GALILEU E AS NOVAS TECNOLOGIAS NO ESTUDO DAS
FUNÇÕES POLINOMIAIS NO ENSINO BÁSICO
Wanderley Moura Rezende – IMUFF
Resumo: Este artigo pretende discutir a possibilidade de articular as idéias e ferramentas
intelectuais que antecedem o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, o espírito científico de
Galileu e o uso de novas tecnologias, tendo como meta uma intervenção didática na educação
básica no que se refere ao estudo do comportamento variacional das funções polinomiais.
UM BREVE HISTÓRICO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
A origem do conceito de função está relacionada ao estudo das variações quantitativas
presentes nos fenômenos naturais. Nesse sentido, pode-se afirmar que a contribuição dos filósofos
escolásticos no estudo e tipificação dos movimentos dos corpos foi, sem dúvida, um dos grandes
pilares na construção deste conceito.
Nicolau de Oresme (1323–1382), por exemplo, ao estudar o movimento uniformemente
acelerado, representou num gráfico a velocidade variando com o tempo da seguinte maneira:
marcou instantes de tempo ao longo de uma linha horizontal que ele chamou de longitudes e
representou as velocidades em cada tempo por linhas verticais, perpendiculares às longitudes, que
ele denominou latitudes.
Figura 1- representação gráfica de Nicolau de Oresme
Esta representação é duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas
relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um
gráfico. O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) que
ilustra que a taxa com que uma grandeza varia em relação a outra é constante. Faltavam ainda
alguns ingredientes essenciais para se explicitar o conceito de função, é verdade. Mas tal fato se
sucederia nos quatro séculos seguintes.
O rompimento definitivo com a maneira aristotélica de explicar os fenômenos naturais veio
através de Galileu Galilei (1564-1642), que questionou publicamente dois grandes pilares da
filosofia cristã: o homem como centro do universo e a física de Aristóteles como modelo para a
ciência. Contrariando Aristóteles, o pensador italiano demonstrou que o peso de um corpo não
exerce influência na velocidade da queda livre e, de quebra, enunciou a lei da queda dos corpos no
vácuo: o espaço percorrido por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do
tempo levado para percorrer este espaço. Interessante é observar que Galileu chegou a este
resultado sem dispor dos atuais conceitos de derivada e integral (o Cálculo ainda estava para ser
“inventado”).
Estabeleceu a relação funcional entre as grandezas observando apenas que a
seqüência de dados obtidos para as medidas do espaço percorrido pelo corpo em queda livre gerava
uma progressão aritmética de segunda ordem – veja, por exemplo, (Boyer, 1949).
No século XVI a Álgebra teve um significativo avanço. François Viète (1540-1603) fez uso,
em seus trabalhos de “uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou
indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos
ou dados” (Boyer, 1991). Surge então o conceito de variável que Descartes (1596-1650) e Fermat
(1601-1665), e depois Newton e Leibniz, iriam utilizar no estudo de curvas.
É verdade, no entanto, que o conceito de função “evoluiu” no processo histórico de
construção do conhecimento matemático: sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo, enquanto
relação entre quantidades variáveis, para o âmbito da Teoria dos Conjuntos. Tal definição apareceu
tão somente no início do século XX e, historicamente, pouco contribuiu para o desenvolvimento do
conhecimento matemático em sentido amplo.
O CAMPO PEDAGÓGICO
Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função tem sido
uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos
desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) são alguns exemplos dessas
pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem
cumprindo bem a sua missão.
De fato, uma forte evidência disso são as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos
estudantes na resolução de problemas de taxas relacionadas e problemas de otimização.
Cabral
(1998), analisando, por exemplo, o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns desses
tipos de problemas, identifica quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e
o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica.
Segundo a
pesquisadora, em situações problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os
mais comuns. Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis
envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: “O difícil mesmo é encontrar
a função” – respondem os estudantes. Identificar o que varia, e em função de que varia é, sem
dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão.
Em outro contexto, Botelho (2005) e Souza Sá (2005), ao realizarem um mapeamento de
como o ensino de funções polinomiais de primeiro e de segundo graus e de funções exponenciais e
logarítmicas é desenvolvido em alguns livros didáticos do ensino básico de matemática,
constataram a predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função. Fala-se,
por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em crescimento ou decrescimento da
função, ou melhor, em quanto e como cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua
variável independente. Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos
críticos, que são, em verdade, os seus pontos ótimos.
A noção de função é, desse modo,
estabelecida não no contexto da “variabilidade”, mas, em termos de uma correspondência estática
entre os valores das variáveis “x” e “y”. O gráfico da função é, em geral, “plotado” através de uma
tabela de valores “notáveis”. A curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral,
induzida pelo acréscimo de mais pontos. Assim, pode-se dizer, com base nos resultados de Botelho
(2005) e Souza Sá (2005), que é desse modo, em termos da correspondência (x,f(x)), que se
estabelece a noção de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional.
