12ª aula
Sumário:
Impulso de uma força. Choques elásticos e inelásticos.
Impulso de uma força
Vamos ver nesta aula o que é impulso de uma força, e qual é o seu significado
físico. O assunto foi já aflorado na aula anterior mas não de uma forma explícita.
Considere-se uma força constante, F , que actua numa partícula durante um
certo intervalo de tempo ∆t . O impulso da força, I , é, por definição, o produto das
duas grandezas físicas:
I = F × ∆t .
(12.1)
Se a força for variável, ou seja se F = F (t ) , temos de considerar intervalos de
tempo infinitesimais dt no intervalo de tempo ∆t e somar todas as contribuições
F (t ) d t , desde o instante inicial, tf , até ao instante final, ti . O intervalo de tempo
durante o qual a força actua é ∆t = tf − ti . Esta soma é o integral
tf
I = F dt.
(12.1)
ti
Qualquer das equações anteriores dá-nos indicação directa das unidades de impulso de
uma força: no SI, impulso de uma força exprime-se em “newton segundo” (N s).
Uma força provoca uma alteração de velocidade que, no caso de uma partícula
de massa fixa, significa também uma alteração de momento linear. É, pois, de esperar
que o impulso de uma força se possa relacionar com a variação de momento linear.
Vamos ver que, de facto, assim é.
Usemos na expressão (12.1) a Segunda Lei na forma F = d p / d t [ver Eq.
(11.3)]. Vem então
tf
tf
ti
ti
I = F dt =
t
f
dp
d t = d p = p (tf ) − p (ti ) .
dt
ti
(12.3)
Ora, p(t f ) − p (ti ) = ∆p (é a variação do momento linear) e, portanto,
I = ∆p .
(12.4)
Podemos então concluir que o impulso de uma força que se exerce sobre uma partícula
é igual à variação do seu momento linear. Os primeiros membros das expressões (11.5)
e (11.6), escritas na aula anterior, são variações de momentos lineares; os segundos
membros são os correspondentes impulsos de forças.
A expressão (12.4) mostra que o impulso se exprime na unidade de momento
linear pois é uma diferença de momentos lineares. No SI pode, pois, ser expresso em
“quilograma metro por segundo” (kg m s−1).
1
No caso de o movimento a uma só dimensão, se uma partícula for actuada por
uma força constante, F, no intervalo de tempo ∆t , o impulso da força é simplesmente
F ∆t (Fig. 12.1 a). Mas, se nesse intervalo de tempo a força variar, o impulso é o
integral de F nesse intervalo de tempo, ou seja, a área representada na Fig. 12.1 b.
F
F
(a)
∆t
t
(b)
∆t
t
Figura 12.1
Choques elásticos e inelásticos
Quando duas partículas colidem, os impulsos das forças que actuam sobre cada
uma delas são simétricos, como vimos já, o que leva à conservação do momento linear.
Ora, há certas colisões em que, para além da conservação do momento linear, há
manutenção de energia cinética. Chamam-se a estas colisões perfeitamente elásticas.
Note-se bem: enquanto a conservação do momento linear é uma propriedade geral
(verifica-se sempre numa colisão em que só estejam envolvidas forças interiores) a
constância da energia cinética só se verifica para certas colisões!
De uma maneira geral a energia cinética do conjunto de partículas intervenientes
diminui após a colisão, e, neste caso, dizemos que a colisão é inelástica. Claro que a
energia se conserva, e portanto, se houver diminuição de energia cinética do conjunto,
terá também de haver dissipação de energia devido a trabalho de forças de atrito ou à
criação de deformações permanentes (com consequente aumento de energia potencial)
nos objectos que colidem.
Quando na colisão de dois objectos a energia cinética final é a mínima possível
compatível com a conservação do momento linear diz-se que o choque é perfeitamente
inelástico. Neste caso as partículas têm a mesma velocidade depois do choque.
Para choques perfeitamente elásticos de duas partículas temos
m1 v1 + m2 v2 = m1 v '1 + m2 v ' 2
(12.5)
1
1
1
1
m1v12 + m2 v22 = m1v '12 + m2 v ' 22
(12.6)
2
2
2
2
No caso de uma colisão perfeitamente inelástica de duas partículas, v '1 = v ' 2 = v ' e
portanto
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 ) v ' 2
(12.7)
Quando o choque não é frontal e ocorre a duas dimensões, é vantajoso considerar a
expressão da conservação do momento linear separadamente segundo duas direcções
perpendiculares:
2
m1 v1x + m2 v2 x = m1 v '1 x + m2 v' 2 x
(12.8)
m1 v1 y + m2 v 2 y = m1 v'1 y + m2 v ' 2 y
Consideremos que uma partícula de 100g e animada da velocidade 10 m/s colide
com outra de massa dupla inicialmente em repouso. Depois do choque esta desloca-se
segundo uma direcção que faz um ângulo de 60º com a direcção inicial e os momentos
das duas partículas depois do choque fazem um ângulo recto entre si. A situação antes e
depois do choque está representada na Fig. 12.2.
y
v '1
1'
1
2
60º
x
30º
v1
2'
v '2
Figura 12.2
A aplicação da expressão (12.8) permite-nos calcular o valor das duas velocidades
depois do choque.
m1 v1 = m1 v '1 cos 60º+ m2 v ' 2 cos 30º
m1 v1 = 12 m1 v '1 +
0 = m1 v '1 sin 60º− m2 v ' 2 sin 30º
0=
Da segunda das equações obtém-se
v' 2 = 3
m1
v '1
m2
3
2
3
2
m2 v ' 2
m1 v '1 − 12 m2 v ' 2
(12.9)
(12.10)
que, inserida na primeira das equações do sistema leva a
m1 v1 = 12 m1 v '1 + 23 m1 v '1
(12.11)
donde
v '1 =
v1
.
2
(12.12)
3
Substituindo agora em (12.10) encontra-se o valor da velocidade da segunda partícula
depois do choque:
3 m1
v' 2 =
v1
(12.13)
2 m2
Substituindo valores, m1 = 0,1 kg , m2 = 0,2 kg , v1 = 10 m/s , obtemos v '1 = 5 m/s e
v' 2 =
m/s .
Analisemos agora o que à (in)elasticidade diz respeito. Antes da colisão a
energia cinética era
5 3
2
E cantes =
1
1
m1v12 = × 0,1 × 10 2 = 5 J.
2
2
(12.14)
Depois da colisão a energia cinética é
E cdepois =
1
1
1
1
52 × 3
m1v '12 + m2 v ' 22 = × 0,1 × 52 + × 0,2 × 2 = 3,125 J.
2
2
2
2
2
(12.15)
A colisão foi inelástica.
4