Termodinâmica – Exercícios resolvidos Quasar
Termodinâmica
Exercícios resolvidos
1. Gases perfeitos – Cp e Cv
a) Mostre que a relação entre o calor específico molar a pressão constante Cp e a
volume constante Cv é dada por Cp = Cv + k , e determine a constante k.
b) A energia interna de um dado sistema é apenas função da sua temperatura absoluta,
como se viu dU (T ) = nCvdT . No caso dele ser constituído por moléculas
monoatómicas U (T ) =
3
NK B T , N é o nº de moléculas e KB a constante de
2
Boltzmann. Determine Cv e Cp para um gás monoatómico.
c) Porque é que Cp > Cv ?
Resolução:
a) Pela definição das variáveis Cp e Cv temos
⎧
1 ⎛ δQ ⎞
⎪Cp = n ⎜ dT ⎟
⎝
⎠P
⎪
⎨
⎪Cv = 1 ⎛⎜ δQ ⎞⎟
⎪⎩
n ⎝ dT ⎠V
Por outro lado a 1ª lei da termodinâmica diz que δQ = dU + δW , sendo dU o diferencial
de energia interna.
Reescrevendo a equação δQ = nCvdT + PdV
Tanto Cp como Cv relacionam-se pela temperatura, pelo que temos de substituir o termo
PdV através da equação dos gases perfeitos, PV = nRT . Diferenciando ficará
PdV + VdP = nRdT , pois n e R são constantes. Como só nos interessa o caso em que a
pressão é constante VdP = 0 e ficará então PdV = nRdT .
Substituindo em cima δQ = nCvdT + nRdT = n(Cv + R )dT , que é o calor fornecido
numa transformação a pressão constante. Analogamente isto poderia ser escrito da forma
δQ = nCpdT .
-1-
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Então nCpdT = n(Cv + R )dT ⇔ Cp = Cv + R
k=R, é a constante dos gases perfeitos R ≈ 8,314 Jmol −1 K −1
b) A energia interna de um dado sistema é apenas função da sua temperatura absoluta,
como se viu dU (T ) = nCvdT . No caso dele ser constituído por moléculas monoatómicas
U (T ) =
3
NK B T , N é o nº de moléculas e KB a constante de Boltzmann. Determine Cv e
2
Cp para um gás monoatómico.
3
3
R
3
3
3
NK B dT ⇔ nCv = N
= nR ⇔ Cv = R = × 8,314 = 12,47 Jmol −1 K −1
2
2 NA 2
2
2
3
5
5
Cp = Cv + R = R + R = R = × 8,314 = 20,79 Jmol −1 K −1
2
2
2
nCvdT =
c) Sendo C a quantidade de energia (calor) fornecida a uma mol de gás para que a sua
temperatura aumente 1K, se a transformação se der a volume constante toda a energia
disponibilizada se converte em energia interna (que faz aumentar a temperatura do gás
pois U(T) ), ao passo que se a transformação se der a pressão constante, uma parte do
calor é perdido para fazer expandir o gás. Assim, para o mesmo aumento de temperatura,
é preciso fornecer mais energia quando a pressão é constante, logo Cp>Cv.
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2. Gases perfeitos – transformações isobáricas (pressão constante)
a) A temperatura de um gás perfeito duplica durante uma transformação isobárica.
Sendo Vi = 20cm 3 determine o seu volume no final da expansão. Qual foi o trabalho
realizado se P = 100atm ?
b) Uma amostra de 10g de ar, que se pode considerar um gás perfeito diatómico
encontra-se à temperatura ambiente de 20ºC. O gás é comprimido a pressão
constante até o seu volume diminuir 5%. Obter a temperatura final do sistema, o
calor transferido e o trabalho realizado. Cp = 1005 JK −1 Kg −1
Resolução:
a) PV = nRT
Como P é constante podemos escrever:
Vi V f
20 V f
=
⇔
=
⇔ V f = 40cm 3 = 4 x10 −5 m 3
Ti T f
Ti 2Ti
(
)
WVi →Vf = − PΔV = −100 x10 5 x 4 x10 −5 − 2 x10 −5 = −200 J
b)
V
= cte
T
Vi V f
V V − 0,05Vi
=
⇔ i = i
⇔ T f = 0,95Ti = 0,95 × (273 + 20) = 278K
Ti T f
Ti
Tf
ΔQ = mCpΔT = 0,01 × 1005 × (278 − 293) = −151J
ΔQ = nCpΔT ⇔ n =
ΔQ
CpΔT
ΔQ = ΔU + ΔW ⇔ ΔQ = nCvΔT + ΔW =
ΔQ
ΔQ
CvΔT + ΔW ⇔ ΔW = ΔQ −
Cv =
CpΔT
Cp
⎛ Cp − R ⎞
⎛ 1005 − 8,314 ⎞
⎟⎟ = 15⎜1 −
= ΔQ⎜⎜1 −
⎟ = 0,12 J
Cp ⎠
1005
⎠
⎝
⎝
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3. Gases perfeitos – transformações isotérmicas (temperatura constante)
a) Calcular o trabalho realizado durante um processo isotérmico de um gás perfeito.
b) Considere a compressão isotérmica de 0,10 mol de um gás perfeito a 0ºC. A pressão
inicial é de 1 atm e o volume final é
1
do inicial. Determine o trabalho realizado e o
5
calor transferido.
c) Um gás ideal ocupa um volume de 8,0m 3 a uma pressão de 4 atm e a uma
temperatura de 300K. Expande-se o gás até à pressão final de 1 atm. Calcular o
volume e temperatura finais, o trabalho realizado, o calor absorvido e a variação de
energia interna para uma expansão isotérmica.