Esta idéia não está errada conceitualmente, ao contrário, ela representa a forma como
Dirichlet (1837) conceituou a noção de função: “Uma função y(x) é dada se temos qualquer regra
que associe um valor definido y a cada x em um certo conjunto de pontos” – (apud Rüthing, 1984).
No entanto, tal interpretação do conceito de função, caracterizada pelo seu formato algébrico, se
encontra na contra-mão da história do Cálculo e da sua própria evolução histórica.
Segundo Caraça (1948), o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da
matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são
intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Portanto saber que a variação de uma grandeza
depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se
torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não conseguimos dar qualidade e quantificar
este processo de variação.
Assim, para o bem do ensino de funções reais na educação básica,
precisamos restabelecer a sua origem histórica. Precisamos recuperar os “escolásticos”, que ao
“matematizarem” o conceito de função, viam nele um instrumento que permitia estabelecer uma
tipificação da variação de uma grandeza em relação a outra(s) variável(veis). Nesse sentido, o
estudo da variabilidade das funções reais torna-se imprescindível. Mas, surge então a questão atual
de nossa pesquisa (Rezende, 2003b): como tornar isto possível no ensino básico sem a presença do
conceito de derivada, usualmente apresentada em uma disciplina inicial de Cálculo do ensino
superior?
O ESTUDO DA VARIABILIDADE DA FUNÇÃO POLINOMIAL
Ao que parece a resposta para a nossa questão está em Galileu. O cientista italiano também
não dispunha do conceito de derivada e nem por isso deixou de reconhecer a relação funcional
existente entre a posição de um objeto em queda livre e o tempo decorrido para a sua realização.
Tudo que o grande mestre possuía como ferramenta matemática para resolver o problema, o nosso
aluno do ensino médio, em geral, também dispõe. É só uma questão de organização e uma rearticulação dos conteúdos já ensinados, procurando dar evidência ao estudo do comportamento
variacional das funções reais.
Cabe destacar ainda que o nosso aluno dispõe hoje de uma
ferramenta poderosíssima para a interpretação e análise de dados: o computador. Vejamos então
uma ilustração dessa possibilidade.
Um exemplo: o corpo em queda livre
Suponha que a tabela 1 a seguir nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre de
uma experiência já realizada em um laboratório (Galileu, por exemplo, nos forneceu esses dados,
cabe a nós, matemáticos, interpretar esses dados!). Mais precisamente, a tabela apresenta, uma vez
escolhido o intervalo de tempo dt (variável livre), a medida da posição s (em metros) no instante
inicial t=0, no instante 0+dt, até o instante 0+10dt (em segundos) e, por acréscimo, nos fornece os
cálculos do deslocamento ou variação da posição (∆s) definida por ∆s[t ,t + dt ] = s (t + dt ) - s (t )
(quarta linha da tabela), da variação do deslocamento ou variação segunda da posição (∆2s)
definida por ∆ 2 s[t ,t + dt ] = ∆s (t + dt ) - ∆s (t ) (quinta linha da tabela), da variação terceira da
posição (∆3s) definida por ∆3 s[t ,t + dt ] = ∆ 2 s (t + dt ) - ∆ 2 s (t ) (sexta linha da tabela), em cada
intervalo [t,t+dt].
dt
1
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
s
0
4,9
19,6
44,1
78,4
122,5
176,4
240,1
313,6
396,9
490
4,9
14,7
24,5
34,3
44,1
53,9
63,7
73,5
83,3
93,1
9,8
9,8
9,8
9,8
9,8
9,8
9,8
9,8
9,8
0
0
0
0
0
0
0
0
∆s
2
∆s
3
∆s
Tabela 1: tabela que fornece os valores de s, ∆s, ∆2s e ∆3s, para dt = 1 segundo
Por simples observação, pode-se verificar que a seqüência de valores de ∆s é uma
progressão aritmética de razão 9,8. As terceira e quarta linhas da tabela formam seqüências
constantes: ∆2s = 9,8 e ∆3s = 0.
Note que se escolhêssemos dt = 0,5, o nosso Galileu (a planilha eletrônica pré-programada),
que também é versátil e eficiente, realizaria quase que instantaneamente uma simulação da
experiência e nos forneceria as medidas e os cálculos para os novos intervalos de tempo.
dt
0,5
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
s
0,000
1,225
4,900
11,025
19,600
30,625
44,100
60,025
78,400
99,225
122,500
1,225
3,675
6,125
8,575
11,025
13,475
15,925
18,375
20,825
23,275
2,45
2,45
2,45
2,45
2,45
2,45
2,45
2,45
2,45
0
0
0
0
0
0
0
0
∆s
2
∆s
3
∆s
Tabela 2: tabela que fornece os valores de s, ∆s, ∆2s e ∆3s, para dt = 0,5 segundo
Novamente a tabela manteria alguns padrões. Com efeito, ∆s, neste caso, é uma progressão
aritmética de razão 2,45 (∆2s = 2,45).
