Aula 15: O Método do Lugar das Raízes: Introdução. Diagramas de Lugar das Raízes.
Dois exemplos ilustrativos.
O MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES
1. INTRODUÇÃO
A característica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada é
determinada a partir dos pólos da malha fechada. Portanto, em problemas de análise, é
importante localizar os pólos em malha fechada no plano s. No de projeto de sistemas em
malha em malha fechada, queremos ajustar os pólos e zeros de malha aberta de modo a
colocar os pólos e zeros em malha fechada nas posições desejadas do plano s.
Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica. Para determinálos necessitamos fatorar o polinômio característico. Em geral, este procedimento é
trabalhoso se o grau do polinômio característico é três, ou maior. As técnicas clássicas de
fatoração de polinômios não são convenientes porque conforme varia o ganho da função de
transferência em malha aberta, devem ser repetidos os cálculos.
Um método simples para determinar as raízes da equação característica foi
desenvolvido por W. R. Evans e é extensivamente usado em engenharia de controle. Este
método, denominado método do lugar das raízes, é um método pelo qual as raízes da
equação característica são colocadas em um gráfico para todos os valores de um parâmetro
do sistema. As raízes correspondentes a um valor particular deste parâmetro podem então
ser localizadas no gráfico resultante. Note que o parâmetro usualmente é o ganho, porém
qualquer outra variável da função de transferência em malha aberta pode ser utilizada.
Salvo menção em contrário, suporemos que o ganho da função de transferência em malha
fechada é o parâmetro a ser variado através de todos os seus valores, isto é, de zero a
infinito.
Método do lugar das raízes
A idéia básica na qual se baseia o método do lugar das raízes é que o valor de s
que faz a função de transferência pelo laço ser igual a -1 deve satisfazer a equação
característica do sistema.
O lugar das raízes da equação característica do sistema em malha fechada,
conforme o ganho é variado desde zero até infinito, dá ao método o seu nome. O gráfico
correspondente mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de malha aberta
nas localizações dos pólos em malha fechada.
O método do lugar das raízes nos possibilita determinar os pólos em malha
fechada a partir dos pólos e zeros de malha aberta, considerando o ganho como parâmetro.
Consequentemente, evita dificuldades inerentes às técnicas clássicas, fornecendo uma
imagem gráfica de todos os pólos de malha fechada para todos os valores do ganho da
função de transferência em malha aberta.
No projeto de um sistema de controle linear, verificamos que o método do lugar
das raízes se torna muito útil desde que indica a maneira pela qual os pólos e zeros em
malha aberta devem ser modificados de modo que a resposta satisfaça as especificações de
64
desempenho do sistema. Este método é particularmente conveniente para se obter
resultados aproximados muito rapidamente.
Desde que o método é gráfico na determinação das raízes da equação
característica, ele fornece um procedimento gráfico eficaz para determinar as raízes de
qualquer equação polinomial que resulte de um estudo de sistemas físicos.
Esboço do assunto a ser abordado
Na Seção 2 introduziremos os conceitos que sustentam o método do lugar das
raízes. A Seção 3 apresenta o procedimento geral para esboçar os lugares das raízes.
Seguindo esta apresentação, na Seção 4 analisaremos sistemas de malha fechada pelo uso
do método do lugar das raízes (a abordagem de lugar das raízes no projeto de sistemas será
discutida futuramente).
2. DIAGRAMAS DE LUGAR DAS RAÍZES
Condições de ângulo e amplitude
Considere o sistema indicado na fig.1. A função de transferência em malha
fechada é
C (s )
G (s )
=
.
R(s ) 1 + G (s )H (s )
(1)
A equação característica para este sistema em malha fechada é obtida igualando-se
o denominador da fração do segundo membro da Eq. 1 a zero. Isto é
1 + G (s )H (s ) = 0
ou
G (s )H (s ) = −1 .
(2)
Desde que G (s )H (s ) é uma quantidade complexa, a Eq. 2 deve ser desmembrada
em duas equações a fim de se igualar os ângulos e os módulos de ambos os membros da
equação, respectivamente, para obter
Condição de ângulo:
∠G (s )H (s ) = ±180(2k + 1)
(k = 0,1, 2,L) .
(3)
Condição de módulo:
G (s )H (s ) = 1 .
(4)
65
Os valores de s que satisfazem as condições de ângulo e módulo são as raízes da
equação característica, ou os pólos de malha fechada. Um gráfico (ou diagrama) dos pontos
do plano complexo que satisfazem apenas a condição do ângulo é o lugar das raízes. As
raízes na equação característica (os pólos em malha fechada) correspondentes a um dado
valor do ganho podem ser determinadas a partir da condição de módulo. Os detalhes da
aplicação das condições de ângulo e módulo a fim de se obter os pólos em malha fechada
estão apresentados na Seção 3.
