Random walks e parentes
próximos
Do mais simples para o mais
complicado ...
Random walk 1 dimensão

Passo constante
Passo aleatório
Random walk 2 dimensões

Self-avoiding walks
Difusão
Random Walk – Passeio aleatório
Movimento browniano
difusão
Random Walk 1d
X0=0
Passos de
tamanho 1
Programa
x=0
Para i=1 até Npassos
r=random
se (r<0.5) x=x+1
se (r>=0.5) x=x-1
<x(i)>=<x(i)>+x
<x2(i)>=<x2(i)>+x*x
Random Walk 1d
14
3 realizações
diferentes
12
10
8
6
x
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
passo
80
100
10 realizações diferentes
100
10
8
80
6
4
60
<x >
0
2
<x>
2
-2
40
-4
20
-6
-8
0
-10
0
20
40
60
t
80
100
0
20
40
60
t
80
100
100 realizações diferentes
100
0,20
0,15
80
0,10
60
<x >
0,00
2
<x>
0,05
-0,05
40
-0,10
20
-0,15
-0,20
0
20
40
60
t
80
100
0
0
20
40
60
t
<x2>=Dt
80
100
Comparando com uma partícula
livre
Random walk <x2>=Dt
Mais devagar
Livre x=x0+vt
<x2>~t2
10.000 realizações diferentes
0,20
0,15
0,10
<x>
0,05
<x>~0
Flutuações!
0,00
-0,05
-0,10
-0,15
-0,20
0
20
40
60
t
80
100
10.000 realizações diferentes
100
80
D=1
2
<x >
60
40
20
0
0
20
40
60
t
80
100
Não é surpreendente
n
xn   si
i 1
Xn é a posição depois de n
passos
Si é o deslocamento
para o i-ésimo passo:
Si =+-1
Não é surpreendente
xn
2
 n

    si s j 
i 1  j 1

n
Como os passos são
independentes entre si
SiSj=+-1
com igual probabilidade
para i=/=j
Para um número grande de rw
n
 xn    s   n
2
i 1
como n=t
2
i
Lembrando que
Si2=1
2
<x >=Dt
com D=1
Histogramas
probabilidade
0,25
0,20
10.000 realizações
bin=2
t=10 passos
0,15
0,10
0,05
0,00
-40
-30
-20
-10
0
x
10
20
30
40
Histogramas
probabilidade
0,25
10.000 realizações
bin=2
t=100 passos
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-40
-30
-20
-10
0
x
10
20
30
40
Difusão
Na próxima
aula ...
Tamanhos de passo aleatórios
X0=0
Passos de
tamanho
(0,1]
Programa
x=0.d0
Para i=1 até Npassos
r=random
rb=random
se (rb<0.5) x=x+(1-r)
se (rb>=0.5) x=x-(1-r)
<x(i)>=<x(i)>+x
<x2(i)>=<x2(i)>+x*x
500 realizações diferentes
100
D=1
80
2
<x >
60
40
D<1
20
0
0
20
40
60
t
80
100
Também não é surpreendente
n
xn   si
i 1
Xn é a posição depois de n
passos
Si é o deslocamento
para o i-ésimo passo:
-1=<Si =<1
Calculando xn2
xn
2
 n

    si s j 
i 1  j 1

n
Como os passos são
independentes entre si
Para um número grande
de rw
n
s s
i j
i
j
0
SiSj=+-(0,1)
com igual
probabilidade
para i=/=j
Calculando xn2
Lembrando que
Si2 está distribuído
uniformemente no
intervalo(0,1]
n
 xn    s 
2
2
i
i 1
1
1
1
 s   y P( y )dy   y dy 
3
0
0
2
i
2
constante
2
Substituindo si2
n
1 n
 xn   
3
i 1 3
2
2
<x >=Dt
De acordo com o
gráfico!
como n = t
1
D
3
Random Walk 2d
Passos de
tamanho 1
RandomWalk
Programa
x=0, Y=0
Para i=1 até Npassos
r=random
rb=random
se (rb<0.5)
se (rb>=0.5)
<r(i)>=<r(i)>+sqrt(x*x+y*y)
<r2(i)>=<r2(i)>+x*x+y*y
se (r<0.5) x=x-1
se (r>=0.5) x=x+1
se (r<0.5) y=y-1
se (r>=0.5) y=y+1
500 realizações diferentes
100
80
<x2>=Dt
2
<r >
60
40
20
0
0
20
60
40
t
80
100
10.000 realizações diferentes
100
80
D=1
2
<r >
60
40
20
0
0
20
40
60
t
80
100
Self-avoiding Walk - SAW
Passos de
tamanho 1
Self-avoiding Walk - SAW
Random walk: cada passo é
completamente independente de
todos os anteriores
Na natureza nem sempre é assim:
polímeros
SAW
Blocos de construção
Iguais a RW
Porém: não é permitido superpor
Self-avoiding Walk - SAW
Self-avoiding Walk - SAW
Interrompe o
crescimento
SAW
SAW
Cresce mais rápido
RW
SAW
a @1.4
RW <r2>~t, a 1
<r2> ~ ta
livre <r2>~t2, a=2
SAW em mais dimensões
2
<r >
2D
~
a
t
a 1.4
3D a=1.25
4D a=1.15
D cresce
 a1
 RW
Referência
Computational
Physics
Nicholas J. Giordano