão das relações funcionais é uma das competências a ser desenvolvida
pelo educando, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+,
61
2002). Formular e comunicar generalizações e representar relações são processos essenciais
no desenvolvimento do pensamento matemático, que auxiliam a compreensão da própria
estrutura matemática, bem como são utilizados na resolução de problemas do dia-a-dia,
inclusive os oriundos de outras ciências. Os PCNs + (2002) nos dizem que:
[...] O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a
linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e
modelar situações problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e
permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática. (BRASIL, 2002,
p.121).
Essa compreensão pode acontecer de forma gradativa, passando do intuitivo para o
formal, no decorrer da escolarização, para que o aluno encontre um significado naquilo que
está estudando.
Um estudo sobre as várias concepções da Álgebra nos permite uma melhor
compreensão sobre os vários conceitos de variáveis. A falta desse entendimento, talvez seja
um dos fatores responsáveis pelo fracasso de nossos alunos na matéria. O quadro a seguir
mostra, de forma simples, os vários significados das letras em Álgebra, bem como sua
finalidade.
Dimensões da
Álgebra
Aritmética
generalizada
Estudo
de
relações
entre
grandezas
Resolução
de equações
Estudo
de
estruturas
Uso das letras
Letras como
generalizações
do
modelo
aritmético.
Letras como
variáveis
para
expressar
relações
e
funções.
Letras como
incógnitas
Letras como
símbolo
abstrato
Conteúdos
(conceitos
e
procedimentos)
Propriedades
das operações,
generalizações
de
padrões
aritméticos.
Variação de
grandezas
Resolução de
equações
Cálculo
algébrico;
obtenção de
expressões
equivalentes.
Quadro 7: Os significados das letras em Álgebra e sua finalidade
Fonte: PCN, 1998, p.116
62
Diante disso, delineamos um fio condutor para o desenvolvimento do pensamento
algébrico pautado em experiências diversificadas contemplando todos os significados e
finalidades das letras podendo, a utilização de padrões, constituir uma ferramenta importante
para o alcance desse objetivo. Segundo os PCNs (1998), essas experiências devem contemplar
todos os níveis da Escola Básica, inclusive as séries iniciais do Ensino Fundamental. Ainda de
acordo com os PCNs (1998):
As atividades algébricas propostas no Ensino Fundamental devem possibilitar que os
alunos construam seu conhecimento a partir de situações problema que confiram
significados à linguagem, aos conceitos e procedimentos referentes a esse tema,
favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações das letras. Os
contextos dos problemas deverão ser diversificados para que eles tenham
oportunidade de construir a “sintaxe” das representações algébricas, traduzir as
situações por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas e variáveis), e
construir as “regras” para resolução de equações. (BRASIL, 1998, p.121-122).
Os Standarts (NCTM, 2000, p. 36) enfatizam que todos os alunos deveriam aprender
Álgebra devido à sua relevância, tanto na preparação para curso superior quanto no trabalho, e
argumentam sobre a importância de um trabalho algébrico desde as séries iniciais, apontando
experiências sistemáticas com padrões e números como base para o entendimento posterior da
compreensão e utilização da linguagem algébrica.
Modanez (2003), Nakamura (2003) e Perez (2006) defendem que atividades de
generalizações de padrões é uma das abordagens para superar as dificuldades apresentadas
pelos alunos dos Ensinos Fundamental e Médio na manipulação das expressões algébricas e,
conseqüentemente, na resolução de equações, constituindo-se como um meio eficaz para que
o aluno construa uma linguagem simbólica significativa.
Os PCNs (1998, p.117) também defendem a exploração de padrões no
desenvolvimento da capacidade de raciocínio algébrico. Segundo o documento, “é
interessante também propor situações em que os alunos possam investigar padrões tanto em
sucessões numéricas quanto em representações geométricas e identificar suas estruturas,
construindo a linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente”.
63
Um trabalho pautado em atividades que exploram padrões de regularidades podem,
além de proporcionar o desenvolvimento dos elementos caracterizadores do pensamento
algébrico, contemplar todas as concepções algébricas, tornando-se adequado para todos os
níveis da Educação Básica, desde que devidamente adaptado ao nível de cognição do aluno
que vai desenvolvê-lo.
3.3 - Importância dos padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico
No dia-a-dia, desde os tempos mais remotos, o homem sempre foi motivado à procura
de regularidades. A própria história da Matemática, da Física, da Geografia etc nos remete a
uma busca constante de um padrão para explicação de determinado fenômeno proporcionando
a evolução de algum aspecto da ciência. Por exemplo: quando Pitágoras intui que em todo
triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, suas
primeiras argumentações partem de observações, análise, identificação de regularidades,
intuição e a construção de um padrão. Somente mais tarde é que ele conclui seu trabalho com
uma demonstração sistematizada. Na física, quando Galileu desperta para o fato de que todos
os objetos caem em direção ao solo (regularidade), isso o conduz à idéia da gravidade. O fato
de que a cada três meses o clima parece mudar levou à determinação das quatro estações; o
movimento de rotação e translação que a Terra faz em seu eixo levou à origem do dia com 24
horas e do ano com 360 dias. Essas e inúmeras outras situações revelaram um padrão.
Devlin (2002) ressalta que podemos encontrar padrões tanto no mundo físico como no
mundo das idéias. Segundo ele, esses padrões podem ser: reais ou imaginários, visuais ou
mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou
assumindo um interesse pouco mais que recreativo.
Uma das ferramentas usada para o desenvolvimento do pensamento algébrico pode ser
a observação e a generalização de padrões de regularidades conforme apontam os PCNs
(1998) e os Standarts (NCTM, 2000).
Segundo Davis e Hersh (1995, p.167), “o próprio objetivo da Matemática é, em certa
medida, descobrir a regularidade onde parece vingar o caos, extrair a estrutura e a invariância
da desordem e da confusão”.
64
A proposta de ensino aprendizagem apresentada pelos PCNs (1998) tem sido de uma
busca constante para uma significação a todos os conteúdos abordados. Sendo o padrão uma
presença contínua na vida de qualquer indivíduo, a sua utilização na construção do
pensamento algébrico, além de dar significado à simbologia e às abstrações algébricas,
assegura o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico.
Para Vale et al. (2007):
Quando apelamos aos padrões no ensino da Matemática é normalmente porque
queremos ajudar os alunos a aprender uma Matemática significativa e/ou a envolverse na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente de aprendizagem que tenha algo
a ver com sua realidade e experiências. O estudo de padrões vai de encontro a esse
aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações,
encontrarem conexões e fazerem generalizações e também previsões. (VALE et al.,
2007, p.6).
Mas, o que a literatura define como padrão?
Sempre que pensamos em padrões, o que nos vem à mente são pinturas de parede,
mosaicos, estampas de tecidos, ou seja, padrões visuais, que envolvem arranjo de formas,
cores, números com alguma regularidade. Porém, padrão vai muito além dos aspectos visuais.
Em vários aspectos da vida, somos atraídos pela busca de regularidade, tentando interpretar
situações, procurando ou impondo padrões. Por exemplo: quando dispomos os quadrados
perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., que a princípio é uma seqüência caótica, sem nenhuma
relação, ela traz internamente uma regra padrão: o somatório de “n” números ímpares.
Não encontramos na literatura, uma definição precisa para padrão. Para Vale et al.
(2007, p.2), “o conceito de padrão têm-se revelado bastante fluído, com definições muito
díspares, consoante a utilização que é pretendida”.
Encontramos padrões na natureza, na Física, na Biologia, na Geografia, na Arte etc.
Segundo Devlin (2002), não será, portanto, má descrição, considerar a Matemática como a
“ciência dos padrões”. Por isso, esse autor dá ao seu livro o sugestivo nome de “Matemática:
a ciência dos padrões”, devido à importância que o mesmo dá à procura de regularidades,
ressaltando que o significado de padrões, na Matemática, é amplo. Ele ainda esclarece que:
65
Foi só nos últimos vinte anos, mais ou menos, que surgiu a definição de Matemática
que é hoje consensual entre a maioria dos matemáticos: a Matemática é a ciência dos
padrões. O que o matemático faz é examinar “padrões” abstratos – padrões
numéricos, padrões de forma, padrões de movimento, padrões de comportamento,
etc. Esses padrões tanto podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais,
estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou
assumindo um interesse pouco mais que recreativo. Podem surgir a partir do mundo
à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou das atividades mais ocultas
da mente humana. [...] Com o objetivo de transmitir o conceito moderno de
Matemática, este livro aborda seis temas genéricos, abrangendo padrões de
contagem, padrões de raciocínio e de comunicação, padrões de movimento e
mudança, padrões de forma, padrões de simetria e regularidade e padrões de posição
(topologia). (DEVLIN, 2002, p.9)
Os nossos olhos são capazes de visualizar vários tipos de padrões de forma e de
figuras. Uma estrela do mar, por exemplo, apresenta uma regularidade geométrica (FIGURA
9).
Figura 9: Estrela do Mar
Assim como os alvéolos pulmonares (FIGURA 10):
Figura 10: Alvéolos Pulmonares
66
Existem ainda padrões cujas características mais interessantes ao matemático referemse ao fato de eles se repetirem de forma regular até preencherem completamente um polígono,
como, por exemplo, o desenho mostrado abaixo, de autoria do famoso artista M.C.Escher
(FIGURA 11).
Figura 11: “O Sol e a lua” - 1948
Padrões de movimentos, que encontramos na órbita dos planetas, num jogo nos passos
de dança, num nado sincronizado etc. (FIGURA 12).
Figura 12: Nado Sincronizado
As notas musicais que agrupadas com uma regularidade de intervalos produz melodias
belíssimas. (FIGURA 13).
67
Figura 13: Notas Musicais
A arte milenar dos crochês, tricôs e bordados, que a partir de um padrão dão origem a
peças, roupas e adereços.
Figura 14: A arte do crochê
Dentro da Matemática, encontramos várias estruturas de padrões que, de acordo com
suas características e particularidades, podem ser categorizados em numéricos, visuais,
geométricos, figurativo-numérico, geométrico-numérico etc. (TABELA 3).
68
TABELA 3
Alguns estilos de padrões matemáticos:
Estilos
Categorização
figurativo- numérico
geométrico-numérico
visuais
2 1 3 5 2 1 3 5 ...
numéricos
mosaico
movimento
Relacionados com o conceito matemático de padrão, também se encontram
subjacentes o padrão estrelar, padrão climático, padrão do dia e da noite, padrão de gestação,
padrão genético, padrão dos componentes do DNA, padrão das marés, padrão de alimentação,
padrão de produtividade, ...
Vários fenômenos, naturais ou não, explicam-se por meio de padrões matemáticos. É o
caso da disposição de pétalas na flor de lírio, na flor de girassol, disposição dos galhos em
algumas árvores, das folhas em algumas plantas. A incidência de chuva em determinadas
regiões. Nas asas de borboletas ou nas plumas de um pavão, por exemplo, podem-se
identificar padrões geométricos.
69
A essência da Matemática e a linguagem na qual ela se expressa são os padrões.
Quando consideramos a Matemática como a ciência dos padrões, estamos fazendo uma
descrição, não só porque os padrões se encontram em nossa vida e na própria Matemática sob
várias formas, mas também porque acreditamos “constituir um tema unificador”, conforme
descreve Vale et al. (2007, p. 6).
Conduzir o ensino da Matemática a partir de experiências com padrões é uma tentativa
de torná-lo mais significativo, de fazer o aluno vivenciar o processo de construção da
Matemática privilegiando o desenvolvimento do pensamento algébrico e a criação de uma
linguagem simbólica.
Sendo assim, conceitos algébricos podem evoluir e desenvolver-se desde a educação
infantil. Inicialmente, a criança pode ser levada a descrever verbalmente algum tipo de
regularidade, indicar qual é o próximo termo de determinada seqüência, sem nenhuma
preocupação, obviamente, com o simbolismo algébrico. Por exemplo: na seqüência
CACACACA... , facilmente uma criança na educação infantil percebe a regularidade e,
quando questionada quanto ao próximo termo da seqüência, indicaria a letra C.
De acordo com os Standarts (NCTM, 2000):
[…] Experiências iniciais com classificação e ordenação de objetos são naturais e
interessantes para crianças mais novas [...] Inicialmente, os estudantes devem
descrever a regularidade dos padrões mais verbalmente que com símbolos
matemáticos. Nas séries 3-5, eles podem começar a usar variáveis e expressões
algébricas assim como eles descrevem e entendem padrões. Ao final da escola
secundária eles deveriam estar confortáveis com o uso de notação de funções para
descrever relações. (NCTM, 2000, p.37).
Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), quando a criança consegue estabelecer
alguma relação em padrões geométricos e/ou numéricos, constrói mais de um modelo
matemático para uma mesma situação problema, consegue simplificar uma expressão
numérica, desenvolve algum tipo de generalização, consegue desenvolver uma linguagem
mais simples que poderá ajudá-la na solução de um problema. Quando consegue expressar-se
matematicamente, podemos dizer que está desenvolvendo seu pensamento algébrico. À
medida que a criança vai desenvolvendo esse pensamento, torna-se necessário que ela
também produza uma linguagem mais apropriada para resolvê-lo. Entre a linguagem e o
70
pensamento algébrico não deve haver um grau de importância diferenciado, nem preocupação
em se esgotar um para iniciar o outro. O desenvolvimento se dá lado a lado e de forma
gradativa. Nesse sentido, para Fiorentini, Miguel e Miorim (1993):
[...] a introdução precoce e sem suporte concreto a uma linguagem simbólica abstrata
pode funcionar como freio à aprendizagem significativa da Álgebra, o menosprezo ao
modo de expressão simbólico-formal constitui também em um impedimento para o
seu pleno desenvolvimento. (FIORENTINI, MIGUEL E MIORIM, 1993, p. 89).
Os Standarts (NCTM, 2000) dão ênfase ao trabalho com padrões durante toda a
educação básica objetivando o desenvolvimento do pensamento algébrico. Segundo o
documento:
[...] Padrões são uma maneira para os alunos mais novos reconhecerem ordem e
organizarem seu mundo e são importantes em todos os aspectos matemáticos. [...]
Assim que os alunos generalizam através de observações sobre números e operações,
eles estão formando a base do pensamento algébrico. (NCTM, 2000, p. 91-93).
As várias orientações para o processo ensino aprendizagem da Álgebra apontam para a
importância do desenvolvimento do pensamento algébrico. Os alunos, antes de estabelecer
contato com os tópicos formais de domínio da Álgebra, já pensam algebricamente e já
desenvolvem estratégias pessoais de pensamento. É função do professor, portanto, diante do
exposto, utilizar metodologias de ensino que, partindo dessas estratégias informais do aluno,
proporcionem o desenvolvimento do pensamento algébrico com o intuito de, gradativamente,
alcançar de maneira significativa o formalismo algébrico.
Uma idéia que é sempre apontada quando o assunto é a Álgebra é a de generalização,
o que faz com que pensemos nela como um dos elementos integrantes do pensamento
matemático. A generalização surge da observação, reconhecimento e análise de padrões e
relações. Como referem os Standarts (NCTM, 2000), os padrões são a base do pensamento
algébrico e o trabalho com padrões convida os estudantes a identificar relações e fazer
generalizações.
71
4 ANÁLISE DO ASPECTO ALGÉBRICO NAS COLEÇÕES DE LIVROS
DIDÁTICOS DAS SÉRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Nossa opção pela análise do aspecto algébrico em algumas coleções de livros didáticos
para o desenvolvimento dessa pesquisa fundamenta-se na enorme influência que esse recurso
exerce sobre os professores da Educação Básica, principalmente nas escolas públicas.
O acesso aos livros didáticos pelos professores e alunos da rede pública de ensino
tornou-se muito fácil, principalmente a partir da década de 90, quando as escolas começaram
a receber gratuitamente coleções de Matemática, Português, Geografia, História e Ciências
para todas as séries do Ensino Fundamental.
Hoje, para o processo de escolha do livro, a escola recebe gratuitamente, além do Guia
de Livros Didáticos - PNLD, coleções variadas e atualizadas das disciplinas ministradas a
cada três anos. Os professores se reúnem, analisam e fazem a escolha do livro para o próximo
triênio. Todas as coleções recebidas para análise são disponibilizadas na biblioteca para uso
dos alunos e professores interessados. Não existe nenhum outro material pedagógico que
chegue tão fácil às mãos do professor da escola pública quanto o livro didático.
Os livros didáticos constituíram-se, assim, o maior recurso pedagógico do professor.
As atividades propostas na coleção para o desenvolvimento do pensamento algébrico serão
sempre as conduzidas em sala de aula. Então, por mais que os documentos oficiais apontem a
importância de se trabalhar com atividades que explorem padrões de regularidades,
contemplando todas as concepções da Álgebra na construção da linguagem algébrica, por
mais que pesquisadores comprovem sua eficácia, o aluno continuará não tendo acesso a esse
tipo de experiência caso os autores de livros didáticos não valorizem essas atividades.
Nosso propósito, então, foi investigar como estão sendo abordados os conteúdos
algébricos nessas coleções e qual a importância dada nas atividades propostas ao
desenvolvimento do pensamento algébrico. Para isso, selecionamos cinco coleções que têm
influenciado o ensino da Álgebra nos últimos anos na cidade de Pará de Minas e que
apresentam metodologias de ensino diferenciadas, que serão especificadas mais adiante.
72
Para cada coleção, fizemos uma breve identificação e caracterização da obra. Em
seguida, apresentamos o resultado obtido a partir de um estudo detalhado nas atividades
algébricas propostas nos quatro volumes, ilustrando a quantidade de tarefas que abordam cada
uma das quatro concepções algébricas já identificadas no capítulo 3. Em seguida, tecemos
alguns comentários relevantes, inclusive usando de exemplos extraídos da coleção, nos
referenciando o tempo todo aos PCNs (1998) e ao Guia de Livros Didáticos - PNLD ( 20052008). Usamos como referência para análise o Guia de Livros Didáticos - PNLD de 2005 e de
2008, devido ao estudo de coleções com datas de publicações diferenciadas. Por último,
fizemos um relato sobre a incidência de atividades com a utilização de padrões de
regularidade, remetendo-nos, novamente, a exemplos extraídos da própria coleção.
Assim, ao final da análise, tivemos uma visão geral da concepção algébrica de cada
obra e o percurso proposto pelo autor para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
4.1 – Coleção: Matemática, autor Edwaldo Bianchini
4.1.1 – Caracterização da obra
A coleção Matemática é composta por quatro volumes, um para cada série, de 5ª à 8ª
séries do Ensino Fundamental. No início de cada volume, encontramos uma carta de
apresentação, seguida de uma breve amostra da estrutura da obra.
Os volumes são divididos em capítulos, que apresentam uma estrutura e uma
seqüência hierárquica abrangendo, inicialmente, o campo aritmético; em seguida, o campo
algébrico; e, por fim, o campo geométrico. Exceção apenas para o volume da 5ª série, que não
apresenta conteúdo específico de Álgebra. A coleção apresenta uma estrutura de currículo
linear.
Todos os capítulos são introduzidos por meio de recursos como: textos com situações
do dia-a-dia, imagens do cotidiano e fatos históricos. Em seguida, apresenta a teoria apoiada
em alguns exemplos, que auxiliam na a compreensão do conteúdo. Apresenta, ainda, algumas
seções como: Exercícios propostos e complementares, contendo uma lista de exercícios para
73
fixação do tema estudado; Para saber mais: um tópico onde são apresentados textos sobre
estatística, Geometria e História da Matemática, usados para enriquecer e aprofundar os
conteúdos. No final dessa seção temos Agora é com você!, sempre com uma atividade
relacionada ao tema exposto. A coleção, ainda, apresenta seções como: Pense mais um
pouco..., com questões desafiadoras e Matemática & Jogos, com atividades de entretenimento
que proporcionam um estímulo à aprendizagem. Ao final de cada capítulo, a coleção traz
alguns testes de múltipla escolha com o propósito de rever o conteúdo e verificar a
aprendizagem.
Finalizando cada volume, temos um suplemento de consulta, respostas dos exercícios
complementares e testes, uma bibliografia com referências das obras utilizadas na elaboração
da coleção e sugestões de leitura para o aluno.
A coleção consta ainda, de um suplemento com orientações para o professor. Nesse
suplemento, encontramos uma apresentação da obra e sua estrutura, objetivos gerais e
específicos, uma pequena discussão sobre avaliação e sugestões de leitura para o professor.
A coleção não consta no Guia do Livros Didáticos - PNLD 2005, nem no Guia dos
Livros didáticos - PNLD 2008, mas, apesar disso, sua análise teve relevância para nosso
estudo por ser uma obra já adotada pelas escolas públicas de Pará de Minas e devido ao
grande número de professores que utilizam-se dela para consulta de exercícios
complementares em sala de aula.
4.1.2 - Análise da abordagem algébrica na obra
Encontramos nessa obra, 2770 atividades algébricas devidamente classificadas em
uma planilha, segundo as quatro concepções da Álgebra. O resultado final desse levantamento
é apresentado por meio do gráfico abaixo, que nos deu uma visão global do aspecto algébrico
da coleção.
74
Abordagens algébricas na Coleção
Matemática
Aritmética generalizada
3,99% 0,01%
Resolução de equações
37%
Estudo de Estruturas
59%
Estudo de relações entre
grandezas
Gráfico 1: Abordagens algébricas na Coleção Matemática
No campo algébrico, percebemos uma ênfase dada à resolução de equações e ao
cálculo algébrico, atingindo uma média de 96% das atividades presentes nos quatro volumes,
sendo que, nos livros de 6ª e 7ª séries, esse índice atinge 100% das atividades propostas.
Apenas no volume da 7ª série aparecem cerca de 1200 atividades, todas contemplando
resolução de equações e cálculo algébrico. Esse fato nos chamou muito a atenção, não apenas
pelo alto número de exercícios, mas também pela sua estrutura: repetitivos e mecânicos.
Entre inúmeras atividades com características citadas, podemos exemplificar com o
exercício número 85, página 65, do volume da 7ª série:
Calcule os produtos :
A) 3x . ( 3x – 3 ) . ( x + 2)
B) – 2x . ( x + 5 ) . ( 2 x – 5 )
C) ( x + 1 ) . ( x – 2 ) . ( x – 3 )
D) ( x – 3 ) . ( 2x – 1 ) . ( 3x – 2 )
E) ( a – 2 b ) . ( a + 2 b ) . ( a – b )
F) ( a – b ) . ( a + b ) . ( 3 a – b )
G)
x
1 
1
 x +  . 2x − 
2
3 
2
75
1
y y 
H)  + 1 .  − 1 .  y + 
2
2  3  
Nessa mesma lista de exercícios, no número 82, o autor propõe: calcule... com o
mesmo enunciado e mesmo objetivo. Já o próximo exercício, o autor pede aos alunos que
