Polinômios de Newton
Sejam os pontos base:
O Polinômio de Newton de grau é dado por:
Onde são operadores de diferenças divididas de ordem entre os pontos base.
Operador de Diferença Dividida:
Seja a função que passa pelos pontos . O operador
de diferença dividida é definido como sendo:
!"#$%& !"#$%& !"#$%& !"#$%& '&() '&
*&() *&
)'&() )'&
*&(, *&
&() &
*&() *&
+ + + -.)
-.)
'&() '&
*&(- *&
+ + Tabela de Diferenças Divididas:
Tabela utilizada para auxiliar o processo de construção do Polinômio de Newton.
Note que cada diferença dividida de ordem é gerada a partir de pares de
diferenças divididas de ordem . A notação entre colchetes ajuda a identificar
quais são os que se subtraem no denominador (ou seja, em + ,
sempre subtrai-se no denominador.
0
/ /
/ / /
/ Teorema: Se for um polinômio de grau , então suas diferenças divididas
de ordem são identicamente nulas, isto é:
1
Exemplo 1: Verificar o teorema para a função no intervalo 2 0.
0
5
)5
,5
5
)5
/5
0
') '
*) *
', ')
*, *)
'7 ',
*7 *,
)') )'
*, *
)', )')
*7 *)
,') ,'
*7 *
&
-1
4
-1
4
*&* +
&
6
3
6
/
8
9
:9
/
/ &
3
6
&
1
/&
Fórmula Geral de Newton:
; 5
<= > ?
>5
Essa fórmula geral se traduz para a fórmula que apresentamos no início deste
documento, ou seja:
Note que:
•
Cada termo contém um operador de diferença dividida (DD), sempre
referente a . As demais DDs não aparecem na fórmula, mas são
importantes, pois entram no cálculo da DDs referente a .
•
Os termos variam de DD de ordem 0 até a DD de ordem n (mesma ordem do
polinômio).
•
A cada termo, os pontos base aparecem subtraídos do valor a ser
interpolado, aumentando-se um ponto a cada termo. Note que o ponto base
não entra na fórmula, pois o n-ésimo termo termina com . Isso
não quer dizer que não seja importante, pois ele é usado no cálculo das
DDs.
Exemplo 2: Calcular e usando a tabela de diferenças divididas
abaixo.
@
0
A@
83
&
0
A@
83
&
0A
Para temos:
0 @
0 @
0 0 0
Para temos:
&
8
0 @ 8 @ 0 @ 8 @ 0 8 0 8
0 B 00A
Podemos concluir que:
8 @ 8
0 8 00A
Isso demonstra uma vantagem do Método de Newton em relação aos demais: Para
aumentar o grau do polinômio interpolado, basta aumentar um novo termo em vez
de montar todo o polinômio novamente, como nos Métodos baseados em Sistemas
Lineares e no Método de Lagrange.
Exemplo 3: Encontre um polinômio interpolado de grau 2 na forma de Newton para
a tabela abaixo:
0
O primeiro passo é montar a tabela de DDs. Pela fórmula, sabemos que precisamos
calcular até a DD de ordem 2:
&
0
0
&
&
000 0 / 0 / / /**
6*
/
/
/
/ 0