Aluno (a):
12
3º ANO
Professor • Valdir
01/06/2013
Matéria
01. (UPE/2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas
triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o
número esperado de vértices para este será
a)10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
09. Um poliedro convexo de 22 vértices e 50 arestas possui F1 faces
quadrangulares e F2 faces triangulares. Sabendo-se que ele não
possui outro tipo de face, F2 – F1 é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
02. (UECE/2010) O número de arestas de uma pirâmide que tem 12
faces é
a) 14
b) 16
c) 18
d) 22
10. (UERJ) Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico
inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão
marcados (figura 1). A partir dos pontos médios, quatro triângulos
equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro.
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados
fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos
tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a figura 2.
03. Um poliedro convexo possui 5 faces quadrangulares e 10 faces
triângulares. Calcule o número de vértices do poliedro.
04. Um poliedro possui 8 vértices com três arestas e 6 vértices com
quatro arestas. Calcule o número de faces do poliedro.
05. (UEPG PR/2010) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces
pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares, assinale o
que for incorreto.
a) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4.
b) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10.
c) O menor valor possível para n é 1.
d) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3600º,
então n = 6.
e) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8.
06. (UEPB) Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces
pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são
respectivamente:
a) 14 e 16
b) 12 e 14
c) 10 e 14
d) 10 e 12
e) 10 e 17
07. (UFPE/2011) Existem 5 e apenas 5 poliedros regulares convexos.
Tal afirmação é verdadeira considerando-se o seguinte argumento:
cada vértice de um poliedro é determinado por pelo menos três de
suas faces, e o ângulo formado por essas faces deverá ser menor que
360º, para que o poliedro seja regular. Com relação a esse
argumento, podemos afirmar que:
01. O argumento é falso quando as faces do poliedro forem
hexágonos regulares.
02. O argumento é verdadeiro apenas quando as faces são
quadrados ou triângulos equiláteros.
03. O argumento é falso quando as faces do poliedro são pentágonos
regulares.
04. O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.
05. O argumento é verdadeiro apenas para o tetraedro e o icosaedro.
08. (UNIFESP SP) Um poliedro é construído a partir de um cubo de
aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide
regular de base triangular eqüilateral (os três lados da base da
pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das
pirâmides cortadas. Calcule o número de faces do poliedro
construído.
Figura 1
Figura 2
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de
reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares,
denominada geodésica (figra 3). O número de arestas dessa
estrutura é igual a:
a)
b)
c)
d)
90
120
150
180
Figura 3
11. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares e,
portanto, 12 vértices. A partir desses vértices, retiram-se 12
pirâmides congruentes . As bases dessas pirâmides são pentágonos
regulares e as medidas de suas arestas laterais são iguais a 1/3 da
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na
fabricação da bola de futebol. Para confeccionar uma bola de futebol,
um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face.
Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7
cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo,
um comprimento de linha igual a:
a) 7,0 m
b) 6,3 m
c) 4,9 m
d) 2,1 m
12. (U.F.Santa Maria) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares
e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o
triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de
todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:
a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π
13. Um poliedro convexo de 24 arestas é formado por faces
triangulares e quadrangulares. Seccionado por um plano
convenientemente escolhido, dele se pode destacar um novo
poliedro convexo, sem faces triangulares, com uma face
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1
quadrangular a mais e um vértice a menos que o poliedro primitivo.
Calcule o número de faces do poliedro primitivo.
14. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces
quadrangulares e pentagonais. Determine o número de faces de cada
tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos.
15. (Fuvest) Ligando todos os vértices de um dodecaedro de Platão e
escolhendo ao acaso um dos segmentos de reta obtidos, determine a
probabilidade de que o mesmo seja uma diagonal do poliedro.
16. (Valdir) O icosaedro regular (Platão) possui 20 faces triangulares
congruentes como mostra a figura 1 a seguir. A figura 2 mostra três
secções feitas por planos que retiram, em cada vértice, uma pirâmide
de base pentagonal e arestas laterais medindo um terço da aresta do
icosaedro. Executando as secções em todos os vértices teremos um
novo poliedro no qual foi inspirada a bola de futebol tradicional.
Sendo assim, determine o número de arestas e vértices do sólido
obtido após a execução de todas as secções.
figura 1
20. (UEPG PR/2009) Ligando-se os vértices de um polígono convexo
contido no plano α a um ponto qualquer fora desse plano, obtém-se
um poliedro convexo. A respeito desse poliedro assim formado,
assinale o que for correto.
01. Se ele tem 7 vértices, a soma dos ângulos de todas as suas faces
é 1.800°.
02. Ele sempre tem um número par de arestas.
03. Se ele tem 8 faces, o número de suas arestas é 14.
04. O número de faces e o número de vértices são sempre iguais.
05. Se ele tem 20 arestas, o número de seus vértices é 11.
21. (IFSP/2013) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano
Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália.
Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada
uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente
de relógio. Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783)
descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo
poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a relação V
– A + F = 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o
número de arestas não visíveis é
a) 10.
b) 12.
c) 15.
d )16.
e) 18.
figura 2
17. Prisma é um poliedro que possui duas faces poliganais paralelas e
idênticas (bases) e as demais faces são paralelogramos (laterais).
Sendo assim, calcule o número de diagonais de um prisma
heptagonal regular.
18. (Valdir) Em todos os vértices de um dodecaedro regular são
recortadas pirâmides como mostra a figura. Após todos os recortes, o
número de arestas do novo sólido geométrico será:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
d) 100
19. (Valdir) Calcule o número de diagonais de cada poliedro de
Platão. Observe as figuras a seguir.
Tetraedro
Dodecaedro
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Hexaedro
01. E
02. D
06. E
07. VFFVF
11. B
12. E
15. 10/19
16. 60 e 90
19. 0, 4, 3, 100, 36.
03. 12
08. 14
13. 13
17. 28
20. Todas
04. 12
09. C
14. 5 e 2
18.D
21. A
05. C
10. B
Octaedro
Icosaedro
2