Coordenadas polares
Seja o vetor posição de uma partícula de massa m representado por r. Se a
partícula se move, então seu vetor posição depende do tempo, isto é,
r
=
r (t) ,
onde representamos a coordenada temporal pela variável real t. Para aplicar
a segunda lei de Newton precisamos da aceleração a da partícula e, portanto,
devemos calcular a segunda derivada temporal do vetor posição da partícula:
a
d2 r
.
dt2
=
Em coordenadas cartesianas, o vetor posição é simplesmente escrito como
r
= xx̂ + yŷ + zẑ,
onde x, y e z são as coordenadas cartesianas do vetor posição r e x̂, ŷ e ẑ
são os versores respectivamente ao longo dos sentidos dos eixos x, y e z . Note
que você não deve confundir as coordenas, x, y e z , com os nomes dos eixos x,
y e z ; as coordenadas mudam de valor e dependem do tempo, pelo menos no
presente caso, enquanto os eixos tem apenas nomes x, y e z e esses nomes não
mudam. Concordo que isso ca um pouco confuso, mas com o tempo acabamos
acostumando. A gura abaixo mostra uma representação gráca do que estamos
falando.
Em coordenadas cartesianas, portanto, porque as coordenadas dependem do
tempo, isto é,
x =
x (t) ,
1
y
=
y (t)
z
=
z (t) ,
e
mas os versores são xos no espaço e, assim, não dependem do tempo, não
importa como o vetor posição r possa mover-se, então a aceleração da partícula
de massa m ca
a
=
=
d2
(xx̂ + yŷ + zẑ)
dt2
d2 x
d2 y
d2 z
x̂ 2 + ŷ 2 + ẑ 2 .
dt
dt
dt
Para simplicar a compreensão do que estamos estudando, vamos agora
particularizar o problema para o caso em que a partícula de massa m move-se
apenas no plano xy, sempre com a coordenada z igual a zero. Nesse caso, o
vetor posição escreve-se
r
=
xx̂ + yŷ
e a aceleração ca
a
=
x̂
d2 x
d2 y
+
ŷ
.
dt2
dt2
A próxima gura ilustra esse caso mais simples.
2
Em coordenadas polares no plano xy, denimos novos versores, r̂ e θ̂, e novas
coordenadas, r e θ. É mais fácil vermos como o versor r̂ é denido, pois é apenas
o vetor posição r dividido por seu módulo r :
r̂ =
r
.
r
Conforme indica a gura a seguir, as coordenadas cartesianas, x e y, podem ser
escritas em termos das coordenadas polares, r e θ, assim:
x
= r cos θ
y
= rsenθ.
e
Assim,
r̂ =
xx̂ + yŷ
r
e, portanto,
r̂ = x̂ cos θ + ŷsenθ.
Note que como, para um movimento arbitrário no plano xy, a coordenada angular θ depende do tempo, então o versor r̂ também é uma função do tempo.
Da denição do versor r̂ segue que o vetor posição pode ser escrito como
r
= rr̂.
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Em coordenadas polares, o vetor velocidade, dado por
v
=
dr
,
dt
escreve-se, então,
v
d (rr̂)
,
dt
=
que, pela regra da derivada do produto de duas funções dependentes do tempo,
resulta em
v
=
r̂
dr
dr̂
+r .
dt
dt
Como acabamos de ver que
r̂ = x̂ cos θ + ŷsenθ,
sua derivada temporal dá
dr̂
dt
= x̂
d cos θ
dsenθ
+ ŷ
.
dt
dt
Da regra da cadeia para derivadas decorre que
d cos θ
dt
= −senθ
dθ
dt
e
dsenθ
dt
=
cos θ
dθ
.
dt
Denamos a velocidade angular como
ω
=
dθ
.
dt
Note também que ω é uma função do tempo se houver aceleração do ângulo θ,
isto é,
ω
=
ω (t) .
Com tudo isso em mente, podemos agora concluir que a derivada
dr̂
dt
=
x̂
d cos θ
dsenθ
+ ŷ
dt
dt
também pode ser escrita como
dr̂
dt
= −x̂senθ
4
dθ
dθ
+ ŷ cos θ ,
dt
dt
isto é,
dr̂
dt
=
dr̂
dt
= ω (−x̂senθ + ŷ cos θ) .
dθ
(−x̂senθ + ŷ cos θ) ,
dt
ou seja,
Note agora que apareceu, naturalmente, um vetor −x̂senθ + ŷ cos θ que é, na
verdade, um versor e vamos denotá-lo por
θ̂
= −x̂senθ + ŷ cos θ.
