FUNÇÕES
Modelagem de Problemas como
ferramenta ensino-aprendizagem
Um pouco de História
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Primeira noção de dependência: há 6000 anos
Pastores= associações entre objetos
Tabelas de argila na Babilônia
Grécia clássica: 600 A.C. explicações racionais
para fenômenos
• Platão: 400 A.C. Estudo dos fenômenos pela
Matemática
Um pouco de História
• Aristóteles: qualitativo- atrasou
• Ptolomeu- 140 D.C. livro AlmagestoTrigonometria
• Europa depois de 1200 D.C.- criação de
universidades- questionamento de Roger
Bacon e Ockham das idéias de Aristóteles
• Oresme-Univ.Paris: primeiro gráfico
• Sec.XVI: Kepler, Galileu= leis físicas
quantitativas--- idéia funcional
Conceito de função individualizado
• Final do sec. XVII---- Cálculo Infinitesimal por Newton
e Leibniz
• Correspondência entre Leibniz e Johann Bernoulli
• Retoque na definição e notação= Euler em 1748
(associação com expressão analítica)
• 1837- Dirichlet- associação com conjuntos de
números
• Sec. XIX- teoria dos conjuntos- definição moderna
Atualmente
FUNÇÃO----= importância central na concepção e estudo de
MODELOS (dinâmicos, probabilísticos, de distribuição
espacial...)
NOÇÃO CHAVE- evolução histórica
Ensino Hoje: não leva em conta a longa evolução até o conceito
moderno; só trabalha com números
IDEIA: levar o aluno a construir o conceito, começando com as
noções concretas intuitivas dos pastores e dos babilônios
Problemas para modelar/resolver
utilizando funções
Ferramentas para o professor:
• História da Matemática (uso explícito/implícito)
•Fundo de Conhecimento dos Alunos (coleta de dados pelo
professor, antes da criação de situações-problema a serem
trabalhadas/modeladas em sala)
•Pedagogia Culturalmente Relevante (uma das metas deve ser
desenvolver nos alunos competência cultural e consciência
crítica)
Início do estudo de Funções
• Situações –problema obtidas a partir do exercício das
teorias anteriores
• Construção das idéias intuitivas com os alunos antes
da formalização
• Idéias de Polya para solução das situações problema:
• Compreensão do Problema,
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Dedução de um modelo matemática que descreva o problema,
Solução do Modelo e verificação da solução,
Interpretação da Solução
Situações Problema
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Problema das Passagens de Ônibus
Problema da Fábrica de Refrigerante
Problema dos associados do clube
Problema da Caixa d’água
Problema das Passagens de Ônibus
• Supondo que vários alunos moram na cidade de Itabirito e pagam 7,50
reais por passagem de ônibus para Ouro Preto, onde estudam, foi
apresentada a tabela abaixo, a ser completada pelos alunos. Depois foi
apresentado a eles um questionário com algumas perguntas.
• É possível determinar quantas passagens foram pagas, se o valor total pago for de trinta
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reais?
O que é constante, neste problema?
O que é variável, neste problema?
O que é incógnita, neste problema?
Como você representaria matematicamente a relação entre o número de passagens e o
valor pago?
Como seria a representação gráfica dessa situação?
No de Passagens
Valor Pago (em reais)
1
2
5
8
10
Problema da Fábrica de Refrigerante
• Uma fábrica de refrigerante calcula que tem um gasto de R$ 5000,00 reais
em custos fixos (pagamento de salários, aluguel, manutenção das
máquinas, etc.) acrescido de R$ 2500,00 de custos variáveis (conta de luz,
aquisição de matéria prima, etc.), para cada 10 000 litros de refrigerante
produzidos. Esta situação problema foi apresentada aos alunos para que
trabalhassem em grupo até entender alguns conceitos importantes, como
custo total, custo fixo e custo variável total. Depois foi entregue um
questionário contendo as perguntas abaixo, para serem respondidas
individualmente. No decorrer do processo teve que ser trabalhado o
conceito de custo variável por cada litro de refrigerante produzido.
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Quanto custa produzir 20000 litros de refrigerante?
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Como você representaria matematicamente a relação entre o número de
passagens e o valor pago?
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Quantos litros de refrigerante podem ser produzidos com R$ 12500,00?
Problema dos associados do clube
• O Olímpico Diversões Clube paga R$ 75, 00 pelo aluguel de um aparelho
de dvd para mostrar um filme aos seus associados, durante uma tarde de
domingo, e cobra uma taxa de R$ 1,50 pelo ingresso na sessão. Para esta
situação-problema foi apresentado logo o questionário abaixo, para que o
problema fosse discutido e as respostas às perguntas construídas de uma
só vez.
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Obtenha uma modelagem matemática para o problema através de uma função
que relaciona o lucro obtido pelo clube com o número de ingressos vendidos.
Quantos ingressos o clube precisa vender para obter um lucro de R$ 9,00?
Qual o lucro da venda de 66 ingressos?
Problema da Caixa d’água
• Considere uma caixa d' água cúbica com base medindo 4 m2 de área e 2 m
de altura. Uma torneira aberta despeja água na caixa a uma vazão de ½
m3 por hora. Esta situação-problema mais sofisticada foi apresentada
tendo como objetivo inicial levar os alunos a construir intuitivamente as
três relações funcionais envolvidas no problema, do volume de água em
função do nível de água, do volume de água na caixa em função do tempo
e do nível de água em função do tempo. O passo seguinte foi levar à
relação entre as funções (função composta) até chegar à modelagem do
problema, para responder às questões abaixo:
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A que altura estará o nível de água na caixa 1h depois?
E depois de 2 horas?
E depois de 3 horas?
Quanto tempo levará para que a caixa d'água encha completamente?
Aspectos teóricos a serem
apresentados posteriormente
• Definição de função
• Exemplos significativos que não sejam só com
conjuntos de números
• Representação algébrica e geométrica (se existirem)
dos conjuntos Domínio, contra-domínio, imagem,
gráfico
• Funções crescentes, decrescentes, injetoras,
sobrejetoras, bijetoras
• Função inversa
Softwares interessantes
• Geogebra
• Winplot
• Tabulae
• Outros......
Fontes interessantes de consulta
• <http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>
• <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm>
• <http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volum
e6/ UM_BREVE_HISTRICO_DO_CONCEITO_DE_FUNO.pdf>
• <http://www.redalyc.org/pdf/2912/291229373012.pdf >
• <http://pt.calameo.com/read/00156861234261 e73c9e4>
• <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sal
a/conteudo/capitulos/ cap51s2.html >