Equações de
diferenças
Profa: Ana Maria Luz
2013.2
Tempo Discreto
A variação temporal envolvida em modelos econômicos, podem ser de duas
formas:
1) quando o tempo varia continuamente, a variação é uma grandeza
infinitesimal, daí, a mudança na variável dependente é descrita por derivadas
ou diferenciais;
2) quando o tempo é considerado uma variável discreta, ou seja, t assuma
apenas valores inteiros, o conceito de derivada perde sua aplicabilidade e o
padrão de mudanças da variável dependente é descrito pelas chamadas
diferenças.
Neste sentido, o modelo dinâmico que procura determinar a trajetória no
tempo, é descrito pelas equações de diferenças. Neste caso, a variável
dependente só assume um valor diferente no tempo quando t muda de um
valor inteiro para outro. Sob este ponto de vista, é mais conveniente
interpretarmos valores de t relacionados a períodos de – ao invés de pontos
no – tempo. Assim, quando denotamos t = 1, significa período 1, t =2, período
2, e sucessivamente. Entretanto, este “período” nem sempre é usado no
sentido do calendário, mas no sentido analítico.
Equações de diferenças de
1ª ordem
A mudança de tempo contínuo para discreto não produz nenhum efeito
sobre a natureza básica da análise dinâmica, apesar de alterar a sua
formulação.
O padrão de mudança, agora é representado pelo quociente diferencial
Δy/Δt, que é o análogo discreto da diferencial dy/dt.
Como t só pode assumir valores inteiros, necessariamente Δt = 1, por isso
o quociente diferencial se torna simplesmente Δy.
Naturalmente, a expressão Δy pode assumir vários valores, dependendo
de 2 períodos consecutivos envolvidos na extração da diferença. Para
indicar o período a que se refere a diferença indicamos por um índice
subscrito na variável dependente e definiremos a diferença de primeira
ordem na forma específica:
Δyk = yk+1 – yk
(1)
onde yt indica o valor de y no t-ésimo período e yt+1 o seu valor no período
seguinte.
Com esta notação, podemos descrever o padrão de mudanças de y na
forma:
Δyk = 2, ou Δyk = – 0,1yk
(2)
Equações de diferenças de
1ª ordem
Podemos obter as equações de diferenças como aproximações
das equações diferenciais continuas. Considere o seguinte
exemplo:
dy/dt=λy
lim
t 0
y(t  t) - y(t)
  y (t )
t
Queremos uma análise discreta do problema, t só assume valores
inteiros, como se y(t)=y(k∆t) (necessariamente Δt = 1)
y
∆t
t
Equações de diferenças de
1ª ordem
dy y (t  t )  y (t )

dt
t
dy y (kt  t )  y (kt )

dt
t
Se usarmos a notação que yk=y(k∆t) então obtemos que
dy yk 1  yk

dt
t
Logo uma aproximação para dy/dt=λy seria
yk 1  yk
 y k
t
yk 1  (1  t ) yk
y(t)=y(k∆t)
Equações de diferenças de
1ª ordem
Obtemos uma equação de diferenças de 1ª ordem que
aproxima uma equação diferencial de 1ª ordem
dy
 f (t , y )  y
dt
yk 1  f (kt , yk )  1  t ) yk
Uma solução de equação de diferenças acima é uma
sequência de números y0,y1,y2,...
Equações de diferenças de
1ª ordem
Para o exemplo anterior temos que a solução é dada pela seqüência:
yo
y1  1   ) yo
y2  1   ) y1  1   ) 2 yo