calculem a área de um retângulo (número 83) e o exercício 84 possui o seguinte enunciado:
Dados : A = x 2 + 3 x - 2 , B = x + 2 e C = x – 3
Calcule : A) A . B e A . C
B) A . ( B + C )
Os PCNs do Ensino Fundamental (1998), quando se referem à importância de um
trabalho amplo, que contemple todas as dimensões da Álgebra, diz que:
[...] é fato conhecido que os professores não desenvolvem todos os aspectos da
Álgebra no Ensino Fundamental, pois privilegiam fundamentalmente o estudo do
cálculo algébrico e das equações – muitas vezes descoladas dos problemas. Apesar de
esses aspectos serem necessários, eles não são absolutamente suficientes para
aprendizagem desses conteúdos. Para compreensão de conceitos e procedimentos
algébricos é necessário um trabalho articulado com essas quatro dimensões ao longo
dos terceiros e quarto ciclos. (PCN, 1998, p.117).
Todas as atividades propostas e exemplificadas anteriormente contemplam apenas a
concepção que Usiskin (1995) caracterizada como estudo de estruturas, ou seja, o autor utiliza
várias listas de exercícios e todas com o mesmo propósito.
Atividades que explorem a concepção da Álgebra como aritmética generalizada não
são contempladas em nenhum dos volumes desta coleção. O estudo de relações entre
grandezas é abordado apenas no conteúdo de funções do volume 4. Até então, o aluno tem
uma visão da “letra” apenas como algo desconhecido (incógnita). Abdicar do estudo da
“letra”como algo que varia em função de... pode comprometer todo o estudo da Álgebra e
contribuir de forma enfática nos freqüentes erros cometidos por nossos alunos nos Ensinos
Fundamental e Médio citados na introdução desse trabalho.
76
Fazendo referência a esse tema, diz os PCNs do Ensino Fundamental (1998) que:
[...] a noção de variável, de um modo geral, não tem sido explorada no Ensino
Fundamental e por isso, muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e
também o médio) pensam que a letra em uma sentença algébrica serve apenas para
indicar (ou encobrir ) um valor desconhecido, ou seja, para eles letra sempre significa
uma incógnita. (PCNs, 1998, p. 118).
Também pudemos observar, na pesquisa realizada, que as atividades propostas no
volume 4 recaem no mesmo problema verificado anteriormente, contemplando apenas a
resolução de equações e estudo de estruturas. Vejamos um exemplo retirado do livro da 8ª
série, página 91:
Um losango tem diagonal maior medindo 12cm.
A) Represente a área desse losango em função da medida da diagonal
menor.
B) Calcule a área desse losango quando a diagonal menor tem 7 cm.
C) Quanto deve medir a diagonal menor para que a área desse
losango seja 45 cm2?
Diante dos autores pesquisados, podemos, então, afirmar que são situações como as
apresentadas na atividade acima que podem ser usadas para uma exploração sobre a variação
de determinada grandeza em função de outra, o que, pela nossa observação, não ocorreu.
Em uma visão geral da obra, não percebemos uma preocupação do autor na condução
de um processo de construção da linguagem algébrica. Sua concepção é de um currículo
linear que capacite o aluno com técnicas que o habilite a resolver problemas.
4.2 – Coleção: Tudo é Matemática, autor Luiz Roberto Dante
4.2.1 – Caracterização da obra:
Tudo é Matemática é uma coleção composta por quatro volumes, um para cada série,
de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. A coleção foi aprovada pelo MEC – Ministério da
77
Educação – por meio do Guia dos Livros didáticos - PNLD de 2005. Cada volume é dividido
em capítulos e cada capítulo, em tópicos. Os conteúdos são apresentados de forma intercalada
contemplando todos os campos da Matemática.
Os volumes iniciam com uma carta de apresentação ao aluno, onde o autor esclarece
qual é a concepção da obra frente ao ensino da Matemática.
Os capítulos começam com uma introdução, sempre que possível problematizando o
tema que será abordado. Em seguida, propõe alguns exercícios e/ou algumas situações
problemas. Outras seções aparecem no decorrer de cada capítulo, entre elas: Trocando idéias,
proporcionando sempre um momento de reflexão, análise e discussão; Você sabia que...,
trazendo uma informação ou curiosidade sobre o tema trabalhado, que por muitas vezes é
utilizada na resolução de problemas posteriores; Oficina de Matemática, que, em geral, sugere
a utilização de algum material concreto; Revendo o que aprendemos, com uma lista de
exercícios para revisão ou verificação de aprendizagem; Projeto em equipe, oportunizando
um momento de trabalho em grupo; Redação – escrevendo sobre o capítulo, com uma
proposta de elaboração de um texto sobre o que foi estudado; Revisão cumulativa, com uma
lista de testes de múltipla escolha. Para ler, pensar e divertir é a seção que encerra todos os
capítulos, trazendo sempre textos com curiosidades ou fatos históricos sobre o conteúdo, um
desafio e uma atividade recreativa.
No final de cada volume, é apresentado um glossário, uma seção verificando suas
respostas, sugestão de leituras complementares e uma bibliografia, com referências das obras
utilizadas na elaboração da coleção.
A coleção tem, ainda, um manual do professor composto de duas partes: uma geral,
onde o autor caracteriza a obra, discute alguns pontos importantes para o ensino da
Matemática: objetivos, segundo os PCNs do Ensino Fundamental, recursos didáticos, temas
transversais, resolução de problemas, etnomatemática e modelagem, critérios de avaliação em
Matemática; e uma outra parte específica, com o gabarito das questões. De acordo com o
autor da coleção, “como há muitas inovações no conteúdo, na metodologia e na ênfase em
determinados assuntos, tornou-se fundamental a existência de um manual pedagógico com
orientações e sugestões para facilitar o trabalho na sala de aula”. (DANTE, 2002, p.6 –
Manual Pedagógico do Professor).
78
No manual pedagógico do professor, quando o autor pontua os objetivos específicos
do ensino da Matemática, deixa clara sua concepção sobre o desenvolvimento do pensamento
algébrico comungando com as idéias apresentadas em nosso referencial teórico.
Nessas séries (ou ciclos), o ensino da Matemática deve procurar desenvolver, ainda de
acordo com Dante (2002):
[...] o pensamento algébrico, procurando generalizar propriedades das operações
aritméticas; traduzindo situações problema na linguagem matemática; generalizando
regularidades; traduzindo tabelas e gráficos em leis matemáticas que relacionem duas
variáveis dependentes; interpretando expressões algébricas, igualdades e
desigualdades e resolvendo equações, inequações e sistemas. (DANTE, 2002, p.13 –
Manual pedagógico do professor )
4.2.2 - Análise da abordagem algébrica na obra
Nessa obra, foram encontradas 1850 atividades algébricas que, após categorizadas em
uma planilha, tiveram seus resultados apresentados pelo gráfico abaixo:
Abordagens algébricas na Coleção
Tudo é Matemática
4%
Aritmética generalizada
4%
31%
Resolução de equações
Estudo de Estruturas
61%
Estudo de relações entre
grandezas
Gráfico 2: Abordagens algébricas na coleção Tudo é Matemática
Percebemos, portanto, nessa coleção uma incidência maior de atividades que
contemplam as quatro concepções da Álgebra. O número de atividades que envolvem
79
resolução de equações e estudo das estruturas, apesar de ainda apresentar um percentual maior
que as outras duas concepções, ou seja, aritmética generalizada e o estudo de relações entre
grandezas são mais bem estruturadas e menos repetitivas.
Atividades que buscam o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de
generalização de propriedades e operações aritméticas traduzindo na linguagem matemática
são pontos fortes dos livros de 5ª e 6ª séries. Como exemplo, podemos verificar a atividade
proposta abaixo16:
Copie em seu caderno a tabela abaixo e depois complete-a.
0
1
2
3
4
0
8
16
24
32
5
6
7
...
...
n
...
...
Qual é a generalização nesse caso ?
Para realizar essa atividade, o aluno deverá observar inicialmente a variação de 8 em 8
na segunda linha para depois relacionar a primeira linha com a segunda generalizando o fato
ocorrido para um número “n”. Atividades como essa proporcionam ao aluno uma construção
gradativa da linguagem algébrica, bem como permitem uma estruturação significativa para o
conteúdo de funções. Ao professor, permitem uma visão do nível de pensamento algébrico em
que o aluno se encontra.
Algumas atividades, que o autor denomina como: Máquinas programadas, estimulam
o aluno a fazer generalizações e obter expressões algébricas, proporcionando, também, uma
preparação para o estudo de funções, que aparece no volume da 7ª série, p.112, como
mostrado a seguir:
16
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ed. Ática, 2002, p.55, ex. 51.
80
Figura 15: Máquinas programadas
Atividades como essas são exploradas pelo autor em várias etapas e contemplam a
utilização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico. Além disso, o autor
aborda, numa mesma atividade, várias concepções algébricas. Por exemplo: quando o autor dá
o comando: subtraia um da metade, o aluno, para realizar a operação, realiza um cálculo
algébrico (estudo das estruturas). Quando ele altera esses valores, proporciona ao aluno uma
experiência da “letra” enquanto variável, estabelecendo uma relação entre grandezas: mudou
o número no comando, muda também o resultado. Ao propor que o aluno escreva uma
expressão em função de y, r ou m, ele está conduzindo a construção de uma linguagem
simbólica e explorando a concepção de generalização da aritmética. Para essa mesma
atividade, o professor poderá abordar a concepção de resolução de equações propondo uma
inversão do problema: Qual é o número que adicionando 5 ao seu dobro tenho como resultado
17?
Segundo os PCNs do Ensino Fundamental (1998):
81
[...] é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções
algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo
relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as
“manipulações” com expressões e equações de uma forma meramente mecânica.
(PCN, 1998, p.116).
A coleção Tudo é Matemática dá uma ênfase à interpretação geométrica de fatorações,
com o intuito de promover uma melhor compreensão. Um exemplo desse fato encontra-se no
volume da 7ª série, página 177, observado a seguir (FIGURA 16):
Figura 16: Trinômio do 2º Grau
Utilizando-se da composição de área de retângulos, o autor, com a atividade acima,
tenta dar um significado geométrico à fatoração do trinômio do 2° grau. Usando a mesma
ferramenta, desenvolve a diferença de quadrados, o trinômio do quadrado perfeito e o fator
comum em evidência.
Há uma preocupação do autor, também, no conteúdo de sistemas de equações de 1º
grau, com a representação geométrica ao solucionar o problema: “Represente graficamente
em seu caderno as retas x + y = 3 e x – y = 1. A seguir, responda: esse sistema é impossível?
Por quê?” ( DANTE, 2002, 7ª série, p. 220).
Questões como essas não objetivam apenas a resolução da questão, mas a
compreensão do conteúdo, proporcionando momentos de reflexão e discussão sobre o
assunto. Além disso, busca apresentar enfoques diferentes no desenvolvimento de um mesmo
conteúdo.
Percebemos na coleção, o desenvolvimento do raciocínio algébrico de forma
gradativa, proporcionado a evolução de vários processos matemáticos como: intuição,
abstração, generalização, observação de regularidades, comunicação e demonstração.
82
A obra, no geral, apresenta atividades que, além de capacitarem o aluno para os
transformismos algébricos, conduzem à elaboração de uma linguagem algébrica trabalhando a
“letra” em todas as suas dimensões.
4.3 – Coleção: A Conquista da Matemática: a + nova, autores José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci e José Ruy Giovanni Júnior
4.3.1 - Caracterização da obra
A Conquista da Matemática é uma coleção composta por quatro volumes, um para
cada série, 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental, publicada em 2002 e aprovada pelo MEC
por meio do Guia dos Livros didáticos - PNLD de 2005.
Cada volume é organizado de forma linear, por capítulos. Em todos há uma seqüência
na abordagem dos campos da Matemática, primeiro o campo aritmético, depois o algébrico e
finalizando com o campo geométrico. No início de cada capítulo, há sempre um texto,
geralmente usando uma história em quadrinhos, fazendo a introdução do conteúdo.
Os capítulos apresentam algumas seções, como, por exemplo: Troque idéias com seus
colegas, estimulando o trabalho em grupo; Tratando a informação, onde o aluno terá
oportunidade de ler e interpretar gráficos e tabelas presentes no cotidiano; Explorando, aqui, o
cálculo mental, a Geometria, o manuseio da calculadora, recebem um tratamento especial;
Informações matemáticas interessantes, mostra a Matemática presente nos mais diversos
lugares, por meio de textos que despertam atenção dos alunos para o conteúdo matemático
desenvolvido; Retomando, com atividades extras que proporcionam uma revisão e melhor
fixação do conteúdo; História da Matemática, embasando a construção do pensamento
matemático.
83
Ao final de cada volume, encontram-se indicações de leitura, bibliografia, respostas
para todos os exercícios, um glossário e sugestão de projetos a serem desenvolvidos durante o
ano letivo.
Em cada volume, encontramos, também, o manual do professor com: orientações
metodológicas, sugestões de atividades, objetivos específicos de cada capítulo, indicações de
leitura para enriquecimento da prática pedagógica e sugestões de técnicas para avaliação.
4.3.2 - Análise da abordagem algébrica na obra
Na elaboração da planilha categorizando as concepções algébricas, encontramos na
obra 2770 atividades algébricas. O resultado apresentamos no gráfico abaixo:
Abordagens algébricas na Coleção
A Conquista da Matemática a + nova
Aritmética generalizada
5% 1%
Resolução de equações
36%
Estudo de Estruturas
58%
Estudo de relações entre
grandezas
Gráfico 3: Abordagens algébricas na coleção A Conquista da Matemática a + nova
Como podemos verificar, no campo algébrico, predominam atividades que
contemplam as concepções: estudo das estruturas e resolução de equações. No volume da 7ª
série, devido à ênfase dada às operações com polinômios e frações algébricas, o índice chega
a 99% das atividades algébricas.
84
Na coleção estudada, os conteúdos algébricos, normalmente são iniciados com uma
exploração de situação problema envolvendo figuras ou conceitos geométricos, o que é
justificado pelos autores, quando dizem que “devido à aproximação com algo mais concreto,
o apoio da Geometria é significativo para a manipulação das expressões algébricas”.
(Castrucci, Geovanni e Júnior, 2002, p.23 - Orientações para o professor).
Além da introdução do conteúdo, a coleção prioriza o tempo todo a comunicação entre
os campo geométrico e algébrico, porém, por muitas vezes, as atividades se prendem a
aplicação de propriedades e teoremas, como podemos observar a seguir, no exercício proposto
da coleção17:
Determine o valor de x, sabendo que r // s :
r
X – 100º
X + 40 º
s
São raras, portanto, pelo que pudemos observar, as atividades que a obra consegue
aproximar a Álgebra de algo concreto aproveitando-se da Geometria. Uma dessas atividades
é proposta no livro da 8ª série (p.264) a seguir:
17
GIOVANNI, J.R., CASTRUCCI, B, JUNIOR, J.R.G., A Conquista da Matemática: a + nova. São Paulo.
FTD, 2002, 7ª série, p.213.
85
Figura 17: problema proposto
A coleção tem uma característica de utilização da Geometria para justificar
transformismos algébricos, ou seja, algebrização da Geometria e geometrização da Álgebra.
Atividades que proporcionam abordagem de generalização da aritmética aparecem de
forma muita sucinta, quando na quinta e sexta séries há exploração de propriedades
operatórias. Para exemplificar, apresentamos o exercício a seguir18:
18
GIOVANNI, J.R., CASTRUCCI, B, JUNIOR, J.R.G., A Conquista da Matemática: a + nova. São Paulo.
FTD, 2002, 7ª série, p.213.
86
Considere o quociente : 7 5 : 7 2
x 7) =
(7 x 7 x 7 x 7 x 7) : (7
1 44 2 4 43 {
75
72
7 x7 x7 x7 x7
= 7 x7 x7 = 73
7 x7
Potências de mesma base
Logo : 7 5 : 7 2 = 7 3 ou 7 5 – 2
Um quociente de potências de mesma base, onde o expoente do dividendo é maior ou igual ao
expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência- conservamos a base e
subtraímos os expoentes
a m : a n = a m – n , com a ≠ 0 e m ≥ n
Importante ressaltar, que, nesse momento, não é proposto ao aluno para que ele faça a
generalização. Ela é simplesmente apresentada. Sobre esse assunto, diz o Guia de Livros
Didáticos – PNLD (2005), sobre a coleção, que:
Como a obra pouco favorece a participação dos alunos, o professor deverá criar
condições para que eles tenham um papel ativo na própria aprendizagem. Isso pode
ser feito com o planejamento das atividades, de modo a problematizar os temas
estudados. (PNLD, 2005, p.16).
A concepção estudo de relações entre grandezas aparece concentrada toda no volume
da 8ª série no estudo de funções, onde há uma exploração de gráficos, problemas e análise de
sinais. As duas atividades, dentre as 2770 apresentadas na coleção, em que o autor explora
padrões de regularidades para construir uma linguagem algébrica aparecem nesse capítulo na
seção troque idéias com seus colegas. Como exemplo, extraímos uma delas, a atividade da
página 154, do livro da 8ª série:
87
Figura 18: Quadrados na função quadrática
De uma forma geral, a linguagem algébrica na coleção é apresentada, não construída.
Portanto, a ênfase recai na utilização das letras como algo desconhecido (incógnitas), com
abordagem de sua utilização como variável - praticamente isso acontece apenas no estudo de
funções na 8ª série. O autor se preocupa, o tempo todo, em justificar passagens algébricas
utilizando-se, para isso, a Geometria. Um exemplo desse fato pode ser encontrado no volume
da 8ª série, na página 81, quando o autor explora a técnica de completar quadrados, como
vemos a seguir (FIGURA 19):
Figura 19: Técnica de completar quadrados
88
Percebemos, na obra, uma ênfase na concepção pós Matemática moderna, que
estimula a utilização da Geometria para justificar passagens do transformismo algébrico: a
concepção fundamentalista-analógica. Em contrapartida, não percebemos um trabalho que
contemple as quatro concepções da Álgebra. Tanto que foram encontradas, por meio de nossa
observação, apenas algumas em que o autor propõe a construção de uma linguagem algébrica.
4.4 – Coleção: Matemática paratodos, autores Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis
4.4.1 - Caracterização da obra
Matemática paratodos é uma coleção composta por quatro volumes, um para cada
série, 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. Todos os volumes iniciam com uma carta ao
aluno(a) e outra aos pais, onde os autores argumentam sobre a escolha feita na estrutura da
obra.
Os volumes são divididos em capítulos que se iniciam de forma contextualizada
apresentando o item: Conversando sobre o texto, com o propósito de direcionar uma reflexão
ou debate sobre a leitura feita. Em seguida, apresenta algumas seções, como, por exemplo:
Problemas e exercícios para sala de aula; Problemas e exercícios para casa, proporcionando
ao aluno um momento de estudo individual, sem ajuda do professor. Entre uma seção e outra
de problemas, aparece Ação, propondo atividades com materiais auxiliares, jogos, etc. Um
toque a mais, intercalando dois capítulos, essa seção pode conter atividades de investigação,
um texto sobre a História da Matemática, uma seção de cálculo mental ou explora uso de
calculadoras.
Ao final de cada volume, encontram-se, ainda: sugestões de leitura para o aluno,
referências bibliográficas, problemas e exercícios complementares, supertestes, dicionário e
conferindo respostas.
O manual do professor, apresentado como Assessoria Pedagógica, é composto por:
apresentação da obra e dos autores, comentários sobre o ensino da Matemática e como a obra
se insere nesse contexto, as contribuições dos PCNs, propostas para avaliação, orientação para
89
o desenvolvimento dos conteúdos e conexões com outras áreas do conhecimento, sugestões de
como melhor utilizar recursos didáticos, comentários e respostas das questões, indicação de
fontes para atuação e aperfeiçoamento docente, bloco de folhas especiais para uso em
atividades durante o ano.
4.4.2 - Análise da abordagem algébrica na obra
Elaborando a planilha com as atividades algébricas presentes na obra, encontramos
1330 no total. Os resultados são apresentados no gráfico seguinte:
Abordagens algébricas na Coleção
Matemática para todos
8%
Aritmética generalizada
5%
Resolução de equações
31%
Estudo de Estruturas
56%
Estudo de relações entre
grandezas
Gráfico 4: Abordagens algébricas na coleção Matemática Paratodos
A Coleção Matemática paratodos apresenta atividades que exploram as quatro
concepções algébricas desde a 6ª série, apesar de ainda apresentar uma maior exploração nos
campos de estudo das estruturas e resolução de equações.
Matemática paratodos é uma coleção com característica de currículo em espiral, pois
não é preocupação dos autores esgotar o conteúdo em um único momento. Por vezes, uma
mesma atividade é retomada com um grau de dificuldade ou propósito diferente. Para
exemplificar o fato, usaremos duas atividades algébricas (denominadas 1 e 2), extraídas dos
volumes da 6ª e 8 ª series, respectivamente.
90
Atividade 119:
Veja a seqüência dos números quadrados e sua representação figurada:
.
1
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
.
.
.
.
16
A) Copie a tabela no caderno e complete-a. Dica : a figura 4 tem 4 2 = 16 bolas
Figura
Número de bolas
1
2
3
4
16
5
6
10
20
B) Nessa seqüência, indicaremos por Qn , o número de bolas da figura de número n.
(O símbolo Q n pode ser lido “que ene”. ) No caderno, copie e complete a fórmula Q n =  .
19
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, p. 193.
91
Atividade 220
Observe a seqüência de figuras :
Figura 1
Figura 2
.
.
.
Figura 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Figura 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Encontre a fórmula que dá a quantidade Q de bolinhas de cada figura em função de n.
O que podemos observar é uma exploração de regularidades de padrões por meio de
uma investigação na primeira atividade, onde o aluno é conduzido, por meio de operações
aritméticas, a efetuar uma generalização; na segunda, com um grau de abstração maior, o
aluno é chamado a expressar um Q em função de n. Em ambas as atividades, percebemos uma
exploração das quatro concepções da Álgebra concomitantemente.
Quando o aluno é convidado a expressar uma fórmula Q em função de “n”, ele, além
de estabelecer uma relação entre grandezas, teve que identificar uma generalização a partir da
observação de regularidades. Para chegar nessa regularidade, ele teve que efetuar cálculos
algébricos completando uma tabela e se ao final da atividade o professor quiser explorar a
resolução de equações, poderá questionar, por exemplo, qual seria a figura que teria 144
bolinhas?, o aluno seria conduzido a resolver uma equação.
Outra situação que podemos citar que mostra a não preocupação da coleção em
esgotar o tema em um único capítulo, diz respeito ao conteúdo Equações de 2º grau, que no
volume da 8ª série aparece em 3 momentos distintos: no capítulo 3, quando é feita uma
introdução, onde o aluno utiliza-se da fatoração para resolver as equações; no capítulo 6, o
conteúdo é retomado, com a demonstração da fórmula de Bháskara; e no capítulo 14 há uma
exploração de equações fracionárias.
Diz o Guia dos Livros Didáticos - PNLD (2005) sobre a obra:
20
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, p. 183.