Assim,
dr̂
dt
=
ω θ̂.
O vetor θ̂ é um versor porque, obviamente,
θ̂ · θ̂
=
sen2 θ + cos2 θ
=
1.
Note também que o versor θ̂ é ortogonal ao versor radial r̂ :
θ̂ · r̂ =
(−x̂senθ + ŷ cos θ) · (x̂ cos θ + ŷsenθ)
= −senθ cos θ + cos θsenθ
=
0.
Mais ainda, veja que o versor θ̂ nada mais é senão o próprio versor r̂ rodado
mais π/2 para além do ângulo θ. Para vermos isso, façamos
π
r̂ θ +
2
π
π
= x̂ cos θ +
+ ŷsen θ +
.
2
2
Mas,
π
cos θ +
2
=
cos θ cos
π
π
− senθsen
2
2
= −senθ
e
π
π
π
sen θ +
= senθ cos + sen cos θ
2
2
2
= cos θ.
Logo,
π
r̂ θ +
2
= −x̂senθ + ŷ cos θ
= θ̂.
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Com esses resultados, a velocidade da partícula pode agora ser escrita como
dr
dr̂
dr
+r
= r̂ + rω θ̂.
dt
dt
dt
Veja que o termo ao longo da direção do versor r̂ é a chamada componente
radial da velocidade e o termo ao longo da direção do versor θ̂ é a chamada
v
=
r̂
componente tangencial da velocidade. A gura a seguir ilustra gracamente os
versores r̂ e θ̂.
E a derivada do versor θ̂? Agora é fácil:
dθ̂
dt
d
(−x̂senθ + ŷ cos θ)
dt
dθ
(−x̂ cos θ − ŷsenθ) ,
dt
=
=
isto é,
dθ̂
dt
= −ωr̂.
Sabendo as derivadas primeiras dos versores r̂ e θ̂ permite-nos encontrar suas
derivadas segundas:
e
d2 r̂
dt2
d2 θ̂
dt2
=
= −
dω
dθ̂
θ̂ + ω
= αθ̂ − ω 2 r̂
dt
dt
dω
dr̂
r̂ − ω
= −αr̂ − ω 2 θ̂,
dt
dt
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onde denimos a aceleração angular como
α
dω
d2 θ
= 2.
dt
dt
=
Agora que já conhecemos os versores r̂ e θ̂ e suas primeiras e segundas
derivadas temporais, podemos calcular a aceleração em coordenadas polares de
uma partícula de massa m e vetor posição r :
a
d
d2 r
=
2
dt
dt
=
dr
dt
dv
d
=
=
dt
dt
dr
r̂ + rω θ̂ ,
dt
isto é,
a
dr̂ dr
d2 r d (rω)
dθ̂
+ r̂ 2 +
θ̂ + rω ,
dt dt
dt
dt
dt
=
ou seja,
a
= ω θ̂
dr
d2 r
dr
dω
+ r̂ 2 + ω θ̂ + r θ̂ − rω 2 r̂,
dt
dt
dt
dt
ou ainda,
a
=
r̂
d2 r
− rω 2
dt2
dr
dω
+ θ̂ 2ω + r
.
dt
dt
Assim,
a
=
r̂
d2 r
− rω 2
dt2
dr
+ θ̂ 2ω + rα .
dt
Como exemplos particulares, consideremos dois casos. Se o movimento for sobre
uma circunferência, então a distância radial r será constante e suas derivadas
anular-se-ão. Nesse caso, a aceleração cará
acirc.
=
−r̂rω 2 + θ̂rα.
Se o movimento for circular uniforme, não haverá aceleração angular e a aceleração será igual à chamada aceleração centrípeta:
acirc. unif.
= −r̂rω 2 ,
onde, nesse caso, r e ω são constantes.
Espero que esta postagem possa ter proporcionado a você algum esclarecimento sobre um assunto muitas vezes complicado no início. A noção de derivada
é sempre recente para estudantes do primeiro ano de graduação e uma abordagem como esta pode trazer diculdades. Além de Cálculo Diferencial, a disciplina chamada Geometria Analítica pode ajudar muito para o entendimento
da presente postagem. Se você acha que algum trecho está demasiado obscuro,
deixe-me um comentário e tentarei torná-lo mais claro.
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