Equações do 2º grau
Uma equação do segundo grau é qualquer equação que pode ser escrita na forma
ax 2 + bx + c = 0 ,
em que
a≠0 e a , b , c ∈ ℝ .
O parâmetro a é o número que multiplica x², o parâmetro b multiplica x e o parâmetro c é
o termo independente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Nas equações a seguir, identifique os valores dos parâmetros a, b e c.
1) 4x² + 5x – 2 = 0
2) –3x² + ¼ = 0
3) 2x² = 5x – 2
2 x2 + 5 x
4)
= 0
3
Solução:
1) a = 4, b = 5, c = –2
2) a = –3, b = 0, c = ¼
3) Primeiro, reorganizamos os termos para a forma padrão:
2x² – 5x + 2 = 0
a = –3, b = 0, c = ¼
2
5
4) a =
, b = , c = 0
3
3
Resolvendo equações do segundo grau
Caso 1: b = 0
Quando a equação do segundo grau tem a forma ax 2 + c = 0, ela pode ser resolvida
diretamente, como se fosse uma equação do primeiro grau. Ao final, tendo x² sido isolado,
tira-se a raiz quadrada de ambos os termos da equação.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Resolva as equações a seguir.
1) x 2 − 9 = 0
2) 3 x2 − 6 = 0
Solução:
1)
x2 − 9 = 0
2
2
x = 9
Isolar x
x = ±√ 9 Tirar a raiz quadrada de ambos os termos
x = ±3
Observe que, ao tirarmos a raiz quadrada de ambos os termos, apareceu no segundo
termo o símbolo ± (mais ou menos), indicando que tanto +3 quanto –3, quando
elevados ao quadrado, resultarão em 9 positivo. Na maior parte dos casos, uma equação
do segundo grau terá duas respostas distintas, ou seja, existirão dois valores de x que
tornam a equação verdadeira.
2)
3 x2 − 6 = 0
3 x2 = 6 Passar o termo independente para a direita
6
x2 =
Isolar x 2
3
x 2 = 2 Resolver o segundo termo
x = ±√ 2 Tirar a raiz quadrada de ambos os termos
Caso 2: c = 0
A forma mais simples de resolver uma equação do segundo grau sem o termo
independente é fatorar seu lado esquerdo de modo a transformá-la em uma multiplicação
de dois fatores.
Observe que, se m⋅n = 0, temos duas possibilidades que satisfazem a equação:
m = 0 e n = 0.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Resolva as equações a seguir:
1) x 2 + 4 x = 0
2) 3 x2 − 7 x = 0
3) −2 x 2 + 4 x = 0
Solução:
1)
x2 + 4 x = 0
x(x + 4) = 0
Fatorar colocando x em evidência
Para que x ( x + 4 ) = 0 , temos duas possibilidades:
1ª possibilidade: x = 0
2ª possibilidade: x + 4 = 0 → x = −4
Portanto, 0 e –4 são soluções que satisfazem a equação.
2)
2
3x − 7x = 0
x (3 x − 7) = 0
x1 = 0
3x − 7 = 0
3x = 7
7
x2 =
3
3)
2
−2 x + 4 x = 0
2 x (−x + 2) = 0
2 x = 0 → x1 = 0
−x + 2 = 0 → −x = −2
x2 = 2
Caso 3: equação completa
Nos casos em que nenhum parâmetro do primeiro termo é igual a zero, podemos usar
duas estratégias para resolver a equação.
1ª estratégia: fatoração
Em alguns casos, o primeiro termo da equação pode ser fatorado facilmente, o que
permite resolver a equação de forma mais rápida.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Resolva a equação x 2 + 6 x + 9 = 0
Solução:
Observe que o primeiro termo da equação é um trinômio quadrado perfeito, resultado de
um produto notável: (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 . Portanto, podemos fatorá-lo, obtendo:
(x + 3)2= 0
x + 3 = 0
x = −3
Nesse caso, como (x + 3)2 =( x + 3)(x + 3), as duas soluções da equação, x 1 e
x 2 , são idênticas. Portanto, essa é uma equação do segundo grau que tem apenas uma
solução.
2ª estratégia: a fórmula quadrática
Em situações mais complexas, nas quais o primeiro termo da equação não pode ser
fatorado facilmente, é possível utilizar a fórmula quadrática para obter os valores de x
que são solução da equação, a partir dos valores dos parâmetros a, b e c.
x =
−b ±
√ b2
−4 ac
2a
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5
Utilize a fórmula quadrática para resolver a equação
Solução:
Nesta equação, os valores dos parâmetros são:
a = 1;
b = –1;
c = –2.
x2 − x − 2 = 0 .
Substituindo na fórmula quadrática, temos:
x =
−b ±
√ b2
− 4 ac
2a
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−2)
x =
2(1)
1 ± √1 + 8
x =
2
1 ± √9
x =
2
1 ± 3
x =
2
1 + 3
4
x1 =
→ x1 =
= 2
2
2
1 − 3
−2
x2 =
→ x2 =
= −1
2
2
Exercícios
Resolva as equações a seguir, pelo método que considerar mais apropriado.
1) x² - 49 = 0
2) x² = 1
3) 2x² - 50 = 0
4) x² - 7x = 0
5) x² + 5x = 0
6) 4x² - 9x = 0
7) x² - 5x + 6 = 0
8) x² - 8x + 12 = 0
9) x² + 2x - 8 = 0
10) x² - 5x + 8 = 0
Respostas:
1) –7 e 7
2) –1 e 1
3) –5 e 5
4) 0 e 7
5) –5 e 0
6) 0 e 9/4
7) 2 e 3
8) 2 e 6
9) –4 e 2
10) conjunto vazio (não há soluções)
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de aprofundamento sobre equações do 2º grau, com exercícios mais desafiadores.