92
Em todos os volumes observa-se uma distribuição dos conteúdos equilibrada. Os
assuntos são progressivamente retomados das séries com diversos enfoques,
configurando-se numa boa proposta de organização do currículo em espiral. Essa
abordagem acompanha a experiência e o desenvolvimento cognitivo do aluno,
favorecendo-lhe a compreensão dos conteúdos. (PNLD, 2005, p.150).
Fazendo uma análise específica do campo algébrico, podemos perceber uma
organização desde o volume da 5ª série, proporcionando ao aluno desenvolver esse conteúdo
em todas as suas dimensões.
A observação de regularidades oportuniza o aluno uma primeira experiência na escrita
de expressões gerais, utilizando-se de recursos aritméticos. Cerca de 45% das atividades
propostas no volume da 5ª série contemplam essa concepção. A partir da 6ª, a Álgebra é
tratada em todas as suas perspectivas usando, por muitas vezes, como suporte, representações
geométricas.
A coleção caracteriza-se, no que diz respeito à Álgebra, por não apresentá-la como um
amontoado de símbolos e cálculos, que, para os alunos, não faz o menor sentido. O número de
atividades algébricas presentes em cada volume é muito menor que na maioria dos livros
didáticos, o que não significa, porém, que isso venha a prejudicar o aluno, já que elas buscam
promover uma compreensão do conteúdo procuram levar o aluno a ser ativo no processo
ensino aprendizagem. Segundo o Guia de Livros Didáticos - PNLD (2005):
Na metodologia de ensino aprendizagem adotada, atribuiu-se papel central ao aluno,
que é posto em interação permanente com o texto e solicitado responder a perguntas,
a tirar conclusões, a confrontar soluções ou a verificar regularidades. As atividades
favorecem o desenvolvimento dos raciocínios indutivo e dedutivo, com pouca ênfase
na memorização de fórmulas prontas. (PNLD, 2005, p. 152-153).
Vejamos algumas atividades encontradas nessa coleção:
93
Atividade 121:
Copie as tabelas no caderno e complete-as:
Número Metade
Número
Dobro
Número
Triplo
6
3
4
8
4
12
9
4,5
7,2
/////////
5,5
//////////
24
//////////
19
//////////
17
//////////
25
//////////
131
//////////
133
//////////
x
X:2
X
//////////
X
//////////
Atividade 222:
Com 3 palitos de fósforo, faço um triângulo. Depois, acrescentando sempre 2 palitos,
vou obtendo novos triângulos. Veja:
...
A) Copie a tabela no caderno e complete-a
21
22
Número de triângulos
Número de palitos
1
3
2
5
3
/////////////////
4
/////////////////
10
/////////////////
15
/////////////////
20
//////////////////
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, p. 219.
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, p.195.
94
B) No caderno, copie e complete a seguinte sentença, que se refere à figura deste
exercício:
O número de palitos é igual ao número de triângulos.
B) Se p representa o número de palitos e t, o número de triângulos, qual é a fórmula
que relaciona p com t?
Atividade 323:
Atividade 424:
Simplifique as frações em seu caderno :
A)
5 x 2 + 15 x
5x
B)
6 x 2 y + 12 xy
x+2
Atividade 525:
23
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, 6ª série, p. 230.
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, 7ª série, p.193.
25
IMENES, L. M. , LELLIS , M. Matemática Paratodos. São Paulo . Scipione, 2002, 8ª série, p.184.
24
95
Com esses exemplos, podemos perceber a diversidade de atividades algébricas
contempladas pela coleção, ou seja, a “letra” é trabalhada em todas as suas dimensões desde a
5ª série. O autor demonstra uma preocupação como o desenvolvimento do pensamento
algébrico em detrimento dos transformismos algébricos.
96
4.5 – Coleção: Matemática hoje é feita assim, autor Antonio José Lopes Bigode
4.5.1 - Caracterização da obra
Matemática hoje é feita assim é uma coleção composta por quatro volumes, uma para
cada série, de 5ª a 8ª séries ou 6º ao 9º anos do Ensino Fundamental . A coleção foi aprovada
pelo MEC por meio do Guia de Livros didáticos - PNLD de 2008. Cada volume é dividido em
capítulos e cada capítulo em tópicos. Os conteúdos são apresentados de forma intercalada e o
autor busca, em cada volume, contemplar todos os campos da Matemática.
Os volumes iniciam com uma pequena biografia do autor. Em seguida, é feita uma
apresentação da obra por meio de um texto denominado “Recado”.
Os capítulos são apresentados, na sua maioria, por um texto Hoje tem Matemática,
onde são anunciados os assuntos a serem abordados. No final de cada capítulo, encontram-se
as seções: Retomando, que propõe atividades para fixação de conceitos ou de procedimentos;
Revistinha, com textos de História da Matemática, curiosidades, desafios, atividades práticas,
entre outros.
No final de cada volume é encontrado um glossário; uma seção Para saber e gostar
mais de Matemática, que contém uma lista de obras literárias e coleções de para-didáticos que
podem enriquecer o trabalho; respostas para questões apresentadas em cada capítulo e as
referências bibliográficas.
A coleção consta, ainda, de: “Projeto Pedagógico”, com orientações para o professor.
O autor não utiliza da denominação “manual”, argumentando que:
Os dicionários atribuem à palavra manual os seguintes significados: “livro que
contém noções essenciais acerca de uma ciência, de uma técnica, etc” ou ainda, “livro
pequeno que contém o resumo de alguma matéria”. [...] Este conjunto de significados
não consegue dar conta dos propósitos deste apêndice, pois, em nossa concepção, o
“manual didático do professor” deve ir além de um receituário sobre o livro texto.
(BIGODE, 2006, p.5 ). (Grifo do autor).
97
Na primeira parte, o autor caracteriza a obra, pontuando objetivos gerais e discutindo
questões atuais do ensino da Matemática, tais como: resolução de problemas, competências de
cálculo, a relação com outras áreas do conhecimento, abordagem histórica, etc. A segunda
parte, que o autor denomina gestão de sala de aula, traz algumas orientações para uma melhor
utilização do material. Aborda: o uso do caderno, a lição de casa, as atividades em grupo, o
laboratório, os projetos, o estudo de meio, os temas transversais, os recursos didáticos, as
calculadoras, novas ferramentas e a avaliação. Em seguida, são feitas algumas considerações
sobre cada capítulo, com sugestões de atividades suplementares e orientações didáticas. Para
concluir, traz uma bibliografia relacionada à Educação Matemática.
4.5.2 - Análise da abordagem algébrica na obra
O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa feita na distribuição das 1500
atividades algébricas encontradas na obra.
Abordagens algébricas na Coleção
Matemática hoje é feita assim
8%
Aritmética generalizada
7%
Resolução de equações
41%
44%
Estudo de Estruturas
Estudo de relações entre
grandezas
Gráfico 5: Abordagens algébricas na coleção Matemática hoje é feita assim
Com relação à Álgebra, os vários papéis do conhecimento algébrico são
contemplados, apesar de a ênfase maior recair sobre o estudo das estruturas e procedimentos
para resolução de equações.
98
Muitas atividades abordadas pelo autor contemplam mais de uma concepção algébrica,
proporcionando ao aluno que ele construa, gradativamente, a linguagem algébrica,
vivenciando experiências que tratam as “letras” como algo desconhecido (incógnita) ou como
algo que muda de valor em conformidade com a situação (variável).
Para exemplificar, utilizamos a atividade presente no volume da 7ª série, página 123
(FIGURA 20):
Figura 20: Ladrilhos
Esse tipo de atividade, além de possibilitar ao professor identificar em que nível de
pensamento algébrico está o aluno, proporciona a esse aluno experiências com padrões
abordando as quatro concepções da Álgebra. O aluno é conduzido a estabelecer uma
generalização a partir de uma relação entre duas ou três grandezas e, ao mesmo tempo, alguns
exercícios o conduzirão a resolver alguns cálculos e/ou algumas equações algébricas.
São realizadas conexões entre a Álgebra e a Geometria recorrendo-se a figuras
geométricas para justificar o cálculo algébrico, como podemos observar na atividade abaixo26:
26
BIGODE, A. J. L., Matemática hoje é feita assim. São Paulo. FTD, 2006, 7ª série, p.182.
99
Figura 21: Trinômio do quadrado perfeito
O autor explora, no volume da 7ª série, capítulo 7, atividades com padrões que
preparam o aluno para o estudo das relações entre grandezas, denominadas “Varia variável,
varia”. Nessas atividades são contempladas as construções de padrões com palitos, com
mosaicos, ladrilhos, que proporcionam ao educando uma construção do conceito de variável,
como podemos verificar na atividade abaixo27:
Figura 22: Ladrilhos II
27
BIGODE, A. J. L., Matemática hoje é feita assim. São Paulo. FTD, 2006, 7ª série, p.127.
100
Em atividades com essas, podemos perceber o desenvolvimento de vários processos
matemáticos: observação, comunicação, argumentação, generalização, validação etc. Bem
como a exploração de várias concepções da Álgebra: aritmética generalizada, estudo das
estruturas, resolução de equações e relação entre grandezas.
O autor explora o uso de atividades diversificadas com padrões de regularidades,
dando ênfase a uma abordagem metodológica que pode preparar o educando para uma
compreensão do conceito de variáveis dependentes desde a quinta série, como verificado
abaixo nos seguintes exercícios:
Figura 23: seqüência de números ímpares28
28
BIGODE, A. J. L., Matemática hoje é feita assim. São Paulo. FTD, 2006, 5ª série, p.95.
101
Figura 24: Máquina do mais 329
Quanto à exploração de padrões para o desenvolvimento do pensamento algébrico,
dizem os Standarts (NCTM, 2000) que:
[...] estudantes das séries intermediárias deveriam aprender Álgebra tanto como um
grupo de conceitos e competências ligados à representação de relações quantitativas
quanto como um estilo de pensamento matemático para a formalização de padrões,
funções e generalizações. (NCTM, 2000, p.221)
Sobre esse assunto, o documento diz, ainda, que “o estudo de padrões e relações nas
séries intermediárias deveria focar-se em padrões que levam a funções lineares, o que
acontece quando há uma taxa constante de mudança”. (NCTM, 2000, p.222).
Em toda a obra, pudemos observar a valorização de conhecimentos extra-escolares dos
alunos. A interação entre os educandos, bem como o desenvolvimento de habilidades como:
observação, exploração e investigação, argumentação, relação, visualização, comunicação
oral e escrita são estimulados.
Por meio dessa análise, pudemos, então, perceber uma abordagem de atividades que
exploram a utilização de padrões de regularidades na construção do pensamento algébrico em
três das coleções analisadas. Os autores das coleções Dante (2002), Imenes e Lellis (2002) e
Bigode (2006) apresentam uma perspectiva do Ensino da Álgebra diferente do que é visto nas
29
BIGODE, A. J. L., Matemática hoje é feita assim. São Paulo. FTD, 2006, 6ª série, p. 178.
102
outras duas coleções estudadas. Essas três coleções possibilitam ao aluno uma compreensão
da linguagem algébrica, bem como a utilização da “letra” abordando as concepções da
Álgebra, como: aritmética generalizada, resolução de equações, estudo de estruturas e de
relações entre grandezas, sem deixar de lado aspectos que envolvam o “transformismo
algébrico”. Em contrapartida, percebemos nas coleções Bianchini (2006) e Castrucci,
Giovanni e Júnior (2002) uma concepção de ensino da Álgebra baseado em estudo de
estruturas e resolução de equações. Na maioria das vezes, ela é apresentada seguida de
algumas regras e depois fixadas por meio de exercícios e/ou resolução de problemas.
O estudo feito sobre as abordagens algébricas presentes nos livros didáticos e a
tendência ao estudo da Álgebra baseado no desenvolvimento do pensamento algébrico,
referenciado em nosso capítulo 3, nos conduziu à elaboração de um caderno de atividades
(CA), que, a partir de padrões de regularidades, leva o aluno à elaboração de uma linguagem
simbólica. A aplicação dessas atividades teve um caráter exploratório-investigativo e os
resultados dessa experiência, com três delas, são apresentados no capítulo seguinte.
103
5 A EXPERIÊNCIA E A ANÁLISE DOS DADOS
No início do segundo semestre de 2005, o primeiro conteúdo que abordaríamos na
turma do 2° ano do Ensino Médio do CBSCM era Binômio de Newton e, logo que iniciamos
o trabalho, vislumbramos a possibilidade de um trabalho diferenciado onde o processo de
abordagem do conteúdo se daria na contramão de nosso material didático. Nossa proposta era
que o aluno construísse um Triângulo de Pascal e, a partir de suas análises e observações,
identificasse regularidades e, por meio delas, que o educando pudesse apontar as propriedades
envolvidas no triângulo como: binomiais complementares, a relação de Stiffel, o somatório
dos valores envolvidos em cada linha, entre outras. Uma atividade com esta proposta seria
indicada para uma investigação sobre abordagem da Álgebra a partir de padrões de
regularidades. Apesar desse tipo de trabalho já fazer parte de nosso cotidiano, nunca nos
preocupamos em sistematizar sua aplicação.
Também em julho de 2005, nossa professora do mestrado Maria Clara Rezende Frota,
ministrando a disciplina de Ensino da Matemática na Educação Básica, nos solicitou que
durante o semestre aplicássemos alguma atividade com o propósito de contemplar um ou mais
processos matemáticos e fazer um registro detalhado sobre a aplicação. Esse trabalho, depois,
culminou em um pôster por nós apresentado no Seminário de Matemática, organizado pela
PUC Minas, em novembro de 2005.
A partir daí, fomos motivados a retomar a aplicação daqueles resultados, analisá-los, e
redimensioná-los para a delineação de nosso projeto de pesquisa, agora apresentado. Essa
atividade construída para aquele trabalho serviu como primeira atividade de um total das três
aplicadas para o desenvolvimento dessa pesquisa.
A aplicação dessa atividade teve uma perspectiva de investigação matemática,
proporcionando ao aluno o desenvolvimento de alguns processos matemáticos, especialmente
a intuição e generalização.
Dois anos se passaram. Nesse tempo todo, estimulada pelo resultado positivo da
atividade Triângulo de Pascal, pela inquietação diante de tantos problemas no ensino da
104
Álgebra e pelo prazer em elaborar e trabalhar com atividades que proporcionam o
desenvolvimento do pensamento algébrico a partir de padrões, continuei aplicando atividades
com esse propósito nas turmas em que lecionava. Turmas da 8ª série do Ensino Fundamental
ao 3º ano do Ensino Médio, do Colégio Berlaar Sagrado Coração de Maria, em Pará de
Minas.
Foto 1: Aplicação da atividade: Diagonais - 8ª série, em outubro de 2005
Foto 2: Aplicação da atividade: Torre de Hanói - 8ª série em março de 2008
105
Essas atividades foram todas catalogadas em nosso CA. A aplicação dessas atividades
em sala de aula teve um caráter exploratório-investigativo. Pois, em todas, o aluno,
inicialmente, é apresentado a uma seqüência que pode ser aritmética, geométrica, figurativa,
numérico-figurativa, numérico-geométrica, algébrica, ou mesmo uma seqüência desenvolvida
a partir de um jogo. Em seguida, são propostas algumas questões com níveis de dificuldades
crescentes. A princípio, o aluno é convidado a responder questões nas quais ele utilizará, para
resolvê-las, ferramentas concretas, que pode ser um desenho, uma construção ou mesmo uma
simples contagem. Posteriormente, são propostas questões nas quais o aluno será induzido a
buscar uma forma mais fácil e rápida de solucionar o problema. E, por último, ele é convidado
a estabelecer uma generalização para aquele fato e verificar sua veracidade. Essa trajetória é
justamente o que Ponte, Brocado e Oliveira (2006) utilizam para definir e defender a
utilização de atividades investigativas em sala de aula. Segundo esses autores:
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem,
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína,
constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir
como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização
de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e
argumentação com os seus colegas e o professor. (PONTE, BROCADO E
OLIVEIRA, 2006, p.23)
Conforme descrito anteriormente, a proposta é que o aluno vislumbre, com atividades
simples, o processo de criação da Matemática. E esse trabalho se dá numa constante
investigação. Para melhor esclarecer o que aqui chamaremos de atividades exploratórioinvestigativas, faremos uma categorização das atividades matemáticas:
5.1 Atividades Matemáticas
Conforme já verificamos, o ensino aprendizagem da Matemática está diretamente
relacionado ao tipo de atividade matemática que o professor propõe em sala de aula. Esse tipo
de tarefa, por sua vez, está diretamente ligado aos objetivos propostos no desenvolvimento de
determinado conteúdo. Por exemplo: quando o professor em uma turma de 7ª série tem como
objetivo que os alunos memorizem regras ou propriedades ligadas ao estudo de polinômios,
106
ele normalmente se reporta à atividade de resolução de exercícios. Quando seu objetivo em
uma turma de 8ª série é que os alunos imbuídos pelo conhecimento das técnicas de resolução
de equações do 2º grau saibam aplicá-las em problemas, provavelmente, ele irá fazer uso da
atividade de resolução de problemas. Há, ainda, situações em que o objetivo do professor é
que o aluno, diante de uma situação, elabore conclusões que facilitem um trabalho
matemático. Quando, por exemplo, em uma turma de 2º ano do Ensino Médio, ao introduzir o
conteúdo de progressões aritméticas, proponha ao aluno uma forma mais simples de
determinar o 100º termo da seqüência formada pelos números (1, 4, 7, 10, ...). Nesse
momento, a melhor abordagem seria, provavelmente, uma atividade investigativa. O quadro a
seguir ilustra a diferenciação existente nos termos aplicados nessa pesquisa: exercício,
problema, investigação.
Exercício
Resolva:
A) 2x – 1 = 3
B) x2 – 3x + 2 = 0
Problema
Investigação
A área de um retângulo é 54
dm2. Aumentando-se uma
unidade
na
altura
e
diminuindo-se uma unidade
na base, a área aumenta 2
dm2. Qual o perímetro de
retângulo?
Escreva o resultado dos
seguintes produtos:
8 x 9 = ........
8 x 99 = .........
8 x 999 = ...........
8 x 9999 = ...........
Você encontrou alguma
regularidade
para
os
resultados ?
Determine, agora, o produto
de 8 por 999.999.999.
Conseguiu comprovar
regularidade?
a
Quadro 8: Atividades matemáticas
Ainda nesse sentido, Polya (1995) formula a diferença entre exercício e resolução de
problemas. Um problema, para o autor, é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um
método que permite a sua resolução imediata, enquanto que um exercício é uma questão que
pode ser resolvida usando um método já conhecido. Exercícios e problemas têm uma coisa em
comum: em ambos, o enunciado indica claramente o que é dado e o que é pedido. Já numa
investigação, as coisas não são bem assim. Os pontos de partida e chegada podem não ser os
mesmos. Investigar, então, nada mais é do que compreender, conhecer, encontrar soluções
107
para problemas com os quais nos deparamos, porém, sem uma fórmula a priori, sem um
caminho pré-determinado.
Para Ponte, Brocado e Oliveira (2006):
[...] investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados
na fronteira do conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos
interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de
modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.Desse modo, investigar não
representa obrigatoriamente trabalhar em problemas muito difíceis. Significa, pelo
contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam no início de
modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado.
(PONTE, BROCADO E OLIVEIRA, 2006, p.9).
Na perspectiva de Ponte (2005), uma atividade tem quatro características básicas: o
seu grau de dificuldade, a sua estrutura, o seu contexto referencial e o tempo requerido para
sua resolução. Para esse pesquisador, conjugando as duas primeiras (grau de dificuldade e
estrutura), obtemos quatro tipos básicos de tarefa, que podemos visualizar na figura abaixo:
Fácil
Exercício
Exploração
Fechado
Aberto
Problema
Investigação
Difícil
Figura 25: Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura30
Pelo esquema temos, então, que:
30
•
Exercícios são tarefas relativamente fáceis e com uma estrutura fechada.
•
Problemas são tarefas difíceis com uma estrutura também fechada.
Idem ao esquema apresentado por PONTE, João Pedro Mendes da. Investigar, ensinar e aprender.
Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/ponte/artigos-por-temas.htm. Acesso em: 05 jun. 2008.
108
•
Investigações têm um grau de dificuldade maior, porém, apresentam uma estrutura
aberta.
•
As tarefas de exploração são fáceis e apresentam, também, uma estrutura aberta.
Essa caracterização da atividade como uma estrutura aberta se deve ao fato de que o
professor nem sempre consegue prevê o produto final da atividade. Para Ponte (2005), nem
sempre é muito clara a distinção entre tarefas investigativas e de exploração, pois o grau de
dificuldade da tarefa não é inerente ao grupo de alunos que a desenvolverão.
As atividades selecionadas por nós e apresentadas em nosso caderno de atividades
apresentam uma estrutura aberta, porém, não conseguimos, a priori, determinar seu grau de
dificuldade. Logo, elas apresentam características de atividades de exploração (se
consideradas fáceis) e de investigação (quando consideradas com um maior grau de
dificuldade). Diante disso, apropriaremos de uma expressão já utilizada por Fiorentini,
Fernandes e Cristovão (2006), quando argumentam sobre as potencialidades dessas atividades
no desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno chamando-as: exploratórioinvestigativas. Para esses autores:
A nossa hipótese é que a realização de atividades exploratório-investigativas que
visam levar os alunos a pensar genericamente, perceber regularidades e explicar essa
regularidade através de estruturas ou expressões matemáticas, pensar analiticamente,
estabelecer relações entre grandezas variáveis,... (Fiorentini, Miorim e Miguel, 1993,
p. 87) – pode ser uma alternativa poderosa para o desenvolvimento inter-relacionado
do pensamento e da linguagem algébrica do aluno. (FIORENTINI, FERNANDES E
CRISTÓVÃO, 2006, p.5).
Apesar de nosso CA ser composto por 31 diferentes experiências que contemplam a
exploração de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico, decidimos que, para
essa pesquisa, utilizaríamos o relato da aplicação de três atividades com perspectivas
diferenciadas para atender nosso propósito de mostrar que proporcionar aos alunos
experiências com padrões favorece a capacidade de generalização e a construção da
linguagem algébrica. O relato da aplicação dessas atividades é encontrado a seguir:
109
5.2 Relatos das atividades
5.2.1 Atividade I – Triângulo de Pascal
O primeiro encontro para iniciarmos a aplicação da atividade (FIGURA 26) contou
com a presença dos 31 alunos da turma do 2º ano do Ensino Médio. Inicialmente, orientamos
a turma sobre a realização da tarefa para que tudo acontecesse da melhor forma. Formamos os
grupos que foram previamente divididos e entregamos para cada grupo o roteiro para o
desenvolvimento da primeira parte da atividade. O nosso objetivo com essa atividade era que
os alunos, por meio de observações na formação do Triângulo de Pascal, formulassem e
testassem conjecturas acerca das propriedades principais abordadas no conteúdo do 2° ano do
Ensino Médio.
Atividade : Triângulo de Pascal
Etapas :
•
•
•
•
•
Orientação
Discussão em grupo
Elaboração de um relatório para entregar com todos os registros
Apresentação do trabalho à turma
Conclusão do trabalho
 0