Fig. 1 - Sistema de controle.
Gráfico de lugar de raízes para sistemas de segunda ordem
Antes de apresentarmos um método para construção destes gráficos em detalhes,
será ilustrado um gráfico do lugar das raízes para um sistema simples de segunda ordem.
Considere o sistema indicado na fig. 2. A função de transferência em malha aberta
G (s )H (s ) é
G (s )H (s ) =
K
.
s (s + 1)
A função de transferência em malha fechada é
C (s )
K
.
= 2
R (s ) s + s + K
A equação característica é
s2 + s + K = 0.
(5)
Fig. 2 - Sistema de controle.
Desejamos determinar o lugar das raízes desta equação conforme K varia desde
zero até infinito.
66
A fim de ilustrar claramente qual o aspecto do gráfico do lugar das raízes para este
sistema, obteremos inicialmente as raízes da equação característica analiticamente em
termos de K, e então variaremos K desde zero até infinito. Deve ser notado que este não é o
modo apropriado para construir o gráfico do lugar das raízes. O modo apropriado é através
de uma abordagem gráfica de tentativa e erro, e o trabalho gráfico pode ser muito
simplificado aplicando-se as regras gerais a serem apresentadas na Seção 3 (obviamente, se
puder ser encontrada facilmente uma solução analítica para as raízes da equação
característica, não há necessidade de se utilizar o método do lugar das raízes). As raízes da
equação característica, Eq. (5), são
1 1
1 − 4K ,
s1 = − +
2 2
1 1
s2 = − −
1 − 4K .
2 2
As raízes são reais para K ≤ 1 / 4 e complexas para K > 1 / 4 .
O lugar das raízes correspondente a todos os valores de K está indicado na Fig,
3(a). O lugar das raízes está graduado com K como parâmetro (o movimento das raízes
conforme K aumenta é indicado por setas). Uma vez desenhado o gráfico, podemos
imediatamente determinar o valor de K que fornecerá uma raiz, ou um pólo em malha
fechada, em um ponto desejado. Desta análise, é claro que os pólos em malha fechada
correspondentes a K = 0 são os mesmos pólos de G(s)H(s). Conforme o valor de K aumenta
desde zero até 1/4, os pólos de malha fechada movem-se para o ponto (-1/2;0). Para valores
de K entre zero e 1/4, todos os pólos de malha fechada estão sobre o eixo real. Esta é a
situação correspondente a um sistema superamortecido, e a resposta impulsiva não é
oscilatória. Em K = 1/4, os dois pólos de malha fechada reais se igualam. Esta situação
corresponde ao caso do sistema criticamente amortecido. Conforme K aumenta a partir de
1/4, os pólos de malha fechada tornam-se complexos, posicionando-se fora do eixo real, e
devido à parte real dos pólos de malha fechada ser constante para K > 1/4, os pólos de
malha fechada movem-se ao longo da reta s = -1/2. Portanto, para K > 1/4, o sistema
comporta-se como subamortecido. Para um dado valor de K, um dos pólos conjugados de
malha fechada move-se para s = −1 / 2 + j∞ , enquanto o outro move-se para
s = −1 / 2 − j∞ .
Mostraremos que qualquer ponto sobre o lugar das raízes satisfaz a condição de
ângulo. A condição de ângulo dada pela Eq. (3) é
∠
K
= −∠s − ∠(s + 1) = ±180 0 (2k + 1),
s(s + 1)
(k = 0,1, 2,) .
Considere o ponto P sobre o lugar das raízes indicado na Fig. 3(b). Os números
complexos s e s + 1 possuem ângulos θ 1 e θ 2 , respectivamente, e módulos s e s + 1 ,
respectivamente (note que todos os ângulos são considerados positivos quando são medidos
no sentido anti-horário). A soma dos ângulos θ 1 e θ 2 nitidamente é 180o.
67
Fig. 3 - Gráficos do lugar das raízes dos sistemas indicados na Fig. 2.
Se o ponto P estiver localizado sobre o eixo real entre 0 e -1, então θ 1 = 180o e θ 2
= 0o. Portanto, verificamos que qualquer ponto sobre o lugar das raízes satisfaz a condição
de ângulo. Notemos também que se o ponto P não for um ponto sobre o lugar das raízes,
então a soma de θ 1 e θ 2 não é igual a ± 180o(2k + 1), onde k = 0, 1, 2,... Portanto, os
pontos que não estiverem sobre o lugar das raízes não satisfazem a condição de ângulo e,
portanto, não podem ser pólos de malha fechada para quaisquer valores de K.
