Difusão e Random walks
Na aula passada
Aula do prof. Raul
Donangelo: na página
8
<D>= 2,44
= 0,17
7
Marcelo A. F. Gomes
Fractal Geometry in
crumpled paper balls
American Journal of
Physics 55, 649 (1987)
contagem
6
5
4
3
2
1
0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
D
2.7
2.8
2.9
3.0
Na aula anterior
Random walk 1 dimensão

Passo constante
Passo aleatório
Random walk 2 dimensões

Self-avoiding walks
Difusão
Difusão e Random walk
Random walk
seguir a trajetória de uma partícula
Difusão
estudar como a densidade de
moléculas varia: r(x,y,z,t)
Para definir a densidade
dV
Infinitésimo físico
pequeno o suficiente comparado
a tamanhos macroscópicos
Muito maior que distâncias
interatômicas: contém um
número grande de moléculas
Equação de difusão
r
2
 D r
t
D
parâmetro relacionado à
constante de difusão
dos random walks
Difusão em uma dimensão
r
 r
D 2
t
x
2
Solução
Com =(t)
2

1
x 
r ( x, t )  exp 2 

 2 
2

1
x 
r ( x, t )  exp 2 

 2 
Difusão
 x2 
r ( x, t )  exp 2 

 2 
1
  2Dt
Como implementar numericamente
Discretizar x e t
i= posição
n= tempo
r(x,t)= r(iDx,nDt)=r(i,n)
Diferenças finitas
r r (i, n  1)  r (i, n)

t
Dt
 r r (i  1, n)  r (i  1, n)  2 r (i, n)

2
2
x
Dx
2
Substituindo
r
 r
D 2
t
x
2
DDt
r (i  1, n)  r (i 1, n)  2r (i, n)
r (i, n  1)  r (i, n) 
2
(Dx)
Para fazer o programa
n= tempo n=0 a tfinal
i= posição i=-L a L
bordas ?
Fixas e distantes
Estabilidade
Distúrbio se espalha de  durante
um passo de simulação
  2Dt
Dx  2DDt
Programa
Inicializa r:
Para –L<i<L r(i,0) =0.d0
r(0,0) =1.d0
Para n= 1 até tfinal
Para i= -L+1 até L-1
r (i, n  1)  r (i, n)
DDt
r (i  1, n)  r (i  1, n)  2r (i, n)

2
(Dx)
Escreve r para n desejado: t  0, 10, 100
Random walk e difusão
1 dimensão
bin=1
105 realizações
passo=+-1
D=1
t=n
1 realização
Dx=1.0
D =1
Dt=0.5 t=nDt
Satisfaz a condição de estabilidade
Random walk e difusão
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
r
probabilidade
t=0
0,4
0,2
0,4
0,2
0,0
-10 -8 -6 -4 -2 0
x
2
4
6
8 10
0,0
-10 -8 -6 -4 -2 0
2
x
4
6
8 10
Random walk e difusão
t=10Dt
0,25
0,25
0,20
0,20
0,15
0,15
r
probabilidade
t=10 passos
0,10
0,05
0,00
-10
0,10
0,05
-5
0
x
5
10
0,00
-10
-5
0
x
-6<x <6
5
10
Random walk e difusão
t=100Dt
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
r
probabilidade
t=100 passos
0,02
0,02
0,00
-40
-20
0
x
20
40
0,00
-40
-20
0
20
x
-20<x <20
40
  2Dt
t=10Dt
x 10
t=100Dt
~ -6 < x < 6
x
20t
~ -20 < x < 20
Oscilação da densidade - RW
Se um RW começa da origem e dá
um número par de passos de
tamanho 1 ele só pode estar num
sítio par!
Oscilação da densidade - difusão
Densidade inicial concentrada
em um único sítio: r(0,0)=1.0
Menor dimensão do sistema
Singularidade:
delta de Dirac, carga puntual
Soluções
Tomar a média sobre sítios
adjacentes (RW-aula passada)
Bin=2 RW
t=10 passos
t=100 passos
0,25
probabilidade
probabilidade
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-40
0,20
0,15
0,10
0,05
-30
-20
-10
0
x
10
20
30
40
0,00
-40
-30
-20
-10
0
x
10
20
30
40
Soluções
Tomar a média sobre sítios
adjacentes (RW-aula passada)
Espalhar a densidade inicial
sobre vários sítios
Largura inicial w=3 sítios
t=10Dt
t=100Dt
0,16
0,12
0,12
0,08
0,08
r
r
0,16
0,04
0,04
0,00
-40
0,00
-40
-20
0
x
20
40
-20
0
x
20
40
Largura inicial w=9 sítios
t=100Dt
0,10
0,10
0,08
0,08
0,06
0,06
r
r
t=10Dt
0,04
0,02
0,00
-40
0,04
0,02
-20
0
x
20
40
0,00
-40
-20
0
x
20
40
Difusão em 2D
t=0
t=6Dt
t=20Dt
Dt=0.25, Dx=1.0, D=1.0, |x,y| <=10
Estabilidade: mais restritiva em Dt
Café com creme – Como fazer RW ?
Cada molécula executa um
random walk em uma rede 2D
Permitimos múltipla ocupação
em cada sítio
A cada passo escolhemos uma
molécula aleatoriamente
400 moléculas em uma rede
200x200
t=0
t=104
Passando o tempo
t=105
t=106
comportamento difusivo
Entropia
f
d ' QR
S f  Si  
T
i
Função de estado
2a lei da termodinâmica
DS  0
t =0
Entropia baixa
t grande
Entropia alta
Entropia para café com creme
grid: 8x8 =64
S   Pi lnPi
i
Não é igual a rede
i células
Para 1 molécula de creme
Estado i: molécula localizada na
célula i do grid
Pi = probabilidade de encontrar a
molécula no estado i em um
determinado t
Entropia
S  k ln 
Medida do grau de
desordem do sistema
 número de estados acessíveis
 1
  1
S 0
S grande
Muito ordenado
Muito desordenado
Definição estatística de entropia
S   Pi lnPi
i

i
Soma sobre todas as
células do grid
Muitas moléculas: cálculo de Pi
2a lei da termodinâmica
DS  0
t =0
Entropia baixa
Creme TODO no centro
da xícara
Creme em torno do
centro da xícara
S 0
S pequeno
2a lei da termodinâmica
t grandes
Entropia alta
Hipótese ergódica:
todos os estados de
um sistema em
equilíbrio vão ser
ocupados com igual
probabilidade
2a lei da termodinâmica
As partículas se
espalham para
ocupar todos os
estados
possíveis e
maximizam a
entropia
Modelos de crescimento de cluster
Modelo de Eden
Modelo DLA
Difusion limited aggrgation
Modelo de Eden
 Escolha uma semente (0,0)
 encontre o perímetro do cluster
 (1,0) e (0,1)
 escolha aleatoriamente um sítio do perímetro
para ocupar
 encontre o perímetro do novo cluster
 escolha aleatoriamente um sítio do
perímetro para ocupar
 até o tamanho desejado
Modelos de crescimento de cluster
Modelo de Eden
Modelos de crescimento de cluster
DLA - Difusion limited aggregation
Dimensão fractal
Aro
m(r )  2r ~ r
Disco
m(r )  r 2 ~ r 2
esfera
m( r ) 
cluster
4r 3
r ~ r3
3
m(r ) ~ r
df
Dimensão fractal
Modelo de Eden
Referência
Computational Physics, Nicholas Giordano