 0
1
 0










2
0
3
0
4
0



1 
  1 
 
 2  2
   
1  2
 3  3
  1   2
 



 3 
  3 
 
 4  4  4  4 
        
1  2  3  4 
 n  n  n 
n
      ⋅ ⋅ ⋅  
0
1
2
   
n
1) Construa um triângulo , usando apenas os resultados dos binomiais encontrados.
2) Observe com muita atenção , os resultados encontrados , e faça um relatório, detalhando todas as
observações feitas
pelo grupo.
3) As observações feitas pelo grupo, têm caráter que estabelecem alguma generalização, simetria ou
propriedade ?
4) Identifique-as , fazendo uma justificativa.
5) Essas observações, são passíveis de demonstrações que comprovem matematicamente sua veracidade?
6) Discuta , com o grupo e tente efetuar essas demonstrações , usando corretamente a linguagem
matemática.
Figura 26: Atividade Triângulo de Pascal
110
No primeiro item, foi solicitada aos alunos a construção do triângulo de Pascal, usando
o resultado dos binomiais encontrados. Os alunos não apresentaram nenhuma dúvida quanto à
realização dessa atividade, visto que já sabiam calcular binomiais usando combinação simples
e tinham algum conhecimento do triângulo estudado no primeiro ano na disciplina de
biologia.
Na segunda etapa, “discussão”, onde os grupos deveriam observar, analisar e discutir
com seus colegas todas as coisas que julgassem importantes ou mesmo interessantes dentro
do triângulo de Pascal, a sala ficou um pouco tumultuada, pois todos queriam falar de suas
descobertas. Cada descoberta feita pelo aluno era um momento de glória, principalmente
quando vinha daqueles cinqüenta por cento que não apresentavam tanta facilidade em lidar
com o conhecimento matemático. Esse foi o momento em que sentimos os alunos mais
motivados, pela alegria pela descoberta e a vontade de mostrar para o outro o que haviam
encontrado.
Durante esse momento da realização da atividade, tivemos muita dificuldade em
deixar que os alunos produzissem sozinhos. Por várias vezes nos pegamos fazendo
interferências, até que fomos abordadas por um aluno (aluno este colocado entre aqueles dez
por cento com enorme dificuldade):
“Tânia, deixe que a gente descubra, não fale”. (Werner, g.4)
Esse momento para nós foi extremamente importante, pois percebemos que pelo
menos parte dos nossos objetivos começávamos a alcançar, pois os alunos queriam produzir.
A partir desse momento, sentimos a motivação pela qual todos estavam imbuídos e deixamos
que trabalhassem sozinhos.
111
Foto 3: Desenvolvimento da atividade Triângulo de Pascal
Nesse primeiro encontro, não nos preocupamos com uso de simbologia correta da
Matemática, pois nosso objetivo era que os alunos investigassem, discutissem com o grupo,
chegassem num consenso e, depois, fizessem um relato de suas conclusões.
Enquanto estavam apenas falando, não percebemos nenhuma dificuldade, porém,
quando foi proposto que fizessem um relato por escrito de suas descobertas, surgiram as
primeiras dificuldades. Muitos falavam, discutiam, argumentavam sobre suas descobertas,
porém, não conseguiam passar da linguagem oral para a escrita. Muitos questionavam:
“Tânia, não podemos apenas falar o que observamos? Não
conseguimos escrever’’. (Ludmila, g.3)
Sugerimos, então, que escrevessem da forma que conseguissem, lembrando-se apenas
de que a pessoa que fosse ler o relatório deveria entender.
A partir dessa orientação, os alunos tentaram escrever como podiam, muitas vezes
utilizando nomenclaturas incorretas ou mesmo desenhos, na tentativa de serem
112
compreendidos. Abaixo, apresentamos alguns protocolos31 que dizem respeito a essa
atividade.
:
Quanto à perspectiva de nosso primeiro encontro, onde os alunos deveriam chegar
intuitivamente às propriedades do Triângulo de Pascal como: relação de Stiffel, números
complementares, o somatório de cada linha do triângulo, o resultado dos binomiais, cujo valor
de n = p ou, ainda, cujo valor de p = 0 ou 1, os grupos foram além. Apontaram todas essas
propriedades e vislumbram muitas outras possibilidades, entre elas esta descrita pelo grupo 4:
31
Nessa pesquisa, denominamos “protocolo” os fragmentos de atividades apresentados no decorrer do capítulo.
Por serem apenas fragmentos, optamos por não identificá-los como figura, como acontece nas outras partes desta
pesquisa.
113
Alguns grupos apontaram a regularidade já acompanhada por uma abstração, fazendo
uso de simbologia para descrever um fato:
Apesar dos erros de nomenclatura apresentados nos relatórios, todos os grupos
alcançaram satisfatoriamente nosso objetivo. A dificuldade diante da escrita pode ser
interpretada pela ineficiência do ensino da Matemática que dificilmente coloca os alunos para
ler ou escrever. O aluno só irá adquirir habilidade para escrever um texto matemático, quando
forem oferecidos a ele momentos em sala de aula que lhe proporcionem essa experiência.
No segundo encontro, tivemos a presença de 30 alunos e a atividade proposta para
esse dia era que cada grupo, diante das regularidades observadas e descritas no encontro
anterior, tentasse estabelecer alguma generalização. Devolvemos, então, para cada grupo, seu
relatório e os alunos começaram a trabalhar.
Para a realização dessa tarefa, precisávamos de um nível maior de abstração e apenas o
grupo 4 conseguiu realizá-la por completo sem a nossa intervenção, cuja resposta foi a
seguinte:
114
Os demais conseguiram intuir propriedades, como, por exemplo:
1 
  = 1 , “Todo número situado na primeira coluna é igual a 1’’
 0
n 
Porém, não conseguiam generalizar o fato usando simbologia matemática:   = 1 ,
 p
∀ n ∈ IN e p = 0
Diante dessa situação, fazíamos os seguintes questionamentos:
•
Nessa primeira coluna, quando escrevemos os binomiais, existe algum valor constante?
Se existe, o que ele representa no binomial?
•
Existe um valor que muda? O que ele representa?
A partir dessas perguntas, os grupos: 2, 3, 6, 7 e 8 conseguiram escrever
simbolicamente a generalização, conforme podemos verificar no protocolo abaixo:
Os grupos 1 e 5 conseguiram dizer qual era o valor constante e qual era o variável,
porém, não identificaram que esses valores representavam, respectivamente, os valor de n e p.
115
Uma outra conclusão apresentada pelos grupos foi a de que:
“Os números situados na segunda coluna formam uma seqüência de
naturais consecutivos’’ (Flávia, g.1)
A maioria não observou que os resultados eram sempre o valor de n e que
n 
generalizando podíamos concluir que   = n , ∀ n ∈ IN e p = 1.
 p
Para conduzir o raciocínio desses grupos, solicitei que escrevessem em uma coluna os
binomiais e ao lado os resultados encontrados. A partir dessa construção, os grupos 3, 6 e 8
efetuaram corretamente a generalização. Com os demais: 1, 2, 5, e 7, tivemos que retomar as
mesmas perguntas anteriores e, a partir daí, como já haviam feito a generalização anterior,
conseguiram concluir corretamente.
A maior dificuldade apresentada na realização dessa atividade foi no momento de
escreverem a generalização para a relação de Stiffel e para os binomiais complementares.
Para os binomiais complementares, solicitei que, mais uma vez, voltassem ao Triângulo com
os binomiais e com os resultados. Solicitei que circulassem com lápis colorido os resultados
de alguns pontos que apresentassem essa regularidade. Para cada par deveriam usar uma cor
diferente. E depois, usando a mesma cor, deveriam marcar os binomiais correspondentes. O
protocolo abaixo mostra o caminho utilizado para conduzir à generalização:
A partir daí, fui novamente fazendo questionamentos do tipo: quem é constante?
Quem varia? Você percebe alguma relação entre esses valores? E, quando o grupo apontava:
116
sim existe, a soma dos números debaixo é igual ao de cima, nós dizíamos: isso é válido para
todas as situações? O número que está embaixo representa o valor de quê? E o que está em
cima?
Sempre que fazia a condução do raciocínio, os grupos 3, 6 e 8 rapidinho concluíam
seu trabalho. Os demais 1, 2, 5 e 7 ainda apresentavam dificuldades e, para essa situação, não
conseguiram escrevê-la usando a simbologia correta. Descreviam exemplos, mas não uma
generalização.
Para a escrita da relação de Stiffel foi ainda mais difícil e procedemos da mesma
maneira: solicitamos que os alunos fizessem os dois triângulos (um com os binomiais e outro
com os resultados), colorissem a região que representasse o fato ocorrido (mostrado abaixo), e
aí prosseguimos com os questionamentos.
Os grupos 3, 6 e 8, depois de desenhar, usaram o mesmo raciocínio e, sozinhos,
conseguiram estabelecer a generalização usando a simbologia correta. Os demais, por mais
que tentamos guiar seus pensamentos, não conseguimos que abstraíssem e efetuassem a
generalização.
Para o terceiro encontro, cada grupo deveria desenvolver as identidades abordadas
anteriormente comprovando, assim, sua veracidade. O grupo 4 foi o único que concluiu o
trabalho sozinho, apresentando o seguinte resultado:
117
O único momento que solicitaram minha presença, foi quando, ao desenvolver o
binomial, identificaram uma adição de frações envolvendo fatoriais e a única intervenção
nossa foi dizer: o que vocês fariam se não tivesse fatorial? A resposta: tiraríamos o MMC. E
continuaram o desenvolvimento da identidade, apresentada no protocolo abaixo:
Os demais grupos não conseguiram provar a relação de Stiffel nem com nossa
interferência. As outras propriedades, depois que os orientei que bastava desenvolver os
binomiais, todos concluíram com êxito a tarefa.
Para o quarto encontro, a tarefa era escolher uma das generalizações concluídas pelo
grupo e apresentar para a turma numa forma de seminário (FOTO 4).
118
Foto 4: Apresentação de um aluno do grupo 7 da atividade Triângulo de Pascal no
seminário
É importante que, durante a realização desse tipo de atividade, ocorra um momento de
troca entre os grupos. Uma das alunas, ao término da aula comentou que:
“Nunca tinha tido a oportunidade de demonstrar no quadro para
meus colegas um exercício feito por mim mesma” (Fernanda, g.1)
O simples comentário feito por essa aluna mostra o quanto é rico esse momento,
inclusive proporcionando o desenvolvimento da auto-estima e autonomia do aluno.
A relação de Stiffel foi apresentada pelo grupo 4, tendo em vista ter sido o único grupo
a provar sua identidade. Os demais, deixamos que cada um escolhesse aquela propriedade que
queria apresentar.
No quinto encontro, preparamos uma auto-avaliação, que foi conduzida a partir de
quatro questionamentos com o objetivo de analisar a percepção do aluno diante da atividade,
fator pertinente em nossa análise de resultados. Abaixo, anexamos um protocolo, que se trata
da percepção de um aluno que apresentava uma enorme dificuldade com a área de exatas.
119
Analisando essas entrevistas, percebemos uma aceitação de cem por cento da turma
com relação à atividade desenvolvida. Inclusive, alguns chegaram a propor que atividades
como essas deveriam acontecer mais vezes, pois discussões e troca de idéias com os colegas
“tornam a aula extremamente mais rica e interessante”, o que pode ser visto abaixo:
120
Esse relato, feito pela aluna Ana Paula, aponta para a importância de colocar o sujeito
(aluno) em constante interação com o objeto de conhecimento na construção de uma
aprendizagem significativa.
Outro fato interessante para nós, enquanto pesquisadora, foi a mudança de perspectiva
em relação à Matemática apontada por cerca de noventa por cento da turma após a realização
da atividade. Os protocolos abaixo exemplificam esse fato:
121
Os alunos também foram questionados sobre a sua postura em sala de aula, que pode
ser ativa, participando o tempo todo da construção do conhecimento, ou passiva,
simplesmente escutando e repetindo comandos dados pelo professor.
Os alunos foram
unânimes em dizer que, para que ocorra uma aprendizagem com qualidade, é necessário que o
aluno seja ativo no processo ensino aprendizagem. Abaixo, o protocolo de uma aluna
referente a essa questão:
A postura da aluna, como dos demais alunos da sala, reforça, assim, a afirmação de
Ponte (2006, p.23), quando diz que: “Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra
disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é condição fundamental da aprendizagem. O
aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista atingir um
objetivo”.
Os resultados evidenciam uma dificuldade dos grupos na formalização escrita de
idéias matemáticas, apontando a necessidade dos educadores em intensificar a busca de
estratégias de ensino que proporcionem o desenvolvimento dessa habilidade. Eles também
mostram uma deficiência com relação ao desenvolvimento de alguns processos matemáticos
(generalização, abstração, formalização). Por outro lado, foi notável, durante todas as etapas
de realização do trabalho, o prazer e a motivação com os quais os alunos realizavam as
tarefas, superando, inclusive, o medo que muitos têm da Matemática, despertando o prazer da
descoberta.
122
5.3 Atividade II – Mesas & Cadeiras
O nosso objetivo diante dessa atividade era que os alunos, a partir de alguns
questionamentos, encontrassem a lei de formação que estabelecia uma relação entre o número
de mesas e o total de cadeiras. E assim, experimentassem situações concretas em que a “letra”
não apresentasse características de algo desconhecido, mas sim de algo que varia, que muda
em função de...
Em nosso primeiro encontro, realizado em uma sala de aula do CBSCM no horário da
tarde, tivemos a participação dos 11 alunos, da professora de Matemática da turma e de um
aluno do 3° ano que fazia os registros fotográficos e em vídeo. Primeiramente, orientamos os
alunos sobre como seria realizada a atividade. Solicitamos que em momento algum ficassem
preocupados em acertar ou não, apenas apontassem uma solução suas para aquele problema.
Depois de concluída a orientação, entreguei a folha xerografada para cada grupo com a
atividade proposta (FIGURA 27).
Atividade: Mesas e Cadeiras
Etapas :
1) Observe a seqüência abaixo:
* Quadrados representam mesas;
* Círculos representam as pessoas que podem se acomodar ás mesas.
2) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 3 mesas?
3)Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 4 mesas?
4) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 10 mesas?
5) Quantas mesas são necessárias para acomodar 42 pessoas?
6) É possível acomodar 86 pessoas utilizando essa disposição? De quantas mesas precisaríamos?
7) Você consegue descrever uma regra que associe de forma geral o numero de mesas com o numero de pessoas?
Figura 27: Atividade Mesas x Cadeiras
123
Nosso propósito diante dessa atividade era que o aluno por meio da observação de
uma situação, respondesse a algumas questões. Essas questões apresentam um nível de
dificuldade crescente e provocam no aluno, a partir do item 4, uma necessidade da descoberta
de uma forma mais prática para as soluções seguintes. Até o item 3, o aluno normalmente
apenas observa os desenhos conta as cadeiras e dá a resposta. Porém, no item 4 ele já começa
a tentar entender o processo e descobrir uma forma de resolver o problema sem o concreto em
mãos. No item 5, a proposta de trabalho se inverte e ele, então, precisa de uma abstração
maior, pois deverá fazer o caminho inverso. Para o item 6, pretende-se que o aluno questione
sobre a relação existente entre o número de mesas e cadeiras. E, por fim, no item 7, o aluno é
convidado a estabelecer uma regra que associe essas duas grandezas. Existem várias maneiras
possíveis para essa regra. Por exemplo: ele poderá prever que o número de cadeiras é o dobro
do número de mesas mais dois, poderá prever que o número de mesas é a metade da diferença
do número de cadeiras e dois, poderá prever que o número de cadeiras é o quádruplo do
número de mesas menos o dobro da diferença entre o número de mesas e um. Nosso objetivo,
portanto, era que o aluno, ao final da atividade, conseguisse expressar primeiro verbalmente,
depois usando a linguagem simbólica, sobre uma regra que estabelecesse a relação entre o
número de cadeiras e o número de mesas.
Logo que foi proposta a atividade, alguns alunos mencionaram: já fizemos algo
parecido. E foram rapidamente respondendo aos questionamentos 2, 3 e 4 e 5. Um dos
grupos, ao desenvolver a proposta da atividade 6, chegou a um impasse. As alunas Bruna e
Thalyta apresentavam como resposta 44 e Carol 42. Interessante o argumento usado por
Thalyta e Bruna, e depois o de Carol, para convencer as colegas (FOTO 5):
“São 86 cadeiras, mais duas 88, dividido por 2 é 44”. (Bruna e
Thalyta, g.2)
“Vejam, são 86 pessoas, acomodamos duas, uma em cada ponta da
mesa. Sobram 84. Em cada mesa eu coloco duas pessoas, logo 84
dividido por dois é igual a 42”. (Carol, g. 2)
124
Foto 5: As alunas debatendo sobre a questão
Diante dos quatro primeiros questionamentos, o raciocínio usado foi multiplicar por
dois e depois somar dois. As alunas Bruna e Thalyta não perceberam que, ao inverter a
situação problema, todas as operações se inverteriam. Para aguçar a critica à resposta
apresentada pelas duas, fiz o seguinte questionamento: Tenho 44 mesas. Quantas pessoas
consigo acomodar? Rapidamente me responderam: 90. Continuando o diálogo, argumentei:
mas como? Se vocês acabaram de me dizer que, para acomodar 86 pessoas, precisaríamos de
44 mesas? Bruna, na mesma hora, responde:
“Tem razão Carol, fizemos burrada. Precisamos de 42 mesas”.
(Bruna, g.2)
Questionei os alunos sobre o raciocínio usado para responderem às primeiras questões
da atividade, onde obtive respostas do tipo:
“Coloquei duas pessoas nas pontas, depois duas em cada mesa”.
(Marcelino, g.4)
“Uma mesa, quatro pessoas, duas mesas, oito pessoas, porém, devo
tirar as duas do encontro das mesas, então seis pessoas”. (Lucas, g.3)
“Desenhei, depois contei quantas cadeiras”. (Vítor, g.1)
125
Foto 6: Grupo 1, na discussão da atividade
Essas diferentes falas dos alunos mostram os diversos caminhos e níveis de raciocínio
para um mesmo problema. Enquanto um grupo, ainda no concreto, conta quantos lugares
disponíveis, os outros tentam uma análise da situação e depois abstraem, porém, de maneiras
inversas. Um calcula o total como se as mesas não estivessem encostadas umas as outras,
depois diminui os lugares que ficariam nesses encontros. O outro calcula como se cada mesa
acomodasse apenas duas pessoas e depois acrescenta as duas das pontas.
Quando convidados a desenvolverem a etapa 7, alguns grupos fizeram a regra de
associação descrevendo o ocorrido:
“O número de pessoas é igual ao número de mesas vezes dois, mais
dois”. (Bruna, g.2).
“O total de pessoas menos dois, que são as pessoas das pontas,
dividido por dois, dá o total de mesas” (Vítor, g.1).
Apenas o grupo 4 estabeleceu a relação utilizando a linguagem matemática, conforme
podemos observar pelo protocolo abaixo:
126
Esse grupo apresentou uma capacidade de abstração e o uso correto da linguagem
algébrica, inclusive tendo o cuidado de especificar primeiro o que ele denominava como x e
como y utilizados na generalização da situação problema.
Os outros três grupos foram convidados a tentar escrever usando uma linguagem
simbólica sobre o fato ocorrido. O grupo 3 apresentou a seguinte generalização:
127
Apesar de concluir a generalização 2 x + 2, especificando x = mesas, ele não
relacionou esse fato ao total de pessoas. Já o grupo 2 concluiu que:
Apesar de não ter uma organização no desenvolvimento do pensamento algébrico,
como apresentou o grupo 4, foram capazes de estabelecer corretamente a relação entre as
grandezas mesas e cadeiras.
Apenas o grupo 1 não conseguiu efetuar corretamente a generalização. Um fato
observado é que esse foi também o único grupo que tentou a generalização calculando o
número de mesas em função do número de pessoas. Esse fato contribuiu para a dificuldade
apresentada pelo grupo.
Esse grupo, quando questionado sobre o raciocínio usado para resolver as questões,
argumentou que:
“Total de pessoas menos dois, dividido por dois, é igual ao total de
mesas”. (Vítor, g.1)
128
Enquanto a resolução contemplava apenas a verbalização oral, tudo bem. Porém,
quando foram convidados a escrever matematicamente o raciocínio, fizeram:
Nesse momento, solicitei que o grupo comprovasse a veracidade de seu raciocínio, o
que foi perfeitamente comprovado por todos os integrantes. Porém, os alunos não perceberam
que, na expressão por eles construída, a prioridade era da divisão e, sendo assim, para um
total de 86 pessoas, precisaria de 85 mesas. Para eles, os parênteses usado na escrita
matemática é totalmente desnecessário e a resolução da expressão se dá exatamente na ordem
em que aparecem as operações.
Logo após a realização dessas tarefas, fizemos uma plenária para apresentação à turma
do raciocínio usado pelo grupo e as respostas encontradas. Ao final da plenária, solicitamos
que cada grupo fizesse cálculos que comprovassem a veracidade da regra estabelecida no item
7. Em seguida, oralmente, fui propondo algumas situações problemas como, por exemplo:
Com 150 mesas conseguiremos acomodar quantas pessoas? Precisaríamos de quantas mesas
para acomodar 168 pessoas? Nosso objetivo, aqui, era que o aluno percebesse que a partir de
uma regra pré-estabelecida, qualquer problema envolvendo aquela situação, por maior que
sejam os números, se resolve de forma rápida e eficaz.
Sempre que o questionamento era proposto sobre o número de pessoas em função de
determinado número de mesas, a resposta era quase que automática, pois a relação era direta.
Quando o questionamento seguia na contramão, o número de mesas em função de
determinado número de pessoas, a resposta não vinha de forma tão rápida. Muitas vezes os
alunos precisaram de um registro escrito para resolver tal questão, pois a relação era inversa.
129
Mais tarde, percebemos ser este um momento adequado para a abordagem de funções
inversas, sem, é claro, falar em função. Apenas solicitamos que fizessem a generalização
partindo do número de mesas em função do número de pessoas.
5.4 Atividade III – Mosaicos
Nosso segundo encontro foi contemplado pela atividade Mosaicos. O objetivo dessa
atividade também era que os alunos tivessem uma experiência concreta da “letra” enquanto
variável. Porém, a atividade apresentava um nível de dificuldade maior, pois a relação não se
dava apenas entre duas grandezas, mais entre três: quadradinhos brancos, pretos e total de
quadradinhos.
Iniciamos o trabalho, entregando uma folha xerografada com a atividade proposta para
cada grupo (FIGURA 28).
Atividade: Mosaicos
Etapas :
1) Observe a seqüência :
2) Quantos quadradinhos brancos há na figura de ordem 3 ?
3) E na de ordem 4 e 5 ?
4) Desenhe uma figura que represente a ordem 8 e responda quantos quadradinhos pretos e quantos brancos aparecem .
5) Em alguma figura, seguindo esse padrão , aparecerão 68 quadradinhos pretos ? S e existir, qual é a sua ordem ?
6) Explique o raciocínio usado para resolver o exercício anterior
7) Você consegue estabelecer alguma relação entre a ordem e o total de quadradinhos brancos e pretos ?
Figura 28: Mosaicos
130
Essa atividade mostra um mosaico construído a partir de quadrados grandes,
subdividido em quadradinhos menores, onde, obedecendo a um padrão, colorimos alguns de
preto, outros de branco. As questões conduziriam o aluno à elaboração de duas regras, uma
que relacionasse o total de quadradinhos ao número de quadradinhos pretos e outra que