Se os pólos de malha fechada forem especificados no lugar das raízes, então o
valor correspondente de K é determinado pela condição do módulo, Eq. (4). Se, por
exemplo, os pólos de malha fechada selecionados são s = −1 / 2 ± j 2 , então o valor
correspondente de K é determinado de
G (s )H (s ) =
K
=1
s (s + 1) s =−1 / 2+ j 2
ou
K = s (s + 1) s = −1 / 2+ j 2 =
17
.
4
Desde que pólos complexos são conjugados, se um deles, por exemplo,
s = −1 / 2 + j 2 , é especificado, então o outro é automaticamente fixado. No cálculo do
valor de K, qualquer um dos pólos pode ser utilizado.
Do gráfico do lugar das raízes fornecido na Fig. 3(a), verificamos claramente os
efeitos de variações no valor de K no comportamento da resposta transitória em relação ao
68
sistema de segunda ordem. Um aumento no valor de K diminuirá a relação de
amortecimento ξ , resultando em um aumento na sobrelevação da resposta. Um aumento no
valor de K também resultará em um aumento nas freqüências natural não amortecida e
amortecida (se K é maior do que o valor crítico, que corresponde a um sistema criticamente
amortecido, um aumento no valor de K não afetará o valor da parte real dos pólos em malha
fechada). A partir do gráfico do lugar das raízes, é evidente que os pólos de malha fechada
sempre estarão no semiplano esquerdo do plano s; consequentemente, independentemente
de quanto o parâmetro K for aumentado, o sistema sempre permanecerá estável; desta
forma, o sistema de segunda ordem é sempre estável. (Note, entretanto, que se o ganho for
ajustado em um valor muito alto, os efeitos de alguma das constantes de tempo que foram
desprezadas podem tornar-se importantes, e o sistema que é supostamente de segunda
ordem, porém efetivamente de ordem maior, pode tornar-se instável.)
A Tabela 1 fornece uma coleção de gráficos simples de lugares de raízes.
Tabela 1 - Coleção de gráficos simples de lugares de raízes.
Lugares de ganho constante
A Fig. 4 mostra um gráfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na
Fig. 2.
Os lugares de ganho constante para este sistema foram obtidos a partir da condição
de módulo:
69
G (s )H (s ) =
K
=1
s(s + 1)
ou
s (s + 1) = K .
(6)
Os pontos do plano complexo que satisfazem a Eq. (6) para um dado K
constituem um lugar de ganho constante.
Ortogonalidade entre os lugares das raízes e os lugares de ganho constante
Considere o sistema indicado na Fig. 1. No plano G(s)H(s) os lugares de
G (s )H (s ) = constante são circunferências com centro na origem, e os lugares
correspondentes a ∠G (s )H (s ) = ±180 o (2k + 1), (k = 0,1, 2,) permanecem sobre o eixo
real negativo do plano G(s)H(s), como indicado na Fig. 5 [note que o plano complexo aqui
empregado não é o plano s, mas o plano G(s)H(s)].
Fig. 4 - Gráfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na Fig. 2.
Os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s constituem
mapeamentos conformes dos lugares de ∠G (s )H (s ) = ± 180o(2k + 1) e de G (s )H (s ) =
constante no plano G(s)H(s).
Desde que os lugares de fase constante e ganho constante no plano G(s)H(s) são
ortogonais, os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s também são
70
ortogonais. A Fig. 6(a) mostra os lugares das raízes e os lugares de ganho constante para o
seguinte sistema:
G (s ) =
K (s + 2 )
,
s2 + s + 3
H (s ) = 1 .
Verifique que devido à configuração de pólo zero ser simétrica em relação ao eixo
real, os lugares de ganho constante também são simétricos em relação ao eixo real.
A Fig. 6(b) mostra os lugares das raízes e de ganho constante para o sistema:
G (s ) =
K
,
s (s + 1)(s + 2 )
H (s ) = 1 .
Note que devido à configuração dos pólos no plano s ser simétrica em relação ao
eixo real, e em relação à reta paralela ao eixo imaginário passando pelo ponto
(σ = −1, ω = 0) , os lugares de ganho constante são simétricos em relação à reta ω = 0
(eixo real) e à reta σ = -1.
Fig. 5 – Gráficos dos lugares de ganho constante e fase constante no plano G(s)H(s).
71
Fig. 6 – Gráficos dos lugares das raízes e dos lugares de ganho constante.
72