Resolução:
Vf
a) Pela definição de trabalho de um gás perfeito WVi →Vf = − ∫ PdV e, da equação de
Vi
estado PV = nRT temos P = nRT
1
.
V
Substituindo no integral acima:
Vf
WVi →Vf = −nRT ∫
Vi
⎛Vf
1
dV = −nRT ln⎜⎜
V
⎝ Vi
⎛V
⎞
⎟⎟ = nRT ln⎜ i
⎜V
⎠
⎝ f
⎞
⎟
⎟
⎠
b) Usando a expressão obtida anteriormente W = 0,10 × 8,314 × 273 × ln 5 = 365,3J
ΔQ = ΔU − ΔW = nCvΔT − 365,3
c) PV = cte
PiVi = Pf V f ⇔ V f =
T f = Ti = 300 K
A temperatura é constante logo ΔQ = −365,3J .
4 × 8,0
= 32m 3
1
PiVi = nRT ⇔ n =
⎛V
WVi →Vf = nRT ln⎜ i
⎜V
⎝ f
4 x10 5 × 8,0
= 1283mol
8,314 × 300
⎞
⎟ = 1283 × 8,314 × 300 × ln⎛⎜ 8,0 ⎞⎟ = −4,4 x10 6 J
⎟
⎝ 32 ⎠
⎠
ΔQ = −ΔW = 4,4 x10 6 J
ΔU = 0
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4. Transformações adiabáticas (sem trocas de calor)
a) 5 mol de néon gasoso a 2 atm e a 27ºC são comprimidas adiabaticamente para um
terço do volume inicial. Determine a pressão final e o trabalho realizado sobre o gás.
γ =
Cp 5
=
Cv 3
b) Um gás ideal expande-se adiabaticamente até um volume triplo do seu volume
original. Ao fazê-lo, o gás realiza um trabalho de 720J. Quanto calor sai do gás?
Qual é a alteração da energia interna do gás? A temperatura aumenta ou diminui?
Resolução:
a) PV γ = cte é uma relação válida para qualquer processo adiabático.
γ
γ
γ
PiVi = Pf V f ⇔ Pf = PiVi V f
−γ
= Pi × (3V f ) V f
Vi =
5 × 8,314 × (27 + 273)
= 0,06m 3
2 x10 5
Vf =
Vi 0,06
=
= 0,02m 3
3
3
γ
−γ
5
= 2 x10 5 × 3 3 = 1,3 x10 6 Pa
5
k = 2 x10 5 × 0,06 3 = 1839
⎛ Vi −γ +1 − V f −γ +1 ⎞
⎟=
WVi →Vf = − ∫ PdV = − ∫ kV dV =k ⎜
Vi
Vi
⎜
⎟
−
+
γ
1
⎝
⎠
5
5
⎛
⎞
⎜ 0,06 − 3 +1 − 0,02 − 3 +1 ⎟
⎟ = 1,9 x10 4 J
= 1839⎜
5
⎜
⎟
− +1
⎜
⎟
3
⎝
⎠
Vf
Vf
−γ
b) Não sai calor nenhum do gás, já que é essa a definição de processo adiabático (sem
trocas de calor). ΔW = − ΔU ⇔ ΔU = −720 J A energia interna do gás diminui 720J.
A temperatura diminui pois ΔU = nCvΔT .
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5. Nave espacial
Uma nave espacial atravessa a cintura de asteróides. Tem uma massa de ar interior m0
ocupando um volume V à temperatura T. A certa altura um asteróide colide com a nave,
fazendo um buraco de área A no casco. O ar começa a sair da nave….
Sabendo que os tripulantes só poderão sobreviver enquanto houver pelo menos metade
da massa de ar inicial, quanto tempo terão eles para repararem a nave?
Resolução:
Começando pela equação de estado PV = nRT =
m
m
RT ⇔ P =
RT onde M é a
M
MV
massa molecular média do ar.
Por outro lado podemos aplicar a equação de Bernoulli entre um ponto no interior da
nave e o ponto exterior a esta por onde o ar está a sair, sendo aí a pressão nula.
P=
1 2
ρv ⇔ v =
2
2P
ρ
=
2mRTV
=
MVm
2 RT
M
Através de análise dimensional podemos escrever a taxa de perda de massa de ar por
unidade de tempo como,
A 2 RT
dm
m
2 RT
= − ρAv = − A
= −κm , κ =
V
M
dt
V
M
que facilmente se verifica pelas suas
dimensões. Para resolver esta equação diferencial de 1ªordem consideremos que a
solução genérica é do tipo m(t ) = β e λt , sendo β uma constante arbitrária a ser
determinada pelas condições iniciais. Substituindo na equação ficará
(
)
d
βe λt = −κβe λt ⇔ βλ e λt = −κβe λt ⇔ λ = −κ
dt
m(t ) = βe −κt
m(0) = m0 ⇒ β = m0
Vem finalmente m(t ) = m0 e −κt , κ =
A 2 RT
V
M
E, quando a massa de ar se reduz a metade,
m0
1
⎛1⎞
= m0 e −κt ⇔ −κt = ln⎜ ⎟ ⇔ t 50% = ln 2 ⇔ t 50% =
2
κ
⎝2⎠
V
2 RT
A
M
ln 2
-6-