relacionasse o total ao número de quadradinhos brancos. Até o item 4, o aluno poderia apenas
contar o número de quadradinhos pelo desenho. A partir do item 5, ele deveria deixar o
concreto de lado e partir para uma abstração.
Para responder aos itens 5 e 6, o aluno poderia retirar 4 quadradinhos pretos para os
cantos, ficando, assim, com 64, e como a figura central é o quadrado, seu lado deveria ter 8
quadradinhos. Sendo assim, a ordem seria 10: oito brancos mais 2 pretos, ou, ainda, pensar
nos quadrados perfeitos maiores que 68 e testar respostas. O primeiro seria 81, logo, 9 de cada
lado. Percebendo, assim, que o número de quadradinhos pretos seria menor que 68, pois 9
menos 2 é igual a 7 e fazendo 7 ao quadrado mais 4, teria 53. O próximo, 100, seria, logo, 10
de cada lado. Daí, 10 menos dois é igual a 8. Fazendo 8 ao quadrado mais 4 teria 68.
Chegando também na ordem 10.
Diante do item 7, o aluno poderia usar vários raciocínios. Por exemplo, total de
quadradinhos menos os brancos é igual aos pretos. Total de quadradinhos menos os pretos é
igual aos brancos. Ou, simplesmente, fazendo separadamente cada um deles. Quadradinhos
brancos seria a ordem menos dois, multiplicado por quatro. Quadradinhos pretos seria o
quadrado da ordem menos dois mais quatro.
Logo no início do desenvolvimento da atividade, percebemos uma falha em sua
elaboração, pois a mesma não deixava claro para os alunos o que estava considerando como
ordem. Três, dos quatro grupos de trabalho, interpretaram como ordem a posição do desenho
e, no entanto, o que queríamos nos referir era o número de quadradinhos que a figura
apresentava de cada lado. Por exemplo: o quadradinho 3 x 3 representava a ordem três, o
quadradinho 4 x 4, ordem quatro, e assim por diante. Esclarecida a dúvida, os grupos
iniciaram a atividade, desenvolvendo com muita facilidade as etapas 2, 3 e 4. Para responder
o item 4, todos os grupos fizeram um desenho e contaram o número de quadradinhos pretos e
brancos. Abaixo, o protocolo usado pelo grupo 4 para refletir sobre o quadrado de ordem 6 e,
a partir daí, generalizar os demais.
131
O grupo 3, diante do desenho, conta o total de quadradinhos, o número de
quadradinhos brancos, depois faz:
A partir do questionamento 5, os grupos precisariam de um grau maior de abstração
para responder. Ao responder a questão cinco, a aluna Bruna (g.2) diz que:
É só fazer 68 – 4 (que estão nas pontas), sobram 64 e como 8 x 8 = 64,
a ordem é 10.
O grupo não se convence com a explicação e a aluna, com muita habilidade, faz um
desenho para comprovar seu raciocínio:
132
Os alunos do primeiro grupo também ficam na dúvida quanto à ordem. Vítor também
se remete a um desenho para tentar resolver o problema.
O mais interessante no desenvolvimento dessa atividade foi a relação estabelecida
entre quadradinhos brancos, pretos e o total, pois os grupos determinaram expressões bem
diferentes, porém, demonstrando uma ótima abstração e uma perfeita compreensão da
atividade. O segundo grupo apresentou:
B=x–2.4
P = x – 22 – 4 , onde x representa a ordem.
Quando apresentaram o resultado, solicitamos que fizessem alguns testes com o intuito
de verificar sua veracidade, pois havíamos percebido a ausência de dois parênteses: um na
primeira, indicando a prioridade do x – 2, e outro na segunda, indicando o quadrado da
diferença. Os alunos fizeram os testes e não perceberam a falha, pois, automaticamente,
mesmo sem os parênteses, efetuavam a subtração e depois o produto e também o quadrado da
diferença ao invés da diferença de x e o quadrado de 2. Somente perceberam a ausência do
parênteses quando questionamos – de quem é a prioridade ? Esse fato aponta, mais uma vez, a
necessidade de um ensino pautado em significados e em compreensão, como mostra a frase da
aluna:
“Ah! É mesmo! Faltou um parênteses”. (Thalita, g.2)
O grupo 2 prosseguiu na correção, apresentando o raciocínio descrito no protocolo
abaixo:
133
Já o primeiro grupo não conseguiu estabelecer as relações. Solicitei que construíssem,
então, uma tabela, pois a mesma poderia facilitar suas observações. Mesmo assim, a única
conclusão que tiraram era de que o número de quadradinhos brancos vai aumentando de
quatro em quatro, como indica o protocolo a seguir:
O terceiro grupo descreveu que:
O raciocínio descrito acima mostra que os alunos não se preocuparam com os
quadradinhos pretos, pois, tendo o total e o número de quadradinhos brancos, bastava efetuar
uma subtração. Como aconteceu na primeira atividade, o grupo não estabeleceu a relação
entre as grandezas simbolicamente, conforme apontamos no protocolo acima.
O quarto grupo escreveu da seguinte forma:
134
O raciocínio usado pelo quarto grupo foi basicamente o mesmo do terceiro, porém, ao
escrever a generalização, estabeleceram a relação simbolicamente utilizando-se, para isso, de
uma terceira variável. Como na primeira atividade, o grupo demonstra uma boa organização
do pensamento algébrico, fazendo referências antes mesmo de efetuarem a generalização ao
significado de cada variável utilizada na resolução do problema.
Terminada a atividade, fizemos uma plenária para exposição à turma do raciocínio e
os caminhos percorridos por cada grupo, para alcançar sucesso na realização da atividade. Um
fato que muito nos chamou a atenção foi a vontade que todos tinham em comunicar suas
idéias. A princípio, ouviríamos apenas um dos grupos para cada item, porém, como as
respostas e os raciocínios foram bem diferentes e todos queriam falar, optamos por ouvir cada
um que quisesse contar o caminho percorrido na realização da atividade. Ao final da
discussão, nos chamou atenção a percepção dos alunos para o conceito de variável e a relação
que estabeleciam o tempo todo entre as grandezas.
No terceiro encontro, ainda com a turma dividida em grupos, entregamos um
questionário com algumas perguntas sobre a execução da atividade para que discutissem,
chegassem num consenso e respondessem. Esse questionário (Ver página 38) objetivou uma
auto-avaliação, por cada grupo, das atividades desenvolvidas.
Fazendo uma análise das respostas do questionário e o plenário, percebemos uma
facilidade muito grande em falar, explicar oralmente um fato observado. Em contrapartida,
uma enorme dificuldade em escrever um texto ou mesmo uma expressão. Anexamos, aqui, o
registro feito pelo grupo 2:
135
Dentre as perguntas, uma consideramos pertinente descrever seu resultado. Os alunos
foram questionados quanto à semelhança encontrada no desenvolvimento das duas atividades
(questão 5 da atividade Mosaico). Ao que responderam:
Grupo 1
Grupo 2
136
Grupo 3
Grupo 4
Analisando essas respostas, percebemos uma capacidade de observação sem
preocupação de ligar o que fizeram a algum conteúdo nos grupos 2 e 3. Na nossa opinião,
quando o grupo se refere a regra ou conclusão é o padrão que lhe chamou atenção. O grupo 1
mostra, ainda, uma aprendizagem pautada em algo concreto, descrevendo exatamente o que
fizeram. Já o grupo 4 apresenta uma resposta mais ampla, ligando a atividade ao
conhecimento algébrico.
Se compararmos essas repostas com a análise da relação estabelecida, percebemos
uma coerência entre a resposta e o pensamento algébrico dos alunos.
O primeiro grupo é o que demonstrou dificuldade na realização de todas as tarefas que
dependiam de uma abstração maior. Portanto, podemos concluir que esses alunos ainda
encontram-se enraizados na fase do concreto. O terceiro grupo chamou-nos atenção pela
forma de raciocínio, sempre o inverso do que o resto da turma idealizava, porém, com
bastante coerência e com argumentos convincentes.
Quando relacionamos o desenvolvimento do pensamento algébrico desses alunos à
evolução histórica da Álgebra, podemos dizer que os alunos do grupo 1 ainda estão na fase
retórica, os grupos dois e três, na fase sincopada preparando-se para entrar na fase simbólica,
e o grupo quatro é formado por alunos que já se encontram na fase simbólica.
Na realização das três atividades, apesar de apresentarem grandes dificuldades em
relatar usando a escrita daquilo que observavam, os alunos se mostraram o tempo todo
motivados e com muita vontade de compreender o que estava acontecendo.
137
Acreditamos que a exploração de padrões para auxiliar no desenvolvimento do
pensamento algébrico apresentou, pela experiência, várias potencialidades:
•
Aguçou no aluno o desejo em aprender Matemática.
•
Possibilitou um trabalho algébrico pautado nas quatro concepções.
•
Facilitou a compreensão do conceito de variável.
•
Proporcionou ao aluno uma experiência de construção matemática.
•
Possibilitou ao professor diagnosticar os vários estágios da Álgebra em que os alunos
se encontravam.
Para essa pesquisadora, a maior riqueza dessa atividade foi perceber os diferentes
níveis de pensamento algébrico encontrados na turma. Dificilmente em uma atividade de
exercício ou mesmo resolução de problema que apresente uma estrutura fechada de
raciocínio, nos possibilitaria tal análise. Isso só foi possível por que essa dinâmica possibilitou
ao aluno descrever sua forma de pensar e não apenas solucionar o problema. E é justamente o
caminho, o percurso, que mais nos interessa em uma atividade exploratório-investigativa.
Além disso, a freqüência de trabalhos com essa perspectiva poderá contribuir com o
desenvolvimento da escrita dos alunos, uma deficiência detectada em todas as atividades
aplicadas.
Durante a realização da atividade, ficamos atentas ao aluno de inclusão quanto à sua
reação. Esse aluno, em sala de aula, não participa das mesmas atividades que os demais. Isso
tem o angustiado, o que pode ser comprovado, quando, muitas vezes, pelos corredores da
escola, ele se aproxima e diz: “Tânia, eu quero trabalhar com o x ..., eu consigo”. Porém,
devido à sua deficiência cognitiva, ele só consegue trabalhar com o concreto. E a professora
dele sempre elabora para ele atividades diferentes dos outros alunos da classe. Na realização
da atividade, percebemos que ele ficou feliz, pois sua tarefa era a mesma de toda a turma. E,
como até a questão 4 o aluno poderia usar do concreto para realizar a atividade, isso o encheu
de contentamento. Para ele, mesmo sem conseguir fazer a atividade inteira, o que importava é
que estava participando da mesma aula que os demais alunos.
138
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao finalizarmos nossa pesquisa, torna-se necessário tecer algumas considerações
acerca das possibilidades de um trabalho na construção do pensamento algébrico.
Considerações essas que podem ser fruto de investigações posteriores, conduzindo a uma
revisão ou confirmando o que aqui apresentamos.
Nossa intenção era a proposta de atividades com caráter exploratório-investigativo
utilizando, como ferramenta, o padrão de regularidade, o que possibilitaria uma motivação
para que os alunos sujeitos dessa pesquisa desenvolvessem seu pensamento algébrico e, a
partir daí, compreendessem algumas manipulações algébricas dando significado às mesmas,
proporcionando a esse aluno experiências com finalidades diferenciadas da “letra”, o que
acaba por atenuar o problema no ensino da álgebra apresentado na introdução dessa pesquisa.
Por meio da análise dos cinco livros didáticos, pudemos verificar que a abordagem do
ensino da Álgebra tem sido feita de várias maneiras: utilizando-se de recursos geométricos
para justificar passagens algébricas, utilizando-se de exercícios para fixação de algumas
regras básicas (por exemplo, produtos notáveis), utilizando-se de situações problemas
contextualizadas ou não, investigando relações entre grandezas etc. Em algumas atividades
encontramos uma abordagem buscando construção do pensamento algébrico por meio de
exploração de padrões, onde o aluno, diante de algumas observações ou questionamentos, é
motivado a construir uma linguagem algébrica para aquela situação. Contudo, algumas
atividades propostas naqueles livros não aparecem, conforme nossa observação, com uma
proposta de investigação.
Diante disso, construímos nosso Caderno de Atividades com 32 atividades com caráter
exploratório-investigativo, apresentando propostas de trabalho para turmas do Ensino
Fundamental e/ou Médio. Essas atividades, além do propósito de fomentar o desenvolvimento
do pensamento algébrico por meio de exploração de padrões, apresentaram-se como
conectivo entre dois ou mais conteúdos.
O desenvolvimento dessas atividades mostrou-nos uma potencialidade além do que foi
proposta nessa pesquisa. As observações, os protocolos das atividades e as respostas
139
apresentadas no questionário de auto-avaliação nos permitem concluir que as atividades com
propostas de exploração de padrões proporcionam aos alunos:
•
Experiências variadas com a utilização de “letras”, tais como: relação entre
grandezas, generalização da aritmética, estudo das estruturas e resolução de equações.
•
Proporcionou uma compreensão acerca da importância do estudo da álgebra na
Matemática.
•
Identificar o nível de seu pensamento algébrico.
•
Perceber a Matemática como uma Ciência em constante construção e que só se
desenvolve a partir de problemas levantados.
•
Estabelecer um elo entre conteúdos normalmente tratados separadamente como, por
exemplo, funções e progressões.
Pudemos, então, verificar que, quando alguma atividade é apresentada com uma
abordagem exploratório-investigativa, o aluno se sente motivado em desenvolvê-la, pois este
se torna protagonista do processo, elevando a sua auto-estima com relação à Matemática, pois
o essencial, aqui, é o processo e a forma como o aluno pensa o problema e não a resposta
“certa” atribuída à questão. Essas atividades estimulam o aluno a escrever corretamente por
linguagem usual ou simbólica.
Por meio dos protocolos de desenvolvimento da atividade apresentados pelos grupos,
percebemos que comunicar-se por meio de palavras escritas ou usando uma linguagem
abstrata é uma fragilidade evidenciada em alunos tanto do Ensino Fundamental quanto do
Médio. O desenvolvimento da linguagem abstrata do aluno é gradativo e necessita de um
estímulo e de um acompanhamento por parte do professor na evolução desse processo. As
atividades propostas em nosso caderno podem ser utilizadas para esse acompanhamento, uma
vez que o professor, à medida que for trabalhando cada uma delas, poderá construir um
portifólio e depois fazer uma avaliação do desenvolvimento da construção da linguagem
algébrica de seus alunos.
Porém, como toda nova experiência, pela nossa observação, a aplicação de atividades
com caráter exploratório-investigativo requer alguns cuidados por parte do professor para que
o trabalho alcance o resultado almejado. Quando os alunos não estão habituados a
140
desenvolver trabalhos desse tipo, eles se sentem inseguros solicitando a presença do professor
o tempo todo para verificar se está certo ou não. Como a proposta apresentada foi de uma
atividade com caráter exploratório-investigativo e realizada em pequenos grupos, o professor
precisou, o tempo todo, percorrer os grupos e incentivar a participação de todos os
integrantes, para que tivesse o sucesso pretendido no momento da sua elaboração. Muitas
vezes, o próprio grupo, quando efetua a verificação, percebe a incoerência e reformula a
conclusão. Se isso não acontecer, o professor poderá elaborar outros questionamentos que
conduzam o grupo a essa percepção. Por isso, podemos concluir que é importante estimular,
para que os integrantes de cada grupo observem, reflitam, discutam, argumentem e
proponham novas soluções para o problema. Essa experiência é uma forma de levar os alunos
a vivenciarem o processo de construção da própria Matemática.
Ao escolher a atividade a ser abordada em sala de aula, o professor deverá estar atento
aos pré-requisitos da mesma, pois explorar situações com termos ou definições ainda
desconhecidos pela turma pode ser um dificultador na realização da atividade, podendo o
professor inclusive não alcançar os objetivos propostos. Por exemplo: a atividade 15 Torre de
Hanói, se conduzida sem uma devida orientação a cerca do funcionamento do jogo, sem um
momento de manipulação prévia do material, o professor além de ter dificuldades em
conduzir seu desenvolvimento, poderá não ter seu objetivo alcançado.
Sugerimos que em cada atividade aplicada, o professor solicite que os grupos
apresentem para a turma o caminho percorrido para chegar à conclusão do exercício. Essa
técnica além de proporcionar ao professor mais um momento de acompanhamento para
análise do raciocínio de cada um, valoriza o trabalho dos grupos e mostra que para uma
mesma situação problema, podemos trilhar caminhos diferentes e chegar no mesmo objetivo.
Pudemos verificar, também, com relação à pesquisa feita, que este é apenas um dos
caminhos possíveis para a abordagem realizada aqui. O fato de termos a oportunidade de
trabalhar, ainda, com um aluno com síndrome de Down, nos mostrou uma outra
potencialidade para a atividade, que poderá ser tema de uma outra pesquisa: a utilização de
padrões para desenvolver o pensamento algébrico em alunos com deficiências cognitivas
leves ou moderadas. Isso mostra, portanto, as inúmeras possibilidades de uma pesquisa
envolvendo o desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno em sala de aula e todas as
suas potencialidades.
141
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BIANCHINI, E. Matemática. São Paulo. Moderna, 2006 ( coleção 5ª a 8ª )
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145
ANEXOS
Anexo 1 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática - Edwaldo
Bianchini
Concepção : Aritmética Generalizada
Tipo de atividades
5ª
%
4
100
6ª
%
7ª
%
8ª
%
2
100
7
100
Observe a seqüência ...
Múltiplos,....
Propriedades
Total
4
2
7
Concepção : Resolução de Equações
Tipo de atividades
5ª
%
Problemas envolvendo cálculo de área
de figuras planas, teoremas , etc
Resolva a equação , inequação,
sistema..., verificar raiz
14
100
6ª
%
7ª
%
8ª
19
6
110
23
230
29
224
70
97
20
171
22
90
12
Relação com discriminante, soma e
produto, vértice da parábola....
%
Determine as medidas indicadas nas
figuras
33
10
213
44
181
23
Problemas onde o aluno deve
interpretar, equacionar e resolver
42
13
37
8
105
13
22
4
7
1
10
1
Resolução gráfica de um sistema
Condição de existência
Invente uma equação cuja raiz...
1
1
Total
14
319
486
787
146
Concepção : Estudo de Estruturas
Tipo de atividades
Escrita simbólica de expressões
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
51
35
88
12
8
6
27
19
46
6
67
46
41
28
77
11
44
30
25
18
520
71
24
17
2
1
Demonstrações
Cálculo numérico
10
100
Reconhecimento e classificação de
polinômios, identificar suas partes,
Reconhecimento de uma equação,
TQP, função.
Operações com polinômios, frações
algébricas.
Aplicação de propriedades
Total
10
144
731
145
Concepção : Estudo de Relações entre grandezas
Tipo de atividade
Problemas ( cálculo de nº diagonais,
preço unit. X valor a pagar, etc. )
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
40
33
32
26
11
9
39
32
Construção de gráficos
Domínio, imagem, zeros, ponto de
máximo e mínimo
Estudo de sinal
Total
122
147
Análise Global - Percentual
Concepções da álgebra
5ª
Aritmética Generalizada
14
6ª
7ª
8ª
0,2
0,5
Resolução de equações
50
69
39.8
74
Estudo das Estruturas
36
31
60
14
-
-
-
11,5
Estudo das Relações entre grandezas
148
Anexo 2 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante
Concepção : Aritmética Generalizada
Tipo de atividades
Observe a seqüência ...
Múltiplos,....
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
11
100
19
90
18
56
14
82
2
10
14
44
03
18
Propriedades
Total
11
21
32
17
Concepção : Resolução de Equações
Tipo de atividades
5ª
%
Problemas envolvendo cálculo de área
de figuras planas, teoremas , etc
Resolva a equação , inequação,
sistema..., verificar raiz
16
94
6ª
%
7ª
%
8ª
26
10
56
19
169
31
94
38
144
48
240
44
02
0,5
Relação com discriminante, soma e
produto, vértice da parábola....
Determine as medidas indicadas nas
figuras
Problemas onde o aluno deve
interpretar, equacionar e resolver
1
6
%
66
26
38
13
77
14
62
25
39
13
48
8
17
6
5
1
7
1,5
Resolução gráfica de um sistema
Fração geratriz
Invente uma equação cuja raiz...
2
1
6
1
Total
17
250
300
548
149
Concepção : Estudo de Estruturas
Tipo de atividades
Escrita simbólica de expressões
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
3
27
61
34
41
16
34
26
6
2
24
18
%
Demonstrações
Cálculo numérico
7
64
Reconhecimento e classificação de
polinômios, identificar suas partes,
Reconhecimento de uma equação,
TQP, função.
Operações com polinômios, frações
algébricas.
Aplicação de propriedades
1
9
62
35
25
9,7
13
10
12
7
28
11
40
30
13
7
159
61
22
16
30
17
1
0,3
Total
11
178
260
133
Concepção : Estudo de Relações entre grandezas
Tipo de atividade
Problemas ( cálculo de nº diagonais,
preço unit. X valor a pagar, etc. )
5ª
%
6ª
24
%
7ª
%
8ª
%
100
10
83
27
73
2
17
10
27
Construção de gráficos
Domínio, imagem, zeros, ponto de
máximo e mínimo
Estudo de sinal
Total
24
12
37
150
Análise Global - Percentual
Concepções da álgebra
5ª
6ª
7ª
8ª
Aritmética Generalizada
28
4
5
2
Resolução de equações
44
53
50
75
Estudo das Estruturas
28
38
43
18
Estudo das Relações entre grandezas
-
5
2
5
151
Anexo 3 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: A conquista da Matemática
- Castrucci, Giovanni e Júnior
Concepção : Aritmética Generalizada
Tipo de atividades
5ª
%
6ª
%
Observe a seqüência .... ( desenhos )
Na posição , a quantidade de  , é dada
pela expressão .... , nº diagonais ...
7ª
%
8ª
%
3
100
01
100
Concepção : Resolução de Equações
Tipo de atividades
5ª
%
Problemas envolvendo cálculo de área
de figuras planas, teoremas , etc
Resolva a equação , inequação,
sistema..., verificar raiz
16
76%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
13
3%
61
14
216
32
211
52%
72
16
177
26
73
11
Relação com discriminante, soma e
produto, vértice da parábola....
Determine as medidas indicadas nas
figuras
Problemas onde o aluno deve
interpretar, equacionar e resolver
5
24%
25
6%
216
49
157
23
147
36%
85
19
59
8
11
2
Condição de existência
Aplicação princípios de equivalência
14
3%
Total
21
410
445
682
152
Concepção : Estudo de Estruturas
5ª
Tipo de atividades
Escrita simbólica de expressões
%
6ª
%
47
38%
7ª
%
8ª
%
100
15
6
2,4
15
2
21
8,4
Demonstrações
Cálculo numérico
4
100%
Reconhecimento e classificação de
polinômios, identificar suas partes,
Reconhecimento de uma equação,
TQP, função.
Operações com polinômios, frações
algébricas.
Aplicação de propriedades
50
40%
71
10
39
16
8
7%
35
5
46
18,2
1
1%
465
68
12
5
17
14%
125
50
Total
4
123
686
249
Concepção : Estudo de Relações entre grandezas
Tipo de atividade
Problemas ( cálculo de nº diagonais,
preço unit. X valor a pagar, etc. )
5ª
%
6ª
%
7ª
%
01
100
8ª
%
18
13
24
17
62
45
34
25
Construção de gráficos
Domínio, imagem, zeros, ponto de
máximo e mínimo
Estudo de sinal
Total
01
138
153
Análise Global - Percentual
Concepções da álgebra
5ª
6ª
7ª
8ª
Aritmética Generalizada
11
2
1
-
Resolução de equações
75
75
39
64
23
60
23
-
-
13
14
Estudo das Estruturas
Estudo das Relações entre grandezas
-
154
Anexo 4 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática Paratodos Imenes e Lellis
Concepção : Aritmética Generalizada
Tipo de atividades
5ª