Poderíamos repetir a experiência, quantas vezes fossem necessário, para outros valores de
dt, até que… Heureca! A relação funcional entre as variáveis s e t é de tal modo que ∆s é uma
progressão aritmética. Um boa escolha para modelarmos este problema seria a função quadrática
s(t ) = c + bt + at 2 . De fato, a expressão do deslocamento ∆s[t,t+dt] para esta função real tem a forma
de um polinômio de grau um em t:
∆s[t,t+dt] = s(t + dt) – s(t) = b(dt) + a(dt)2 +2a(dt)t
Como dt está fixado, k = b(dt) + a(dt)2 e λ = 2a(dt) são constantes.
Re-escrevendo ∆s[t,t+dt], obtemos ∆s = k + λt , o que implica que ∆s é uma progressão
aritmética de razão igual a ∆2 s[t,t+dt] = ∆s(t + dt) – ∆s(t) = k + λ(t+dt) – k – λt = λdt.
Assim, para determinarmos os parâmetros a, b e c da função bastaria observarmos que:
•
Para dt = 1, λdt = 9,8 = 2adt ⇒ a = (9,8) / 2
•
0 = s(0) = c
•
4,9 = s(1) = b + 4,9 ⇒ b = 0.
Logo a função procurada é s(t ) =
9,8 2
t .
2
Generalizando a idéia
Note que o estudo que fizemos pode ser generalizado para qualquer função polinomial.
Considere uma função polinomial de grau n, p( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 ... + an x n , e x1 , x2 , ..., xi ,... uma
progressão aritmética de razão não nula. É fácil demonstrar, por meio de cálculos algébricos
elementares, que:
1
A tabela foi construída em uma planilha eletrônica.
•
para uma função polinomial de grau 1 (n = 1), a seqüência p( x1 ), p(x2 ), ..., p(xi ),... é uma
progressão aritmética de razão ∆p[ x , x ] = p( x2 ) − p ( x1 ) não nula;
1 2
•
para uma função polinomial de grau 2 (n = 2, como no nosso exemplo), a seqüência
é
uma
progressão
aritmética
de
razão
∆p[ x , x ] , ∆p[ x , x ] , ..., ∆p[ x , x ] , ...
1 2
i −1 i
2 3
∆ p[ x , x ] = ∆p[ x , x ] − ∆p[ x , x ] não nula;
1 2
2 3
2 3
2
•
e de modo geral, para uma função polinomial de grau k (n = k), ∆ k −1 p[ x , x ] ,
k −1 k
∆ k −1p[ x
k , xk +1 ]
∆ k p[ x
k , xk +1 ]
, ..., ∆ k −1p[ x
i −1 , xi ]
= ∆ k −1 p[ x
k , xk +1 ]
é
, ...
− ∆ k −1 p[ x
k −1 , xk ]
uma
progressão
aritmética
de
razão
não nula.
Em verdade, na resolução do exemplo anterior utilizamos tacitamente o seguinte resultado:
se f : ℝ → ℝ é contínua, de tal modo que a seqüência ∆f[ x1 , x2 ] ,
∆f[ x
2 , x3 ]
, ..., forma uma progressão
aritmética de razão ∆ 2 f[ x2 , x3 ] = ∆f[ x2 , x3 ] − ∆f[ x1, x2 ] não nula para qualquer progressão aritmética
x1 , x2 , ..., xi ,... de razão não nula, então f é uma função quadrática. Uma demonstração para esta
proposição pode ser encontrada em (Lima et alii, 2001).
Esta caracterização pode ser estendida para as funções polinomiais de grau n, isto é,
podemos caracterizar uma função polinomial de grau n como sendo a função contínua f : ℝ → ℝ
que transforma toda progressão aritmética não-constante x1 , x2 , ..., xn , ... em uma progressão
artimética de ordem n não degenerada y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x2 ), ..., y n = f ( xn ), ... .
Foge ao escopo deste artigo, fazer esta demonstração. Cabe ressaltar aqui que também não é
objetivo deste artigo incentivar que o professor realize tal procedimento em sala de aula com seus
alunos. Acreditamos que certos fatos podem e devem ser ignorados em determinados níveis de
ensino. O rigor é uma função da maturidade matemática e cognitiva do aluno. A noção intuitiva de
continuidade pode estar associada, por exemplo, à alegoria de Euler, isto é, “uma função é contínua
se podemos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel”. Essa noção intuitiva, apesar de
imprecisa, é legítima do ponto de vista histórico e faz parte, sem dúvida, do discurso docente de um
curso inicial de Cálculo. Outra observação que deve ser feita é que este artigo destina-se ao docente
do ensino básico e não ao seu aluno. Caberá uma reflexão sobre conteúdo discutido neste artigo
para que se possam implementar efetivamente as idéias aqui sugeridas.