yk  1   ) yk 1  1   ) k yo
Este processo é conhecido como método iterativo.
Outra forma de se obter a expressão geral da seqüência que é solução da
equação de diferenças de 1ª ordem é explicado a seguir.
Soluções de Equações de
diferenças de 1ª ordem
O método geral para obter a solução de uma equação de
diferenças de primeira ordem na forma linear:
yk+1 + ayk = b (3)
onde a e b são constantes arbitrárias, consiste em
construir uma solução de duas componentes: uma
função yp que é solução particular da equação nãohomogênea completa (3) e uma função complementar
yc que é solução geral da equação reduzida:
yk+1 + ayk = 0
(4)
A função complementar é da forma da solução obtida no
exemplo, ou seja,é da forma yc = Ark, que em (4) – já
que deve satisfazer a equação homogênea – se torna:
A (r)k+1 + a A (r)k = 0 ⇒ r = – a ⇒ yc = A(– a)k
Soluções de Equações de
diferenças de 1ª ordem
A função particular, que está relacionada com a equação
completa, pode ser escolhida por qualquer tentativa que
satisfaça (3), a mais simples é yp = C, que em (4):
C + aC = b ⇒ C(1+a) =b ⇒ C=b/(1+a) se (a ≠ -1)
Se a = -1, devemos tentar yp = kC. Daí, em (3) temos:
C(k+1) + akC = b ⇒ C(k+1) + (-1)kC = b ⇒C=b.
Portanto, yp = kb . Assim, somando yc e yp obtemos a
solução geral dada por:
solução geral, no caso em que a ≠ -1
yk = A(-a)k + b/(1 + a) (5)
yk = A(-a)k + kb = A[-(-1)]k + kb (6)
solução geral, no caso em que
a = -1
Soluções de Equações de
diferenças de 1ª ordem
Se tivermos uma condição incial yk=yo
quando k=0 substituindo em (5) e (6)
obtemos que:
 No caso que a≠-1
y0 = A + b/(1 + a) ⇒A= y0-b/(1+a)
⇒yk=( y0 -b/(1+a) )(-a)k+ b/(1+a)
 No caso em que a=-1
y0 = A ⇒yk= yo[-(-1)]k + kb
Equações de diferenças de
2ª ordem
Motivação: Considere a EDO de 2ª ordem:
y’’+p y’+q y=g
y´´=f(t,y,y´)
y' (t  t) - y' (t)
lim
 f (t , y, y ' )
t 0
t
d 2 y y' (t  t )  y ' (t )

2
dt
t
Equações de diferenças de
2ª ordem
Exemplo: y’’=-y
y ' (t  t )  y ' (t )
 y (t )
t
y (( t  t )  t )  y (t  t ) y (t  t )  y (t )

  y (t )
2
2
t
t
y (t  2t )  2 y (t  t )  y (t )
  y (t )
2
t
yk  2  2 yk 1  yk   yk
yk  2  2 yk 1  2 yk  0
t=k∆t
y(t)=y(k ∆t)
yk=y(k ∆t)
Equações de diferenças de
2ª ordem
yk+2=f(k∆t, yk ,yk+1)
Se f for linear de um modo geral temos
yk 2  pyk 1  qyk  g (7)
Aqui assim como no caso da equação de diferenças de
primeira ordem a solução é da forma:
yk= solução do caso homogêneo (yc) + solução particular (yp)
Soluções de Equações de
diferenças de 2ª ordem
O caso homogêneo:
yk  2  pyk 1  qyk  0
(8)
tem como candidato a solução yc = Ark
substituindo em (8) obtemos a equação
Ark(r2+pr+q)=0 ⇒r2+pr+q=0
Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas r1 e r2
yc = A1r1k+A2r2k
Soluções de Equações de
diferenças de 2ª ordem
Caso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas r1=r2
yc = A3r1k+A4 k r2k
Caso 2: (p2-4q<0) Duas raízes complexas
conjugadas
r1=a+bi r2=a-bi
Usando a Fórmula de De Moivre
(a+bi)k=Rk(cos(θk)+i sen(θk) ) temos que
yc=Rk(A5cos(θk)+A6 sen(θk) )
R  a2  b2 cos(θ)=a/R sen(θ)=b/R
Soluções de Equações de
diferenças de 2ª ordem
Candidato a solução particular: yp = C.
Substituindo em (7) obtemos
g
( p  q  1)
C+pC+Cq=g ⇒ C 
1 p  q
Caso p+q=-1 a solução experimental yp = C não
funcionará e tentaremos yp = kC. Substituindo
obtemos
(k+2)C+p(k+1)C+qkC=g
C[(p+q+1)k+2+p]=g. Como p+q=-1 temos
g
C
( p  2)
2 p
Soluções de Equações de
diferenças de 2ª ordem
Caso p+q=-1 e p=-2 a solução
experimental yp = kC não funcionará
então podemos tentar para solução
particular yp = k2C...
Referências
Matemática para Economistas: A.
Chiang. Editora Mc Graw Hill
 Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno.
Boyce e Di Prima