Observe a seqüência ...
Múltiplos,....
%
6ª
%
7ª
%
25
96
15
75
5
83
1
4
5
25
1
17
8ª
11
%
100
Propriedades
Total
26
20
6
11
Concepção : Resolução de Equações
Tipo de atividades
5ª
%
Problemas envolvendo cálculo de área
de figuras planas, teoremas , etc
Resolva a equação , inequação,
sistema..., verificar raiz
08
36
6ª
%
7ª
%
3
3
40
17
65
17
64
55
76
33
194
50
4
1
Relação com discriminante, soma e
produto, vértice da parábola....
Determine as medidas indicadas nas
figuras
Problemas onde o aluno deve
interpretar, equacionar e resolver
14
64
8ª
%
12
10
52
22
61
16
34
29
60
26
49
13
4
3
5
2
10
3
Resolução gráfica de um sistema
Fração geratriz
Invente uma equação cuja raiz...
Total
22
117
233
383
155
Concepção : Estudo de Estruturas
Tipo de atividades
Escrita simbólica de expressões
5ª
%
6ª
11
100
30
%
49
7ª
%
8ª
%
39
19
9
7
11
5
33
25
44
22
13
10
8
4
16
12
Demonstrações
Cálculo numérico
20
Reconhecimento e classificação de
polinômios, identificar suas partes,
Reconhecimento de uma equação,
TQP, função.
Operações com polinômios, frações
algébricas.
Aplicação de propriedades
32
8
13
94
47
55
43
4
6
7
3
4
3
Total
11
62
203
130
Concepção : Estudo de Relações entre grandezas
Tipo de atividade
Problemas ( cálculo de nº diagonais,
preço unit. X valor a pagar, etc. )
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
25
100
16
100
47
75
15
24
1
1
Construção de gráficos
Domínio, imagem, zeros, ponto de
máximo e mínimo
Estudo de sinal
Total
25
16
63
156
Análise Global - Percentual
Concepções da álgebra
5ª
6ª
7ª
8ª
Aritmética Generalizada
44
9
1
2
Resolução de equações
37
52
51
65
Estudo das Estruturas
19
28
44
22
-
11
4
11
Estudo das Relações entre grandezas
157
Anexo 5 - Concepções abordadas no livro didático - Coleção: Matemática hoje é feita
assim - Antonio José Lopes Bigode
Concepção : Aritmética Generalizada
Tipo de atividades
Observe a seqüência .... ( desenhos )
Na posição , a quantidade de  , é dada
pela expressão .... , nº diagonais ...
Propriedades
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
02
22
23
50
14
50
12
70
07
78
21
46
14
50
5
30
2
4
46
100
28
100
17
100
A = b a+ c = b + c
Total
09
100
Concepção: Resolução de Equações
Tipo de atividades
5ª
%
6ª
Problemas envolvendo cálculo de área
de figuras planas, teoremas , etc
07
37
-
Resolva a equação , inequação,
sistema..., verificar raiz
47
51
09
%
59
Representação gráfica de um
sistema....
Determine as medidas indicadas nas
figuras
16
18
Problemas onde o aluno deve
interpretar, equacionar e resolver
14
16
05
6
01
87
7ª
%
8ª
%
11
9
132
30
46
39
225
52
18
15
34
8
41
34
23
5
1
4
3
21
5
100
120
100
435
100
Pirâmide, quadro mágico
03
16
Invente uma equação....
Total
19
100
158
Concepção: Estudo de Estruturas
5ª
Tipo de atividades
Escrita simbólica de expressões
%
6ª
38
%
66
7ª
%
83
19
8ª
%
7
5
Demonstrações
Cálculo numérico
Reconhecimento e classificação de
polinômios, identificar suas partes,
Reconhecimento de uma equação,
TQP, função.
Operações com polinômios, frações
algébricas.
Aplicação de propriedades
09
15
174
41
6
4
11
19
5
1
41
30
165
39
84
61
427
100
138
100
Total
58
100
Concepção : Estudo de Relações entre grandezas
Tipo de atividade
Problemas ( cálculo de nº diagonais,
preço unit. X valor a pagar, etc. )
5ª
%
6ª
%
7ª
%
8ª
%
12
100
26
23
59
53
25
23
1
1
111
100
Construção de gráficos
Domínio, imagem, zeros, ponto de
máximo e mínimo
Estudo de sinal
Total
12
100
159
Análise Global - Percentual
Concepções da álgebra
5ª
6ª
7ª
8ª
Aritmética Generalizada
32
24
5
2
Resolução de equações
68
46
20
62
Estudo das Estruturas
-
30
73
20
Estudo das Relações entre grandezas
-
-
2
16
160
APÊNDICE
Apêndice A – Caderno de Atividades
PRODUTO FINAL
Durante o desenvolvimento de nossa pesquisa, elaboramos atividades que, a partir de
padrões de regularidade, proporcionassem a nossos alunos da Educação Básica experiências
conduzindo ao desenvolvimento do pensamento algébrico e favorecesse a compreensão da
linguagem algébrica. Nosso objetivo era, por meio dessas atividades, valorizar a construção
pelo aluno de uma linguagem algébrica significativa, diminuindo, assim, a incidência de erros
cometidos na manipulação de expressões algébricas.
Apresentamos essas atividades como produto final de nossa pesquisa.
Optamos por uma apresentação em forma de um Caderno de Atividades (CA). Nesse
caderno encontramos 32 atividades que exploram padrões de regularidade, sendo, cada uma
delas, dividida em três partes:
1. Apresentação do padrão;
2. Roteiro da atividade a ser desenvolvida a partir do padrão apresentado;
3. Orientações metodológicas sobre a atividade.
Na primeira parte, apresentação do padrão, utilizamos materiais concretos, desenhos,
tabelas, problemas, operações etc. Todos os padrões envolvidos nas atividades foram
analisados e categorizados de acordo com suas especificidades. Essa categorização e o
objetivo específico de cada atividade apresentamos na tabela abaixo:
utur
Estr
Categoria de Padrões
Geométrico
Atividades
01 – 04 – 08 – 17 - 18
Objetivos
Construir intuitivamente fórmulas usadas
em geometria a partir de investigações.
Numérico
Figurativo
161
Numérico
10 – 14 – 25 – 27 - 31
Estabelecer generalização na formação de
estruturas numéricas.
Algébrico
16
Construir intuitivamente regras de
produtos notáveis a partir de investigações.
Palito
12
Estabelecer uma lei de formação para a
formação de “m” figuras a partir de
“n”palitos.
Fractais
19
Estabelecer uma lei de formação para “t”
triângulos brancos posicionando “p”
figuras.
Mosaico
02 – 07 - 21
Estabelecer relações entre grandezas
distintas de um mesmo mosaico.
Cestas
20
Estabelecer relações
distintas de uma cesta.
Geométrico
29
Seqüencial
03 - 05 – 09 – 22 - 28
Estabelecer relações entre figura e seu
posicionamento na seqüência.
Estabelecer relações entre o número e seu
posicionamento na seqüência.
06 – 23 – 30
Conseguir efetuar cálculos mentais a partir
de observação de regularidades.
26
Estabelecer relação entre a posição e o
polígono construído.
Operacional
Relação
Movimento
Geométrico
Lúdico
15
Figurativo
24 – 32
Objetos
11
Grandezas
13
entre
grandezas
Construir uma fórmula que determine o
número mínimo de movimentos da Torre
de Hanói.
Estabelecer uma regra de posicionamento
da figura a partir do movimento de
rotação.
Estabelecer uma relação entre total de
mesas e pessoas assentadas.
Estabelecer uma relação entre o valor
arrecadado e o número de lugares vagos no
vôo.
Aqui, denominamos padrão estrutural todo aquele que, ao desenvolver questões acerca
de sua formação, o caminho percorrido nos conduz à elaboração de alguma fórmula
geométrica, algébrica e/ou numérica já existente, e que, a posteriori, favorece a resolução de
algumas situações problemas. Padrão figurativo é todo aquele que envolve algum tipo de
desenho com regularidades, simetrias e que, a partir de uma análise das grandezas envolvidas
em sua formação, conseguimos estabelecer uma generalização. Apesar de todos os padrões,
quando analisados, nos conduzir a um padrão numérico, aqui chamaremos numéricos somente
162
aqueles que partem de uma seqüência ou de uma relação numérica. Classificamos como
padrões de movimentos as estruturas que, quando analisadas, envolvem algum movimento
uniforme. Por exemplo: o movimento de rotação que encontramos na atividade 24, quando
alteramos o triângulo interno colorido no hexágono. Quando nos referimos aos padrões de
relação, estaremos falando daqueles padrões que partem de uma relação e não daqueles que
conduzem a uma relação. Conduzir a uma relação é característica freqüente em todas as
atividades elaboradas.
Todas as atividades foram construídas com o propósito de desenvolver no aluno a
habilidade de observar, intuir, argumentar, comunicar, justificar, verificar, generalizar,
expressar-se, usando mais de uma linguagem para que ele possa experimentar um pouco do
processo de criação da Matemática.
Diante dos objetivos propostos para cada padrão elaborado, apresentamos alguns
questionamentos com níveis de dificuldades crescentes, que deveriam conduzir, de forma
gradativa, ao alcance de nossa meta.
Na terceira parte da atividade, apresentamos algumas orientações metodológicas que
têm o propósito de contribuir com o trabalho do professor em sala de aula. Essas orientações
foram construídas a partir de uma avaliação que fazíamos diante de cada atividade aplicada.
Dentre os quesitos pontuados estão:
•
Abordagens possíveis de conteúdos matemáticos;
•
Metodologia de trabalho (individual, dupla, trios etc);
•
Possibilidades de enriquecimento do trabalho a partir de atividades similares;
•
Outras abordagens possíveis a partir da mesma atividade;
•
Indicação de outras ferramentas que o professor poderá utilizar para conduzir o
sucesso da atividade;
•
Esclarecimentos acerca do padrão utilizado;
•
Indicação de pré-requisitos necessários para abordagem da atividade;
•
Estratégias para a avaliação;
•
Dicas de materiais alternativos para a realização da atividade;
•
Cuidados que o professor deve ter com o intuito de garantir o sucesso da atividade.
163
Nosso objetivo é que esse material possa contribuir com o ensino da Álgebra de forma
significativa na Educação Básica. Que o professor, utilizando qualquer uma das atividades
propostas, tenha resultados positivos e sinta-se motivado não só a utilizar-se de outras como
também criar experiências novas, com padrões de regularidade que estimulem, além da
habilidade em manipulações algébricas, o desenvolvimento do pensamento algébrico.
164
Atividade 1
Pavimentação do plano com polígonos regulares de um só tipo:
Material utilizado:
Vários polígonos regulares e congruentes: (quadrados, triângulos, pentágonos, hexágonos,
heptágonos, octógonos etc.) confeccionados com papel cartão, cartolina, madeira ou mesmo
um emborrachado.
OBS: Quanto mais perfeito os recortes, melhor o resultado do experimento.
Desenvolvimento da atividade:
1) Sem sobreposição de figuras, é possível pavimentar sua carteira utilizando apenas
quadrados?
2) E utilizando apenas triângulos? Foi possível cumprir a tarefa?
3) Agora, utilizando pentágonos, verifique a possibilidade de pavimentar um plano.
4) Investigue, experimentando com os outros polígonos regulares que tiver em mãos,
quais nos dão a possibilidade de pavimentação perfeita, ou seja, sem sobreposição de
figuras.
5) Em cada um dos experimentos, considere um ponto P qualquer e identifique, como na
figura abaixo, quantos polígonos de cada tipo são necessários para uma perfeita
pavimentação.
P
5) Com base nos experimentos, complete a tabela:
Polígono
Nº de lados
Ângulo interno
Nº de polígonos Pavimentação
ao redor do pto. perfeita?
165
6) Agora, responda:
A) Qual é maior número de lados que pode ter um polígono para que consigamos uma
pavimentação perfeita? Justifique.
B) Um decágono pavimenta um plano? Por quê?
C) Seja “k”, o número de polígonos colocados ao redor do ponto e “a” a medida dos
ângulos internos desse polígono. Estabeleça uma relação que comprove a
pavimentação sem a realização do experimento.
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutura geométrica
Pré-requisitos
Segmento
Polígono regular – Classificação quanto ao número de lados e identificação dos
ângulos internos.
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Área de figuras planas, composição de figuras, polígonos regulares
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
•
Ampliar o número de questionamentos caso a turma necessite.
Solicitar que os alunos façam o registro na tabela imediatamente após a
composição dos polígonos sobre a carteira.
• Ao final da atividade é interessante propor aos alunos que façam a
verificação da resposta do item 6c para validar a expressão.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Pode-se explorar com o mesmo material, atividades que envolvam pavimentação de
polígonos regulares diferentes
166
Atividade 2
Faixa Decorativa 1
Desenvolvimento da atividade:
Observe a faixa decorativa abaixo:
1) Como será colorida a 20ª coluna?
2) Descreva a característica da 89ª coluna. Explique o raciocínio.
3) Você consegue descrever algum padrão que foi utilizado para colorir a tira decorativa
acima? Descreva-o.
4) A faixa acima apresenta uma periodicidade. Quantas colunas são necessárias para fechar
um período?
5) A cada período completo responda:
A. Quantos quadradinhos são amarelos?
B. Quantos são azuis?
C. E o total?
6) Complete a tabela abaixo:
Períodos
Azuis
Amarelos
Total
01
02
03
08
25
P
7) A partir da faixa decorativa e observando a tabela acima, estabeleça uma relação entre o
número de quadradinhos amarelos e azuis.
167
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo mosaico
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Múltiplos, expressões algébricas, equações, funções
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
•
Ampliar o número de questionamentos caso a turma necessite.
Ao final da atividade é interessante propor aos alunos que façam a
verificação da resposta do item 7 para validar a expressão.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Pode-se explorar com o mesmo material, outras faixas decorativas criadas pelo
professor.
168
Atividade 3
Tabela
Desenvolvimento da atividade:
Observe a tabela abaixo:
1
2
3
4
5
6
7
8
16
15
14
13
12
11
10
9
17
18
19
20
21
22
23
24
32
30
28
25
35
44
64
1) Obedecendo a regra de formação, complete-a.
2) A partir da tabela, indique a linha e a coluna ocupadas pelo número 38.
3) Agora, indique a linha e a coluna ocupadas pelo número 56.
4) Se continuássemos completando essa tabela, que número ocuparia a décima linha e a
oitava coluna?
5) Que linha ocuparia o número 103? Por quê?
6) Agora, responda: que coluna o número 103 ocuparia? Explique o raciocínio que você
utilizou para resolver esse problema.
7) Que número ocuparia a 30 ª linha, 8 ª coluna?
8) Você consegue descrever uma expressão que nos dê todos os números que ocuparão a
última coluna em função da linha?
9) Com essa expressão, é possível localizar qualquer número? Como?
169
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico seqüencial
Pré-requisitos
Operações básicas.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Múltiplos, expressões algébricas, equações, funções e progressões aritméticas.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
•
Ampliar o número de questionamentos caso a turma necessite.
Ao final da atividade é interessante propor aos alunos que façam a
verificação da resposta do item 8 para validar a expressão.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Discutir com os alunos todas as possibilidades de raciocínio possível para
realização da atividade. O professor poderá propor a generalização de qualquer
coluna em função da linha.
170
Atividade 4
Pirâmides
Material utilizado:
Pirâmides de base triangular, quadrada, pentagonal, hexagonal etc. (Podem ser
confeccionadas em madeira, vidro, plástico, emborrachado, papel cartão, ou até mesmo
cartolina).
Planificação de cada modelo utilizado na atividade.
Desenvolvimento da atividade:
1) Considerando uma pirâmide de base triangular, indique:
A) Número de arestas
B) Número de faces
C) Número de vértices
2) Faça o mesmo procedimento com uma pirâmide de base quadrada, base hexagonal, base
pentagonal etc.
3) Construa uma tabela, identificando a pirâmide, o número de vértices, arestas e faces.
4) Uma pirâmide de base pentadecagonal (15 lados) tem quantos vértices, arestas e faces?
5) Agora, considerando uma pirâmide de “n” lados na base, você consegue identificar seu
número de vértices, arestas e faces?
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural geométrico
Pré-requisitos
Geometria plana
Segmento
Séries finais do E. Fundamental.
Conteúdos abordados
Pirâmide
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
A planificação dos modelos é um excelente recurso para um trabalho
intuitivo sobre questões de área lateral e total da figura.
• Ao final da atividade é interessante propor aos alunos que façam a
verificação da resposta do item 5 para validar a expressão.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Uma atividade similar poderá explorar conhecimentos a cerca dos prismas e da
relação de Euler.
171
Atividade 5
Seqüência numérica oscilante
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência oscilante:
1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2...
OBS.: Seqüência retirada da Revista EUREKA nº 19/2004 p. 7.
1) Obedecendo ao mesmo padrão acima, qual será o 32º termo da seqüência?
2) Qual será o 42º termo?
3) Você consegue estabelecer alguma relação entre a ordem e o termo que aparecem na
seqüência?
4) Sem descrever toda a seqüência, qual será o 100 º termo?
5) Que procedimento você usou para chegar a essa resposta?
6) Qual é o 2007º termo da seqüência?
7) Escrevendo toda a seqüência, do 1º ao 1000º termo, quantas vezes aparece o número 2?
Explique o raciocínio usado para a resolução dessa questão.
8) O número 5 aparece o mesmo número de vezes que o 2? Justifique sua resposta.
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico seqüencial
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Múltiplos, funções, seqüências
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
Avaliação
Caso seja necessário, o professor poderá propor atividades mais simples
antes de propor a atividade 5.
• Um item importante nessa atividade é apresentar para a turma os diferentes
raciocínios utilizados pelos grupos para solucionar o problema.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá criar outras seqüências para trabalhar na mesma perspectiva.
complementares
172
Atividade 6
Curiosas multiplicações
Desenvolvimento da atividade:
Observe as multiplicações a seguir:
101 x 11
= 1111
101 x 111
= 11211
101 x 1111 = 112211
101 x 11111 = 1122211
1) Qual será o resultado do produto 101 x 111111?
2) E o resultado de 101 x 1111111111?
3) Considerando o 1º fator o número 101 e o produto 112222222222211, qual será o 2º fator?
4) Que raciocínio você usou para responder ao item anterior? Descreva-o.
5) Verifique a veracidade de seu raciocínio, conferindo os resultados das multiplicações
anteriores.
6) Agora, responda: Qual é a soma dos algarismos do número obtido, quando multiplicamos
101 pelo número 11111...111?
1 44 2 4 43
2007 vezes − número1
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico operacional
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Multiplicações, produtos notáveis, funções
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
O professor poderá, ainda, propor que os alunos tentem justificar a regra
de formação para o produto analisando a multiplicação. Questionando por
exemplo: Por que o termo das unidades simples é sempre o um, ou, ainda,
por que não aparecem algarismos diferentes do um e do dois nesse
produto?
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá criar outras multiplicações que possam ser trabalhadas com essa
perspectiva.
173
Atividade 7
Mosaicos
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
...
OBS.: Aqui consideraremos como ordem, o número de quadradinhos de cada lado da figura.
1) Quantos quadradinhos brancos há na figura de ordem 3?
2) Agora, responda: quantos quadradinhos brancos há na figura de ordem 4. E na figura de
ordem 5?
3) Desenhe uma figura que represente a ordem 8 e responda quantos quadradinhos pretos e
quantos brancos aparecem.
4) Em alguma figura, seguindo esse padrão, aparecerão 68 quadradinhos pretos? Se existir,
qual é a sua ordem? Explique seu raciocínio.
5) Você consegue estabelecer alguma relação entre a ordem e o total de quadradinhos brancos
e pretos?
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo mosaico
Pré-requisitos
Operações básicas.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Potências, equações do 2° grau, expressões algébricas, funções.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório investigativa
Orientações
•
Avaliação
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• Discussão com a turma sobre os raciocínios utilizados é uma experiência
que enriquece a realização do trabalho.
• O professor poderá propor a confecção de uma tabela para auxiliar aos
alunos na intuição do item 5
• Também deverá propor a verificação da expressão para validar a mesma.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá criar outros mosaicos para trabalhar com essa perspectiva.
complementares
174
Atividade 8
Volume de um cubo
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
Para essa atividade, onde falarmos de cubinho, estaremos considerando essa figura
e seu volume será
equivalente a uma unidade.
1) Quantos cubinhos foram usados na figura 1? Qual o seu volume?
2) Quantos cubinhos foram usados na figura 3? Qual seu volume total?
3) Continuando a seqüência com o mesmo padrão, quantos cubinhos serão necessários para
obtermos a figura de número 6?
4) Com esse mesmo número de cubinhos, é possível construir um sólido diferente? Faça a
representação desse sólido. O seu volume permanecerá o mesmo?
5) Agora, imagine que iremos pintar todas as faces do sólido construído. Gastaremos mais
tinta para pintar o cubo ou o novo sólido criado? Justifique sua resposta.
6) Você consegue estabelecer uma relação entre o número de cubos utilizados em cada lado e
o volume do sólido obtido?
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural geométrico
Pré-requisitos
Operações básicas e conceito de volume.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Volume de um cubo, área lateral e área total de prismas, função
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
O professor poderá propor a criação de vários sólidos no item 5 e discutir
questões de economia a cerca da fabricação de embalagens.
• Propor a verificação da atividade 7 com o intuito de validar a mesma.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá criar atividades similares explorando o volume de um prisma
qualquer.
175
Atividade 9
Função
Desenvolvimento da atividade:
Seja a função f definida por:
x
1
2
3
4
5
F(x)
4
1
3
5
2
Extraído da revista EUREKA, nº 22, p.12.
Por exemplo f (2) = 1 , f (1) = 4 etc.
Considerando uma seqüência formada a partir de várias composições desta f (x), responda:
1) Orientados pela tabela, podemos dizer que f (f (2)) é igual a:
2) Complete a tabela até o 10º termo da seqüência, partindo de f (2).
3) Qual é o valor de f (f (f (f (4))))?
4) Quantas vezes, até o 20º termo da seqüência, partindo de f (4), aparecerá o valor 3? E o 2?
5) Você consegue definir alguma regularidade? Descreva-a.
6) Por fim, quanto vale f ( f ( f (... f ( f (4)) ?
1 4 4 4 2 4 4 43
2007 vezes
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico seqüencial
Pré-requisitos
Operações básicas, funções
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Múltiplos, funções (composição de funções ), seqüências
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
O professor poderá propor questionamentos complementares, caso seja
necessário para o êxito da atividade.
Propor uma discussão entre os grupos de trabalho sobre os tipos de
raciocínios utilizados.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá criar outras seqüências para trabalhar na mesma perspectiva.
176
Atividade 10
Triângulo de Pascal
Desenvolvimento da atividade:
Considerando a formação do triângulo de Pascal, faça o que se pede:
 0

 0
1

 0



1
 
1



 2  2  2 
     
 0 1  2 
 3  3  3  3 
       
 0 1  2  3 
 4  4  4  4  4 
 0   1   2   3   4 
     
 n  n  n 
n
      ⋅ ⋅ ⋅  
0
1
2
   
n
1) Construa um triângulo, usando apenas os resultados dos binomiais encontrados.
2) Observe os resultados encontrados e faça um relatório, detalhando todas as observações
feitas pelo grupo.
3) As observações feitas pelo grupo têm caráter que estabelecem alguma generalização,
simetria ou propriedade? Identifique-as, fazendo uma justificativa.
5) Essas observações são passíveis de demonstrações que comprovem, matematicamente, sua
veracidade?
6) Discuta com o grupo e tente efetuar essas demonstrações, usando corretamente a
linguagem matemática.
177
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural numérico
Pré-requisitos
Análise combinatória
Segmento
Ensino. Médio
Conteúdos abordados
Triângulos de Pascal, combinação simples, equações, expressões algébricas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Para realização dessa atividade, o professor necessitará, no mínimo, de
6h/a e, de preferência, com aulas geminadas, para que não fragmente tanto
o trabalho.
• Fazer interferências apenas quando necessário, deixando que os alunos
procurem uma solução com seus argumentos.
• Durante a realização da atividade, o professor deverá ficar atento para que
os alunos contemplem, em suas observações, as propriedades
fundamentais do Triângulo, os números complementares e a relação de
Sttifel.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá propor, após a realização da atividade, um trabalho
interdisciplinar com a Biologia com o intuito de mostrar uma aplicação para o
conteúdo e avaliar o resultado do trabalho investigativo.
178
Atividade 11
Mesas X Cadeiras
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência abaixo:
Orientações: Nessa atividade, quadrados representam mesas e círculos representam as cadeiras
e, conseqüentemente, o número de pessoas que podem se acomodar às mesas.
1) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 3 mesas?
2) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 4 mesas?
3) Quantas pessoas conseguimos acomodar usando 10 mesas?
4) Quantas mesas são necessárias para acomodar 42 pessoas?
5) É possível acomodar 86 pessoas utilizando essa disposição? De quantas mesas
precisaríamos?
6) Você consegue descrever uma regra que associe, de forma geral, o número de mesas com o
número de pessoas?
Orientações metodológicas
Padrão
Relação objetos
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
E. Fundamental
Conteúdos abordados
Operações, expressões algébricas, equações, funções.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
que conduzam ao êxito da realização da atividade.
• Propor a elaboração de uma tabela poderá auxiliar no raciocínio.
• Propor a verificação do item 6 para validar a relação estabelecida.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá criar outras formas de agrupamento de pessoas com o mesmo
propósito dessa atividade, por exemplo, colocando 6 pessoas em cada mesa.
179
Atividade 12
Hexágonos, triângulos e palitos
Material:
Palitos de fósforo
Desenvolvimento da atividade:
1) Construa sobre sua carteira uma seqüência de triângulos eqüiláteros e, a partir desses
triângulos, construa hexágonos regulares, conforme mostra o desenho abaixo:
...
2) Quantos palitos serão necessários para construirmos uma seqüência com 4 hexágonos?
3) Quantos palitos serão necessários para construirmos uma seqüência com 6 hexágonos?
4) Uma pessoa com 75 palitos conseguirá formar uma seqüência de quantos hexágonos?
5) Quantos palitos serão necessários pra construirmos uma seqüência com 35 hexágonos?
6) Você consegue escrever uma expressão que relacione, de forma geral, o número de
hexágonos e o número de palitos? Como?
7) Verifique a validade da expressão usada por você.
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo palito
Pré-requisitos
Operações básicas, polígonos
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, polígonos, progressões aritméticas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá explorar questões, como: composição de figuras, áreas
e perímetros.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá criar outras figuras para trabalhar com a mesma perspectiva, ou
ainda, explorar, dentro da mesma atividade, o número de triângulos em função dos
hexágonos.
180
Atividade 13
Economia aérea
Desenvolvimento da atividade:
Leia atentamente o problema proposto:
“Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia aérea cobrou de
cada passageiro R$800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago no vôo. Qual deve ser o
número de passageiros para que a companhia tenha lucro máximo?”
Responda aos questionamentos abaixo:
1) Caso o avião faça a viagem completo, ou seja, com todos os lugares ocupados, qual
será o montante arrecadado pela empresa?
2) E tendo apenas um lugar vago, terá uma arrecadação maior ou menor que a anterior?
3) Faça o cálculo agora, para 98 lugares ocupados.
4) O que você fez para efetuar esse cálculo?
5) Agora, complete a tabela abaixo:
Total de
lugares
Total de
lugares vagos
Total de
passageiros
Valor pago por
passageiro
100
0
100
800,00
100
1
99
810,00
100
2
100
3
100
4
100
5
100
...
Total arrecadado pela empresa
6) Você consegue estabelecer uma relação entre o total arrecadado pela empresa e o
número de lugares vagos no vôo? Explique seu raciocínio.
7) Com essa relação, é possível responder ao problema mencionado? Explique.
181
Orientações metodológicas
Padrão
Relação grandezas
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações de 2° grau, funções (valor de máximo)
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• O professor poderá mudar o valor a ser pago por lugar vago e discutir o
lucro da empresa.
• O professor poderá, também, fazer opção por trabalhar o problema sem
questionamentos e deixar que o aluno encontre a solução do problema
fazendo uso ou não da expressão algébrica.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor criar outros tipos de problemas que explorem questões acerca de
máximos e mínimos na função do 2º grau.
182
Atividade 14
Quadrados perfeitos:
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência abaixo:
1) Desenhe a 5ª figura da seqüência. Quantos quadradinhos terá essa figura?
2) Agora, sem desenhar, tente responder: quantos quadradinhos terá a 6ª figura?
3) Com 100 quadradinhos você consegue desenhar uma figura semelhante às da seqüência
acima? Que posição ela ocupará na seqüência?
4) Quantos quadradinhos serão dispostos na 15ª figura?
5) Escreva uma expressão que relacione o número de quadradinhos da base e o total de
quadradinhos da figura?
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural numérico
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressão aritmética.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos elaborem uma tabela para
facilitar a conclusão da atividade.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
Essa atividade proporciona um momento privilegiado de conexão de dois conteúdos
básicos: função do 2º grau e soma dos termos de uma progressão aritmética.
183
Atividade 15
Torre de Hanói
Material:
Jogos da torre de Hanói
Desenvolvimento da atividade:
Distribuir um jogo da Torre de Hanói para cada dupla, contando a história relacionada ao
jogo.
Quebra-cabeça vendido em 1883 como Torre de Brahma. Vinha acompanhado por uma
história (lenda) que dizia:
Num grande templo em Benares (Índia), há uma placa de metal onde estão fixos 3 pinos de
diamantes. No momento da criação, o Deus Brahma colocou 64 discos de ouro puro, o maior
deles na base e os restantes em ordem decrescente de tamanho até o topo. Dia e noite,
incessantemente , os monges se revezavam, transferindo os discos de um pino para o outro,
obedecendo às leis imutáveis fixadas pelo Deus: transferir um disco de cada vez, de modo
que jamais um disco maior seja posto sobre o menor, com o menor número de movimentos.
Quando os 64 discos de ouro forem transferidos do pino em que Deus os colocou, templo e
brâmanes virarão pó e, com um estrondo, o mundo desaparecerá. Se desrespeitassem as leis,
haveria maremoto e terremoto. Quando eles terminassem, o mundo desapareceria. Se a
história fosse verdadeira e os monges conseguissem manter a média de um disco por
segundo, eles levariam muitos bilhões de anos para transferir os 64 discos, ou seja, seriam
18446744073709551615 movimentos, que levariam 584942417355 anos para terminar32.
2) Explicar as regras do jogo:
• Marcar 3 pontos (ABC) no papel.
• Colocar as peças em A, em ordem decrescente, com a maior na base.
• Passar uma de cada vez, na ordem que estão.
• Nunca sobrepor peça maior sobre a menor.
• Mudar a torre de lugar com o menor número possível de movimentos.
32
Texto adaptado de BALDUÍNO, Grazielle Eloísa. Torre de Hanói. Disponível em:
http://www.escoladacrianca.com.br/TORRE%20DE%20HANOI-%20uma%20historia%20divertida.ppt#268.
Acesso em: 10 jul. 2008.
184
3) Complete a tabela abaixo:
Peças
3
Descrição dos movimentos
ABACABA
Nº de movimentos
7 movimentos
4
5
6
4) Responda aos questionamentos:
a) Como são os movimentos das peças?
b) O que acontece com a peça maior?
c) O que acontece com a peça menor?
d) O que acontece com a penúltima peça?
e) Qual a diferença entre o número de movimentos, a partir do momento que você muda a
quantidade de peças?
f) Se dispuséssemos de 10 discos, qual seria o número mínino de movimentos necessários
para a transposição?
g) Você consegue estabelecer uma relação entre o número de discos e o número mínimo de
movimentos necessários?
185
Orientações metodológicas
Padrão
Movimento lúdico
Pré-requisitos
Jogo Torre de Hanói, Potenciação.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, simetria.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
•
Antes do início da atividade, o professor deverá explicar o funcionamento
do jogo para a turma e deixar que os alunos manipulem o jogo por alguns
minutos.
À medida que os alunos vão explorando o jogo, o professor deverá
percorrer os grupos orientando para que os alunos procurem o menor
número de movimento possível.
Para o item 4 g, o aluno deverá elaborar uma tabela para facilitar suas
conclusões.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O jogo poderá ser explorado em séries iniciais apenas como desafio matemático.
186
Atividade 16
Quadrado da soma
Material:
Cartolina, tesoura, régua.
Desenvolvimento da atividade:
Observe as figuras:
2
1
20
5
5
20
3
20
5
1) Desenhe e recorte figuras com as medidas indicadas acima.
Observação: Deverão ser confeccionadas duas figuras iguais à de numero 3.
2) De posse dessas 4 figuras e usando todas elas, monte um quadrado.
3) Você consegue calcular a área total da figura formada?
Observação: Tente fazer esse cálculo usando pelo menos dois procedimentos diferentes.
4) Escreva em seu caderno os procedimentos utilizados.
5) Mude as dimensões das figuras e faça o mesmo procedimento dos itens 2, 3 e 4.
6) Suponhamos que desconhecemos as medidas das figuras e, então, usaremos um símbolo
qualquer para representar o maior lado das figuras e um outro para representar o lado menor.
(Sugestão: a e b, x e y, k e w, b e c etc.) Usando essas medidas, faça o mesmo procedimento
dos itens 2, 3 e 4.
7) A partir dos itens 4, 5 e 6 você conseguiu chegar a alguma conclusão? Descreva-a.
187
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural algébrico
Pré-requisitos
Operações básicas, área de figuras planas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, área de figuras planas, operações com polinômios, produtos
notáveis, composição de figuras.
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Metodologia
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Se for necessário, indicar algumas medidas para que o aluno possa
trabalhar com o item 6.
• Peça que os alunos representem a solução sempre usando dois raciocínios
e que faça o registro de tudo.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá, usando processos similares, desenvolver o quadrado da
diferença e o produto da soma pela diferença de dois termos.
188
Atividade 17
Diagonais
Material :
Folha de papel, régua, lápis, borracha.
Desenvolvimento da atividade:
1) Desenhe em seu caderno polígonos que tenham 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 lados.
2) Nomeie todos os vértices dos polígonos construídos.
3) Trace, nesses polígonos, todas as diagonais possíveis.
4) Construa uma tabela, contendo o número de lados, nome, número de diagonais de cada
vértice e o total de diagonais.
5) Observando a tabela, tente responder aos seguintes questionamentos:
a) Sem desenhar, responda: quantas diagonais tem um icoságono?
b) É possível traçar um polígono que tenha exatamente 740 diagonais? Justifique.
c) E um polígono com 60 diagonais? Justifique.
d) Você consegue estabelecer algebricamente uma relação entre o número de lados e o
número de diagonais de um polígono?
5) Elabore um relatório com as conclusões do grupo.
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural geométrico
Pré-requisitos
Polígonos, operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, cálculo do número de diagonais de um
polígono qualquer.
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Metodologia
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• É interessante que, ao término da atividade, o professor proponha ao aluno
que faça a verificação do item 5 d com o intuito de validar sua conclusão.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Após a realização da atividade, o professor poderá explorá-la em problemas de
contagem simples.
189
Atividade 18
Soma dos ângulos internos de um polígono qualquer
Material :
Folha de papel, régua, tesoura, lápis de cor e cola.
Desenvolvimento da atividade:
1) Desenhe em seu caderno polígonos que tenham 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 , 9 e 10 lados.
2) Usando lápis de cor, pinte cada um dos ângulos internos dos polígonos desenhados.
3) Usando uma tesoura, recorte o polígono de 3 lados.
4) Divida o triângulo em três partes, de modo que cada ângulo interno pertença a uma dessas
partes.
5) Junte os três ângulos e cole a figura em seu caderno.
6) O que você observou?
7) Faça o mesmo procedimento com um polígono de quatro lados.
8) Relate novamente suas observações.
9) Dá para executar o mesmo procedimento com um polígono de 5 lados? E de 6? Por quê?
10) Usando a experiência com triângulos, você consegue descobrir a soma dos ângulos
internos desses dois polígonos? E dos demais?
11) Construa uma tabela em seu caderno semelhante ao modelo projetado abaixo:
Polígono
Número de ângulos
internos
Nº de triângulos
obtidos
**
Soma dos ângulos
internos
12) Observando a tabela, tente responder aos seguintes questionamentos:
a) Sem desenhar, qual a soma dos ângulos internos de um pentadecágono?
b) E de um icoságono?
c) Existe um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos seja 4500º? Justifique
sua resposta.
d) E um polígono cuja soma seja 5100º? Justifique sua resposta.
190
e) Você consegue estabelecer algebricamente uma relação entre o número de vértices e
a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer?
13) Faça um relatório com todas as observações feitas pelo grupo.
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural geométrico
Pré-requisitos
Operações básicas, polígonos, ângulos.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio.
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, soma dos ângulos internos de um
polígono qualquer.
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Metodologia
Orientações
•
complementares
•
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos façam a verificação do item 12 d
para validar a expressão.
É importante que o professor conduza a turma para que todos percebam a
possibilidade de dividir a figura em triângulos que tenham como vértice
parte de um dos vértices da figura e que nenhum deles tenha área em
comum.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
Com base nessa atividade, o professor poderá conduzir a turma para que
determinem uma expressão para o cálculo de um ângulo interno de um polígono
regular. Poderá explorar, ainda, a soma dos ângulos externos e central.
191
Atividade 19
Triângulo de Sierpinsk
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
1) Quantos triângulos brancos aparecem na segunda figura?
2) E na figura de número 4?
3) Continuando a seqüência e utilizando o mesmo padrão, quantos triângulos brancos
aparecem na quinta figura?
4) Existirá alguma figura nessa seqüência contendo 243 triângulos brancos? Se existir, que
ordem ela ocupará? Explique seu raciocínio.
5) Você consegue estabelecer uma relação entre o número de triângulos brancos e a ordem
ocupada pela figura na seqüência?
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo fractal
Pré-requisitos
Operações básicas, fatoração
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio.
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressões geométricas.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos façam a verificação do item 5
para validar a expressão.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O triângulo usado nesse experimento é denominado triângulo de Sierpinsk (criado
por Waclaw Sierpinski). Cada triângulo obtido é uma réplica do original, por isso,
caracteriza-se como um fractal. A palavra fractal vem do latim e significa
“fragmento”. É um experimento que pode ser usado também na abordagem de soma
de progressões geométricas infinitas.
192
Atividade 20
Cestarias
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
1) Indique o número de quadradinhos brancos e pretos que aparecem na primeira figura.
2) E na figura de número 3, quantos aparecem?
3) Seguindo esse mesmo padrão de cestaria, como ficaria a quarta figura? Faça o desenho e,
em seguida, responda: quantos quadradinhos pretos e quantos quadradinhos brancos aparecem
nessa figura?
4) Se uma figura apresenta 36 quadradinhos brancos, quantos serão os pretos?
5) Se uma figura apresenta 100 quadradinhos pretos, quantos serão os brancos?
6) Você conseguiu estabelecer uma relação entre o número de quadradinhos brancos, pretos e
a posição ocupada pela figura na seqüência? Explique seu raciocínio.
7) Verifique a veracidade para todas as figuras desenhadas.
193
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo cestas
Pré-requisitos
Operações básicas, fatoração
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio.
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos elaborem uma tabela contendo o
número da figura, quadradinhos brancos e pretos, isso facilitará o sucesso
na conclusão da atividade.
Se necessário for, peça aos alunos que desenhem outras figuras da
seqüência até que todos, mesmo que apenas verbalmente, consigam
identificar o padrão e estabelecer a generalização.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá criar outros modelos de cestaria para explorar questões com
essa perspectiva. Também poderá abordar, incluindo outros questionamentos, o
conteúdo de progressões aritméticas e/ou geométricas.
194
Atividade 21
Faixa Decorativa 2
Desenvolvimento da atividade:
Observe o desenho:
1) Qual é a cor do quadradinho localizado na 1ª linha e 4ª coluna?
2) Continuando a seqüência, qual deverá ser a cor do quadradinho localizado na 1ª linha e 8ª
coluna?
3) E o localizado na 1ª linha e 20ª coluna?
4) É possível determinar a cor do quadradinho da 67ª coluna, ainda na 1ª linha? E na 4ª linha?
5) Observando ainda apenas a primeira linha, você consegue descrever alguma regularidade?
Descreva-a.
6) Conhecida a cor do quadradinho de uma coluna qualquer na 1ª linha, é possível determinar
os demais que se localizarem na mesma coluna? Como?