Procedimento análogo ao apresentado aqui para as funções polinomiais pode ser adotado
para as funções exponenciais e logarítmicas. Santos (2008) vem estudando, em sua monografia de
especialização, uma proposta para o estudo do comportamento variacional desta família de funções.
No caso da função exponencial, por exemplo, a regularidade se apresenta na razão entre a variação
da função no intervalo e o seu valor no início do intervalo.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta sugerida neste artigo tem como referência as funções polinomiais e funções
exponenciais e logarítmicas. O cerne da proposta consiste em fazer uso do conhecimento adquirido
dos estudantes, as progressões aritméticas e progressões geométricas, como ferramenta diagnóstico
do comportamento variacionais das funções em destaque.
As noções de continuidade e
diferenciabilidade são introduzidas de forma intuitiva e alegórica (“alegoria de Euler” para a
continuidade e a “alegoria da suavidade” para o conceito de diferenciabilidade) e a passagem do
nível discreto para o nível contínuo faz-se por meio de ferramenta computacional (planilhas
eletrônicas).
É verdade que o campo real continua escondido no ambiente computacional das planilhas
eletrônicas. Mas também era assim na época de Galileu (antes da “invenção” do Cálculo) ou mesmo
de Euler (depois da “invenção” do Cálculo) – os números irracionais eram tratados como números
nebulosos, e, mesmo assim, a invenção do Cálculo sobreviveu a este obstáculo epistemológico.
Acredita-se que por meio do controle arbitrário das variáveis livres das tabelas (dx, ou mesmo os
coeficientes das funções em questão), previamente programadas, o estudante possa inferir e
verificar padrões numéricos das funções citadas, tantas vezes quantas forem necessárias. Uma vez
observada as regularidades, o estudante precisa ser estimulado a enunciar proposições e demonstrálas, por meio de cálculos algébricos, e com o auxílio do professor (como, por exemplo, aqueles que
foram feitos no exemplo do corpo em queda livre). Fazer o exercício da generalização é um
importante exercício do próprio pensamento matemático. E ao fazer os cálculos algébricos para um
dx arbitrário (racional ou irracional), o aluno estará exercitando não só o modo de pensar
matemático com estará realizando a passagem do nível discreto para o nível contínuo de suas
observações.
Esta proposta pode ser estendida para o estudo de outras famílias de funções reais. Estudar
o comportamento variacional das funções faz-se urgente e necessário. Precisamos, conforme já
afirmamos neste artigo, resgatar o conceito de função no ensino médio do universo algébrico para o
âmbito do Cálculo. Não basta sabermos que determinada função é crescente ou decrescente em um
intervalo, mas precisamos, sobretudo, quantificar essa variação para que possamos dar qualidade ao
seu estudo. Os problemas do cotidiano ou das ciências que podem ser resolvidos matematicamente
em geral não trazem fórmulas em seus enunciados. Trazem sim “quantidades variáveis” como
tempo, lucro, temperatura, peso, população, demanda, preço ou qualquer outra grandeza. Não
existem grandes vantagens em saber apenas que “o preço da gasolina vai subir” ou que “as taxas de
juros no varejo caíram”. O exercício da cidadania, cada vez mais complexo nos dias de hoje,
envolve também o conhecimento sobre como e o quanto variam as grandezas presentes em
problemas que nos são apresentados em nossa vida cotidiana. Que o espírito crítico de Galileu
esteja presente! Que a capacidade de simulação e de cálculo das novas tecnologias (computadores,
softwares computacionais, sensores, etc) estejam presentes! Resgatar o estudo da variabilidade das
funções reais no ensino básico é, sobretudo, um compromisso com o verdadeiro sentido do conceito
de função.
Referências
Botelho, L. M. L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia de Pósgradução. Niterói: UFF.
Boyer, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Tradução de Elza Gomide de título original. S.
Paulo: Edgard Blucher.
Boyer, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover
Publications Inc.
Cabral, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos
Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. São Paulo: USP.
Caraça, B. de J. (1948) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Lisboa: Livraria Sá da Costa
Editora.
Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. (2001) A Matemática do Ensino Médio.
Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.
Rezende, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de
Doutorado. São Paulo: USP.
Rezende, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no
Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. Niterói: UFF.
Rüthing, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The
Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), pp. 72-77.
Santos, F. L. M. (2008) Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas
na Educação Básica. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF.
Sierpinska, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational
Studies in Mathematics, 18. pp. 371-397.
Souza Sá, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino
Básico. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF.