PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
44646-04 SISTEMAS ROBOTIZADOS (Eng. Controle e Automação)
Prof. Felipe Kühne
Exercício Resolvido
Cinemática direta para o manipulador Stanford
O manipulador Stanford foi desenvolvido entre as décadas de 60 e 70 na Universidade de Stanford (EUA), no
Laboratório de Inteligência Artificial (Stanford Artificial Intelligence Lab - SAIL).
Ele possui seis graus de liberdade, sendo os três
primeiros no corpo do manipulador e os três
últimos formando um punho esférico. A terceira
junta é prismática, conferindo a este manipulador
a geometria de um robô esférico. Ao lado uma
ilustração do volume de trabalho do mesmo.
1
Para resolvermos o problema da cinemática direta deste robô, faz-se um desenho simplificado do mesmo,
representando os membros, juntas e os parâmetros construtivos, conforme a Figura 1 abaixo.
Figura 1: Esquema dos membros e juntas do manipulador Stanford.
É importante destacar na anatomia deste manipulador a existência de um punho esférico, formado pelas
últimas três juntas e pelos membros 4 e 5. A principal característica deste componente é que os eixos das
juntas 4, 5 e 6 se interceptam em um único ponto (figura abaixo), chamado centro do punho. Este ponto tem
especial importância no cálculo da cinemática inversa do manipulador, tornando possível a simplificação do
problema. Assim, para um robô com seis juntas dotado de punho esférico (a configuração mais utilizada em
processos industriais), diz-se que as três primeiras juntas são responsáveis pelo posicionamento do centro
do punho, e as três últimas são responsáveis pela orientação do órgão terminal.
Figura 2: Punho esférico.
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Eixos das juntas e o sistema da base.
Conforme a convenção de Denavit-Hartenberg, devemos, inicialmente, definir os eixos das juntas , , ,
e . A direção para onde os eixos apontam também é livre 1. Optaremos por, quando possível, apontar os
eixos no sentido crescente das juntas do robô (da junta 1 para a 2, da junta 2 para a 3, e assim
sucessivamente). Desenhando estes eixos no esquema, temos:
Figura 3: Os eixos das juntas.
Pode-se definir agora o sistema de coordenadas da base por
completo, ou seja, a origem ( ) e os eixos
e . Para este sistema
de coordenadas, não existe qualquer restrição ou regra quanto a estas
escolhas, entretanto o mais natural é posicionar
coincidente com a
base do robô, em sua origem. Obviamente,
precisa ser
perpendicular à e
é escolhido de forma a completar um sistema
de coordenadas tridimensional. O sistema de coordenadas completo
da base é mostrado na figura ao lado.
Origens dos sistemas de coordenadas.
A origem do sistema de coordenadas 1,
Os eixos
e
, é definido no ponto onde os eixos
também se interseccionam. Assim, a origem
e
se interseccionam.
é escolhida neste ponto de intersecção.
1
Esta escolha influencia nas matrizes parciais de transformação homogênea, ainda que o resultado final (a matriz de
transformação homogênea total) deve ser o mesmo, para qualquer escolha dos eixos.
3
Figura 4: Origens dos sistemas 1 e 2.
Os eixos
e
são paralelos e coincidentes. Assim, a normal comum entre estes dois eixos é nula.
poderia estar posicionado em qualquer ponto sobre o eixo
, ao longo dos membros 3, 4 ou 5.
Entretanto, a escolha mais natural é posicioná-lo sobre a junta 4, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5: Sistema 3 na junta 4.
Os eixos e são perpendiculares e coplanares, então
é escolhido no ponto de intersecção entre estes
dois eixos. A mesma regra é utilizada para a definição de , posicionado no ponto de intersecção entre e
. Note então que, neste caso, a junta 6 não conterá nenhum sistema de coordenadas, já que
coincide com
. Esta escolha é conseqüência direta das condições DH1 e DH2: deve ser perpendicular a e também
cruzar o mesmo.
Figura 6: Eixos das juntas e origens dos sistemas de coordenadas.
4
Eixos e .
Os eixos
são perpendiculares e coplanares, ou seja, se cruzam em um ponto.
Perpendicular ao plano formado pelos dois eixos (figura ao lado) e no ponto de
intersecção, define-se . A escolha da direção do eixo é livre.
Os eixos
também são perpendiculares e coplanares, e
ponto de intersecção, perpendicular ao plano.
e definido no
Os eixos
são paralelos. Assim, a escolha de
é feita apenas com base nas
condições DH1 e DH2, ou seja,
deve ser perpendicular a
e cruzar o
mesmo. Obviamente, a origem de é igual a . A escolha para a direção do eixo é livre.
e
são perpendiculares e coplanares. Assim,
é definido no ponto de intersecção entre os dois eixos,
perpendicular ao plano. A escolha da direção do eixo é livre. A mesma regra vale para o eixo . Assim, como
e são coincidentes, e também o serão.
Os eixos , , , e são escolhidos de forma a completar os sistemas de coordenadas tridimensionais,
através da regra da mão direita.
Figura 7: Sistemas de coordenadas completos.
O sistema do órgão terminal.
Todas as regras utilizadas até agora para a definição dos sistemas de coordenadas e posicionamento de cada
eixo são válidas para as n juntas apenas, ou seja, do sistema de coordenadas 0 até o sistema 5. Temos que
definir ainda o sistema de coordenadas do órgão terminal. Não existe nenhuma regra ou restrição com
relação à escolha da origem ou dos eixos deste sistema, a não ser pelas condições DH1 e DH2, que diz, neste
caso, que
deve ser perpendicular a
e cruzar o mesmo. Além disso, é comum o uso de algumas
convenções para a escolha da origem e do eixo .
A origem
pode ser escolhida no ponto central do órgão terminal (por exemplo, o centro da garra).
Geralmente em manipuladores industriais, a sexta junta é rotacional e paralela aos membros 5 e 6 do robô.
5
Assim, pode-se escolher o eixo
paralelo e coincidente a , facilitando o cálculo da matriz de
transformação homogênea
(
). é escolhido conforme DH1 e DH2 e também pode ser definido de
forma a ser paralelo a . completa o sistema de coordenadas.
Temos assim todos os sistemas de coordenadas definidos, da base até o órgão terminal, mostrado na Figura
8. Podemos agora preencher a tabela com os parâmetros DH.
Figura 8: Manipulador com todos os sistemas de coordenadas definidos.
Tabela de parâmetros DH.
Com todos os sistemas de coordenadas inteiramente posicionados e definidos, podemos encontrar os
parâmetros de Denavit-Hartenberg que serão utilizados para calcularmos as matrizes de transformação
homogênea de cada junta e, por fim, a matriz de transformação homogênea total
(a solução do
problema da cinemática direta).
Lembrando então das definições dos quatro parâmetros:
(ângulo).




(comprimento),
(torção),
(excentricidade) e
: distância, ao longo de , de à intersecção entre
e (ou a distância mais curta entre
)
: ângulo, em torno de , de
a
: distância, ao longo de
, de
à intersecção entre
e
: ângulo, em torno de
, de
a
e
Organizam-se então estes dados na forma de uma tabela. Além dos parâmetros, adiciona-se a ela uma coluna
indicando o valor inicial das variáveis das juntas, conforme desenho apresentado na Figura 1. O asterisco
colocado ao lado de algum parâmetro indica que ele é uma variável da junta. Note então que todas as juntas
são rotacionais à exceção da junta 3, que contém o parâmetro como variável.
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Valor
inicial
i
1
0
-90º
450mm
*
0
2
0
-90º
200mm
*
-90º
3
0
0
4
0
90º
150mm
*
0
5
0
-90º
0
*
0
6
0
0
175mm
*
0
*
90º
350mm
Tabela 1: Parâmetros de Denavit-Hartenberg para o manipulador Stanford.
Após termos definido os parâmetros para todas as juntas, podemos escrever uma matriz de transformação
homogênea para cada junta, conforme definição abaixo:
Onde se utilizam as notações
e
. Realizando as multiplicações, teremos:
A matriz
define a transformação homogênea do sistema para o sistema
. Para determinar cada
uma das matrizes referentes ao robô em estudo, substituem-se os valores encontrados na Tabela 1 para
cada parâmetro na expressão acima. Assim,
Para encontrar a matriz de transformação homogênea total (entre o sistema da garra e o da base), basta
multiplicar as matrizes parciais:
A matriz
é a matriz da cinemática direta do manipulador. Assim, dado um conjunto de variáveis das
juntas (
, pode-se definir, por exemplo, a posição e orientação da origem do órgão terminal
do robô no espaço de trabalho com relação à base.
7
Tomando como exemplo a configuração inicial do robô mostrado na figura, tem-se que:
Mesmo antes de desenvolver o cálculo, pode-se antecipar o resultado para a posição da garra com relação à
origem. Apenas observando a Figura 8 e com os valores dos comprimentos dos membros da Figura 1, notase que
.
Antes de tudo, temos que substituir os valores das variáveis das juntas matrizes de transformação
homogênea parciais (
):
Fazendo
fazendo
, temos que:
representa o centro da garra (igual à origem do sistema de coordenadas da garra). Então,
, temos:
Observe que esta informação está contida na própria matriz
. Como o centro do órgão terminal é,
obviamente, sempre
, não há necessidade de se realizar o cálculo
. Da mesma forma, a
rotação do órgão terminal com relação à base ( ) também é determinada diretamente da matriz
e,
observando a Figura 8, podemos determinar que há, por exemplo, uma rotação de 90 graus em y e de -90 em
z, resultando em . Assim,
8
Agora, como um exemplo, digamos que o robô encontra-se com a seguinte configuração:
Pergunta-se: qual será a configuração do órgão terminal do manipulador para este conjunto de variáveis das
juntas?
Substituindo os valores das variáveis das juntas nas matrizes de transformação homogênea parciais (
temos que:
Fazendo
),
, temos que:
A Figura 9 mostra a configuração do manipulador Stanford para as variáveis das juntas apresentadas no
exemplo.
9
Figura 9: Configuração do manipulador para
.
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11