7) Que cor terá o quadradinho localizado na 102ª coluna e 3ª linha? Justifique sua resposta.
8) Uma faixa constituída por quatro colunas é dita completa, pois apresentará um eixo de
simetria. Isso não acontecerá com uma faixa de cinco colunas. Uma faixa constituída por 43
colunas poderá ser classificada como completa? Justifique.
9) É possível determinar um padrão de regularidade para uma faixa completa? Qual seria?
195
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo mosaico
Pré-requisitos
Operações básicas, simetria
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio.
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressões aritméticas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
•
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos elaborem uma tabela contendo
posicionamento coluna/linha, cor do quadradinho. Isso facilitará o sucesso
na conclusão da atividade.
Se necessário for, peça aos alunos que desenhem outras figuras da
seqüência até que todos, mesmo que apenas verbalmente, consigam
identificar o padrão e estabelecer a generalização.
O professor poderá solicitar que a turma verifique a expressão estabelecida
nos itens 5 e 9.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
É possível, ainda, explorar, com essa atividade, a relação entre o total de
quadradinhos brancos e pretos. O professor poderá criar outras faixas decorativas e
explorar outros padrões de regularidade.
196
Atividade 22
Seqüência Numérica.
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
2 , 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , ...
1) Qual será o 7º termo dessa seqüência?
2) O número 97 estará presente nessa seqüência? Explique.
3) Qual seria sua ordem?
4) E o número 238? Por quê?
5) Que número ocupará a 105ª posição? Justifique sua resposta.
6) Você percebeu alguma regularidade na seqüência? Qual?
7) Escreva uma expressão que relacione o número à posição que ele ocupará na seqüência.
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico seqüencial
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio.
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressões aritméticas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá propor que os alunos que verifiquem o item 8 para
validar a expressão encontrada.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá explorar inúmeros exemplos de seqüências como essa e/ou
seqüências com características de progressões geométricas e estabelecer uma
conexão entre os dois conteúdos: funções e seqüências.
197
Atividade 23
Produtos Legais
Desenvolvimento da atividade:
Observe os produtos:
9 x 9 = 81
9 x 99 = 891
9 x 999 = 8991
9 x 9999 = 89991
9 x 99999 = 899991
2) Qual será o resultado do produto de 9 por 999.999?
3) E o resultado de 9 x 99.999.999.999?
4) Qual é o número que multiplicado por 9 terá como resultado 8.999.999.991? Explique o
raciocínio usado.
5) Verifique a veracidade de seu raciocínio para outros produtos.
6) Determine a soma dos valores absolutos do resultado do produto abaixo:
9 x 9999...9
14 2 43
2008 vezes
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico operacional
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Cálculo mental
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá fazer alguns questionamentos que leve os alunos a
investigarem as causas que levam o produto a apresentar sempre essa
regularidade.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
Outras multiplicações com resultados regulares podem ser exploradas em sala de
aula com essa mesma perspectiva.
198
Atividade 24
Rotação nos hexágonos.
Etapas:
1) Observe a seqüência:
...
Utilizando o esquema abaixo para representar as posições dos triângulos eqüiláteros no
hexágono, responda aos questionamentos.
T2
T3
T1
T4
T6
T5
1) No desenho número 6, qual triângulo deverá ser colorido? De que cor?
2) E no desenho de número 12?
3) Continuando a seqüência e obedecendo ao padrão apresentado, qual será a região e a cor
utilizada para colorir o 20º desenho?
4) O 58º desenho apresentará qual região colorida e de que cor?
5) Nas 50 primeiras figuras, quais terão a região T2 colorida de amarelo?
6) Você consegue descrever uma generalização que aponte todos os hexágonos que terão a
região T2 colorida?
7) Você consegue descrever uma relação entre a posição do hexágono e a cor utilizada para
colorir o triângulo interno?
199
Orientações metodológicas
Padrão
Movimento figurativo
Pré-requisitos
Polígonos, operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressões aritméticas, movimento de
rotação
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Metodologia
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• O professor deverá ficar atento, pois a atividade explora dois padrões
simultâneos: posicionamento e cor.
• Propor aos alunos que construam uma tabela para contribuir com o êxito
da atividade.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Apesar de a atividade propor que o aluno estabeleça a regularidade apenas acerca
da região T2 e as cores, o professor poderá explorar todas as regiões do hexágono.
200
Atividade 25
Conjunto das partes
Desenvolvimento da atividade:
1) Dados os conjuntos, determine todos os seus subconjuntos:
A = {1}
P (A) = {∅, {1}}
B = {1 , 2}
P (B) = {∅, {1} , {2} , {1 , 2}}
C = {1 , 2 , 3}
D = {1 , 2 , 3 , 4}
P(C) = {...}
P (D) = {...}
2) Quantos elementos tem o conjunto A? E P (A)?
3) Quantos elementos tem o conjunto B? E P (B)?
4) Descreva os conjuntos P (C) e P (D) .
5) Construa uma tabela representando o conjunto, o seu número de elementos e o número de
elementos de suas partes, conforme modelo abaixo:
Conjunto
Número de elementos
Total de subconjuntos
6) Um conjunto com 6 elementos terá quantos subconjuntos? Explique seu raciocínio.
7) Sabendo que um determinado conjunto apresenta 256 subconjuntos, determine o número
de elementos desse conjunto. Explique seu raciocínio.
8) Você consegue estabelecer uma relação entre o número de elementos do conjunto e o seu
total de subconjuntos. Descreva-a.
201
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural numérico
Pré-requisitos
Operações básicas, Conjuntos
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e E. Médio
Conteúdos abordados
Conjunto das partes de um conjunto, expressões algébricas, funções
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá fazer, com essa atividade, uma conexão entre os conteúdos
conjuntos e funções exponenciais.
202
Atividade 26
Números e formas
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
...
1) Continuando a seqüência e usando o mesmo padrão apresentado, que forma terá a 7ª
figura? E a figura de número 15?
2) Em uma seqüência de 2007 figuras, quantas vezes aparecerá a forma triangular? Explique
seu raciocínio.
3) Que posição na seqüência ocupará o 12º triângulo? Explique.
6) Você consegue estabelecer uma relação entre a figura triangular e as posições ocupadas?
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico geométrico
Pré-requisitos
Operações básicas, formas geométricas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Expressões algébricas, equações, funções, progressões aritméticas.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• O professor também poderá propor a elaboração de uma tabela para
facilitar no sucesso da atividade.
Relatório, Observação e/ou plenária.
Apesar de a atividade contemplar apenas a posição da figura triangular, o professor
ainda poderá explorar as figuras: trapézio, círculo e hexágono, bem como poderá
criar outras seqüências utilizando-se de outras figuras com o mesmo propósito.
Poderá, ainda, alternando as cores das figuras comuns, estabelecer uma relação
entre as cores e a posição ocupada, ou ainda, entre as figuras e as cores.
203
Atividade 27
Números triangulares
Desenvolvimento da atividade:
Observe a seqüência:
...
1) Construa uma tabela estabelecendo uma relação entre a posição ocupada pela figura na
seqüência e o total de pontos traçados.
Posição
1
2
3
...
Total
1
3
6
...
2) Quantos pontos terá a 5ª figura da seqüência?
3) Existirá alguma figura nessa seqüência com 55 pontos? Que posição ela ocupará?
4) E com 212 pontos? Justifique sua resposta.
5) Você consegue determinar o total de pontos da 200ª figura? Explique seu raciocínio.
6) É possível estabelecer uma generalização para esse padrão? Explique
7) Confirme a veracidade de sua generalização para as 10 primeiras figuras.
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural numérico
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e E. Médio
Conteúdos abordados
Números, expressões algébricas, equações, progressões aritméticas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• A atividade poderá ser usada na abordagem de soma de progressões
aritméticas.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá abordar seqüência de outros números figurados com essa
mesma perspectiva.
204
Atividade 28
Armários e Estudantes
Desenvolvimento da atividade:
Faça uma leitura com bastante atenção no texto descrito abaixo:
Uma escola tem exatamente 100 armários e 100 estudantes. No primeiro dia de aula os
estudantes encontraram-se fora do prédio e concordaram no seguinte plano: o primeiro
estudante entrará na escola e abrirá todos os armários. O segundo aluno entrará e fechará
todos o armários com números pares (2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,...). O terceiro aluno, então, inverterá
o que tiver sido feito a cada 3 armários (no 3º , 6º , 9º ,...). O quarto aluno inverterá o que
tiver sido feito a cada 4 armários (no 4º , 8º , 12º. 16º, ...) e assim por diante. Após todos os
alunos terem entrado e realizado suas tarefas, como estará o armário de número 100: aberto
ou fechado?
1) Antes de responder à questão proposta, faça o que se pede:
a) Quando o 8º aluno entrar, o armário de número 8 ficará aberto ou fechado?
b) É possível que alguém, depois do 8º aluno, inverta a ordem desse armário?
Justifique sua resposta.
c) Quando o 18º aluno entrar, como ficará o 18º armário? Aberto ou fechado?
Explique seu raciocínio.
d) Esse mesmo raciocínio poderá ser usado para descobrir a situação do 48º armário
na entrada do 48º aluno?
e) Construa uma tabela mostrando essa movimentação para os 15 primeiros alunos e
15 primeiros armários.
2) Agora, você consegue responder o questionamento do problema? Explique seu
raciocínio.
3) É possível construir uma generalização para essa situação a partir do problema
proposto?
205
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico seqüencial
Pré-requisitos
Operações básicas, múltiplos
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Múltiplos, expressões algébricas, equações
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
O professor poderá fazer uma analogia entre essa atividade e a construção
de uma matriz e/ou funções definidas por mais de uma condição.
O professor poderá também apenas propor o problema e deixar que os
alunos discutam sobre sua resolução.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
Vários problemas de lógica, algébricos, geométricos ou numéricos podem ser
facilmente resolvidos a partir de uma generalização.
206
Atividade 29
Contagem das Linhas
Desenvolvimento da atividade:
1) Usando uma régua, trace tantas linhas quantas puder, cruzando pares de pontos localizados
nas seções marcadas, como exemplificado abaixo, nas três primeiras figuras. Conte o número
de linhas, construa uma tabela e anote os resultados encontrados:
2) Sem marcar os pontos e/ou traçar as linhas correspondentes, responda:
a) Quantas linhas poderiam ser traçadas com 8 pontos? E com 10 pontos?
b) Imagine agora, 100 pontos. É possível determinar o número de linhas sem traçá-las?
c) Quantos pontos precisariam para traçar 55 linhas? Justifique sua resposta.
3) É possível estabelecer uma relação entre o número de pontos e o total de linhas? Como?
207
Orientações metodológicas
Padrão
Figurativo geométrico
Pré-requisitos
Fundamentos da geometria plana.
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Geometria plana, expressões algébricas, equações, progressões aritméticas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá explorar conceitos como: diagonais, construção de retas,
posicionamento de duas retas.
208
Atividade 30
Operações curiosas
Desenvolvimento da atividade:
1) Resolva corretamente e anote o resultado encontrado para as seguintes operações:
65 2 =
75 2 =
45 2 =
85 2 =
135 2 =
115 2 =
2) Agora, mentalmente ,você consegue estabelecer um valor para 952? E para 165 2?
3) Explique o processo que você está usando para realizar essas operações.
4) Existe alguma relação entre o resultado e os números envolvidos na multiplicação? Qual
seria?
5) Essa relação existirá para a potência 1252? E para 1522? Justifique suas respostas.
Orientações metodológicas
Padrão
Numérico operacional
Pré-requisitos
Operações básicas
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Potenciação, cálculo mental, produtos notáveis.
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
•
complementares
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
Para essa atividade, o professor deverá utilizar a calculadora como
ferramenta de trabalho, afinal o essencial aqui é a investigação.
Avaliação
Relatório, Observação e/ou plenária.
Outras possibilidades
O professor poderá explorar outros exercícios com atividade similares. Por
exemplo: o produto 892 = (90 – 1)2. Por meio de uma exploração acerca de produtos
notáveis, o professor estimulará o cálculo mental.
209
Atividade 31
O Jogo de Xadrez
Desenvolvimento da atividade:
1) Contar para os alunos a lenda da origem do xadrez:
[...] O semblante do rei da Índia mostrava espanto e admiração. Com os olhos fixos no
tabuleiro, ele procurava compreender os movimentos das peças: reis, rainhas, bispos,
cavalos, torres, peões. Que engenhosa invenção?
Ficou ainda mais satisfeito quando lhe contaram que o criador do jogo era um súdito
de seu reino: Sessa, professor de Matemática e Ciências. Solicitou que o trouxessem
imediatamente à sua presença!
Sessa era um verdadeiro sábio, calmo e digno, que enfrentava o soberano com os
olhos francos e ar sereno.
Com nenhum de seus súditos o rei havia sido tão benevolente. Fez perguntas sobre o
jogo, falou do apreço que tinha pela ciência, do respeito que dedicava aos que cultivavam o
saber. No final da conversa, fez um generoso oferecimento:
- Sessa, quero recompensá-lo por sua invenção. Peça o que desejar, nada lhe será
negado.
Sessa pensou um pouco e pediu um dia de prazo para a resposta.
O soberano admirava as pessoas prudentes e agradou-lhe ver que Sessa não queria
desperdiçar a grande oportunidade da sua vida.
No dia seguinte, o sábio dirigiu-se ao rei e solenemente fez seu pedido:
- Quero um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois grãos pela segunda
casa, quatro pela terceira, oito pela quarta e assim sucessivamente, até a última casa do
tabuleiro.
O rei permaneceu calado algum tempo. Que decepção! Oferecera tanto e obtivera
como resposta um pedido tão pequeno. Como podia aquele súdito ser assim mesquinho,
desdenhar de tal forma sua generosidade?
Com um simples gesto de mão despediu-se de Sessa, dizendo-lhe que os matemáticos
do reino calculariam o total de grãos de trigo e ele receberia imediatamente a recompensa.
Um rápido brilho passou pelos olhos de Sessa, mas o rei não soube interpretá-lo.
Algumas horas depois, perguntou a seu ministro se o trigo havia sido entregue a
Sessa. Um pouco constrangido, o funcionário respondeu que não, que os matemáticos ainda
estavam fazendo as contas.
O rei franziu a testa com desagrado. Não admitia que suas ordens demorassem tanto
a ser cumpridas. Que os cálculos fossem acelerados!
Na manhã seguinte, os matemáticos foram falar com ele. Pela expressão grave e
sombria de cada um, o rei logo percebeu que havia alguma coisa errada. Mas nunca poderia
adivinhar o que lhe disse o mais brilhante matemático do reino:
- Majestade, Sessa nunca poderá receber sua recompensa! A quantidade de grãos
pedida é tão grande que nem em todos os celeiros do mundo existe tanto grão de trigo. Seria
necessário secar todos os rios, lagos, mares e oceanos, fundir o gelo neve no norte, cobrir de
searas toda a superfície da Terra e entregar-lhe cada grão colhido!
210
Nesse momento, o rei lembrou-se da expressão que vira no rosto de Sessa. Que
grande astucioso! Enganara a todos, fingindo-se modesto.
Não era possível atender ao pedido como havia sido feito, mas era preciso premiar a
notável inteligência de Sessa. Que ele recebesse uma quantidade tão grande de moedas que
pudesse ter uma vida tranqüila e continuasse a inventar jogos como aquele33.
2) Construa uma tabela, identificando a ordem, o número de grãos recebidos por aquela casa e
o total de grãos recebidos.
Ordem da casa
Nº de grãos da
Total de grãos
casa
recebidos
01
01
01
02
02
01 + 02 = 03
03
04
01 + 02 + 04 = 07
04
........
05
........
06
........
......
........
3) Quantos grãos Sessa deveria receber pela 8ª casa do tabuleiro?
4) Qual o total de grãos recebidos pelas oito primeiras casas?
5) Existe alguma casa em que Sessa receberia o equivalente a 1024 grãos de trigo? Qual a
ordem dessa casa? Explique seu raciocínio.
6) Quantos grãos Sessa deveria receber pela 64ª casa do tabuleiro?
7) Qual o total de grãos recebidos até a casa de ordem 64?
8) Você consegue estabelecer uma relação entre a ordem da casa e o número de grãos
recebidos nela? E com o total?
9) Utilizando a relação estabelecida no exercício anterior, calcule o total de grãos recebidos
por Sessa até a 30ª casa do tabuleiro.
33
Texto extraído e adaptado: GUELLI, O. Contando a história da Matemática, São Paulo: Ed. Ática,V.4,
2000, p.7.
211
Orientações metodológicas
Padrão
Estrutural numérico
Pré-requisitos
Operações básicas,
Segmento
Séries finais do E. Fundamental e/ou E. Médio
Conteúdos abordados
Potenciação, expressões algébricas, equações, funções, progressões geométricas
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• O professor poderá utilizar-se, para a realização dessa atividade,
ferramentas como calculadora e/ou computador para auxiliar nos cálculos.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá propor à turma a construção de um gráfico que represente a
situação problema e discutir questões acerca da interpretação do mesmo.
212
Atividade 32
Animação
Desenvolvimento da atividade:
Observe a animação produzida pelo desenho abaixo:
...
1) Se continuarmos a animação obedecendo à mesma seqüência, em que posição estará a 8 ª
criança? E a 10 ª?
2) Em um grupo de exatamente 12 crianças, quantas estarão de pé?
3) Qual será a posição da 20ª criança?
4) É possível que a 46ª criança esteja de cabeça para baixo? Explique seu raciocínio.
5) Em um grupo de 15 crianças, quantas estarão deitadas em qualquer posição? E com a
cabeça voltada para a esquerda?
6) Você consegue dizer rapidamente se a 96ª criança estará de pé? Explique seu raciocínio.
7) Você consegue escrever uma regra que determine a posição de todas as crianças que
estarão de pé? E de cabeça para baixo?
Orientações metodológicas
Padrão
Movimento figurativo
Pré-requisitos
Operações básicas, múltiplos
Segmento
Séries finais do E. Fundamental
Conteúdos abordados
Múltiplos, expressões algébricas, equações, funções
Metodologia
Trabalho em grupo utilizando abordagem exploratório-investigativa
Orientações
complementares
Avaliação
Outras possibilidades
•
Caso seja necessário, o professor poderá propor outros questionamentos
para o sucesso da atividade.
• O professor poderá ainda sugerir que os alunos confirmem a veracidade da
expressão apresentada no item 7.
Relatório, Observação e/ou plenária.
O professor poderá elaborar outras seqüências de animações como essa e trabalhar
nessa mesma perspectiva.